Ein Haufen Flugzeuge im Weltraum. Linienstift, Gleichung eines Linienstifts


In diesem Artikel geben wir eine Definition eines Ebenenbündels, erhalten eine Gleichung für ein Ebenenbündel in Bezug auf ein gegebenes rechtwinkliges Koordinatensystem und betrachten im Detail die Lösungen für charakteristische Probleme im Zusammenhang mit dem Konzept eines Ebenenbündels.

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Flugzeugbündel – Definition.

Aus den Axiomen der Geometrie folgt, dass im dreidimensionalen Raum eine einzelne Ebene durch eine Gerade und einen nicht darauf liegenden Punkt verläuft. Und aus dieser Aussage folgt, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die eine vorgegebene Gerade enthalten. Begründen wir das.

Gegeben sei eine Gerade a. Nehmen wir einen Punkt M 1, der nicht auf der Geraden a liegt. Dann können wir durch die Gerade a und den Punkt M 1 eine Ebene zeichnen, und zwar nur eine. Bezeichnen wir es. Nehmen wir nun einen Punkt M 2, der nicht in der Ebene liegt. Es gibt nur eine Ebene, die durch die Gerade a und den Punkt M2 verläuft. Wenn wir einen Punkt M 3 nehmen, der weder in der Ebene noch in der Ebene liegt, dann können wir eine Ebene konstruieren, die durch die Gerade a und den Punkt M 3 verläuft. Offensichtlich kann dieser Prozess der Konstruktion von Ebenen, die durch eine gegebene Linie a verlaufen, unbegrenzt fortgesetzt werden.

So kommen wir zur Definition eines Ebenenbündels.

Definition.

Ein Haufen Flugzeuge ist die Menge aller Ebenen im dreidimensionalen Raum, die durch eine gegebene Linie verlaufen.

Die Gerade, die alle Ebenen eines Bündels enthalten, wird Mittelpunkt dieses Ebenenbündels genannt. Somit gilt der Ausdruck „ein Bündel von Ebenen mit Mittelpunkt a“.

Ein bestimmtes Ebenenbündel kann entweder durch Angabe seines Mittelpunkts oder durch Angabe zweier beliebiger Ebenen dieses Bündels definiert werden, was im Wesentlichen dasselbe ist. Andererseits definieren zwei beliebige Schnittebenen ein bestimmtes Ebenenbündel.

Gleichung einer Reihe von Ebenen - Probleme lösen.

Aus praktischen Gründen ist es nicht so sehr das Bündel von Ebenen in seinem geometrischen Bild, das von Interesse ist, sondern vielmehr .

Beantworten wir gleich die logische Frage: „Wie lautet die Gleichung eines Ebenenbündels“?

Dazu gehen wir davon aus, dass Oxyz in den dreidimensionalen Raum eingeführt wird und durch die Angabe zweier Ebenen und daraus ein Ebenenbündel spezifiziert wird. Die Ebene soll der allgemeinen Gleichung der Ebene der Form und die Ebene der Form entsprechen. Die Gleichung eines Ebenenbündels ist also eine Gleichung, die die Gleichungen aller Ebenen dieses Bündels angibt.

Es stellt sich folgende logische Frage: „Wie lautet die Gleichung eines Ebenenbündels im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz?“

Die Form der Gleichung eines Ebenenbüschels ergibt sich aus dem folgenden Satz.

Satz.

Eine Ebene gehört genau dann zu einem Bündel von Ebenen, die durch zwei sich schneidende Ebenen und definiert werden, die durch die Gleichungen und gegeben sind, wenn ihre allgemeine Gleichung die Form hat, wobei und beliebige reelle Zahlen sind, die gleichzeitig ungleich Null sind (letzteres). Bedingung ist äquivalent zur Ungleichung).

Nachweisen.

Um die ausreichende Leistung nachzuweisen, müssen Sie Folgendes nachweisen:

Schreiben wir die Gleichung in der Form um. Die resultierende Gleichung ist eine allgemeine Ebenengleichung, wenn die Ausdrücke und nicht gleichzeitig Null sind.

Beweisen wir, dass sie tatsächlich nicht gleichzeitig durch Widerspruch verschwinden. Tun wir mal so. Dann, wenn, dann, wenn, dann. Die resultierenden Gleichheiten bedeuten, dass die Vektoren und stehen in Zusammenhang mit den Beziehungen or (siehe gegebenenfalls den Artikel), also und . Da ist der Normalenvektor der Ebene, - Normalenvektor der Ebene und die Vektoren und sind kollinear, dann sind die Ebenen und parallel oder fallen zusammen (siehe Artikel über die Bedingung der Parallelität zweier Ebenen). Dies kann jedoch nicht sein, da die Ebenen ein Bündel von Ebenen definieren und sich daher schneiden.

Die Gleichung ist also eigentlich eine allgemeine Gleichung der Ebene. Zeigen wir, dass die durch diese Gleichung definierte Ebene durch die Schnittlinie der Ebenen und verläuft.

Wenn dies tatsächlich der Fall ist, dann hat das Gleichungssystem der Form unendlich viele Lösungen. (Wenn das geschriebene Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, dann haben die Ebenen, aus denen das System besteht, einen einzigen gemeinsamen Punkt, daher schneidet die Ebene die Linie, die durch die sich schneidenden Ebenen und definiert wird. Wenn das geschriebene Gleichungssystem keine Lösungen hat , dann gibt es keinen Punkt, der gleichzeitig zu allen drei Ebenen gehört, daher ist die Ebene parallel zu der Linie, die durch die Schnittebenen und definiert wird.

Da die erste Gleichung des geschriebenen Gleichungssystems eine Linearkombination der zweiten und dritten Gleichung ist, ist sie redundant und kann folgenlos aus dem System ausgeschlossen werden (wir haben darüber im Artikel gesprochen). Das heißt, das ursprüngliche Gleichungssystem entspricht einem Gleichungssystem der Form . Und dieses System hat unendlich viele Lösungen, da die Ebenen aufgrund der Tatsache, dass sie sich schneiden, unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

Die ausreichende Wirksamkeit wurde nachgewiesen.

Kommen wir zum Beweis der Notwendigkeit.

Um die Notwendigkeit zu beweisen, muss gezeigt werden, dass unabhängig von der vorgegebenen Ebene, die durch die Schnittlinie der Ebenen verläuft, und sie durch die Gleichung für bestimmte Werte der Parameter bestimmt wird und .

Nehmen Sie ein Flugzeug, das durch den Punkt fliegt und durch die Schnittlinie der Ebenen und (M 0 liegt nicht auf der Schnittlinie dieser Ebenen). Zeigen wir, dass es immer möglich ist, solche Parameterwerte zu wählen, für die die Koordinaten des Punktes M 0 die Gleichung erfüllen, das heißt, die Gleichheit gilt. Dies wird die Ausreichendheit beweisen.

Setzen wir die Koordinaten des Punktes M 0 in die Gleichung ein: . Da die Ebenen und nicht gleichzeitig durch den Punkt M 0 verlaufen (sonst würden diese Ebenen zusammenfallen), dann mindestens einer der Ausdrücke oder von Null verschieden. Wenn , dann kann die Gleichung in Bezug auf den Parameter als aufgelöst werden und indem wir dem Parameter einen beliebigen Wert ungleich Null geben, berechnen wir . Wenn , dann geben wir dem Parameter einen beliebigen Wert ungleich Null und berechnen .

Der Satz ist vollständig bewiesen.

Es sieht also so aus. Es definiert alle Ebenen des Balkens. Wenn wir ein Wertepaar nehmen und setze sie in die Gleichung einer Reihe von Ebenen ein, dann erhalten wir die allgemeine Gleichung einer Ebene aus dieser Reihe.

Da in der Gleichung eines Ebenenbündels die Parameter und nicht gleichzeitig gleich Null sind, kann sie in der Form if und in der Form if geschrieben werden.

Diese Gleichungen sind jedoch nicht äquivalent zur Gleichung einer Reihe von Ebenen der Form, da für beliebige Werte die Gleichung einer Ebene der Form nicht aus der Gleichung und für beliebige Werte aus der Gleichung erhalten werden kann Die Gleichung einer Ebene der Form kann nicht erhalten werden.

Fahren wir mit der Lösung von Beispielen fort.

Beispiel.

Schreiben Sie die Gleichung eines Ebenenbündels, das im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz durch zwei sich schneidende Ebenen definiert wird Und .

Lösung.

Die gegebene Ebenengleichung in Segmenten entspricht der allgemeinen Ebenengleichung der Form. Jetzt können wir die erforderliche Gleichung für eine Reihe von Ebenen aufschreiben: .

Antwort:

Beispiel.

Gehört die Ebene zum Bündel der Ebenen mit dem Mittelpunkt ?

Lösung.

Gehört eine Ebene zu einem Balken, so liegt die Gerade, die den Mittelpunkt des Balkens darstellt, in dieser Ebene. Man kann also zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden nehmen und prüfen, ob diese in der Ebene liegen. Wenn ja, dann gehört die Ebene zum angegebenen Ebenenbündel; wenn nicht, dann gehört sie nicht dazu.

Parametrische Gleichungen einer Geraden im Raum ermöglichen eine einfache Bestimmung der Koordinaten darauf liegender Punkte. Nehmen wir zwei Parameterwerte (zum Beispiel und ) und berechnen wir die Koordinaten zweier Punkte M 1 und M 2 der Geraden:

Ein richtiges Ebenenbüschel ist die Menge aller Ebenen, die durch eine Linie verlaufen.

Ein uneigentliches Ebenenbüschel ist eine Menge von Ebenen, die alle parallel zueinander sind.

Satz 1. Damit sind die drei Ebenen durch die allgemeinen Gleichungen definiert

relativ zum allgemeinen kartesischen Koordinatensystem zum selben Bleistift gehören, ob richtig oder uneigentlich, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Matrix vorliegt

entsprach entweder zwei oder eins.

Beweis der Notwendigkeit. Zu einem Bündel gehören drei Ebenen (1). Dies ist nachzuweisen

Nehmen wir zunächst an, dass die drei angegebenen Ebenen zu einem eigenen Bündel gehören. Dann hat System (1) unendlich viele Lösungen (da nach der Definition eines echten Bleistifts drei Ebenen zum Bleistift gehören, wenn sie durch eine Gerade gehen); Dies ist genau dann der Fall, wenn System (1) entweder eine eindeutige Lösung hat oder inkonsistent ist, je nachdem, ob die aus Koeffizienten für die Unbekannten zusammengesetzte Determinante von Null verschieden oder gleich Null ist.

Wenn drei gegebene Ebenen zu einem unechten Bleistift gehören, dann ist der Rang der Matrix

ist gleich 1, was den Rang der Matrix bedeutet M gleich entweder zwei oder eins.

Nachweis der Angemessenheit. Gegeben: Es muss nachgewiesen werden, dass drei gegebene Ebenen zu einem Bündel gehören.

Wenn, dann und. Lassen. Dann ist System (1) konsistent, hat unendlich viele Lösungen und unter diesen Ebenen gibt es sich schneidende (denn wenn es keine sich schneidenden Ebenen gäbe, wären sie alle parallel und der Rang der Matrix wäre gleich 1) , daher gehören die drei angegebenen Ebenen zum eigenen Bündel.

Wenn; , dann sind alle Ebenen kollinear (zwei davon sind sicherlich parallel, und die dritte kann mit einer der parallelen Ebenen zusammenfallen).

Wenn, dann und, und alle Ebenen fallen zusammen.

Satz 2. Gegeben seien zwei verschiedene Ebenen in einem allgemeinen kartesischen Koordinatensystem und die allgemeinen Gleichungen: ; .

Damit ist die dritte Ebene ebenfalls durch die allgemeine Gleichung definiert

relativ zum gleichen Koordinatensystem, gehörte zu dem durch die Ebenen definierten Bleistift und es ist notwendig und ausreichend, dass die linke Seite der Gleichung der Ebene eine lineare Kombination der linken Seiten der Gleichungen der Ebenen ist Und.

Beweis der Notwendigkeit. Gegeben: Die Ebene gehört zu dem Ebenenbündel, das durch die Ebenen und definiert wird. Es muss nachgewiesen werden, dass es Zahlen gibt und dass die Identität für alle Werte gilt X, bei, z:

Wenn tatsächlich drei Flugzeuge zu einem Bündel gehören, wo dann?

Die ersten beiden Zeilen dieser Matrix sind linear unabhängig (da die Ebenen und unterschiedlich sind), und da die dritte Zeile eine lineare Kombination der ersten beiden ist, d. h. Es gibt Zahlen und dergleichen



Multiplizieren beider Seiten der ersten Gleichheit mit X, beide Teile des zweiten auf bei, beide Teile der dritten auf z und indem wir die resultierenden Gleichheiten und Gleichheiten Term für Term addieren, erhalten wir die bewiesene Identität.

Nachweis der Angemessenheit. Lassen Sie die Identität

gilt für alle Werte X, bei Und z. Es muss nachgewiesen werden, dass die Ebene zu dem durch die Ebenen und definierten Bleistift gehört.

Aus dieser Identität ergeben sich folgende Beziehungen:

also die dritte Zeile der Matrix M es gibt eine lineare Kombination der ersten beiden und daher. Usw.

Die Gleichung, in der und gleichzeitig ungleich Null sind, wird als Gleichung eines Ebenenbüschels bezeichnet, das durch zwei verschiedene Ebenen definiert wird und deren Gleichungen im allgemeinen kartesischen Koordinatensystem wie folgt lauten:

Wie bewiesen wurde, ist die Gleichung jeder Ebene eines Balkens durch verschiedene Ebenen definiert und kann in der Form geschrieben werden.

Wenn umgekehrt eine Gleichung, in der mindestens eine der Zahlen und ungleich Null ist, eine Gleichung ersten Grades ist, dann handelt es sich um eine Gleichung einer Ebene, die zu dem durch die Ebenen und definierten Bleistift gehört. Tatsächlich die dritte Zeile der Matrix M, setzt sich aus den Koeffizienten der Gleichungen zusammen und hat die Form

diese. ist daher eine Linearkombination der anderen beiden.

Wenn sich die Ebenen und schneiden und und gleichzeitig nicht gleich Null sind, dann sind alle Koeffizienten für X, bei, z in der Gleichung kann nicht gleich Null sein, da sonst die Beziehungen stattgefunden hätten

dann wären die Ebenen entgegen der Annahme kollinear.

Wenn die Ebenen jedoch parallel sind, gibt es Zahlen und, von denen mindestens eine ungleich Null ist, und zwar so, dass in der Gleichung alle Koeffizienten für X, bei Und z sind gleich Null. Aber dann handelt es sich um ein falsches Bündel, und genau wie bei einem Bündel gerader Linien ist hier große Vorsicht geboten.

Zunächst einmal sagen wir, dass das Flugzeug

Es gibt eine lineare Kombination von Ebenen

Wenn Gleichung (1) eine Linearkombination der Gleichungen (2) und (3) ist, d. h. wenn es solche und gibt, dann gilt die Identität

Aus Identität (4) folgt, dass jeder Punkt, der beide Gleichungen (2) und (3) erfüllt, auch Gleichung (1) erfüllt – jeder Punkt, der zu beiden Ebenen (2) und (3) gehört, gehört auch zur Ebene (1). Mit anderen Worten:

Eine Ebene, die eine lineare Kombination zweier gegebener Schnittebenen (2) und (3) ist, verläuft durch die Schnittlinie dieser Ebenen. Beweisen wir, dass umgekehrt jede Ebene (1), die durch die Schnittlinie d zweier gegebener Ebenen (2) und (3) verläuft, eine gewöhnliche Kombination dieser Ebenen ist.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass die Ebene (1) mit keiner der Ebenen (2) und (3) zusammenfällt. Der Beweis ist genau derselbe wie im Fall der Geraden (Kapitel V, § 5).

Die durch die Linie d verlaufende Ebene wird vollständig definiert, wenn wir einen Punkt darauf angeben (Abb. 122), der nicht auf der Linie d liegt.

Nehmen wir einen solchen Punkt auf unserer Ebene (1) und schreiben wir eine Gleichung mit zwei Unbekannten und:

Da der Punkt der Annahme zufolge nicht auf der Geraden d liegt, ist mindestens eine der Klammern auf der linken Seite von Gleichung (5) von Null verschieden; Aus dieser Gleichung (5) ergibt sich die Beziehung

Lassen Sie uns nun einige Zahlen haben, die die Proportion (6) erfüllen. Dann ist auch Gleichung (5) erfüllt, was bedeutet, dass der Punkt auf der Ebene liegt

Aber diese Ebene, die eine lineare Kombination der Ebenen (2) und (3) ist, geht durch die Linie d und enthält einen Punkt, der zur Ebene gehört ( - was bedeutet, dass Ebene (1) mit Ebene (7) zusammenfällt und eine Gerade ist Kombination der Ebenen (2) und (3). Die Aussage ist bewiesen.

Damit die Ebene (1) durch die gerade Schnittlinie der beiden Ebenen (2) und (3) verläuft, ist es notwendig und ausreichend, dass Gleichung (1) eine lineare Kombination der Gleichungen (2) und (3) ist ).

Die Ebenen (2) und (3) seien nun parallel. Genauso wie in § 5 von Kapitel V sind wir davon überzeugt, dass jede Ebene, die eine lineare Kombination der Ebenen (2) und (3) ist, parallel zu ihnen sein wird und dass umgekehrt jede Ebene parallel zu zwei (parallel zu jeder) ist andere) Ebenen (2) und (3), ist ihre Linearkombination.

Nennen wir die Menge aller Ebenen, die durch eine gegebene Linie d verlaufen; nennen wir die Menge aller Ebenen parallel (im weitesten Sinne des Wortes) zu einer Ebene. Schließlich nennen wir die Menge aller Ebenen, die lineare Kombinationen zweier Ebenen und sind, eine eindimensionale Mannigfaltigkeit von Ebenen, die durch ihre beiden Elemente und erzeugt werden. Wir haben bewiesen, dass jede Reihe von Ebenen (eigentlich oder uneigentlich) eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist, die durch zwei beliebige ihrer Elemente erzeugt wird.

Umgekehrt ist jede eindimensionale Mannigfaltigkeit von Ebenen (die durch zwei Ebenen und 62 erzeugt wird) ein Bündel von Ebenen – richtig, wenn die Ebenen und 62 sich schneiden, uneigentlich, wenn sie parallel sind.

In Kapitel XXIII dieser Vorlesungen werden wir den projektiven Raum konstruieren, indem wir den gewöhnlichen Raum durch unendlich entfernte (uneigentliche) Punkte ergänzen, so dass die Ansammlung dieser unendlich entfernten Punkte eine unendlich entfernte (uneigentliche) Ebene bildet;

Alle in dieser Ebene liegenden Linien werden auch unendlich weit entfernt oder uneigentlich genannt. Jede „richtige“ (d. h. gewöhnliche) Raumebene schneidet eine unechte Ebene entlang einer unechten Linie – entlang der einzigen unechten Linie einer gegebenen richtigen Ebene. Es stellt sich heraus, dass zwei echte Ebenen genau dann parallel sind, wenn sie sich entlang (ihrer gemeinsamen) geraden Linie im Unendlichen schneiden. Somit verschwindet im projektiven Raum die Unterscheidung zwischen echten und unechten Ebenenbüscheln: Ein uneigentliches Büschel ist ein Büschel von Ebenen, deren Achse eine der uneigentlichen Linien des projektiven Raums ist.

Vorlesungen über Algebra und Geometrie. Semester 1.

Vorlesung 14. Gleichungen eines Linienbündels auf einer Ebene, eines Ebenenbündels und einer Reihe von Ebenen.

Kapitel 14. Gleichungen eines Linienbündels auf einer Ebene, eines Ebenenbündels und einer Reihe von Ebenen.

Klausel 1. Gleichung eines Linienbündels auf einer Ebene.

Definition. Ein Linienbündel auf einer Ebene ist die Menge aller Linien einer gegebenen Ebene, die einen gemeinsamen Punkt haben, der als Mittelpunkt des Linienbündels bezeichnet wird.

In Abb. 1 Punkt
– Strahlmitte.

Satz. Lassen

– zwei Geraden in der Oxy-Koordinatenebene, die sich in einem Punkt schneiden
. Dann die Gleichung

Wo
– Beliebige reelle Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind, es gibt eine Gleichung eines Linienbüschels mit dem Mittelpunkt des Büschels im Punkt
.

Nachweisen.

Sei L eine beliebige Gerade dieses Strahls mit der Strahlmitte im Punkt
Und ist sein Normalvektor. Dann hat die Vektorgleichung der Geraden L die Form:

, (2)

Wo – Radiusvektor eines Punktes
, – aktueller Radiusvektor, d.h. Radiusvektor des aktuellen Punktes
.

Da gerade Und
Nach der Annahme des Satzes schneiden sich ihre Normalenvektoren nicht kollinear und bilden daher eine Basis.

Dann der Vektor kann auf dieser Basis erweitert werden:

,

Wo
– Die Koeffizienten dieser Entwicklung sind nicht gleichzeitig gleich Null, weil per Definition ein Normalenvektor
. Durch Einsetzen in (2) erhalten wir oder

Aber
Und
– Vektorgleichungen von Geraden Und
, d.h. ,

Durch Einsetzen in (3) erhalten wir Gleichheit (1).

Damit haben wir bewiesen, dass die Gleichung jeder Linie aus einem bestimmten Bleistift die Form (1) hat.

Umgekehrt beweisen wir das für jeden
, die gleichzeitig ungleich Null sind, ist Gleichung (1) die Gleichung einer Geraden von einem gegebenen Bleistift.

Tatsächlich einerseits für jeden
, die gleichzeitig ungleich Null sind, ist Gleichung (1) die allgemeine Gleichung der Geraden

Lassen Sie andererseits Gleichung (1) eintreten
sind beliebige reelle Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind, und sei
– Koordinaten des Strahlmittelpunkts. Als
Und
, dann erfüllen die Koordinaten des Strahlmittelpunkts die Geradengleichungen Und
:

Dann ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes
in Gleichung (1) erhalten wir

Diese. Gleichung (1) ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft
, was bedeutet, dass die Leitung zu diesem Bündel gehört usw.

Der Satz ist bewiesen.

Kommentar. Wenn in (1)

. Wenn
, dann ist Gleichung (1) die Gleichung der Geraden . Wenn also Gleichung (1) durch geteilt wird
, dann erhalten wir die Gleichung jeder Linie aus dem gegebenen Bleistift, mit Ausnahme der Linie
:

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer beliebigen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft
.

Lösung. Die erforderliche Gerade ist eine Gerade aus einem Geradenbündel mit dem Mittelpunkt des Bündels im Punkt
. Offensichtlich gehören zu diesem Bündel die folgenden zwei Zeilen:

Und

Oder
,
. Dann hat die Gleichung einer beliebigen Linie dieses Bleistifts die Form

Wenn wir in dieser Gleichung die griechischen Buchstaben durch lateinische ersetzen, erhalten wir

– Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt verläuft
. Insbesondere wann
, erhalten wir die Gleichung eines Bleistifts aus geraden Linien mit dem Mittelpunkt des Bleistifts im Ursprung:
.

Division von Gleichung (5) durch
, erhalten wir die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten, die durch einen gegebenen Punkt verläuft
:

, (6)

und wann
, erhalten wir die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten, die durch den Koordinatenursprung verläuft:

.

Mit anderen Worten, die Gleichung
, Wo
ist die Gleichung eines Linienbüschels mit der Mitte des Büschels im Ursprung.

Klausel 2. Gleichung einer Reihe von Flugzeugen.

Definition. Ein Ebenenbündel ist die Menge aller Ebenen, die einen gemeinsamen Punkt haben, der als Mittelpunkt des Bündels bezeichnet wird.

Satz. Lassen , ,

– drei Ebenen im PDSC Oxyz mit einem einzigen gemeinsamen Punkt
. Dann Gleichung (7)

Wo
– beliebige reelle Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind, gibt es eine Gleichung für ein Bündel von Ebenen, deren Mittelpunkt im Punkt liegt
.

Der Beweis wiederholt praktisch den Beweis des vorherigen Satzes über die Gleichung eines Linienbündels.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung eines Ebenenbündels, dessen Mittelpunkt in einem Punkt liegt
.

Lösung. Es ist offensichtlich, dass sich die folgenden drei Ebenen in einem einzigen Punkt schneiden
:

,
,
.

Dann die Gleichung

Wo
und gleichzeitig ungleich Null ist, ergibt sich die erforderliche Gleichung.

Insbesondere, wenn
, dann die Gleichung

(9)

ist die Gleichung eines Ebenenbündels mit dem Mittelpunkt des Bündels im Ursprung.

Klausel 3. Gleichung einer Reihe von Flugzeugen.

Definition. Ein Ebenenbündel ist die Menge aller Ebenen, die sich entlang derselben geraden Linie, der sogenannten Bündelachse, schneiden.

Satz. Lassen

sind zwei Ebenen, die sich entlang der Geraden L schneiden. Dann gilt die Gleichung

Wo
– beliebige reelle Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind, ist die Gleichung eines Ebenenstrahls mit der Strahlachse L.

Der Beweis ähnelt dem Beweis des Satzes über die Geradengleichung und bleibt dem Leser überlassen.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung eines Ebenenbüschels, dessen Achse die x-Achse ist.

Lösung. Offensichtlich die Koordinatenebenen

Und
schneiden sich entlang der Ox-Achse.

Dann nimmt Gleichung (10) in diesem Fall die Form an

. Wenn wir griechische Buchstaben durch lateinische ersetzen, erhalten wir

, (11)

Wo
– beliebige reelle Zahlen, die gleichzeitig ungleich Null sind. Gleichung (11) ist die gewünschte Gleichung für einen Strahl aus Ebenen mit der Strahlachse Ox.

Ebenso gilt Gl.

, (12)

ist die Gleichung eines Ebenenbündels mit der Strahlachse Oy, und die Gleichung

(13)

ist die Gleichung eines Ebenenstrahls mit der Strahlachse Oz.

Klausel 4. Grundlegende Probleme auf Linien und Flugzeugen.

Aufgabe 1. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft
Und
.

Dieses Problem haben wir bereits gelöst, siehe Vorlesung 11, Absatz 4, Aufgabe 1:

.

Aufgabe 2. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden

Und
.

Dieses Problem wurde in Vorlesung 11, Absatz 4 gelöst:

Der erforderliche Winkel ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren

oder
.

Aufgabe 3. Finden Sie die allgemeine Gleichung der Ebene, wenn die Koordinaten ihres Normalenvektors bekannt sind
und Punktkoordinaten
, auf einer bestimmten Ebene liegend.

Lösung. Eine Lösung für dieses Problem ist in Absatz 2, Formel (8) angegeben.

Die gleiche Gleichung kann auf andere Weise erhalten werden. Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet

Wo
sind die Koordinaten seines Normalenvektors. Es bleibt noch der Koeffizient D zu finden. Zu diesem Zweck setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein
: , Wo .

Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

– die erforderliche Gleichung der Ebene.

Aufgabe 4. Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft
,
Und
.

Wie wir in Aufgabe 3 gesehen haben, reicht es zum Aufstellen der allgemeinen Gleichung einer Ebene aus, die Koordinaten ihres Normalenvektors zu kennen und die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer bestimmten Ebene liegt.

Als Normalenvektor der Ebene können wir das Vektorprodukt des Vektors nehmen
zum Vektor
, und als einen auf der Ebene liegenden Punkt können wir den Punkt nehmen
. Wir bekommen

Die benötigte Ebenengleichung kann in einer anderen Form erhalten werden. Die Ebenengleichung in Vektorform lautet

,

.

Aufgabe 5. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen.

Lösung. Aus der Geometrie wissen wir, dass der Diederwinkel zwischen zwei Ebenen durch den linearen Winkel gemessen wird (siehe Abb. 12).

Es ist leicht zu erkennen, dass der lineare Winkel , die Messung des Diederwinkels zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel
zwischen den Normalenvektoren dieser Ebenen oder gleich ist
. Hier wird das Gleichheitszeichen der Winkel mit zueinander senkrechten Seiten verwendet.

oder
.

Somit wird das Problem der Berechnung des Winkels zwischen Ebenen auf das Problem der Berechnung des Winkels zwischen Vektoren reduziert.

Aufgabe 6. Finden Sie die Entfernung von einem bestimmten Punkt
zu einer bestimmten Ebene

Lösung. Wählen wir einen beliebigen Punkt
, auf einer bestimmten Ebene liegend. Beachten Sie, dass wenn
, dann liegt der Koordinatenursprung in der Ebene und kann als Punkt angenommen werden
. Wenn
, dann können wir als solchen Punkt den Schnittpunkt der Ebene mit einer der Koordinatenachsen annehmen. Da eine Ebene nicht zu allen drei Koordinatenachsen parallel sein kann, schneidet mindestens eine Koordinatenachse diese Ebene.

Lassen Sie zum Beispiel
– der Schnittpunkt der Ebene mit der Koordinatenachse Ox. Hier
, Wenn
.

Also lasst uns punktieren
auf die eine oder andere Weise gewählt, dann die Entfernung
von einem bestimmten Punkt aus
zu einer bestimmten Ebene gleich dem Modul der Projektion des Vektors
zum Normalenvektor der Ebene :

.

Da kann diese Formel in der Form geschrieben werden

. (14)

Definition. Gegeben seien eine beliebige allgemeine Ebenengleichung und ein beliebiger Punkt im Raum
. Nummer

nennt man Punktdiskrepanz
relativ zur Ebene .

Unter Verwendung des eingeführten Residuenkonzepts kann die Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wie folgt geschrieben werden:

.

Definition. Größe

(15)

Punktabweichung genannt
aus dem Flugzeug .

Aus der letzten Definition folgt, dass es sich um die Entfernung von einem Punkt handelt
hobeln gleich dem Modul der Punktabweichung
aus dem Flugzeug :

Aus Formel (21) ist ersichtlich, dass Abweichung und Diskrepanz das gleiche Vorzeichen haben.

Kommentar. Die Formeln (14) – (16) können in einer anderen Form geschrieben werden. Bringen wir diese Gleichung der Ebene in die Normalform:


und minus sonst.

Nun hat die Formel (14) für den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene die Form:

– Punktabweichung
aus dem Flugzeug .

Aufgabe 7. Finden Sie die Entfernung von einem bestimmten Punkt
zu dieser Zeile
.

Lösung. Das Problem wird ähnlich wie das vorherige gelöst.

. Als
, Das

.

Die Konzepte der Abweichung eines Punktes von einer Geraden und der Abweichung eines Punktes von einer Geraden werden auf ähnliche Weise eingeführt.

Definition. Gegeben sei eine beliebige allgemeine Geradengleichung
und ein beliebiger Punkt auf der Ebene
. Nummer

nennt man Punktdiskrepanz
relativ zur Geraden L.

Definition. Größe

Punktabweichung genannt
aus dem Flugzeug .

Wenn wir die Gleichung einer Geraden in die Normalform bringen:

,

, und das Pluszeichen wird verwendet, wenn
und minus, andernfalls hat die Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie die Form:

– Punktabweichung
von der Geraden L.

Aufgabe 8. Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen.

Lösung. 1. Methode. Suchen Sie einen beliebigen Punkt auf einer Ebene und ermitteln Sie den Abstand von diesem zur zweiten Ebene, d. h. Reduzieren Sie dieses Problem auf Problem 6.

2. Methode. Bringen wir beide Gleichungen paralleler Ebenen in die Normalform:

Wo
Und
– Normalenvektoren von Ebenen Und
jeweils,
,
– Abstände vom Ursprung zu den Ebenen Und
jeweils.

Da Normalvektoren Und vom Koordinatenursprung zur Ebene gerichtet sind, dann sind 2 Fälle möglich:

A)
. Die folgende Abbildung zeigt schematisch zwei parallele Ebenen Und
und ihre Einheitsnormalenvektoren, aufgetragen vom Ursprung O.

Hier,
,
– Abstände vom Ursprung zu den entsprechenden Ebenen. Da nicht bekannt ist, welche Ebene näher am Koordinatenursprung liegt, beträgt der Abstand zwischen den Ebenen

B)
. Da Normalvektoren Und vom Koordinatenursprung auf die Ebenen gerichtet und entgegengesetzt sind, dann liegt der Koordinatenursprung zwischen den Ebenen, siehe folgende Abbildung.

Hier, wie im vorherigen Fall,
,
– Abstände vom Ursprung zu den entsprechenden Ebenen. Daraus folgt der Abstand zwischen den Ebenen

Aufgabe 9. Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien.



 

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