تکنیک ها و روش های مقایسه لگاریتم ها مقایسه اعداد

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com


شرح اسلاید:

ویژگی های یکنواختی لگاریتم. مقایسه لگاریتم ها جبر یازدهم. تکمیل شده توسط معلم ریاضیات: Liliya Anasovna Kinzyabulatova، Noyabrsk، 2014.

y= log a x، جایی که a>0; a≠1. الف) اگر a> 1، آنگاه y= یک x را ثبت کنید – افزایش می‌یابد ب) اگر 0 باشد

روش های مقایسه لگاریتم ها ① ویژگی یکنواختی مقایسه log a b log a c پایه های a هستند اگر a> 1، پس y= log a t در حال افزایش است، سپس از b> c = > log a b > log a c ; اگر 0 c => log a b log 1/3 8;

روش های مقایسه لگاریتم ها ② روش گرافیکی مقایسه log a log با b پایه های مختلف، اعداد برابر با b هستند 1) اگر a> 1; с > 1، سپس y=log a t، y=log с t – سن. الف) اگر a> c، b>1، سپس a b log c b را وارد کنید

روش های مقایسه لگاریتم ها ② روش گرافیکی log a b log را با پایه b مقایسه کنید، اعداد مساوی b هستند 2) اگر 0 c، b>1، سپس log a b > log c b b) اگر a

روش های مقایسه لگاریتم ها ② روش گرافیکی مقایسه log a b log با b پایه های متفاوت هستند، اعداد برابر با b هستند مثال log 2 3 > log 4 3 2 1 Log 3 1/4 0.25; 3> 1 Log 0.3 0.6

روش های مقایسه لگاریتم ها ③ توابع یکنواختی مختلف a>1 y=log a x - 0 افزایش می یابد 1، سپس log a c > log b d b) اگر 0 1) Log 0.5 1/3 > log 5 1/2

روش های مقایسه لگاریتم ها ⑤ ثبت روش ارزیابی 3 5 log 4 17 1 > > > >

روش های مقایسه لگاریتم ها ⑦ مقایسه با وسط بخش log 2 3 log 5 8 1 3/2 log 5 8 2* 3/2 2*log 5 8 2 log 5 64 log 2 8 log 5 64

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، نشان دهنده های آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

  1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
  2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
  3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم واحد با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

  • پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
  • اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حال بیایید این عبارت را به شکل لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر ذهن فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارت زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - این یک نابرابری لگاریتمی است، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتمی است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده قابل قبول است. مقادیر و نقاط با شکستن این تابع تعیین می شوند. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت؛ اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

  1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
  2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد، شرط اجباری است: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
  3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه به درستی چنین کارهایی را حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما قوانین خاصی را می توان برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا به یک فرم کلی تقلیل داد. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید از هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها استفاده کنید. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

  1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی (امتحان دولتی برای همه فارغ التحصیلان مدرسه). به طور معمول، این وظایف نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و پرحجم ترین کارها) نیز وجود دارد. آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

نمونه ها و راه حل های مشکلات از نسخه های رسمی آزمون یکپارچه دولتی گرفته شده است. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

  • بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
  • تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

هنگام حل معادلات و نابرابری ها و همچنین مسائل مربوط به ماژول ها، باید ریشه های یافت شده را روی خط اعداد قرار دهید. همانطور که می دانید، ریشه های یافت شده ممکن است متفاوت باشند. آنها می توانند اینگونه باشند: ، یا می توانند اینگونه باشند: ، .

بر این اساس، اگر اعداد منطقی نیستند، بلکه غیرمنطقی هستند (اگر فراموش کرده اید که چیست، به موضوع نگاه کنید)، یا عبارت های پیچیده ریاضی هستند، قرار دادن آنها در خط اعداد بسیار مشکل ساز است. علاوه بر این، شما نمی توانید در طول امتحان از ماشین حساب استفاده کنید و محاسبات تقریبی 100٪ تضمین نمی کند که یک عدد از عدد دیگر کمتر است (اگر بین اعداد مقایسه شده تفاوت وجود داشته باشد چه می شود؟).

البته می دانید که اعداد مثبت همیشه بزرگتر از منفی هستند و اگر یک محور عددی را تصور کنیم، در هنگام مقایسه، بزرگترین اعداد به سمت راست از کوچکترین خواهند بود: ; ; و غیره.

اما آیا همه چیز همیشه به همین راحتی است؟ جایی که روی خط عدد علامت گذاری می کنیم، .

چگونه می توان آنها را مثلاً با یک عدد مقایسه کرد؟ این مالش است...)

ابتدا اجازه دهید به طور کلی در مورد چگونگی و آنچه مقایسه کنیم صحبت کنیم.

مهم: توصیه می شود تغییراتی را به گونه ای انجام دهید که علامت نابرابری تغییر نکند!یعنی در حین تبدیل ها ضرب در یک عدد منفی نامطلوب است و ممنوع استمربع اگر یکی از قسمت ها منفی باشد.

مقایسه کسرها

بنابراین، ما باید دو کسر را با هم مقایسه کنیم: و.

چندین گزینه در مورد نحوه انجام این کار وجود دارد.

گزینه 1. کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید آن را به شکل یک کسر معمولی بنویسیم:

- (همانطور که می بینید، صورت و مخرج را هم کم کردم).

اکنون باید کسرها را با هم مقایسه کنیم:

اکنون می توانیم به دو صورت به مقایسه ادامه دهیم. ما میتوانیم:

  1. فقط همه چیز را به یک مخرج مشترک بیاورید و هر دو کسر را نامناسب نشان دهید (عدد بزرگتر از مخرج است):

    کدام عدد بزرگتر است؟ درسته اونی که عدد بزرگتر داره یعنی اولی.

  2. «بیایید کنار بگذاریم» (در نظر بگیرید که از هر کسری یکی کم کرده‌ایم و نسبت کسرها به یکدیگر تغییر نکرده است) و کسرها را با هم مقایسه کنید:

    ما همچنین آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم:

    ما دقیقاً همان نتیجه را در مورد قبلی گرفتیم - عدد اول بزرگتر از دوم است:

    بیایید همچنین بررسی کنیم که آیا یک را به درستی کم کرده ایم؟ بیایید تفاوت عددی را در محاسبه اول و دوم محاسبه کنیم:
    1)
    2)

بنابراین، ما به نحوه مقایسه کسرها و آوردن آنها به مخرج مشترک نگاه کردیم. بیایید به روش دیگری برویم - مقایسه کسرها، آوردن آنها به یک عدد... مشترک.

گزینه 2. مقایسه کسرها با کاهش به یک عدد مشترک.

بله بله. این اشتباه تایپی نیست. این روش به ندرت به کسی در مدرسه آموزش داده می شود، اما اغلب بسیار راحت است. برای اینکه به سرعت ماهیت آن را درک کنید، من فقط یک سوال از شما می پرسم - "در چه مواردی ارزش کسری بیشتر است؟" البته، می گویید "زمانی که صورت تا حد امکان بزرگ و مخرج تا حد امکان کوچک باشد."

به عنوان مثال، شما قطعا می توانید بگویید که این درست است؟ اگر بخواهیم کسرهای زیر را با هم مقایسه کنیم چطور؟ من فکر می کنم شما نیز بلافاصله علامت را به درستی قرار دهید، زیرا در مورد اول آنها به قطعات و در مورد دوم به کامل تقسیم می شوند، به این معنی که در مورد دوم قطعات بسیار کوچک می شوند و بر این اساس: . همانطور که می بینید، مخرج ها در اینجا متفاوت هستند، اما اعداد یکسان هستند. با این حال، برای مقایسه این دو کسر، لازم نیست به دنبال مخرج مشترک باشید. اگرچه ... آن را پیدا کنید و ببینید آیا علامت مقایسه هنوز اشتباه است؟

اما نشانه همان است.

بیایید به وظیفه اصلی خود بازگردیم - مقایسه و ... مقایسه خواهیم کرد و ... اجازه دهید این کسرها را نه به یک مخرج مشترک، بلکه به یک عدد مشترک تقلیل دهیم. برای انجام این کار به سادگی صورت و مخرجکسر اول را در ضرب کنید ما گرفتیم:

و. کدام کسر بزرگتر است؟ درست است، اولی.

گزینه 3: مقایسه کسرها با استفاده از تفریق.

چگونه کسرها را با استفاده از تفریق مقایسه کنیم؟ بله خیلی ساده کسر دیگری را از یک کسر کم می کنیم. اگر نتیجه مثبت باشد، کسر اول (minuend) بزرگتر از دوم است (subtrahend) و اگر منفی باشد، برعکس.

در مورد ما، بیایید سعی کنیم کسر اول را از کسر دوم کم کنیم: .

همانطور که قبلاً فهمیدید ، ما نیز به یک کسر معمولی تبدیل می کنیم و همان نتیجه را می گیریم - . بیان ما به شکل زیر است:

در مرحله بعد، ما همچنان باید به کاهش به مخرج مشترک متوسل شویم. سوال این است: در روش اول، تبدیل کسرها به کسرهای نامناسب، یا در روش دوم، گویی "حذف" واحد؟ ضمناً این اقدام توجیهی کاملاً ریاضی دارد. نگاه کن:

من گزینه دوم را بهتر دوست دارم، زیرا ضرب در صورت وقتی به مخرج مشترک کاهش می یابد بسیار آسان تر می شود.

بیایید آن را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

نکته اصلی در اینجا این است که در مورد عددی که از چه عددی کم کرده ایم و کجا گیج نشویم. با دقت به پیشرفت راه حل نگاه کنید و به طور تصادفی علائم را اشتباه نگیرید. عدد اول را از عدد دوم کم کردیم و جواب منفی گرفتیم، پس؟.. درست است، عدد اول از عدد دوم بزرگتر است.

فهمیدم؟ سعی کنید کسرها را با هم مقایسه کنید:

ایست ایست. برای رسیدن به مخرج مشترک یا تفریق عجله نکنید. نگاه کنید: به راحتی می توانید آن را به کسر اعشاری تبدیل کنید. چقدر طول می کشه؟ درست. در پایان چه چیزی بیشتر است؟

این یک گزینه دیگر است - مقایسه کسرها با تبدیل به اعشار.

گزینه 4: مقایسه کسرها با استفاده از تقسیم.

بله بله. و این نیز امکان پذیر است. منطق ساده است: وقتی یک عدد بزرگتر را بر یک عدد کوچکتر تقسیم می کنیم، پاسخی که به دست می آوریم عددی بزرگتر از یک است و اگر عدد کوچکتر را بر عدد بزرگتر تقسیم کنیم، پاسخ بر روی فاصله از تا قرار می گیرد.

برای به خاطر سپردن این قانون، هر دو عدد اول را برای مقایسه در نظر بگیرید، به عنوان مثال، و. میدونی دیگه چیه؟ حالا بیایید تقسیم بر. پاسخ ما این است. بر این اساس، نظریه صحیح است. اگر بر تقسیم کنیم، چیزی که به دست می آوریم کمتر از یک است، که به نوبه خود تأیید می کند که در واقع کمتر است.

بیایید سعی کنیم این قانون را برای کسرهای معمولی اعمال کنیم. بیایید مقایسه کنیم:

کسر اول را بر کسر دوم تقسیم کنید:

بیایید کوتاه بیاییم.

نتیجه به دست آمده کمتر است، یعنی سود سهام کمتر از مقسوم علیه است، یعنی:

ما تمام گزینه های ممکن را برای مقایسه کسرها بررسی کرده ایم. آنها را چگونه می بینید 5:

  • تقلیل به مخرج مشترک؛
  • کاهش به یک عدد مشترک
  • کاهش به شکل کسری اعشاری؛
  • منها کردن؛
  • تقسیم.

آماده برای تمرین؟ مقایسه کسرها به روش بهینه:

بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم:

  1. (- تبدیل به اعشار)
  2. (یک کسر را بر کسر دیگر تقسیم کنید و به صورت و مخرج کاهش دهید)
  3. (کل قسمت را انتخاب کنید و کسرها را بر اساس همان صورتگر مقایسه کنید)
  4. (یک کسر را بر کسر دیگر تقسیم کنید و به صورت و مخرج کاهش دهید).

2. مقایسه درجات

حال تصور کنید که ما نیاز داریم نه فقط اعداد، بلکه عباراتی را که در آن درجه () وجود دارد، مقایسه کنیم.

البته می توانید به راحتی یک علامت نصب کنید:

از این گذشته ، اگر درجه را با ضرب جایگزین کنیم ، بدست می آوریم:

از این مثال کوچک و ابتدایی، قاعده زیر است:

حال سعی کنید موارد زیر را با هم مقایسه کنید: . شما همچنین می توانید به راحتی یک علامت قرار دهید:

چون اگر توان را با ضرب جایگزین کنیم...

به طور کلی، شما همه چیز را درک می کنید، و به هیچ وجه سخت نیست.

مشکلات تنها زمانی به وجود می آیند که در هنگام مقایسه، درجات دارای مبانی و شاخص های متفاوتی باشند. در این صورت باید تلاش کرد که به یک نقطه مشترک منتهی شود. مثلا:

البته، می دانید که بر این اساس، این عبارت به شکل زیر است:

بیایید پرانتزها را باز کنیم و آنچه را که به دست می آوریم مقایسه کنیم:

یک مورد خاص زمانی است که پایه درجه () کمتر از یک باشد.

اگر، پس از دو درجه و بزرگتر آن است که شاخص آن کمتر است.

بیایید سعی کنیم این قانون را ثابت کنیم. بگذار باشد.

بیایید تعدادی عدد طبیعی را به عنوان تفاوت بین و معرفی کنیم.

منطقی است، اینطور نیست؟

و اکنون اجازه دهید یک بار دیگر به شرایط توجه کنیم - .

به ترتیب: . از این رو، .

مثلا:

همانطور که متوجه شدید، موردی را در نظر گرفتیم که مبانی قوا برابر باشد. حالا بیایید ببینیم که چه زمانی پایه در بازه از تا است، اما توان ها برابر هستند. اینجا همه چیز خیلی ساده است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه این را با استفاده از یک مثال مقایسه کنیم:

البته شما به سرعت حساب را انجام دادید:

بنابراین، هنگامی که برای مقایسه با مشکلات مشابه روبرو می شوید، یک مثال مشابه ساده را در نظر داشته باشید که می توانید سریع آن را محاسبه کنید و بر اساس این مثال، علائم را در یک نمونه پیچیده تر قرار دهید.

هنگام انجام تبدیل ها، به یاد داشته باشید که اگر ضرب، جمع، تفریق یا تقسیم می کنید، تمام اعمال باید با هر دو سمت چپ و راست انجام شوند (اگر در ضرب کنید، باید هر دو را ضرب کنید).

علاوه بر این، مواردی وجود دارد که انجام هر گونه دستکاری به سادگی بی سود است. مثلاً باید مقایسه کنید. در این مورد، بالا بردن قدرت و ترتیب علامت بر اساس این کار چندان دشوار نیست:

بیایید تمرین کنیم. مقایسه درجه ها:

آماده مقایسه پاسخ ها هستید؟ این چیزی است که من دریافت کردم:

  1. - همان
  2. - همان
  3. - همان
  4. - همان

3. مقایسه اعداد با ریشه

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که ریشه ها چیست؟ این ضبط را به خاطر دارید؟

ریشه یک توان یک عدد حقیقی عددی است که برابری برای آن برقرار است.

ریشه هادرجه فرد برای اعداد منفی و مثبت وجود دارد و حتی ریشه- فقط برای موارد مثبت.

مقدار ریشه اغلب یک اعشار بی نهایت است که محاسبه دقیق را دشوار می کند، بنابراین مهم است که بتوانیم ریشه ها را با هم مقایسه کنیم.

اگر فراموش کرده اید چه چیزی است و با چه چیزی خورده اید - . اگر همه چیز را به خاطر دارید، بیایید قدم به قدم مقایسه ریشه ها را یاد بگیریم.

فرض کنید باید مقایسه کنیم:

برای مقایسه این دو ریشه، نیازی به انجام هیچ محاسباتی ندارید، فقط مفهوم خود "ریشه" را تجزیه و تحلیل کنید. میفهمی چی میگم؟ بله، در این مورد: در غیر این صورت می توان آن را به عنوان توان سوم یک عدد، برابر با عبارت رادیکال نوشت.

دیگه چی؟ یا؟ البته می توانید بدون هیچ مشکلی این را مقایسه کنید. هر چه عددی را که به یک توان افزایش می دهیم بزرگتر باشد، مقدار آن بیشتر خواهد بود.

بنابراین. بیایید یک قانون استخراج کنیم.

اگر توان ریشه ها یکسان باشد (در مورد ما این است)، پس لازم است عبارات رادیکال (و) را با هم مقایسه کنیم - هر چه عدد رادیکال بزرگتر باشد، ارزش ریشه با توان های مساوی بیشتر است.

به خاطر سپردن سخت است؟ سپس فقط یک مثال را در ذهن خود نگه دارید و ... این بیشتر؟

نماهای ریشه ها یکسان است، زیرا ریشه مربع است. بیان رادیکال یک عدد () بزرگتر از () دیگر است، به این معنی که این قانون واقعاً درست است.

اگر عبارات رادیکال یکسان باشند، اما درجات ریشه ها متفاوت باشد چه؟ مثلا: .

همچنین کاملاً مشخص است که هنگام استخراج ریشه در درجه بزرگتر، عدد کمتری به دست می آید. به عنوان مثال در نظر بگیریم:

اجازه دهید مقدار ریشه اول را به عنوان، و دومی را به عنوان نشان دهیم، سپس:

به راحتی می توانید ببینید که در این معادلات باید بیشتر باشد، بنابراین:

اگر عبارات رادیکال یکسان باشد(در مورد ما)، و نماهای ریشه ها متفاوت است(در مورد ما این است و)، سپس لازم است که توان ها را با هم مقایسه کنیم(و) - هر چه شاخص بالاتر باشد، این عبارت کوچکتر است.

سعی کنید ریشه های زیر را با هم مقایسه کنید:

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم؟

ما این را با موفقیت مرتب کردیم :). سوال دیگری مطرح می شود: اگر همه ما متفاوت باشیم چه؟ هم درجه و هم بیان رادیکال؟ همه چیز آنقدر پیچیده نیست، ما فقط باید... از شر ریشه خلاص شویم. بله بله. فقط از شر آن خلاص شوید)

اگر درجات و عبارات رادیکال متفاوتی داشته باشیم، باید کمترین مضرب مشترک را برای نماهای ریشه ها پیدا کنیم (بخش مربوطه را بخوانید) و هر دو عبارت را به توانی برابر با کمترین مضرب مشترک برسانیم.

که همه در حرف و کلام هستیم. در اینجا یک مثال است:

  1. ما به شاخص های ریشه ها نگاه می کنیم - و. کمترین مضرب مشترک آنها .
  2. بیایید هر دو عبارت را به یک قدرت برسانیم:
  3. بیایید عبارت را تبدیل کنیم و پرانتزها را باز کنیم (جزئیات بیشتر در فصل):
  4. بیایید کارهایی را که انجام داده ایم بشماریم و علامتی بگذاریم:

4. مقایسه لگاریتم ها

بنابراین، به آرامی اما مطمئناً به این سؤال رسیدیم که چگونه لگاریتم ها را مقایسه کنیم. اگر به خاطر ندارید این چه نوع حیوانی است، به شما توصیه می کنم ابتدا تئوری را از بخش بخوانید. آیا آن را خوانده اید؟ سپس به چند سوال مهم پاسخ دهید:

  1. استدلال لگاریتم چیست و مبنای آن چیست؟
  2. چه چیزی تعیین می کند که یک تابع افزایش یا کاهش یابد؟

اگر همه چیز را به خاطر می آورید و کاملاً به آن تسلط دارید، بیایید شروع کنیم!

برای مقایسه لگاریتم ها با یکدیگر، فقط باید 3 تکنیک را بدانید:

  • کاهش به همان مبنا؛
  • تقلیل به همان استدلال;
  • مقایسه با عدد سوم

در ابتدا به پایه لگاریتم توجه کنید. آیا به یاد دارید که اگر کمتر باشد، تابع کاهش می یابد و اگر بیشتر باشد، افزایش می یابد. این همان چیزی است که قضاوت های ما بر اساس آن خواهد بود.

بیایید مقایسه ای از لگاریتم هایی را که قبلاً به همان پایه یا آرگومان تقلیل یافته اند در نظر بگیریم.

برای شروع، اجازه دهید مسئله را ساده کنیم: لگاریتم های مقایسه شده را وارد کنید زمینه های برابر. سپس:

  1. تابع، برای، در فاصله زمانی افزایش می‌یابد، که در تعریف، به معنای «مقایسه مستقیم» است.
  2. مثال:- دلایل یکسان است، ما استدلال ها را بر این اساس مقایسه می کنیم: , بنابراین:
  3. تابع، در، در فاصله زمانی از کاهش می‌یابد، که در تعریف، به معنای «مقایسه معکوس» است. - مبانی یکسان است، ما آرگومان ها را بر این اساس مقایسه می کنیم: با این حال، علامت لگاریتم ها "معکوس" خواهد بود، زیرا تابع در حال کاهش است: .

حال مواردی را در نظر بگیرید که دلایل متفاوت است، اما استدلال ها یکی است.

  1. پایه بزرگتر است.
    • . در این مورد ما از "مقایسه معکوس" استفاده می کنیم. به عنوان مثال: - آرگومان ها یکی هستند و. بیایید پایه ها را با هم مقایسه کنیم: با این حال، علامت لگاریتم ها "معکوس" خواهد بود:
  2. پایه a در شکاف است.
    • . در این مورد از "مقایسه مستقیم" استفاده می کنیم. مثلا:
    • . در این مورد ما از "مقایسه معکوس" استفاده می کنیم. مثلا:

بیایید همه چیز را به صورت جدولی کلی بنویسیم:

، که در آن ، که در آن

بر این اساس، همانطور که قبلاً فهمیدید، هنگام مقایسه لگاریتم ها، باید به همان مبنا یا آرگومان برسیم.

همچنین می توانید لگاریتم ها را با عدد سوم مقایسه کنید و بر این اساس نتیجه گیری کنید که چه چیزی کمتر و چه چیزی بیشتر است. مثلاً به این فکر کنید که چگونه می توان این دو لگاریتم را با هم مقایسه کرد؟

یک نکته کوچک - برای مقایسه، یک لگاریتم به شما کمک زیادی می کند، که استدلال آن برابر خواهد بود.

فکر؟ بیا با هم تصمیم بگیریم

ما به راحتی می توانیم این دو لگاریتم را با شما مقایسه کنیم:

نمیدونی چطوری؟ بالا را ببین. ما فقط این را مرتب کردیم. چه نشانه ای وجود خواهد داشت؟ درست:

موافق؟

بیایید با یکدیگر مقایسه کنیم:

شما باید موارد زیر را دریافت کنید:

اکنون تمام نتایج ما را در یک جمع کنید. اتفاق افتاد؟

5. مقایسه عبارات مثلثاتی.

سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت چیست؟ چرا به یک دایره واحد نیاز داریم و چگونه مقدار توابع مثلثاتی روی آن را پیدا کنیم؟ اگر پاسخ این سوالات را نمی دانید، به شدت توصیه می کنم که تئوری این موضوع را مطالعه کنید. و اگر می دانید، پس مقایسه عبارات مثلثاتی با یکدیگر برای شما سخت نیست!

بیایید کمی حافظه خود را تازه کنیم. بیایید یک دایره مثلثاتی واحد و یک مثلث حک شده در آن رسم کنیم. توانستی مدیریت کنی؟ حالا با استفاده از اضلاع مثلث، کسینوس را در کدام ضلع و سینوس را در کدام سمت رسم می کنیم. (البته به یاد داشته باشید که سینوس نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است و کسینوس ضلع مجاور؟). کشیدی؟ عالی! آخرین لمس این است که آن را در کجا، کجا و غیره قرار دهیم. آن را گذاشتی؟ فیو) بیایید آنچه را که برای من و شما اتفاق افتاد مقایسه کنیم.

اوه! حالا بیایید مقایسه را شروع کنیم!

فرض کنید باید مقایسه کنیم و. با قرار دادن نقاط روی دایره واحد، این زوایا را با استفاده از دستورات موجود در کادرها (جایی که کجا را مشخص کرده ایم) بکشید. توانستی مدیریت کنی؟ این چیزی است که من دریافت کردم.

حالا از نقاطی که روی دایره مشخص کردیم یک عمود بر روی محور بیندازیم... کدام یک؟ کدام محور مقدار سینوس ها را نشان می دهد؟ درست، . این چیزی است که باید دریافت کنید:

با نگاه کردن به این تصویر، که بزرگتر است: یا؟ البته چون نقطه بالاتر از نقطه است.

به روشی مشابه، مقدار کسینوس ها را با هم مقایسه می کنیم. فقط عمود بر محور را پایین می آوریم... درست است، . بر این اساس، ما نگاه می کنیم که کدام نقطه در سمت راست (یا بالاتر، مانند مورد سینوس ها) است، سپس مقدار آن بیشتر است.

احتمالاً از قبل می دانید که چگونه مماس ها را مقایسه کنید، درست است؟ تنها چیزی که باید بدانید این است که مماس چیست. پس مماس چیست؟) درست است، نسبت سینوس به کسینوس.

برای مقایسه مماس ها، یک زاویه را مانند حالت قبل ترسیم می کنیم. فرض کنید باید مقایسه کنیم:

کشیدی؟ اکنون مقادیر سینوس را روی محور مختصات نیز علامت گذاری می کنیم. متوجه شدید؟ اکنون مقادیر کسینوس را در خط مختصات نشان دهید. اتفاق افتاد؟ بیایید مقایسه کنیم:

حالا آنچه نوشتید را تحلیل کنید. - یک بخش بزرگ را به یک قسمت کوچک تقسیم می کنیم. پاسخ حاوی مقداری خواهد بود که قطعاً بزرگتر از یک است. درست؟

و وقتی کوچک را بر بزرگ تقسیم می کنیم. پاسخ عددی خواهد بود که دقیقاً کمتر از یک باشد.

بنابراین کدام عبارت مثلثاتی ارزش بیشتری دارد؟

درست:

همانطور که اکنون متوجه شدید، مقایسه کوتانژانت ها یکسان است، فقط به صورت معکوس: ما به نحوه ارتباط بخش هایی که کسینوس و سینوس را تعریف می کنند با یکدیگر نگاه می کنیم.

سعی کنید عبارات مثلثاتی زیر را خودتان مقایسه کنید:

مثال ها.

پاسخ ها.

مقایسه اعداد. سطح متوسط.

کدام عدد بزرگتر است: یا؟ پاسخ واضح است. و حالا: یا؟ دیگر چندان واضح نیست، درست است؟ بنابراین: یا؟

اغلب باید بدانید کدام عبارت عددی بزرگتر است. به عنوان مثال، به منظور قرار دادن نقاط روی محور به ترتیب صحیح هنگام حل یک نامساوی.

اکنون به شما یاد می دهم که چگونه چنین اعدادی را مقایسه کنید.

در صورت نیاز به مقایسه اعداد، علامتی بین آنها قرار می دهیم (برگرفته از کلمه لاتین Versus یا به اختصار در مقابل - مقابل): . این علامت جایگزین علامت نابرابری مجهول (). سپس، تبدیل‌های یکسانی را انجام می‌دهیم تا زمانی که مشخص شود کدام علامت باید بین اعداد قرار گیرد.

ماهیت مقایسه اعداد این است: ما با علامت به گونه ای رفتار می کنیم که گویی نوعی علامت نابرابری است. و با عبارت ما می توانیم هر کاری را که معمولاً با نابرابری ها انجام می دهیم انجام دهیم:

  • هر عددی را به هر دو طرف اضافه کنید (و البته ما هم می توانیم کم کنیم)
  • "همه چیز را به یک سمت حرکت دهید"، یعنی یکی از عبارات مقایسه شده را از هر دو قسمت کم کنید. به جای عبارت تفریق شده باقی می ماند: .
  • ضرب یا تقسیم بر همان عدد اگر این عدد منفی باشد، علامت نابرابری معکوس می شود: .
  • هر دو طرف را به یک قدرت برسانید. اگر این قدرت یکنواخت است، باید مطمئن شوید که هر دو قسمت علامت یکسانی دارند. اگر هر دو قسمت مثبت باشند، علامت با بالا بردن توان تغییر نمی کند، اما اگر منفی باشند، به عکس تغییر می کند.
  • ریشه یک درجه را از هر دو قسمت استخراج کنید. اگر ریشه یک درجه زوج را استخراج می کنیم، ابتدا باید مطمئن شویم که هر دو عبارت غیر منفی هستند.
  • هر تبدیل معادل دیگر

مهم: توصیه می شود تغییراتی را به گونه ای انجام دهید که علامت نابرابری تغییر نکند! یعنی در حین تبدیل ها ضرب در یک عدد منفی نامطلوب است و اگر یکی از قسمت ها منفی باشد نمی توانید آن را مربع کنید.

بیایید به چند موقعیت معمولی نگاه کنیم.

1. قدرت.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

از آنجایی که هر دو طرف نابرابری مثبت هستند، می توانیم آن را مربع کنیم تا از ریشه خلاص شویم:

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

در اینجا ما همچنین می توانیم آن را مربع کنیم، اما این فقط به ما کمک می کند تا از ریشه دوم خلاص شویم. در اینجا باید آن را به حدی بالا برد که هر دو ریشه از بین بروند. به این معنی که نماگر این درجه باید بر هر دو (درجه ریشه اول) و بر قابل تقسیم باشد. بنابراین، این عدد به توان یکم افزایش می یابد:

2. ضرب در مزدوج آن.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

بیایید هر اختلاف را بر مجموع مزدوج ضرب و تقسیم کنیم:

بدیهی است که مخرج سمت راست بزرگتر از مخرج سمت چپ است. بنابراین، کسر سمت راست کوچکتر از کسر سمت چپ است:

3. تفریق

این را به خاطر بسپاریم.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

البته، ما می‌توانیم همه چیز را جمع‌بندی کنیم، مجدداً جمع‌بندی کنیم و دوباره آن را مربع کنیم. اما می توانید کاری هوشمندانه تر انجام دهید:

مشاهده می شود که در سمت چپ هر جمله کمتر از هر عبارت سمت راست است.

بر این اساس، مجموع تمام عبارت های سمت چپ کمتر از مجموع تمام عبارت های سمت راست است.

اما مراقب باشید! از ما پرسیدند که دیگر چه ...

سمت راست بزرگتر است.

مثال.

مقایسه اعداد و ...

راه حل.

بیایید فرمول های مثلثاتی را به خاطر بسپاریم:

بیایید بررسی کنیم که نقاط در چه ربع های دایره مثلثاتی قرار دارند و دروغ می گویند.

4. تقسیم.

در اینجا از یک قانون ساده نیز استفاده می کنیم: .

در یا، یعنی.

وقتی علامت تغییر می کند: .

مثال.

مقایسه کنید: .

راه حل.

5. اعداد را با عدد سوم مقایسه کنید

اگر و، پس (قانون گذر).

مثال.

مقایسه کنید.

راه حل.

بیایید اعداد را نه با یکدیگر، بلکه با عدد مقایسه کنیم.

بدیهی است که

از طرف دیگر، .

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

هر دو عدد بزرگتر، اما کوچکتر هستند. بیایید عددی را طوری انتخاب کنیم که بزرگتر از یک، اما کوچکتر از دیگری باشد. مثلا، . بیایید بررسی کنیم:

6. با لگاریتم ها چه کنیم؟

چیز خاصی نیست. نحوه خلاص شدن از شر لگاریتم به طور مفصل در تاپیک توضیح داده شده است. قوانین اساسی عبارتند از:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \فلش راست چپ (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

همچنین می‌توانیم قاعده‌ای در مورد لگاریتم‌هایی با پایه‌های مختلف و همان آرگومان اضافه کنیم:

این را می توان اینگونه توضیح داد: هرچه پایه بزرگتر باشد، درجه کمتری باید برای به دست آوردن همان چیز افزایش یابد. اگر پایه کوچکتر باشد، عکس آن صادق است، زیرا تابع مربوطه به طور یکنواخت کاهش می یابد.

مثال.

مقایسه اعداد: و.

راه حل.

طبق قوانین فوق:

و اکنون فرمول پیشرفته.

قانون مقایسه لگاریتم ها را می توان به طور خلاصه تر نوشت:

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

مثال.

مقایسه کنید کدام عدد بزرگتر است: .

راه حل.

مقایسه اعداد. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

1. قدرت

اگر هر دو طرف نابرابری مثبت باشند، می توان آنها را مربع کرد تا از ریشه خلاص شود

2. ضرب در مزدوج آن

مزدوج عاملی است که بیان را با فرمول تفاوت مربع ها تکمیل می کند: - مزدوج برای و بالعکس، زیرا .

3. تفریق

4. تقسیم

چه زمانی یا آن زمان است

وقتی علامت تغییر می کند:

5. مقایسه با عدد سوم

اگر و سپس

6. مقایسه لگاریتم ها

قوانین اساسی:

لگاریتم هایی با پایه های مختلف و آرگومان یکسان:

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

  1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
  2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید یک کتاب درسی - 899 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

    بیا شروع کنیم با خواص لگاریتم یک. فرمول آن به صورت زیر است: لگاریتم وحدت برابر با صفر است، یعنی 1=0 را ثبت کنیدبرای هر a>0، a≠1. اثبات دشوار نیست: از آنجایی که 0 = 1 برای هر a که شرایط فوق را ارضا می کند a>0 و a≠1، پس ثبت تساوی a 1=0 که باید ثابت شود بلافاصله از تعریف لگاریتم پیروی می کند.

    اجازه دهید مثال هایی از کاربرد خاصیت در نظر گرفته شده ارائه دهیم: log 3 1=0، log1=0 و .

    بیایید به ملک بعدی برویم: لگاریتم یک عدد مساوی با پایه برابر با یک است، به این معنا که، ورود a=1برای a>0، a≠1. در واقع، از آنجایی که a 1 =a برای هر a، پس طبق تعریف لگاریتم log a=1 است.

    نمونه هایی از استفاده از این ویژگی لگاریتم برابری های log 5 5=1، log 5.6 5.6 و lne=1 هستند.

    به عنوان مثال، log 2 2 7 =7، log10 -4 =-4 و .

    لگاریتم حاصل ضرب دو عدد مثبت x و y برابر است با حاصل ضرب لگاریتم این اعداد: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . بیایید خاصیت لگاریتم یک محصول را ثابت کنیم. با توجه به خواص درجه a log a x+log a y =a log a x ·a log a yو از آنجایی که با هویت لگاریتمی اصلی یک log a x =x و یک log a y =y است، سپس یک log a x ·a log a y =x·y. بنابراین، یک log a x+log a y =x·y، که با تعریف لگاریتم، برابری در حال اثبات از آن به دست می‌آید.

    بیایید مثال هایی از استفاده از ویژگی لگاریتم یک محصول را نشان دهیم: log 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 و .

    خاصیت لگاریتم یک محصول را می توان به حاصل ضرب عدد محدود n از اعداد مثبت x 1 , x 2 , …, x n تعمیم داد. log a (x 1 · x 2 ·… · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . این برابری بدون مشکل قابل اثبات است.

    به عنوان مثال، لگاریتم طبیعی حاصلضرب را می توان با مجموع سه لگاریتم طبیعی اعداد 4، e و.

    لگاریتم ضریب دو عدد مثبت x و y برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد. خاصیت لگاریتم یک ضریب منطبق بر فرمولی از فرم است که در آن a>0، a≠1، x و y برخی اعداد مثبت هستند. اعتبار این فرمول و همچنین فرمول لگاریتم یک محصول ثابت شده است: از آنجا که ، سپس با تعریف لگاریتم.

    در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی لگاریتم آورده شده است: .

    بیایید به ادامه مطلب برویم ویژگی لگاریتم توان. لگاریتم یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم مدول پایه این درجه. اجازه دهید این ویژگی لگاریتم یک توان را به صورت فرمول بنویسیم: log a b p =p·log a |b|، که در آن a>0، a≠1، b و p اعدادی هستند به طوری که درجه b p معنی دارد و b p > 0.

    ابتدا این خاصیت را برای مثبت b ثابت می کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b، سپس b p =(a log a b) p نمایش دهیم، و عبارت حاصل، به دلیل خاصیت توان، برابر با p·log a b است. بنابراین به برابری b p = a p·log a b می رسیم که از آن با تعریف لگاریتم نتیجه می گیریم که log a b p = p·log a b.

    باقی می ماند که این خاصیت برای منفی b ثابت شود. در اینجا توجه می کنیم که عبارت log a b p برای منفی b فقط برای توان های زوج p معنی دارد (زیرا مقدار درجه b p باید بزرگتر از صفر باشد، در غیر این صورت لگاریتم معنی نخواهد داشت) و در این مورد b p =|b| پ. سپس b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|، از آنجا log a b p =p·log a |b| .

    مثلا، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

    از ملک قبلی بر می آید ویژگی لگاریتم از ریشه: لگاریتم ریشه n برابر است با حاصل ضرب کسری 1/n توسط لگاریتم عبارت رادیکال، یعنی ، که در آن a>0، a≠1، n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است، b>0.

    اثبات بر اساس برابری (نگاه کنید به) است که برای هر b مثبت معتبر است، و خاصیت لگاریتم توان: .

    در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی آورده شده است: .

    حالا بیایید ثابت کنیم فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدیدنوع . برای این کار کافی است صحت log برابری c b=log a b·log c a را اثبات کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b نمایش دهیم، سپس log c b=log c a log a b را نشان دهیم. باقی مانده است که از ویژگی لگاریتم درجه استفاده کنیم: log c a log a b =log a b log c a. این log برابری c b=log a b·log c a را اثبات می کند، به این معنی که فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم نیز ثابت شده است.

    بیایید چند مثال از استفاده از این خاصیت لگاریتم را نشان دهیم: and .

    فرمول انتقال به یک پایه جدید به شما امکان می دهد تا به کار با لگاریتم هایی بروید که پایه "مناسب" دارند. برای مثال می توان از آن برای رفتن به لگاریتم های طبیعی یا اعشاری استفاده کرد تا بتوانید مقدار لگاریتم را از جدول لگاریتم محاسبه کنید. فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید همچنین در برخی موارد امکان یافتن مقدار لگاریتم معین را هنگامی که مقادیر برخی از لگاریتم ها با پایه های دیگر مشخص است، می دهد.

    یک مورد خاص از فرمول برای انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید برای c=b فرم اغلب استفاده می شود . این نشان می دهد که log a b و log b a – . به عنوان مثال، .

    فرمول نیز اغلب استفاده می شود ، که برای یافتن مقادیر لگاریتمی مناسب است. برای تأیید کلمات خود، نشان خواهیم داد که چگونه می توان از آن برای محاسبه مقدار لگاریتم فرم استفاده کرد. ما داریم . برای اثبات فرمول کافی است از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم a استفاده کنید: .

    باقی مانده است که خواص مقایسه لگاریتم ها را اثبات کنیم.

    اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد مثبت b 1 و b 2، b 1 log a b 2 و برای a>1 - نابرابری log a b 1

    در نهایت، باید آخرین ویژگی لگاریتم ها را ثابت کرد. اجازه دهید خود را به اثبات قسمت اول آن محدود کنیم، یعنی ثابت کنیم که اگر 1 >1، a 2 >1 و a 1 1 درست است log a 1 b>log a 2 b . گزاره های باقی مانده از این خاصیت لگاریتم بر اساس یک اصل مشابه اثبات می شوند.

    از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید که برای 1 > 1، 2 > 1 و 1 1 درست است log a 1 b≤log a 2 b . بر اساس ویژگی های لگاریتم، این نابرابری ها را می توان به صورت بازنویسی کرد و به ترتیب، و از آنها چنین است که به ترتیب log b a 1 ≤log b a 2 و log b a 1 ≥log b a 2. سپس، با توجه به ویژگی‌های توان‌های با پایه‌های یکسان، برابری‌های b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2 باید برقرار باشند، یعنی a 1 ≥a 2 . بنابراین به یک تناقض با شرط a 1 رسیدیم

کتابشناسی - فهرست کتب.

  • کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
  • گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

خواص اصلی.

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته اگر ODZ لگاریتم رعایت شود همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:


ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.


مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.

3.

4. جایی که .



مثال 2. x if را پیدا کنید


مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if




ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم را که در آنجا ایستاده بود به شکل توان ارائه دادیم و نماها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان با هم عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

  1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
  2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.


این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم را که در آنجا ایستاده بود به شکل توان ارائه دادیم و نماها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان با هم عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

  1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
  2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.



 

شاید خواندن آن مفید باشد: