Metode integracije. Metode reševanja nedoločenih integralov

Predavanje 12

1 . Neposredna integracija – izračun integralov s pomočjo tabele enostavnih integralov, pravil integracije in lastnosti nedoločenih integralov.

Primer 1. +Z .

Uporabljena trigonometrična formula: .

Primer2.

tukaj se izvede očitna transformacija integranda in namesto spremenljivke integracije X sprejeti izraz (a–bx), glede na to spremenljivko dobimo tabelarični integral. Ta tehnika se včasih imenuje " vožnja » pod diferencialnim znakom kakega izraza.

Res:.


2 . Metoda zamenjave spremenljivke . Metoda zamenjave .

Pustiti l=f(x), x X . Predstavimo novo spremenljivko t , dajanje x=(t) , t T, Potem l=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt in

Po integraciji zadnjega izraza morate kot rezultat iti na staro spremenljivko.

Ta metoda se uporablja, kadar je integrand kompleksna funkcija.

Primer. Poišči integral : .

rešitev.

1. Spremenljiva zamenjava: x=t/4 , Potem dx=dt/4.

Nadomeščanje X in dx v izvirni integral, dobimo:

= .

2. Zamenjava: 4x = t , Potem dx = dt/4 . Dobimo isti odgovor.


3. Metoda integracije "po delih" .

Naj vmes X podani sta dve zvezno diferenciabilni funkciji u(x) in v(x) .

Zapišimo izraz za diferencial njihovega produkta:

Integrirajmo levo in desno stran dobljenega izraza:

To nam daje formulo za integracijo po delih:


Metoda integracije po delih se uporablja za cel razred integralov, na primer, ko integrand vsebuje:

1) katera koli funkcija, ki je ni v tabeli enostavnih integralov:

ali njen produkt s polinomom P(x) :

, .

V tem primeru za u vzemite, oziroma, itd., in za dv - izražanje p(x)dx ., torej ena od protiizpeljank v lahko enostavno definiramo: ,

(tu naj pri integraciji poljubno konstanto izpustimo);


2) produkt polinoma s trigonometrično funkcijo ali z eksponentom: .

V tem primeru za u je treba sprejeti P(x) , in za dv – preostali del integranda: exdx, sinxdx, itd.

Operacijo integracije po delih je mogoče uporabiti večkrat, kar včasih omogoča rešitev težave.


Primer 1. Poišči integral .

rešitev.

Postavimo v x = u , dx =dv (Tukaj p(x) =1 ).

Potem du = d(v x) =, v = =x - eden od originalov.

Z uporabo formule integracije po delih,

dobimo:

=xln x – =x ln x – =x ln x – x +C = x(v x – 1 ) +C .

Primer 2.

Poišči integral .

rešitev.

Pustiti x =u (P(x) =x ), =dvdu = , v =.

Z uporabo formule integracije po delih dobimo:



=x greh x – = x greh x + cos x +C .

Primer 3. Poišči integral .

rešitev.

Postavimo x =u , e x dx =dv .

Potem du =dx , v =npr .

=xe x–=xe x – e x= e x (x – 1) +Z.


Primer 4. Poišči integral .

rešitev.

Postavimo x 2 =u , e x dx =dv .

Potem du =2xdx , v =e x .

Z uporabo formule integracije po delih dobimo:

=x 2 ∙e x –2 .

Ponovno uporabimo integracijo po delih (glejte primer 3):

x 2 e x–2 = x 2 e x– 2 (xe x– e x)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .


4.Metoda negotovega koeficienta

Uporablja se za integracijo racionalnih funkcij

kjer sta in polinoma, stopnja števca pa je manjša od stopnje imenovalca (pravilni ulomek), lahko nepravilni ulomek zmanjšamo na vsoto določenega polinoma in pravilnega ulomka tako, da polinom delimo s polinomom.


Po izreku iz algebre vsak polinom stopnje n z vodilnim koeficientom enakim ena, ki ima realne različne korenine x 1 ,x 2 , ..., x n , lahko predstavimo takole:

Q(x )=(x – x 1 )(x – x 2 )(x – xn ).

Nato lahko pravi ulomek razstavimo na enostavnejše ulomke in zapišemo:

Kje A 1 ,A 2 , ...,A n – nekaj števil (nedefinirani koeficienti).


Zmanjšanje desne strani izraza na skupni imenovalec in nato enačenje koeficientov pri istih potencah X v števcu leve in desne strani dobimo sistem enačb za določanje neznanih koeficientov A 1,A 2, ...,A n .

Po tem se integracija racionalne funkcije zmanjša na iskanje n integrali oblike:


Primer. Poišči integral .

rešitev. Integrand je pravi ulomek, razčlenimo ga na enostavnejše ulomke.

Imenovalec ima prave, različne korene: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Zato , x3–4x= x(x–2)(x+2 ) ,

Kompleksni integrali

Ta članek zaključuje temo nedoločenih integralov in vključuje integrale, ki se mi zdijo precej zapleteni. Lekcija je nastala na večkratno prošnjo obiskovalcev, ki so izrazili željo, da bi se na strani analizirali težji primeri.

Predpostavlja se, da je bralec tega besedila dobro pripravljen in zna uporabiti osnovne tehnike integracije. Tebani in ljudje, ki niso preveč prepričani v integrale, naj se obrnejo na prvo lekcijo - Nedoločen integral. Primeri rešitev, kjer lahko temo obvladate skoraj iz nič. Izkušenejši študenti se lahko seznanijo s tehnikami in metodami integracije, ki jih v mojih člankih še nisem srečal.

Katere integrale bomo upoštevali?

Najprej bomo obravnavali integrale s koreni, za rešitev katerih bomo zaporedno uporabljali variabilna zamenjava in integracija po delih. To pomeni, da sta v enem primeru dve tehniki združeni hkrati. In še več.

Potem se bomo seznanili z zanimivimi in izvirnimi metoda redukcije integrala nase. Kar nekaj integralov je rešenih na ta način.

Tretja številka programa bodo integrali kompleksnih ulomkov, ki so v prejšnjih člankih preleteli blagajno.

Četrtič, analizirani bodo dodatni integrali iz trigonometričnih funkcij. Zlasti obstajajo metode, ki se izogibajo dolgotrajni univerzalni trigonometrični zamenjavi.

(2) V funkciji integrand delimo števec z imenovalcem člen za členom.

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala. V zadnjem integral takoj funkcijo postavimo pod diferencialni znak.

(4) Vzamemo preostale integrale. Upoštevajte, da lahko v logaritmu namesto modula uporabite oklepaje, saj .

(5) Izvedemo obratno zamenjavo, pri čemer izrazimo »te« iz neposredne zamenjave:

Mazohistični učenci lahko diferencirajo odgovor in dobijo izvirni integrand, kot sem pravkar naredil. Ne, ne, preveril sem v pravem smislu =)

Kot lahko vidite, smo morali med reševanjem uporabiti celo več kot dve metodi reševanja, zato za obravnavo takšnih integralov potrebujete samozavestno integracijsko znanje in kar nekaj izkušenj.

V praksi je kvadratni koren seveda pogostejši, tukaj so trije primeri, kako ga rešiti sami:

Primer 2

Poiščite nedoločen integral

Primer 3

Poiščite nedoločen integral

Primer 4

Poiščite nedoločen integral

Ti primeri so iste vrste, zato bo popolna rešitev na koncu članka samo za primer 2; primeri 3-4 imajo enake odgovore. Katero zamenjavo uporabiti na začetku odločitev, mislim, da je očitno. Zakaj sem izbral primere iste vrste? Pogosto najdemo v njihovi vlogi. Pogosteje morda samo nekaj podobnega .

Ampak ne vedno, ko je pod arktangensom, sinusom, kosinusom, eksponentom in drugimi funkcijami koren linearne funkcije, morate uporabiti več metod hkrati. V številnih primerih je mogoče "enostavno izstopiti", to je, da takoj po zamenjavi dobimo preprost integral, ki ga je mogoče zlahka vzeti. Najlažja od zgoraj predlaganih nalog je primer 4, v katerem po zamenjavi dobimo relativno preprost integral.

Z redukcijo integrala nase

Duhovita in lepa metoda. Oglejmo si klasike žanra:

Primer 5

Poiščite nedoločen integral

Pod korenom je kvadratni binom in poskušanje integracije tega primera lahko čajniku povzroča ure in ure glavobola. Tak integral se vzame po delih in reducira nase. Načeloma ni težko. Če veš kako.

Označimo obravnavani integral z latinično črko in začnemo rešitev:

Integrirajmo po delih:

(1) Pripravite funkcijo integranda za člen za členom.

(2) Funkcijo integrand delimo člen za členom. Morda ni vsem jasno, vendar bom podrobneje opisal:

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala.

(4) Vzemite zadnji integral ("dolg" logaritem).

Zdaj pa poglejmo sam začetek rešitve:

In do konca:

Kaj se je zgodilo? Zaradi naših manipulacij se je integral zmanjšal sam nase!

Izenačimo začetek in konec:

Premaknite se na levo stran s spremembo predznaka:

In oba premaknemo na desno stran. Kot rezultat:

Konstanto bi, strogo gledano, morali dodati že prej, vendar sem jo dodal na koncu. Toplo priporočam, da preberete, kakšna je strogost tukaj:

Opomba: Natančneje, končna faza rešitve izgleda takole:

Torej:

Konstanto je mogoče preoblikovati z . Zakaj se lahko preoblikuje? Ker ga še vedno sprejema kaj vrednosti in v tem smislu ni razlike med konstantami in.
Kot rezultat:

Podoben trik z nenehnim ponavljanjem se pogosto uporablja v diferencialne enačbe. In tam bom strog. In tukaj dopuščam takšno svobodo samo zato, da vas ne bi zmedel z nepotrebnimi stvarmi in da bi pozornost usmeril ravno na sam način integracije.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral

Še en tipičen integral za neodvisno rešitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Z odgovorom v prejšnjem primeru bo razlika!

Če je pod kvadratnim korenom kvadratni trinom, potem se rešitev v vsakem primeru zmanjša na dva analizirana primera.

Na primer, upoštevajte integral . Vse, kar morate storiti, je najprej izberite celoten kvadrat:
.
Nato se izvede linearna zamenjava, ki poteka "brez posledic":
, kar ima za posledico integral . Nekaj ​​znanega, kajne?

Ali ta primer s kvadratnim binomom:
Izberite celoten kvadrat:
In po linearni zamenjavi dobimo integral, ki ga prav tako rešujemo z že obravnavanim algoritmom.

Poglejmo si še dva tipična primera reduciranja integrala nase:
– integral eksponenta, pomnoženega s sinusom;
– integral eksponenta, pomnoženega s kosinusom.

V navedene integrale po delih boste morali integrirati dvakrat:

Primer 7

Poiščite nedoločen integral

Integrand je eksponent, pomnožen s sinusom.

Dvakrat integriramo po delih in reduciramo integral nase:


Zaradi dvojne integracije po delih je bil integral reduciran sam nase. Izenačimo začetek in konec rešitve:

S spremembo predznaka ga premaknemo na levo stran in izrazimo svoj integral:

pripravljena Hkrati je priporočljivo česati desno stran, tj. vzemite eksponent iz oklepajev, sinus in kosinus pa postavite v oklepaje v »lepem« vrstnem redu.

Zdaj pa se vrnimo na začetek primera oziroma natančneje na integracijo po delih:

Eksponent smo označili kot. Postavlja se vprašanje: ali je treba eksponent vedno označiti z ? Ni potrebno. Pravzaprav v obravnavanem integralu v osnovi ni važno, kaj mislimo z , bi lahko šli drugače:

Zakaj je to mogoče? Ker se eksponent spremeni vase (tako pri diferenciaciji kot pri integraciji), se sinus in kosinus medsebojno spremenita drug v drugega (spet tako pri diferenciaciji kot pri integraciji).

To pomeni, da lahko označimo tudi trigonometrično funkcijo. Toda v obravnavanem primeru je to manj racionalno, saj se bodo pojavili ulomki. Če želite, lahko poskusite rešiti ta primer z drugo metodo; odgovori se morajo ujemati.

Primer 8

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Preden se odločite, razmislite, kaj je v tem primeru ugodneje označiti kot , eksponentno ali trigonometrično funkcijo? Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In seveda ne pozabite, da je večino odgovorov v tej lekciji precej enostavno preveriti z razlikovanjem!

Obravnavani primeri niso bili najbolj zapleteni. V praksi so pogostejši integrali, kjer je konstanta tako v eksponentu kot v argumentu trigonometrične funkcije, na primer: . Marsikdo se bo zmedel pri takem integralu in tudi sam sem pogosto zmeden. Dejstvo je, da obstaja velika verjetnost, da se v raztopini pojavijo ulomki, in zelo enostavno je nekaj izgubiti zaradi neprevidnosti. Poleg tega obstaja velika verjetnost napake v predznakih, upoštevajte, da ima eksponent znak minus, kar predstavlja dodatno težavo.

Na končni stopnji je rezultat pogosto nekaj takega:

Tudi na koncu rešitve morate biti zelo previdni in pravilno razumeti ulomke:

Integriranje kompleksnih ulomkov

Počasi se približujemo ekvatorju lekcije in začnemo obravnavati integrale ulomkov. Še enkrat, niso vsi zelo zapleteni, le zato, ker so bili primeri iz enega ali drugega razloga v drugih člankih malo »izven teme«.

Nadaljevanje teme korenin

Primer 9

Poiščite nedoločen integral

V imenovalcu pod korenom je kvadratni trinom plus "pridatek" v obliki "X" zunaj korena. Integral te vrste je mogoče rešiti s standardno zamenjavo.

Odločamo se:

Zamenjava tukaj je preprosta:

Poglejmo življenje po zamenjavi:

(1) Po zamenjavi člene pod korenom reduciramo na skupni imenovalec.
(2) Poberemo ga izpod korenine.
(3) Števec in imenovalec se zmanjšata za . Hkrati sem pod korenom preuredil izraze v priročnem vrstnem redu. Z nekaj izkušnjami lahko korake (1), (2) preskočite tako, da komentirana dejanja izvedete ustno.
(4) Nastali integral, kot se spomnite iz lekcije Integracija nekaterih ulomkov, se odloča metoda popolne kvadratne ekstrakcije. Izberite celoten kvadrat.
(5) Z integracijo dobimo navaden “dolg” logaritem.
(6) Izvedemo obratno zamenjavo. Če na začetku , potem nazaj: .
(7) Končno dejanje je namenjeno poravnavi rezultata: pod korenom spet spravimo izraze na skupni imenovalec in jih vzamemo izpod korena.

Primer 10

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tu je edinemu "X" dodana konstanta in zamenjava je skoraj enaka:

Edina stvar, ki jo morate narediti dodatno je, da izrazite "x" iz zamenjave, ki se izvaja:

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Včasih je lahko v takem integralu pod korenom kvadratni binom, to ne spremeni metode rešitve, še bolj enostavna bo. Občutite razliko:

Primer 11

Poiščite nedoločen integral

Primer 12

Poiščite nedoločen integral

Kratke rešitve in odgovori na koncu lekcije. Opozoriti je treba, da je primer 11 natančen binomski integral, katerega način reševanja smo obravnavali v razredu Integrali iracionalnih funkcij.

Integral nerazgradljivega polinoma 2. stopnje na potenco

(polinom v imenovalcu)

Bolj redka vrsta integrala, vendar se kljub temu srečuje v praktičnih primerih.

Primer 13

Poiščite nedoločen integral

A vrnimo se k primeru s srečno številko 13 (odkrito povedano, nisem prav uganil). Tudi ta integral je eden tistih, ki so lahko precej frustrirajoči, če ne veste, kako rešiti.

Rešitev se začne z umetno preobrazbo:

Mislim, da vsi že razumejo, kako razdeliti števec na imenovalec po izrazih.

Nastali integral se vzame v delih:

Za integral oblike ( – naravno število) izpeljemo ponavljajoče se formula zmanjšanja:
, Kje – integral stopnje nižje.

Preverimo veljavnost te formule za rešeni integral.
V tem primeru: , , uporabimo formulo:

Kot vidite, so odgovori enaki.

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Raztopina vzorca uporablja zgornjo formulo dvakrat zaporedoma.

Če je pod diplomo nedeljivo kvadratni trinom, potem se rešitev zmanjša na binom z izolacijo popolnega kvadrata, na primer:

Kaj pa, če je v števcu dodaten polinom? V tem primeru se uporabi metoda nedoločenih koeficientov, funkcija integrand pa se razširi v vsoto ulomkov. Toda v moji praksi je tak primer nikoli srečal, zato sem v članku spregledal ta primer Integrali ulomkov-racionalnih funkcij, bom zdaj preskočil. Če še vedno naletite na tak integral, poglejte učbenik - tam je vse preprosto. Mislim, da ni priporočljivo vključiti gradiva (tudi preprostega), katerega verjetnost naletijo na nič.

Integriranje kompleksnih trigonometričnih funkcij

Pridevnik "zapleten" je za večino primerov spet v veliki meri pogojen. Začnimo s tangentami in kotangensi pri velikih potencah. Z vidika uporabljenih metod reševanja sta tangens in kotangens skoraj ista stvar, zato bom več govoril o tangensu, kar namiguje, da prikazana metoda za reševanje integrala velja tudi za kotangens.

V zgornji lekciji smo si ogledali univerzalna trigonometrična zamenjava za reševanje določene vrste integralov trigonometričnih funkcij. Pomanjkljivost univerzalne trigonometrične substitucije je, da njena uporaba pogosto povzroči okorne integrale s težkimi izračuni. In v nekaterih primerih se je mogoče izogniti univerzalni trigonometrični zamenjavi!

Oglejmo si še en kanoničen primer, integral enega deljeno s sinusom:

Primer 17

Poiščite nedoločen integral

Tukaj lahko uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo in dobite odgovor, vendar obstaja bolj racionalen način. Zagotovil bom celotno rešitev s komentarji za vsak korak:

(1) Za sinus dvojnega kota uporabljamo trigonometrično formulo.
(2) Izvedemo umetno transformacijo: Delimo v imenovalcu in pomnožimo z .
(3) Z znano formulo v imenovalcu pretvorimo ulomek v tangento.
(4) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(5) Vzemite integral.

Nekaj ​​preprostih primerov, ki jih lahko rešite sami:

Primer 18

Poiščite nedoločen integral

Opomba: prvi korak bi morala biti uporaba formule za zmanjšanje in previdno izvajajte dejanja, podobna prejšnjemu primeru.

Primer 19

Poiščite nedoločen integral

No, to je zelo preprost primer.

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Mislim, da zdaj nihče ne bo imel težav z integrali:
in tako naprej.

Kakšna je ideja metode? Zamisel je, da s transformacijami in trigonometričnimi formulami organiziramo samo tangente in tangentni odvod v integrand. To pomeni, da govorimo o zamenjavi: . V primerih 17-19 smo dejansko uporabili to zamenjavo, vendar so bili integrali tako preprosti, da smo opravili z enakovrednim dejanjem - funkcijo podstavili pod diferencialni predznak.

Podobno sklepanje, kot sem že omenil, lahko izvedemo za kotangens.

Obstaja tudi formalni predpogoj za uporabo zgornje zamenjave:

Vsota potenc kosinusa in sinusa je negativno celo SODNO število, Na primer:

za integral – negativno celo SODO število.

! Opomba : če integrand vsebuje SAMO sinus ali SAMO kosinus, se tudi integral vzame za negativno liho stopnjo (najenostavnejši primeri so v primerih št. 17, 18).

Oglejmo si nekaj bolj smiselnih nalog, ki temeljijo na tem pravilu:

Primer 20

Poiščite nedoločen integral

Vsota potenc sinusa in kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativno celo SODNO število, kar pomeni, da lahko integral reduciramo na tangente in njen odvod:

(1) Preoblikujemo imenovalec.
(2) Z dobro znano formulo dobimo .
(3) Preoblikujemo imenovalec.
(4) Uporabljamo formulo .
(5) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(6) Izvajamo zamenjavo. Bolj izkušeni učenci morda ne bodo izvedli zamenjave, vendar je vseeno bolje, da tangento zamenjate z eno črko - manj je nevarnosti, da bi se zmedli.

Primer 21

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Drži se, prvenstveni krogi se bodo začeli =)

Pogosto integrand vsebuje "mešanico":

Primer 22

Poiščite nedoločen integral

Ta integral na začetku vsebuje tangento, ki takoj pripelje do že znane misli:

Umetno preobrazbo bom pustil na samem začetku in preostale korake brez komentarja, saj je bilo vse že obravnavano zgoraj.

Nekaj ​​ustvarjalnih primerov za lastno rešitev:

Primer 23

Poiščite nedoločen integral

Primer 24

Poiščite nedoločen integral

Da, v njih seveda lahko znižate moči sinusa in kosinusa ter uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo, vendar bo rešitev veliko učinkovitejša in krajša, če bo izvedena skozi tangente. Celotna rešitev in odgovori na koncu lekcije

Pokličemo funkcijo F(x), ki jo je mogoče diferenciirati v danem intervalu X antiderivacija funkcije f(x) ali integral od f(x), če za vsak x ∈X velja naslednja enakost:

F " (x) = f(x). (8.1)

Iskanje vseh protiodvodov za dano funkcijo se imenuje njeno integracija. Funkcija nedoločenega integrala f(x) na danem intervalu X je množica vseh antiizpeljanih funkcij za funkcijo f(x); oznaka -

Če je F(x) neka antiodpeljava funkcije f(x), potem je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

kjer je C poljubna konstanta.

Tabela integralov

Neposredno iz definicije dobimo glavne lastnosti nedoločenega integrala in seznam tabelarnih integralov:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2) ∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Seznam tabelarnih integralov

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Spremenljiva zamenjava

Za integracijo številnih funkcij uporabite metodo zamenjave spremenljivk oz zamenjave, kar vam omogoča redukcijo integralov v tabelarično obliko.

Če je funkcija f(z) zvezna na [α,β], ima funkcija z =g(x) zvezen odvod in α ≤ g(x) ≤ β, potem

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Poleg tega je treba po integraciji na desni strani izvesti zamenjavo z=g(x).

Za dokaz je dovolj, da prvotni integral zapišemo v obliki:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na primer:

Metoda integracije po delih

Naj sta u = f(x) in v = g(x) funkciji, ki imata zvezno . Potem, glede na delo,

d(uv))= udv + vdu ali udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv) bo antiizpeljanka očitno uv, tako da velja formula:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ta formula izraža pravilo integracija po delih. Vodi integracijo izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Recimo, da želite najti ∫xcosx dx. Postavimo u = x, dv = cosxdx, torej du=dx, v=sinx. Potem

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po delih ima bolj omejen obseg kot zamenjava spremenljivk. Obstajajo pa celi razredi integralov, npr.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax in drugi, ki se izračunajo natančno z integracijo po delih.

Določen integral

Koncept določenega integrala uvedemo na naslednji način. Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu. Odsek [a,b] razdelimo na n deli po točkah a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Imenuje se vsota oblike f(ξ i)Δ x i integralna vsota, in njena meja pri λ = maxΔx i → 0, če obstaja in je končna, se imenuje določen integral funkcije f(x) od a prej b in je označen:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) se v tem primeru imenuje integrabilen na intervalu, imenujemo števili a in b spodnja in zgornja meja integrala.

Za določen integral veljajo naslednje lastnosti:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Zadnja lastnost se imenuje izrek o srednji vrednosti.

Naj bo f(x) zvezen na . Potem je na tem segmentu nedoločen integral

∫f(x)dx = F(x) + C

in poteka Newton-Leibnizova formula, ki povezuje določeni integral z nedoločenim integralom:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrijska razlaga: določeni integral je ploščina krivuljnega trapeza, ki je od zgoraj omejen s krivuljo y=f(x), ravnima črtama x = a in x = b ter segmentom osi Ox.

Nepravilni integrali

Integrali z neskončnimi limiti in integrali diskontinuiranih (neomejenih) funkcij se imenujejo ne tvoja. Nepravilni integrali prve vrste - To so integrali v neskončnem intervalu, definirani na naslednji način:

(8.7)

Če ta meja obstaja in je končna, se imenuje konvergentni nepravilni integral f(x) na intervalu [a,+ ∞), in pokličemo funkcijo f(x). integrira v neskončnem intervalu[a,+ ∞). V nasprotnem primeru se pravi, da je integral ne obstaja ali se razhaja.

Nepravilne integrale na intervalih (-∞,b] in (-∞, + ∞) definiramo podobno:

Opredelimo pojem integrala neomejene funkcije. Če je f(x) zvezna za vse vrednosti x segment , razen točke c, v kateri ima f(x) neskončno diskontinuiteto, torej nepravilni integral druge vrste f(x) v razponu od a do b znesek se imenuje:

če te meje obstajajo in so končne. Oznaka:

Primeri integralnih izračunov

Primer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

rešitev. Označimo t = x+2, potem je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primer 3.31. Poiščite ∫ tgxdx.

rešitev.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Naj bo t=cosx, potem je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Primer3.32 . Poiščite ∫dx/sinx

rešitev.

Primer3.33. Najti .

rešitev. = .

Primer3.34 . Poiščite ∫arctgxdx.

rešitev. Integrirajmo po delih. Označimo u=arctgx, dv=dx. Potem je du = dx/(x 2 +1), v=x, od koder je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Ker
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

rešitev. Z uporabo formule integracije po delih dobimo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Potem je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

rešitev. Označimo u = e x, dv = sinxdx, potem je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Po delih integriramo tudi integral ∫e x cosxdx: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relacijo ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iz katere je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

rešitev. Ker je dx/x = dlnx, potem je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Z zamenjavo lnx skozi t pridemo do integrala tabele J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primer 3.38 . Izračunajte J = .

rešitev. Ob upoštevanju, da je = d(lnx), nadomestimo lnx = t. Potem J = .

Primer 3.39 . Izračunajte integral J = .

rešitev. Imamo: . Zato =
=
=. vnesete takole: sqrt(tan(x/2)).

In če v oknu z rezultati kliknete na Prikaži korake v zgornjem desnem kotu, boste dobili podrobno rešitev.

Za izračun tega integrala ga moramo, če je mogoče, z eno ali drugo metodo reducirati na tabelarični integral in tako najti želeni rezultat. V našem tečaju bomo obravnavali le nekatere najpogostejše tehnike integracije in navedli njihovo uporabo na najpreprostejših primerih.

Najpomembnejše metode integracije so:
1) metoda neposredne integracije (razširitvena metoda),
2) substitucijska metoda (metoda vnosa nove spremenljivke),
3) način integracije po delih.

I. Metoda neposredne integracije

Težavo iskanja nedoločenih integralov številnih funkcij rešimo tako, da jih reduciramo na enega od tabelnih integralov.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

Primer 3. ∫sin 2 xdx

Ker je sin 2 x=(1-cos2x), potem
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

Primer 4. ∫sinxcos3xdx

Ker je sinxcos3x=(sin4x-sin2x), imamo
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

Primer 5. Poiščite nedoločen integral: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

Primer 6.

II. Substitucijska metoda (integracija s spremembo spremenljivke)

Če ima funkcija x=φ(t) zvezni odvod, potem lahko v danem nedoločenem integralu ∫f(x)dx vedno preidete na novo spremenljivko t z uporabo formule

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Nato poiščite integral z desne strani in se vrnite k prvotni spremenljivki. V tem primeru se lahko izkaže, da je integral na desni strani te enačbe enostavnejši od integrala na levi strani te enačbe ali celo tabelarni. Ta metoda iskanja integrala se imenuje metoda spremembe spremenljivke.

Primer 7. ∫x√x-5dx

Da se znebimo korena, nastavimo √x-5=t. Zato je x=t 2 +5 in torej dx=2tdt. Pri zamenjavi imamo dosledno:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

Primer 8.

Od , potem imamo

Primer 9.

Primer 10. ∫e -x 3 x 2 dx

Uporabimo zamenjavo -x 3 =t. Potem imamo -3x 2 dx=dt in ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C

Primer 11.

Uporabimo zamenjavo 1+sinx=t, nato cosxdx=dt in

III. Metoda integracije po delih

Metoda integracije po delih temelji na naslednji formuli:

∫udv=uv-∫vdu

kjer so u(x),v(x) zvezno diferencibilne funkcije. Formula se imenuje formula integracije po delih. Ta formula kaže, da integral ∫udv vodi do integrala ∫vdu, ki se lahko izkaže za enostavnejšega od prvotnega ali celo tabelarnega.

Primer 12. Poiščite nedoločen integral ∫xe -2x dx

Neposredna integracija

Osnovne integracijske formule

1. C – konstanta 1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Računanje integralov z neposredno uporabo tabele enostavnih integralov in osnovnih lastnosti nedoločenih integralov imenujemo neposredna integracija.

Primer 1.

Primer 2.

Primer 3.

To je najpogostejša metoda integracije kompleksne funkcije, sestavljena iz transformacije integrala s premikom na drugo integracijsko spremenljivko.

Če je integral težko zmanjšati na tabelarični z uporabo elementarnih transformacij, se v tem primeru uporabi metoda zamenjave. Bistvo te metode je, da je možno z uvedbo nove spremenljivke ta integral reducirati na nov integral, ki ga je razmeroma enostavno vzeti neposredno.

Za integracijo z metodo zamenjave uporabite shemo rešitve:

2) poiščite diferencial iz obeh nadomestnih delov;

3) celoten integrand izrazite z novo spremenljivko (po kateri naj bi dobili tabelarni integral);

4) poiščite dobljeni integral tabele;

5) izvedite obratno zamenjavo.

Poišči integrale:

Primer 1 . Zamenjava:cosx=t,-sinxdx=dt,

rešitev:

Primer 2.∫e -x3 x 2 dx Zamenjava:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, rešitev:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

Primer 3.Zamenjava: 1+sinx=t, cosxdx=dt,

rešitev: .

ODDELEK 1.5. Določen integral, metode njegovega izračuna.

točka 1 Pojem določenega integrala

Naloga. Poiščite prirastek funkcije, ki je protiodvod funkcije f(x), pri posredovanju argumenta x od vrednosti a ceniti b.

rešitev. Predpostavimo, da je integracija ugotovila: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Potem F(x)+C 1, Kje C 1- katera koli dana številka bo ena od protiizpeljanih funkcij za to funkcijo f(x). Poiščimo njegov prirastek, ko se argument premakne od vrednosti a ceniti b. Dobimo:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Kot vidimo, v izrazu za prirastek antiderivacijske funkcije F(x)+C 1 ni konstantne vrednosti C 1. In ker pod C 1 je bilo nakazano katero koli dano število, dobljeni rezultat vodi do naslednjega zaključka: pri prehodu argumentov x od vrednosti x=a ceniti x=b vse funkcije F(x)+C, protiizpeljanke za dano funkcijo f(x), imajo enak prirastek enak F(b)-F(a).



Ta prirastek običajno imenujemo določeni integral in označen s simbolom: in se glasi: integral od A prej b iz funkcije f(x) čez dx ali na kratko integral od A prej b iz f(x)dx.

številka A klical spodnja meja integracija, št b - vrh; segment a ≤ x ≤ b – segment integracije. Predpostavlja se, da funkcija integranda f(x) neprekinjeno za vse vrednosti x, ki izpolnjuje pogoje: axb

Opredelitev. Prirastek protiizpeljanih funkcij F(x)+C pri prehodu argumentov x od vrednosti x=a ceniti x=b, enako razliki F(b)-F(a), imenujemo določen integral in ga označimo s simbolom: tako da če ∫ (x)dx = F(x)+C, potem = F(b)-F(a) - dano enakost imenujemo Newton-Leibnizova formula.

točka 2 Osnovne lastnosti določenega integrala

Vse lastnosti so formulirane v trditvi, da so obravnavane funkcije integrabilne v ustreznih intervalih.

točka 3 Neposredni izračun določenega integrala

Za izračun določenega integrala, ko lahko najdete ustrezen nedoločen integral, uporabite Newton–Leibnizovo formulo

tiste. določeni integral je enak razliki med vrednostmi katere koli antiderivacijske funkcije na zgornji in spodnji meji integracije.

Ta formula prikazuje postopek za izračun določenega integrala:

1) poiščite nedoločen integral te funkcije;

2) v dobljeni antiizpeljavo namesto argumenta nadomestimo najprej zgornjo in nato spodnjo mejo integrala;

3) odštejte rezultat zamenjave spodnje meje od rezultata zamenjave zgornje meje.

Primer 1: Izračunaj integral:

Primer 2: Izračunaj integral:

str.4 Izračun določenega integrala z metodo substitucije

Izračun določenega integrala z metodo substitucije je naslednji:

1) zamenjajte del integranda z novo spremenljivko;

2) najti nove limite določenega integrala;

3) poiščite diferencial iz obeh nadomestnih delov;

4) celoten integrand izrazite z novo spremenljivko (po kateri naj bi dobili tabelarni integral); 5) izračunajte dobljeni določeni integral.

Primer 1: Izračunaj integral:

Zamenjava: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

ODDELEK 1.6. Geometrijski pomen določenega integrala.

Območje ukrivljenega trapeza:

Znano je, da določen integral na odseku predstavlja območje krivolinijskega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije f(x).

Območje figure, omejene z določenimi črtami, je mogoče najti z uporabo določenih integralov, če so znane enačbe teh črt.

Naj bo na segmentu [a; b] podana je zvezna funkcija y = ƒ(x) ≥ 0. Poiščimo ploščino tega trapeza.

Območje figure, omejeno z osjo 0 x, dve navpični ravni črti x = a, x = b in graf funkcije y = ƒ(x) (slika), določen s formulo:

To je geometrijski pomen določenega integrala.

Primer 1: Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

rešitev: Naredimo risbo (upoštevajte, da enačba y=0 določa os Ox).

odgovor: S = 9 enot 2

Primer 2: Izračunajte ploščino figure, ki jo omejujejo črte: y= - e x, x=1 in koordinatne osi.

Rešitev: Narišimo.
Če je ukrivljen trapez v celoti nahaja pod osjo Ox, potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

V tem primeru:

Pozor! Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

ODDELEK 1.7. Uporaba določenega integrala

str.1 Izračun prostornine vrtilnega telesa

Če ukrivljeni trapez meji na os Ox in ravne črte y=a, y=b in graf funkcije y= F(x) (slika 1), potem je prostornina vrtilnega telesa določena s formulo, ki vsebuje integral.

Prostornina vrtilnega telesa je enaka:

primer:

Poiščite prostornino telesa, ki je omejena z vrtilno površino premice okoli osi Ox pri 0≤ x ≤4.

rešitev: V

enote 3. Odgovor: enota 3.

ODDELEK 3.1. Navadne diferencialne enačbe

točka 1 Pojem diferencialne enačbe

Opredelitev. Diferencialna enačba je enačba, ki vsebuje funkcijo niza spremenljivk in njihovih odvodov.

Splošna oblika takšne enačbe je =0, kjer je F znana funkcija svojih argumentov, določena v fiksni domeni; x - neodvisna spremenljivka (spremenljivka, po kateri se diferencira); - odvod odvisne spremenljivke y glede na neodvisno spremenljivko x.

točka 2 Osnovni pojmi diferencialne enačbe

Po vrstnem redu diferencialne enačbe se imenuje vrstni red največjega odvoda, ki je v njej vključen.

Na primer:

Enačba drugega reda je enačba prvega reda.

Vsaka funkcija, ki povezuje spremenljivke in spremeni diferencialno enačbo v pravo enakost, se imenuje odločitev diferencialna enačba.

Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda je funkcija in poljubne konstante C, ki spremeni to enačbo v identiteto v .

Splošna rešitev, zapisana v implicitni obliki =0, se imenuje splošni integral.

Zasebna odločitev enačba =0 je rešitev, dobljena iz splošne rešitve za fiksno vrednost - fiksno število.

Problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe n-tega reda (n= 1,2,3,...), ki izpolnjuje začetne pogoje oblike

klical Cauchyjeva težava.

točka 3 Diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Diferencialna enačba prvega reda se imenuje ločljiva enačba, če jo je mogoče predstaviti kot prepisati kot . če . Integrirajmo: .

Za rešitev te enačbe potrebujete:

1. Ločene spremenljivke;

2. Z integracijo enačbe z ločenimi spremenljivkami najti splošno rešitev te enačbe;

3. Poiščite partikularno rešitev, ki zadošča začetnim pogojem (če so podani).

Primer 1. Reši enačbo. Poiščite določeno rešitev, ki izpolnjuje pogoj y=4 pri x=-2.

rešitev: To je enačba ločene spremenljivke. Z integracijo najdemo splošno rešitev enačbe: . Za enostavnejšo splošno rešitev predstavimo konstantni člen na desni strani v obliki C/2. Imamo ali smo splošno rešitev. Če nadomestimo vrednosti y=4 in x=-2 v splošno rešitev, dobimo 16=4+C, iz česar je C=12.

Torej ima določena rešitev enačbe, ki izpolnjuje ta pogoj, obliko

Primer 2. Poiščite določeno rešitev enačbe, če .

rešitev:, , , , , skupna odločitev.

Vrednosti x in y nadomestimo v zasebno rešitev: , , zasebna rešitev.

Primer 3. Poiščite splošno rešitev enačbe . Rešitev: ,, , - skupna odločitev.

točka 4 Diferencialne enačbe reda višjega od prvega

Enačba oblike ali je rešena z dvojno integracijo: , , od koder . Z integracijo te funkcije dobimo novo funkcijo f(x), ki jo označimo s F(x). Tako, ; . Ponovno integrirajmo: ali y=Ф(x). Dobili smo splošno rešitev enačbe, ki vsebuje dve poljubni konstanti in .

Primer 1. Reši enačbo.

rešitev:, , ,

Primer 2. Reši enačbo . Rešitev: , , .

ODDELEK 3.2. Številčne serije, njeni člani

Definicija 1.Serije številk se imenuje izraz v obliki ++…++…, (1)

Kje , , …, , … - števila, ki pripadajo določenemu številskemu sistemu.

Tako lahko govorimo o pravih serijah, za katere R, o kompleksnih serijah, za katere C,i= 1, 2, …, n, ... = =.

Oddelek 3.3. Osnove teorije verjetnosti in matematične statistike



 

Morda bi bilo koristno prebrati: