Naključna spremenljivka x je podana s funkcijo porazdelitve verjetnosti. Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke

1. vaja. Gostota porazdelitve zvezne naključne spremenljivke X ima obliko:
Najti:
a) parameter A;
b) porazdelitvena funkcija F(x) ;
c) verjetnost zadetka naključne spremenljivke X v intervalu ;
d) matematično pričakovanje MX in varianco DX.
Narišite funkciji f(x) in F(x).

Naloga 2. Poiščite varianco naključne spremenljivke X, podane z integralno funkcijo.

Naloga 3. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X glede na porazdelitveno funkcijo.

Naloga 4. Gostota verjetnosti neke naključne spremenljivke je podana kot sledi: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Poiščite koeficient A , porazdelitveno funkcijo F(x) , matematično pričakovanje in varianco ter verjetnost, da naključna spremenljivka prevzame vrednost v intervalu . Narišite grafa f(x) in F(x).

Naloga. Porazdelitvena funkcija neke zvezne naključne spremenljivke je podana takole:

Določite parametra a in b , poiščite izraz za gostoto verjetnosti f(x) , matematično pričakovanje in varianco ter verjetnost, da naključna spremenljivka zavzame vrednost v intervalu . Narišite grafa f(x) in F(x).

Poiščimo funkcijo gostote porazdelitve kot odvod funkcije porazdelitve.
F'=f(x)=a
Vemo, da bomo našli parameter a:

ali 3a=1, od koder je a = 1/3
Parameter b najdemo iz naslednjih lastnosti:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, od koder je b = -1/3
Zato je porazdelitvena funkcija: F(x) = (x-1)/3

Pričakovana vrednost.

Razpršenost.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Poiščite verjetnost, da naključna spremenljivka prevzame vrednost v intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Primer #1. Podana je gostota porazdelitve verjetnosti f(x) zvezne naključne spremenljivke X. Zahtevano:

Določite koeficient A.
poiščite porazdelitveno funkcijo F(x) .
shematično narišite F(x) in f(x) .
poiščite matematično pričakovanje in varianco X.
poiščite verjetnost, da X prevzame vrednost iz intervala (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
rešitev:

Naključna spremenljivka X je podana z gostoto porazdelitve f(x):

Poiščite parameter A iz pogoja:

oz
14/3*A-1=0
Kje,
A = 3/14

Porazdelitveno funkcijo je mogoče najti s formulo.

Naključna spremenljivka Imenuje se količina, ki kot rezultat preskusov, izvedenih pod enakimi pogoji, prevzame različne, na splošno gledano, vrednosti, odvisno od naključnih dejavnikov, ki niso upoštevani. Primeri naključnih spremenljivk: število točk, ki so padle na kocki, število okvarjenih elementov v seriji, odstopanje točke udarca izstrelka od tarče, čas delovanja naprave itd. Razlikujte med diskretnim in neprekinjenim naključne spremenljivke. Diskretno Imenuje se naključna spremenljivka, katere možne vrednosti tvorijo štetno množico, končno ali neskončno (tj. množico, katere elemente je mogoče oštevilčiti).

neprekinjeno Imenuje se naključna spremenljivka, katere možne vrednosti nenehno zapolnjujejo nek končni ali neskončni interval numerične osi. Število vrednosti zvezne naključne spremenljivke je vedno neskončno.

Naključne spremenljivke bomo označevali z velikimi črkami na koncu latinične abecede: X, Y, ...; vrednosti naključne spremenljivke - z malimi črkami: X, y... . torej X Označuje celoten niz možnih vrednosti naključne spremenljivke in X - Neki specifičen pomen.

distribucijski zakon Diskretna naključna spremenljivka je korespondenca, podana v kateri koli obliki med možnimi vrednostmi naključne spremenljivke in njihovimi verjetnostmi.

Naj bodo možne vrednosti naključne spremenljivke X so . Kot rezultat testa bo naključna spremenljivka sprejela eno od teh vrednosti, tj. Zgodil se bo en dogodek iz celotne skupine po parih nekompatibilnih dogodkov.

Naj bodo znane tudi verjetnosti teh dogodkov:

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X Zapišemo jo lahko v obliki tabele, imenovane Blizu distribucije Diskretna naključna spremenljivka:

Serija porazdelitve je enaka (normalizacijski pogoj).

Primer 3.1. Poiščite porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke X - število pojavitev "orla" v dveh metih kovancev.

Porazdelitvena funkcija je univerzalna oblika določanja porazdelitvenega zakona za diskretne in zvezne naključne spremenljivke.

Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivkeX Funkcija se imenuje F(X), Definirano na celi številski premici, kot sledi:

F(X)= P(X< х ),

tj. F(X) obstaja verjetnost, da naključna spremenljivka X Ima vrednost manjšo od X.

Porazdelitveno funkcijo lahko predstavimo grafično. Za diskretno naključno spremenljivko ima graf stopničasto obliko. Zgradimo na primer graf porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke, podane z naslednjo serijo (slika 3.1):

riž. 3.1. Graf porazdelitvene funkcije diskretne naključne spremenljivke

Skoki funkcije se pojavijo na točkah, ki ustrezajo možnim vrednostim naključne spremenljivke, in so enake verjetnosti teh vrednosti. Na prelomnih točkah funkcija F(X) je zvezna na levi.

Graf porazdelitvene funkcije zvezne naključne spremenljivke je zvezna krivulja.

riž. 3.2. Graf porazdelitvene funkcije zvezne naključne spremenljivke

Porazdelitvena funkcija ima naslednje očitne lastnosti:

1) , 2) , 3) ,

4) ob .

Dogodek, sestavljen iz dejstva, bomo imenovali naključna spremenljivka X Pridobi vrednost X, Pripada nekemu polzaprtemu intervalu A£ X< B, Z zadetkom naključne spremenljivke na intervalu [ A, B).

Izrek 3.1. Verjetnost, da naključna spremenljivka pade v interval [ A, B) je enaka prirastku porazdelitvene funkcije na tem intervalu:

Če zmanjšamo interval [ A, B), Ob predpostavki, da je , potem v meji formula (3.1) namesto verjetnosti zadetka intervala poda verjetnost zadetka točke, tj. verjetnost, da naključna spremenljivka prevzame vrednost A:

Če ima porazdelitvena funkcija diskontinuiteto v točki A, Takrat je limita (3.2) enaka vrednosti skoka funkcije F(X) na točki X=A, To je verjetnost, da bo naključna spremenljivka prevzela vrednost A (slika 3.3, A). Če je naključna spremenljivka zvezna, tj. funkcija je zvezna F(X), potem je meja (3.2) enaka nič (slika 3.3, B)

Tako je verjetnost katere koli določene vrednosti zvezne naključne spremenljivke enaka nič. Vendar to ne pomeni, da je dogodek nemogoč. X=A, Pove le, da se bo relativna pogostost tega dogodka z neomejenim povečanjem števila testov nagibala k ničli.

A)
B)

riž. 3.3. Skok porazdelitvene funkcije

Za zvezne naključne spremenljivke se poleg porazdelitvene funkcije uporablja še ena oblika določanja porazdelitvenega zakona - porazdelitvena gostota.

Če je verjetnost zadetka intervala , potem razmerje označuje gostoto, s katero je verjetnost porazdeljena v bližini točke X. Meja te relacije pri , tj. e. izpeljanka, se imenuje Gostota porazdelitve(gostota porazdelitve verjetnosti, gostota verjetnosti) naključne spremenljivke X. Strinjamo se, da označimo gostoto porazdelitve

Tako porazdelitvena gostota označuje verjetnost, da bo naključna spremenljivka padla v bližino točke X.

Graf gostote porazdelitve se imenuje ukrivljene dirkeDefinicije(Slika 3.4).

riž. 3.4. Vrsta gostote porazdelitve

Na podlagi definicije in lastnosti porazdelitvene funkcije F(X), je enostavno ugotoviti naslednje lastnosti gostote porazdelitve F(X):

1) F(X)³0

Za zvezno naključno spremenljivko, zaradi dejstva, da je verjetnost zadetka točke enaka nič, veljajo naslednje enačbe:

Primer 3.2. Naključna vrednost X Določeno z gostoto porazdelitve

Zahtevano:

A) poiščite vrednost koeficienta A;

B) poiščite porazdelitveno funkcijo;

C) poiščite verjetnost, da naključna spremenljivka pade v interval (0, ).

Funkcija porazdelitve ali gostota porazdelitve v celoti opisuje naključno spremenljivko. Pogosto pa pri reševanju praktičnih problemov ni potrebno popolno poznavanje zakona porazdelitve, dovolj je poznati le nekatere njegove značilnosti. Za to se v teoriji verjetnosti uporabljajo numerične značilnosti naključne spremenljivke, ki izražajo različne lastnosti porazdelitvenega zakona. Glavne numerične značilnosti so matematičnePričakovanje, varianca in standardni odklon.

Pričakovana vrednost Označuje položaj naključne spremenljivke na številski osi. To je neka povprečna vrednost naključne spremenljivke, okoli katere so združene vse njene možne vrednosti.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke X Simbolizirano M(X) oz T. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota parnih produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti:

Matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke je določeno z uporabo neustreznega integrala:

Na podlagi definicij je enostavno preveriti veljavnost naslednjih lastnosti matematičnega pričakovanja:

1. (matematično pričakovanje nenaključne spremenljivke Z Enako najbolj nenaključni vrednosti).

2. Če je ³0, potem ³0.

4. Če in neodvisen, to .

Primer 3.3. Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke, podane z vrsto porazdelitev:

rešitev.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Primer 3.4. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke, podane z gostoto porazdelitve:

rešitev.

Disperzija in standardni odklon So značilnosti disperzije naključne spremenljivke, označujejo širjenje njenih možnih vrednosti glede na matematično pričakovanje.

disperzija D(X) naključna spremenljivka X Imenuje se matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.Za diskretno naključno spremenljivko je varianca izražena z vsoto:

(3.3)

In za neprekinjeno - integralno

(3.4)

Varianca ima dimenzijo kvadrata naključne spremenljivke. karakteristika razprševanja, Ujemanje po velikostiStee z naključno spremenljivko, je standardni odklon.

Disperzijske lastnosti:

1) so konstantni. Še posebej,

Še posebej,

Upoštevajte, da se izračun variance po formuli (3.5) pogosto izkaže za bolj priročnega kot po formuli (3.3) ali (3.4).

Vrednost se imenuje kovarianca naključne spremenljivke.

če , nato vrednost

klical Korelacijski koeficient naključne spremenljivke.

Lahko se pokaže, da če , potem so količine linearno odvisne: kje

Upoštevajte, da če so neodvisni, potem

Primer 3.5. Poiščite varianco naključne spremenljivke, podane z nizom porazdelitve iz primera 1.

rešitev. Za izračun variance morate poznati matematično pričakovanje. Za zgoraj navedeno naključno spremenljivko je bilo ugotovljeno: M=1,3. Varianco izračunamo po formuli (3.5):

Primer 3.6. Slučajna spremenljivka je podana z gostoto porazdelitve

Poiščite varianco in standardni odklon.

rešitev. Najprej najdemo matematično pričakovanje:

(kot integral lihe funkcije na simetričnem intervalu).

Zdaj izračunamo varianco in standardni odklon:

1. Binomska porazdelitev. Naključna spremenljivka, enaka številu "USPEHOV" v Bernoullijevi shemi, ima binomsko porazdelitev: , .

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke, porazdeljene po binomskem zakonu, je

Varianca te porazdelitve je .

2. Poissonova porazdelitev ,

Matematično pričakovanje in varianca slučajne spremenljivke s Poissonovo porazdelitvijo , .

Poissonova porazdelitev se pogosto uporablja, ko imamo opravka s številom dogodkov, ki se zgodijo v določenem času ali prostoru, kot je število avtomobilov, ki prispejo v avtopralnico v eni uri, število postankov stroja na teden, število prometnih nesreč itd.

Naključna spremenljivka ima Geometrijska porazdelitev s parametrom če zavzame vrednosti z verjetnostmi . Naključna spremenljivka s tako porazdelitvijo je smiselna Številke prvega uspešnega testa v Bernoullijevi shemi z verjetnostjo uspeha . Distribucijska tabela izgleda takole:

3. Normalna porazdelitev. Normalni zakon porazdelitve verjetnosti zavzema posebno mesto med drugimi zakoni porazdelitve. V teoriji verjetnosti se dokazuje, da je gostota verjetnosti vsote neodvisnih oz Slabo odvisen, se enakomerno majhni (tj. ki igrajo približno enako vlogo) členi z neomejenim povečanjem njihovega števila približajo običajnemu zakonu porazdelitve tako blizu, kot je želeno, ne glede na to, kakšne zakone porazdelitve imajo ti členi (osrednji mejni izrek A. M. Ljapunova).

Naključna spremenljivka je spremenljivka, ki lahko zavzame določene vrednosti glede na različne okoliščine in naključno spremenljivko imenujemo zvezna , če lahko sprejme katero koli vrednost iz nekega omejenega ali neomejenega intervala. Za neprekinjeno naključno spremenljivko je nemogoče določiti vse možne vrednosti, zato so označeni intervali teh vrednosti, ki so povezani z določenimi verjetnostmi.

Primeri zveznih naključnih spremenljivk so: premer dela, obrnjenega na določeno velikost, višina osebe, domet izstrelka itd.

Ker je za zvezne naključne spremenljivke funkcija F(x), Za razliko od diskretne naključne spremenljivke, nima nikjer nobenih skokov, potem je verjetnost katerekoli posamezne vrednosti zvezne naključne spremenljivke enaka nič.

To pomeni, da za zvezno naključno spremenljivko nima smisla govoriti o porazdelitvi verjetnosti med njenimi vrednostmi: vsaka od njih ima ničelno verjetnost. Vendar pa so v določenem smislu med vrednostmi zvezne naključne spremenljivke "bolj in manj verjetne". Na primer, malo verjetno je, da bo kdo dvomil, da je vrednost naključne spremenljivke - višina naključno srečane osebe - 170 cm - verjetnejša od 220 cm, čeprav se ena in druga vrednost lahko pojavita v praksi.

Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke in gostota verjetnosti

Kot porazdelitveni zakon, ki je smiseln samo za zvezne naključne spremenljivke, je uveden pojem porazdelitvene gostote ali verjetnostne gostote. Približajmo se ji tako, da primerjamo pomen porazdelitvene funkcije za zvezno naključno spremenljivko in za diskretno naključno spremenljivko.

Torej, porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke (tako diskretne kot zvezne) oz integralna funkcija se imenuje funkcija, ki določa verjetnost, da bo vrednost naključne spremenljivke X manjša ali enaka mejni vrednosti X.

Za diskretno naključno spremenljivko v točkah njenih vrednosti x1 , x 2 , ..., x jaz ,... koncentrirane množice verjetnosti str1 , str 2 , ..., str jaz ,..., vsota vseh mas pa je enaka 1. Prenesimo to interpretacijo na primer zvezne naključne spremenljivke. Predstavljajte si, da masa, enaka 1, ni koncentrirana na ločenih točkah, ampak je nenehno "razmazana" vzdolž osi x Ox z nekaj neenakomerne gostote. Verjetnost zadetka naključne spremenljivke na katerem koli mestu Δ x se razlaga kot masa, ki jo je mogoče pripisati temu odseku, in povprečna gostota v tem odseku - kot razmerje med maso in dolžino. Pravkar smo predstavili pomemben koncept v teoriji verjetnosti: gostoto porazdelitve.

Gostota verjetnosti f(x) zvezne naključne spremenljivke je odvod njene porazdelitvene funkcije:

Če poznamo funkcijo gostote, lahko ugotovimo verjetnost, da vrednost zvezne naključne spremenljivke pripada zaprtemu intervalu [ a; b]:

verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X bo vzel poljubno vrednost iz intervala [ a; b], je enak določenemu integralu njegove gostote verjetnosti v območju od a prej b:

V tem primeru splošna formula funkcije F(x) verjetnostna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke, ki se lahko uporabi, če je znana funkcija gostote f(x) :

Graf gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke se imenuje njena porazdelitvena krivulja (slika spodaj).

Območje figure (osenčeno na sliki), omejeno s krivuljo, ravne črte, narisane iz točk a in b pravokotno na abscisno os, in os Oh, grafično prikaže verjetnost, da bo vrednost zvezne naključne spremenljivke X je v območju a prej b.

Lastnosti funkcije gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke

1. Verjetnost, da bo naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost iz intervala (in območje slike, ki je omejeno z grafom funkcije f(x) in os Oh) je enako ena:

2. Funkcija gostote verjetnosti ne more imeti negativnih vrednosti:

zunaj obstoja porazdelitve pa je njegova vrednost nič

Gostota porazdelitve f(x), kot tudi distribucijska funkcija F(x), je ena od oblik porazdelitvenega zakona, vendar za razliko od porazdelitvene funkcije ni univerzalna: gostota porazdelitve obstaja samo za zvezne naključne spremenljivke.

Omenimo dva v praksi najpomembnejša tipa porazdelitve zvezne naključne spremenljivke.

Če funkcija gostote porazdelitve f(x) zvezna naključna spremenljivka v nekem končnem intervalu [ a; b] ima konstantno vrednost C, zunaj intervala pa dobi vrednost enako nič, potem to porazdelitev imenujemo enakomerna .

Če je graf funkcije gostote porazdelitve simetričen glede na središče, so povprečne vrednosti koncentrirane blizu središča, pri odmiku od središča pa se zbere več različnih povprečij (graf funkcije je podoben rezu zvonec), potem to porazdelitev imenujemo normalna .

Primer 1 Funkcija porazdelitve verjetnosti zvezne naključne spremenljivke je znana:

Poiščite funkcijo f(x) gostota verjetnosti zvezne naključne spremenljivke. Narišite grafa za obe funkciji. Poiščite verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka sprejela katero koli vrednost v območju od 4 do 8: .

rešitev. Funkcijo gostote verjetnosti dobimo tako, da poiščemo odvod funkcije porazdelitve verjetnosti:

Funkcijski graf F(x) - parabola:

Funkcijski graf f(x) - ravna črta:

Poiščimo verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost v območju od 4 do 8:

Primer 2 Funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke je podana kot:

Izračunaj faktor C. Poiščite funkcijo F(x) verjetnostna porazdelitev zvezne naključne spremenljivke. Narišite grafa za obe funkciji. Poiščite verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka sprejela katero koli vrednost v območju od 0 do 5: .

rešitev. Koeficient C z uporabo lastnosti 1 funkcije gostote verjetnosti najdemo:

Tako je funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke:

Z integracijo najdemo funkcijo F(x) verjetnostne porazdelitve. če x < 0 , то F(x) = 0 . Če je 0< x < 10 , то

x> 10 torej F(x) = 1 .

Tako je celoten zapis funkcije porazdelitve verjetnosti:

Funkcijski graf f(x) :

Funkcijski graf F(x) :

Poiščimo verjetnost, da bo zvezna naključna spremenljivka prevzela katero koli vrednost v območju od 0 do 5:

Primer 3 Gostota verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X je podana z enakostjo , medtem ko . Poiščite koeficient A, verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X prevzame neko vrednost iz intervala ]0, 5[, porazdelitvene funkcije zvezne naključne spremenljivke X.

rešitev. Po pogoju pridemo do enakosti

Torej, od kod. Torej,

Zdaj najdemo verjetnost, da zvezna naključna spremenljivka X bo prevzel katero koli vrednost iz intervala ]0, 5[:

Zdaj dobimo porazdelitveno funkcijo te naključne spremenljivke:

Primer 4 Poiščite gostoto verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X, ki zavzema le nenegativne vrednosti, in njeno distribucijsko funkcijo .

V teoriji verjetnosti je treba obravnavati naključne spremenljivke, katerih vseh vrednosti ni mogoče razvrstiti. Na primer, nemogoče je vzeti in "razvrstiti" vse vrednosti naključne spremenljivke $X$ - čas delovanja ure, saj se čas lahko meri v urah, minutah, sekundah, milisekundah itd. Določite lahko samo določen interval, znotraj katerega se nahajajo vrednosti naključne spremenljivke.

Zvezna naključna spremenljivka je naključna spremenljivka, katere vrednosti v celoti zapolnijo določen interval.

Porazdelitvena funkcija zvezne naključne spremenljivke

Ker ni mogoče razvrstiti vseh vrednosti zvezne naključne spremenljivke, jo je mogoče določiti s funkcijo porazdelitve.

distribucijska funkcija naključna spremenljivka $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, ki določa verjetnost, da naključna spremenljivka $X$ zavzame vrednost, manjšo od neke fiksne vrednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\levo(X< x\right)$.

Lastnosti porazdelitvene funkcije:

1 . $0\le F\levo(x\desno)\le 1$.

2 . Verjetnost, da naključna spremenljivka $X$ prevzame vrednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, je enaka razliki med vrednostmi porazdelitvene funkcije na koncih tega intervala : $P\levo(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\desno)$ - ne padajoče.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\desno)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primer 1
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\konec(matrika)\desno.$. Verjetnost, da naključna spremenljivka $X$ pade v interval $\left(0,3;0,7\right)$, je mogoče najti kot razliko med vrednostmi porazdelitvene funkcije $F\left(x\right)$ pri konca tega intervala, tj.

$$P\levo(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Gostota verjetnosti

Funkcija $f\left(x\right)=(F)"(x)$ se imenuje gostota porazdelitve verjetnosti, kar pomeni, da je odvod prvega reda, vzet iz funkcije porazdelitve $F\left(x\right) $ sama.

Lastnosti funkcije $f\left(x\right)$.

1 . $f\levo(x\desno)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\levo(t\desno)dt)=F\levo(x\desno)$.

3 . Verjetnost, da naključna spremenljivka $X$ prevzame vrednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, je $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\desno))=1$.

Primer 2 . Zvezna naključna spremenljivka $X$ je podana z naslednjo porazdelitveno funkcijo $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\konec(matrika)\desno.$. Potem je funkcija gostote $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\konec(matrika)\desno.$

Matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke $X$ izračunamo po formuli

$$M\levo(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\levo(x\desno)dx).$$

Primer 3 . Poiščite $M\left(X\right)$ za naključno spremenljivko $X$ iz primera $2$.

$$M\levo(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\levo(x\desno)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\nad (2))\bigg|_0^1=((1)\nad (2)).$$

Disperzija zvezne naključne spremenljivke

Varianco zvezne naključne spremenljivke $X$ izračunamo po formuli

$$D\levo(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\levo(x\desno)\ dx)-(\levo)^2.$$

Primer 4 . Poiščimo $D\left(X\right)$ za naključno spremenljivko $X$ iz primera $2$.

$$D\levo(X\desno)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\levo(x\desno)\ dx)-(\levo)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\levo(((1)\nad (2))\desno))^2=((x^3)\nad (3))\bigg|_0^1-( (1)\nad (4))=((1)\nad (3))-((1)\nad (4))=((1)\nad (12)).$$

NAKLJUČNE VREDNOSTI

Primer 2.1. Naključna vrednost X podana z distribucijsko funkcijo

Poiščite verjetnost, da bo rezultat testa X bo imel vrednosti med (2,5; 3,6).

rešitev: X v intervalu (2,5; 3,6) lahko določimo na dva načina:

Primer 2.2. Pri katerih vrednostih parametrov A in IN funkcijo F(x) = A + Be - x je lahko porazdelitvena funkcija za nenegativne vrednosti naključne spremenljivke X.

rešitev: Ker so vse možne vrednosti naključne spremenljivke X pripadajo intervalu , potem da bi bila funkcija distribucijska funkcija za X, nepremičnina mora imeti:

odgovor: .

Primer 2.3. Naključna spremenljivka X je podana s porazdelitveno funkcijo

Poiščite verjetnost, da bo vrednost kot rezultat štirih neodvisnih poskusov X natanko 3-krat bo dobilo vrednost, ki pripada intervalu (0,25; 0,75).

rešitev: Verjetnost doseganja vrednosti X v intervalu (0,25; 0,75) najdemo po formuli:

Primer 2.4. Verjetnost, da bo žoga v enem metu zadela koš, je 0,3. Sestavite zakon porazdelitve števila zadetkov v treh metih.

rešitev: Naključna vrednost X- število zadetkov v koš s tremi meti - lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X

Primer 2.5. Dva strelca naredita en strel v tarčo. Verjetnost, da ga prvi strelec zadene, je 0,5, drugi pa 0,4. Zapišite zakon porazdelitve števila zadetkov na tarčo.

rešitev: Poiščite zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X- število zadetkov na tarčo. Naj bo dogodek zadetek v tarčo s strani prvega strelca in - zadetek s strani drugega strelca oziroma - njihovi zgrešeni strelci.

Sestavimo zakon porazdelitve verjetnosti SV X:

Primer 2.6. Testirani so 3 elementi, ki delujejo neodvisno drug od drugega. Trajanje časa (v urah) brezhibnega delovanja elementov ima funkcijo gostote porazdelitve: za prvo: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za tretjega: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Poiščite verjetnost, da bo v časovnem intervalu od 0 do 5 ur: odpovedal samo en element; samo dva elementa bosta odpovedala; vsi trije elementi ne uspejo.

rešitev: Uporabimo definicijo generacijske funkcije verjetnosti:

Verjetnost, da v neodvisnih poskusih, od katerih je prvi verjetnost pojava dogodka A enako , v drugem itd., dogodek A pojavi natanko enkrat, je enak koeficientu pri v razširitvi generatorske funkcije v potencah . Poiščimo verjetnosti odpovedi oziroma neodpovedi prvega, drugega in tretjega elementa v časovnem intervalu od 0 do 5 ur:

Ustvarimo funkcijo generiranja:

Koeficient pri je enak verjetnosti, da dogodek A se bo pojavilo natanko trikrat, to je verjetnost okvare vseh treh elementov; koeficient pri je enak verjetnosti, da bosta odpovedala točno dva elementa; koeficient pri je enak verjetnosti, da bo odpovedal le en element.

Primer 2.7. Glede na gostoto verjetnosti f(x) naključna spremenljivka X:

Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x).

rešitev: Uporabljamo formulo:

Tako ima distribucijska funkcija obliko:

Primer 2.8. Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite zakon porazdelitve števila neuspelih elementov v enem poskusu.

rešitev: Naključna vrednost X- število elementov, ki niso uspeli v enem poskusu - lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2, 3. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo z Bernoullijevo formulo:

Tako dobimo naslednji zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X:

Primer 2.9. V seriji 6 delov so 4 standardni deli. 3 predmeti so bili naključno izbrani. Sestavite zakon porazdelitve števila standardnih delov med izbranimi.

rešitev: Naključna vrednost X- število standardnih delov med izbranimi - lahko zavzame vrednosti: 1, 2, 3 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X

Kje -- število delov v seriji;

-- število standardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število standardnih delov med izbranimi.

Primer 2.10. Naključna spremenljivka ima gostoto porazdelitve

kje in niso znani, ampak , a in . Poiščite in.

rešitev: V tem primeru naključna spremenljivka X ima trikotno porazdelitev (Simpsonovo porazdelitev) na intervalu [ a, b]. Numerične značilnosti X:

torej . Z reševanjem tega sistema dobimo dva para vrednosti: . Ker glede na pogoje problema končno imamo: .

odgovor: .

Primer 2.11. V povprečju pri 10 % pogodb zavarovalnica izplača zavarovalne vsote v zvezi z nastankom zavarovalnega primera. Izračunajte matematično pričakovanje in varianco števila takih pogodb med štirimi naključno izbranimi.

rešitev: Matematično pričakovanje in varianco je mogoče najti z uporabo formul:

Možne vrednosti SV (število pogodb (od štirih) z nastankom zavarovalnega dogodka): 0, 1, 2, 3, 4.

Za izračun verjetnosti različnega števila pogodb (od štirih), za katere so bile izplačane zavarovalne vsote, uporabimo Bernoullijevo formulo:

Porazdelitvena serija CV (število pogodb z nastankom zavarovalnega dogodka) ima obliko:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odgovor: , .

Primer 2.12. Od petih vrtnic sta dve beli. Zapišite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko, ki izraža število belih vrtnic med dvema hkrati vzetima vrtnicama.

rešitev: V vzorcu dveh vrtnic morda ni bele vrtnice ali pa sta ena ali dve beli vrtnici. Zato je naključna spremenljivka X lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo po formuli:

Kje -- število vrtnic;

-- število belih vrtnic;

– število istočasno vzetih vrtnic;

-- število belih vrtnic med odvzetimi.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.13. Med 15 sestavljenimi enotami jih 6 potrebuje dodatno mazanje. Sestavite zakon porazdelitve števila enot, ki potrebujejo dodatno mazanje, med petimi naključno izbranimi izmed skupnega števila.

rešitev: Naključna vrednost X- število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi izbranimi - lahko zavzame vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 in ima hipergeometrično porazdelitev. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo po formuli:

Kje -- število sestavljenih enot;

-- število enot, ki zahtevajo dodatno mazanje;

– število izbranih agregatov;

-- število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med izbranimi.

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Primer 2.14. Od 10 ur, prejetih v popravilo, jih 7 potrebuje generalno čiščenje mehanizma. Ure niso razvrščene po vrsti popravila. Gospodar, ki želi najti uro, ki jo je treba očistiti, jih pregleda eno za drugo in, ko najde takšno uro, preneha z nadaljnjim ogledom. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila gledanih ur.

rešitev: Naključna vrednost X- število enot, ki potrebujejo dodatno mazanje med petimi izbranimi - lahko zavzame naslednje vrednosti: 1, 2, 3, 4. Verjetnosti, da X sprejme te vrednosti, najdemo po formuli:

Potem bo zakon porazdelitve naključne spremenljivke naslednji:

Zdaj pa izračunajmo numerične značilnosti količine:

Odgovor: , .

Primer 2.15. Naročnik je pozabil zadnjo številko telefonske številke, ki jo potrebuje, vendar se spomni, da je liha. Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila klicev, ki jih je opravil, preden je zadel želeno številko, če naključno zavrti zadnjo števko in klicane števke v prihodnje ne kliče več.

rešitev: Naključna spremenljivka ima lahko vrednosti: . Ker naročnik v prihodnje ne pokliče klicane številke, sta verjetnosti teh vrednosti enaki.

Sestavimo porazdelitveni niz naključne spremenljivke:


	0,2

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco števila poskusov klicanja:

Odgovor: , .

Primer 2.16. Verjetnost okvare med preskusi zanesljivosti za vsako napravo serije je enaka str. Določite matematično pričakovanje števila naprav, ki niso uspele, če so bile testirane n aparati.

rešitev: Diskretna naključna spremenljivka X je število okvarjenih naprav v n neodvisni testi, pri vsakem od katerih je verjetnost neuspeha enaka p, porazdeljena po binomskem zakonu. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti, da se dogodek zgodi v enem poskusu:

Primer 2.17. Diskretna naključna spremenljivka X ima 3 možne vrednosti: z verjetnostjo ; z verjetnostjo in z verjetnostjo . Poiščite in veste, da je M( X) = 8.

rešitev: Uporabljamo definiciji matematičnega pričakovanja in zakona porazdelitve diskretne naključne spremenljivke:

Najdemo: .

Primer 2.18. Oddelek za tehnični nadzor preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je postavka standardna, je 0,9. Vsaka serija vsebuje 5 artiklov. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X- število serij, od katerih vsaka vsebuje točno 4 standardne izdelke, če je predmet preverjanja 50 serij.

rešitev: V tem primeru so vsi izvedeni poskusi neodvisni in verjetnosti, da vsaka serija vsebuje natanko 4 standardne izdelke, so enake, zato lahko matematično pričakovanje določimo s formulo:

kje je število strank;

Verjetnost, da serija vsebuje natanko 4 standardne elemente.

Verjetnost najdemo z Bernoullijevo formulo:

odgovor: .

Primer 2.19. Poiščite varianco naključne spremenljivke X– število ponovitev dogodka A v dveh neodvisnih poskusih, če sta verjetnosti pojava dogodka v teh poskusih enaki in je znano, da M(X) = 0,9.

rešitev: Problem je mogoče rešiti na dva načina.

1) Možne vrednosti CB X: 0, 1, 2. Z Bernoullijevo formulo določimo verjetnosti teh dogodkov:

, , .

Potem zakon o distribuciji X izgleda kot:

Iz definicije matematičnega pričakovanja določimo verjetnost:

Poiščimo varianco SW X:

2) Lahko uporabite formulo:

odgovor: .

Primer 2.20. Matematično pričakovanje in standardni odklon normalno porazdeljene naključne spremenljivke X sta 20 oziroma 5. Poiščite verjetnost, da bo rezultat testa X bo prevzel vrednost v intervalu (15; 25).

rešitev: Verjetnost zadetka normalne naključne spremenljivke X na odseku od do je izražena z Laplaceovo funkcijo:

Primer 2.21. Glede na funkcijo:

Pri kateri vrednosti parametra C ta funkcija je gostota porazdelitve neke zvezne naključne spremenljivke X? Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke X.

rešitev: Da bi bila funkcija porazdelitvena gostota neke naključne spremenljivke, mora biti nenegativna in mora izpolnjevati lastnost:

Zato:

Izračunajte matematično pričakovanje po formuli:

Izračunajte varianco po formuli:

T je str. Najti je treba matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.

rešitev: Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke X - število pojavitev dogodka v neodvisnih poskusih, v vsakem od katerih je verjetnost pojava dogodka , se imenuje binom. Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava dogodka A v enem poskusu:

Primer 2.25. V tarčo se izstrelijo trije neodvisni streli. Verjetnost zadetka vsakega strela je 0,25. Določite standardni odklon števila zadetkov s tremi streli.

rešitev: Ker so izvedeni trije neodvisni poskusi in je verjetnost pojava dogodka A (zadetek) v vsakem poskusu enaka, bomo predpostavili, da je diskretna naključna spremenljivka X - število zadetkov na tarči - porazdeljena po binomu pravo.

Varianca binomske porazdelitve je enaka zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava in nepojavitve dogodka v enem poskusu:

Primer 2.26. Povprečno število strank, ki obiščejo zavarovalnico v 10 minutah, so tri. Poiščite verjetnost, da vsaj ena stranka pride v naslednjih 5 minutah.

Povprečno število strank, ki pridejo v 5 minutah: . .

Primer 2.29.Čakalni čas za aplikacijo v čakalni vrsti procesorja je podrejen eksponentnemu zakonu porazdelitve s povprečno vrednostjo 20 sekund. Poiščite verjetnost, da bo naslednja (poljubna) zahteva čakala na procesor več kot 35 sekund.

rešitev: V tem primeru pričakovanje , stopnja napak pa je .

Potem je želena verjetnost:

Primer 2.30. Skupina 15 študentov ima srečanje v dvorani z 20 vrstami po 10 sedežev. Vsak učenec se naključno umesti v dvorano. Kakšna je verjetnost, da na sedmem mestu v vrsti ne bodo več kot tri osebe?

rešitev:

Primer 2.31.

Potem po klasični definiciji verjetnosti:

Kje -- število delov v seriji;

-- število nestandardnih delov v seriji;

– število izbranih delov;

-- število nestandardnih delov med izbranimi.

Potem bo porazdelitveni zakon naključne spremenljivke naslednji.

Morda bi bilo koristno prebrati: