ტრაპეციის წვეროები. მასალა გეომეტრიაზე თემაზე "ტრაპეცია და მისი თვისებები". ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები

გ.ი. კოვალევა

ტრაპეციის თვისებების შესწავლის მეთოდი

სხვადასხვა ტესტებისა და გამოცდების მასალებში ძალიან ხშირად გვხვდება ტრაპეციული ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტა მოსწავლეებს მოითხოვს ტრაპეციის „არაპროგრამული“ თვისებების ცოდნას. (თვისებები ითვლება შუა ხაზიტრაპეცია, ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალების და კუთხეების თვისებები.) რა ღირსშესანიშნავი თვისებები აქვს ტრაპეციას? სად და როდის შევისწავლოთ ისინი სკოლის გეომეტრიის კურსზე?

ტრაპეციის შუა ხაზის თვისებების შესწავლის შემდეგ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ ტრაპეციის დიაგონალების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის თვისება. ტრაპეციის დიაგონალების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი უდრის ფუძეების ნახევრად სხვაობას.

ტრაპეციაზე „დახატეთ ორი სიმაღლე“ ამოცანების გადაჭრის ძირითადი ტექნიკის პრაქტიკაში, მოსწავლეებმა უნდა შესთავაზონ დავალება: „მოდით. BT- სიმაღლე ტოლფერდა ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დსაფუძვლებით ძვ.წდა ახ.წ.

,

. იპოვეთ მონაკვეთების სიგრძე ATდა TD».

ტრაპეციის თვისებების შესასწავლად ძალიან სასარგებლოა თემა „ფიგურების მსგავსება“. მაგალითად, ტრაპეციის დიაგონალები ყოფს მას ოთხ სამკუთხედად და ფუძეების მიმდებარე სამკუთხედები მსგავსია, ხოლო გვერდების მიმდებარე სამკუთხედები ტოლია. დავარქვათ ეს განცხადება თანსამკუთხედების თვისება, რომლებშიც ტრაპეცია იყოფა დიაგონალებით. უფრო მეტიც, მტკიცების პირველი ნაწილი ძალიან მარტივად დასტურდება ორ კუთხით სამკუთხედების მსგავსების ნიშნით. მეორე ნაწილი მოსწავლეებს შეიძლება შევთავაზოთ დავალების სახით.

ანალოგიურად, სამკუთხედები BOCდა AOBაქვთ საერთო სიმაღლე, თუ მათ საფუძვლად ავიღებთ სეგმენტებს COდა OA. მერე

და

.

ამ ორი წინადადებიდან გამომდინარეობს, რომ

.

კარგი იქნება, რომ არ შევჩერდეთ ჩამოყალიბებულ განცხადებაზე, არამედ ვიპოვოთ მიმართება სამკუთხედების უბნებს შორის, რომლებშიც ტრაპეცია იყოფა მისი დიაგონალებით , იწვევს მოსწავლეებს ამოცანის გადასაჭრელად: „მოდით O იყოს ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი Ა Ბ Გ Დსაფუძვლებით ძვ.წდა ახ.წ. ცნობილია, რომ სამკუთხედების ფართობები BOCდა AODთანაბარი შესაბამისად და . იპოვნეთ ტრაპეციის ფართობი.

იმიტომ რომ . აქედან გამომდინარე, სამკუთხედების მსგავსებიდან ბშესახებCდა AODამას მოჰყვება

.აქედან გამომდინარე,

. მერე

მსგავსების გამოყენებით შეიძლება ასევე დაამტკიცო სეგმენტის თვისება, რომელიც გადის ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში ფუძეების პარალელურად. ვიწვევთ მოსწავლეებს ამოცანის გადასაჭრელად: „მოდით O იყოს ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. Ა Ბ Გ Დსაფუძვლებით ძვ.წდა ახ.წ. , . იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე PKგადის ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში ფუძეების პარალელურად. რა სეგმენტებად იყოფა? PKწერტილი შესახებ».

აქედან

.

ანალოგიურად, სამკუთხედების მსგავსებიდან D.O.K.და DBC, ამას მოჰყვება

. აქედან

და

.

მოსწავლეებს ვაცნობიერებთ დადასტურებულ თვისებას: ტრაპეციის ფუძეების პარალელური სეგმენტი, რომელიც გადის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში და აკავშირებს გვერდებზე ორ წერტილს, იყოფა დიაგონალების გადაკვეთის წერტილით შუაზე. მისი სიგრძე არის ტრაპეციის ფუძეების ჰარმონიული საშუალო.

შემდეგი საწყისი ოთხი პუნქტის თვისება:ტრაპეციაში დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, გვერდების გაგრძელების გადაკვეთის წერტილი, ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილები დევს იმავე ხაზზე.

გავაცნოთ მოსწავლეებს ფიგურების (არა სამკუთხედების) მსგავსებას, შეგვიძლია შევთავაზოთ იმ სეგმენტის სიგრძის პოვნა, რომელიც ყოფს ტრაპეციას ორ მსგავსებად.

ამრიგად, სეგმენტს, რომელიც ყოფს ტრაპეციას ორ მსგავს ტრაპეციად, აქვს სიგრძე ფუძეების სიგრძის საშუალო გეომეტრიულ საშუალოს.

ტრაპეციის ფართობის ფორმულის გამოყვანის შემდეგ, სასარგებლოა დამტკიცება სეგმენტის თვისება, რომელიც ყოფს ტრაპეციას ორ თანაბარ ნაწილად.

მოდით შევქმნათ სისტემა

სისტემის გადაწყვეტა

.

ამრიგად, ტრაპეციის ორ თანაბარ ნაწილად გამყოფი სეგმენტის სიგრძე უდრის

(ძირის საშუალო კვადრატული სიგრძე). ).

იმისათვის, რომ მოსწავლეებმა გააცნობიერონ მითითებულ სეგმენტებს შორის კავშირი, მათ უნდა სთხოვონ ააგონ ისინი მოცემული ტრაპეციისთვის. მოსწავლეები სირთულის გარეშე ააშენებენ ტრაპეციის შუა ხაზს და ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს ფუძეების პარალელურად გამავალ სეგმენტს. სად იქნება მესამე და მეოთხე სეგმენტები? ამ კითხვაზე პასუხმა უნდა მიიყვანოს მოსწავლეები საშუალო მაჩვენებლებს შორის კავშირის აღმოჩენაში.

ჩაწერილი და შემოხაზული ოთხკუთხედის ატრიბუტი და თვისება უნდა იყოს მითითებული სტუდენტებისთვის ცნობილი ყველა ოთხკუთხედისთვის, ტრაპეციის ჩათვლით.

აღწერილი ტრაპეციის თვისებები.ტრაპეცია შეიძლება აღწერილი იყოს წრის შესახებ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუძეების სიგრძის ჯამი ტოლია გვერდების სიგრძის ჯამს.

პირველი აშკარაა. მეორე დასკვნის დასამტკიცებლად აუცილებელია დადგინდეს, რომ კუთხე CODპირდაპირი, რაც ასევე არ არის დიდი საქმე. მაგრამ ამ შედეგის ცოდნა საშუალებას გვაძლევს გამოვიყენოთ მართკუთხა სამკუთხედი პრობლემების გადასაჭრელად.

მოდით დავაკონკრეტოთ შედეგები ტოლფერდა შემოხაზული ტრაპეცია :

ტოლფერდა შემოხაზული ტოლფერდა ტრაპეციის სიმაღლე არის ტრაპეციის ფუძეების გეომეტრიული საშუალო. . ტრაპეციის დიაგონალები და კუთხეები სახაზავი და კომპასის გამოყენებით ააგეთ ტრაპეცია, რომელსაც აქვს ფუძეები, რომლებიც ემთხვევა მოცემულ ორ სეგმენტს და გვერდს, რომლებიც კონგრუენტია. ორ სხვა მოცემულ სეგმენტზე. გეომეტრია არის მათემატიკის სპეციფიკური საგანი, რომელიც ეხება ფორმებსა და ობიექტებს და მათთან დაკავშირებულ პრობლემებს. არსებობს განსხვავებული ტიპები გეომეტრიული ფორმები. რამდენიმე მნიშვნელოვანი 2D ფორმაა კვადრატი, მართკუთხედი, სამკუთხედი, მრავალკუთხედი, წრე, პარალელოგრამი, ტრაპეცია, რომბი და ა.შ. ოთხი გვერდით შემოზღუდულ ფორმას ოთხკუთხედი ეწოდება.

განვიხილოთ ტრაპეციის თვისებების შესწავლის მეთოდოლოგიის ძირითადი პრინციპები.

პირველი, ეს არის გამოყენება დავალების მიდგომა . არ არის საჭირო ტრაპეციის ახალი თვისებების შეტანა გეომეტრიის თეორიულ კურსში. ამ თვისებებს მოსწავლეები აღმოაჩენენ და აყალიბებენ პრობლემის გადაჭრის გზით (უკეთესია, ვიდრე პრობლემური სისტემები). მნიშვნელოვანია, რომ მასწავლებელმა იცოდეს, რა ამოცანები უნდა დაისვას სასწავლო პროცესის რომელ ეტაპზე. გარდა ამისა, თითოეული თვისება შეიძლება იყოს ძირითადი ამოცანა ამოცანების სისტემაში.

Მეორეც, ტრაპეციის თვისებების შესწავლის "სპირალური" ორგანიზაცია . შეგიძლიათ რამდენჯერმე დაუბრუნდეთ ინდივიდუალურ თვისებებს, მაშინ, სავარაუდოდ, სტუდენტები დაიმახსოვრებენ მათ. მაგალითად, ოთხი წერტილის თვისება შეიძლება დადასტურდეს მსგავსების შესწავლით და შემდეგ ვექტორების გამოყენებით. ტრაპეციის გვერდების მიმდებარე სამკუთხედების თანაბარი ფართობი შეიძლება დადასტურდეს სამკუთხედების თვისებად. თანაბარი სიმაღლეებიერთ სწორ ხაზზე დაწოლილ გვერდებზე დახატული და ფორმულა

. თქვენ შეგიძლიათ შეიმუშაოთ მართკუთხა სამკუთხედის თვისებები შემოხაზულ ტრაპეციაზე, სინუსების თეორემა შემოხაზულ ტრაპეციაზე და ა.შ.

ტრაპეციის "არაპროგრამული" თვისებების შემოთავაზებული ჩართვა სასკოლო გეომეტრიის კურსის შინაარსში, მათი შესწავლის დავალების ტექნოლოგია, ტრაპეციის თვისებების განმეორებითი მითითება სხვა თემების შესწავლისას საშუალებას მისცემს სტუდენტებს უფრო ღრმად გაიგონ ტრაპეცია. და უზრუნველყოს პრობლემების გადაჭრის წარმატება მისი თვისებების გამოყენებასთან დაკავშირებით.

ამიტომ, ერთ-ერთ მათგანს დავარქმევთ დიდი , მეორე - პატარა ბაზა ტრაპეცია. სიმაღლე ტრაპეცია შეიძლება ეწოდოს პერპენდიკულარის ნებისმიერ სეგმენტს, რომელიც შედგენილია წვეროებიდან შესაბამის მოპირდაპირე მხარეს (თითოეული წვეროსთვის არის ორი საპირისპირო მხარე), ჩასმული აღებულ წვეროსა და მოპირდაპირე მხარეს შორის. მაგრამ შეიძლება გამოვყოთ განსაკუთრებული სახის"სიმაღლეები.
განმარტება 8. ტრაპეციის ფუძის სიმაღლე არის ფუძეებზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია ფუძეებს შორის.
თეორემა 7 . ტრაპეციის მედიანური ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ჯამის ნახევარს უდრის.
მტკიცებულება. მიეცით ტრაპეცია ABCD და მედიანა ხაზი KM. გაავლეთ ხაზი B და M წერტილებს შორის. ჩვენ ვაგრძელებთ AD ​​მხარეს D წერტილის გავლით, სანამ არ გადაიკვეთება BM-სთან. სამკუთხედები BCm და MPD ტოლია გვერდით და ორი კუთხით (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - გადახურვა, ∠ BMC=∠ DMP - ვერტიკალური), ამიტომ VM=MP ან წერტილი M არის BP-ის შუა წერტილი. KM არის შუა ხაზი სამკუთხედში ABP. სამკუთხედის შუა ხაზის თვისების მიხედვით, KM პარალელურია AP-ის და კერძოდ AD-ის და უდრის AP-ის ნახევარს:

თეორემა 8 . დიაგონალები ყოფს ტრაპეციას ოთხ ნაწილად, რომელთაგან ორი, გვერდების მიმდებარედ, ტოლია.
შეგახსენებთ, რომ ფიგურებს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ იგივე ფართობი. სამკუთხედები ABD და ACD ტოლია: მათ აქვთ თანაბარი სიმაღლეები (მითითებულია ყვითლად) და საერთო ფუძე. ამ სამკუთხედებს აქვთ საერთო ნაწილი AOD. მათი არეალის გაფართოება შესაძლებელია შემდეგნაირად:

ტრაპეციის სახეები:
განმარტება 9. (სურათი 1) მახვილკუთხა ტრაპეცია არის ტრაპეცია, რომელშიც უფრო დიდი ფუძის მიმდებარე კუთხეები მწვავეა.
განმარტება 10. (სურათი 2) ბლაგვი ტრაპეცია არის ტრაპეცია, რომელშიც უფრო დიდი ფუძის მიმდებარე კუთხე ბლაგვია.
განმარტება 11. (სურათი 4) ტრაპეციას მართკუთხა ეწოდება, რომლის ერთი მხარე ფუძეების პერპენდიკულარულია.
განმარტება 12. (სურათი 3) ტოლკუთხედი (იზოლა, ტოლფერდა) არის ტრაპეცია, რომელშიც გვერდები ტოლია.

ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებები:
თეორემა 10 . ტოლფერდა ტრაპეციის თითოეული ფუძის მიმდებარე კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, A და D კუთხეების ტოლობა ABCD ტოლფერდა ტრაპეციის უფრო დიდი AD ფუძით. ამ მიზნით ვხაზავთ სწორ ხაზს C წერტილის გავლით გვერდითი AB მხარის პარალელურად. ის გადაკვეთს დიდ ფუძეს M წერტილში. ოთხკუთხედი ABCM არის პარალელოგრამი, რადგან კონსტრუქციით მას აქვს ორი წყვილი პარალელური გვერდი. მაშასადამე, ტრაპეციის შიგნით ჩასმული სექციური ხაზის CM სეგმენტი უდრის მის გვერდით მხარეს: CM=AB. აქედან ირკვევა, რომ CM=CD, სამკუთხედი CMD არის ორკუთხედი, ∠CMD=∠CDM და, შესაბამისად, ∠A=∠D. პატარა ფუძის მიმდებარე კუთხეებიც ტოლია, რადგან არის მათთვის, ვინც ნაპოვნია შიდა ცალმხრივი და აქვს ორი ხაზის ჯამი.
თეორემა 11 . ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია.
მტკიცებულება. განვიხილოთ სამკუთხედები ABD და ACD. ის ტოლია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს (AB=CD, AD საერთოა, A და D კუთხეები ტოლია თეორემა 10-ის მიხედვით). ამიტომ AC=BD.

თეორემა 13 . ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალები გადაკვეთის წერტილით იყოფა შესაბამის ტოლ სეგმენტებად. განვიხილოთ სამკუთხედები ABD და ACD. ის ტოლია ორ მხარეს და მათ შორის კუთხეს (AB=CD, AD საერთოა, A და D კუთხეები ტოლია თეორემა 10-ის მიხედვით). მაშასადამე, ∠ ОАD=∠ ОDA, მაშასადამე, კუთხეები ОВС და OSV ტოლია, როგორც შესაბამისად გადაფარვის კუთხეები ODA და OAD. გავიხსენოთ თეორემა: თუ სამკუთხედში ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ის ტოლფერდაა, ამიტომ სამკუთხედები ОВС და ОAD არის ტოლი, რაც ნიშნავს OS=OB და ОА=OD და ა.შ.
ტოლფერდა ტრაპეცია არის სიმეტრიული ფიგურა.
განმარტება 13. ტოლფერდა ტრაპეციის სიმეტრიის ღერძს ეწოდება სწორი ხაზი, რომელიც გადის მისი ფუძის შუა წერტილებში.
თეორემა 14 . ტოლფერდა ტრაპეციის სიმეტრიის ღერძი პერპენდიკულარულია მის ფუძეებზე.
მე-9 თეორემაში დავამტკიცეთ, რომ ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილებთან შემაერთებელი ხაზი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში გადის. შემდეგ (თეორემა 13) დავამტკიცეთ, რომ სამკუთხედები AOD და BOC ტოლფერდაა. OM და OK არის ამ სამკუთხედების მედიანა, შესაბამისად, განსაზღვრებით. გავიხსენოთ ტოლფერდა სამკუთხედის თვისება: ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა, რომელიც ძირამდეა დაშვებული, ასევე არის სამკუთხედის სიმაღლე. სწორი ხაზის ნაწილების ფუძეების პერპენდიკულარულობის გამო KM სიმეტრიის ღერძი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე.
ნიშნები, რომლებიც განასხვავებენ ტოლფეროვან ტრაპეციას ყველა ტრაპეციას შორის:
თეორემა 15 . თუ ტრაპეციის ერთ-ერთი ფუძის მიმდებარე კუთხეები ტოლია, მაშინ ტრაპეცია ტოლფერდაა.
თეორემა 16 . თუ ტრაპეციის დიაგონალები ტოლია, მაშინ ტრაპეცია ტოლფერდაა.
თეორემა 17 . თუ ტრაპეციის გვერდითი მხარეები, რომლებიც გადაკვეთაზეა გადაჭიმული, მის დიდ ფუძესთან ერთად ქმნის ტოლფერდა სამკუთხედს, მაშინ ტრაპეცია არის ტოლფერდა.
თეორემა 18 . თუ ტრაპეცია შეიძლება ჩაიწეროს წრეში, მაშინ ის არის ტოლფერდა.
მართკუთხა ტრაპეციის ნიშანი:
თეორემა 19 . ნებისმიერი ოთხკუთხედი, რომელსაც მხოლოდ ორი მართი კუთხე აქვს მიმდებარე წვეროებზე, არის მართკუთხა ტრაპეცია (აშკარაა, რომ ორი გვერდი პარალელურია, რადგან ცალმხრივი ტოლია. იმ შემთხვევაში, როდესაც სამი მართკუთხედია მართკუთხედი)
თეორემა 20 . ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის რადიუსი უდრის ფუძის სიმაღლის ნახევარს.
ამ თეორემის დასტურია იმის ახსნა, რომ ფუძეებისკენ მიზიდული რადიუსი მდებარეობს ტრაპეციის სიმაღლეზე. O წერტილიდან - ამ ტრაპეციაში ჩაწერილი ABCD წრის ცენტრიდან, ვხატავთ რადიუსებს ტრაპეციის მის ფუძეებთან შეხების წერტილებამდე. მოგეხსენებათ, შეხების წერტილთან მიყვანილი რადიუსი ტანგენტის პერპენდიკულარულია, ამიტომ OK ^ BC და OM ^ AD. გავიხსენოთ თეორემა: თუ წრფე პერპენდიკულარულია ერთ-ერთ პარალელურ წრფეზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორეზე. აქედან გამომდინარე, ხაზი OK ასევე პერპენდიკულარულია AD-ზე. ამრიგად, AD წრფეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე გადის O წერტილში, რომელიც არ შეიძლება იყოს, ამიტომ ეს წრფეები ემთხვევა და ქმნიან საერთო პერპენდიკულარულ KM-ს, რომელიც უდრის ორი რადიუსის ჯამს და არის ჩაწერილი წრის დიამეტრი. r=KM/2 ან r=h/2.
თეორემა 21 . ტრაპეციის ფართობი ტოლია ფუძეების ჯამის ნახევრის ნამრავლისა და ფუძეების სიმაღლისა.

მტკიცებულება:მოდით ABCD იყოს მოცემული ტრაპეცია და AB და CD იყოს მისი ფუძეები. მოდით ასევე AH იყოს A წერტილიდან CD წრფეზე ჩამოშვებული სიმაღლე. შემდეგ S ABCD = S ACD + S ABC.
მაგრამ S ACD = 1/2AH CD და S ABC = 1/2AH AB.
ამიტომ, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
ქ.ე.დ.

მეორე ფორმულა გადავიდა ოთხკუთხედიდან.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• მკურნალობა საზღვარგარეთ. ნუ გეშინია. საზღვარგარეთ მკურნალობა - სამედიცინო ტურიზმის ძირითადი მიმართულებები საზღვარგარეთ მკურნალობა სად ჯობია;
• კითხვა მაქვს: როგორ მოვიშორო სტრესი;
• მთავარი ტრაგედიები Romina Power Albano Carrisi ბავშვების ცხოვრებაში რას აკეთებენ ისინი;
• რა უნდა გააკეთოს, თუ ბავშვს არ სურს საბავშვო ბაღში მეგობრობა;
• ქინძი - სასარგებლო თვისებები და გამოყენება ქინძის ეთერზეთი კოსმეტოლოგიაში;
• კლასიკური ვინეგრეტი მჟავე კომბოსტოთი - ეტაპობრივი რეცეპტი ფოტოთი;
• ჯანსაღ სხეულში ჯანსაღი გონება?;
• პენსიონერის სამსახურიდან გათავისუფლების პროცედურა: არსებული საფუძველი და შეზღუდვები და როგორ შეგიძლიათ დაიცვათ თქვენი უფლებები?;