Was ist die hypotenuse des rechtecks. Wie finde ich die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Grundlagen der Geometrie

Ganz am Anfang erinnern wir uns, dass ein Dreieck ein Polyeder ist, das 3 Winkel hat. Wie finde ich die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn andere Dimensionen des Dreiecks bekannt sind?

Anweisung

  1. Die Beinlängen sind bekannt. IN dieser Fall, kann die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Dieser Satz klingt so: Die Summe der Quadrate der Beine ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Daraus folgt, dass zur Berechnung der Länge der Hypotenuse der Wert jedes Beins der Reihe nach quadriert werden muss. Addiere dann die resultierenden Zahlen und ziehe die Quadratwurzel aus dem Gesamtergebnis.
  2. Wie finde ich die Hypotenuse im Dreieck KFB, wenn das Bein (VC) und der angrenzende Winkel bekannt sind? Wir bezeichnen den bekannten Winkel mit α. Eine der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks ist folgende: Das Verhältnis der Länge des Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks zur Länge der Hypotenuse ist gleich dem Kosinus des Winkels zwischen der Hypotenuse und diesem Schenkel. Dies kann wie folgt geschrieben werden: FB=BK*cos(α).
  3. Ein anderes Bein (KF) ist bekannt und hat den gleichen Winkel α, jetzt wird es entgegengesetzt sein. Die Hypotenuse kann auch gefunden werden, indem die gleichen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks angewendet werden. Hier erhalten wir, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks zur Länge seiner Hypotenuse gleich dem Sinus des Winkels gegenüber dem Schenkel ist. Wir schreiben auf: FB=KF*sin(α).
  4. Wie man die Hypotenuse eines Dreiecks findet, wenn darum ein Kreis beschrieben wird, dessen Radius bekannt ist. Aus den Eigenschaften eines Kreises, der ein rechtwinkliges Dreieck umschreibt, ist bekannt, dass ein solcher Kreis einen Mittelpunkt hat, der mit dem Hypotenusenpunkt zusammenfällt, der ihn in zwei Hälften teilt. Mit anderen Worten, der Radius ist gleich der halben Hypotenuse. Und das bedeutet, dass zwei Radien die Hypotenuse bilden: FB=2*R.

Wenn man die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks und den Satz des Pythagoras kennt, ist es sehr einfach, die Länge der Hypotenuse zu berechnen. Wenn es Ihnen immer noch schwer fällt, sich alle Eigenschaften zu merken, lernen Sie einfach fertige Formeln, in die es sehr einfach zu ersetzen ist bekannte Werte um die Länge der Hypotenuse zu berechnen.

Übersetzt von griechisch, Hypotenuse bedeutet „gestreckt“. Stellen Sie sich zum richtigen Verständnis eine Bogensehne vor, die die beiden Enden eines flexiblen Stocks verbindet. Auch hier drin rechtwinkliges Dreieck, die längste Seite, ist die gegenüberliegende Hypotenuse rechter Winkel. Es fungiert als Verbindung der beiden anderen Seiten, die als Beine bezeichnet werden. Um herauszufinden, wie lang diese "Schnur" ist, müssen Sie die Länge der Beine oder den Wert von zwei spitzen Winkeln haben. Durch die Kombination dieser Daten können Sie den gewünschten Wert anhand von Formeln berechnen.

So finden Sie die Hypotenuse nach Beinen

Der einfachste Weg zur Berechnung, wenn Sie den Wert von zwei Beinen kennen (lassen Sie uns ein A, das zweite B bezeichnen). Pythagoras selbst und sein weltberühmter Satz kommen zur Rettung. Sie sagt uns, dass wir, wenn wir die Länge der Beine quadrieren und die berechneten Werte addieren, als Ergebnis den Wert der Länge der Hypotenuse im Quadrat herausfinden. Aus dem Obigen schließen wir: Um den Wert der Hypotenuse zu ermitteln, muss die Quadratwurzel der Gesamtsumme der Quadrate der Beine C \u003d √ (A² + B²) gezogen werden. Beispiel: Bein A \u003d 10 cm, Bein B \u003d 20 cm Die Hypotenuse beträgt 22,36 cm Die Berechnung lautet wie folgt: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √500≈22,36.

So finden Sie die Hypotenuse durch einen Winkel

Etwas schwieriger ist es, die Länge der Hypotenuse durch einen gegebenen Winkel zu berechnen. Wenn Sie die Größe eines der beiden Schenkel kennen (bezeichnen wir A) und die Größe des Winkels (bezeichnen wir α), der ihm gegenüberliegt, dann wird die Größe der Hypotenuse mithilfe der Trigonometrie ermittelt, und zwar des Sinus. Alles, was Sie tun müssen, ist, den Wert des bekannten Beins durch den Sinus des Winkels zu teilen. C=A/sin(α). Beispiel: Die Beinlänge ist A = 30 cm, der Winkel gegenüber ist 45 °, die Hypotenuse ist 42,25 cm Die Berechnung lautet wie folgt: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Größe der Hypotenuse mithilfe des Kosinus zu ermitteln. Es wird verwendet, wenn Sie die Größe des Beins (bezeichnen wir B) und den spitzen Winkel (bezeichnen wir α) kennen, der daran angrenzt. Alles, was Sie tun müssen, ist, den Beinwert durch den Sinus des Winkels zu teilen. С=В/cos(α). Beispiel: Die Länge des Beins ist B = 30 cm, der Winkel gegenüber ihm beträgt 45 °, die Hypotenuse beträgt 42,25 cm. Die Berechnung lautet wie folgt: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

So finden Sie die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks

Jeder Schüler mit Selbstachtung weiß, dass ein Dreieck gleichschenklig ist, vorausgesetzt, dass zwei der drei Seiten einander gleich sind. Diese Seiten werden seitlich genannt, und die verbleibende ist die Basis. Wenn einer der Winkel 90° beträgt, dann haben Sie ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

Die Hypotenuse in einem solchen Dreieck zu finden ist einfach, weil sie mehrere Eigenschaften hat, die helfen werden. Die an die Basis angrenzenden Winkel sind gleich groß, die Gesamtsumme der Winkel beträgt 180°. Das bedeutet, dass der rechte Winkel der Basis gegenüberliegt, was bedeutet, dass die Basis die Hypotenuse ist, die Schenkel die Seiten.

Betrachten Sie ein Beispiel: Bein A \u003d 2 cm, was bedeutet, dass das andere Bein 2 cm lang ist. Daher schreiben wir den Satz des Pythagoras um: C² \u003d 2 * A². Wenn wir die Daten in die Formel einsetzen, erhalten wir den Wert der Hypotenuse gleich 2,83 cm Schlussfolgerung: Wenn eine Seite eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks 2 cm lang ist, beträgt seine Basis 2,83 cm.

Ein Dreieck heißt rechtwinkliges Dreieck, wenn einer seiner Winkel 90° beträgt. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt, und die anderen beiden sind die Beine.

Um den Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden, werden einige Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke verwendet, nämlich: die Tatsache, dass die Summe der spitzen Winkel 90º beträgt, und auch die Tatsache, dass gegenüber dem Schenkel, dessen Länge die Hälfte der Hypotenuse beträgt, ein liegt Winkel gleich 30º.

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Gleichschenkligen Dreiecks

Eine der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks ist, dass zwei seiner Winkel gleich sind. Um die Werte der Winkel eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, müssen Sie Folgendes wissen:

  • Ein rechter Winkel ist 90º.
  • Die Werte der spitzen Winkel werden durch die Formel bestimmt: (180º-90º)/2=45º, d.h. Winkel α und β sind 45º.

Wenn der Wert eines der spitzen Winkel bekannt ist, kann der zweite durch die Formel gefunden werden: β=180º-90º-α oder α=180º-90º-β. Am häufigsten wird dieses Verhältnis verwendet, wenn einer der Winkel 60º oder 30º beträgt.

Schlüssel Konzepte

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180º. Da ein Winkel richtig ist, sind die anderen beiden scharf. Um sie zu finden, müssen Sie Folgendes wissen:


andere Methoden

Die Werte der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks können berechnet werden, indem man den Wert des Medians kennt - eine Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks gezogen wird, und die Höhe - eine gerade Linie, die eine Senkrechte ist vom rechten Winkel zur Hypotenuse. Sei s der Median, der vom rechten Winkel zum Mittelpunkt der Hypotenuse gezogen wird, h sei die Höhe. In diesem Fall stellt sich heraus:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

Zwei Seiten

Wenn die Längen der Hypotenuse und eines der Beine oder zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind, werden trigonometrische Identitäten verwendet, um die Werte spitzer Winkel zu finden:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=Arcos(b/c), β=Arcos(a/c).
  • α=Bogen(a/b), β=Bogen(b/a).
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Anweisung

Wenn Sie die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnen müssen, verwenden Sie den folgenden Algorithmus: - Bestimmen Sie im Dreieck, welche Seiten die Schenkel und welche die Hypotenuse sind. Die beiden Seiten, die einen Winkel von neunzig Grad bilden, sind die Beine, die verbleibende dritte Seite des Dreiecks ist die Hypotenuse. (siehe Abbildung) - Potenzieren Sie jedes Bein dieses Dreiecks mit der zweiten Potenz, dh multiplizieren Sie seinen Wert mit sich selbst. Beispiel 1. Es sei notwendig, die Hypotenuse zu berechnen, wenn ein Bein in einem Dreieck 12 cm und das andere 5 cm lang ist. Erstens sind die Quadrate der Beine: 12 * 12 = 144 cm und 5 * 5 = 25 cm. - Bestimmen Sie als nächstes die Summe der Quadratschenkel. Eine bestimmte Zahl ist ein Quadrat Hypotenuse, also müssen Sie die zweite Potenz der zu findenden Zahl loswerden Länge diese Seite des Dreiecks. Ziehen Sie dazu unter der Quadratwurzel den Wert der Summe der Quadrate der Beine heraus. Beispiel 1. 144+25=169. Die Quadratwurzel von 169 wird 13 sein. Daher die Länge davon Hypotenuse gleich 13 cm.

Eine andere Möglichkeit, die Länge zu berechnen Hypotenuse liegt in der Terminologie des Sinus und Cosinus von Winkeln in einem Dreieck. Per Definition: Der Sinus des Winkels Alpha ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse. Das heißt, wenn man sich die Abbildung ansieht, sündigt a \u003d CB / AB. Daher die Hypotenuse AB \u003d CB / sin a. Beispiel 2. Der Winkel a sei 30 Grad und das gegenüberliegende Bein 4 cm. Sie müssen die Hypotenuse finden. Lösung: AB \u003d 4 cm / Sünde 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm Antwort: Länge Hypotenuse gleich 8cm.

Ein ähnlicher Weg zu finden Hypotenuse aus der Definition des Kosinus eines Winkels. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels und Hypotenuse. Das heißt, cos a \u003d AC / AB, also AB \u003d AC / cos a. Beispiel 3. Im Dreieck ABC ist AB die Hypotenuse, der Winkel BAC ist 60 Grad, das Bein AC ist 2 cm lang. Finde AB.
Lösung: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm Antwort: Die Hypotenuse ist 4 cm lang.

Tipp 2: So finden Sie die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse wird die längste der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck genannt, daher ist es nicht verwunderlich, dass dieses Wort aus dem Griechischen mit „gestreckt“ übersetzt wird. Diese Seite liegt immer gegenüber dem 90°-Winkel, und die Seiten, die diesen Winkel bilden, werden Schenkel genannt. Wenn man die Längen dieser Seiten und die Größe der spitzen Winkel in verschiedenen Kombinationen dieser Werte kennt, kann man auch die Länge der Hypotenuse berechnen.

Anweisung

Wenn die Längen beider Schenkel des Dreiecks (A und B) bekannt sind, dann verwenden Sie vielleicht das berühmteste mathematische Postulat auf unserem Planeten, den Satz des Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse (C) zu bestimmen. Es besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beinlängen ist, woraus folgt, dass Sie die Quadratwurzel der Summe der quadrierten Längen der beiden bekannten Seiten berechnen sollten: C. \u003d √ (A² + B²). Wenn beispielsweise ein Bein 15 Zentimeter und das andere 10 Zentimeter lang ist, dann beträgt die Länge der Hypotenuse ungefähr 18,0277564 Zentimeter, da √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564 .

Kennt man in einem rechtwinkligen Dreieck nur die Länge eines Schenkels (A) sowie den Wert des gegenüberliegenden Winkels (α), so lässt sich die Länge der Hypotenuse (C) mit einem von bestimmen trigonometrische Funktionen- Nebenhöhlen. Teilen Sie dazu die Länge der bekannten Seite durch den Sinus des bekannten Winkels: C=A/sin(α). Wenn beispielsweise die Länge eines der Beine 15 Zentimeter beträgt und der Winkel am gegenüberliegenden Scheitelpunkt des Dreiecks 30 ° beträgt, beträgt die Länge der Hypotenuse 30 Zentimeter, da 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Geometrie ist keine einfache Wissenschaft. Es kann für beide nützlich sein Lehrplan, sowie im wahres Leben. Die Kenntnis vieler Formeln und Theoreme vereinfacht geometrische Berechnungen. Eine der einfachsten Formen in der Geometrie ist das Dreieck. Eine der Sorten von Dreiecken, gleichseitig, hat ihre eigenen Eigenschaften.

Merkmale eines gleichseitigen Dreiecks

Per Definition ist ein Dreieck ein Polyeder, das drei Winkel und drei Seiten hat. Dies ist eine flache zweidimensionale Figur, deren Eigenschaften in der High School untersucht werden. Je nach Winkelart werden spitzwinklige, stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke unterschieden. Ein rechtwinkliges Dreieck ist geometrische Figur wobei einer der Winkel 90º beträgt. Ein solches Dreieck hat zwei Beine (sie bilden einen rechten Winkel) und eine Hypotenuse (sie liegt gegenüber dem rechten Winkel). Je nachdem, welche Mengen bekannt sind, gibt es drei einfache Wege Berechnen Sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der erste Weg ist, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist die älteste Methode, um die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Es klingt so: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten." Um die Hypotenuse zu berechnen, muss man also die Quadratwurzel aus der Summe der beiden Beine im Quadrat ableiten. Zur Verdeutlichung sind Formeln und ein Diagramm angegeben.


Der zweite Weg. Berechnung der Hypotenuse mit 2 bekannten Werten: dem Bein und dem angrenzenden Winkel

Eine der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks besagt, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels zur Länge der Hypotenuse dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Schenkel und der Hypotenuse entspricht. Nennen wir den uns bekannten Winkel α. Nun können wir dank der bekannten Definition leicht eine Formel zur Berechnung der Hypotenuse formulieren: Hypotenuse = leg/cos(α)


Der dritte Weg. Berechnung der Hypotenuse mit 2 bekannten Werten: dem Bein und dem gegenüberliegenden Winkel

Ist der Gegenwinkel bekannt, können die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks wieder genutzt werden. Das Verhältnis von Beinlänge und Hypotenuse entspricht dem Sinus des Gegenwinkels. Rufen wir noch einmal an berühmter Winkel A. Für die Berechnungen wenden wir nun eine etwas andere Formel an:
Hypotenuse = Bein/Sünde (α)


Beispiele zum Verständnis von Formeln

Für ein tieferes Verständnis der einzelnen Formeln sollten Sie anschauliche Beispiele betrachten. Angenommen, ein rechtwinkliges Dreieck ist gegeben, wo solche Daten vorhanden sind:

  • Bein - 8 cm.
  • Der angrenzende Winkel cosα1 beträgt 0,8.
  • Der Gegenwinkel sinα2 beträgt 0,8.

Nach dem Satz des Pythagoras: Hypotenuse \u003d Quadratwurzel von (36 + 64) \u003d 10 cm.
Durch die Größe des Beins und den eingeschlossenen Winkel: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Durch die Größe des Beins und den gegenüberliegenden Winkel: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Nachdem Sie die Formel verstanden haben, können Sie die Hypotenuse mit beliebigen Daten leicht berechnen.


Video: Satz des Pythagoras

 

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