چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنیم. ثابت کنید مساحت مثلث چقدر است

مثلث یک شکل شناخته شده است. و این، با وجود تنوع غنی از اشکال آن. مستطیل، متساوی الاضلاع، حاد، متساوی الساقین، منفرد. هر کدام از آنها تا حدودی متفاوت است. اما برای هر کسی باید مساحت مثلث را دانست.

فرمول های رایج برای همه مثلث هایی که از طول اضلاع یا ارتفاع استفاده می کنند

نام های اتخاذ شده در آنها: طرف - a، b، c. ارتفاعات در اضلاع مربوطه در a، n در، n s.

1. مساحت مثلث حاصل ضرب ½، ضلع و ارتفاع کم شده روی آن محاسبه می شود. S = ½ * a * n a. به طور مشابه، باید برای دو طرف دیگر فرمول بنویسید.

2. فرمول هرون که در آن نیم محیط ظاهر می شود (معروف است بر خلاف محیط کامل آن را با حرف کوچک p نشان می دهند). نیم محیط باید به صورت زیر محاسبه شود: تمام اضلاع را جمع کنید و آنها را بر 2 تقسیم کنید. فرمول نیم محیطی: p \u003d (a + b + c) / 2. سپس برابری برای مساحت \ شکل به این شکل است: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. اگر نمی خواهید از یک نیمه محیطی استفاده کنید، چنین فرمولی مفید خواهد بود، که در آن فقط طول اضلاع وجود دارد: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ب + ج - الف) * (الف + ج - ج) * (الف + ب - ج)). تا حدودی طولانی تر از قبلی است، اما اگر فراموش کرده اید که چگونه نیم محیط را پیدا کنید، به شما کمک می کند.

فرمول های کلی که در آن زوایای مثلث ظاهر می شود

نمادی که برای خواندن فرمول ها لازم است: α، β، γ - زاویه. آنها به ترتیب در طرف مقابل a، b، c قرار دارند.

1. بر اساس آن، نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها برابر با مساحت مثلث است. یعنی: S = ½ a * b * sin γ. فرمول دو مورد دیگر باید به روشی مشابه نوشته شود.

2. مساحت یک مثلث را می توان از یک ضلع و سه محاسبه کرد گوشه های شناخته شده. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. همچنین فرمولی با یک ضلع شناخته شده و دو زاویه مجاور آن وجود دارد. به نظر می رسد این است: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

دو فرمول آخر ساده ترین نیستند. به خاطر سپردن آنها بسیار سخت است.


فرمول های کلی برای موقعیتی که شعاع دایره های محاطی یا محاطی مشخص است

نام های اضافی: r، R - شعاع. اولین مورد برای شعاع دایره محاطی استفاده می شود. دومی مربوط به موردی است که توضیح داده شد.

1. اولین فرمولی که مساحت یک مثلث را با آن محاسبه می کنند مربوط به نیم محیط است. S = r * r. به روشی دیگر می توان آن را به صورت زیر نوشت: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. در حالت دوم، شما باید تمام اضلاع مثلث را ضرب کنید و آنها را بر شعاع چهارگانه دایره محدود شده تقسیم کنید. در اصطلاح تحت اللفظی به نظر می رسد: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. موقعیت سوم به شما امکان می دهد بدون دانستن اضلاع انجام دهید، اما به مقادیر هر سه زاویه نیاز دارید. S \u003d 2 R 2 * sin α * گناه β * گناه γ.

مورد خاص: مثلث قائم الزاویه

این ساده ترین حالت است، زیرا فقط طول هر دو پا مورد نیاز است. آنها با حروف لاتین a و b نشان داده می شوند. مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف مساحت مستطیل اضافه شده به آن است.

از نظر ریاضی، به این صورت است: S = ½ a * b. او ساده ترین برای به خاطر سپردن است. از آنجایی که به نظر می رسد فرمول مساحت یک مستطیل است، فقط یک کسری ظاهر می شود که نشان دهنده نصف است.

مورد خاص: مثلث متساوی الساقین

از آنجایی که دو طرف آن برابر است، برخی از فرمول‌ها برای مساحت آن تا حدودی ساده به نظر می‌رسند. برای مثال، فرمول هرون که مساحت یک مثلث متساوی الساقین را محاسبه می کند، به شکل زیر است:

S = ½ اینچ √((a + ½ اینچ)*(a - ½ اینچ)).

اگر آن را تبدیل کنید کوتاهتر می شود. در این مورد، فرمول هرون برای مثلث متساوی الساقین به صورت زیر نوشته می شود:

S = ¼ در √(4 * a 2 - b 2).

تا حدودی ساده تر از یک مثلث دلخواه، فرمول مساحت به نظر می رسد اگر بدانید طرفینو زاویه بین آنها S \u003d ½ a 2 * sin β.

حالت خاص: مثلث متساوی الاضلاع

معمولاً در مشکلاتی که درباره او وجود دارد، طرف شناخته می شود یا به نوعی می توان آن را شناخت. سپس فرمول برای یافتن مساحت چنین مثلثی به شرح زیر است:

S = (a 2 √3) / 4.


اگر مثلث روی کاغذ شطرنجی به تصویر کشیده شود، وظایف پیدا کردن منطقه

ساده ترین حالت زمانی است که یک مثلث قائم الزاویه رسم می شود به طوری که پاهای آن با خطوط کاغذ منطبق می شود. سپس شما فقط باید تعداد سلول هایی که در پاها قرار می گیرند را بشمارید. سپس آنها را ضرب کرده و بر دو تقسیم کنید.

وقتی مثلث حاد یا منفرد است، باید به سمت یک مستطیل کشیده شود. سپس در شکل حاصل 3 مثلث وجود خواهد داشت. یکی آن است که در تکلیف داده شده است. و دو تای دیگر کمکی و مستطیلی هستند. مساحت دو مورد آخر باید با روشی که در بالا توضیح داده شد تعیین شود. سپس مساحت مستطیل را محاسبه کرده و مساحت مستطیل های کمکی را از آن کم کنید. مساحت مثلث مشخص می شود.

وضعیتی که در آن هیچ یک از اضلاع مثلث با خطوط کاغذ منطبق نباشد بسیار دشوارتر است. سپس باید آن را در یک مستطیل نوشته شود تا رئوس شکل اصلی در طرفین آن قرار گیرد. در این حالت سه مثلث قائم الزاویه کمکی وجود خواهد داشت.


مثالی از یک مسئله در فرمول هرون

وضعیت. بعضی مثلث ها اضلاع دارند. آنها برابر با 3، 5 و 6 سانتی متر هستند، باید مساحت آن را بدانید.

اکنون می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول بالا محاسبه کنید. زیر جذر حاصل ضرب چهار عدد است: 7، 4، 2 و 1. یعنی مساحت √ (4 * 14) = 2 √ (14) است.

اگر به دقت بیشتری نیاز ندارید، می توانید جذر 14 را بگیرید. 3.74 است. سپس مساحت برابر با 7.48 خواهد بود.

پاسخ. S \u003d 2 √14 سانتی متر مربع یا 7.48 سانتی متر مربع.

مثالی از مسئله مثلث قائم الزاویه

وضعیت. یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 31 سانتی متر از دومی بلندتر است و اگر مساحت مثلث 180 سانتی متر مربع باشد باید طول آنها را فهمید.
راه حل. شما باید یک سیستم دو معادله را حل کنید. اولی مربوط به منطقه است. دومی با نسبت پاها است که در مسئله آورده شده است.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
ابتدا مقدار "a" باید در معادله اول جایگزین شود. به نظر می رسد: 180 \u003d ½ (در + 31) * اینچ. این فقط یک کمیت مجهول دارد، بنابراین حل آن آسان است. پس از باز کردن براکت ها، یک معادله درجه دوم به دست می آید: در 2 + 31 در - 360 \u003d 0. دو مقدار برای "in" می دهد: 9 و - 40. عدد دوم به عنوان پاسخ مناسب نیست. ، از آنجایی که طول ضلع مثلث نمی تواند یک مقدار منفی باشد.

باقی مانده است که مرحله دوم را محاسبه کنیم: به عدد حاصل 31 اضافه کنید. معلوم می شود 40. اینها مقادیری هستند که در مسئله جستجو می شوند.

پاسخ. پایه های مثلث 9 و 40 سانتی متر است.

وظیفه یافتن ضلع از طریق مساحت، ضلع و زاویه یک مثلث

وضعیت. مساحت یک مثلث 60 سانتی متر مربع است. اگر ضلع دوم 15 سانتی متر و زاویه بین آنها 30 درجه باشد، باید یکی از اضلاع آن را محاسبه کرد.

راه حل. بر اساس نامگذاری های پذیرفته شده، طرف مورد نظر "a"، "b" شناخته شده، زاویه داده شده "γ" است. سپس فرمول مساحت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. در اینجا سینوس 30 درجه 0.5 است.

پس از تبدیل، "a" برابر با 60 / (0.5 * 0.5 * 15) می شود. یعنی 16.

پاسخ. ضلع مورد نظر 16 سانتی متر است.

مسئله مربع محاط شده در مثلث قائم الزاویه

وضعیت. راس مربعی با ضلع 24 سانتی متر با زاویه قائم مثلث منطبق است. دو نفر دیگر روی پاها دراز می کشند. سومی متعلق به هیپوتنوز است. طول یکی از پاها 42 سانتی متر است مساحت مثلث قائم الزاویه چقدر است؟

راه حل. دو مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. اولین مورد در کار مشخص شده است. مورد دوم بر اساس پایه شناخته شده مثلث اصلی است. شبیه هم هستند چون زاویه مشترکی دارند و از خطوط موازی تشکیل شده اند.

سپس نسبت پاهای آنها برابر است. پایه های مثلث کوچکتر 24 سانتی متر (ضلع مربع) و 18 سانتی متر (پایه داده شده 42 سانتی متر منهای ضلع مربع 24 سانتی متر) است. پایه های مربوط به مثلث بزرگ 42 سانتی متر و x سانتی متر است. این "x" است که برای محاسبه مساحت مثلث مورد نیاز است.

18/42 \u003d 24 / x ، یعنی x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (سانتی متر).

سپس مساحت برابر حاصلضرب 56 و 42 تقسیم بر دو یعنی 1176 سانتی متر مربع است.

پاسخ. مساحت مورد نظر 1176 سانتی متر مربع است.

مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ضلع آن و ارتفاع کشیده شده به آن ضلع. سپس سمتی که ارتفاع به آن کشیده می شود، پایه نامیده می شود. بنابراین می توان گفت که مساحت مثلث نصف حاصل ضرب قاعده آن ضربدر ارتفاع آن است..

اگر طول قاعده ضلعی مثلث را a، ارتفاع را h نشان دهیم، فرمول مساحت مثلث را به دست می آوریم:

برای اثبات این فرمول، باید همه گزینه ها را برای مکان ارتفاع در مثلث در نظر گرفت. فقط سه نفر از آنها وجود دارد. این:

  1. ارتفاع با یکی از اضلاع مثلث منطبق است. در این حالت با یک مثلث قائم الزاویه روبرو هستیم که در آن یکی از پایه ها به عنوان پایه در نظر گرفته شده است. قد کشیده شده به این ساق پای دیگر است.
  2. ارتفاع داخل مثلث است. در این حالت با پایه قطع می شود و آن را به دو قسمت تقسیم می کند. این مثلث به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می شود.
  3. ارتفاع خارج از مثلث است. در این حالت، نه با خود پایه، بلکه با ادامه آن (خط مستقیمی که پایه روی آن قرار دارد) تلاقی می کند.

بیایید مورد اول را در نظر بگیریم. اجازه دهید مثلث ABC داده شود. در آن، ارتفاع h به پایه AC به طول a کشیده شده است که با ضلع BC منطبق است:

همانطور که می دانید مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور آن. اگر مستطیلی داشتیم که اضلاع آن a و h باشد، مساحت آن برابر با ah بود. اگر یک مورب در یک مستطیل رسم شود، آن را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کند (به ترتیب، هر سه ضلع برابر هستند). مساحت این مثلث ها نیز با یکدیگر برابر است و هر یک ½ مساحت کل مستطیل است. بنابراین ثابت می شود که مساحت یک مثلث در این موردبرابر با ½ ah خواهد بود.

بیایید مورد دوم را در نظر بگیریم. بگذارید ارتفاع BH به طول h در آن ضلع AC به طول a را قطع کند.

در این حالت دو مثلث قائم الزاویه بدست می آوریم: ABH و CBH. از اولین مورد در نظر گرفته شده، می دانیم که مساحت آنها به ترتیب ½ · AH · h و ½ · CH · h است.

مساحت کل مثلث ABC مجموع این دو ناحیه است:

S = ½ AH h + ½ CH h

بیایید عوامل رایج را از پرانتز خارج کنیم:

S = ½ ساعت (AH + CH)

اما AH و CH به طول a جمع می شوند. بنابراین، به فرمولی که می‌خواهیم ثابت کنیم می‌رسیم:

S = ½ ساعت a

حال مورد سوم را در نظر بگیرید که ارتفاع خارج از مثلث است:

در اینجا می توانیم دو مثلث قائم الزاویه را نیز ببینیم. اینها ∆ABH و ∆CBH هستند. و اولی شامل دومی می شود. مثلث مورد نظر ABC مکمل مثلث CBH به مثلث ABH است. بنابراین می توانیم بنویسیم که مساحت ΔABH برابر است با مجموع مساحت های ∆CBH و ∆ABC:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

مساحت مثلث مورد نظر ABC را از کجا پیدا کنیم:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

مساحت مثلث ABH ½ AH h است، مساحت مثلث CBH ½ CH h است:

S ∆ABC = ½ AH h - ½ CH h

عوامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

S ∆ABC = ½ ساعت (AH - CH)

اما بالاخره اگر پاره CH را از قطعه AH کم کنیم، قطعه AC را به دست می آوریم که طول آن برابر با a است. بنابراین، می توانیم بنویسیم که در این مورد مساحت مثلث نیز ½ ah است.

برای تعیین مساحت یک مثلث، می توانید از فرمول های مختلفی استفاده کنید. از بین همه روش ها، ساده ترین و اغلب مورد استفاده، ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه بر دو است. با این حال، این روش به دور از تنها روش است. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه، ما روش هایی را برای محاسبه مساحت انواع خاص مثلث - مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع در نظر خواهیم گرفت. ما هر فرمول را با توضیح کوتاهی همراه می کنیم که به شما در درک ماهیت آن کمک می کند.

روش های جهانی برای یافتن مساحت مثلث

فرمول های زیر از نشانه گذاری ویژه استفاده می کنند. ما هر یک از آنها را رمزگشایی می کنیم:

  • a, b, c طول سه ضلع شکل مورد نظر ما هستند.
  • r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما حک شود.
  • R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
  • α - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع b و c.
  • β زاویه بین a و c است.
  • γ - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع a و b.
  • h ارتفاع مثلث ما است که از زاویه α به ضلع a پایین آمده است.
  • p نصف مجموع اضلاع a، b و c است.

منطقاً واضح است که چرا می توانید مساحت یک مثلث را به این ترتیب پیدا کنید. مثلث به راحتی به یک متوازی الاضلاع کامل می شود که در آن یک ضلع مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به سمت آن به دست می آید. قطر این متوازی الاضلاع شرطی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نصف مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S=½ a b sin γ

طبق این فرمول مساحت مثلث با ضرب طول دو ضلع آن یعنی a و b در سینوس زاویه ای که تشکیل می دهند به دست می آید. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کم کنیم، با توجه به ویژگی های مثلث قائم الزاویه، هنگام ضرب طول ضلع a در سینوس زاویه γ، ارتفاع مثلث یعنی h به دست می آید.

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نصف شعاع دایره ای که می توان در آن حک شد در محیط آن به دست می آید. به عبارت دیگر حاصل ضرب نیم محیط و شعاع دایره مذکور را می یابیم.

S= a b c/4R

بر اساس این فرمول، مقدار مورد نیاز ما را می توان با تقسیم حاصلضرب اضلاع شکل بر 4 شعاع دایره ای که دور آن احاطه شده است، پیدا کرد.

این فرمول ها جهانی هستند، زیرا تعیین مساحت هر مثلث (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، راست زاویه) را ممکن می سازند. این را می توان با کمک محاسبات پیچیده تری انجام داد، که ما در مورد جزئیات آن صحبت نمی کنیم.

مساحت مثلث ها با ویژگی های خاص


چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ از ویژگی های این فیگور این است که دو ضلع آن به طور همزمان ارتفاعات آن است. اگر a و b پاها باشند و c تبدیل به هیپوتونوس شود، ناحیه به صورت زیر پیدا می شود:

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. بنابراین، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصل ضرب مجذور ضلع a بر سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه منطقه را پیدا کنیم مثلث متساوی الاضلاع? در آن طول همه ضلع ها a و مقدار تمام زوایا α است. ارتفاع آن نصف حاصلضرب طول ضلع ضربدر جذر 3 است. برای یافتن مساحت یک مثلث منظم باید مربع ضلع a را در جذر 3 ضرب و بر 4 تقسیم کرد.

مساحت یک مثلث. در بسیاری از مسائل هندسه مربوط به محاسبه مساحت ها، از جمله تکالیف برای امتحان، از فرمول های مساحت مثلث استفاده می شود. چندین مورد از آنها وجود دارد، در اینجا ما مهمترین آنها را در نظر خواهیم گرفت.

فهرست کردن این فرمول ها بسیار آسان است، این خوبی در کتاب های مرجع و سایت های مختلف کافی است. من می خواهم ماهیت برخی از آنها را بیان کنم. پس از مطالعه مطالب مقاله، متوجه خواهید شد که نیازی به یادگیری همه فرمول ها نیست، آنها باید درک شوند.

اگر آنها به طور ناگهانی در زمان مناسب "پرواز کنند" به راحتی می توانید حافظه را بازیابی کنید. بنابراین ابتدا به یک متوازی الاضلاع نگاه می کنیم. در تعریف آمده است:



چرا اینطور است؟ همه چیز ساده است! برای اینکه معنی فرمول را به وضوح نشان دهیم، اجازه دهید چند ساختار اضافی را انجام دهیم:

مساحت مثلث (2) برابر است با مساحت مثلث (1)، دومی را از نظر ذهنی "قطع" کرده و با قرار دادن آن بر روی اولی، مستطیلی به دست می آوریم که مساحت آن برابر است. مساحت متوازی الاضلاع اصلی:



همانطور که می دانید مساحت یک مستطیل برابر با حاصلضرب اضلاع مجاور آن است. همانطور که از طرح مشخص است، یک ضلع مستطیل حاصل برابر با ضلع متوازی الاضلاع است و دیگری ارتفاع آن است که به این سمت کشیده شده است. بنابراین، فرمول مساحت متوازی الاضلاع S = a∙h را به دست می آوریمآ

بیایید ادامه دهیم، یک فرمول دیگر برای مساحت آن. ما داریم:

ارتفاع h a in را بیان کنید راست گوشهجایی که b فرضیه است:



h a را در فرمول مساحت جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:



متوازی الاضلاع را فهمیدیم. بیایید به سمت مثلث برویم.

مساحت یک مثلث. شش فرمول!

فرمول اول

مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند:



بنابراین، مساحت مثلث برابر با نصف مساحت متوازی الاضلاع خواهد بود:



* یعنی اگر هر ضلعی از مثلث را بشناسیم و ارتفاع آن به این ضلع کاهش یافته باشد، همیشه می توانیم مساحت این مثلث را محاسبه کنیم.

فرمول دو

همانطور که قبلا ذکر شد، فرمول مساحت متوازی الاضلاع به صورت زیر است:

مساحت مثلث نصف مساحت آن است، بنابراین:



*یعنی اگر هر دو ضلع در یک مثلث و زاویه بین آنها مشخص باشد، همیشه می توانیم مساحت چنین مثلثی را محاسبه کنیم.

فرمول هرون (سوم)

استخراج این فرمول دشوار است و شما به آن نیاز ندارید. ببینید چقدر زیباست، می توان گفت که او را به یادگار می آورند.

*اگر سه ضلع مثلث داده شود، با استفاده از این فرمول همیشه می توانیم مساحت آن را محاسبه کنیم.

فرمول چهار

جایی که rشعاع دایره محاطی است

*اگر سه ضلع یک مثلث و شعاع دایره محاط شده در آن مشخص باشد، همیشه می توانیم مساحت این مثلث را پیدا کنیم.

فرمول پنج

جایی که آرشعاع دایره محدود شده است.

*اگر سه ضلع یک مثلث و شعاع دایره محصور شده مشخص باشد، همیشه می توانیم مساحت چنین مثلثی را پیدا کنیم.

این سوال پیش می‌آید: اگر سه ضلع مثلث شناخته شده باشد، آیا با استفاده از فرمول هرون، مساحت آن آسان‌تر نیست!

بله، آسان تر است، اما نه همیشه، گاهی اوقات دشوار می شود. این مربوط به استخراج ریشه است. علاوه بر این، این فرمول ها برای استفاده در مسائلی که مساحت یک مثلث داده می شود، اضلاع آن داده می شود و لازم است شعاع دایره محاطی یا محاط شده را پیدا کنید، بسیار راحت هستند. چنین وظایفی در آزمون گنجانده شده است.

 

شاید خواندن آن مفید باشد: