ანტიდერივატების პოვნის სამი წესი. მათემატიკის გაკვეთილის შეჯამება: „ანტიწარმოებულის პოვნის წესები“ ჩამოაყალიბეთ ანტიწარმოებულის პოვნის 3 წესი

ყველა მათემატიკური მოქმედებისთვის არის შებრუნებული მოქმედება. დიფერენციაციის მოქმედებისთვის (ფუნქციების წარმოებულების პოვნა) ასევე არსებობს შებრუნებული მოქმედება - ინტეგრაცია. ინტეგრაციის გზით ხდება ფუნქცია (რეკონსტრუქცია) მისი მოცემული წარმოებულიდან ან დიფერენციალიდან. ნაპოვნი ფუნქცია ე.წ ანტიდერივატი.

განმარტება.დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x)ფუნქციის ანტიდერივატი ეწოდება f(x)მოცემულ ინტერვალზე, თუ ყველასთვის Xამ ინტერვალიდან მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: F′(x)=f (x).

მაგალითები. იპოვეთ ანტიწარმოებულები ფუნქციებისთვის: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) ვინაიდან (x²)′=2x, შესაბამისად, ფუნქცია F (x)=x² იქნება f (x)=2x ფუნქციის ანტიდერივატი.

2) (sin3x)′=3cos3x. თუ აღვნიშნავთ f (x)=3cos3x და F (x)=sin3x, მაშინ, ანტიწარმოებულის განმარტებით, გვაქვს: F′(x)=f (x) და, შესაბამისად, F (x)=sin3x არის ანტიწარმოებული f ( x)=3cos3x.

გაითვალისწინეთ, რომ (sin3x +5 )′= 3cos3xდა (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... ზოგადი ფორმით შეგვიძლია დავწეროთ: (sin3x +C)′= 3cos3x, სად თან- რაღაც მუდმივი მნიშვნელობა. ეს მაგალითები მიუთითებს ინტეგრაციის მოქმედების გაურკვევლობაზე, განსხვავებით დიფერენციაციის მოქმედებისგან, როდესაც რომელიმე დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს ერთი წარმოებული.

განმარტება.თუ ფუნქცია F(x)არის ფუნქციის ანტიდერივატი f(x)გარკვეულ ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლეს აქვს ფორმა:

F(x)+C, სადაც C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

განხილულ ინტერვალზე F (x) + C ფუნქციის F (x) + C ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლეს განსახილველ ინტერვალზე ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება სიმბოლოთი. ∫ (ინტეგრაციის ნიშანი). Ჩაწერა: ∫f (x) dx=F (x)+C.

გამოხატულება ∫f(x)dxწაიკითხეთ: „ინტეგრალი ef x-დან de x-მდე“.

f(x)dx- ინტეგრირებული გამოხატულება,

f(x)- ინტეგრირებული ფუნქცია,

Xარის ინტეგრაციის ცვლადი.

F(x)- ფუნქციის ანტიდერივატი f(x),

თან- რაღაც მუდმივი მნიშვნელობა.

ახლა განხილული მაგალითები შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

რას ნიშნავს ნიშანი d?

d-დიფერენციალური ნიშანი - აქვს ორმაგი დანიშნულება: პირველ რიგში, ეს ნიშანი გამოყოფს ინტეგრანდს ინტეგრაციის ცვლადისგან; მეორეც, ყველაფერი, რაც ამ ნიშნის შემდეგ მოდის, დიფერენცირებულია ნაგულისხმევად და მრავლდება ინტეგრანდზე.

მაგალითები. იპოვნეთ ინტეგრალები: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) დიფერენციალური ხატის შემდეგ დღირს XX, ა რ

∫ 2хрdx=рх²+С. შეადარე მაგალითს 1).

მოდით შევამოწმოთ. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) დიფერენციალური ხატის შემდეგ დღირს რ. ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრაციის ცვლადი რდა მულტიპლიკატორი Xუნდა ჩაითვალოს რაღაც მუდმივი მნიშვნელობა.

∫ 2хрдр=р²х+С. შეადარე მაგალითებს 1) და 3).

მოდით შევამოწმოთ. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

ანტიდერივატიული ფუნქცია f(x)შორის (ა; ბ)ამ ფუნქციას ეძახიან F(x), რომ თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერისთვის Xმოცემული ინტერვალიდან.

თუ გავითვალისწინებთ იმ ფაქტს, რომ მუდმივის წარმოებული თანუდრის ნულს, მაშინ ტოლობა ჭეშმარიტია. ასე რომ ფუნქცია f(x)აქვს ბევრი პრიმიტივი F(x)+C, თვითნებური მუდმივისთვის თანდა ეს ანტიდერივატივები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან თვითნებური მუდმივი მნიშვნელობით.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება.

ანტიდერივატიული ფუნქციების მთელი ნაკრები f(x)ეწოდება ამ ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება .

გამოთქმა ე.წ ინტეგრანდ, ა f(x) – ინტეგრირებული ფუნქცია. ინტეგრანტი წარმოადგენს ფუნქციის დიფერენციალს f(x).

უცნობი ფუნქციის პოვნის მოქმედება მისი დიფერენციალიდან გამომდინარე ეწოდება გაურკვეველიინტეგრაცია, რადგან ინტეგრაციის შედეგი არის ერთზე მეტი ფუნქცია F(x)და მისი პრიმიტივების ნაკრები F(x)+C.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა. D(x) ანტიწარმოებულის გრაფიკს ინტეგრალური მრუდი ეწოდება. x0y კოორდინატთა სისტემაში მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის გრაფიკები წარმოადგენენ მრუდების ოჯახს, რომლებიც დამოკიდებულნი არიან C მუდმივის მნიშვნელობაზე და მიიღება ერთმანეთისგან 0y ღერძის გასწვრივ პარალელური გადანაცვლებით. ზემოთ განხილული მაგალითისთვის გვაქვს:

J 2 x^x = x2 + C.

ანტიწარმოებულების ოჯახი (x + C) გეომეტრიულად არის განმარტებული პარაბოლების სიმრავლით.

თუ გჭირდებათ ანტიწარმოებულების ოჯახიდან ერთის პოვნა, მაშინ დაყენებულია დამატებითი პირობები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ მუდმივი C. ჩვეულებრივ, ამ მიზნით დგინდება საწყისი პირობები: როდესაც არგუმენტი x = x0, ფუნქციას აქვს მნიშვნელობა D. (x0) = y0.

მაგალითი. საჭიროა ვიპოვოთ, რომ y = 2 x ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი, რომელიც იღებს მნიშვნელობას 3 x0 = 1-ზე.

საჭირო ანტიდერივატი: D(x) = x2 + 2.

გამოსავალი. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ძირითადი თვისებები

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდულ ფუნქციას:

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრანდული გამოსახულების ტოლია:

3. გარკვეული ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის თავად ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს:

4. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

5. ჯამის (განსხვავების) ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის (განსხვავების) ტოლია:

6. საკუთრება არის 4 და 5 თვისებების კომბინაცია:

7. განუსაზღვრელი ინტეგრალის უცვლელობის თვისება:

თუ , ეს

8. საკუთრება:

თუ , ეს

სინამდვილეში, ეს თვისება არის ინტეგრაციის განსაკუთრებული შემთხვევა ცვლადის ცვლილების მეთოდის გამოყენებით, რომელიც უფრო დეტალურად განიხილება შემდეგ ნაწილში.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

3. ინტეგრაციის მეთოდირომელშიც მოცემული ინტეგრალი მცირდება ერთ ან მეტ ცხრილის ინტეგრალამდე ინტეგრანტის (ან გამოხატვის) იდენტური გარდაქმნებისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენებით, ე.წ. პირდაპირი ინტეგრაცია. ამ ინტეგრალის ტაბულამდე შემცირებისას ხშირად გამოიყენება შემდეგი დიფერენციალური გარდაქმნები (ოპერაცია " დიფერენციალური ნიშნის გამოწერა»):

Საერთოდ, f’(u)du = d(f(u)).ეს (ფორმულა ძალიან ხშირად გამოიყენება ინტეგრალების გაანგარიშებისას.

იპოვნეთ ინტეგრალი

გამოსავალი.მოდით გამოვიყენოთ ინტეგრალის თვისებები და შევამციროთ ეს ინტეგრალი რამდენიმე ცხრილამდე.

4. ინტეგრაცია ჩანაცვლების მეთოდით.

მეთოდის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ შემოგვაქვს ახალი ცვლადი, გამოვხატავთ ინტეგრანდს ამ ცვლადის მეშვეობით და შედეგად მივიღებთ ინტეგრალის ტაბულურ (ან უფრო მარტივ) ფორმას.

ძალიან ხშირად ჩანაცვლების მეთოდი სამაშველოში მოდის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების და ფუნქციების რადიკალებთან ინტეგრირებისას.

მაგალითი.

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი .

გამოსავალი.

შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი. გამოვხატოთ Xმეშვეობით ზ:

ჩვენ ვცვლით მიღებულ გამონათქვამებს თავდაპირველ ინტეგრალში:

ანტიდერივატების ცხრილიდან გვაქვს .

რჩება საწყის ცვლადში დაბრუნება X:

პასუხი:

ამ გვერდზე თქვენ ნახავთ:

1. რეალურად, ანტიდერივატივების ცხრილი - მისი ჩამოტვირთვა შესაძლებელია PDF ფორმატში და დაბეჭდვა;

2. ვიდეო ამ ცხრილის გამოყენების შესახებ;

3. ანტიწარმოებულის გამოთვლის მაგალითების თაიგული სხვადასხვა სახელმძღვანელოებიდან და ტესტებიდან.

თავად ვიდეოში ჩვენ გავაანალიზებთ ბევრ პრობლემას, სადაც უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციების ანტიდერივატივები, ხშირად საკმაოდ რთული, მაგრამ რაც მთავარია, ისინი არ არიან დენის ფუნქციები. ზემოთ შემოთავაზებულ ცხრილში შეჯამებული ყველა ფუნქცია ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი, როგორც წარმოებულები. მათ გარეშე ინტეგრალების შემდგომი შესწავლა და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად შეუძლებელია.

დღეს ჩვენ ვაგრძელებთ პრიმიტივების შესწავლას და გადავდივართ ოდნავ უფრო რთულ თემაზე. თუ ბოლო დროს ჩვენ შევხედეთ მხოლოდ სიმძლავრის ფუნქციების ანტიდერივატივებს და ოდნავ უფრო რთულ კონსტრუქციებს, დღეს განვიხილავთ ტრიგონომეტრიას და ბევრად უფრო მეტს.

როგორც წინა გაკვეთილზე ვთქვი, ანტიდერივატივები, წარმოებულებისგან განსხვავებით, არასოდეს წყდება „მყისიერად“ რაიმე სტანდარტული წესების გამოყენებით. უფრო მეტიც, ცუდი ამბავი ის არის, რომ წარმოებულისგან განსხვავებით, ანტიდერივატი შეიძლება საერთოდ არ განიხილებოდეს. თუ დავწერთ სრულიად შემთხვევით ფუნქციას და ვცდილობთ ვიპოვოთ მისი წარმოებული, მაშინ ძალიან დიდი ალბათობით მივაღწევთ წარმატებას, მაგრამ ანტიდერივატი ამ შემთხვევაში თითქმის არასოდეს გამოითვლება. მაგრამ არის კარგი ამბავი: არსებობს ფუნქციების საკმაოდ დიდი კლასი, რომელსაც ეწოდება ელემენტარული ფუნქციები, რომელთა ანტიდერივატივები ძალიან ადვილი გამოსათვლელია. და ყველა სხვა უფრო რთული სტრუქტურა, რომელიც მოცემულია ყველა სახის ტესტზე, დამოუკიდებელ ტესტებსა და გამოცდებზე, ფაქტობრივად, შედგება ამ ელემენტარული ფუნქციებისგან შეკრების, გამოკლების და სხვა მარტივი მოქმედებების საშუალებით. ასეთი ფუნქციების პროტოტიპები დიდი ხანია გამოითვლება და შედგენილია სპეციალურ ცხრილებში. სწორედ ამ ფუნქციებითა და ცხრილებით ვიმუშავებთ დღეს.

მაგრამ ჩვენ დავიწყებთ, როგორც ყოველთვის, გამეორებით: გავიხსენოთ რა არის ანტიდერივატი, რატომ არის უსასრულოდ ბევრი მათგანი და როგორ განვსაზღვროთ მათი ზოგადი გარეგნობა. ამისათვის მე ავირჩიე ორი მარტივი პრობლემა.

მარტივი მაგალითების ამოხსნა

მაგალითი #1

დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ და ზოგადად $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ მაშინვე მიგვანიშნებს, რომ ფუნქციის საჭირო ანტიდერივატი დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიასთან. და, მართლაც, თუ გადავხედავთ ცხრილს, აღმოვაჩენთ, რომ $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ სხვა არაფერია თუ არა $\text(arctg)x$. ასე რომ, მოდით ჩავწეროთ:

იმისათვის, რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი:

\[\frac(\pi)(6)=\ტექსტი(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

მაგალითი No2

აქ ასევე საუბარია ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე. თუ გადავხედავთ ცხრილს, მაშინ, მართლაც, ასე ხდება:

ანტიდერივატების მთელ კომპლექტს შორის უნდა ვიპოვოთ ის, რომელიც გადის მითითებულ წერტილში:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

მოდი ბოლოს ჩავწეროთ:

ეს ასე მარტივია. ერთადერთი პრობლემა ის არის, რომ მარტივი ფუნქციების ანტიწარმოებულების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა ისწავლოთ ანტიდერივატიული ცხრილი. თუმცა, შენთვის წარმოებული ცხრილის შესწავლის შემდეგ, ვფიქრობ, რომ ეს პრობლემა არ იქნება.

ექსპონენციალური ფუნქციის შემცველი ამოცანების ამოხსნა

დასაწყისისთვის, მოდით დავწეროთ შემდეგი ფორმულები:

\[((e)^(x))\ to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

ვნახოთ, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი პრაქტიკაში.

მაგალითი #1

თუ გადავხედავთ ფრჩხილების შიგთავსს, შევამჩნევთ, რომ ანტიწარმოებულების ცხრილში არ არის ასეთი გამოხატულება $((e)^(x))$ რომ იყოს კვადრატში, ამიტომ ეს კვადრატი უნდა გაფართოვდეს. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ გამრავლების შემოკლებულ ფორმულებს:

მოდით ვიპოვოთ ანტიწარმოებული თითოეული ტერმინისთვის:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))\to \frac(((\left((e) )^(-2)) \მარჯვნივ))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

ახლა მოდით შევკრიბოთ ყველა ტერმინი ერთ გამონათქვამში და მივიღოთ ზოგადი ანტიდერივატი:

მაგალითი No2

ამჯერად ხარისხი უფრო დიდია, ამიტომ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა საკმაოდ რთული იქნება. მოდით გავხსნათ ფრჩხილები:

ახლა შევეცადოთ ავიღოთ ჩვენი ფორმულის ანტიდერივატი ამ კონსტრუქციიდან:

როგორც ხედავთ, ექსპონენციალური ფუნქციის ანტიდერივატებში არაფერია რთული ან ზებუნებრივი. ყველა მათგანი გამოითვლება ცხრილებით, მაგრამ ყურადღებიანი სტუდენტები ალბათ შეამჩნევენ, რომ ანტიწარმოებული $((e)^(2x))$ ბევრად უფრო ახლოს არის უბრალოდ $((e)^(x))$-თან, ვიდრე $((a-სთან) )^(x))$. მაშ, იქნებ არსებობს უფრო სპეციალური წესი, რომელიც საშუალებას იძლევა, რომ იცოდეთ ანტიდერივატი $((e)^(x))$, იპოვოთ $((e)^(2x))$? დიახ, ასეთი წესი არსებობს. და, უფრო მეტიც, ეს არის ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის განუყოფელი ნაწილი. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ მას იგივე გამონათქვამების გამოყენებით, რომლებთანაც ახლახან ვიმუშავეთ, როგორც მაგალითი.

ანტიდერივატების ცხრილთან მუშაობის წესები

მოდით ისევ დავწეროთ ჩვენი ფუნქცია:

წინა შემთხვევაში, ჩვენ გამოვიყენეთ შემდეგი ფორმულა ამოსახსნელად:

\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ოპერატორის სახელი(lna))\]

მაგრამ ახლა ცოტა სხვანაირად მოვიქცეთ: გავიხსენოთ რის საფუძველზე $((e)^(x))\ to ((e)^(x))$-მდე. როგორც უკვე ვთქვი, რადგან წარმოებული $((e)^(x))$ სხვა არაფერია, თუ არა $((e)^(x))$, ამიტომ მისი ანტიწარმოებული იქნება იგივე $((e) ^. (x))$. მაგრამ პრობლემა ისაა, რომ ჩვენ გვაქვს $((e)^(2x))$ და $((e)^(-2x))$. ახლა ვცადოთ ვიპოვოთ $((e)^(2x))$-ის წარმოებული:

\[((\ left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\ left(2x \მარჯვნივ))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

მოდით ხელახლა გადავწეროთ ჩვენი კონსტრუქცია:

\[((\left(((e)^(2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

ეს ნიშნავს, რომ როდესაც ვიპოვით $((e)^(2x))$ ანტიწარმოებულს, მივიღებთ შემდეგს:

\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

როგორც ხედავთ, ჩვენ მივიღეთ იგივე შედეგი, როგორც ადრე, მაგრამ არ გამოვიყენეთ ფორმულა $((a)^(x))$-ის საპოვნელად. ახლა ეს შეიძლება სულელურად ჩანდეს: რატომ ართულებს გამოთვლებს, როდესაც არსებობს სტანდარტული ფორმულა? თუმცა, ოდნავ უფრო რთულ გამონათქვამებში ნახავთ, რომ ეს ტექნიკა ძალიან ეფექტურია, ე.ი. წარმოებულების გამოყენებით ანტიწარმოებულების საპოვნელად.

როგორც გახურება, მოდით ვიპოვოთ $((e)^(2x))$-ის ანტიწარმოებული ანალოგიურად:

\[((\left(((e)^(-2x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

გაანგარიშებისას ჩვენი კონსტრუქცია ჩაიწერება შემდეგნაირად:

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\ to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

ზუსტად იგივე შედეგი მივიღეთ, მაგრამ სხვა გზა ავიღეთ. სწორედ ეს გზა, რომელიც ახლა ცოტა უფრო რთულად გვეჩვენება, მომავალში უფრო ეფექტური აღმოჩნდება უფრო რთული ანტიდერივატების გამოსათვლელად და ცხრილების გამოსაყენებლად.

Შენიშვნა! ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: ანტიდერივატივები, ისევე როგორც წარმოებულები, შეიძლება დაითვალოს სხვადასხვა გზით. თუმცა, თუ ყველა გამოთვლა და გამოთვლა თანაბარია, მაშინ პასუხი იგივე იქნება. ჩვენ ახლახან ვნახეთ ეს $((e)^(-2x))$-ის მაგალითით - ერთის მხრივ, ჩვენ გამოვთვალეთ ეს ანტიწარმოებული "სწორად", განმარტების გამოყენებით და მისი გამოთვლა ტრანსფორმაციების გამოყენებით, მეორეს მხრივ, ჩვენ გვახსოვდა, რომ $ ((e)^(-2x))$ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $((\left(((e)^(-2)) \მარჯვნივ))^(x))$ და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიყენეთ ანტიწარმოებული $((a)^(x))$ ფუნქციისთვის. თუმცა, ყველა გარდაქმნის შემდეგ შედეგი ისეთივე იყო, როგორც მოსალოდნელი იყო.

და ახლა, როდესაც ჩვენ გვესმის ეს ყველაფერი, დროა გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვანზე. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ორ მარტივ კონსტრუქციას, მაგრამ ტექნიკა, რომელიც გამოყენებული იქნება მათი ამოხსნისას, უფრო მძლავრი და სასარგებლო ინსტრუმენტია, ვიდრე უბრალოდ „გაშვება“ მეზობელ ანტიდერივატებს შორის ცხრილიდან.

პრობლემის გადაჭრა: ფუნქციის ანტიწარმოებულის პოვნა

მაგალითი #1

მოდით დავყოთ მრიცხველებში არსებული რაოდენობა სამ ცალკეულ წილადად:

ეს საკმაოდ ბუნებრივი და გასაგები გადასვლაა - სტუდენტების უმეტესობას მასთან პრობლემები არ აქვს. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა შემდეგნაირად:

ახლა გავიხსენოთ ეს ფორმულა:

ჩვენს შემთხვევაში მივიღებთ შემდეგს:

ყველა ამ სამსართულიანი წილადისგან თავის დასაღწევად, მე გთავაზობთ შემდეგის გაკეთებას:

მაგალითი No2

წინა წილადისგან განსხვავებით, მნიშვნელი არის არა ნამრავლი, არამედ ჯამი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეღარ გავყოფთ ჩვენს წილადს რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამად, მაგრამ როგორმე უნდა ვეცადოთ დავრწმუნდეთ, რომ მრიცხველი შეიცავს დაახლოებით იგივე გამონათქვამს, რაც მნიშვნელს. ამ შემთხვევაში, ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია:

ეს აღნიშვნა, რომელსაც მათემატიკური ენაზე ეწოდება "ნულის დამატება", მოგვცემს საშუალებას კვლავ გავყოთ წილადი ორ ნაწილად:

ახლა მოდი ვიპოვოთ რასაც ვეძებდით:

სულ ეს არის გათვლები. მიუხედავად წინა პრობლემის აშკარად დიდი სირთულისა, გამოთვლების რაოდენობა კიდევ უფრო მცირე აღმოჩნდა.

ხსნარის ნიუანსი

და სწორედ აქ მდგომარეობს ტაბულურ ანტიდერივატებთან მუშაობის მთავარი სირთულე, ეს განსაკუთრებით შესამჩნევია მეორე ამოცანაში. ფაქტია, რომ იმისთვის, რომ შევარჩიოთ რამდენიმე ელემენტი, რომლებიც ადვილად გამოითვლება ცხრილის საშუალებით, უნდა ვიცოდეთ, რას ვეძებთ ზუსტად და სწორედ ამ ელემენტების ძიებაში შედგება ანტიდერივატების მთელი გაანგარიშება.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საკმარისი არ არის მხოლოდ ანტიწარმოებულების ცხრილის დამახსოვრება - თქვენ უნდა შეგეძლოთ დაინახოთ ის, რაც ჯერ არ არსებობს, მაგრამ რას გულისხმობდა ამ პრობლემის ავტორი და შემდგენელი. ამიტომ ბევრი მათემატიკოსი, მასწავლებელი და პროფესორი გამუდმებით კამათობს: „რა არის ანტიწარმოებულების მიღება ან ინტეგრაცია - ეს მხოლოდ ინსტრუმენტია თუ ნამდვილი ხელოვნება? სინამდვილეში, ჩემი პირადი აზრით, ინტეგრაცია სულაც არ არის ხელოვნება - მასში არაფერია ამაღლებული, უბრალოდ პრაქტიკაა და მეტი პრაქტიკა. და პრაქტიკისთვის, მოდით გადავჭრათ კიდევ სამი სერიოზული მაგალითი.

ჩვენ ვვარჯიშობთ ინტეგრაციაში პრაქტიკაში

დავალება No1

მოდით დავწეროთ შემდეგი ფორმულები:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\\ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\text(arctg)x\]

მოდით დავწეროთ შემდეგი:

პრობლემა No2

გადავიწეროთ შემდეგნაირად:

მთლიანი ანტიდერივატი ტოლი იქნება:

პრობლემა No3

ამ ამოცანის სირთულე ისაა, რომ წინა ფუნქციებისგან განსხვავებით, საერთოდ არ არსებობს $x$ ცვლადი, ე.ი. ჩვენთვის გაუგებარია რა დავამატოთ ან გამოვაკლოთ, რომ მივიღოთ მინიმუმ რაღაც მსგავსი, რაც ქვემოთ არის. თუმცა, ფაქტობრივად, ეს გამოთქმა უფრო მარტივად ითვლება, ვიდრე რომელიმე წინა გამონათქვამი, რადგან ეს ფუნქცია შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ახლა შეიძლება იკითხოთ: რატომ არის ეს ფუნქციები თანაბარი? მოდით შევამოწმოთ:

მოდი ისევ გადავწეროთ:

მოდით ცოტათი შევცვალოთ ჩვენი გამოთქმა:

და როცა ამ ყველაფერს ჩემს სტუდენტებს ავუხსნი, თითქმის ყოველთვის ერთი და იგივე პრობლემა ჩნდება: პირველი ფუნქციით ყველაფერი მეტ-ნაკლებად ნათელია, მეორეშიც იღბლით ან პრაქტიკით შეგიძლია გაარკვიო, მაგრამ როგორი ალტერნატიული ცნობიერება გაქვს. უნდა ჰქონდეს მესამე მაგალითის გადასაჭრელად? სინამდვილეში, ნუ გეშინია. ტექნიკას, რომელიც ჩვენ გამოვიყენეთ ბოლო ანტიწარმოებულის გამოთვლისას, ეწოდება "ფუნქციის დაშლა უმარტივესად" და ეს ძალიან სერიოზული ტექნიკაა და მას ცალკე ვიდეო გაკვეთილი დაეთმობა.

იმავდროულად, მე ვთავაზობ დავუბრუნდეთ იმას, რაც ახლახან შევისწავლეთ, კერძოდ, ექსპონენციალურ ფუნქციებს და გარკვეულწილად გაართულოთ პრობლემები მათი შინაარსით.

უფრო რთული ამოცანები ანტიდერივატიული ექსპონენციალური ფუნქციების ამოხსნისთვის

დავალება No1

აღვნიშნოთ შემდეგი:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\მარცხნივ(2\cdot 5 \მარჯვნივ))^(x))=((10)^(x) )\]

ამ გამოხატვის ანტიდერივატივის საპოვნელად უბრალოდ გამოიყენეთ სტანდარტული ფორმულა - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

ჩვენს შემთხვევაში, ანტიდერივატი იქნება ასეთი:

რა თქმა უნდა, დიზაინთან შედარებით, რომელიც ახლახან გადავწყვიტეთ, ეს უფრო მარტივად გამოიყურება.

პრობლემა No2

კიდევ ერთხელ, ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ფუნქცია ადვილად შეიძლება დაიყოს ორ ცალკეულ ტერმინად - ორ ცალკეულ წილადად. გადავიწეროთ:

რჩება თითოეული ამ ტერმინის ანტიდერივატივის პოვნა ზემოთ აღწერილი ფორმულის გამოყენებით:

მიუხედავად ექსპონენციალური ფუნქციების აშკარა უფრო დიდი სირთულისა, სიმძლავრის ფუნქციებთან შედარებით, გამოთვლებისა და გამოთვლების საერთო მოცულობა გაცილებით მარტივი აღმოჩნდა.

რა თქმა უნდა, მცოდნე სტუდენტებისთვის ის, რაც ახლა განვიხილეთ (განსაკუთრებით იმის ფონზე, რაც ადრე განვიხილეთ) შეიძლება ელემენტარულ გამონათქვამებად ჩანდეს. თუმცა, დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილისთვის ამ ორი პრობლემის არჩევისას, მე არ დამისახავს მიზანს, მეთქვა სხვა რთული და დახვეწილი ტექნიკა - რაც მინდოდა გაჩვენოთ, არის ის, რომ არ უნდა შეგეშინდეთ სტანდარტული ალგებრის ტექნიკის გამოყენება ორიგინალური ფუნქციების გარდაქმნისთვის. .

"საიდუმლო" ტექნიკის გამოყენება

დასასრულს, მინდა შევხედო კიდევ ერთ საინტერესო ტექნიკას, რომელიც, ერთის მხრივ, სცილდება იმას, რასაც დღეს ძირითადად განვიხილეთ, მაგრამ, მეორე მხრივ, ის, პირველ რიგში, სულაც არ არის რთული, ე.ი. დამწყებ მოსწავლეებსაც კი შეუძლიათ მისი ათვისება და მეორეც, საკმაოდ ხშირად გვხვდება ყველა სახის ტესტსა და დამოუკიდებელ სამუშაოში, ე.ი. ამის ცოდნა ძალიან სასარგებლო იქნება ანტიწარმოებულების ცხრილის ცოდნის გარდა.

დავალება No1

ცხადია, ჩვენ გვაქვს რაღაც ძალიან მსგავსი დენის ფუნქციასთან. რა უნდა გავაკეთოთ ამ შემთხვევაში? მოდით დავფიქრდეთ: $x-5$ არც ისე განსხვავდება $x$-ისგან - მათ უბრალოდ დაამატეს $5$. მოდით დავწეროთ ასე:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

შევეცადოთ ვიპოვოთ $((\left(x-5 \right))^(5))$-ის წარმოებული:

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(5)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=5\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ)) ^(4))\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(\prime ))=5\cdot ((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))\]

ეს გულისხმობს:

\[((\ მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \მარჯვნივ))^(5)))(5) \ მარჯვენა))^(\prime ))\]

ცხრილში ასეთი მნიშვნელობა არ არის, ამიტომ ჩვენ ახლა გამოვიყვანეთ ეს ფორმულა, სტანდარტული ანტიდერივატიული ფორმულის გამოყენებით სიმძლავრის ფუნქციისთვის. მოდით დავწეროთ პასუხი ასე:

პრობლემა No2

ბევრ სტუდენტს, ვინც პირველ გამოსავალს უყურებს, შეიძლება იფიქროს, რომ ყველაფერი ძალიან მარტივია: უბრალოდ შეცვალეთ $x$ სიმძლავრის ფუნქციაში წრფივი გამოსახულებით და ყველაფერი თავის ადგილზე დადგება. სამწუხაროდ, ყველაფერი არც ისე მარტივია და ახლა ამას დავინახავთ.

პირველი გამონათქვამის ანალოგიით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

\[((x)^(9))\ to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=10\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^(9))\cdot ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ)) ^ (9))\]

ჩვენს წარმოებულს რომ დავუბრუნდეთ, შეგვიძლია დავწეროთ:

\[((\ მარცხნივ ((\ მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(10)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=-30\cdot ((\ მარცხენა (4-3x \მარჯვნივ) )^(9))\]

\[((\მარცხნივ(4-3x \მარჯვნივ))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \მარჯვნივ))^(10)))(-30) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

ეს დაუყოვნებლივ შემდეგნაირად ხდება:

ხსნარის ნიუანსი

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ ბოლო დროს არსებითად არაფერი შეცვლილა, მაშინ მეორე შემთხვევაში -10$-ის ნაცვლად გამოჩნდა -30$. რა განსხვავებაა -10$-სა და $30$-ს შორის? ცხადია, $-3$-ის ფაქტორით. კითხვა: საიდან გაჩნდა? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ იგი აღებულია რთული ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლის შედეგად - კოეფიციენტი, რომელიც $x$-ზე იყო, ჩნდება ქვემოთ მოცემულ ანტიწარმოებულში. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წესი, რომლის განხილვას თავიდან საერთოდ არ ვგეგმავდი დღევანდელ ვიდეო გაკვეთილზე, მაგრამ ამის გარეშე ტაბულური ანტიდერივატიების პრეზენტაცია არასრული იქნებოდა.

ასე რომ, მოდი ისევ გავაკეთოთ. მოდით იყოს ჩვენი მთავარი დენის ფუნქცია:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ახლა $x$-ის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ გამოთქმა $kx+b$. რა მოხდება მერე? ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი:

\[((\ მარცხნივ(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\\frac(((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\ left(n+ 1 \მარჯვნივ)\cdot k)\]

რის საფუძველზე ვამტკიცებთ ამას? Ძალიან მარტივი. ვიპოვოთ ზემოთ დაწერილი კონსტრუქციის წარმოებული:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \მარჯვნივ))^(n+1)))(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k) \მარჯვნივ))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot k)\cdot \left(n+1 \მარჯვნივ)\cdot ((\left(kx+b \მარჯვნივ))^ (n))\cdot k=((\მარცხნივ(kx+b \მარჯვნივ))^(n))\]

ეს არის იგივე გამოთქმა, რომელიც თავდაპირველად არსებობდა. ამრიგად, ეს ფორმულა ასევე სწორია და ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ანტიდერივატების ცხრილის შესავსებად, ან უმჯობესია, უბრალოდ დაიმახსოვროთ მთელი ცხრილი.

დასკვნები "საიდუმლო: ტექნიკიდან:

ორივე ფუნქცია, რომელიც ახლა ვნახეთ, შეიძლება, ფაქტობრივად, შემცირდეს ცხრილში მითითებულ ანტიწარმოებულებამდე, გრადუსების გაფართოებით, მაგრამ თუ ჩვენ მეტ-ნაკლებად შევძლებთ როგორმე გავუმკლავდეთ მეოთხე ხარისხს, მაშინ მე არ გავაკეთებდი მეცხრე ხარისხს. ყველამ გაბედა გამჟღავნება.
ხარისხების გაფართოების შემთხვევაში, გამოთვლების ისეთი მოცულობით მივიღებდით, რომ უბრალო ამოცანის შესრულებას შეუფერებლად დიდი დრო წაგვიყვანს.
ამიტომ ასეთ პრობლემებს, რომლებიც შეიცავს წრფივ გამონათქვამებს, არ საჭიროებს „თავხედ“ გადაჭრას. როგორც კი წააწყდებით ანტიწარმოებულს, რომელიც განსხვავდება ცხრილისგან მხოლოდ გამოთქმის $kx+b$ არსებობით შიგნით, მაშინვე დაიმახსოვრეთ ზემოთ დაწერილი ფორმულა, ჩაანაცვლეთ იგი თქვენი ცხრილის ანტიწარმოებულში და ყველაფერი ბევრად გამოვა. უფრო სწრაფად და მარტივად.

ბუნებრივია, ამ ტექნიკის სირთულისა და სერიოზულობის გამო, ჩვენ ბევრჯერ დავუბრუნდებით მის განხილვას მომავალ ვიდეო გაკვეთილებში, მაგრამ ეს ყველაფერი დღეისთვის. ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი ნამდვილად დაეხმარება იმ სტუდენტებს, რომლებსაც სურთ გაიგონ ანტიდერივატივები და ინტეგრაცია.

გაკვეთილის შეჯამება ალგებრაზე და ანალიზის პრინციპებზე საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-11 კლასის მოსწავლეებისთვის

თემაზე: ”ანტიდერივატების პოვნის წესები”

გაკვეთილის მიზანი:

საგანმანათლებლო: შემოიღეთ წესები ანტიწარმოებულების პოვნისათვის მათი ცხრილის მნიშვნელობების გამოყენებით და გამოიყენეთ ისინი პრობლემების გადაჭრისას.

Დავალებები:

გააცნოს ინტეგრაციის ოპერაციის განმარტება;

გააცნობს მოსწავლეებს ანტიდერივატების ცხრილს;

გააცნობს მოსწავლეებს ინტეგრაციის წესებს;

ასწავლეთ მოსწავლეებს ამოცანების გადაჭრისას გამოიყენონ ანტიწარმოებულების ცხრილი და ინტეგრაციის წესები.

განმავითარებელი: ხელს უწყობს მოსწავლეთა ანალიზის, მონაცემების შედარების და დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარებას.

საგანმანათლებლო: ხელი შეუწყოს კოლექტიურ და დამოუკიდებელ მუშაობაში უნარების ჩამოყალიბებას, მათემატიკური ჩანაწერების ზუსტად და კომპეტენტურად შესრულების უნარის განვითარებას.

სწავლების მეთოდები: ინდუქციურ-რეპროდუქციული, დედუქციურ-რეპროდუქციული

ტივი.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი ცოდნის დაუფლება.

მოთხოვნები ZUN-ისთვის:

სტუდენტებმა უნდა იცოდნენ:

- ინტეგრაციის ოპერაციის განსაზღვრა;

ანტიდერივატების ცხრილი;

სტუდენტებს უნდა შეეძლოთ:

ამოცანების ამოხსნისას გამოიყენეთ ანტიდერივატების ცხრილი;

ამოიღეთ პრობლემები, რომლებშიც საჭიროა ანტიდერივატიების მოძიება.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, ეკრანი, მულტიმედიური პროექტორი, პრეზენტაცია.

ლიტერატურა:

1. ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. პრობლემური წიგნი 10-11 კლასებისთვის" M.: Mnemosyne, 2001 წ.

2. შ.ა. ალიმოვი ”ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. 10-11 კლასი. სახელმძღვანელო" მ.: განათლება, 2004. - 384გვ.

3. მათემატიკის სწავლების მეთოდები და ტექნოლოგია. M.: Bustard, 2005. – 416გვ.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

მე. საორგანიზაციო მომენტი (2 წთ.)

II. ცოდნის განახლება (7 წთ.)

III. ახალი მასალის შესწავლა (15 წთ.)

VI. ნასწავლი მასალის გაძლიერება (17 წთ.)

ვ. შეჯამება და D/Z (4 წთ.)

გაკვეთილების დროს

მე . ორგანიზების დრო

მოსწავლეების მისალმება, გაცდენების შემოწმება და ოთახის მზადყოფნა გაკვეთილისთვის.

II . ცოდნის განახლება

წერა დაფაზე (რვეულებში)

Თარიღი.

საკლასო დავალება

ანტიდერივატების პოვნის წესები.

მასწავლებელი: დღევანდელი გაკვეთილის თემა: „ანტიდერივატების პოვნის წესები“ (სლაიდი 1). მაგრამ სანამ ახალი თემის შესწავლაზე გადავალთ, გავიხსენოთ ჩვენ მიერ გაშუქებული მასალა.

დაფაზე იძახიან ორ მოსწავლეს, თითოეულს ეძლევა ინდივიდუალური დავალება (თუ მოსწავლემ შეცდომის გარეშე შეასრულა დავალება, იღებს ნიშანს „5“).

დავალების ბარათები

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

ვ ( x )=3 x 2 +4 x –1 წერტილში x =3.

№ 2

2) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობავ ( x )=5 x 2 +5 x – 5 წერტილში x =1.

გამოსავალი

ბარათი No1

1) იპოვეთ გაზრდის და კლების ფუნქციის ინტერვალებიy = 6x – 2x 3 .

; დაე, იყოს, მაშინ, გარკვეული; X 1 და X 2 სტაციონარული წერტილები;

2. სტაციონარული წერტილები კოორდინატთა ხაზს სამ ინტერვალად ყოფს. იმ ინტერვალებში, სადაც ფუნქციის წარმოებული დადებითია, ფუნქცია თავად იზრდება და სადაც უარყოფითია, მცირდება.

- + -

ზე -1 1

აქედან გამომდინარე ზემცირდება X (- ;-1) (1; ) და იზრდებაX (-1;1).

2) ვ ( x )=3 x 2 +4 x –1 ; ; .

ბარათი No2

1) იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები .

1. ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები, ამისთვის ვიპოვით ამ ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ გავათანაბრებთ ნულს და ამოხსნით მიღებულ განტოლებას, რომლის ფესვები იქნება სტაციონარული წერტილები.

; მოდით, მაშინ, ამიტომ, და.

2. სტაციონარული წერტილები კოორდინატთა ხაზს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ის წერტილები, რომლებითაც ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს, არის უკიდურესი წერტილები.

+ - - +

ზე -3 0 3

ნიშნავს - ექსტრემალური წერტილები და არის მაქსიმალური წერტილი და - მინიმალური ქულა.

2) ვ ( x )=5 x 2 +5 x – 5; ; .

სანამ დაფაზე გამოძახებული სტუდენტები ხსნიან მაგალითებს, კლასის დანარჩენ წევრებს სვამენ თეორიულ კითხვებს. დაკითხვის პროცესში მასწავლებელი აკვირდება, დაასრულეს თუ არა მოსწავლეებმა დავალება.

მასწავლებელი: ასე რომ, მოდით ვუპასუხოთ რამდენიმე კითხვას. გავიხსენოთ რა ფუნქციას ჰქვია ანტიდერივატი? (სლაიდი 2)

Სტუდენტი: ფუნქცია ფ ( x ) ფუნქციის ანტიდერივატი ეწოდებავ ( x ) გარკვეული ინტერვალით, თუ ყველასთვისx ამ უფსკრულიდან .

(სლაიდი 2).

მასწავლებელი: უფლება. რა ჰქვია ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პროცესს? (სლაიდი 3)

Სტუდენტი: დიფერენციაცია.

მას შემდეგ, რაც სტუდენტი პასუხობს, სწორი პასუხი დუბლირებულია სლაიდზე (სლაიდი 3).

მასწავლებელი: როგორ ვაჩვენოთ ეს ფუნქციაფ ( x ) არის ფუნქციის ანტიდერივატივ ( x ) ? (სლაიდი 4).

Სტუდენტი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებულიფ ( x ) .

მას შემდეგ, რაც სტუდენტი პასუხობს, სწორი პასუხი დუბლირებულია სლაიდზე (სლაიდი 4).

მასწავლებელი: ჯარიმა. მაშინ მითხარი არის თუ არა ფუნქციაფ ( x )=3 x 2 +11 x ფუნქციის ანტიდერივატივ ( x )=6x+10? (სლაიდი 5)

Სტუდენტი: არა, იმიტომ ფუნქციის წარმოებულიფ ( x )=3 x 2 +11 x ტოლია 6x+11, მაგრამ არა 6x+10 .

მას შემდეგ, რაც სტუდენტი პასუხობს, სწორი პასუხი დუბლირებულია სლაიდზე (სლაიდი 5).

მასწავლებელი: რამდენი ანტიდერივატი შეიძლება მოიძებნოს გარკვეული ფუნქციისთვის?ვ ( x ) ? დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი. (სლაიდი 6)

Სტუდენტი: უსასრულოდ ბევრი, იმიტომ მიღებულ ფუნქციას ყოველთვის ვამატებთ მუდმივას, რომელიც შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მას შემდეგ, რაც სტუდენტი პასუხობს, სწორი პასუხი დუბლირებულია სლაიდზე (სლაიდი 6).

მასწავლებელი: უფლება. ახლა ერთად შევამოწმოთ დაფაზე მომუშავე სტუდენტების გადაწყვეტილებები.

მოსწავლეები მასწავლებელთან ერთად ამოწმებენ გამოსავალს.

III . ახალი მასალის სწავლა

მასწავლებელი: მოცემული ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულის პოვნის საპირისპირო ოპერაციას ეწოდება ინტეგრაცია (ლათინური სიტყვიდანintegrare - აღდგენა). ზოგიერთი ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულების ცხრილი შეიძლება შედგეს წარმოებულების ცხრილის გამოყენებით. მაგალითად, ამის ცოდნა, ვიღებთ , საიდანაც გამომდინარეობს, რომ ყველა ანტიდერივატი ფუნქციონირებს იწერება ფორმაში, სად C - თვითნებური მუდმივი.

წერა დაფაზე (რვეულებში)

ვიღებთ,

აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა ანტიდერივატიული ფუნქცია იწერება ფორმაში, სად C - თვითნებური მუდმივი.

მასწავლებელი: გახსენით თქვენი სახელმძღვანელოები გვერდზე 290. აქ არის ანტიდერივატივების ცხრილი. ის ასევე წარმოდგენილია სლაიდზე. (სლაიდი 7)

მასწავლებელი: ინტეგრაციის წესების მიღება შესაძლებელია დიფერენცირების წესების გამოყენებით. განვიხილოთ ინტეგრაციის შემდეგი წესები: მოდითფ ( x ) და გ ( x ) – ფუნქციების ანტიდერივატივები შესაბამისადვ ( x ) და გ ( x ) რაღაც ინტერვალით. შემდეგ:

1) ფუნქცია;

2) ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი. (სლაიდი 8)

წერა დაფაზე (რვეულებში)

1) ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი ;

2) ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი .

VI . ნასწავლი მასალის განმტკიცება

მასწავლებელი: გადავიდეთ გაკვეთილის პრაქტიკულ ნაწილზე. იპოვნეთ ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატისაბჭოზე ვწყვეტთ.

Სტუდენტი: ამ ფუნქციის ანტიდერივატივის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ინტეგრაციის წესი: ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი .

მასწავლებელი: ასეა, კიდევ რა უნდა იცოდეთ მოცემული ფუნქციის ანტიდერივატივის საპოვნელად?

Სტუდენტი: ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ ანტიდერივატების ცხრილს ფუნქციებისთვის, ზე გვ =2 და for არის ფუნქცია ;

2) ფუნქცია არის ფუნქციის ანტიდერივატი .

მასწავლებელი: ყველაფერი სწორია.

Საშინაო დავალება

§55, No. 988 (2, 4, 6), No. 989 (2, 4, 6, 8), No. 990 (2, 4, 6), No. 991 (2, 4, 6, 8) . (სლაიდი 9)

ნიშნების გაკეთება.

მასწავლებელი: გაკვეთილი დასრულდა. შეგიძლიათ იყოთ თავისუფალი.

ეს გაკვეთილი პირველია ინტეგრაციის შესახებ ვიდეოების სერიიდან. მასში გავაანალიზებთ თუ რა არის ფუნქციის ანტიდერივატი და ასევე შევისწავლით ამ ანტიწარმოებულების გამოთვლის ელემენტარულ მეთოდებს.

სინამდვილეში, აქ არაფერია რთული: არსებითად ეს ყველაფერი წარმოებულის კონცეფციაზე მოდის, რომელსაც უკვე უნდა იცნობდეთ. :)

დაუყოვნებლივ აღვნიშნავ, რომ რადგან ეს არის პირველი გაკვეთილი ჩვენს ახალ თემაში, დღეს არ იქნება რთული გამოთვლები და ფორმულები, მაგრამ ის, რასაც დღეს ვისწავლით, საფუძველს მიიღებს ბევრად უფრო რთული გამოთვლებისა და კონსტრუქციებისთვის რთული ინტეგრალების და ფართობების გამოთვლისას. .

გარდა ამისა, როდესაც კონკრეტულად ინტეგრაციისა და ინტეგრალების შესწავლას ვიწყებთ, ირიბად ვვარაუდობთ, რომ სტუდენტი უკვე იცნობს წარმოებულების ცნებებს და აქვს მინიმუმ საბაზისო უნარები მათ გამოთვლაში. ამის მკაფიო გაგების გარეშე, ინტეგრაციაში აბსოლუტურად არაფერია გასაკეთებელი.

თუმცა, აქ დევს ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული და მზაკვრული პრობლემა. ფაქტია, რომ პირველი ანტიდერივატების გამოთვლას ბევრი სტუდენტი ურევს მათ წარმოებულებთან. შედეგად, სულელური და შეურაცხმყოფელი შეცდომები უშვებენ გამოცდების და დამოუკიდებელი მუშაობის დროს.

ამიტომ, ახლა მე არ მივცემ ანტიდერივატივის მკაფიო განმარტებას. სანაცვლოდ, მე გირჩევთ ნახოთ, როგორ გამოითვლება მარტივი კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით.

რა არის ანტიდერივატი და როგორ გამოითვლება?

ჩვენ ვიცით ეს ფორმულა:

\[((\ left(((x)^(n)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

ეს წარმოებული გამოითვლება მარტივად:

\[(f)"\left(x \მარჯვნივ)=((\left(((x)^(3)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ მიღებულ გამონათქვამს და გამოვხატოთ $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \მარჯვნივ))^(\prime )))(3)\]

მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს ასე, წარმოებულის განმარტების მიხედვით:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \მარჯვნივ))^(\prime ))\]

ახლა კი ყურადღება: ის, რაც ჩვენ ჩამოვწერეთ, არის ანტიდერივატივის განმარტება. მაგრამ სწორად რომ დაწეროთ, თქვენ უნდა დაწეროთ შემდეგი:

მოდით დავწეროთ შემდეგი გამოთქმა ანალოგიურად:

თუ ამ წესს განვაზოგადებთ, შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი ფორმულა:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ მკაფიო განმარტება.

ფუნქციის ანტიდერივატი არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული ტოლია თავდაპირველი ფუნქციის.

კითხვები ანტიდერივატიული ფუნქციის შესახებ

როგორც ჩანს, საკმაოდ მარტივი და გასაგები განმარტებაა. თუმცა, მისი მოსმენის შემდეგ, ყურადღებიან სტუდენტს დაუყოვნებლივ გაუჩნდება რამდენიმე კითხვა:

ვთქვათ, კარგი, ეს ფორმულა სწორია. თუმცა, ამ შემთხვევაში, $n=1$-თან გვაქვს პრობლემები: მნიშვნელში ჩნდება „ნული“ და „ნულზე“ ვერ გავყოფთ.
ფორმულა შემოიფარგლება მხოლოდ გრადუსით. როგორ გამოვთვალოთ ანტიწარმოებული, მაგალითად, სინუსის, კოსინუსის და ნებისმიერი სხვა ტრიგონომეტრიის, ისევე როგორც მუდმივების.
ეგზისტენციალური კითხვა: ყოველთვის შესაძლებელია ანტიდერივატივის პოვნა? თუ კი, მაშინ რაც შეეხება ჯამის, სხვაობის, პროდუქტის და ა.შ. ანტიწარმოებულს?

ბოლო კითხვაზე მაშინვე გიპასუხებ. სამწუხაროდ, ანტიდერივატი, წარმოებულისგან განსხვავებით, ყოველთვის არ განიხილება. არ არსებობს უნივერსალური ფორმულა, რომლითაც ნებისმიერი საწყისი კონსტრუქციიდან მივიღებთ ფუნქციას, რომელიც ამ მსგავსი კონსტრუქციის ტოლი იქნება. რაც შეეხება ძალებს და მუდმივებს, ამაზე ახლა ვისაუბრებთ.

დენის ფუნქციებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრა

\[((x)^(-1))\ frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

როგორც ხედავთ, $((x)^(-1))$-ის ეს ფორმულა არ მუშაობს. ჩნდება კითხვა: რა მუშაობს მაშინ? არ შეგვიძლია დავთვალოთ $((x)^(-1))$? რა თქმა უნდა შეგვიძლია. ჯერ ეს გავიხსენოთ:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ახლა ვიფიქროთ: რომელი ფუნქციის წარმოებული უდრის $\frac(1)(x)$-ს. ცხადია, ნებისმიერ სტუდენტს, რომელმაც ცოტათი მაინც შეისწავლა ეს თემა, ახსოვს, რომ ეს გამოთქმა უდრის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულს:

\[((\მარცხნივ(\ln x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებით დავწეროთ შემდეგი:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ln x\]

თქვენ უნდა იცოდეთ ეს ფორმულა, ისევე როგორც დენის ფუნქციის წარმოებული.

მაშ რა ვიცით აქამდე:

სიმძლავრის ფუნქციისთვის - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
მუდმივისთვის - $=const\to \cdot x$
დენის ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევაა $\frac(1)(x)\ln x$-მდე

და თუ დავიწყებთ უმარტივესი ფუნქციების გამრავლებას და გაყოფას, მაშინ როგორ გამოვთვალოთ პროდუქტის ან კოეფიციენტის ანტიწარმოებული. სამწუხაროდ, ანალოგიები პროდუქტის წარმოებულთან ან კოეფიციენტთან აქ არ მუშაობს. არ არსებობს სტანდარტული ფორმულა. ზოგიერთ შემთხვევაში, არსებობს რთული სპეციალური ფორმულები - მათ გავეცნობით მომავალ ვიდეო გაკვეთილებში.

თუმცა, გახსოვდეთ: არ არსებობს კოეფიციენტისა და პროდუქტის წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულის მსგავსი ზოგადი ფორმულა.

რეალური პრობლემების გადაჭრა

დავალება No1

მოდით გამოვთვალოთ თითოეული დენის ფუნქცია ცალ-ცალკე:

\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ჩვენს გამოთქმას რომ დავუბრუნდეთ, ჩვენ ვწერთ ზოგად კონსტრუქციას:

პრობლემა No2

როგორც უკვე ვთქვი, ნამუშევრების პროტოტიპები და დეტალები არ განიხილება. თუმცა, აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი:

წილადი დავშალეთ ორი წილადის ჯამად.

მოდით გავაკეთოთ მათემატიკა:

კარგი ამბავი ის არის, რომ ანტიდერივატების გამოთვლის ფორმულების ცოდნით, უკვე შეგიძლიათ უფრო რთული სტრუქტურების გამოთვლა. თუმცა, მოდით წავიდეთ უფრო შორს და გავაფართოვოთ ჩვენი ცოდნა. ფაქტია, რომ ბევრი კონსტრუქცია და გამოთქმა, რომელსაც ერთი შეხედვით არანაირი კავშირი არ აქვს $((x)^(n))$-თან, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით, კერძოდ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

ყველა ეს ტექნიკა შეიძლება და უნდა იყოს კომბინირებული. ძალის გამონათქვამები შეიძლება იყოს

გამრავლება (გრადუსების დამატება);
გაყოფა (გრადუსები გამოკლებულია);
გამრავლება მუდმივზე;
და ა.შ.

ძალოვანი გამონათქვამების ამოხსნა რაციონალური მაჩვენებლით

მაგალითი #1

მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ფესვი ცალკე:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

მთლიანობაში, მთელი ჩვენი კონსტრუქცია შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

მაგალითი No2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \მარჯვნივ))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ამიტომ ვიღებთ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

მთლიანობაში, ყველაფრის ერთ გამონათქვამში შეგროვებით, შეგვიძლია დავწეროთ:

მაგალითი No3

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\ to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\ frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

გადავიწეროთ:

იმედია არავის გავაკვირვებ, თუ ვიტყვი, რომ ის, რაც ახლა შევისწავლეთ, არის მხოლოდ ანტიდერივატივების უმარტივესი გამოთვლები, ყველაზე ელემენტარული კონსტრუქციები. მოდით ახლა გადავხედოთ ოდნავ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებშიც, ტაბულური ანტიწარმოებულების გარდა, ასევე დაგჭირდებათ სკოლის სასწავლო გეგმა, კერძოდ, შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.

უფრო რთული მაგალითების ამოხსნა

დავალება No1

გავიხსენოთ კვადრატული სხვაობის ფორმულა:

\[((\ მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ))^(2))=((a)^(2))-ab+((ბ)^(2))\]

მოდით გადავწეროთ ჩვენი ფუნქცია:

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი ფუნქციის პროტოტიპი:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]

მოდით გავაერთიანოთ ყველაფერი საერთო სტრუქტურაში:

პრობლემა No2

ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავაფართოვოთ სხვაობის კუბი. გავიხსენოთ:

\[((\left(a-b \მარჯვნივ))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ბ)^(3))\]

ამ ფაქტის გათვალისწინებით შეგვიძლია დავწეროთ ასე:

მოდით ცოტათი შევცვალოთ ჩვენი ფუნქცია:

ჩვენ ვითვლით როგორც ყოველთვის - თითოეულ ტერმინს ცალ-ცალკე:

\[((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1)) \ln x\]

მოდით დავწეროთ მიღებული კონსტრუქცია:

პრობლემა No3

ზედა ნაწილში გვაქვს ჯამის კვადრატი, მოდით გავაფართოვოთ:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\ მარცხენა (\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\ to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

დავწეროთ საბოლოო გამოსავალი:

ახლა ყურადღება! ძალიან მნიშვნელოვანი რამ, რაც დაკავშირებულია შეცდომებისა და გაუგებრობების ლომის წილთან. ფაქტია, რომ აქამდე, წარმოებულების დახმარებით ანტიწარმოებულების დათვლასა და გარდაქმნების მოტანისას, არ გვიფიქრია, რის ტოლია მუდმივის წარმოებული. მაგრამ მუდმივის წარმოებული უდრის "ნულს". ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ შემდეგი პარამეტრები:

$((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

ამის გაგება ძალიან მნიშვნელოვანია: თუ ფუნქციის წარმოებული ყოველთვის ერთი და იგივეა, მაშინ იგივე ფუნქციას აქვს უსასრულო რაოდენობის ანტიდერივატი. ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ დავუმატოთ ნებისმიერი მუდმივი რიცხვი ჩვენს ანტიწარმოებულებს და მივიღოთ ახალი.

შემთხვევითი არ არის, რომ პრობლემების ახსნაში, რომლებიც ახლახან გადავწყვიტეთ, ეწერა "ჩაწერეთ ანტიდერივატების ზოგადი ფორმა". იმათ. უკვე წინასწარ ვარაუდობენ, რომ არ არის ერთი მათგანი, არამედ მთელი სიმრავლე. მაგრამ, ფაქტობრივად, ისინი განსხვავდებიან მხოლოდ მუდმივი $C$ ბოლოს. ამიტომ, ჩვენს ამოცანებში ჩვენ გამოვასწორებთ იმას, რაც არ დავასრულეთ.

ჩვენ კიდევ ერთხელ ვწერთ ჩვენს კონსტრუქციებს:

ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა დაამატოთ, რომ $C$ არის მუდმივი - $C=const$.

ჩვენს მეორე ფუნქციაში ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

და ბოლო:

ახლა კი ნამდვილად მივიღეთ ის, რაც ჩვენგან მოითხოვდა პრობლემის თავდაპირველ მდგომარეობაში.

ანტიდერივატების პოვნის ამოცანების ამოხსნა მოცემული წერტილით

ახლა, როდესაც ჩვენ ვიცით მუდმივებისა და ანტიწარმოებულების ჩაწერის თავისებურებების შესახებ, სავსებით ლოგიკურია, რომ შემდეგი ტიპის პრობლემა წარმოიქმნება, როდესაც ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლიდან საჭიროა იპოვოთ ერთი და ერთადერთი, რომელიც გაივლის მოცემულ წერტილს. . რა არის ეს ამოცანა?

ფაქტია, რომ მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატი განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ ისინი ვერტიკალურად არის გადაადგილებული გარკვეული რიცხვით. და ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატულ სიბრტყეზე რომელ წერტილსაც არ უნდა ავიღოთ, ერთი ანტიდერივატი აუცილებლად გაივლის და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

ასე რომ, ამოცანები, რომლებსაც ახლა გადავწყვეტთ, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: არა მხოლოდ იპოვნეთ ანტიწარმოებული, იცოდეთ ორიგინალური ფუნქციის ფორმულა, არამედ აირჩიე ზუსტად ის, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში, რომლის კოორდინატები იქნება მოცემული ამოცანაში. განცხადება.

მაგალითი #1

პირველ რიგში, მოდით, უბრალოდ დავთვალოთ თითოეული ტერმინი:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ to \frac(((x)^(4)))(4)\]

ახლა ჩვენ შევცვლით ამ გამონათქვამებს ჩვენს კონსტრუქციაში:

ეს ფუნქცია უნდა გაიაროს $M\left(-1;4 \right)$ წერტილი. რას ნიშნავს, რომ ის გადის წერტილში? ეს ნიშნავს, რომ თუ $x$-ის ნაცვლად ყველგან დავდებთ $-1$, ხოლო $F\left(x \right)$-ის ნაცვლად - $-4$, მაშინ უნდა მივიღოთ სწორი რიცხვითი თანასწორობა. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ჩვენ ვხედავთ, რომ გვაქვს განტოლება $C$-ისთვის, ამიტომ ვცადოთ მისი ამოხსნა:

მოდით ჩამოვწეროთ ის გამოსავალი, რომელსაც ჩვენ ვეძებდით:

მაგალითი No2

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია განსხვავების კვადრატის გამოვლენა შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით:

\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ორიგინალური კონსტრუქცია დაიწერება შემდეგნაირად:

ახლა ვიპოვოთ $C$: ჩავანაცვლოთ $M$ წერტილის კოორდინატები:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

ჩვენ გამოვხატავთ $C$:

რჩება საბოლოო გამოხატვის ჩვენება:

ტრიგონომეტრიული ამოცანების ამოხსნა

როგორც საბოლოო შეხება იმაზე, რაც ახლა განვიხილეთ, მე ვთავაზობ განვიხილოთ ორი უფრო რთული პრობლემა, რომელიც მოიცავს ტრიგონომეტრიას. მათში, ანალოგიურად, დაგჭირდებათ ყველა ფუნქციის ანტიდერივატივის პოვნა, შემდეგ ამ ნაკრებიდან აირჩიეთ ერთადერთი, რომელიც გადის $M$ წერტილში კოორდინატულ სიბრტყეზე.

მომავალს რომ ვუყურებ, მინდა აღვნიშნო, რომ ტექნიკა, რომელსაც ახლა გამოვიყენებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანტიწარმოებულების მოსაძებნად, ფაქტობრივად, თვითშემოწმების უნივერსალური ტექნიკაა.

დავალება No1

გავიხსენოთ შემდეგი ფორმულა:

\[((\ მარცხენა (\ ტექსტი (tg)x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos)^(2))x)\]

ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ:

მოდით ჩავანაცვლოთ $M$ წერტილის კოორდინატები ჩვენს გამოსახულებაში:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

მოდით გადავიწეროთ გამოთქმა ამ ფაქტის გათვალისწინებით:

პრობლემა No2

ეს ცოტა უფრო რთული იქნება. ახლა ნახავთ რატომ.

გავიხსენოთ ეს ფორმულა:

\[((\ მარცხენა (\ ტექსტი(ctg)x \მარჯვნივ))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"მინუსის" თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

\[((\ მარცხენა (-\ტექსტი(ctg)x \მარჯვნივ))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

აქ არის ჩვენი დიზაინი

შევცვალოთ $M$ წერტილის კოორდინატები:

საერთო ჯამში, ჩვენ ვწერთ საბოლოო კონსტრუქციას:

სულ ეს იყო, რის შესახებაც დღეს მინდოდა მეთქვა. ჩვენ შევისწავლეთ ტერმინი ანტიწარმოებულები, როგორ გამოვთვალოთ ისინი ელემენტარული ფუნქციებიდან და ასევე როგორ ვიპოვოთ ანტიწარმოებული, რომელიც გადის კონკრეტულ წერტილში კოორდინატულ სიბრტყეზე.

იმედი მაქვს, ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ ამ რთული თემის ოდნავ გაგებაში. ნებისმიერ შემთხვევაში, სწორედ ანტიწარმოებულებზეა აგებული განუსაზღვრელი და განუსაზღვრელი ინტეგრალები, ამიტომ მათი გამოთვლა აბსოლუტურად აუცილებელია. სულ ეს არის ჩემთვის. ისევ გნახავ!

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: