როგორ დავთვალოთ ლოგარითმები სხვადასხვა ფუძით. ლოგარითმის და მისი თვისებების განმარტება: თეორია და პრობლემის გადაჭრა

b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a საფუძველზე (a>0, a არ არის 1-ის ტოლი) არის c რიცხვი, რომ a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

გაითვალისწინეთ, რომ არაპოზიტიური რიცხვის ლოგარითმი განუსაზღვრელია. გარდა ამისა, ლოგარითმის ფუძე უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მაგალითად, თუ კვადრატში -2 მივიღებთ რიცხვს 4, მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ ლოგარითმი -2-ის ფუძეზე 4-დან. უდრის 2-ს.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

მნიშვნელოვანია, რომ ამ ფორმულის მარჯვენა და მარცხენა მხარის განსაზღვრის ფარგლები განსხვავებული იყოს. მარცხენა მხარე განისაზღვრება მხოლოდ b>0-ისთვის, a>0 და a ≠ 1-ისთვის. მარჯვენა მხარე განისაზღვრება ნებისმიერი b-ისთვის და საერთოდ არ არის დამოკიდებული a-ზე. ამრიგად, ძირითადი ლოგარითმული „იდენტობის“ გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას შეიძლება გამოიწვიოს OD-ის ცვლილება.

ლოგარითმის განმარტების ორი აშკარა შედეგი

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

მართლაც, a რიცხვის პირველ ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ იგივე რიცხვს, ხოლო ნულოვან ხარისხზე აყვანისას ვიღებთ ერთს.

ნამრავლის ლოგარითმი და კოეფიციენტის ლოგარითმი

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

მინდა გავაფრთხილო სკოლის მოსწავლეები, არ გამოიყენონ ეს ფორმულები დაუფიქრებლად ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას. მათი გამოყენებისას „მარცხნიდან მარჯვნივ“, ODZ ვიწროვდება, ხოლო ლოგარითმების ჯამიდან ან სხვაობიდან პროდუქტის ან კოეფიციენტის ლოგარითმზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება.

მართლაც, გამოთქმა log a (f (x) g (x)) განისაზღვრება ორ შემთხვევაში: როდესაც ორივე ფუნქცია მკაცრად დადებითია ან როდესაც f(x) და g(x) ორივე ნულზე ნაკლებია.

ამ გამოთქმის ჯამად log a f (x) + log a g (x) გარდაქმნით, იძულებული ვართ შემოვიფარგლოთ მხოლოდ იმ შემთხვევით, როდესაც f(x)>0 და g(x)>0. არსებობს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება და ეს კატეგორიულად მიუღებელია, ვინაიდან ამან შეიძლება გამოიწვიოს გადაწყვეტილებების დაკარგვა. ანალოგიური პრობლემა არსებობს ფორმულისთვის (6).

ხარისხი შეიძლება ამოღებულ იქნას ლოგარითმის ნიშნიდან

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

და კიდევ ერთხელ მინდა მოვუწოდო სიზუსტეს. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

ტოლობის მარცხენა მხარე აშკარად არის განსაზღვრული f(x)-ის ყველა მნიშვნელობისთვის ნულის გარდა. მარჯვენა მხარე არის მხოლოდ f(x)>0! ლოგარითმიდან ხარისხის ამოღებით, ჩვენ კვლავ ვიწროვებთ ODZ-ს. საპირისპირო პროცედურა იწვევს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას. ყველა ეს შენიშვნა ეხება არა მხოლოდ ძალა 2-ს, არამედ ნებისმიერ თანაბარ ძალას.

ახალ ფონდში გადასვლის ფორმულა

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

ის იშვიათი შემთხვევა, როდესაც ODZ არ იცვლება ტრანსფორმაციის დროს. თუ თქვენ გონივრულად შეარჩიეთ ბაზა c (დადებითი და არა 1-ის ტოლი), ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა სრულიად უსაფრთხოა.

თუ ჩვენ ვირჩევთ რიცხვს b ახალ საფუძვლად c, მივიღებთ ფორმულის მნიშვნელოვან განსაკუთრებულ შემთხვევას (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

რამდენიმე მარტივი მაგალითი ლოგარითმებით

მაგალითი 1. გამოთვალეთ: log2 + log50.
გამოსავალი. log2 + log50 = log100 = 2. ჩვენ გამოვიყენეთ ლოგარითმების ჯამი ფორმულა (5) და ათობითი ლოგარითმის განმარტება.


მაგალითი 2. გამოთვალეთ: lg125/lg5.
გამოსავალი. log125/log5 = log 5 125 = 3. ჩვენ გამოვიყენეთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა (8).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულების ცხრილი

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)
შესვლა a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

    დავიწყოთ იმით ერთის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება არ არის რთული: ვინაიდან 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დასამტკიცებელი ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.

    მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0, log1=0 და .

    გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ანუ შესვლა a=1 a>0, a≠1. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.

    ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია ტოლობები log 5 5=1, log 5.6 5.6 და lne=1.

    მაგალითად, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 და .

    ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, და რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობის მიხედვით a log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x ·a log a y =x·y. ამრიგად, log a x+log a y =x·y, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, დადასტურებული ტოლობა გამომდინარეობს.

    ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და .

    ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს დადებითი რიცხვების n სასრული რიცხვის ნამრავლზე x 1 , x 2 , …, x n როგორც log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ეს თანასწორობა შეიძლება დადასტურდეს უპრობლემოდ.

    მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და რიცხვების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.

    ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. დადასტურებულია ამ ფორმულის მართებულობა, ისევე როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან , შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით.

    აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: .

    მოდით გადავიდეთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლის და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ლოგარითმის ნამრავლის. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ლოგარითმის ეს თვისება ფორმულის სახით: log a b p =p·log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.

    ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითად b. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, ძალაუფლების თვისების გამო, უდრის p·log a b. ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p·log a b, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, ვასკვნით, რომ log a b p =p·log a b.

    რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი ბ. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ ლუწი მაჩვენებლებს p (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ. მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, საიდანაც log a b p =p·log a |b| .

    Მაგალითად, და ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

    ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ფესვის ლოგარითმი უდრის 1/n წილადის ნამრავლს რადიკალური გამოხატვის ლოგარითმით, ანუ , სადაც a>0, a≠1, n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0.

    მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b-ისთვის და სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებაზე: .

    აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: .

    ახლა დავამტკიცოთ ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულაკეთილი . ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b·log c a. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b =log a b log c a. ეს ადასტურებს ტოლობის log c b=log a b·log c a, რაც ნიშნავს, რომ ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე დადასტურებულია.

    მოდით ვნახოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და .

    ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასასვლელად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა, ზოგიერთ შემთხვევაში, იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.

    ხშირად გამოიყენება ფორმის c=b-სთვის ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულის სპეციალური შემთხვევა . ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, .

    ფორმულა ასევე ხშირად გამოიყენება , რაც მოსახერხებელია ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მისი გამოყენება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობის გამოსათვლელად. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის: .

    რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.

    დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2, b 1 log a b 2, ხოლო a>1 - უტოლობა log a b 1

    და ბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. შემოვიფარგლოთ მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ დავამტკიცოთ, რომ თუ a 1 >1, a 2 >1 და a 1 1 არის ჭეშმარიტი log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით.

    გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 არის ჭეშმარიტი log a 1 b≤log a 2 b . ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც და შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე ფუძეების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, უნდა იყოს ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2, ანუ a 1 ≥a 2 . ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1-თან

ბიბლიოგრაფია.

  • კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
  • გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას a x =b.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბდაფუძნებული აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმების თემა მჭიდრო კავშირშია რიცხვის ხარისხების თემასთან.

ლოგარითმებით, როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გამო, რომ ლოგარითმები არ არის სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

ავიღოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: შესვლა xდა შესვლა y. შემდეგ შესაძლებელია შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = შესვლა x 1 + შესვლა x 2 + შესვლა x 3 + ... + log a x k.

დან ლოგარითმის კოეფიციენტის თეორემაშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. საყოველთაოდ ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= - ჟურნალი ბ.

ეს ნიშნავს, რომ არსებობს თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი საპასუხო რიცხვის ლოგარითმებიამავე მიზეზით განსხვავდებიან ერთმანეთისაგან მხოლოდ ნიშნით. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

ლოგარითმი ფუძით aარის y-ის ფუნქცია (x) = log a x, შებრუნებული ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძით a: x (y) = a y.

ათწილადი ლოგარითმიარის რიცხვის ფუძის ლოგარითმი 10 : ჟურნალი x ≡ ჟურნალი 10 x.

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ლოგარითმი e-ის ფუძის მიმართ: ln x ≡ ჟურნალი e x.

2,718281828459045... ;
.

ლოგარითმის გრაფიკი მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკიდან y = x სწორი ხაზის მიმართ მისი არეკვით. მარცხნივ არის y ფუნქციის გრაფიკები (x) = log a xოთხი ღირებულებისთვის ლოგარითმის საფუძვლები: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . გრაფიკი აჩვენებს, რომ როდესაც > 1 ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება. x იზრდება, ზრდა მნიშვნელოვნად შენელდება. ზე 0 < a < 1 ლოგარითმი მონოტონურად მცირდება.

ლოგარითმის თვისებები

დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, მზარდი, კლებადი

ლოგარითმი მონოტონური ფუნქციაა, ამიტომ მას არ აქვს ექსტრემები. ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

დომენი 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი - ∞ < y < + ∞ - ∞ < y < + ∞
მონოტონური მონოტონურად იზრდება მონოტონურად მცირდება
ნულები, y = 0 x = 1 x = 1
კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0 არა არა
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞

პირადი ღირებულებები


მე-10 ბაზის ლოგარითმი ეწოდება ათობითი ლოგარითმიდა აღინიშნება შემდეგნაირად:

ლოგარითმი ბაზამდე ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი:

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე ლოგარითმის თვისებები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ლოგარითმიარის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმების აღებისას ფაქტორების ნამრავლი გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური მოქმედება. პოტენციაციის დროს მოცემული ბაზა ამაღლებულია გამოხატვის ხარისხამდე, რომელზედაც ხდება პოტენციაცია. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების პროდუქტებად.

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულების დადასტურება

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულები გამომდინარეობს ექსპონენციური ფუნქციების ფორმულებიდან და შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან.

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
.
მერე
.
გამოვიყენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
:
.

მოდით დავამტკიცოთ ბაზის ჩანაცვლების ფორმულა.
;
.
თუ დავუშვებთ c = b, გვაქვს:

ინვერსიული ფუნქცია

ლოგარითმის შებრუნება a-ს ბაზაზე არის ექსპონენციალური ფუნქცია a მაჩვენებლით.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

ლოგარითმის წარმოებული

x მოდულის ლოგარითმის წარმოებული:
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა >>>

ლოგარითმის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, ის უნდა დაიყვანოთ ფუძემდე ე.
;
.

ინტეგრალური

ლოგარითმის ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილებით ინტეგრირებით: .
Ისე,

გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
.
გამოვხატოთ რთული რიცხვი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
შემდეგ, ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:
.
ან

თუმცა, არგუმენტი φ არ არის ცალსახად განსაზღვრული. თუ დააყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვასთვის ნ.

ამრიგად, ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

როდესაც გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.

b რიცხვის ლოგარითმი (b > 0) a საფუძვლამდე (a > 0, a ≠ 1)– მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა გაიზარდოს რიცხვი b-ის მისაღებად.

b-ის ფუძის 10 ლოგარითმი შეიძლება დაიწეროს როგორც ჟურნალი (ბ), და ლოგარითმი e ფუძემდე (ბუნებრივი ლოგარითმი) არის ln(b).

ხშირად გამოიყენება ლოგარითმებით ამოცანების გადაჭრისას:

ლოგარითმების თვისებები

ოთხი ძირითადია ლოგარითმების თვისებები.

მოდით a > 0, a ≠ 1, x > 0 და y > 0.

თვისება 1. პროდუქტის ლოგარითმი

პროდუქტის ლოგარითმილოგარითმების ჯამის ტოლია:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

თვისება 2. კოეფიციენტის ლოგარითმი

კოეფიციენტის ლოგარითმილოგარითმების სხვაობის ტოლია:

log a (x / y) = log a x – log a y

თვისება 3. სიმძლავრის ლოგარითმი

ხარისხის ლოგარითმისიმძლავრის და ლოგარითმის ნამრავლის ტოლია:

თუ ლოგარითმის საფუძველი ხარისხშია, მაშინ გამოიყენება სხვა ფორმულა:

თვისება 4. ფესვის ლოგარითმი

ეს თვისება შეიძლება მივიღოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებიდან, რადგან სიმძლავრის n-ე ფესვი უდრის 1/n სიმძლავრეს:

ერთი ბაზის ლოგარითმიდან მეორე ბაზის ლოგარითმში გადაყვანის ფორმულა

ეს ფორმულა ასევე ხშირად გამოიყენება ლოგარითმებზე სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას:

Განსაკუთრებული შემთხვევა:

ლოგარითმების შედარება (უტოლობები)

მოდით გვქონდეს 2 ფუნქცია f(x) და g(x) ლოგარითმების ქვეშ ერთი და იგივე ფუძეებით და მათ შორის არის უტოლობის ნიშანი:

მათი შესადარებლად, ჯერ უნდა გადახედოთ ლოგარითმების საფუძველს:

  • თუ a > 0, მაშინ f(x) > g(x) > 0
  • თუ 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

როგორ გადავჭრათ პრობლემები ლოგარითმებით: მაგალითები

პრობლემები ლოგარითმებთანმათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შედის მე-11 კლასის დავალება 5 და დავალება 7, შეგიძლიათ იპოვოთ ამოცანები გადაწყვეტილებებით ჩვენს ვებსაიტზე შესაბამის განყოფილებებში. ასევე, ლოგარითმებით ამოცანები გვხვდება მათემატიკის ამოცანების ბანკში. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა მაგალითი საიტის ძიებით.

რა არის ლოგარითმი

სასკოლო მათემატიკის კურსებში ლოგარითმები ყოველთვის რთულ თემად ითვლებოდა. ლოგარითმის მრავალი განსხვავებული განმარტება არსებობს, მაგრამ რატომღაც სახელმძღვანელოების უმეტესობა იყენებს მათგან ყველაზე რთულ და წარუმატებელს.

ჩვენ განვსაზღვრავთ ლოგარითმს მარტივად და ნათლად. ამისათვის შევქმნათ ცხრილი:

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი ძალა.

ლოგარითმები - თვისებები, ფორმულები, როგორ ამოხსნათ

თუ თქვენ აიღებთ რიცხვს ქვედა ხაზიდან, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ძალა, რომელზედაც მოგიწევთ აწიოთ ორი ამ რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, 16-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აწიოთ ორი მეოთხე ხარისხზე. და 64-ის მისაღებად, თქვენ უნდა აიყვანოთ ორი მეექვსე ხარისხამდე. ეს ჩანს ცხრილიდან.

ახლა კი - რეალურად, ლოგარითმის განმარტება:

x არგუმენტის a ფუძე არის ძალა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს რიცხვი x რიცხვის მისაღებად.

აღნიშვნა: log a x = b, სადაც a არის საფუძველი, x არის არგუმენტი, b არის ის, რისი ტოლია რეალურად ლოგარითმი.

მაგალითად, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8-ის მე-2 ლოგარითმი არის სამი, რადგან 2 3 = 8). იგივე წარმატებით, ჟურნალი 2 64 = 6, ვინაიდან 2 6 = 64.

მოცემულ ფუძეზე რიცხვის ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია ეწოდება. მოდით დავამატოთ ახალი ხაზი ჩვენს ცხრილს:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
ჟურნალი 2 2 = 1 ჟურნალი 2 4 = 2 ჟურნალი 2 8 = 3 ჟურნალი 2 16 = 4 ჟურნალი 2 32 = 5 ჟურნალი 2 64 = 6

სამწუხაროდ, ყველა ლოგარითმი ასე მარტივად არ გამოითვლება. მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ჟურნალი 2 5. რიცხვი 5 არ არის ცხრილში, მაგრამ ლოგიკა გვკარნახობს, რომ ლოგარითმი იქნება სადღაც ინტერვალზე. რადგან 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ: ათწილადის შემდეგ რიცხვები შეიძლება დაიწეროს უსასრულოდ და ისინი არასოდეს განმეორდება. თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, უმჯობესია ასე დავტოვოთ: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ლოგარითმი არის გამოხატულება ორი ცვლადით (ბაზა და არგუმენტი). თავდაპირველად, ბევრი ადამიანი იბნევა, სად არის საფუძველი და სად არის არგუმენტი. შემაშფოთებელი გაუგებრობის თავიდან ასაცილებლად, უბრალოდ შეხედეთ სურათს:

ჩვენს წინაშე სხვა არაფერია, თუ არა ლოგარითმის განმარტება. გახსოვდეთ: ლოგარითმი არის ძალა, რომელშიც არგუმენტის მისაღებად საფუძველი უნდა იყოს ჩაშენებული. ეს არის ბაზა, რომელიც ამაღლებულია სიმძლავრემდე - სურათზე გამოკვეთილია წითლად. გამოდის, რომ ბაზა ყოველთვის ბოლოშია! ჩემს მოსწავლეებს ვეუბნები ამ შესანიშნავ წესს პირველივე გაკვეთილზე - და დაბნეულობა არ ჩნდება.

როგორ დავთვალოთ ლოგარითმები

ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება - რჩება მხოლოდ ვისწავლოთ ლოგარითმების დათვლა, ე.ი. მოიშორეთ "ლოგი" ნიშანი. დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ განმარტებიდან გამომდინარეობს ორი მნიშვნელოვანი ფაქტი:

  1. არგუმენტი და საფუძველი ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი. ეს გამომდინარეობს რაციონალური მაჩვენებლის მიერ ხარისხის განსაზღვრებიდან, რომელზედაც შემცირებულია ლოგარითმის განმარტება.
  2. ბაზა უნდა განსხვავდებოდეს ერთისგან, რადგან ერთი ნებისმიერი ხარისხით მაინც რჩება. ამის გამო უაზროა კითხვა „რომელ ძალამდე უნდა აწიო ადამიანი, რომ მიიღო ორი“. ასეთი ხარისხი არ არსებობს!

ასეთ შეზღუდვებს ე.წ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი(ოძ). გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ ასე გამოიყურება: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

გაითვალისწინეთ, რომ არ არსებობს შეზღუდვები რიცხვზე b (ლოგარითმის მნიშვნელობა). მაგალითად, ლოგარითმი შეიძლება იყოს უარყოფითი: log 2 0.5 = −1, რადგან 0,5 = 2 −1.

თუმცა, ახლა ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ რიცხვით გამოსახულებებს, სადაც არ არის საჭირო ლოგარითმის VA-ს ცოდნა. პრობლემების ავტორებმა ყველა შეზღუდვა უკვე გაითვალისწინეს. მაგრამ როდესაც ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები ამოქმედდება, DL მოთხოვნები გახდება სავალდებულო. ყოველივე ამის შემდეგ, საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცავდეს ძალიან ძლიერ კონსტრუქციებს, რომლებიც აუცილებლად არ შეესაბამება ზემოაღნიშნულ შეზღუდვებს.

ახლა მოდით შევხედოთ ლოგარითმების გამოთვლის ზოგად სქემას. იგი შედგება სამი ეტაპისგან:

  1. გამოთქვით ფუძე a და არგუმენტი x სიმძლავრის სახით ერთზე მეტი მინიმალური შესაძლო ფუძით. გზაში, აჯობებს ათწილადების მოშორება;
  2. ამოხსენით b ცვლადის განტოლება: x = a b ;
  3. შედეგად მიღებული რიცხვი b იქნება პასუხი.

Სულ ეს არის! თუ ლოგარითმი ირაციონალური აღმოჩნდება, ეს უკვე პირველივე საფეხურზე გამოჩნდება. მოთხოვნა, რომ ბაზა ერთზე მეტი იყოს, ძალიან მნიშვნელოვანია: ეს ამცირებს შეცდომის ალბათობას და მნიშვნელოვნად ამარტივებს გამოთვლებს. იგივეა ათწილადი წილადების შემთხვევაშიც: თუ მათ დაუყოვნებლივ გადააქცევთ ჩვეულებრივ წილადებში, გაცილებით ნაკლები შეცდომა იქნება.

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს სქემა კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 5 25

  1. წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ხუთის ხარისხად: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

    2. შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  2. მივიღეთ პასუხი: 2.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი:

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 4 64

  1. წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
  2. შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
    ჟურნალი 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. მივიღეთ პასუხი: 3.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 16 1

  1. წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი ორის ხარისხად: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
  2. შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლება:
    ჟურნალი 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. მივიღეთ პასუხი: 0.

დავალება. გამოთვალეთ ლოგარითმი: log 7 14

  1. წარმოვიდგინოთ საფუძველი და არგუმენტი შვიდის ხარისხად: 7 = 7 1 ; 14 არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შვიდის ხარისხად, რადგან 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. წინა აბზაციდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმი არ ითვლება;
  3. პასუხი არ იცვლება: ჟურნალი 7 14.

მცირე შენიშვნა ბოლო მაგალითზე. როგორ შეგიძლიათ დარწმუნებული იყოთ, რომ რიცხვი არ არის სხვა რიცხვის ზუსტი ხარისხი? ეს ძალიან მარტივია - უბრალოდ გადაანაწილეთ ის პირველ ფაქტორებად. თუ გაფართოებას აქვს მინიმუმ ორი განსხვავებული ფაქტორი, რიცხვი არ არის ზუსტი სიმძლავრე.

დავალება. გაარკვიეთ არის თუ არა რიცხვები ზუსტი ხარისხები: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ზუსტი ხარისხი, რადგან არის მხოლოდ ერთი მულტიპლიკატორი;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - არ არის ზუსტი სიმძლავრე, რადგან არსებობს ორი ფაქტორი: 3 და 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ზუსტი ხარისხი;
35 = 7 · 5 - ისევ არ არის ზუსტი სიმძლავრე;
14 = 7 · 2 - ისევ არ არის ზუსტი ხარისხი;

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ თავად მარტივი რიცხვები ყოველთვის საკუთარი თავის ზუსტი სიმძლავრეებია.

ათწილადი ლოგარითმი

ზოგიერთი ლოგარითმი იმდენად გავრცელებულია, რომ მათ აქვთ სპეციალური სახელი და სიმბოლო.

არგუმენტის x არის ლოგარითმი 10-ის საფუძვლამდე, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი 10 უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: lg x.

მაგალითად, ჟურნალი 10 = 1; ჟურნალი 100 = 2; lg 1000 = 3 - და ა.შ.

ამიერიდან, როდესაც სახელმძღვანელოში გამოჩნდება ფრაზა, როგორიცაა „Find lg 0.01“, იცოდეთ, რომ ეს არ არის შეცდომა. ეს არის ათობითი ლოგარითმი. თუმცა, თუ თქვენ არ იცნობთ ამ აღნიშვნას, ყოველთვის შეგიძლიათ გადაწეროთ იგი:
ჟურნალი x = ჟურნალი 10 x

ყველაფერი, რაც მართალია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის, ასევე მართალია ათობითი ლოგარითმებისთვის.

ბუნებრივი ლოგარითმი

არსებობს კიდევ ერთი ლოგარითმი, რომელსაც აქვს საკუთარი აღნიშვნა. გარკვეულწილად, ეს კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია ვიდრე ათობითი. ჩვენ ვსაუბრობთ ბუნებრივ ლოგარითმზე.

x-ის არგუმენტი არის ლოგარითმი e-ს საფუძვლამდე, ე.ი. სიმძლავრე, რომელზეც რიცხვი e უნდა გაიზარდოს x რიცხვის მისაღებად. აღნიშვნა: ln x.

ბევრი იკითხავს: რა არის რიცხვი e? ეს არის ირაციონალური რიცხვი, მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა და ჩაწერა შეუძლებელია. მე მივცემ მხოლოდ პირველ ციფრებს:
e = 2.718281828459…

რა არის ეს რიცხვი და რატომ არის საჭირო, დეტალურად არ განვიხილავთ. უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ e არის ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი:
ln x = log e x

ამრიგად ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - და ა.შ. მეორეს მხრივ, ln 2 არის ირაციონალური რიცხვი. ზოგადად, ნებისმიერი რაციონალური რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი ირაციონალურია. ერთის გარდა, რა თქმა უნდა: ln 1 = 0.

ბუნებრივი ლოგარითმებისთვის მოქმედებს ყველა წესი, რომელიც მართებულია ჩვეულებრივი ლოგარითმებისთვის.

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმი. ლოგარითმის თვისებები (ლოგარითმის ძალა).

როგორ გამოვსახოთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის განმარტებას.

ლოგარითმი არის მაჩვენებელი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი რიცხვის მისაღებად.

ამგვარად, იმისათვის, რომ გარკვეული რიცხვი c ლოგარითმად წარმოვადგინოთ a საფუძველზე, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა დააყენოთ სიმძლავრე იგივე ფუძით, როგორც ლოგარითმის ფუძე და დაწეროთ ეს რიცხვი c მაჩვენებლად:

აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად - დადებითი, უარყოფითი, მთელი რიცხვი, წილადი, რაციონალური, ირაციონალური:

იმისათვის, რომ არ აირიოთ a და c ტესტის ან გამოცდის სტრესულ პირობებში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დამახსოვრების შემდეგი წესი:

რაც ქვევით არის ქვევით მიდის, რაც ზევით არის მაღლა.

მაგალითად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ ნომერი 2, როგორც ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე.

გვაქვს ორი რიცხვი - 2 და 3. ეს რიცხვები არის ფუძე და მაჩვენებელი, რომელსაც დავწერთ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. რჩება იმის დადგენა, ამ რიცხვებიდან რომელი უნდა ჩაიწეროს ხარისხამდე და რომელი – ზევით, მაჩვენებელამდე.

ლოგარითმის აღნიშვნისას ფუძე 3 არის ბოლოში, რაც ნიშნავს, რომ როდესაც ლოგარითმად წარმოვადგენთ ორს მე-3 ფუძესთან, ჩვენ ასევე დავწერთ 3-ს ფუძეზე.

2 სამზე მაღალია. და მეორე ხარისხის აღნიშვნით ჩვენ ვწერთ სამზე ზემოთ, ანუ როგორც მაჩვენებელს:

ლოგარითმები. პირველი დონე.

ლოგარითმები

ლოგარითმიდადებითი რიცხვი ბდაფუძნებული ა, სად a > 0, a ≠ 1, ეწოდება მაჩვენებელს, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ა, მისაღებად ბ.

ლოგარითმის განმარტებამოკლედ შეიძლება დაიწეროს ასე:

ეს თანასწორობა მოქმედებს b > 0, a > 0, a ≠ 1.მას ჩვეულებრივ უწოდებენ ლოგარითმული იდენტურობა.
რიცხვის ლოგარითმის პოვნის მოქმედებას ეწოდება ლოგარითმით.

ლოგარითმის თვისებები:

პროდუქტის ლოგარითმი:

კოეფიციენტის ლოგარითმი:

ლოგარითმის ბაზის შეცვლა:

ხარისხის ლოგარითმი:

ფესვის ლოგარითმი:

ლოგარითმი დენის ბაზით:





ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები.

ათწილადი ლოგარითმინომრები ამ რიცხვის ლოგარითმს უწოდებენ 10-ს და წერენ   lg ბ
ბუნებრივი ლოგარითმირიცხვებს უწოდებენ ამ რიცხვის ლოგარითმს ფუძემდე ე, სად ე- ირაციონალური რიცხვი დაახლოებით 2,7-ის ტოლია. ამავე დროს ისინი წერენ ln ბ.

სხვა შენიშვნები ალგებრასა და გეომეტრიაზე

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. ასე რომ, დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთნაირი ფუძეებით: log a x და log a y. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x − log a y = log a (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში.

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

დაე, ლოგარითმი log a x იყოს მოცემული. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე.

ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b გაიზარდა ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხში იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი ჩერდება მასზე.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

  1. log a a = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
  2. log a 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: