Derivată a unei funcții specificată implicit. Derivată a unei funcții implicite Aflați valoarea derivatei unei funcții implicite

Se consideră funcția y(x), care este scrisă implicit sub forma generală $ F(x,y(x)) = 0 $. Derivata unei functii implicite se gaseste in doua moduri:

Prin diferențierea ambelor părți ale ecuației
Folosind formula gata făcută $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Cum să găsești?

Metoda 1

Nu este nevoie să aruncați funcția în mod explicit. Trebuie să începeți imediat diferențierea părților stânga și dreaptă ale ecuației în raport cu $ x $. Este de remarcat faptul că derivata $ y" $ se calculează conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe. De exemplu, $ (y^2)"_x = 2yy" $. După găsirea derivatei, este necesar să se exprimă $ y" $ din ecuația rezultată și plasați $ y" $ în partea stângă.

Metoda 2

Puteți folosi o formulă care utilizează derivatele parțiale ale funcției implicite $ F(x,y(x)) = 0 $ în numărător și numitor. Pentru a găsi numărătorul, luați derivata față de $ x $, iar pentru numitor, luați derivata față de $ y $.

Derivata a doua a functiei implicite poate fi gasita prin diferentierea repetata a derivatei I a functiei implicite.

Exemple de soluții

Să ne uităm la exemple practice de soluții pentru calcularea derivatei unei funcții specificate implicit.

Exemplul 1
Aflați derivata funcției implicite $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $
Soluţie
Să folosim metoda nr. 1. Și anume, diferențiem părțile stânga și dreaptă ale ecuației: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Când faceți diferențieri, nu uitați să utilizați formula pentru derivata unui produs de funcții: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!
Răspuns
$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Exemplul 2
Funcția este dată implicit, găsiți derivata $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $
Soluţie
Să folosim metoda nr. 2. Găsirea derivatelor parțiale ale funcției $ F(x,y) = 0 $ Fie $ y $ constant și diferențiat față de $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Acum considerăm $ x $ o constantă și diferențiem față de $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Acum înlocuim $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ în formulă și obținem: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$
Răspuns
$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Formula pentru derivata unei funcții specificată implicit. Dovada și exemple de aplicare a acestei formule. Exemple de calculare a derivatelor de ordinul I, II și III.

Conţinut

Derivată de ordinul întâi

Fie specificată implicit funcția folosind ecuația
(1) .
Și lasă această ecuație, pentru o anumită valoare, să aibă o soluție unică. Fie funcția o funcție diferențiabilă în punctul , și
.
Apoi, la această valoare, există o derivată, care este determinată de formula:
(2) .

Dovada

Pentru a o demonstra, considerați funcția ca o funcție complexă a variabilei:
.
Să aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe și să găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației
(3) :
.
Deoarece derivata unei constante este zero și , atunci
(4) ;
.

Formula este dovedită.

Derivate de ordin superior

Să rescriem ecuația (4) folosind diferite notații:
(4) .
În același timp, și sunt funcții complexe ale variabilei:
;
.
Dependența este determinată de ecuația (1):
(1) .

Găsim derivata față de o variabilă din partea stângă și dreaptă a ecuației (4).
Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe, avem:
;
.
Conform formulei derivatului produsului:

.
Folosind formula sumei derivate:

.

Deoarece derivata părții drepte a ecuației (4) este egală cu zero, atunci
(5) .
Înlocuind aici derivata, obținem valoarea derivatei de ordinul doi în formă implicită.

Diferențiând ecuația (5) într-un mod similar, obținem o ecuație care conține o derivată de ordinul trei:
.
Înlocuind aici valorile găsite ale derivatelor de ordinul întâi și al doilea, găsim valoarea derivatei de ordinul trei.

Continuând diferențierea, se poate găsi o derivată de orice ordin.

Exemple

Exemplul 1

Găsiți derivata de ordinul întâi a funcției dată implicit de ecuația:
(P1) .

Rezolvare prin formula 2

Găsim derivata folosind formula (2):
(2) .

Să mutăm toate variabilele în partea stângă, astfel încât ecuația să ia forma .
.
De aici.

Găsim derivata față de , considerând-o constantă.
;
;
;
.

Găsim derivata față de variabilă, considerând constanta variabilă.
;
;
;
.

Folosind formula (2) găsim:
.

Putem simplifica rezultatul dacă observăm că conform ecuației inițiale (A.1), . Să înlocuim:
.
Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.

Soluție a doua cale

Să rezolvăm acest exemplu în al doilea mod. Pentru a face acest lucru, vom găsi derivata față de variabila laturilor stângi și drepte ale ecuației inițiale (A1).

Aplicam:
.
Aplicam formula fractiei derivate:
;
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe:
.
Să diferențiem ecuația inițială (A1).
(P1) ;
;
.
Înmulțim cu și grupăm termenii.
;
.

Să înlocuim (din ecuația (A1)):
.
Înmulțit cu:
.

Exemplul 2

Găsiți derivata de ordinul doi a funcției dată implicit folosind ecuația:
(A2.1) .

Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, considerând că este o funcție de:
;
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.

Să diferențiem ecuația inițială (A2.1):
;
.
Din ecuația inițială (A2.1) rezultă că . Să înlocuim:
.
Deschideți parantezele și grupați membrii:
;
(A2.2) .
Găsim derivata de ordinul întâi:
(A2.3) .

Pentru a găsi derivata de ordinul doi, diferențiem ecuația (A2.2).
;
;
;
.
Să substituim expresia derivatei de ordinul întâi (A2.3):
.
Înmulțit cu:

;
.
De aici găsim derivata de ordinul doi.

Exemplul 3

Găsiți derivata de ordinul trei a funcției dată implicit folosind ecuația:
(A3.1) .

Diferențiam ecuația inițială față de variabilă, presupunând că este o funcție a .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Să diferențiem ecuația (A3.2) în raport cu variabila .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Să diferențiem ecuația (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Din ecuațiile (A3.2), (A3.3) și (A3.4) găsim valorile derivatelor la .
;
;
.

Sau pe scurt - derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Deoarece lecțiile mele sunt practice, încerc să evit definițiile și teoremele, dar ar fi potrivit să fac acest lucru aici. Oricum, ce este o funcție?

O singură funcție variabilă este o regulă care prevede că pentru fiecare valoare a variabilei independente există una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabila independenta sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie.

În linii mari, litera „Y” în acest caz este funcția.

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un singur „Y” (funcție), iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. în plus imposibil prin orice mijloace exprimați „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: - exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare rămân în vigoare. Diferența constă într-un moment deosebit, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

Doar până la rușine derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi

Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Diferențiem produsul după regula obișnuită:

Vă rugăm să rețineți că - este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:

Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescrisă astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată în formă implicită” este mai generală și mai corectă - această funcție este specificată în formă implicită, dar aici puteți exprima „jocul” și reprezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători și începători în studiul analizei matematice, vă rugăm să nu citiți și săriți peste acest punct, altfel capul vă va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula

Să găsim derivatele parțiale:

Prin urmare:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul - în partea dreaptă:

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Răspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple: fiecare termen al fiecărei părți

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Derivată a unei funcții specificată implicit.
Derivată a unei funcții definite parametric

În acest articol ne vom uita la alte două sarcini tipice care se găsesc adesea în testele de matematică superioară. Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să poți găsi derivate cel puțin la un nivel intermediar. Puteți învăța să găsiți derivate practic de la zero în două lecții de bază și Derivată a unei funcții complexe. Dacă abilitățile tale de diferențiere sunt în regulă, atunci hai să mergem.

Derivată a unei funcții specificată implicit

Sau, pe scurt, derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Să ne amintim mai întâi însăși definiția unei funcții a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabila independenta sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie .

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un „jucător” singuratic, iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Permiteți-mi să vă prezint: – exemplu funcţie implicită.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

- până la rușine, derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi
Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că – este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:

Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, – această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Cuvintele „funcție implicită” înseamnă mai des funcție implicită „clasică”, când „jocul” nu poate fi exprimat.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că o „ecuație implicită” poate specifica implicit două sau chiar mai multe funcții deodată, de exemplu, ecuația unui cerc definește implicit funcțiile , , care definesc semicercurile.Dar, în cadrul acestui articol, vom nu va face o distincție specială între termeni și nuanțe, a fost doar o informație pentru dezvoltarea generală.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători de calcul și manechini, vă rog nu citi și sări peste acest punct, altfel capul tău va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula
Să găsim derivatele parțiale:

Prin urmare:

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul în partea dreaptă:

Răspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Închidem ambele părți sub linii și folosim regula liniarității:

Diferențierea folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe și regula diferențierii coeficientilor :

Extinderea parantezelor:

Acum trebuie să scăpăm de fracțiune. Acest lucru se poate face mai târziu, dar este mai rațional să o faceți imediat. Numitorul fracției conține . Multiplica pe . În detaliu, va arăta astfel:

Uneori după diferențiere apar 2-3 fracții. Dacă am avea o altă fracție, de exemplu, atunci operația ar trebui repetată - înmulțiți fiecare termen al fiecărei părți pe

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Răspuns final:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Derivată a unei funcții definite parametric

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generală pentru o funcție definită parametric, dar pentru a fi clar, voi scrie imediat un exemplu specific. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea, ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametruși poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Puteți marca un punct pe planul de coordonate, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții definite parametric, puteți utiliza programul meu.

În cele mai simple cazuri, este posibil să se reprezinte funcția în mod explicit. Să exprimăm parametrul: – din prima ecuație și să-l înlocuim în a doua ecuație: . Rezultatul este o funcție cubică obișnuită.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, deoarece există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate sunt valabile, desigur, pentru litera , astfel, nu există noutate în procesul de găsire a derivatelor. Doar înlocuiți mental toate „X”-urile din tabel cu litera „Te”.

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

În ceea ce privește notația, în loc să o scrieți în formulă, s-ar putea scrie pur și simplu fără un indice, deoarece aceasta este o derivată „regulată” „față de X”. Dar în literatură există întotdeauna o opțiune, așa că nu mă voi abate de la standard.

Exemplul 6

Folosim formula

În acest caz:

Prin urmare:

O caracteristică specială a găsirii derivatei unei funcții parametrice este faptul că la fiecare pas este benefic să simplificăm cât mai mult rezultatul. Deci, în exemplul luat în considerare, când l-am găsit, am deschis parantezele de sub rădăcină (deși s-ar putea să nu fi făcut asta). Există șanse mari ca atunci când înlocuiți în formulă, multe lucruri să fie reduse bine. Deși, desigur, există exemple cu răspunsuri stângace.

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

In articol Cele mai simple probleme tipice cu derivate ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că, pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

O funcție Z= f(x; y) se numește implicită dacă este dată de ecuația F(x,y,z)=0 nerezolvată față de Z. Să găsim derivatele parțiale ale funcției Z date implicit. Pentru a face acest lucru, înlocuind funcția f(x;y) în ecuație în loc de Z, obținem identitatea F(x,y, f(x,y))=0. Derivatele parțiale ale unei funcții egale identic cu zero în raport cu x și y sunt, de asemenea, egale cu zero.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (considerat constant)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xconsiderat constant)

Unde
Și

Exemplu: Aflați derivatele parțiale ale funcției Z date de ecuație
.

Aici F(x,y,z)=
;
;
;
. Conform formulelor date mai sus avem:

Și

Derivată direcțională

Fie dată o funcție a două variabile Z= f(x; y) într-o anumită vecinătate a punctului M (x,y). Luați în considerare o direcție definită de vectorul unitar
, Unde
(Vezi poza).

Pe o dreaptă care trece în această direcție prin punctul M, luăm punctul M 1 (
) astfel încât lungimea
segmentMM 1 este egal cu
. Creșterea funcției f(M) este determinată de relația, unde
legate prin relații. Limita raportului la
se va numi derivata functiei
la punct
către și să fie desemnat .

Dacă funcţia Z este diferenţiabilă în punct
, apoi incrementul acestuia în acest punct ținând cont de relațiile pentru
poate fi scrisă în forma următoare.

împărțind ambele părți la

si trecand la limita la
obținem o formulă pentru derivata funcției Z= f(x; y) în direcția:

Gradient

Luați în considerare o funcție a trei variabile
diferentiabil la un moment dat
.

Gradientul acestei funcții
în punctul M este un vector ale cărui coordonate sunt, respectiv, egale cu derivatele parțiale
în acest moment. Pentru a indica un gradient, utilizați simbolul
.
=
.

.Gradientul indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției la un punct dat.

Deoarece vectorul unitar are coordonate (
), atunci derivata direcțională pentru cazul unei funcții de trei variabile se scrie sub forma, i.e. are formula produsului scalar al vectorilor Și
. Să rescriem ultima formulă după cum urmează:

, Unde - unghiul dintre vector Și
. Deoarece
, atunci rezultă că derivata funcției în direcție ia valoarea maximă la =0, adică când direcţia vectorilor Și
se potrivesc. în care
Adică, de fapt, gradientul unei funcții caracterizează direcția și mărimea ratei maxime de creștere a acestei funcții într-un punct.

Extremul unei funcții a două variabile

Conceptele de max, min, extremum ale unei funcții a două variabile sunt similare conceptelor corespunzătoare ale unei funcții a unei variabile. Fie definită funcția Z= f(x; y) într-un domeniu D etc. M
aparține acestei zone. Punctul M
se numește punctul maxim al funcției Z= f(x; y) dacă există o astfel de δ-vecinătate a punctului
, că pentru fiecare punct din această vecinătate inegalitatea
. Punctul min este determinat într-un mod similar, doar semnul inegalității se va schimba
. Valoarea funcției în punctul max(min) se numește maximă (minim). Maximul și minimul unei funcții se numesc extreme.

Condiții necesare și suficiente pentru un extremum

Teorema:(Condiții necesare pentru un extremum). Dacă în punctul M
funcția diferențiabilă Z= f(x; y) are un extremum, atunci derivatele sale parțiale în acest punct sunt egale cu zero:
,
.

Dovada: După ce am fixat una dintre variabilele x sau y, transformăm Z = f(x; y) într-o funcție a unei variabile, pentru extremul căreia trebuie îndeplinite condițiile de mai sus. Egalități geometrice
Și
înseamnă că în punctul extremum al funcției Z= f(x; y), planul tangent la suprafața reprezentând funcția f(x,y)=Z este paralel cu planul OXY, deoarece ecuația planului tangent este Z = Z 0. Punctul în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției Z = f (x; y) sunt egale cu zero, adică.
,
, se numesc punctul staționar al funcției. O funcție poate avea un extremum în punctele în care cel puțin una dintre derivatele parțiale nu există. De exempluZ=|-
| are max în punctul O(0,0), dar nu are derivate în acest punct.

Sunt numite punctele staționare și punctele în care cel puțin o derivată parțială nu există puncte critice.În punctele critice, funcția poate avea sau nu un extremum. Egalitatea derivatelor parțiale la zero este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru existența unui extremum. De exemplu, când Z=xy, punctul O(0,0) este critic. Cu toate acestea, funcția Z=xy nu are un extremum în ea. (Pentru că în sferturile I și III Z>0, iar în sferturile II și IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Condiție suficientă pentru extrema). Lasă într-un punct staționar
iar într-o anumită vecinătate funcția f(x; y) are derivate parțiale continue până la ordinul 2 inclusiv. Să calculăm la punct
valorile
,
Și
. Să notăm