ساخت و ساز دانه برف کوخ. چگونه یک دانه برف کوچ بکشیم، نمودارهای عکس، دانه برف کوخ چگونه به نظر می رسد؟ نشانه گذاری رابط کاربری برنامه در Application Builder

موضوع: فراکتال ها

1. معرفی. پیشینه تاریخی مختصر در مورد فراکتال ها 2. فراکتال ها عناصری از هندسه در طبیعت هستند.

3. اجسام با خواص فراکتالی در طبیعت. 4. تعریف اصطلاح "فرکتال".

5. کلاس های فراکتال ها.

6. توصیف فرآیندهای فراکتال. 7.روش های به دست آوردن مجموعه های فراکتال.

8.1 کوخا شکسته (رویه به دست آوردن).

8.2 دانه برف کوخ (کوخ فراکتال).

8.3 اسفنج منگر.

9. نمونه هایی از استفاده از فراکتال ها.

معرفی. پیشینه تاریخی مختصر در مورد فراکتال ها

فراکتال ها شاخه ای جوان از ریاضیات گسسته هستند.

که در در سال 1904، کخ سوئدی با یک منحنی پیوسته آمد که هیچ مماس در هیچ کجا وجود ندارد - منحنی کخ.

که در در سال 1918، جولیای فرانسوی یک خانواده کامل از فراکتال ها را توصیف کرد.

که در در سال 1938، پیر لوی مقاله ای را منتشر کرد: منحنی ها و سطوح صفحه و فضایی متشکل از قطعاتی شبیه به کل.

که در 1982 بنوا ماندلبرو کتاب "هندسه فراکتالی طبیعت" را منتشر کرد.

با با استفاده از ساختارها و فرمول های ساده، تصاویر به دست می آید. "نقاشی فراکتال" ظاهر شد.

از سال 1993، World Scientific مجله "Fractals" را منتشر کرده است.

فراکتال ها عناصری از هندسه در طبیعت هستند.

فراکتال ها وسیله ای برای توصیف اشیایی مانند مدل های رشته کوه، خطوط ساحلی ناهموار، سیستم گردش خون بسیاری از مویرگ ها و رگ ها، تاج درختان، آبشارهای آبشاری، الگوهای یخ زده روی شیشه هستند.

یا اینها: برگ سرخس، ابر، لکه.

تصاویر چنین اجسامی را می توان با استفاده از گرافیک فراکتال نشان داد.

اجسام با خواص فراکتال در طبیعت.

صدف دریایی مرجانی ستاره دریایی و خارپشت

گل و گیاه (کلم بروکلی، کلم) میوه ها (آناناس)

تاج درخت و برگ گیاهان سیستم گردش خونو برونش انسان و حیوان در طبیعت بی جان:

مرزهای اجرام جغرافیایی (کشورها، مناطق، شهرها) خطوط ساحلی رشته کوه ها دانه های برف ابرها رعد و برق

الگوهای تشکیل شده بر روی کریستال های شیشه ای استالاکتیت ها، استالاگمیت ها، هلیکتیت ها.

تعریف اصطلاحات "فرکتال".

فراکتال ها اشکال هندسی هستند که یک یا چند مورد از ویژگی های زیر را برآورده می کنند:

دارای یک ساختار پیچیده غیر پیش پا افتاده در هر بزرگنمایی (در همه مقیاسها) است؛ (تقریباً) خود مشابه است.

این یک بعد Hausdorff (فرکتال) کسری دارد یا از یک بعد توپولوژیکی فراتر می رود؛ می تواند با روش های بازگشتی ساخته شود.

برای اشکال منظم مانند دایره، بیضی، نمودار یک تابع صافیک قطعه کوچک در مقیاس بسیار بزرگ شبیه یک قطعه از یک خط مستقیم است. برای یک فراکتال، افزایش مقیاس منجر به ساده‌سازی ساختار نمی‌شود؛ برای همه مقیاس‌ها تصاویری به همان اندازه پیچیده خواهیم دید.

کلاس های فراکتال

فراکتال ساختاری متشکل از قطعات (زیر ساختارها) شبیه به کل است.

برخی از فراکتال ها را می توان به عنوان عناصر طبیعت به عنوان فراکتال های هندسی (سازنده) طبقه بندی کرد.

بقیه را می توان به عنوان فراکتال های پویا (جبری) طبقه بندی کرد.

مراحل به دست آوردن مجموعه های فراکتال.

این یک روش بازگشتی ساده برای به دست آوردن منحنی های فراکتال است: یک خط شکسته دلخواه را با تعداد محدودی از پیوندها مشخص کنید - یک مولد. در مرحله بعد، هر بخش از ژنراتور در آن جایگزین می شود. سپس هر بخش در آن دوباره با یک ژنراتور جایگزین می شود و به همین ترتیب تا بی نهایت.

نشان داده شده: تقسیم یک قطعه واحد به 3 قسمت (الف)، یک واحد مربع به 9 قسمت (ب)، یک مکعب واحد به 27 قسمت (ج) و 64 قسمت (د). تعداد قطعات n، ضریب مقیاس بندی k و بعد فضا d است. ما روابط زیر را داریم: n = kd،

اگر n = 3، k = 3، سپس d = 1. اگر n = 9، k = 3، سپس d = 2. اگر n = 27، k = 3، سپس d = 3.

اگر n = 4، k = 4، سپس d = 1. اگر n = 16، k = 4، سپس d = 2. اگر n = 64، k = 4، پس d = 3. بعد فضا به اعداد صحیح بیان می شود: d = 1، 2، 3. برای n = 64، مقدار d است

پنج مرحله از ساخت چند خط کوچ نشان داده شده است: یک بخش از طول واحد (a)، تقسیم به سه قسمت (k = 3)، از چهار قسمت (n = 4) - یک خط شکسته (b). هر بخش مستقیم به سه قسمت (k2 = 9) و از 16 قسمت (n2 = 16) - یک خط شکسته (c) تقسیم می شود. این روش برای k3 = 27 و n3 = 64 - خط شکسته (g) تکرار می شود. برای k5 = 243 و n5 = 1024 - خط شکسته (d).

بعد، ابعاد، اندازه

این یک بعد کسری یا فراکتال است.

چند خط کوخ که توسط هلگ فون کخ در سال 1904 پیشنهاد شد، به عنوان یک فراکتال عمل می کند که برای مدل سازی ناهمواری یک خط ساحلی مناسب است. ماندلبروت عنصری از تصادفی بودن را در الگوریتم ساخت خط ساحلی معرفی کرد که با این حال بر نتیجه گیری اصلی در مورد طول خط ساحلی تأثیری نداشت. چون حد

طول خط ساحلی به دلیل ناهمواری بی پایان ساحل به سمت بی نهایت می رود.

روش هموارسازی خط ساحلی هنگام حرکت از مقیاس دقیق تر به مقیاس کمتر، یعنی.

دانه برف کوخ (کوخ فراکتال)

به عنوان پایه ای برای ساخت، شما می توانید بخش هایی از طول واحد را در نظر نگیرید، بلکه یک مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید، که در هر ضلع آن می توانید روند ضرب بی نظمی ها را گسترش دهید. در این مورد، ما یک دانه برف Koch (شکل.) دریافت می کنیم، و از سه نوع: مثلث های تازه تشکیل شده فقط از مثلث قبلی (a) و (b) به سمت بیرون هدایت می شوند. فقط داخل (در)؛ به صورت تصادفی یا بیرونی یا درونی (د) و (ه). چگونه می توانید رویه ساخت فراکتال کوخ را تنظیم کنید.

برنج. دانه برف کخ

در شکل دو نمودار برداری نشان داده شده است. اعداد بالای فلش ها احتمالاً این سؤال را ایجاد می کنند: معنی آنها چیست؟ بردار 0 با جهت مثبت محور آبسیسا منطبق است، زیرا ضریب فاز آن (i2πl/6) در l = 0 جهت خود را حفظ می کند. بردار 1 نسبت به بردار 0 با زاویه 2π/6 می چرخد، زمانی که l=1 باشد. بردار 5 دارای ضریب فاز exp (i2π5/6)، l = 5 است. آخرین بردار همان ضریب فاز اول را دارد. l = 0). اعداد صحیح l زاویه ضریب فاز بردار واحد را مشخص می کنند.

مرحله اول (شکل) یک رویه بازگشتی را برای تمام مراحل بعدی و به ویژه برای مرحله دوم (شکل) مشخص می کند. چگونه از مجموعه ای از اعداد φ1 = (0 1 5 0) به φ2 = (0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0) برویم؟ پاسخ: از طریق ضرب ماتریس مستقیم، زمانی که هر عنصر یک ماتریس در ماتریس اصلی ضرب شود. از آنجایی که در این مورد با یک آرایه تک بعدی سر و کار داریم، i.e. از آنجایی که ماتریس ها بردار هستند، هر عنصر یک ماتریس-بردار در تمام عناصر یک ماتریس-بردار دیگر ضرب می شود. علاوه بر این، عناصر ماتریس-بردار φ1 از توابع نمایی exp (i2πl/6) تشکیل شده است، بنابراین، 10 هنگام ضرب عدد h لازم است مطابق mod (6) جمع شود و ضرب نشود.

منحنی کخ

دانه های برف کخ

برای ساخت دانه برف کوخ، عملیات زیر را انجام می دهیم. یک مثلث متساوی الاضلاع را به عنوان تکرار صفر در نظر بگیرید.


سپس هر یک از اضلاع این مثلث را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنیم، قسمت وسط را برداشته و مثلث متساوی الاضلاع را در وسط تکمیل می کنیم. در مرحله بعد، هر ضلع از شکل جدید به همان روش تقسیم به سه قسمت مساوی و تکمیل ساختن یک مثلث متساوی الاضلاع و غیره تا بی نهایت انجام می شود. نتیجه یک منحنی متقارن، دانه برف مانند و بی نهایت شکسته است که مجموعه ای مشابه به نام دانه برف کوچ است. نام آن به افتخار ریاضیدان سوئدی هلگه فون کخ گرفته شد که برای اولین بار آن را در سال 1904 توصیف کرد. ویژگی بارز آن این است که بسته بودن، با این حال خود را در هیچ کجا قطع نمی کند، زیرا مثلث های تکمیل شده هر بار به اندازه کافی کوچک هستند و هرگز با آنها برخورد نمی کنند. یکدیگر.

بعد فراکتال آن را محاسبه می کنیم. طول اضلاع مثلث اصلی را در نظر بگیرید ل= 1، سپس قطعه از چهار بخش تشکیل می شود که طول هر کدام 1/3 و بنابراین طول کل 4/3 است. در مرحله بعد یک خط شکسته متشکل از 16 قطعه و با طول کل 16/9 یا و غیره به دست می آوریم. از این نتیجه می شود که بعد فراکتال برابر است با

این مقدار بزرگتر از یک (بعد توپولوژیکی خط)، اما کمتر از بعد اقلیدسی صفحه، d = 2 است که منحنی روی آن قرار دارد. اجازه دهید توجه داشته باشیم که منحنی به دست آمده در نتیجه تکرار n برای هر n محدود، پرفرکتال نامیده می شود، و تنها زمانی که n به بی نهایت تمایل دارد، منحنی کوخ به یک فراکتال تبدیل می شود. بنابراین، دانه‌های برف کوخ خطی با طول بی‌نهایت است که یک ناحیه محدود را محدود می‌کند. با استفاده از تعریف فراکتال می توان به جرات گفت که این مجموعه یک فراکتال است.

این رقم یکی از اولین فراکتال هایی است که توسط دانشمندان مورد مطالعه قرار گرفته است. از سه نسخه می آید منحنی کخ، که اولین بار در مقاله ای توسط ریاضیدان سوئدی هلگه فون کخ در سال 1904 ظاهر شد. این منحنی به عنوان نمونه ای از یک خط پیوسته اختراع شد که نمی تواند بر هیچ نقطه مماس باشد. خطوط با این ویژگی قبلا شناخته شده بودند (کارل وایرشتراس نمونه خود را در سال 1872 ساخت)، اما منحنی کوخ به دلیل سادگی طراحی آن قابل توجه است. تصادفی نیست که مقاله او "در مورد یک منحنی پیوسته بدون مماس، که از هندسه ابتدایی ناشی می شود" نام دارد.

طراحی و انیمیشن کاملاً نشان می دهد که چگونه منحنی کخ گام به گام ساخته می شود. اولین تکرار به سادگی بخش اولیه است. سپس به سه قسمت مساوی تقسیم می شود، قسمت مرکزی کامل می شود تا یک مثلث منظم تشکیل شود و سپس به بیرون پرتاب می شود. نتیجه تکرار دوم است - یک خط شکسته متشکل از چهار بخش. برای هر کدام از آنها همین عملیات انجام می شود و مرحله چهارم ساخت به دست می آید. با همین روحیه ادامه دهید، می توانید خطوط جدید بیشتری دریافت کنید (همه آنها خطوط شکسته خواهند بود). و آنچه در حد اتفاق می افتد (این قبلاً یک شی خیالی خواهد بود) منحنی کوخ نامیده می شود.

ویژگی های اساسی منحنی کخ

1. پیوسته است، اما هیچ جا قابل تمایز نیست.به طور کلی، دقیقاً به همین دلیل اختراع شد - به عنوان نمونه ای از این نوع "فریک های" ریاضی.

2. دارای طول بی نهایت.بگذارید طول قطعه اصلی برابر با 1 باشد. در هر مرحله ساخت، هر یک از قطعات تشکیل دهنده خط را با یک خط شکسته جایگزین می کنیم که 4/3 برابر بیشتر است. این بدان معنی است که طول کل خط شکسته در هر مرحله در 4/3 ضرب می شود: طول خط با عدد nبرابر با (4/3) n-1. بنابراین خط حد چاره ای جز طولانی بودن بی نهایت ندارد.

3. دانه‌های برف کوخ ناحیه محدود را محدود می‌کند.و این با وجود این واقعیت است که محیط آن نامحدود است. این ویژگی ممکن است متناقض به نظر برسد، اما واضح است - یک دانه برف به طور کامل در یک دایره قرار می گیرد، بنابراین مساحت آن به وضوح محدود است. مساحت را می توان محاسبه کرد و شما حتی برای این کار به دانش خاصی نیاز ندارید - فرمول هایی برای مساحت یک مثلث و مجموع یک پیشرفت هندسی در مدرسه آموزش داده می شود. برای علاقه مندان، محاسبه در زیر به صورت ریز فهرست شده است.

اجازه دهید ضلع مثلث منتظم اصلی برابر باشد آ. سپس مساحت آن است. ابتدا ضلع 1 و مساحت: . با افزایش تکرار چه اتفاقی می افتد؟ می توانیم فرض کنیم که مثلث های متساوی الاضلاع کوچک به یک چندضلعی موجود متصل شده اند. دفعه اول فقط 3 عدد و هر دفعه بعدی 4 برابر بیشتر از دفعه قبل است. یعنی در nمرحله ام تکمیل خواهد شد Tn= 3 4 n-1 مثلث طول ضلع هر یک از آنها یک سوم ضلع مثلث تکمیل شده در مرحله قبل است. پس برابر است با (1/3) n. مساحت ها با مربع های اضلاع متناسب است، بنابراین مساحت هر مثلث برابر است . برای مقادیر بزرگ nاتفاقا این خیلی کم است. سهم کل این مثلث ها در مساحت دانه های برف است Tn · S n= 3/4 · (4/9) n · اس 0 . بنابراین پس از nمرحله، مساحت شکل برابر با مجموع خواهد بود اس 0 + تی 1 · اس 1 + تی 2 · اس 2 + ... +Tnاس n = . یک دانه برف پس از تعداد بی نهایت مرحله به دست می آید که مربوط به آن است n→ ∞. نتیجه یک مجموع نامحدود است، اما این مجموع یک پیشرفت هندسی در حال کاهش است؛ یک فرمول برای آن وجود دارد: . مساحت دانه برف است.

4. بعد فراکتالمساوی با log4/log3 = log 3 4 ≈ 1.261859... . محاسبه دقیق به تلاش قابل توجه و توضیحات دقیق نیاز دارد، بنابراین در اینجا بیشتر توضیحی از تعریف بعد فراکتال ارائه می شود. از فرمول قانون قدرت ن(δ ) ~ (1/δ )D، جایی که ن- تعداد مربع های متقاطع، δ - اندازه آنها و D- بعد، متوجه شدیم D= log 1/ δ N. این برابری تا اضافه کردن یک ثابت صادق است (برای همه یکسان است δ ). شکل ها تکرار پنجم از ساخت منحنی کخ را نشان می دهند؛ مربع های شبکه ای که با آن تلاقی می کنند به رنگ سبز سایه می زنند. طول قطعه اصلی 1 است، بنابراین در شکل بالا طول ضلع مربع ها 1/9 است. 12 مربع سایه دار هستند، log 9 12 ≈ 1.130929... . هنوز خیلی شبیه 1.261859 نیست... . بیایید بیشتر نگاه کنیم. در تصویر وسط مربع ها نصف اندازه آنها 1/18 سایه دار 30 است. log 18 30 ≈ 1.176733... . در حال حاضر بهتر است. در زیر، مربع ها هنوز به اندازه نصف هستند؛ 72 قطعه قبلاً رنگ شده است. log 72 30 ≈ 1.193426... . حتی نزدیک تر. سپس باید تعداد تکرار را افزایش دهید و در همان زمان مربع ها را کاهش دهید، سپس مقدار "تجربی" بعد منحنی Koch به طور پیوسته به log 3 4 نزدیک می شود و در حد آن کاملاً منطبق می شود.

منحنی کخ یک منحنی فراکتال است که در سال 1904 توسط ریاضیدان سوئدی هلگه فون کوخ توصیف شد. سه کپی از منحنی کخ که بر روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع ساخته شده اند (نقاطی به سمت بیرون دارند)، یک منحنی بسته به نام دانه برف کخ را تشکیل می دهند.

گاهی اوقات وقتی دلم می‌خواهد فحش بدهم، کج خلق می‌کنم. مشکل را برنامه ریزی کنید این بار تصمیم گرفتم با فراکتال ها سرهم کنم. یعنی با دانه برف کوچ.

دانه برف کخ

این فراکتال یکی از اولین مواردی است که توسط دانشمندان مورد مطالعه قرار گرفته است. این منحنی از سه نسخه از منحنی کخ گرفته شده است که اولین بار در مقاله ای توسط ریاضیدان سوئدی هلگه فون کخ در سال 1904 ظاهر شد. این منحنی به عنوان نمونه ای از یک خط پیوسته اختراع شد که نمی تواند بر هیچ نقطه مماس باشد.

ویژگی های اساسی منحنی کخ:

  1. پیوسته است، اما هیچ جا قابل تمایز نیست.
  2. دارای طول بی نهایت بگذارید طول قطعه اصلی برابر با 1 باشد. در هر مرحله ساخت، هر یک از قطعات تشکیل دهنده خط را با یک خط شکسته جایگزین می کنیم که 4/3 برابر بیشتر است. این بدان معنی است که طول کل خط شکسته در هر مرحله در 4/3 ضرب می شود: طول خط با عدد n برابر است با (4/3)n–1. بنابراین خط حد چاره ای جز طولانی بودن بی نهایت ندارد.
  3. دانه های برف Koch محدوده محدود را محدود می کند. و این با وجود این واقعیت است که محیط آن نامحدود است. این ویژگی ممکن است متناقض به نظر برسد، اما واضح است - یک دانه برف به طور کامل در یک دایره قرار می گیرد، بنابراین مساحت آن به وضوح محدود است.

کمی ریاضی

گاهی اوقات یادآوری ساده ترین فحش ها بسیار جالب است. تبدیل ها (: در این مورد، لازم بود دانش در مورد بردارها و تبدیل نقاط در صفحه تجدید شود.

به طور خاص، نحوه چرخش یک نقطه نسبت به نقطه دیگر:

خوب، شما باید بدانید که چگونه با دانستن این فاصله و مختصات نقاط، نقطه ای را در قسمتی پیدا کنید که مقداری از آن نقطه فاصله دارد. روش های زیادی وجود دارد. می توانید مختصات خط حاوی این نقاط را پیدا کنید و سپس آنها را در معادله جایگزین کنید. می توانید مختصات را با استفاده از بردارها محاسبه کنید.

چیزی شبیه این به نظر می رسد.



 

شاید خواندن آن مفید باشد: