Methoden der Integration. Methoden zur Lösung unbestimmter Integrale

Vorlesung 12

1 . Direkte Integration – Berechnung von Integralen anhand einer Tabelle einfacher Integrale, Integrationsregeln und Eigenschaften unbestimmter Integrale.

Beispiel 1. +MIT .

Verwendete Trigonometrieformel: .

Beispiel2.

hier wird eine offensichtliche Transformation des Integranden und anstelle der Integrationsvariablen durchgeführt X der akzeptierte Ausdruck (a–bx), Bezüglich dieser Variablen wird ein tabellarisches Integral erhalten. Diese Technik wird manchmal als „ Fahren » unter dem Differentialzeichen eines Ausdrucks.

Wirklich: .

2 . Variable Ersetzungsmethode . Substitutionsmethode .

Lassen j=f(x), x X . Lassen Sie uns eine neue Variable einführen T , setzen X=(T) , t T, Dann j=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt Und

Nachdem Sie den letzten Ausdruck integriert haben, müssen Sie als Ergebnis zur alten Variablen wechseln.

Diese Methode wird verwendet, wenn der Integrand eine komplexe Funktion ist.

Beispiel. Finden Sie das Integral : .

Lösung.

1. Variablenersetzung: x=t/4 , Dann dx=dt/4.

Ersetzen X Und dx in das ursprüngliche Integral erhalten wir:

= .

2. Auswechslung: 4x = T , Dann dx = dt/4 . Wir bekommen die gleiche Antwort.

3. Methode der partiellen Integration .

Zwischendurch lassen X Gegeben sind zwei stetig differenzierbare Funktionen u(x) Und v(x) .

Schreiben wir den Ausdruck für das Differential ihres Produkts auf:

Integrieren wir die linke und rechte Seite des resultierenden Ausdrucks:

Damit erhalten wir die Formel für die partielle Integration:

Die Methode der partiellen Integration wird für eine ganze Klasse von Integralen verwendet, beispielsweise wenn der Integrand enthält:

1) jede Funktion, die nicht in der Tabelle der einfachen Integrale enthalten ist:

oder sein Produkt durch ein Polynom P(x) :

, .

In diesem Fall z u nehmen bzw. usw. und für dv - Ausdruck P(X)dx ., also eine der Stammfunktionen v lässt sich leicht definieren: ,

(hier sollte bei der Integration die beliebige Konstante weggelassen werden);

2) das Produkt eines Polynoms mit einer trigonometrischen Funktion oder mit einer Exponentialfunktion: .

In diesem Fall z u sollte akzeptiert werden P(x) , und für dv - der Rest des Integranden: exdx, sin xdx, usw.

Der Vorgang der partiellen Integration kann viele Male verwendet werden, was manchmal die Lösung des Problems ermöglicht.

Beispiel 1. Finden Sie das Integral .

Lösung.

Lasst uns ln x = u , dx =dv (Hier P(X) =1 ).

Dann du = D(ln x) =,v = =X - eines der Originale.

Unter Verwendung der partiellen Integrationsformel

wir bekommen:

=xln x – =x ln x – =x ln x – X +C = X(ln x – 1 ) +C .

Beispiel 2.

Finden Sie das Integral .

Lösung.

Lassen X =u (P(x) =X ), =DVD = , v =.

Mit der partiellen Integrationsformel erhalten wir:

=x Sünde x – = x Sünde x + weil x +C .

Beispiel 3. Finden Sie das Integral .

Lösung.

Lasst uns X =u , e x dx =dv .

Dann du =dx , v =ex .

=xe x–=xe x – e x= ex (x – 1) +MIT.

Beispiel 4. Finden Sie das Integral .

Lösung.

Lasst uns X 2 =u , e x dx =dv .

Dann du =2xdx , v =ex .

Mit der partiellen Integrationsformel erhalten wir:

=X 2 ∙e x –2 .

Wenden wir noch einmal die partielle Integration an (siehe Beispiel 3):

x 2 e x–2 = x 2 e X– 2(xe X- ex)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .

4.Methode mit unsicheren Koeffizienten

Wird zur Integration rationaler Funktionen verwendet

wobei und Polynome sind und der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners (eigentlicher Bruch) ist, kann ein unechter Bruch auf die Summe eines bestimmten Polynoms und eines echten Bruchs reduziert werden, indem ein Polynom durch ein Polynom dividiert wird.

Nach einem Satz der Algebra jedes Polynom mit Grad N mit einem führenden Koeffizienten gleich eins und reellen unterschiedlichen Wurzeln x 1 ,x 2 , ..., x n kann wie folgt dargestellt werden:

Q(X )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – xn ).

Dann kann der echte Bruch in einfachere Brüche zerlegt und geschrieben werden:

Wo Eine 1 ,Eine 2 , ...,Ein – einige Zahlen (undefinierte Koeffizienten).

Reduzieren der rechten Seite des Ausdrucks auf einen gemeinsamen Nenner und anschließendes Gleichsetzen der Koeffizienten mit denselben Potenzen X im Zähler der linken und rechten Seite erhalten wir ein Gleichungssystem zur Bestimmung unbekannter Koeffizienten Eine 1,Eine 2, ...,Ein .

Danach reduziert sich die Integration der rationalen Funktion auf das Finden N Integrale der Form:

Beispiel. Finden Sie das Integral .

Lösung. Der Integrand ist ein echter Bruch; zerlegen wir ihn in einfachere Brüche.

Der Nenner hat reale, unterschiedliche Wurzeln: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Somit , x3–4x= X(x–2)(X+2 ) ,

Komplexe Integrale

Dieser Artikel schließt das Thema der unbestimmten Integrale ab und enthält Integrale, die ich recht komplex finde. Die Lektion entstand auf wiederholten Wunsch von Besuchern, die den Wunsch geäußert hatten, dass schwierigere Beispiele auf der Website analysiert würden.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser dieses Textes gut vorbereitet ist und grundlegende Integrationstechniken anwenden kann. Dummies und Leute, die sich mit Integralen nicht so sicher auskennen, sollten sich auf die allererste Lektion beziehen – Unbestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen, wo Sie das Thema fast von Grund auf beherrschen können. Erfahrenere Studierende können sich mit Techniken und Methoden der Integration vertraut machen, die in meinen Artikeln noch nicht begegnet sind.

Welche Integrale werden berücksichtigt?

Zunächst betrachten wir Integrale mit Wurzeln, zu deren Lösung wir nacheinander verwenden Variablenersatz Und Integration in Teilstücken. Das heißt, in einem Beispiel werden zwei Techniken gleichzeitig kombiniert. Und noch mehr.

Dann lernen wir Interessantes und Originelles kennen Methode, das Integral auf sich selbst zu reduzieren. Auf diese Weise werden zahlreiche Integrale gelöst.

In der dritten Ausgabe des Programms geht es um Integrale aus komplexen Brüchen, die in früheren Artikeln an der Kasse vorbeiflogen.

Viertens werden zusätzliche Integrale aus trigonometrischen Funktionen analysiert. Insbesondere gibt es Methoden, die eine zeitaufwändige universelle trigonometrische Substitution vermeiden.

(2) Im Integranden dividieren wir Term für Term den Zähler durch den Nenner.

(3) Wir nutzen die Linearitätseigenschaft des unbestimmten Integrals. Im letzten Integral sofort Setzen Sie die Funktion unter das Differentialzeichen.

(4) Wir nehmen die restlichen Integrale. Beachten Sie, dass Sie in einem Logarithmus Klammern anstelle eines Moduls verwenden können, da .

(5) Wir führen eine umgekehrte Ersetzung durch, indem wir „te“ aus der direkten Ersetzung ausdrücken:

Masochistische Schüler können die Antwort differenzieren und erhalten den ursprünglichen Integranden, wie ich es gerade getan habe. Nein, nein, ich habe die Prüfung im richtigen Sinne durchgeführt =)

Wie Sie sehen, mussten wir während der Lösung sogar mehr als zwei Lösungsmethoden verwenden, sodass für den Umgang mit solchen Integralen sichere Integrationsfähigkeiten und einiges an Erfahrung erforderlich sind.

In der Praxis ist die Quadratwurzel natürlich häufiger anzutreffen; hier drei Beispiele, wie man sie selbst lösen kann:

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Diese Beispiele sind vom gleichen Typ, daher bezieht sich die vollständige Lösung am Ende des Artikels nur auf Beispiel 2; die Beispiele 3-4 haben die gleichen Antworten. Welcher Ersatz zu Beginn der Entscheidungen verwendet werden soll, liegt meiner Meinung nach auf der Hand. Warum habe ich Beispiele des gleichen Typs ausgewählt? Oft in ihrer Rolle anzutreffen. Vielleicht öfter, nur so etwas wie .

Aber nicht immer, wenn es unter den Arcustangens-, Sinus-, Cosinus-, Exponential- und anderen Funktionen eine Wurzel einer linearen Funktion gibt, müssen Sie mehrere Methoden gleichzeitig anwenden. In einer Reihe von Fällen ist es möglich, „einfach davonzukommen“, d. h. unmittelbar nach dem Ersetzen erhält man ein einfaches Integral, das leicht genommen werden kann. Die einfachste der oben vorgeschlagenen Aufgaben ist Beispiel 4, bei dem nach dem Ersetzen ein relativ einfaches Integral erhalten wird.

Indem man das Integral auf sich selbst reduziert

Eine witzige und schöne Methode. Werfen wir einen Blick auf die Klassiker des Genres:

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

Unter der Wurzel befindet sich ein quadratisches Binomial, und der Versuch, dieses Beispiel zu integrieren, kann der Teekanne stundenlang Kopfschmerzen bereiten. Ein solches Integral wird in Teile zerlegt und auf sich selbst reduziert. Im Prinzip ist es nicht schwierig. Wenn Sie wissen wie.

Bezeichnen wir das betrachtete Integral mit einem lateinischen Buchstaben und beginnen wir mit der Lösung:

Lassen Sie uns nach Teilen integrieren:

(1) Bereiten Sie die Integrandenfunktion für die Term-für-Term-Division vor.

(2) Wir dividieren die Integrandenfunktion Term für Term. Es ist vielleicht nicht jedem klar, aber ich beschreibe es genauer:

(3) Wir nutzen die Linearitätseigenschaft des unbestimmten Integrals.

(4) Nehmen Sie das letzte Integral („langer“ Logarithmus).

Schauen wir uns nun den Anfang der Lösung an:

Und zum Schluss:

Was ist passiert? Durch unsere Manipulationen wurde das Integral auf sich selbst reduziert!

Setzen wir Anfang und Ende gleich:

Mit Vorzeichenwechsel nach links wechseln:

Und wir verschieben die beiden auf die rechte Seite. Ergebend:

Die Konstante hätte streng genommen früher hinzugefügt werden sollen, aber ich habe sie am Ende hinzugefügt. Ich empfehle dringend, hier zu lesen, was die Strenge ist:

Notiz: Genauer gesagt sieht die letzte Stufe der Lösung so aus:

Auf diese Weise:

Die Konstante kann durch umbenannt werden. Warum kann es umbenannt werden? Weil er es immer noch akzeptiert beliebig Werte, und in diesem Sinne gibt es keinen Unterschied zwischen Konstanten und.
Ergebend:

Ein ähnlicher Trick mit ständiger Neunotierung wird häufig verwendet Differentialgleichung. Und da werde ich streng sein. Und hier lasse ich solche Freiheiten nur zu, um Sie nicht mit unnötigen Dingen zu verwirren und die Aufmerksamkeit genau auf die Integrationsmethode selbst zu lenken.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ein weiteres typisches Integral für unabhängige Lösungen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es wird einen Unterschied zur Antwort im vorherigen Beispiel geben!

Steht unter der Quadratwurzel ein Quadrattrinom, dann läuft die Lösung auf jeden Fall auf zwei analysierte Beispiele hinaus.

Betrachten Sie zum Beispiel das Integral . Alles, was Sie tun müssen, ist zuerst Wähle ein vollständiges Quadrat aus:
.
Als nächstes wird eine lineare Ersetzung durchgeführt, die „ohne Konsequenzen“ auskommt:
, was zum Integral führt. Etwas Vertrautes, oder?

Oder dieses Beispiel mit einem quadratischen Binomial:
Wählen Sie ein vollständiges Quadrat aus:
Und nach linearer Ersetzung erhalten wir das Integral, das ebenfalls mit dem bereits besprochenen Algorithmus gelöst wird.

Schauen wir uns zwei weitere typische Beispiele an, wie man ein Integral auf sich selbst reduziert:
– Integral der Exponentialfunktion multipliziert mit dem Sinus;
– Integral der Exponentialfunktion multipliziert mit dem Kosinus.

Bei den aufgelisteten Integralen nach Teilen müssen Sie zweimal integrieren:

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral

Der Integrand ist die Exponentialfunktion multipliziert mit dem Sinus.

Wir integrieren zweimal partiell und reduzieren das Integral auf sich selbst:

Durch die doppelte partielle Integration wurde das Integral auf sich selbst reduziert. Wir setzen Anfang und Ende der Lösung gleich:

Wir verschieben es mit einem Vorzeichenwechsel auf die linke Seite und drücken unser Integral aus:

Bereit. Gleichzeitig empfiehlt es sich, die rechte Seite zu kämmen, d.h. Nehmen Sie den Exponenten aus den Klammern und setzen Sie Sinus und Cosinus in einer „schönen“ Reihenfolge in Klammern.

Kehren wir nun zum Anfang des Beispiels zurück, genauer gesagt zur partiellen Integration:

Wir haben den Exponenten als bezeichnet. Es stellt sich die Frage: Ist es der Exponent, der immer mit bezeichnet werden sollte? Nicht unbedingt. Tatsächlich im betrachteten Integral grundsätzlich egal, was meinen wir damit, wir hätten auch in die andere Richtung gehen können:

Warum ist das möglich? Da sich die Exponentialfunktion in sich selbst umwandelt (sowohl bei der Differentiation als auch bei der Integration), verwandeln sich Sinus und Cosinus gegenseitig ineinander (wiederum sowohl bei der Differentiation als auch bei der Integration).

Das heißt, wir können auch eine trigonometrische Funktion bezeichnen. Im betrachteten Beispiel ist dies jedoch weniger rational, da Brüche auftreten. Wenn Sie möchten, können Sie versuchen, dieses Beispiel mit der zweiten Methode zu lösen; die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bevor Sie sich entscheiden, überlegen Sie, was in diesem Fall vorteilhafter ist: eine Exponentialfunktion oder eine trigonometrische Funktion. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und vergessen Sie natürlich nicht, dass die meisten Antworten in dieser Lektion recht einfach durch Differenzierung zu überprüfen sind!

Die betrachteten Beispiele waren nicht die komplexesten. In der Praxis kommen Integrale häufiger vor, bei denen die Konstante sowohl im Exponenten als auch im Argument der trigonometrischen Funktion vorkommt, zum Beispiel: . Viele Menschen werden bei einem solchen Integral verwirrt sein, und ich selbst bin oft verwirrt. Tatsache ist, dass die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass Brüche in der Lösung auftauchen und es sehr leicht ist, durch Unachtsamkeit etwas zu verlieren. Darüber hinaus besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit eines Vorzeichenfehlers; beachten Sie, dass der Exponent ein Minuszeichen hat, was zusätzliche Schwierigkeiten mit sich bringt.

Im Endstadium sieht das Ergebnis oft etwa so aus:

Auch am Ende der Lösung sollten Sie äußerst vorsichtig sein und die Brüche richtig verstehen:

Komplexe Brüche integrieren

Wir nähern uns langsam dem Äquator der Lektion und beginnen, Integrale von Brüchen zu betrachten. Auch hier sind nicht alle besonders komplex, nur waren die Beispiele aus dem einen oder anderen Grund in anderen Artikeln etwas „off-topic“.

Fortsetzung des Themas Wurzeln

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral

Im Nenner unter der Wurzel befindet sich ein quadratisches Trinom plus ein „Anhängsel“ in Form eines „X“ außerhalb der Wurzel. Ein solches Integral kann durch eine Standardsubstitution gelöst werden.

Wir entscheiden:

Der Austausch ist hier einfach:

Schauen wir uns das Leben nach dem Austausch an:

(1) Nach der Substitution bringen wir die Terme unter der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner zurück.
(2) Wir nehmen es unter der Wurzel hervor.
(3) Zähler und Nenner werden um reduziert. Gleichzeitig habe ich unter dem Stamm die Begriffe in einer praktischen Reihenfolge neu angeordnet. Mit etwas Erfahrung können die Schritte (1), (2) übersprungen und die kommentierten Aktionen mündlich ausgeführt werden.
(4) Das resultierende Integral, wie Sie sich aus der Lektion erinnern Einige Brüche integrieren, wird entschieden vollständige quadratische Extraktionsmethode. Wählen Sie ein vollständiges Quadrat aus.
(5) Durch Integration erhalten wir einen gewöhnlichen „langen“ Logarithmus.
(6) Wir führen den umgekehrten Ersatz durch. Wenn zunächst , dann zurück: .
(7) Die letzte Aktion zielt darauf ab, das Ergebnis zu begradigen: Unter der Wurzel bringen wir die Begriffe wieder auf einen gemeinsamen Nenner und nehmen sie unter der Wurzel heraus.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Hier wird dem einzelnen „X“ eine Konstante hinzugefügt, und die Ersetzung ist fast die gleiche:

Das einzige, was Sie zusätzlich tun müssen, ist das „x“ der durchgeführten Ersetzung auszudrücken:

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Manchmal kann in einem solchen Integral ein quadratisches Binomial unter der Wurzel stehen, dies ändert nichts an der Lösungsmethode, es wird sogar noch einfacher. Fühle den Unterschied:

Beispiel 11

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 12

Finden Sie das unbestimmte Integral

Kurze Lösungen und Antworten am Ende der Lektion. Es ist zu beachten, dass Beispiel 11 genau ist Binomialintegral, dessen Lösungsmethode im Unterricht besprochen wurde Integrale irrationaler Funktionen.

Integral eines unzerlegbaren Polynoms 2. Grades hoch

(Polynom im Nenner)

Eine seltenere Art von Integral, die aber dennoch in praktischen Beispielen anzutreffen ist.

Beispiel 13

Finden Sie das unbestimmte Integral

Aber kehren wir zum Beispiel mit der Glückszahl 13 zurück (ich habe ehrlich gesagt nicht richtig geraten). Dieses Integral ist auch eines von denen, die ziemlich frustrierend sein können, wenn man nicht weiß, wie man es löst.

Die Lösung beginnt mit einer künstlichen Transformation:

Ich denke, jeder versteht bereits, wie man den Zähler durch den Nenner Term für Term dividiert.

Das resultierende Integral wird in Teilen genommen:

Für ein Integral der Form ( – natürliche Zahl) leiten wir ab wiederkehrend Reduktionsformel:
, Wo – Integral einer Stufe niedriger.

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel für das gelöste Integral überprüfen.
In diesem Fall: , , verwenden wir die Formel:

Wie Sie sehen, sind die Antworten die gleichen.

Beispiel 14

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Beispiellösung verwendet die obige Formel zweimal hintereinander.

Wenn unter dem Abschluss liegt unteilbar Quadratisches Trinom, dann wird die Lösung auf ein Binomial reduziert, indem das perfekte Quadrat isoliert wird, zum Beispiel:

Was ist, wenn im Zähler ein zusätzliches Polynom vorhanden ist? In diesem Fall wird die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwendet und der Integrand in eine Summe von Brüchen entwickelt. Aber in meiner Praxis gibt es ein solches Beispiel nie getroffen, daher habe ich diesen Fall im Artikel übersehen Integrale gebrochenrationaler Funktionen, ich werde es jetzt überspringen. Wenn Sie dennoch auf ein solches Integral stoßen, schauen Sie sich das Lehrbuch an – dort ist alles einfach. Ich halte es nicht für ratsam, Material (auch nicht einfaches) einzubeziehen, da die Wahrscheinlichkeit, darauf zu stoßen, gegen Null geht.

Integration komplexer trigonometrischer Funktionen

Das Adjektiv „kompliziert“ ist für die meisten Beispiele wiederum weitgehend bedingt. Beginnen wir mit Tangenten und Kotangenten in hohen Potenzen. Aus der Sicht der verwendeten Lösungsmethoden sind Tangens und Kotangens fast dasselbe, daher werde ich mehr auf Tangens eingehen, was bedeutet, dass die demonstrierte Methode zur Lösung des Integrals auch für Kotangens gilt.

In der obigen Lektion haben wir uns das angeschaut universelle trigonometrische Substitution zur Lösung einer bestimmten Art von Integralen trigonometrischer Funktionen. Der Nachteil der universellen trigonometrischen Substitution besteht darin, dass ihre Verwendung häufig zu umständlichen Integralen mit schwierigen Berechnungen führt. Und in manchen Fällen kann eine universelle trigonometrische Substitution vermieden werden!

Betrachten wir ein weiteres kanonisches Beispiel, das Integral von Eins dividiert durch den Sinus:

Beispiel 17

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hier können Sie die universelle trigonometrische Substitution verwenden und die Antwort erhalten, aber es gibt einen rationaleren Weg. Ich werde die vollständige Lösung mit Kommentaren zu jedem Schritt bereitstellen:

(1) Wir verwenden die trigonometrische Formel für den Sinus eines Doppelwinkels.
(2) Wir führen eine künstliche Transformation durch: Im Nenner dividieren und mit multiplizieren.
(3) Mit der bekannten Formel im Nenner wandeln wir den Bruch in einen Tangens um.
(4) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(5) Bilden Sie das Integral.

Ein paar einfache Beispiele, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 18

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hinweis: Der allererste Schritt sollte darin bestehen, die Reduktionsformel zu verwenden und führen Sie sorgfältig Aktionen aus, die dem vorherigen Beispiel ähneln.

Beispiel 19

Finden Sie das unbestimmte Integral

Nun, das ist ein sehr einfaches Beispiel.

Vollständige Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Ich denke, jetzt wird niemand mehr Probleme mit Integralen haben:
usw.

Was ist die Idee der Methode? Die Idee besteht darin, Transformationen und trigonometrische Formeln zu verwenden, um nur Tangenten und die Tangentenableitung in den Integranden zu organisieren. Das heißt, wir sprechen über das Ersetzen von: . In den Beispielen 17–19 haben wir diese Ersetzung tatsächlich verwendet, aber die Integrale waren so einfach, dass wir mit einer äquivalenten Aktion auskamen – der Subsumierung der Funktion unter dem Differentialzeichen.

Ähnliche Überlegungen lassen sich, wie bereits erwähnt, auch für den Kotangens anstellen.

Für die Inanspruchnahme der oben genannten Ersetzung besteht außerdem eine formelle Voraussetzung:

Die Summe der Potenzen von Kosinus und Sinus ist eine negative ganze GERADE Zahl, Zum Beispiel:

für das Integral – eine negative ganze Zahl GERADE.

! Notiz : Wenn der Integrand NUR einen Sinus oder NUR einen Kosinus enthält, dann wird das Integral auch für einen negativen ungeraden Grad angenommen (die einfachsten Fälle finden sich in den Beispielen Nr. 17, 18).

Schauen wir uns ein paar sinnvollere Aufgaben an, die auf dieser Regel basieren:

Beispiel 20

Finden Sie das unbestimmte Integral

Die Summe der Potenzen von Sinus und Cosinus: 2 – 6 = –4 ist eine negative ganze GERADE Zahl, was bedeutet, dass das Integral auf Tangenten und seine Ableitung reduziert werden kann:

(1) Lassen Sie uns den Nenner transformieren.
(2) Mit der bekannten Formel erhalten wir .
(3) Lassen Sie uns den Nenner transformieren.
(4) Wir verwenden die Formel .
(5) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(6) Wir leisten Ersatzlieferung. Erfahrenere Schüler führen die Ersetzung möglicherweise nicht durch, dennoch ist es besser, die Tangente durch einen Buchstaben zu ersetzen – die Gefahr einer Verwechslung ist geringer.

Beispiel 21

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Bleiben Sie dran, die Meisterschaftsrunden beginnen gleich =)

Oftmals enthält der Integrand ein „Durcheinander“:

Beispiel 22

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dieses Integral enthält zunächst eine Tangente, die sofort zu einem bereits bekannten Gedanken führt:

Die künstliche Transformation ganz am Anfang und die restlichen Schritte lasse ich kommentarlos, da oben bereits alles besprochen wurde.

Ein paar kreative Beispiele für Ihre eigene Lösung:

Beispiel 23

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 24

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ja, in ihnen können Sie natürlich die Potenzen von Sinus und Cosinus verringern und eine universelle trigonometrische Substitution verwenden, aber die Lösung wird viel effizienter und kürzer sein, wenn sie über Tangenten durchgeführt wird. Vollständige Lösung und Antworten am Ende der Lektion

Eine Funktion F(x), die in einem gegebenen Intervall X differenzierbar ist, wird aufgerufen Stammfunktion der Funktion f(x) oder das Integral von f(x), wenn für jedes x ∈X die folgende Gleichung gilt:

F " (x) = f(x). (8.1)

Das Finden aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion wird als it bezeichnet Integration. Unbestimmte Integralfunktion f(x) auf einem gegebenen Intervall X ist die Menge aller Stammfunktionen für die Funktion f(x); Bezeichnung -

Wenn F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x) ist, dann ist ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

wobei C eine beliebige Konstante ist.

Tabelle der Integrale

Direkt aus der Definition erhalten wir die Haupteigenschaften des unbestimmten Integrals und die Liste der tabellarischen Integrale:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Liste tabellarischer Integrale

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Variablenersatz

Um viele Funktionen zu integrieren, verwenden Sie die Variablenersetzungsmethode oder Auswechslungen, So können Sie Integrale auf Tabellenform reduzieren.

Wenn die Funktion f(z) auf [α,β] stetig ist, die Funktion z =g(x) eine stetige Ableitung hat und α ≤ g(x) ≤ β, dann

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Außerdem sollte nach der Integration auf der rechten Seite die Substitution z=g(x) erfolgen.

Um dies zu beweisen, reicht es aus, das ursprüngliche Integral in der Form zu schreiben:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Zum Beispiel:

Methode der partiellen Integration

Seien u = f(x) und v = g(x) Funktionen mit stetiger Funktion. Dann, je nach Arbeit,

d(uv))= udv + vdu oder udv = d(uv) - vdu.

Für den Ausdruck d(uv) wird die Stammfunktion offensichtlich uv sein, daher gilt die Formel:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Diese Formel drückt die Regel aus Integration in Teilstücken. Es führt die Integration des Ausdrucks udv=uv"dx zur Integration des Ausdrucks vdu=vu"dx.

Angenommen, Sie möchten ∫xcosx dx finden. Setzen wir u = x, dv = cosxdx, also du=dx, v=sinx. Dann

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Die Regel der partiellen Integration hat einen begrenzteren Anwendungsbereich als die Substitution von Variablen. Es gibt aber ganze Klassen von Integralen, zum Beispiel

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax und andere, die durch partielle Integration präzise berechnet werden.

Bestimmtes Integral

Der Begriff eines bestimmten Integrals wird wie folgt eingeführt. Es sei eine Funktion f(x) auf einem Intervall definiert. Teilen wir das Segment [a,b] in N Teile durch Punkte ein= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Man nennt eine Summe der Form f(ξ i)Δ x i Integralsumme, und sein Grenzwert bei λ = maxΔx i → 0, falls er existiert und endlich ist, heißt bestimmtes Integral Funktionen f(x) von A Vor B und trägt die Bezeichnung:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Die Funktion f(x) heißt in diesem Fall auf dem Intervall integrierbar, Zahlen a und b heißen untere und obere Grenze des Integrals.

Die folgenden Eigenschaften gelten für ein bestimmtes Integral:

4), (k = const, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Die letzte Eigenschaft wird aufgerufen Mittelwertsatz.

Sei f(x) stetig auf . Dann gibt es auf diesem Segment ein unbestimmtes Integral

∫f(x)dx = F(x) + C

und findet statt Newton-Leibniz-Formel, das bestimmte Integral mit dem unbestimmten Integral verbinden:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrische Interpretation: Das bestimmte Integral ist die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das von oben durch die Kurve y=f(x), die Geraden x = a und x = b und ein Achsensegment begrenzt wird Ochse.

Uneigentliche Integrale

Man nennt Integrale mit unendlichen Grenzen und Integrale diskontinuierlicher (unbeschränkter) Funktionen nicht dein eigenes. Uneigentliche Integrale erster Art - Dies sind Integrale über ein unendliches Intervall, das wie folgt definiert ist:

(8.7)

Wenn dieser Grenzwert existiert und endlich ist, heißt er konvergentes uneigentliches Integral von f(x) auf dem Intervall [a,+ ∞) und die Funktion f(x) wird aufgerufen über ein unendliches Intervall integrierbar[a,+ ∞). Ansonsten heißt das Integral existiert nicht oder weicht ab.

Uneigentliche Integrale auf den Intervallen (-∞,b] und (-∞, + ∞) werden ähnlich definiert:

Definieren wir den Begriff eines Integrals einer unbeschränkten Funktion. Wenn f(x) für alle Werte stetig ist X Segment, mit Ausnahme des Punktes c, an dem f(x) dann eine unendliche Diskontinuität hat uneigentliches Integral der zweiten Art von f(x) von a bis b reichen der Betrag heißt:

wenn diese Grenzen existieren und endlich sind. Bezeichnung:

Beispiele für Integralrechnungen

Beispiel 3.30. Berechnen Sie ∫dx/(x+2).

Lösung. Bezeichnen wir t = x+2, dann dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Beispiel 3.31. Finden Sie ∫ tgxdx.

Lösung.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Sei t=cosx, dann ist ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Beispiel3.32 . Finden Sie ∫dx/sinx

Lösung.

Beispiel3.33. Finden .

Lösung. = .

Beispiel3.34 . Finden Sie ∫arctgxdx.

Lösung. Lassen Sie uns nach Teilen integrieren. Bezeichnen wir u=arctgx, dv=dx. Dann ist du = dx/(x 2 +1), v=x, woraus ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; als
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Beispiel3.35 . Berechnen Sie ∫lnxdx.

Lösung. Unter Anwendung der partiellen Integrationsformel erhalten wir:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Dann ist ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Beispiel3.36 . Berechnen Sie ∫e x sinxdx.

Lösung. Bezeichnen wir u = e x, dv = sinxdx, dann du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Wir integrieren auch das Integral ∫e x cosxdx nach Teilen: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Wir haben:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Wir haben die Beziehung ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx erhalten, woraus 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Beispiel 3.37. Berechnen Sie J = ∫cos(lnx)dx/x.

Lösung. Da dx/x = dlnx, dann J= ∫cos(lnx)d(lnx). Wenn wir lnx durch t ersetzen, erhalten wir das Tabellenintegral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Beispiel 3.38 . Berechnen Sie J = .

Lösung. Unter Berücksichtigung von = d(lnx) ersetzen wir lnx = t. Dann ist J = .

Beispiel 3.39 . Berechnen Sie das Integral J = .

Lösung. Wir haben: . Deshalb =
=
=. eingegeben wie folgt: sqrt(tan(x/2)).

Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Um dieses Integral zu berechnen, müssen wir es, wenn möglich, mit der einen oder anderen Methode auf ein tabellarisches Integral reduzieren und so das gewünschte Ergebnis finden. In unserem Kurs werden wir nur einige der gängigsten Integrationstechniken betrachten und ihre Anwendung anhand der einfachsten Beispiele zeigen.

Die wichtigsten Integrationsmethoden sind:
1) direkte Integrationsmethode (Erweiterungsmethode),
2) Substitutionsmethode (Methode zur Einführung einer neuen Variablen),
3) Methode der partiellen Integration.

I. Direkte Integrationsmethode

Das Problem, unbestimmte Integrale vieler Funktionen zu finden, wird gelöst, indem man sie auf eines der Tabellenintegrale reduziert.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Beispiel 3. ∫sin 2 xdx

Da sin 2 x=(1-cos2x), dann
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Beispiel 4. ∫sinxcos3xdx

Da sinxcos3x=(sin4x-sin2x) gilt, haben wir
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Beispiel 5. Finden Sie das unbestimmte Integral: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Beispiel 6.

II. Substitutionsmethode (Integration durch Variablenänderung)

Wenn die Funktion x=φ(t) eine stetige Ableitung hat, dann können Sie in einem gegebenen unbestimmten Integral ∫f(x)dx immer zu einer neuen Variablen t gehen, indem Sie die Formel verwenden

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Suchen Sie dann das Integral auf der rechten Seite und kehren Sie zur ursprünglichen Variablen zurück. In diesem Fall kann sich herausstellen, dass das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung einfacher oder sogar tabellarisch ist als das Integral auf der linken Seite dieser Gleichung. Diese Methode zur Bestimmung des Integrals wird als Variablenänderungsmethode bezeichnet.

Beispiel 7. ∫x√x-5dx

Um die Wurzel loszuwerden, setzen wir √x-5=t. Daher x=t 2 +5 und daher dx=2tdt. Bei der Ersetzung haben wir stets Folgendes:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Beispiel 8.

Seitdem haben wir

Beispiel 9.

Beispiel 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Verwenden wir die Substitution -x 3 =t. Dann gilt -3x 2 dx=dt und ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Beispiel 11.

Wenden wir die Substitution 1+sinx=t , dann cosxdx=dt und an

III. Methode der partiellen Integration

Die Methode der partiellen Integration basiert auf der folgenden Formel:

∫udv=uv-∫vdu

wobei u(x),v(x) stetig differenzierbare Funktionen sind. Die Formel wird als Teileintegrationsformel bezeichnet. Diese Formel zeigt, dass das Integral ∫udv zum Integral ∫vdu führt, das möglicherweise einfacher als das Original oder sogar tabellarisch ist.

Beispiel 12. Finden Sie das unbestimmte Integral ∫xe -2x dx

Direkte Integration

Grundlegende Integrationsformeln

1. C – konstant	1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Die Berechnung von Integralen durch direkte Verwendung der Tabelle der einfachen Integrale und der Grundeigenschaften unbestimmter Integrale wird aufgerufen direkte Integration.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

Beispiel 3.

Dies ist die gebräuchlichste Methode zur Integration einer komplexen Funktion und besteht darin, das Integral durch Verschieben in eine andere Integrationsvariable umzuwandeln.

Wenn es schwierig ist, das Integral durch elementare Transformationen auf ein tabellarisches zu reduzieren, wird in diesem Fall die Substitutionsmethode verwendet. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass durch die Einführung einer neuen Variablen dieses Integral auf ein neues Integral reduziert werden kann, das relativ einfach direkt genommen werden kann.

Für die Integration nach der Substitutionsmethode verwenden Sie das Lösungsschema:

2) Finden Sie das Differential aus beiden Ersatzteilen;

3) den gesamten Integranden durch eine neue Variable ausdrücken (danach sollte ein Tabellenintegral erhalten werden);

4) Finden Sie das resultierende Tabellenintegral;

5) Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Finden Sie die Integrale:

Beispiel 1 . Auswechslung:cosx=t,-sinxdx=dt,

Lösung:

Beispiel 2.∫e -x3 x 2 dx Auswechslung:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Lösung:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Beispiel 3.Auswechslung: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Lösung: .

ABSCHNITT 1.5. Bestimmtes Integral, Methoden zu seiner Berechnung.

Punkt 1 Das Konzept eines bestimmten Integrals

Aufgabe. Finden Sie das Inkrement einer Funktion, die Stammfunktion einer Funktion ist f(x), wenn das Argument übergeben wird X vom Wert A schätzen B.

Lösung. Nehmen wir an, dass die Integration Folgendes gefunden hat: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Dann F(x)+C 1, Wo C 1- Jede gegebene Zahl ist eine der Stammfunktionen dieser Funktion f(x). Lassen Sie uns sein Inkrement ermitteln, wenn sich das Argument vom Wert entfernt A schätzen B. Wir bekommen:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Wie wir sehen, im Ausdruck für das Inkrement der Stammfunktion F(x)+C 1 kein konstanter Wert C 1. Und seit unter C 1 Wenn eine beliebige Zahl impliziert wurde, führt das erhaltene Ergebnis zu folgender Schlussfolgerung: zum Argumentübergang X vom Wert x=a schätzen x=b alle Funktionen F(x)+C, Stammfunktionen für eine gegebene Funktion f(x), haben das gleiche Inkrement gleich F(b)-F(a).

Dieses Inkrement wird üblicherweise als bestimmtes Integral bezeichnet und mit dem Symbol bezeichnet: und lauten: Integral von A Vor B aus der Funktion f(x) über dx oder, kurz gesagt, dem Integral von A Vor B aus f(x)dx.

Nummer A angerufen untere Grenze Integration, Zahl B - Spitze; Segment a ≤ x ≤ b – Segment der Integration. Es wird angenommen, dass es sich um eine Integrandenfunktion handelt f(x) stetig für alle Werte X, die die Bedingungen erfüllen: A X B

Definition. Inkrement der Stammfunktion F(x)+C zum Argumentübergang X vom Wert x=a schätzen x=b, gleich der Differenz F(b)-F(a), heißt bestimmtes Integral und wird mit dem Symbol bezeichnet: also wenn ∫ (x)dx = F(x)+C, dann = F(b)-F(a) - gegeben die Gleichheit wird Newton-Leibniz-Formel genannt.

Punkt 2 Grundeigenschaften des bestimmten Integrals

Alle Eigenschaften werden in dem Satz formuliert, dass die betrachteten Funktionen in den entsprechenden Intervallen integrierbar sind.

Punkt 3 Direkte Berechnung des bestimmten Integrals

Um das bestimmte Integral zu berechnen, verwenden Sie die Newton-Leibniz-Formel, wenn Sie das entsprechende unbestimmte Integral finden können

diese. Das bestimmte Integral ist gleich der Differenz zwischen den Werten einer Stammfunktion an der oberen und unteren Integrationsgrenze.

Diese Formel zeigt das Verfahren zur Berechnung eines bestimmten Integrals:

1) Finden Sie das unbestimmte Integral dieser Funktion;

2) Ersetzen Sie in der resultierenden Stammfunktion zunächst die obere und dann die untere Grenze des Integrals anstelle des Arguments.

3) Subtrahieren Sie das Ergebnis der Ersetzung der Untergrenze vom Ergebnis der Ersetzung der Obergrenze.

Beispiel 1: Berechnen Sie das Integral:

Beispiel 2: Berechnen Sie das Integral:

S.4 Berechnung eines bestimmten Integrals durch Substitutionsmethode

Die Berechnung des bestimmten Integrals nach der Substitutionsmethode ist wie folgt:

1) einen Teil des Integranden durch eine neue Variable ersetzen;

2) neue Grenzen des bestimmten Integrals finden;

3) Finden Sie das Differential beider Ersatzteile.

4) den gesamten Integranden durch eine neue Variable ausdrücken (danach sollte ein Tabellenintegral erhalten werden); 5) Berechnen Sie das resultierende bestimmte Integral.

Beispiel 1: Berechnen Sie das Integral:

Auswechslung: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

ABSCHNITT 1.6. Geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals.

Fläche eines gebogenen Trapezes:

Es ist bekannt, dass ein bestimmtes Integral auf einem Segment die Fläche eines krummlinigen Trapezes darstellt, das durch den Graphen der Funktion f(x) begrenzt wird.

Die Fläche einer Figur, die durch bestimmte Linien begrenzt wird, kann mithilfe bestimmter Integrale ermittelt werden, wenn die Gleichungen dieser Linien bekannt sind.

Lassen Sie das Segment [a; b] Gegeben ist eine stetige Funktion y = ƒ(x) ≥ 0. Finden wir die Fläche dieses Trapezes.

Fläche der Figur, begrenzt durch Achse 0 X, zwei vertikale Geraden x = a, x = b und der Graph der Funktion y = ƒ(x) (Abbildung), bestimmt durch die Formel:

Dies ist die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Beispiel 1: Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung y=0 die Ox-Achse definiert).

Antwort: S = 9 Einheiten 2

Beispiel 2: Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y= - e x, x=1 und Koordinatenachsen.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung.
Wenn ein gebogenes Trapez vollständig unter der Ox-Achse gelegen, dann kann seine Fläche mit der Formel ermittelt werden:

In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Aus diesem Grund erscheint in der gerade besprochenen Formel das Minus.

ABSCHNITT 1.7. Anwendung des bestimmten Integrals

S.1 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Wenn ein gekrümmtes Trapez an die Ox-Achse angrenzt und gerade Linien y=a, y=b und der Graph der Funktion sind y= F(x) (Abb. 1), dann wird das Volumen des Rotationskörpers durch eine Formel bestimmt, die ein Integral enthält.

Das Volumen des Rotationskörpers ist gleich:

Beispiel:

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch die Rotationsfläche der Linie um die Ox-Achse bei 0 ≤ x ≤ 4 begrenzt wird.

Lösung: V

Einheiten 3. Antwort: Einheit 3.

ABSCHNITT 3.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Punkt 1 Das Konzept einer Differentialgleichung

Definition. Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion einer Menge von Variablen und deren Ableitungen enthält.

Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist =0, wobei F eine bekannte Funktion ihrer Argumente ist, spezifiziert in einem festen Bereich; x – unabhängige Variable (Variable, nach der differenziert wird); y – abhängige Variable (diejenige, von der Ableitungen vorgenommen werden und die zu bestimmen ist); - Ableitung der abhängigen Variablen y nach der unabhängigen Variablen x.

Punkt 2 Grundbegriffe der Differentialgleichung

In Ordnung einer Differentialgleichung nennt man die Ordnung der darin enthaltenen höchsten Ableitung.

Zum Beispiel:

Eine Gleichung zweiter Ordnung ist eine Gleichung erster Ordnung.

Jede Funktion, die Variablen verbindet und eine Differentialgleichung in eine echte Gleichheit umwandelt, wird aufgerufen Entscheidung Differentialgleichung.

Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Funktion von und eine beliebige Konstante C, die diese Gleichung in eine Identität umwandelt.

Die allgemeine Lösung, geschrieben in der impliziten Form =0, heißt allgemeines Integral.

Private Entscheidung Gleichung =0 ist eine Lösung, die aus der allgemeinen Lösung für einen festen Wert – eine feste Zahl – erhalten wird.

Das Problem, eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung (n= 1,2,3,...) zu finden, die die Anfangsbedingungen der Form erfüllt

angerufen Cauchy-Problem.

Punkt 3 Differentialgleichungen erster Ordnung mit separierbaren Variablen

Eine Differentialgleichung erster Ordnung wird als separierbare Gleichung bezeichnet, wenn sie wie folgt dargestellt werden kann: Wenn . Integrieren wir: .

Um eine Gleichung dieser Art zu lösen, benötigen Sie:

1. Separate Variablen;

2. Finden Sie durch Integration der Gleichung mit getrennten Variablen die allgemeine Lösung dieser Gleichung.

3. Finden Sie eine bestimmte Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt (sofern vorhanden).

Beispiel 1. Löse die Gleichung. Finden Sie eine bestimmte Lösung, die die Bedingung y=4 bei x=-2 erfüllt.

Lösung: Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Durch Integrieren finden wir die allgemeine Lösung der Gleichung: . Um eine einfachere allgemeine Lösung zu erhalten, stellen wir den konstanten Term auf der rechten Seite in der Form C/2 dar. Wir haben oder ist eine allgemeine Lösung. Wenn wir die Werte y=4 und x=-2 in die allgemeine Lösung einsetzen, erhalten wir 16=4+C, woraus C=12.

Eine bestimmte Lösung der Gleichung, die diese Bedingung erfüllt, hat also die Form

Beispiel 2. Finden Sie eine bestimmte Lösung der Gleichung if .

Lösung:, , , , , gemeinsame Entscheidung.

Wir setzen die Werte von x und y in die private Lösung ein: , , private Lösung.

Beispiel 3. Finden Sie die allgemeine Lösung der Gleichung . Lösung: ,, , - gemeinsame Entscheidung.

Punkt 4 Differentialgleichungen höherer Ordnung als die erste

Eine Gleichung der Form oder wird durch doppelte Integration gelöst: , , woher . Durch die Integration dieser Funktion erhalten wir eine neue Funktion von f(x), die wir mit F(x) bezeichnen. Auf diese Weise, ; . Integrieren wir noch einmal: oder y=Ф(x). Wir haben eine allgemeine Lösung der Gleichung erhalten, die zwei beliebige Konstanten und enthält.

Beispiel 1. Löse die Gleichung.

Lösung:, , ,

Beispiel 2. Löse die Gleichung . Lösung: , , .

ABSCHNITT 3.2. Zahlenreihe, ihre Mitglieder

Definition 1.Zahlenreihe heißt ein Ausdruck der Form ++…++…, (1)

Wo , , …, , … - Zahlen, die zu einem bestimmten Zahlensystem gehören.

Somit können wir über echte Serien sprechen R,über komplexe Serien für die C, ich= 1, 2, …, N, ... = =.

Abschnitt 3.3. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik

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