III. Exemple de probleme cu soluții

Clasă: 11

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Scopul lecției:

promovează dezvoltarea abilităților în împărțirea unui polinom la un polinom și utilizarea schemei lui Horner;
consolidați-vă abilitățile în foile de calcul OpenOffice.org Calc;
organizarea activităților elevilor pentru a percepe, înțelege și memorează inițial cunoștințe noi;
analizați și demonstrați teorema lui Bezout atunci când rezolvați o situație problemă: este posibilă factorizarea unui polinom de gradul trei;
luați în considerare utilizarea teoremei lui Bezout pentru a rezolva ecuații de grad superior;
promovează dezvoltarea gandire logica, atenție, vorbire și capacitatea de a lucra independent.

Tip de lecție: lectie despre introducerea de material nou.

Echipament: proiector multimedia, prezentare lectii, ora de calculator.

„Pentru a îmbunătăți mintea, trebuie să raționezi mai mult decât să memorezi.”
Descartes (1596 -1650). Matematician, fizician, filolog, filozof francez.

În timpul orelor

eu. Organizarea timpului

Sarcina noastră de astăzi este activități comune confirmați cuvintele lui Descartes (diapozitivul 1). Subiectul lecției noastre (diapozitivul 2) „Teorema lui Bezout” este atât de semnificativ încât este folosit chiar și în Teme de examen de stat unificatși diverse olimpiade. Teorema lui Bezout facilitează rezolvarea multor probleme care conțin ecuații de grade superioare. Din păcate, este studiat doar la nivel de profil.

II. Apariția unei situații problematice

În această lecție vom învăța cum să rezolvăm ecuații de grade superioare și vom deriva singuri algoritmul de soluție.

Rezolvați ecuația: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(Diapozitivul 3). Apare o problemă: înțelegem că ar fi convenabil să reprezentăm partea stângă a ecuației ca un produs și, deoarece produsul este egal cu zero, atunci egalăm fiecare factor cu zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să factorizați polinomul de gradul trei. Dar cum? Este posibil să grupăm sau să grupăm factorul comun în cazul nostru? (Nu).

III. Actualizarea cunoștințelor de referință

Să ne amintim cum să factorăm polinomul x 2 - 5x - 6? (Diapozitivul 4).

(Conform formulei de factorizare a unui trinom pătratic:

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x-x 2), unde x 1 și x 2 sunt rădăcini ale trinomului).

Găsiți rădăcinile trinomului în două moduri. Care?

(folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și teorema lui Vieta).

Un elev din fiecare grupă rezolvă pe tablă. Restul elevilor sunt în caiete. Se obține: x 2 - 5x - 6 = (x - 6) (x + 1).

Aceasta înseamnă că trinomul este divizibil cu fiecare dintre binoamele: x – 6 și x + 1.

Acordați atenție termenului liber al trinomului nostru și găsiți divizorii acestuia (±1, ±2, ±3, ±6).

Ce divizori sunt rădăcinile trinomului? (-1 și 6)

Ce concluzie se poate trage? (Rădăcinile trinomului sunt divizori ai termenului liber).

IV. Propunerea unei ipoteze

Deci, care monom vă va ajuta să găsiți rădăcinile unui polinom?

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(Membru liber).

Notează-i divizorii: ±1; ±2; ±4.

Găsiți valorile polinomului pentru fiecare divizor. Folosind foi de calcul și direct:

Primul grup calculează într-un notebook, al doilea la computere în OpenOffice.org Calc.

P(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(La calculul în foi de calcul, în celula B2, elevii introduc formula: =A1^3-2*A1^2-6*A1+4. Folosind markerul de autocompletare, obțin valorile polinomului din întreaga coloană ).

Care divizor este rădăcina polinomului? (-2)

Astfel, unul dintre factorii de expansiune va fi x-(-2) = x + 2.

Cum să găsesc alți multiplicatori?

(Împărțiți „într-o coloană” la binom x + 2)

Cum altfel este posibil? (după schema lui Horner). (Diapozitivul 5)

Care este schema lui Horner? ( Schema lui Horner este un algoritm de împărțire a polinoamelor, scris pentru cazul special când divizorul este egal cu un binom x–a).

Efectuăm divizarea: primul grup este „într-o coloană”, al doilea - conform schemei lui Horner.

Împărțit fără urmă.

Să revenim la ecuația: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - ecuație pătratică. Rezolv-o:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Răspuns: -2, .

Ar putea fi un rest la împărțire? Vom răspunde la această întrebare mai târziu. Numiți acum valoarea polinomului la x = - 2. (Valoarea este zero).

Vă rugăm să rețineți că x = - 2 este rădăcina polinomului, iar restul la împărțirea polinomului la x-(-2) este 0.

Considerx=1 - nu este rădăcina ecuației.

Să încercăm să împărțim polinomul la x-1. A doua grupă efectuează divizia lungă. Primul, conform schemei lui Horner, completează tabelul cu încă o linie.

Deci, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x – 1)∙(x 2 - x – 7) – 3.

Rețineți că x=1 nu este rădăcina polinomului, iar restul la împărțirea polinomului la (x-1) este egal cu valoarea polinomului la x=1.

Iată răspunsul la întrebarea despre restul. Da, restul a fost obținut pentru o valoare a lui x care nu este rădăcina polinomului.

Să continuăm schema lui Horner pentru divizorii rămași ai termenului liber. Acum lăsați primul grup să calculeze la computer, iar al doilea în caiete.

V. Dovada ipotezei

(Diapozitivul 6) Ați observat un model despre restul. Care? (restul se obține pentru o valoare a lui x care nu este rădăcina polinomului).

Să scriem acest model în vedere generala.

Fie P(x) un polinom și a un număr.

Să demonstrăm afirmația: Restul când P(x) este împărțit la (x - a) este egal cu P(a).

Dovada.Împărțiți P(x) cu restul la (x - a).

Se obține P(x)= (x - a)Q(x) + R; Prin definiția unui rest, polinomul r este fie egal cu 0, fie are un grad mai mic decât gradul (x - a), adică. mai mic decât 1. Dar gradul unui polinom este mai mic decât 1 numai atunci când este egal cu 0 și, prin urmare, în ambele cazuri R este de fapt un număr - zero sau diferit de zero.

Acum înlocuind valoarea x = a în egalitatea P(x)= (x - a)Q(x) + R, obținem P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) = R , deci într-adevăr R = P(a).

Acest model a fost observat și de matematicianul Bezout.

Mesajul elevului

(Diapozitivul 7) Etienne Bezu - matematician francez, membru al Academiei de Științe din Paris (din 1758), s-a născut la Nemours la 31 martie 1730 și a murit la 27 septembrie 1783. Din 1763, Bezu a predat matematică la școala de aspiranți, iar din 1768 la Corpul Regal de Artilerie.

Principalele lucrări ale lui Etienne Bezout se referă la algebra superioară, ele sunt dedicate creării unei teorii pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice.

În teoria rezolvării sistemelor ecuatii lineare a contribuit la apariția teoriei determinanților, a dezvoltat teoria eliminării necunoscutelor din sistemele de ecuații de grade superioare și a demonstrat teorema (formulată mai întâi de Maclaurin) că două curbe de ordinul m și n se intersectează în cel mult mn puncte.

În Franța și în străinătate, până în 1848, „Cursul de matematică” în șase volume, scris de el în 1764-69, a fost foarte popular.

Bezout a dezvoltat metoda multiplicatorilor nedeterminați. În algebra elementară, o metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații bazate pe această metodă poartă numele lui.

O parte din lucrările lui Bezout este dedicată balisticii externe.

Una dintre teoremele de bază ale algebrei poartă numele omului de știință.

Consecinţă

Care trebuie să fie restul pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu binomul (x – a)? (egal cu 0).

Obținem un corolar din teorema lui Bezout: Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu un binom (x – a), este necesar și suficient ca egalitatea P(a) = 0 să fie satisfăcută.

VI. Asimilarea a ceea ce s-a învățat

(Diapozitivul 8) Rezolvați ecuația: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

Rădăcinile întregi ale polinomului P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 trebuie să fie divizori ai termenului liber, deci acestea pot fi numerele -1, 1, 3, -3.

Să selectăm o rădăcină conform schemei lui Horner:

VII. Rezultat:

Deci, ce ne oferă teorema lui Bezout? (Diapozitivul 9)

Teorema lui Bezout face posibilă, după ce a găsit o rădăcină a unui polinom, să se caute în continuare rădăcinile unui polinom al cărui grad este cu 1 mai mic: dacă P(a) = 0, atunci P(x)= (x - a)Q( x), și tot ce rămâne este să rezolvi ecuația Q (x) = 0. Uneori folosind această tehnică - se numește reducerea gradului - poți găsi toate rădăcinile unui polinom.

Anterior, conceptul de polinom a fost definit ca o sumă algebrică de monomii. Dacă toate monomiile similare ale unui polinom sunt date și aranjate în ordinea descrescătoare a gradului variabilei, atunci înregistrarea rezultată se numește notație canonică polinom.

Definiție. Exprimarea formei

Unde X– unele numere variabile, reale și , se numesc polinom de grad n din variabilă X . grad a unui polinom este cea mai mare putere a variabilei în notația sa canonică. Dacă variabila nu apare în notația polinomială, i.e. polinomul este egal cu o constantă, gradul său este considerat egal cu 0. Cazul când polinomul trebuie considerat separat. În acest caz, se acceptă în general că gradul său nu este determinat.

Exemple. polinom de gradul doi,

polinom de gradul al cincilea.

Definiție. Două polinoame egal dacă şi numai dacă au aceiaşi coeficienţi în formele lor canonice la aceleaşi puteri.

Definiție. Numărul este sunat rădăcina polinomului, dacă atunci când setați acest număr X Polinomul ia valoarea 0, i.e. Cu alte cuvinte, va fi rădăcina ecuației

Astfel, problema găsirii tuturor rădăcinilor unui polinom și a rădăcinilor unei ecuații raționale este una și aceeași problemă.

Ecuațiile raționale de gradul I și II sunt rezolvate folosind algoritmi cunoscuți. Există și formule pentru găsirea rădăcinilor polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea (formule Cardano și Ferrari), dar din cauza greutății lor nu sunt incluse în cursul matematicii elementare.

Ideea generală de a găsi rădăcinile polinoamelor de grade superioare este de a factoriza polinomul și de a înlocui ecuația cu un set echivalent de ecuații de grad inferior.

În subiectele anterioare au fost notate principalele modalități de factorizare a polinoamelor: luarea unui factor comun; grupare; formule de înmulțire prescurtate.

Cu toate acestea, metoda de grupare nu este de natură algoritmică, deci este dificil de aplicat la polinoame de grade mari. Să luăm în considerare câteva teoreme și metode suplimentare care ne permit să factorăm polinoame de grade superioare.

Teorema despre împărțirea cu rest. Să fie date polinoame, iar gradul este diferit de 0, iar gradul este mai mare decât gradul. Atunci există polinoame astfel încât egalitatea

Mai mult, un grad mai mic decât un grad se numește polinom divizibil, polinom separator, polinom privat incomplet, și polinomul ce a mai rămas .

Dacă restul diviziunii este 0, atunci spunem că acțiuni pe complet, iar egalitatea ia forma:

Algoritmul pentru împărțirea unui polinom la un polinom este similar cu algoritmul pentru împărțirea unui număr la un număr printr-o coloană sau colț. Să descriem pașii algoritmului.

Scrieți dividendul pe o linie, incluzând toate puterile variabilei (scrieți-le pe cele care lipsesc cu un coeficient de 0).

Notați dividendul în „colț”, inclusiv toate puterile variabilei.

Pentru a găsi primul termen (monomul) într-un coeficient incomplet, trebuie să împărțiți monomiul principal al dividendului la monomul principal al divizorului.

Înmulțiți primul termen rezultat al coeficientului cu întregul divizor și scrieți rezultatul sub dividend și scrieți aceleași puteri ale variabilei una sub alta.

Scădeți produsul rezultat din dividend.

Aplicați algoritmul la restul rezultat, începând de la punctul 1).

Algoritmul este finalizat atunci când diferența rezultată are un grad mai mic decât gradul divizorului. Acesta este restul.

Exemplu. Împărțiți polinomul la .

Scrierea dividendului și a divizorului

Repetați procedura

Gradul este mai mic decât gradul divizorului. Deci acesta este restul. Rezultatul împărțirii va fi scris astfel:

Schema lui Horner. Dacă divizorul este un polinom de gradul I, atunci procedura de împărțire poate fi simplificată. Luați în considerare algoritmul de împărțire a unui polinom la un binom.

Exemplu. Împărțiți polinomul la schema lui Horner. În acest caz A=2. Să notăm rezultatele executării algoritmului pas cu pas.

Primul pas.

Pasul doi

Pasul trei

Pasul patru

Astfel, vom scrie rezultatul împărțirii după cum urmează

Cometariu. Dacă trebuie să împărțiți cu un binom

Apoi este convertit la forma atunci. Din aceasta este clar că, împărțind cu schema lui Horner, vom găsi atunci coeficientul dorit se va obține prin împărțirea a ceea ce a fost găsit A. Restul rămâne la fel.

teorema lui Bezout. Restul la împărțirea unui polinom la este egal cu valoarea polinomului în punct X = A, adică . Un polinom este divizibil fără rest dacă și numai dacă X = A este rădăcina polinomului.

Astfel, după ce am găsit o rădăcină a polinomului A , îl puteți factoriza selectând factorul care are un grad cu un grad mai mic decât gradul. Acest factor poate fi găsit fie folosind schema lui Horner, fie prin împărțirea cu un colț.

Problema găsirii rădăcinii este rezolvată fie prin selecție, fie folosind teorema rădăcinilor raționale ale unui polinom.

Teorema. Fie polinomul are coeficienți întregi. Dacă o fracție ireductibilă este rădăcina unui polinom, atunci numărătorul acesteia p este divizorul termenului liber și numitorul q este divizorul coeficientului principal.

Această teoremă stă la baza algoritm pentru găsirea rădăcinilor raționale polinom (dacă există).

Descompunerea unei fracții algebrice într-o sumă de fracții simple

Definiție Se numește o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame fracție algebrică .

Să luăm în considerare fracțiile algebrice ale unei variabile. Ele pot fi scrise în formă generală astfel: , unde numărătorul conține un polinom de grad n, numitorul este un polinom de grad k. Dacă , atunci fracția este numită corect .

LA fracții algebrice simple Există două tipuri de fracții proprii:

Teorema. Orice fracție algebrică poate fi reprezentată ca o sumă a celor mai simple fracții algebrice.

Algoritm pentru descompunerea unei fracții algebrice într-o sumă de fracții simple.

Factorizați numitorul.

Determinați numărul de fracții proprii și tipul numitorilor acestora.

Scrieți o egalitate, pe partea stângă a căreia se află fracția originală, în partea dreaptă este suma celor mai simple fracții cu coeficienți nedeterminați.

Reduceți fracțiile din partea dreaptă la un numitor comun.

Echivalează polinoamele din numărătorii fracțiilor. Folosind definiția egalității polinoamelor, creați un sistem de ecuații liniare și rezolvați-l prin găsirea coeficienților nedeterminați.

teorema lui Bezout, în ciuda simplității și evidentei sale aparente, este una dintre teoremele de bază ale teoriei polinomiale. În această teoremă, caracteristicile algebrice ale polinoamelor (vă permit să lucrați cu polinoame ca numere întregi) sunt asociate cu caracteristici functionale(care permit ca polinoamele să fie tratate ca funcții).

teorema lui Bezout afirmă că restul la împărțirea unui polinom la un polinom este .

Coeficienții polinomului se află într-un inel comutativ cu unitate (de exemplu, în domeniul numerelor reale sau complexe).

Teorema lui Bezout - dovada.

Împărțiți polinomul cu restul P(x) la un polinom (x-a):

Pe baza faptului că grade R(x)< deg (x-a) = 1 - un polinom de grad nu mai mare de zero. Înlocuim, de când primim .

Dar nu teorema este cea mai importantă, ci corolarul teoremei lui Bezout:

1. Numărul este rădăcina unui polinom P(x) atunci și numai când P(x) divizibil cu un binom fără rest x-a.

Pe baza acestui lucru, mulțimea rădăcinilor polinomului P(x) este identică cu setul de rădăcini ale ecuației corespunzătoare x-a.

2. Termenul liber al unui polinom se împarte la orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi (când coeficientul de conducere este egal cu unu, toate rădăcinile raționale sunt întregi).

3. Să presupunem că este rădăcina întreagă a polinomului redus P(x) cu coeficienți întregi. Aceasta înseamnă că pentru orice număr întreg, numărul este divizibil cu .

Teorema lui Bezout face posibil, după ce a găsit o rădăcină a unui polinom, să se caute mai departe rădăcinile unui polinom al cărui grad este deja cu 1 mai mic: dacă , atunci acest polinom P(x) va arata asa:

Exemple de teorema lui Bezout:

Aflați restul când împărțiți un polinom la un binom.

Exemple de soluții ale teoremei lui Bezout:

Pe baza teoremei lui Bezout, restul necesar corespunde valorii polinomului din punctul . Apoi vom găsi , pentru aceasta înlocuim valoarea în expresia pentru polinom în loc de . Primim:

Răspuns: rest = 5.

Schema lui Horner.

Schema Horner este un algoritm de împărțire (împărțire prin schema lui Horner) a polinoamelor, scris pentru cazul special dacă câtul este egal cu un binom.

Să construim acest algoritm:

Să presupunem că acesta este dividendul

coeficientul (gradul său va fi probabil cu unul mai puțin), r- rest (deoarece împărțirea se face printr-un polinom 1 grad, atunci gradul restului va fi cu unul mai puțin, adică. zero, deci restul este o constantă).

Prin definiția împărțirii cu rest P(x) = Q(x) (x-a) + r. După înlocuirea expresiilor polinomiale obținem:

Deschidem parantezele și echivalăm coeficienții la aceleași puteri, după care exprimăm coeficienții coeficientului în termeni de coeficienți ai dividendului și divizorului:

Este convenabil să rezumați calculele în următorul tabel:

Evidențiază acele celule al căror conținut este implicat în calculele de la pasul următor.

Exemple de scheme Horner:

Să presupunem că trebuie să împărțim un polinom la un binom x-2.

Creăm un tabel cu două rânduri. Pe o linie scriem coeficienții polinomului nostru. În a doua linie vom obține coeficienții coeficientului incomplet după următoarea schemă: în primul rând, rescriem coeficientul conducător al acestui polinom, apoi, pentru a obține următorul coeficient, îl înmulțim pe ultimul găsit cu a=2și se adună cu coeficientul corespunzător al polinomului F(x). Cel mai recent coeficient va fi restul, iar toți cei anteriori vor fi coeficienții coeficientului incomplet.

Un număr este rădăcina unui polinom dacă și numai dacă este divizibil cu

Fie _ rădăcina polinomului, i.e. Să împărțim la, unde gradul este mai mic decât gradul, care este egal. Deci, gradul este egal, adică. . Mijloace, . Din moment ce, din ultima egalitate rezultă că i.e. .

Dimpotrivă, lăsați-l să împartă, adică. . Apoi.

Consecinţă. Restul la împărțirea unui polinom la este egal.

Polinoamele de gradul I se numesc polinoame liniare. Teorema lui Bezout arată că găsirea rădăcinilor unui polinom este echivalentă cu găsirea divizorilor săi liniari cu coeficientul de conducere 1.

Un polinom poate fi împărțit într-un polinom liniar folosind algoritmul de împărțire cu rest, dar există mai multe mod convenabil diviziune, cunoscută sub numele de schema Horner.

Lasă și lasă, unde. Comparând coeficienții pentru aceleași grade ale necunoscutului cu stânga și părțile potrivite ultima egalitate, avem:

Un număr se numește rădăcina multiplicității unui polinom dacă se împarte, dar nu se mai împarte.

Pentru a verifica dacă un număr va fi rădăcina unui polinom și care este multiplicitatea acestuia, puteți folosi schema lui Horner. În primul rând, se împarte la, apoi, dacă restul este zero, coeficientul rezultat este împărțit la etc. până când se obține un echilibru diferit de zero.

Numărul de rădăcini diferite ale unui polinom nu depășește gradul acestuia.

Următoarea teoremă principală este de mare importanță.

Teorema principală. Fiecare polinom cu coeficienți numerici de grad diferit de zero are cel puțin o rădăcină (poate fi complex).

Consecinţă. Fiecare polinom de grad are în C (mulțimea numerelor complexe) atâtea rădăcini câte gradul său, numărând fiecare rădăcină de atâtea ori cât multiplicitatea ei.

unde _ rădăcini, adică în mulțimea C, fiecare polinom este descompus într-un produs de factori liniari. Dacă se pun aceiași factori, atunci:

unde există deja rădăcini diferite, _ multiplicitatea rădăcinii.

Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcină, atunci numărul este și rădăcină

Aceasta înseamnă că un polinom cu coeficienți reali are rădăcini complexe în perechi.

Consecinţă. Un polinom cu coeficienți reali de grad impar are un număr impar de rădăcini reale.

Fie și rădăcini Atunci este împărțit la și dar deoarece y și nu divizori comuni, apoi este împărțit în produs.

Afirmația 2. Un polinom cu coeficienți reali de grad se descompune întotdeauna pe mulțimea numerelor reale în produsul polinoamelor liniare corespunzătoare rădăcinilor sale reale și polinoamelor de gradul 2 corespunzătoare unei perechi de rădăcini complexe conjugate.

Când calculăm integralele funcțiilor raționale, va trebui să reprezentăm o fracție rațională ca sumă a celor mai simple.

O fracție rațională este fracția în care și sunt polinoame cu coeficienți reali și un polinom. O fracție rațională este numită proprie dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului. Dacă o fracție rațională nu este o fracție proprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor conform regulii de împărțire a polinoamelor, ea poate fi reprezentată sub forma unde și sunt niște polinoame și este o fracție rațională proprie.

Lema 1. Dacă este o fracție rațională proprie, iar numărul este rădăcina reală a multiplicității polinomului, i.e. și, atunci există un număr real și un polinom cu coeficienți reali astfel încât unde este și o fracție proprie.

În acest caz, este ușor de arătat că expresia rezultată este o fracție rațională cu coeficienți reali.

Lema 2. Dacă este o fracție rațională proprie, iar numărul (și sunt reale) este rădăcina multiplicității polinomului, i.e. și, și dacă, atunci există numere reale și și un polinom cu coeficienți reali astfel încât unde este și o fracție proprie.

Fracțiile raționale de forma, _ un trinom cu coeficienți reali care nu are rădăcini reale, se numesc fracții cele mai simple (sau elementare).

Fiecare fracție rațională proprie poate fi reprezentată într-un mod unic ca o sumă de fracții simple.

La obținerea unei astfel de expansiuni în practică, așa-numita metodă a coeficienților nedeterminați se dovedește a fi convenabilă. Se compune din următoarele:

· Pentru o fracție dată se scrie o expansiune în care coeficienții sunt considerați necunoscuți;
· După aceasta, ambele părți ale egalității sunt reduse la un numitor comun și coeficienții polinoamelor rezultate din numărător sunt echivalați.

Mai mult, dacă gradul polinomului este egal, atunci în numărător după reducerea la un numitor comun se obține un polinom de grad, adică. polinom cu coeficienți.

Numărul de necunoscute este, de asemenea, egal cu: .

Astfel, se obține un sistem de ecuații cu necunoscute. Existența unei soluții pentru acest sistem rezultă din teorema dată mai sus.

Ar putea fi util să citiți: