Geometrische Transformationen von Graphen trigonometrischer Funktionen. Graphen trigonometrischer Funktionen, Graphkonvertierung

THEMA: Transformationen von Graphen trigonometrischer Funktionen mit Modul.

ZIEL: Überlegung, Diagramme trigonometrischer Funktionen der Form zu erhalten

j= f(|x|) ;j = | F(X)| .

Entwickeln Sie mathematische Logik und Aufmerksamkeit.

WÄHREND DES UNTERRICHTS:

Org. Moment: Bekanntgabe des Themas, der Ziele und Zielsetzungen des Unterrichts.

Lehrer: Heute müssen wir lernen, wie man Funktionen y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| unter Verwendung unseres Wissens über Transformationen transzendenter Funktionen der Form y = f(|x|) und y = |f(x)| . Sie fragen sich vielleicht: „Wozu dient das?“ Tatsache ist, dass sich in diesem Fall die Eigenschaften der Funktionen ändern, was aber, wie Sie wissen, am besten in der Grafik zu sehen ist.

Erinnern wir uns daran, wie diese Funktionen mithilfe der Definition geschrieben werden

Kinder: f(|x|) =

|f(x)| =

Lehrer: Also, um die Funktion y = darzustellenF(|x|), wenn der Graph der Funktion bekannt ist

y =F{ X), müssen Sie diesen Teil des Graphen der Funktion y = an Ort und Stelle belassenF(X), welche

entspricht dem nichtnegativen Teil des Definitionsbereichs der Funktion y =F(X). Dies widerspiegeln

Wenn ein Teil symmetrisch zur y-Achse ist, erhalten wir einen anderen entsprechenden Teil des Diagramms

negativer Teil des Definitionsbereichs.

Das heißt, in der Grafik sieht es so aus: y = f (x)

(Diese Grafiken werden an die Tafel gezeichnet. Kinder in Notizbüchern)

Darauf aufbauend erstellen wir nun einen Graphen der Funktionen y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Abb. 1. Y = sin x

Abbildung 2. Y = sin |x|

Zeichnen wir nun die Funktionen Y = |sin x | und Y = |2 sin x + 2|

Um die Funktion y = \ zu zeichnenF(X)\, wenn der Graph der Funktion y = bekannt istF(X), müssen Sie den Teil dort belassen, woF(X) > UM, und seinen anderen Teil relativ zur x-Achse symmetrisch anzeigen, wobeiF(X) < 0.

Zusammenfassung der Algebra-Lektion und Beginn der Analyse in der 10. Klasse

zum Thema: „Transformation von Graphen trigonometrischer Funktionen“

Der Zweck der Lektion: Wissen zum Thema „Eigenschaften und Graphen trigonometrischer Funktionen y=sin (x), y=cos (x)“ zu systematisieren.

Lernziele:

Wiederholen Sie die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen y=sin (x), y=cos (x);
Reduktionsformeln wiederholen;
Konvertieren von Graphen trigonometrischer Funktionen;
Aufmerksamkeit, Gedächtnis entwickeln, logisches Denken; Intensivierung der geistigen Aktivität, der Fähigkeit zur Analyse, Verallgemeinerung und Vernunft;
Förderung von Fleiß, Fleiß beim Erreichen von Zielen, Interesse am Thema.

Unterrichtsausrüstung: IKT

Unterrichtsart: Neues lernen

Während des Unterrichts

Vor dem Unterricht zeichnen zwei Schüler Diagramme aus ihren Hausaufgaben an die Tafel.

Organisationszeit:

Hallo Leute!

Heute werden wir in der Lektion die Graphen der trigonometrischen Funktionen y=sin (x), y=cos (x) transformieren.

Mündliche Arbeit:

Hausaufgaben überprüfen.

Rätsel lösen.

Neues Material lernen

Alle Transformationen von Funktionsgraphen sind universell – sie eignen sich für alle Funktionen, auch für trigonometrische. Wir beschränken uns hier auf eine kurze Erinnerung an die wichtigsten Transformationen von Graphen.

Transformation von Funktionsgraphen.

Die Funktion y = f (x) ist gegeben. Wir beginnen mit der Erstellung aller Diagramme aus dem Diagramm dieser Funktion und führen dann Aktionen damit aus.

Funktion

Was tun mit dem Zeitplan?

y = f(x) + a

Wir erhöhen alle Punkte des ersten Diagramms um eine Einheit.

y = f(x) – a

Wir senken alle Punkte des ersten Diagramms um eine Einheit ab.

y = f(x + a)

Wir verschieben alle Punkte des ersten Graphen um eine Einheit nach links.

y = f (x – a)

Wir verschieben alle Punkte des ersten Graphen um eine Einheit nach rechts.

y = a*f (x),a>1

Wir fixieren die Nullen, verschieben die oberen Punkte um ein Vielfaches nach oben und senken die unteren Punkte um ein Vielfaches nach unten.

Der Graph „dehnt“ sich nach oben und unten, die Nullen bleiben an Ort und Stelle.

y = a*f(x), a<1

Wir legen die Nullen fest, die oberen Punkte werden um ein Vielfaches sinken, die unteren werden um ein Vielfaches ansteigen. Der Graph wird in Richtung der x-Achse „schrumpfen“.

y = -f(x)

Spiegeln Sie den ersten Graphen um die x-Achse.

y = f (ax), a<1

Fixieren Sie einen Punkt auf der Ordinatenachse. Jedes Segment auf der Abszissenachse wird um ein Vielfaches erhöht. Der Graph erstreckt sich von der Ordinatenachse in verschiedene Richtungen.

y = f (ax), a >1

Fixieren Sie einen Punkt auf der Ordinatenachse und reduzieren Sie jedes Segment auf der Abszissenachse um einen Faktor. Der Graph wird auf beiden Seiten zur Y-Achse hin „schrumpfen“.

y = | f(x)|

Die unter der Abszissenachse liegenden Teile des Diagramms sind gespiegelt. Der gesamte Graph befindet sich in der oberen Halbebene.

Lösungsschemata.

1)y = Sünde x + 2.

Wir erstellen einen Graphen y = sin x. Wir erhöhen jeden Punkt des Diagramms um 2 Einheiten (auch Nullen) nach oben.

2)y = cos x – 3.

Wir erstellen einen Graphen y = cos x. Wir senken jeden Punkt des Diagramms um 3 Einheiten ab.

3)y = cos (x - /2)

Wir erstellen einen Graphen y = cos x. Wir verschieben alle Punkte um p/2 nach rechts.

4)y = 2 sinx.

Wir erstellen einen Graphen y = sin x. Wir lassen die Nullen an Ort und Stelle, erhöhen die oberen Punkte um das Zweifache und senken die unteren um den gleichen Betrag.

PRAKTISCHE ARBEITEN Zeichnen von Diagrammen trigonometrischer Funktionen mit dem Advanced Grapher-Programm.

Zeichnen wir die Funktion y = -cos 3x + 2.

Zeichnen wir die Funktion y = cos x.
Spiegeln wir es relativ zur Abszissenachse.
Dieser Graph muss entlang der x-Achse dreimal komprimiert werden.
Schließlich muss ein solcher Graph um drei Einheiten entlang der y-Achse angehoben werden.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

y = 5cos 0 ,5 x

y= -3sin(x+π).

2) Finden Sie den Fehler und beheben Sie ihn.

V. Historisches Material. Eine Nachricht über Euler.

Leonhard Euler ist der größte Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Geboren in der Schweiz. Er lebte und arbeitete viele Jahre in Russland, Mitglied der St. Petersburger Akademie.

Warum sollten wir den Namen dieses Wissenschaftlers kennen und uns daran erinnern?

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts war die Trigonometrie noch nicht ausreichend entwickelt: Es gab keine Symbole, Formeln wurden in Worten geschrieben, es war schwierig, sie zu lernen, die Frage nach den Vorzeichen trigonometrischer Funktionen in verschiedenen Vierteln eines Kreises war unklar, und das Argument einer trigonometrischen Funktion meinte nur Winkel oder Bögen. Erst in den Werken Eulers erhielt die Trigonometrie ihre moderne Form. Er war es, der begann, die trigonometrische Funktion einer Zahl zu betrachten, d.h. Man begann, Argumente nicht nur als Bögen oder Grade, sondern auch als Zahlen zu verstehen. Euler leitete alle trigonometrischen Formeln aus mehreren Grundformeln ab und rationalisierte die Frage nach den Vorzeichen der trigonometrischen Funktion in verschiedenen Vierteln des Kreises. Zur Bezeichnung trigonometrischer Funktionen führte er die Symbolik ein: sin x, cos x, tan x, ctg x.

An der Schwelle zum 18. Jahrhundert zeichnete sich eine neue Richtung in der Entwicklung der Trigonometrie ab – die analytische. Wenn zuvor das Hauptziel der Trigonometrie darin bestand, Dreiecke zu lösen, betrachtete Euler die Trigonometrie als die Wissenschaft der trigonometrischen Funktionen. Der erste Teil: Die Funktionenlehre ist Teil der allgemeinen Funktionenlehre, die in der mathematischen Analyse untersucht wird. Zweiter Teil: Dreiecke lösen – Kapitel Geometrie. Solche Innovationen wurden von Euler gemacht.

VI. Wiederholung

Unabhängige Arbeit „Füge die Formel hinzu.“

VII. Zusammenfassung der Lektion:

1) Was hast du heute im Unterricht Neues gelernt?

2) Was möchten Sie sonst noch wissen?

3) Benotung.

Lektion 24. Transformationen von Graphen trigonometrischer Funktionen

09.07.2015 5528 0

Ziel: Betrachten Sie die häufigsten Transformationen von Graphen trigonometrischer Funktionen.

I. Vermittlung des Themas und Zwecks der Lektion

II. Wiederholung und Vertiefung des behandelten Stoffes

1. Antworten auf Fragen zu Hausaufgaben (Analyse ungelöster Probleme).

2. Überwachung der Aufnahme des Stoffes (schriftliche Befragung).

Variante 1

Sünde x.

2. Finden Sie die Hauptperiode der Funktion:

3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar

Option 2

1. Grundeigenschaften und Graph der Funktion y = weil x.

2. Finden Sie die Hauptperiode der Funktion:

3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar

III. Neues Material lernen

Alle in Kapitel 1 ausführlich beschriebenen Transformationen von Funktionsgraphen sind universell – sie eignen sich für alle Funktionen, auch für trigonometrische. Daher empfehlen wir, dieses Thema zu wiederholen. Wir beschränken uns hier auf eine kurze Erinnerung an die wichtigsten Transformationen von Graphen.

1. Um die Funktion y = grafisch darzustellen f(x) + b Es ist notwendig, den Graphen der Funktion nach | zu übertragen B | Einheiten entlang der Ordinate - oben bei b > 0 und nach unten für b< 0.

2. Einen Funktionsgraphen zeichnen y = mf(x) (wobei m > 0) müssen wir den Graphen der Funktion y = strecken f(x) zu m mal entlang der Ordinatenachse. Und für M > 1 gibt es tatsächlich eine Dehnung m mal, für 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Um die Funktion y = zu zeichnen f(x+a ) müssen Sie den Graphen der Funktion nach | übertragen A | Einheiten entlang der x-Achse - nach rechts bei a< 0 и влево при а > 0.

4. Um die Funktion y = zu zeichnen f(kx ) (wobei k > 0) ist es notwendig, den Graphen der Funktion y = zu komprimieren f(x) zu k mal entlang der x-Achse. Und für k > 1 gibt es tatsächlich eine k-fache Komprimierung für 0< k < 1 – растяжение в 1/ k mal.

5. Um die Funktion y = - grafisch darzustellen f(x ) benötigen Sie einen Graphen der Funktion y = f(x ) relativ zur x-Achse spiegeln (diese Transformation ist ein Sonderfall der Transformation 2 für m = -1).

6. Um die Funktion y = zu zeichnen F (-x) Sie benötigen einen Graphen der Funktion y = f(x ) relativ zur Ordinatenachse spiegeln (diese Transformation ist ein Sonderfall der Transformation 4 für k = -1).

Beispiel 1

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = - erstellen weil 3 x + 2.

Gemäß Regel 5 benötigen Sie einen Graphen der Funktion y = weil x relativ zur x-Achse spiegeln. Gemäß Regel 3 muss dieser Graph entlang der x-Achse dreimal komprimiert werden. Schließlich muss gemäß Regel 1 ein solcher Graph entlang der Ordinatenachse um drei Einheiten angehoben werden.

Es ist auch nützlich, sich die Regeln zum Konvertieren von Diagrammen mit Modulen ins Gedächtnis zu rufen.

1. Eine Funktion grafisch darstellen y = | F (x)| Wir müssen einen Teil des Diagramms der Funktion y = speichern f(x ), für die y ≥ 0. Der Teil des Graphen y = f(x ), wofür< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Um die Funktion y = zu zeichnen F (|x|) Es ist notwendig, einen Teil des Graphen der Funktion y = zu speichern f(x ), für die x ≥ 0. Außerdem muss dieser Teil symmetrisch nach links relativ zur Ordinate gespiegelt sein.

3. Um die Gleichung |y| darzustellen = F (x) Es ist notwendig, einen Teil des Graphen der Funktion y = zu speichern f(x ), für die y ≥ 0. Außerdem muss dieser Teil relativ zur x-Achse symmetrisch nach unten gespiegelt sein.

Beispiel 2

Zeichnen wir die Gleichung |y| auf = Sünde | x |.

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion y = erstellen Sünde x für x ≥ 0. Dieser Graph wird gemäß Regel 2 relativ zur Ordinatenachse nach links gespiegelt. Speichern wir die Teile eines solchen Diagramms, für die y ≥ 0 ist. Gemäß Regel 3 werden wir diese Teile relativ zur x-Achse symmetrisch nach unten spiegeln.

In komplexeren Fällen müssen die Modulzeichen erweitert werden.

Beispiel 3

Lassen Sie uns einen Graphen der komplexen Funktion y = erstellen cos (2 x + |x|).

Denken Sie daran, dass das Argument der Kosinusfunktion eine Funktion der Variablen x ist und die Funktion daher komplex ist. Erweitern wir das Modulzeichen und erhalten:Für zwei solcher Intervalle zeichnen wir die Funktion auf y(x ). Berücksichtigen wir, dass für x ≥ 0 der Graph der Funktion y = Weil 3 x erhalten aus dem Graphen der Funktion y = cos x-Komprimierung um das Dreifache entlang der Abszissenachse.

Beispiel 4

Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen

Mit der quadrierten Differenzformel schreiben wir die Funktion in das FormularDer Graph einer Funktion besteht aus zwei Teilen. Für x > 0 müssen Sie die Funktion y = 1 zeichnen - cos X. Es ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = weil x Spiegelung relativ zur Abszissenachse und eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben entlang der Ordinatenachse.

Für x ≥ 0 zeichnen wir die Funktion y = ( X -1)2 - 1. Es wird aus dem Graphen der Funktion y = erhalten x 2 eine Verschiebung um 1 Einheit nach rechts entlang der x-Achse und 1 Einheit nach oben entlang der y-Achse.

IV. Kontrollfragen(Frontalaufnahme)

1. Regeln zur Transformation von Funktionsgraphen.

2. Transformationen von Graphen mit Modulen.

V. Unterrichtsaufgabe

§ 13 Nr. 2 (a, b); 3; 5; 7 (c, d); 8 (a, b); 9(a); 10 (b); 11 (a, b); 13 (c, d); 14; 17 (a, b); 19 (b); 20 (a, c).

VI. Hausaufgabe

§ 13 Nr. 2 (c, d); 4; 6; 7 (a, b); 8 (c, d); 9 (b); 10 A); 11 (c, d); 13 (a, b); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (b, d).

VII. Kreative Aufgabe

Zeichnen Sie einen Graphen einer Funktion, Gleichung oder Ungleichung:

VIII. Zusammenfassung der Lektion

Trigonometrische Diagramme Funktionen

Funktion y = sinx, seine Eigenschaften

Konvertieren von Graphen trigonometrischer Funktionen durch parallele Übersetzung
Konvertieren Sie trigonometrische Funktionsgraphen durch Komprimierung und Expansion

Für Neugierige…
Autor

Funktionsgraph y = Sünde x Ist Sinus

y = Sünde x

Funktionseigenschaften :

D(y) =R 2. Periodisch (T=2  )

3. Seltsam ( sin(-x)=-sin x) 4. Funktionsnullstellen:

y=0, Sünde x=0 bei x =  n, n  Z

0 bei x   (0+2  n;  +2  n), n  Z y bei x   (-  +2  n; 0+2  n), n  Z" width="640 "

Eigenschaften der Funktion y = Sünde X

y = Sünde x

5. Intervalle der Vorzeichenkonstanz :

bei 0 bei X   (0+2  N ;  +2  N ) , N  Z

bei bei X   ( -  +2  N ; 0+2  n), n  Z

Eigenschaften der Funktion y= Sünde x

6. Intervalle der Monotonie :

Die Funktion nimmt in Intervallen zu

Typ:  -  /2 +2  N ;  / 2+2  N   N  Z

Eigenschaften der Funktion y= Sünde x

Phasen der Monotonie:

Die Funktion nimmt in Intervallen ab

Typ:  /2 +2  N ; 3  / 2+2  N   N  Z

Eigenschaften der Funktion y = Sünde x

X Mindest

X max

7 . Extremumpunkte :

X schwingen =  / 2 +2  N , N  Z

X M In = -  / 2 +2  N , N  Z

Eigenschaften der Funktion y = Sünde x

8 . Wertebereich :

E(y) =  -1;1 

Diagramme konvertieren trigonometrische Funktionen

Graph der Funktion y = f(x +c) ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = f(x) Parallelverschiebung um (-in) Einheiten entlang der Abszissenachse
Graph der Funktion y = f(x )+a ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = f(x) Parallelverschiebung um (a) Einheiten entlang der Ordinatenachse

Zeichnen Sie ein Diagramm

Funktionen y = sin(x+  /4 )

j = Sünde x

abrufen

Regeln

Zeichnen Sie ein Diagramm

Merkmale: y=sünde (x -  /6)

y =sin(x+  /4 )

Zeichnen Sie ein Diagramm

Merkmale:

y = Sünde x + 

y=sin(x -  /6 )

y=sinx+ 

Zeichnen Sie ein Diagramm

Merkmale: y=sin (x +  /2)

abrufen

Regeln

Funktionsgraph y = weil x Ist Kosinuswelle

sin(x+  /2)=cos x

Eigenschaften auflisten

Funktionen y = weil x