რა ძალები მოქმედებენ ქანქარზე სიმის გასწვრივ? მათემატიკური ქანქარა: პერიოდი, აჩქარება და ფორმულები

მათემატიკური გულსაკიდიეძახით მატერიალურ წერტილს, რომელიც შეჩერებულია საკიდზე დამაგრებულ უწონო და გაუწელვებელ ძაფზე და მდებარეობს სიმძიმის (ან სხვა ძალის) ველში.

შევისწავლოთ მათემატიკური ქანქარის რხევები ათვლის ინერციულ სისტემაში, რომლის მიმართაც მისი შეჩერების წერტილი ისვენებს ან თანაბრად მოძრაობს სწორი ხაზით. ჩვენ უგულებელყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობის ძალას (იდეალური მათემატიკური ქანქარა). თავდაპირველად, ქანქარა ისვენებს წონასწორულ მდგომარეობაში C. ამ შემთხვევაში, მასზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა და ძაფის ელასტიური ძალა \(\vec F_(ynp)\) ურთიერთდაკავშირებულია. კომპენსირებული.

ამოვიღოთ ქანქარა წონასწორული პოზიციიდან (მისი გადახრით, მაგალითად, A პოზიციაზე) და გავათავისუფლოთ საწყისი სიჩქარის გარეშე (ნახ. 13.11). ამ შემთხვევაში ძალები \(\vec F\) და \(\vec F_(ynp)\) ერთმანეთს არ აბალანსებენ. გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი \(\vec F_\tau\), რომელიც მოქმედებს ქანქარზე, აძლევს მას ტანგენციალურ აჩქარებას \(\vec a_\tau\) (მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის გასწვრივ მიმართული მთლიანი აჩქარების კომპონენტი. ), და ქანქარა იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციაზე აბსოლუტური მნიშვნელობის მზარდი სიჩქარით. გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი \(\vec F_\tau\) ამგვარად აღმდგენი ძალაა. მიზიდულობის ძალის ნორმალური კომპონენტი \(\vec F_n\) მიმართულია ძაფის გასწვრივ ელასტიური ძალის წინააღმდეგ \(\vec F_(ynp)\). ძალების შედეგი \(\vec F_n\) და \(\vec F_(ynp)\) ანიჭებს ნორმალურ აჩქარებას \(~a_n\) ქანქარას, რომელიც ცვლის სიჩქარის ვექტორის მიმართულებას და ქანქარა მოძრაობს. რკალის გასწვრივ Ა Ბ Გ Დ.

რაც უფრო უახლოვდება ქანქარა წონასწორობის პოზიციას C, მით უფრო მცირე ხდება ტანგენციალური კომპონენტის მნიშვნელობა \(~F_\tau = F \sin \alpha\). წონასწორობის მდგომარეობაში ის ნულის ტოლია და სიჩქარე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, ხოლო ქანქარა ინერციით უფრო შორს მოძრაობს, მაღლა რკალით იზრდება. ამ შემთხვევაში, კომპონენტი \(\vec F_\tau\) მიმართულია სიჩქარის წინააღმდეგ. გადახრის a კუთხის გაზრდისას ძალის მოდული \(\vec F_\tau\) იზრდება, სიჩქარის მოდული მცირდება და D წერტილში ქანქარის სიჩქარე ნულის ტოლი ხდება. ქანქარა წამით ჩერდება და შემდეგ იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციის საპირისპირო მიმართულებით. მას შემდეგ ისევ ინერციით გაივლის, ქანქარა, ანელებს მოძრაობას, მიაღწევს A წერტილს (ხახუნი არ არის), ე.ი. დაასრულებს სრულ რხევას. ამის შემდეგ, ქანქარის მოძრაობა განმეორდება უკვე აღწერილი თანმიმდევრობით.

მოდით მივიღოთ განტოლება, რომელიც აღწერს მათემატიკური ქანქარის თავისუფალ რხევებს.

ქანქარა დროის მოცემულ მომენტში იყოს B წერტილში. მისი S გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან ამ მომენტში ტოლია რკალის SV სიგრძისა (ე.ი. S = |SV|). მოდით აღვნიშნოთ საკიდი ძაფის სიგრძე ლ, ხოლო ქანქარის მასა არის მ.

ნახაზი 13.11-დან ირკვევა, რომ \(~F_\tau = F \sin \alpha\), სადაც \(\alpha =\frac(S)(l).\) მცირე კუთხით \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

მინუს ნიშანი მოთავსებულია ამ ფორმულაში, რადგან სიმძიმის ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ, ხოლო გადაადგილება დათვლილია წონასწორობის პოზიციიდან.

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) მოდით დავაპროექტოთ ამ განტოლების ვექტორული სიდიდეები მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის მიმართულებაზე.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

ამ განტოლებიდან ვიღებთ

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - მათემატიკური ქანქარის მოძრაობის დინამიური განტოლება. მათემატიკური ქანქარის ტანგენციალური აჩქარება მისი გადაადგილების პროპორციულია და მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ. ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც \. მისი შედარება ჰარმონიული რხევების განტოლებასთან \(~a_x + \omega^2x = 0\) (იხ. § 13.3), შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური ქანქარა ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. და ვინაიდან ქანქარის განხილული რხევები ხდებოდა მხოლოდ შინაგანი ძალების გავლენის ქვეშ, ეს იყო ქანქარის თავისუფალი რხევები. აქედან გამომდინარე, მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევები მცირე გადახრებით ჰარმონიულია.

ავღნიშნოთ \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) საიდანაც \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) არის ქანქარის ციკლური სიხშირე.

ქანქარის რხევის პერიოდია \(T = \frac(2 \pi)(\ომეგა).

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g))\)

ამ გამოთქმას ე.წ ჰიუგენსის ფორმულა.ის განსაზღვრავს მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდს. ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ წონასწორობის პოზიციიდან გადახრის მცირე კუთხით, მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი: 1) არ არის დამოკიდებული მის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე; 2) ქანქარის სიგრძის კვადრატული ფესვის პროპორციულია და გრავიტაციის აჩქარების კვადრატული ფესვის უკუპროპორციულია. ეს შეესაბამება მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების ექსპერიმენტულ კანონებს, რომლებიც აღმოაჩინა გ.გალილეომ.

ხაზს ვუსვამთ, რომ ამ ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია პერიოდის გამოსათვლელად, თუ ერთდროულად ორი პირობაა დაკმაყოფილებული: 1) ქანქარის რხევები უნდა იყოს მცირე; 2) ქანქარის დაკიდების წერტილი უნდა იყოს მოსვენებულ მდგომარეობაში ან თანაბრად მოძრაობდეს სწორი ხაზით იმ ინერციული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ, რომელშიც ის მდებარეობს.

თუ მათემატიკური ქანქარის დაკიდების წერტილი მოძრაობს აჩქარებით \(\vec a\), მაშინ იცვლება ძაფის დაძაბულობის ძალა, რაც იწვევს აღდგენის ძალის ცვლილებას და, შესაბამისად, რხევების სიხშირესა და პერიოდს. როგორც გამოთვლები აჩვენებს, ამ შემთხვევაში ქანქარის რხევის პერიოდი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

სადაც \(~g"\) არის ქანქარის "ეფექტური" აჩქარება არაინერციულ მითითების სისტემაში. იგი უდრის სიმძიმის აჩქარების გეომეტრიულ ჯამს \(\vec g\) და ვექტორის საპირისპირო. ვექტორი \(\vec a\), ანუ ის შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

ლიტერატურა

აქსენოვიჩ L.A. ფიზიკა საშუალო სკოლაში: თეორია. Დავალებები. ტესტები: სახელმძღვანელო. ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების შემწეობა. გარემო, განათლება / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; რედ. კ.ს.ფარინო. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - გვ. 374-376.

მათემატიკური გულსაკიდიეძახით მატერიალურ წერტილს, რომელიც შეჩერებულია საკიდზე დამაგრებულ უწონო და გაუწელვებელ ძაფზე და მდებარეობს სიმძიმის (ან სხვა ძალის) ველში.

შევისწავლოთ მათემატიკური ქანქარის რხევები ათვლის ინერციულ სისტემაში, რომლის მიმართაც მისი შეჩერების წერტილი ისვენებს ან თანაბრად მოძრაობს სწორი ხაზით. ჩვენ უგულებელყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობის ძალას (იდეალური მათემატიკური ქანქარა). თავდაპირველად, ქანქარა ისვენებს წონასწორულ მდგომარეობაში C. ამ შემთხვევაში, მიზიდულობის ძალა და მასზე მოქმედი ძაფის დრეკადობის ძალა F?ynp ურთიერთ ანაზღაურდება.

ავხსნათ ქანქარა წონასწორული პოზიციიდან (მისი გადახრით, მაგალითად, A პოზიციაზე) და გავათავისუფლოთ საწყისი სიჩქარის გარეშე (ნახ. 1). ამ შემთხვევაში ძალები ერთმანეთს არ აბალანსებენ. გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი, რომელიც მოქმედებს ქანქარზე, აძლევს მას ტანგენციალურ აჩქარებას a?? (მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის გასწვრივ მიმართული მთლიანი აჩქარების კომპონენტი) და ქანქარა იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციისკენ აბსოლუტური სიჩქარით მზარდი სიჩქარით. ამრიგად, გრავიტაციის ტანგენციალური კომპონენტი არის აღმდგენი ძალა. გრავიტაციის ნორმალური კომპონენტი მიმართულია ძაფის გასწვრივ ელასტიური ძალის წინააღმდეგ. ძალების შედეგი ქანქარას აძლევს ნორმალურ აჩქარებას, რომელიც ცვლის სიჩქარის ვექტორის მიმართულებას და ქანქარა მოძრაობს ABCD რკალის გასწვრივ.

რაც უფრო უახლოვდება ქანქარა წონასწორულ პოზიციას C, მით უფრო მცირე ხდება ტანგენციალური კომპონენტის მნიშვნელობა. წონასწორობის მდგომარეობაში ის ნულის ტოლია და სიჩქარე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, ხოლო ქანქარა ინერციით უფრო შორს მოძრაობს, მაღლა რკალით იზრდება. ამ შემთხვევაში, კომპონენტი მიმართულია სიჩქარის წინააღმდეგ. გადახრის a კუთხის მატებასთან ერთად, ძალის სიდიდე იზრდება და სიჩქარის სიდიდე მცირდება, ხოლო D წერტილში ქანქარის სიჩქარე ნული ხდება. ქანქარა წამით ჩერდება და შემდეგ იწყებს მოძრაობას წონასწორობის პოზიციის საპირისპირო მიმართულებით. მას შემდეგ ისევ ინერციით გაივლის, ქანქარა, ანელებს მოძრაობას, მიაღწევს A წერტილს (ხახუნი არ არის), ე.ი. დაასრულებს სრულ რხევას. ამის შემდეგ, ქანქარის მოძრაობა განმეორდება უკვე აღწერილი თანმიმდევრობით.

ქანქარა დროის მოცემულ მომენტში იყოს B წერტილში. მისი S გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან ამ მომენტში ტოლია რკალის SV სიგრძისა (ე.ი. S = |SV|). საკიდი ძაფის სიგრძე l-ით აღვნიშნოთ, ხოლო ქანქარის მასა m-ით.

სურათი 1-დან ირკვევა, რომ სად. მცირე კუთხით () ქანქარა იხრება, შესაბამისად

ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით. მოდით დავაპროექტოთ ამ განტოლების ვექტორული სიდიდეები მათემატიკური ქანქარის ტრაექტორიის ტანგენტის მიმართულებაზე.

ამ განტოლებიდან ვიღებთ

მათემატიკური ქანქარის მოძრაობის დინამიური განტოლება. მათემატიკური ქანქარის ტანგენციალური აჩქარება მისი გადაადგილების პროპორციულია და მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ. ეს განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

მისი შედარება ჰარმონიული ვიბრაციის განტოლებასთან , შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური გულსაკიდი ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. და ვინაიდან ქანქარის განხილული რხევები ხდებოდა მხოლოდ შინაგანი ძალების გავლენის ქვეშ, ეს იყო ქანქარის თავისუფალი რხევები. შესაბამისად, მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევები მცირე გადახრებით ჰარმონიულია.

აღვნიშნოთ

ქანქარის რხევების ციკლური სიხშირე.

ქანქარის რხევის პერიოდი. აქედან გამომდინარე,

ამ გამოთქმას ჰაიგენსის ფორმულა ჰქვია. ის განსაზღვრავს მათემატიკური ქანქარის თავისუფალი რხევების პერიოდს. ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ წონასწორობის პოზიციიდან გადახრის მცირე კუთხით, მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდია:

არ არის დამოკიდებული მის მასაზე და ვიბრაციის ამპლიტუდაზე;
პროპორციულია ქანქარის სიგრძის კვადრატული ფესვისა და უკუპროპორციულია გრავიტაციის აჩქარების კვადრატული ფესვისა.

ეს შეესაბამება მათემატიკური ქანქარის მცირე რხევების ექსპერიმენტულ კანონებს, რომლებიც აღმოაჩინა გ.გალილეომ.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას პერიოდის გამოსათვლელად, თუ ორი პირობა ერთდროულად არის დაკმაყოფილებული:

ქანქარის რხევები უნდა იყოს მცირე;
ქანქარის დაკიდების წერტილი უნდა იყოს მოსვენებული ან თანაბრად მოძრაობდეს სწორი ხაზით იმ ინერციული საცნობარო ჩარჩოს მიმართ, რომელშიც ის მდებარეობს.

თუ მათემატიკური ქანქარის დაკიდების წერტილი მოძრაობს აჩქარებით, მაშინ იცვლება ძაფის დაძაბულობის ძალა, რაც იწვევს აღდგენის ძალის ცვლილებას და, შესაბამისად, რხევების სიხშირესა და პერიოდს. როგორც გამოთვლები აჩვენებს, ამ შემთხვევაში ქანქარის რხევის პერიოდი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

სად არის ქანქარის „ეფექტური“ აჩქარება არაინერციულ საორიენტაციო ჩარჩოში. იგი უდრის თავისუფალი ვარდნის აჩქარების გეომეტრიულ ჯამს და ვექტორის საპირისპირო ვექტორს, ე.ი. მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით

მათემატიკური გულსაკიდი.

მათემატიკური ქანქარა არის მატერიალური წერტილი, რომელიც შეჩერებულია გაუწელვებელ უწონო ძაფზე, რომელიც ასრულებს რხევად მოძრაობას ერთ ვერტიკალურ სიბრტყეში გრავიტაციის გავლენის ქვეშ.

ასეთი ქანქარა შეიძლება მივიჩნიოთ m მასის მძიმე ბურთულად, დაკიდებული თხელ ძაფზე, რომლის სიგრძე l გაცილებით მეტია ბურთის ზომაზე. თუ იგი გადახრილია α კუთხით (სურ. 7.3.) ვერტიკალური ხაზიდან, მაშინ ძალის F, P წონის ერთ-ერთი კომპონენტის ზემოქმედებით ის ირხევა. სხვა კომპონენტი, რომელიც მიმართულია ძაფის გასწვრივ, არ არის გათვალისწინებული, რადგან დაბალანსებულია ძაფის დაჭიმვით. მცირე გადაადგილების კუთხით და შემდეგ x კოორდინატი შეიძლება გაიზომოს ჰორიზონტალური მიმართულებით. ნახ. 7.3-დან ნათლად ჩანს, რომ ძაფზე პერპენდიკულარული წონის კომპონენტი უდრის

ძალის მომენტი O წერტილის მიმართ და ინერციის მომენტი:
M=FL .
Ინერციის მომენტი ჯამ შემთხვევაში
კუთხური აჩქარება:

ამ მნიშვნელობების გათვალისწინებით, ჩვენ გვაქვს:

(7.8)

მისი გადაწყვეტილება
,

სად და

(7.9)

როგორც ვხედავთ, მათემატიკური ქანქარის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია მის სიგრძეზე და მიზიდულობის აჩქარებაზე და არ არის დამოკიდებული რხევების ამპლიტუდაზე.

ფიზიკური გულსაკიდი.

ფიზიკური ქანქარა არის ხისტი სხეული, რომელიც ფიქსირდება ფიქსირებულ ჰორიზონტალურ ღერძზე (დაკიდების ღერძი), რომელიც არ გადის სიმძიმის ცენტრს და რომელიც ამ ღერძის გარშემო მოძრაობს სიმძიმის გავლენით. მათემატიკური ქანქარისგან განსხვავებით, ასეთი სხეულის მასა არ შეიძლება ჩაითვალოს წერტილივით.

მცირე გადახრის კუთხით α (ნახ. 7.4), ფიზიკური ქანქარა ასევე ასრულებს ჰარმონიულ რხევებს. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ფიზიკური ქანქარის წონა მიემართება მის სიმძიმის ცენტრს C წერტილში. ძალა, რომელიც აბრუნებს ქანქარას წონასწორობის მდგომარეობაში, ამ შემთხვევაში, იქნება სიმძიმის კომპონენტი - ძალა F.

მინუს ნიშანი მარჯვენა მხარეს ნიშნავს, რომ ძალა F მიმართულია α კლების კუთხისკენ. α კუთხის სიმცირის გათვალისწინებით

მათემატიკური და ფიზიკური ქანქარების მოძრაობის კანონის გამოსატანად ვიყენებთ ბრუნვის მოძრაობის დინამიკის ძირითად განტოლებას.

ძალის მომენტი: არ შეიძლება განისაზღვროს აშკარად. ფიზიკური ქანქარის რხევების თავდაპირველ დიფერენციალურ განტოლებაში შემავალი ყველა სიდიდის გათვალისწინებით, აქვს ფორმა:

ქანქარები ნაჩვენებია ნახ. 2, არის სხვადასხვა ფორმისა და ზომის გაფართოებული სხეულები, რომლებიც ირხევა დაკიდების ან საყრდენი წერტილის გარშემო. ასეთ სისტემებს ფიზიკურ ქანქარებს უწოდებენ. წონასწორობის მდგომარეობაში, როდესაც სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ვერტიკალურზე დაკიდების (ან საყრდენი წერტილის) ქვემოთ, სიმძიმის ძალა დაბალანსებულია (დეფორმირებული ქანქარის ელასტიური ძალების მეშვეობით) საყრდენის რეაქციით. წონასწორობის პოზიციიდან გადახრისას, გრავიტაცია და დრეკადობის ძალები დროის თითოეულ მომენტში განსაზღვრავენ ქანქარის კუთხური აჩქარებას, ანუ განსაზღვრავენ მისი მოძრაობის (რხევის) ბუნებას. ჩვენ ახლა უფრო დეტალურად განვიხილავთ რხევების დინამიკას ეგრეთ წოდებული მათემატიკური ქანქარის უმარტივესი მაგალითის გამოყენებით, რომელიც წარმოადგენს გრძელ თხელ ძაფზე დაკიდებულ მცირე წონას.

მათემატიკური ქანქარაში ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ძაფის მასა და წონის დეფორმაცია, ანუ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ქანქარის მასა კონცენტრირებულია წონაში, ხოლო ელასტიური ძალები კონცენტრირებულია ძაფში, რომელიც ითვლება განუვითარებლად. . ახლა ვნახოთ, რა ძალების ქვეშ ირხევა ჩვენი ქანქარა მას შემდეგ, რაც ის წონასწორული პოზიციიდან რაიმე გზით მოიხსნება (ბიძგი, გადახრა).

როდესაც ქანქარა ისვენებს წონასწორობის მდგომარეობაში, სიმძიმის ძალა, რომელიც მოქმედებს მის წონაზე და მიმართულია ვერტიკალურად ქვემოთ, დაბალანსებულია ძაფის დაჭიმვის ძალით. გადახრილ მდგომარეობაში (ნახ. 15) სიმძიმის ძალა მოქმედებს ძაფის გასწვრივ მიმართული დაძაბულობის ძალის კუთხით. მოდით დავყოთ მიზიდულობის ძალა ორ კომპონენტად: ძაფის მიმართულებით () და მასზე პერპენდიკულარულად (). ქანქარის რხევისას ძაფის დაჭიმვის ძალა ოდნავ აჭარბებს კომპონენტს - ცენტრიდანული ძალის ოდენობით, რაც აიძულებს დატვირთვას რკალში გადაადგილება. კომპონენტი ყოველთვის მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ; როგორც ჩანს, ის ცდილობს ამ მდგომარეობის აღდგენას. ამიტომ მას ხშირად აღმდგენი ძალას უწოდებენ. რაც უფრო მეტია ქანქარა გადახრილი, მით მეტია აბსოლუტური მნიშვნელობა.

ბრინჯი. 15. ძალის აღმდგენი ქანქარა წონასწორობის პოზიციიდან გადახრისას

ასე რომ, როგორც კი ქანქარა, მისი რხევების დროს, იწყებს გადახრას წონასწორული პოზიციიდან, ვთქვათ, მარჯვნივ, ჩნდება ძალა, რომელიც უფრო ანელებს მის მოძრაობას, რაც უფრო შორდება. საბოლოო ჯამში, ეს ძალა შეაჩერებს მას და უკან დააბრუნებს წონასწორობის პოზიციას. თუმცა, როგორც მივუახლოვდებით ამ პოზიციას, ძალა უფრო და უფრო მცირდება და წონასწორობის მდგომარეობაში თავად გახდება ნული. ამრიგად, ქანქარა გადის წონასწორობის მდგომარეობაში ინერციით. როგორც კი ის მარცხნივ გადახრას დაიწყებს, კვლავ გამოჩნდება ძალა, რომელიც იზრდება მზარდი გადახრით, მაგრამ ახლა მიმართულია მარჯვნივ. მოძრაობა მარცხნივ კვლავ შენელდება, შემდეგ ქანქარა შეჩერდება წამით, რის შემდეგაც დაიწყება აჩქარებული მოძრაობა მარჯვნივ და ა.შ.

რა ემართება ქანქარის ენერგიას რხევისას?

პერიოდის განმავლობაში ორჯერ - ყველაზე დიდ გადახრებზე მარცხნივ და მარჯვნივ - ქანქარა ჩერდება, ანუ ამ მომენტებში სიჩქარე ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ კინეტიკური ენერგია ნულის ტოლია. მაგრამ ზუსტად ამ მომენტებში ქანქარის სიმძიმის ცენტრი მაღლდება უდიდეს სიმაღლემდე და, შესაბამისად, პოტენციური ენერგია უდიდესია. პირიქით, წონასწორობის პოზიციის გავლის მომენტებში პოტენციური ენერგია ყველაზე დაბალია, ხოლო სიჩქარე და კინეტიკური ენერგია აღწევს უდიდეს მნიშვნელობებს.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ქანქარის ხახუნის ძალები ჰაერთან და შეჩერების წერტილში არსებული ხახუნის უგულებელყოფა შეიძლება. მაშინ, ენერგიის შენარჩუნების კანონის მიხედვით, ეს მაქსიმალური კინეტიკური ენერგია ზუსტად უდრის პოტენციური ენერგიის ჭარბს წონასწორობის პოზიციაზე პოტენციურ ენერგიაზე უდიდესი გადახრის პოზიციაზე.

ასე რომ, როდესაც ქანქარა რხევა, ხდება კინეტიკური ენერგიის პერიოდული გადასვლა პოტენციურ ენერგიაში და პირიქით, და ამ პროცესის პერიოდი ნახევარია, ვიდრე თავად ქანქარის რხევის პერიოდი. თუმცა, ქანქარის მთლიანი ენერგია (პოტენციური და კინეტიკური ენერგიების ჯამი) მუდმივად მუდმივია. ის უდრის იმ ენერგიას, რომელიც გადაეცა ქანქარას გაშვებისას, არ აქვს მნიშვნელობა, იქნება ეს პოტენციური ენერგიის სახით (საწყისი გადახრა) თუ კინეტიკური ენერგიის სახით (საწყისი ბიძგი).

ეს ეხება ნებისმიერ რხევას ხახუნის ან სხვა პროცესის არარსებობის შემთხვევაში, რომელიც ენერგიას ართმევს რხევის სისტემას ან აძლევს მას ენერგიას. ამიტომ ამპლიტუდა უცვლელი რჩება და განისაზღვრება ბიძგის საწყისი გადახრის ან ძალით.

აღდგენის ძალის იგივე ცვლილებებს და ენერგიის იგივე გადაცემას მივიღებთ, თუ ბურთის ძაფზე ჩამოკიდების ნაცვლად, მას ვერტიკალურ სიბრტყეში სფერულ თასში ან წრეწირის გასწვრივ მოხრილ ღარში ვახვევთ. ამ შემთხვევაში, ძაფის დაჭიმვის როლს აიღებს ჭიქის ან წყალგამყოფის კედლების წნევა (ჩვენ კვლავ უგულებელყოფთ ბურთის ხახუნს კედლებთან და ჰაერთან).

მექანიკურ სისტემას, რომელიც შედგება მატერიალური წერტილისგან (სხეულისგან), რომელიც ჩამოკიდებულია გაუწელვებელ უწონო ძაფზე (მისი მასა უმნიშვნელოა სხეულის წონასთან შედარებით), ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში ეწოდება მათემატიკური გულსაკიდი (სხვა სახელწოდება არის ოსცილატორი). ამ მოწყობილობის სხვა ტიპები არსებობს. ძაფის ნაცვლად შეიძლება გამოვიყენოთ უწონო ჯოხი. მათემატიკურ ქანქარას შეუძლია ნათლად გამოავლინოს ბევრი საინტერესო ფენომენის არსი. როდესაც ვიბრაციის ამპლიტუდა მცირეა, მის მოძრაობას ჰარმონიული ეწოდება.

მექანიკური სისტემის მიმოხილვა

ამ ქანქარის რხევის პერიოდის ფორმულა გამოიღო ჰოლანდიელმა მეცნიერმა ჰიუგენსმა (1629-1695). ი. ნიუტონის ეს თანამედროვე ძალიან დაინტერესებული იყო ამ მექანიკური სისტემით. 1656 წელს მან შექმნა პირველი საათი ქანქარიანი მექანიზმით. მათ დრო განსაკუთრებული სიზუსტით გაზომეს იმ დროისთვის. ეს გამოგონება გახდა ძირითადი ეტაპი ფიზიკური ექსპერიმენტებისა და პრაქტიკული აქტივობების განვითარებაში.

თუ ქანქარა წონასწორობის მდგომარეობაშია (დაკიდებული ვერტიკალურად), ის დაბალანსდება ძაფის დაჭიმვის ძალით. ბრტყელი ქანქარა გაუწელვებელ ძაფზე არის სისტემა, რომელსაც აქვს თავისუფლების ორი ხარისხი დაწყვილებით. როდესაც თქვენ შეცვლით მხოლოდ ერთ კომპონენტს, იცვლება მისი ყველა ნაწილის მახასიათებლები. ასე რომ, თუ ძაფი ჩანაცვლდება ღეროთი, მაშინ ამ მექანიკურ სისტემას ექნება თავისუფლების მხოლოდ 1 ხარისხი. რა თვისებები აქვს მათემატიკური ქანქარას? ამ უმარტივეს სისტემაში ქაოსი წარმოიქმნება პერიოდული დარღვევების გავლენის ქვეშ. იმ შემთხვევაში, როდესაც დაკიდების წერტილი არ მოძრაობს, მაგრამ რხევა, ქანქარას აქვს ახალი წონასწორული პოზიცია. სწრაფი რხევებით მაღლა და ქვევით, ეს მექანიკური სისტემა იძენს სტაბილურ „თავდაყირა“ პოზიციას. მას ასევე აქვს საკუთარი სახელი. მას კაპიცას ქანქარას უწოდებენ.

ქანქარის თვისებები

მათემატიკური ქანქარას აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები. ყველა მათგანი დადასტურებულია ცნობილი ფიზიკური კანონებით. ნებისმიერი სხვა ქანქარის რხევის პერიოდი დამოკიდებულია სხვადასხვა გარემოებებზე, როგორიცაა სხეულის ზომა და ფორმა, დაკიდების წერტილსა და სიმძიმის ცენტრს შორის დაშორება და მასის განაწილება ამ წერტილთან შედარებით. ამიტომ სხეულის ჩამოკიდების პერიოდის განსაზღვრა საკმაოდ რთული ამოცანაა. გაცილებით ადვილია მათემატიკური ქანქარის პერიოდის გამოთვლა, რომლის ფორმულა ქვემოთ იქნება მოცემული. მსგავსი მექანიკური სისტემების დაკვირვების შედეგად შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი შაბლონები:

თუ ქანქარის ერთი და იგივე სიგრძის შენარჩუნებისას ჩვენ შევაჩერებთ სხვადასხვა წონას, მაშინ მათი რხევების პერიოდი იგივე იქნება, თუმცა მათი მასები მნიშვნელოვნად განსხვავდება. შესაბამისად, ასეთი ქანქარის პერიოდი არ არის დამოკიდებული დატვირთვის მასაზე.

თუ სისტემის გაშვებისას ქანქარა გადახრილია არც თუ ისე დიდი, არამედ სხვადასხვა კუთხით, მაშინ ის დაიწყებს რხევას იმავე პერიოდით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდებით. სანამ გადახრები წონასწორობის ცენტრიდან არ არის ძალიან დიდი, მათი სახით ვიბრაციები საკმაოდ ახლოს იქნება ჰარმონიულთან. ასეთი ქანქარის პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული რხევის ამპლიტუდაზე. მოცემული მექანიკური სისტემის ამ თვისებას ეწოდება იზოქრონიზმი (ბერძნულიდან თარგმნილია „ქრონოსი“ - დრო, „ისოს“ - თანაბარი).

მათემატიკური ქანქარის პერიოდი

ეს მაჩვენებელი წარმოადგენს პერიოდს, მიუხედავად რთული ფორმულირებისა, პროცესი თავისთავად ძალიან მარტივია. თუ მათემატიკური ქანქარის ძაფის სიგრძეა L, ხოლო თავისუფალი ვარდნის აჩქარება არის g, მაშინ ეს მნიშვნელობა უდრის:

მცირე ბუნებრივი რხევების პერიოდი არანაირად არ არის დამოკიდებული ქანქარის მასაზე და რხევების ამპლიტუდაზე. ამ შემთხვევაში, ქანქარა მოძრაობს როგორც მათემატიკური, მოცემული სიგრძით.

მათემატიკური ქანქარის რხევები

მათემატიკური ქანქარა რხევა, რაც შეიძლება აღწერილი იყოს მარტივი დიფერენციალური განტოლებით:

x + ω2 sin x = 0,

სადაც x (t) უცნობი ფუნქციაა (ეს არის გადახრის კუთხე ქვედა წონასწორობის პოზიციიდან t მომენტში, გამოხატული რადიანებით); ω არის დადებითი მუდმივა, რომელიც განისაზღვრება ქანქარის პარამეტრებიდან (ω = √g/L, სადაც g არის თავისუფალი ვარდნის აჩქარება, ხოლო L არის მათემატიკური ქანქარის (შეჩერების) სიგრძე.

წონასწორობის პოზიციის მახლობლად მცირე ვიბრაციების განტოლება (ჰარმონიული განტოლება) ასე გამოიყურება:

x + ω2 sin x = 0

ქანქარის რხევითი მოძრაობები

მათემატიკური გულსაკიდი, რომელიც აკეთებს მცირე რხევებს, მოძრაობს სინუსოიდის გასწვრივ. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება აკმაყოფილებს ასეთი მოძრაობის ყველა მოთხოვნას და პარამეტრს. ტრაექტორიის დასადგენად აუცილებელია სიჩქარის და კოორდინატის დაყენება, საიდანაც შემდეგ განისაზღვრება დამოუკიდებელი მუდმივები:

x = ცოდვა (θ 0 + ωt),

სადაც θ 0 არის საწყისი ფაზა, A არის რხევის ამპლიტუდა, ω არის ციკლური სიხშირე, რომელიც განისაზღვრება მოძრაობის განტოლებიდან.

მათემატიკური ქანქარა (ფორმულები დიდი ამპლიტუდებისთვის)

ეს მექანიკური სისტემა, რომელიც რხევა მნიშვნელოვანი ამპლიტუდით, ექვემდებარება მოძრაობის უფრო რთულ კანონებს. ასეთი ქანქარისთვის ისინი გამოითვლება ფორმულის მიხედვით:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

სადაც sn არის იაკობის სინუსი, რომელიც u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

სადაც ε = E/mL2 (mL2 არის ქანქარის ენერგია).

არაწრფივი ქანქარის რხევის პერიოდი განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც Ω = π/2 * ω/2K(u), K არის ელიფსური ინტეგრალი, π - 3,14.

ქანქარის მოძრაობა სეპარატრიქსის გასწვრივ

სეპარატრიქსი არის დინამიური სისტემის ტრაექტორია, რომელსაც აქვს ორგანზომილებიანი ფაზის სივრცე. მათემატიკური ქანქარა მის გასწვრივ არაპერიოდულად მოძრაობს. დროის უსასრულოდ შორეულ მომენტში ის თავისი უმაღლესი პოზიციიდან გვერდზე ეცემა ნულოვანი სიჩქარით, შემდეგ თანდათან იძენს მას. ის საბოლოოდ ჩერდება და უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.

თუ ქანქარის რხევების ამპლიტუდა უახლოვდება რიცხვს π , ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ფაზის სიბრტყეზე მოძრაობა უახლოვდება სეპარატრიქსს. ამ შემთხვევაში, მცირე მამოძრავებელი პერიოდული ძალის გავლენის ქვეშ, მექანიკური სისტემა ავლენს ქაოტურ ქცევას.

როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი გადახრის წონასწორობის პოზიციიდან φ კუთხით, წარმოიქმნება სიმძიმის ტანგენციალური ძალა Fτ = -mg sin φ. მინუს ნიშანი ნიშნავს, რომ ეს ტანგენციალური კომპონენტი მიმართულია ქანქარის გადახრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. როდესაც x-ით აღვნიშნავთ ქანქარის გადაადგილებას L რადიუსით წრიული რკალის გასწვრივ, მისი კუთხური გადაადგილება უდრის φ = x/L. მეორე კანონი, რომელიც განკუთვნილია პროგნოზებისა და ძალისთვის, მისცემს სასურველ მნიშვნელობას:

მგ τ = Fτ = -mg sin x/L

ამ დამოკიდებულებიდან გამომდინარე, ცხადია, რომ ეს ქანქარა არის არაწრფივი სისტემა, რადგან ძალა, რომელიც მიდრეკილია დააბრუნოს იგი წონასწორობის მდგომარეობაში, ყოველთვის პროპორციულია არა x გადაადგილების, არამედ sin x/L.

მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათემატიკური გულსაკიდი ასრულებს მცირე რხევებს, ის ჰარმონიული ოსცილატორია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ხდება მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია შეასრულოს ჰარმონიული რხევები. ეს მიახლოება პრაქტიკულად მოქმედებს 15-20° კუთხისთვის. დიდი ამპლიტუდის მქონე ქანქარის რხევები არ არის ჰარმონიული.

ნიუტონის კანონი ქანქარის მცირე რხევებისთვის

თუ მოცემული მექანიკური სისტემა ასრულებს მცირე რხევებს, ნიუტონის მე-2 კანონი ასე გამოიყურება:

მგ τ = Fτ = -m* g/L* x.

ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკური გულსაკიდი პროპორციულია მისი გადაადგილების მინუს ნიშნით. ეს არის მდგომარეობა, რის გამოც სისტემა ხდება ჰარმონიული ოსცილატორი. გადაადგილებასა და აჩქარებას შორის პროპორციულობის კოეფიციენტის მოდული უდრის წრიული სიხშირის კვადრატს:

ω02 = გ/ლ; ω0 = √ გ/ლ.

ეს ფორმულა ასახავს ამ ტიპის ქანქარის მცირე რხევების ბუნებრივ სიხშირეს. ამის საფუძველზე,

T = 2π/ ω0 = 2π√ გ/ლ.

ენერგიის შენარჩუნების კანონის საფუძველზე გამოთვლები

ქანქარის თვისებები ასევე შეიძლება აღწერილი იყოს ენერგიის შენარჩუნების კანონის გამოყენებით. გასათვალისწინებელია, რომ გრავიტაციულ ველში ქანქარა უდრის:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

ჯამი უდრის კინეტიკურ ან მაქსიმალურ პოტენციალს: Epmax = Ekmsx = E

ენერგიის შენარჩუნების კანონის დაწერის შემდეგ აიღეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარის წარმოებული:

ვინაიდან მუდმივი სიდიდეების წარმოებული უდრის 0-ს, მაშინ (Ep + Ek)" = 0. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = მგ/2L*2x*x" = მგ/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

აქედან გამომდინარე:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

ბოლო ფორმულის საფუძველზე ვხვდებით: α = - g/L*x.

მათემატიკური ქანქარის პრაქტიკული გამოყენება

აჩქარება მერყეობს გრძედის მიხედვით, რადგან დედამიწის ქერქის სიმკვრივე არ არის ერთნაირი მთელ პლანეტაზე. სადაც უფრო მაღალი სიმკვრივის ქანები გვხვდება, ის ოდნავ უფრო მაღალი იქნება. მათემატიკური ქანქარის აჩქარება ხშირად გამოიყენება გეოლოგიური კვლევისთვის. იგი გამოიყენება სხვადასხვა მინერალების მოსაძებნად. უბრალოდ, ქანქარის რხევების რაოდენობის დათვლით, შეიძლება დედამიწის ნაწლავებში ნახშირის ან მადნის აღმოჩენა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ ნამარხებს აქვთ სიმკვრივე და მასა უფრო დიდი, ვიდრე ქვევით ფხვიერი ქანები.

მათემატიკური გულსაკიდი გამოიყენეს ისეთი გამოჩენილი მეცნიერების მიერ, როგორებიც არიან სოკრატე, არისტოტელე, პლატონი, პლუტარქე, არქიმედე. ბევრ მათგანს სჯეროდა, რომ ამ მექანიკურ სისტემას შეუძლია გავლენა მოახდინოს ადამიანის ბედსა და ცხოვრებაზე. არქიმედესმა გამოთვლებში გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა. დღესდღეობით ბევრი ოკულტისტი და ექსტრასენსი იყენებს ამ მექანიკურ სისტემას თავიანთი წინასწარმეტყველებების შესასრულებლად ან დაკარგული ადამიანების მოსაძებნად.

ცნობილმა ფრანგმა ასტრონომმა და ბუნებისმეტყველმა კ.ფლამარიონმა ასევე გამოიყენა მათემატიკური ქანქარა კვლევისთვის. ის ამტკიცებდა, რომ მისი დახმარებით მან შეძლო ახალი პლანეტის აღმოჩენის, ტუნგუსკის მეტეორიტის გამოჩენა და სხვა მნიშვნელოვანი მოვლენების წინასწარმეტყველება. მეორე მსოფლიო ომის დროს გერმანიაში (ბერლინი) ფუნქციონირებდა სპეციალიზებული Pendulum Institute. დღესდღეობით მიუნხენის პარაფსიქოლოგიის ინსტიტუტი მსგავს კვლევებს ეწევა. ამ დაწესებულების თანამშრომლები ქანქარით მუშაობას „რადიესთეზიას“ უწოდებენ.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: