رئوس ذوزنقه. مطالب مربوط به هندسه با موضوع "ذوزنقه و خواص آن". خواص ذوزنقه متساوی الساقین

G.I. کووالوا

روش بررسی خواص ذوزنقه

در مواد آزمون ها و امتحانات مختلف، اغلب با تکالیف ذوزنقه ای مواجه می شویم که حل آن ها مستلزم دانستن خصوصیات «غیر برنامه ای» ذوزنقه توسط دانش آموزان است. (املاک محسوب می شود خط وسطذوزنقه، خواص مورب ها و زوایای ذوزنقه متساوی الساقین.) ذوزنقه چه ویژگی های قابل توجهی دارد؟ کجا و چه زمانی آنها را در یک دوره هندسه مدرسه مطالعه کنیم؟

پس از مطالعه خواص خط وسط ذوزنقه می توان فرموله و اثبات کرد ویژگی قطعه ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم متصل می کند. پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند با نصف اختلاف پایه ها برابر است.

با تمرین تکنیک اصلی برای حل مسائل روی ذوزنقه "دو ارتفاع را بکشید" ، دانش آموزان باید این کار را ارائه دهند: "اجازه دهید BT- ارتفاع ذوزنقه متساوی الساقین آ ب پ تبا دلایل قبل از میلاد مسیحو آگهی.

,

. طول قطعات را پیدا کنید ATو TD».

مبحث "شبیه شکل ها" برای مطالعه خواص ذوزنقه بسیار مفید است. به عنوان مثال، قطرهای ذوزنقه آن را به چهار مثلث تقسیم می کنند و مثلث های مجاور پایه ها مشابه و مثلث های مجاور اضلاع برابر هستند. بیایید این بیانیه را بنامیم باخاصیت مثلث هایی که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. علاوه بر این، بخش اول این ادعا به راحتی از طریق علامت شباهت مثلث ها در دو زاویه ثابت می شود. قسمت دوم را می توان در قالب تکلیف به دانش آموزان ارائه داد.

به همین ترتیب، مثلث ها BOCو AOBاگر پايه ها را پايه ها در نظر بگيريم، ارتفاع مشتركي دارند COو OA. سپس

و

.

از این دو گزاره بر می آید که

.

خیلی خوب است که روی بیانیه فرموله شده تمرکز نکنیم، بلکه پیدا کنیم رابطه بین مساحت های مثلثی که ذوزنقه با قطرهایش به آنها تقسیم می شود ، از دانش آموزان دعوت می کند تا مشکل را حل کنند: O نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه باشد. آ ب پ تبا دلایل قبل از میلاد مسیحو آگهی. معلوم است که مساحت مثلث ها BOCو AODبه ترتیب برابر و . مساحت ذوزنقه را پیدا کنید.

زیرا . از این رو، از شباهت مثلث ها بدر بارهسیو AODبه دنبال آن است

.از این رو،

. سپس

با استفاده از شباهت نیز می توان اثبات کرد خاصیت قطعه ای که از نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه موازی با پایه ها عبور می کند. از دانش آموزان دعوت می کنیم تا این مسئله را حل کنند: "بگذارید O نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه باشد. آ ب پ تبا دلایل قبل از میلاد مسیحو آگهی. ، . طول قطعه را پیدا کنید PKعبور از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه به موازات پایه ها. به چه بخش هایی تقسیم می شود؟ PKنقطه در باره».

از اینجا

.

به همین ترتیب، از تشابه مثلث ها D.O.K.و DBC، به دنبال آن است

. از اینجا

و

.

ما دانش آموزان را وادار می کنیم که ویژگی ثابت شده را درک کنند: یک بخش به موازات پایه های ذوزنقه که از نقطه تقاطع مورب ها می گذرد و دو نقطه را در طرفین به هم وصل می کند ، با نقطه تقاطع مورب ها به نصف تقسیم می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه های ذوزنقه است.

بعدی از خاصیت چهار نقطه:در یک ذوزنقه، نقطه تقاطع مورب ها، نقطه تقاطع ادامه اضلاع، نقاط وسط پایه های ذوزنقه روی یک خط قرار دارند.

با آشنایی دانش‌آموزان با شباهت شکل‌ها (نه مثلث)، می‌توانیم طول بخشی را که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می‌کند، پیدا کنیم.

بدین ترتیب، قطعه ای که یک ذوزنقه را به دو ذوزنقه مشابه تقسیم می کند، طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه ها دارد.

پس از استخراج فرمول مساحت ذوزنقه، اثبات آن مفید است ویژگی قطعه ای که ذوزنقه را به دو ناحیه مساوی تقسیم می کند.

بیایید یک سیستم بسازیم

راه حل سیستم

.

بدین ترتیب، طول قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند برابر است با

(ریشه میانگین طول مربع پایه ها). ).

برای اینکه دانش آموزان به ارتباط بین بخش های مشخص شده پی ببرند، باید از آنها خواسته شود که آنها را برای ذوزنقه معین بسازند. دانش آموزان بدون مشکل خط وسط ذوزنقه و پاره ای را می سازند که از نقطه تقاطع مورب های ذوزنقه به موازات پایه ها می گذرد. بخش سوم و چهارم کجا قرار خواهد گرفت؟ پاسخ به این سوال باید دانش آموزان را به کشف رابطه بین میانگین ها سوق دهد.

ویژگی و ویژگی یک چهار ضلعی محاطی و محصور باید برای همه چهار ضلعی های شناخته شده برای دانش آموزان از جمله ذوزنقه مشخص شود.

خواص ذوزنقه توصیف شده.ذوزنقه را می توان در مورد یک دایره توصیف کرد اگر و تنها در صورتی که مجموع طول پایه ها برابر با مجموع طول اضلاع باشد.

اولی واضح است. برای اثبات نتیجه دوم، باید مشخص شود که زاویه CODمستقیم، که آن هم مشکل بزرگی نیست. اما آگاهی از این پیامد به ما این امکان را می دهد که از مثلث قائم الزاویه در حل مسائل استفاده کنیم.

اجازه دهید عواقب آن را مشخص کنیم ذوزنقه متساوی الساقین محدود شده :

ارتفاع یک ذوزنقه متساوی الساقین محدود شده، میانگین هندسی قاعده ذوزنقه است. . مورب ها و زوایای ذوزنقه با استفاده از یک خط کش و یک قطب نما، ذوزنقه ای بسازید که دارای پایه هایی باشد که با دو بخش و ضلع داده شده مطابقت دارند. به دو بخش داده شده دیگر هندسه موضوع خاصی از ریاضیات است که به اشکال و اشیاء و مسائل مربوط به آنها می پردازد. وجود داشته باشد انواع متفاوت شکل های هندسی. چند شکل دو بعدی مهم عبارتند از: مربع، مستطیل، مثلث، چند ضلعی، دایره، متوازی الاضلاع، ذوزنقه، لوزی و غیره. شکلی که از چهار ضلع محدود شده باشد، چهار ضلعی نامیده می شود.

اصول اساسی روش شناسی برای مطالعه خواص ذوزنقه را در نظر بگیرید.

اول، استفاده است رویکرد وظیفه . نیازی به معرفی خصوصیات جدید ذوزنقه در درس هندسه نظری نیست. این ویژگی ها توسط دانش آموزان از طریق حل مسئله (بهتر از سیستم های مسئله) کشف و فرموله می شود. مهم این است که معلم بداند چه وظایفی باید تعیین شود و در چه مرحله ای از فرآیند یادگیری. علاوه بر این، هر ویژگی می تواند یک وظیفه کلیدی در سیستم وظیفه باشد.

ثانیاً سازمان "مارپیچی" مطالعه خواص ذوزنقه . می توانید چندین بار به ویژگی های فردی بازگردید، سپس این احتمال وجود دارد که دانش آموزان آنها را به خاطر بسپارند. مثلاً با مطالعه شباهت و سپس استفاده از بردارها می توان خاصیت چهار نقطه را اثبات کرد. مساحت مساوی مثلث های مجاور اضلاع ذوزنقه را می توان با استفاده از خاصیت مثلث هایی که دارند ثابت کرد. ارتفاعات مساوی، کشیده شده به طرف دروغ گفتن در یک خط مستقیم، و فرمول

. شما می توانید خواص مثلث قائم الزاویه را در ذوزنقه محاط شده، قضیه سینوس در ذوزنقه محاط شده و غیره را محاسبه کنید.

پیشنهاد گنجاندن خصوصیات "غیربرنامه ای" ذوزنقه در محتوای درس هندسه مدرسه، فناوری تکلیف برای مطالعه آنها، اشاره مکرر به ویژگی های ذوزنقه هنگام مطالعه سایر موضوعات به دانش آموزان امکان می دهد تا درک عمیق تری از ذوزنقه داشته باشند. و از موفقیت حل مشکلات در کاربرد خواص آن اطمینان حاصل کند.

بنابراین، ما یکی از آنها را صدا خواهیم کرد بزرگ ، دومین - پایه کوچک ذوزنقه ای ارتفاع ذوزنقه را می توان هر قسمت از یک عمود را که از رئوس به طرف مقابل مربوطه کشیده شده است نامید (برای هر راس دو ضلع مخالف وجود دارد) که بین راس گرفته شده و طرف مقابل محصور شده است. اما می توان آن را متمایز کرد نوع خاص"ارتفاعات
تعریف 8. ارتفاع قاعده ذوزنقه قطعه ای از یک خط مستقیم عمود بر پایه ها است که بین پایه ها محصور شده است.
قضیه 7 . خط وسط ذوزنقه موازی قاعده ها و برابر با نصف مجموع آنهاست.
اثبات اجازه دهید ذوزنقه ABCD و خط وسط KM داده شود. بین نقاط B و M خط بکشید. سمت AD را تا نقطه D ادامه می دهیم تا با BM قطع شود. مثلث های BCm و MPD در ضلع و دو زاویه برابر هستند (CM=MD، ∠ BCM=∠ MDP - همپوشانی، ∠ BMC=∠ DMP - عمودی)، بنابراین VM=MP یا نقطه M نقطه وسط BP است. KM خط وسط در مثلث ABP است. با توجه به ویژگی خط وسط مثلث، KM موازی با AP و به ویژه AD است و برابر با نصف AP است:

قضیه 8 . مورب ها ذوزنقه را به چهار قسمت تقسیم می کنند که دو قسمت آن مجاور اضلاع برابر است.
یادآوری می کنم که ارقام اگر مساحت یکسانی داشته باشند برابر نامیده می شوند. مثلث های ABD و ACD مساوی هستند: دارای ارتفاع مساوی (با رنگ زرد نشان داده شده است) و یک قاعده مشترک. این مثلث ها یک قسمت مشترک AOD دارند. محدوده آنها را می توان به شرح زیر گسترش داد:

انواع ذوزنقه:
تعریف 9. (شکل 1) ذوزنقه حاد زاویه ای ذوزنقه ای است که در آن زوایای مجاور قاعده بزرگتر حاد است.
تعریف 10. (شکل 2) ذوزنقه منفرد ذوزنقه ای است که در آن یکی از زوایای مجاور قاعده بزرگتر منفرد است.
تعریف 11. (شکل 4) ذوزنقه ای را مستطیل می گویند که یک ضلع آن بر پایه ها عمود باشد.
تعریف 12. (شکل 3) متساوی الساقین (تساوی الساقین، متساوی الساقین) ذوزنقه ای است که اضلاع آن برابر است.

خواص ذوزنقه متساوی الساقین:
قضیه 10 . زوایای مجاور هر یک از قاعده های یک ذوزنقه متساوی الساقین برابر است.
اثبات برای مثال، تساوی زوایای A و D را با پایه بزرگتر AD یک ذوزنقه متساوی الساقین ABCD ثابت کنیم. برای این منظور از نقطه C به موازات ضلع جانبی AB یک خط مستقیم می کشیم. پایه بزرگ را در نقطه M قطع خواهد کرد. ABCM چهار ضلعی متوازی الاضلاع است، زیرا از نظر ساخت دارای دو جفت ضلع موازی است. بنابراین، قطعه CM خط برش محصور در داخل ذوزنقه برابر است با ضلع جانبی آن: CM=AB. از اینجا مشخص می شود که CM=CD، مثلث CMD متساوی الساقین، ∠CMD=∠CDM و بنابراین، ∠A=∠D است.زوایای مجاور قاعده کوچکتر نیز مساوی هستند، زیرا برای آنهایی هستند که یک طرفه داخلی یافت می شوند و دارای مجموع دو خط هستند.
قضیه 11 . قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین برابر است.
اثبات مثلث های ABD و ACD را در نظر بگیرید. در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر است (AB=CD، AD مشترک است، زوایای A و D مطابق قضیه 10 برابر هستند). بنابراین AC=BD.

قضیه 13 . مورب های یک ذوزنقه متساوی الساقین با نقطه تقاطع به بخش های مشابه تقسیم می شوند. مثلث های ABD و ACD را در نظر بگیرید. در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر است (AB=CD، AD مشترک است، زوایای A و D مطابق قضیه 10 برابر هستند). بنابراین، ∠ ОАD=∠ ОDA، از این رو زوایای ОВС و OSV برابر با زوایای همپوشانی ODA و OAD هستند. این قضیه را به یاد بیاورید: اگر دو زاویه در یک مثلث مساوی باشند، آنگاه متساوی الساقین است، بنابراین مثلث های ОВС و ОAD متساوی الساقین هستند که به معنای OS=OB و OA=OD و غیره است.
ذوزنقه متساوی الساقین یک شکل متقارن است.
تعریف 13. محور تقارن ذوزنقه متساوی الساقین به خط مستقیمی گفته می شود که از وسط قاعده های آن می گذرد.
قضیه 14 . محور تقارن ذوزنقه متساوی الساقین بر قاعده های آن عمود است.
در قضیه 9 ثابت کردیم که خطی که به نقاط میانی پایه های ذوزنقه می پیوندد از نقطه تلاقی قطرها می گذرد. بعد (قضیه 13) ثابت کردیم که مثلث های AOD و BOC متساوی الساقین هستند. OM و OK به ترتیب وسط این مثلث ها طبق تعریف هستند. ویژگی مثلث متساوی الساقین را به یاد بیاورید: میانه یک مثلث متساوی الساقین که تا قاعده پایین آمده است، ارتفاع مثلث نیز می باشد. با توجه به عمود بودن پایه های قسمت های خط مستقیم KM، محور تقارن بر پایه ها عمود است.
علائمی که ذوزنقه متساوی الساقین را در بین همه ذوزنقه ها متمایز می کند:
قضیه 15 . اگر زوایای مجاور یکی از پایه های ذوزنقه مساوی باشد، ذوزنقه متساوی الساقین است.
قضیه 16 . اگر قطرهای ذوزنقه مساوی باشد، ذوزنقه متساوی الساقین است.
قضیه 17 . اگر اضلاع جانبی ذوزنقه که تا محل تقاطع امتداد یافته است، همراه با قاعده بزرگ آن یک مثلث متساوی الساقین تشکیل دهند، آنگاه ذوزنقه متساوی الساقین است.
قضیه 18 . اگر بتوان یک ذوزنقه را به صورت دایره ای حک کرد، آنگاه متساوی الساقین است.
علامت ذوزنقه مستطیل شکل:
قضیه 19 . هر چهار ضلعی که فقط دو زاویه قائمه در رئوس مجاور داشته باشد ذوزنقه قائم الزاویه است (معلوم است که دو ضلع موازی هستند، زیرا یک ضلع با هم برابرند، در صورتی که سه زاویه قائمه مستطیل باشند).
قضیه 20 . شعاع دایره حک شده در ذوزنقه برابر با نصف ارتفاع قاعده است.
اثبات این قضیه توضیح این است که شعاع های کشیده شده به قاعده ها در ارتفاع ذوزنقه قرار دارند. از نقطه O - مرکز دایره ABCD که در این ذوزنقه حک شده است، شعاع ها را به نقاط تماس با پایه های آن ذوزنقه می کشیم. همانطور که می دانید، شعاع رسم شده به نقطه تماس عمود بر مماس است، بنابراین OK ^ BC و OM ^ AD. این قضیه را به خاطر بیاورید: اگر خطی بر یکی از خطوط موازی عمود باشد، بر خط دوم نیز عمود است. از این رو، خط OK نیز عمود بر AD است. بنابراین، دو خط عمود بر خط AD از نقطه O عبور می کنند که نمی تواند باشد، بنابراین این خطوط بر هم منطبق می شوند و عمود مشترک KM را تشکیل می دهند که برابر است با مجموع دو شعاع و قطر دایره محاط است، بنابراین r=KM/2 یا r=h/2.
قضیه 21 . مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع پایه ها.

اثبات:بگذارید ABCD ذوزنقه ای باشد و AB و CD پایه های آن باشند. همچنین فرض کنید AH ارتفاع کاهش یافته از نقطه A به خط CD باشد. سپس S ABCD = S ACD + S ABC .
اما S ACD = 1/2AH CD و S ABC = 1/2AH AB.
بنابراین، S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

فرمول دوم از چهارضلعی حرکت کرده است.

 

شاید خواندن آن مفید باشد:

• میخائیل سرگیویچ گورباچف ​​اهل کجاست؟;
• چگونه ایام روزه داری را برای سلامتی و کاهش وزن بگذرانیم چگونه روزهای روزه داری را برای خود درست ترتیب دهیم;
• تغذیه مناسب برای ایمنی مواد غذایی تقویت کننده سیستم ایمنی بدن انسان;
• چه کسی قبل از یوکوروف رئیس اینگوشتیا بود;
• تقسیم شخصیت - داستان یا بیماری واقعی؟;
• عزیزم - یعنی چی؟;
• روز مقدس زنان مرّدار;
• عاشق یوگنی بوتکین شهید یوگنی بوتکین;