Момент кількості руху системи. Зміна моменту кількості руху

У деяких завданнях як динамічна характеристика точки, що рухається, замість самої кількості руху розглядають його момент щодо будь-якого центру або осі. Ці моменти визначаються як і моменти сили.

Моментом кількістю руху матеріальної точки щодо деякого центру Про називається вектор, який визначається рівністю

Момент кількості руху точки називають також кінетичним моментом .

Момент кількості руху щодо будь-якої осі, що проходить через центр Про, дорівнює проекції вектора кількості руху на цю вісь.

Якщо кількість руху задано своїми проекціями на осі координат і дано координати точки у просторі, то момент кількості руху щодо початку координат обчислюється так:

Проекції моменту кількості руху на осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання кількості руху на СІ є – .

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Динаміка

Лекція.. короткий зміст введення в динаміку аксіоми класичної механіки.. введення.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Системи одиниць
СГС Сі Технічна [L] см м м [M]

Диференціальні рівняння руху точки
Основне рівняння динаміки можна записати так

Основні завдання динаміки
Перше чи пряме завдання: Відома маса точки та закон її руху, необхідно знайти діючу на точку силу. m

Найбільш важливі випадки
1. Сила стала.

Кількість руху точки
Кількість руху матеріальної точки називається вектор, рівний добутку м

Елементарний та повний імпульс сили
Дія сили на матеріальну точку протягом часу

Теорема про зміну кількості руху точки
Теорема. Похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі. Запишемо основний закон динаміки

Теорема про зміну моменту кількості руху точки
Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо якогось центру, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж

Робота сил. Потужність
Одна з основних характеристик сили, що оцінюють дію сили на тіло при його переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії точки
Теорема. Диференціал кінетичної енергії точки дорівнює елементарній роботі сили, що діє на точку.

Принцип Даламбера для матеріальної точки
Рівняння руху матеріальної точки щодо інерційної системи відліку під дією прикладених активних сил та сил реакції зв'язків має вигляд:

Динаміка невільної матеріальної точки
Невільною матеріальною точкою називається точка, свобода руху якої обмежена. Тіла, що обмежують свободу руху точки, називаються зв'язками

Відносний рух матеріальної точки
У багатьох завданнях динаміки рух матеріальної точки розглядається щодо системи відліку, що рухається щодо інерційної системи відліку.

Окремі випадки відносного руху
1. Відносний рух за інерцією Якщо матеріальна точка рухається щодо рухомої системи відліку прямолінійно та рівномірно, то такий рух називається відносним.

Геометрія мас
Розглянемо механічну систему, що складається з кінцевого числа матеріальних точок з масами

Моменти інерції
Для характеристики розподілу мас у тілах під час розгляду обертальних рухів потрібно запровадити поняття моментів інерції. Момент інерції щодо точки

Моменти інерції найпростіших тіл
1. Однорідний стрижень 2. Прямокутна пластина 3. Однорідний круглий диск

Кількість руху системи
Кількість руху системи матеріальних точок називається векторна сума кількостей

Теорема про зміну кількості руху системи
Ця теорема існує у трьох різних формах. Теорема. Похідна за часом від кількості руху системи дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють

Закони збереження кількості руху
1. Якщо головний вектор усіх зовнішніх сил системи дорівнює нулю (), то кількість руху системи постійно

Теорема про рух центру мас
Теорема Центр мас системи рухається так само, як і матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи, якщо на точку діють всі зовнішні сили, прикладені до розм

Момент кількості руху системи
Моментом кількості руху системи матеріальних точок щодо деякого

Момент кількості руху твердого тіла щодо осі обертання при обертальному русі твердого тіла
Обчислимо момент кількості руху твердого тіла щодо осі обертання.

Теорема про зміну моменту кількості руху системи
Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху системи, взятого щодо якогось центру, дорівнює векторній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на

Закони збереження моменту кількості руху
1. Якщо головний момент зовнішніх сил системи щодо точки дорівнює нулю (

Кінетична енергія системи
Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій усіх точок системи.

Кінетична енергія твердого тіла
1. Поступальний рух тіла. Кінетична енергія твердого тіла при поступальному русі обчислюється так само, як і для однієї точки, у якої маса дорівнює масі цього тіла.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи
Ця теорема існує у двох формах. Теорема. Диференціал кінетичної енергії системи дорівнює сумі елементарних робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на системі

Момент кількості руху точки називають також кінетичним моментом .

Проекції моменту кількості руху на осі координат дорівнюють:

Одиницею вимірювання кількості руху на СІ є – .

Теорема про зміну моменту кількості руху точки.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо якогось центру, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Доказ: Продиференціюємо момент кількості руху за часом

, , отже, (*)

що й потрібно було довести.

Теорема. Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо будь-якої осі, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо тієї ж осі.

Для підтвердження достатньо спроектувати векторне рівняння (*) на цю вісь. Для осі це виглядатиме так:

Наслідки з теорем:

1. Якщо момент сили щодо точки дорівнює нулю, то момент кількості руху щодо цієї точки величина стала.

2. Якщо момент сили щодо осі дорівнює нулю, то момент кількості руху щодо цієї осі величина стала.

Робота сил. Потужність.

Одна з основних характеристик сили, що оцінюють дію сили на тіло при його переміщенні.

Елементарна робота сили скалярна величина дорівнює добутку елементарного переміщення на проекцію сили цього переміщення.

Одиницею виміру роботи у СІ є –

При при

Приватні випадки:

Елементарне переміщення дорівнює диференціалу радіусу вектора точки докладання сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку сили на елементарне переміщення або диференціал радіуса вектора точки докладання сили.

Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку елементарного імпульсу сили швидкість точки.

Якщо сила задана своїми проекціями () на осі координат та елементарне переміщення задано своїми проекціями () на осі координат, то елементарна робота сили дорівнює:

(Аналітичне вираження елементарної роботи).

Робота сили будь-якому кінцевому переміщенні дорівнює взятому вздовж цього переміщення інтегралу від елементарної роботи.

Потужністю сили називається величина, що визначає роботу, що здійснюється силою в одиницю часу. У випадку потужність дорівнює першої похідної за часом від роботи.

Потужність дорівнює скалярному добутку сили на швидкість.

Одиницею вимірювання потужності СІ є –

У техніці за одиницю сили приймається .

Приклад 1. Робота сили тяжіння.

Нехай точка М, яку діє сила тяжкості Р, переміщається з положення у становище. Виберемо осі координат так, щоб вісь була спрямована вертикально нагору.

Тоді, , , і

Робота сили тяжіння дорівнює взятому зі знаком плюс або мінус добутку модуля сили на вертикальне переміщення точки її застосування. Робота позитивна, якщо початкова точка вище кінцевої, і негативна, якщо початкова точка нижче кінцевої.

Приклад 2. Робота сили пружності.

Розглянемо матеріальну точку закріплену на пружному елементі жорсткості с, яка здійснює коливання вздовж осі х. Сила пружності (або сила, що відновлює) . Нехай точка М, яку діє лише сила пружності, переміщається з положення в положення . ( , ).

Потужність пари сил дорівнює

Кінетична енергія точки

Кінетичною енергією матеріальної точки (або її живою силою) називають половину добутку маси крапки на квадрат її швидкості.

Розглянемо матеріальну точку Mмасою m, що рухається під дією сили F(Рисунок 3.1). Запишемо та побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M 0матеріальної точки щодо центру O:

Малюнок 3.1

Диференціюємо вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k 0) по часу:

Так як dr/dt=V, то векторний твір V × m∙V(колінеарних векторів Vі m∙V) дорівнює нулю. В той же час d(m∙V)/dt=Fвідповідно до теореми про кількість руху матеріальної точки. Тому отримуємо, що

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

де r×F = M 0 (F)- Вектор-момент сили Fщодо нерухомого центру O. Вектор k 0⊥ площині ( r, m×V), а вектор M 0 (F)⊥ площині ( r, F), остаточно маємо

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Проеціюючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z / dt = M z (F). (3.5)

Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

Розглянемо слідства, які з теорем (3.4) і (3.5).

Наслідок 1

Розглянемо випадок, коли сила Fу весь час руху точки проходить через нерухомий центр O(Випадок центральної сили), тобто. коли M 0 (F) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, що k 0 = const, тобто. у разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки щодо центру цієї сили залишається постійним за модулем та напрямом(Рисунок 3.2).

Малюнок 3.2

З умови k 0 = constслід, що траєкторія точки, що рухається, являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.

Наслідок 2

Нехай Mz(F) = 0, тобто. сила перетинає вісь zчи паралельна їй.

В цьому випадку, як видно з третього з рівнянь (3.5), k z = const, тобто. якщо момент чинної точки сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки щодо цієї осі залишається постійним.

1. Алгебраїчниймомент кількості руху щодо центру. Алгебраїчний Про-- скалярна величина, взята зі знаком (+) або (-) і дорівнює добутку модуля кількості руху mна відстань h(перпендикуляр) від цього центру до лінії, вздовж якої направлений вектор m:
2. Векторний момент кількості руху щодо центру.

вектормомент кількості руху матеріальної точки щодо деякого центру Про --вектор, прикладений у цьому центрі і спрямований перпендикулярно до площини векторів. mі у той бік, звідки рух точки видно проти ходу годинникової стрілки. Це визначення задовольняє векторну рівність

Моментом кількості рухуматеріальної точки щодо деякої осі zназивається скалярна величина, взята зі знаком (+) або (-) і дорівнює добутку модуля векторні проекції кількості руху на площину, перпендикулярну до цієї осі, на перпендикуляр h,опущений з точки перетину осі з площиною на лінію, вздовж якої спрямована вказана проекція:

Кінетичний момент механічної системи щодо центру та осі

1. Кінетичний момент щодо центру.

Кінетичним моментомабо головним моментом кількостей руху механічної системи щодо деякого центруназивається геометрична сума моментів кількостей руху всіх матеріальних точок системи щодо того самого центру.

2. Кінетичний момент щодо осі.

Кінетичним моментом чи головним моментом кількостей руху механічної системи щодо деякої осі називається алгебраїчна сума моментів кількостей руху всіх матеріальних точок системи щодо тієї ж осі.

3. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі z з кутовою швидкістю.

Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки щодо центру та осі

1. Теорема моментів щодо центру.

Похідназа часом від моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякого нерухомого центру дорівнює моменту сили, що діє на точку, щодо того ж центру

2. Теорема моментів щодо осі.

Похідназа часом від моменту кількості руху матеріальної точки щодо деякої осі дорівнює моменту сили, що діє на точку, щодо тієї ж осі

Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи щодо центру та осі

Теорема моментів щодо центру.

Похідназа часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякого нерухомого центру дорівнює геометричній сумі моментів всіх зовнішніх сил, які діють систему, щодо того ж центру;

Слідство.Якщо головний момент зовнішніх сил щодо деякого центру дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цього центру не змінюється (закон збереження кінетичного моменту).

2. Теорема моментів щодо осі.

Похідназа часом від кінетичного моменту механічної системи щодо деякої нерухомої осі дорівнює сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють на систему щодо цієї осі

Слідство.Якщо головний момент зовнішніх сил щодо певної осі дорівнює нулю, то кінетичний момент системи щодо цієї осі не змінюється.

Наприклад, = 0, тоді L z = Const.

Робота та потужність сил

Робота сили- скалярний захід дії сили.

1. Елементарна робота сили.

Елементарнаробота сили - це нескінченно мала скалярна величина, що дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор нескінченного малого переміщення точки докладання сили: ; - збільшення радіуса-вектора точки докладання сили, годографом якого є траєкторія цієї точки. Елементарне переміщення точки по траєкторії збігається з в силу їх дещиці. Тому

якщо то dA > 0;якщо, то dA = 0;якщо , то dA< 0.

2. Аналітичний вираз елементарної роботи.

Представимо вектори і dчерез їх проекції на осі декартових координат:

, . Отримаємо (4.40)

3. Робота сили на кінцевому переміщенні дорівнює інтегральній сумі елементарних робіт на цьому переміщенні

Якщо сила стала, а точка її застосування переміщається прямолінійно,

4. Робота сили тяжіння. Використовуємо формулу: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

де h-переміщення точки застосування сили по вертикалі вниз (висота).

При переміщенні точки застосування сили тяжіння вгору A 12 = -mgh(крапка М 1 -- внизу, M 2 - вгорі).

Отже, . Робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії. При русі замкнутою траєкторією ( M 2 збігається з М 1 ) робота дорівнює нулю.

5. Робота сили пружності пружини.

Пружина розтягується лише вздовж осі х:

F y = F z = О, F x = = -Сх;

де – величина деформації пружини.

При переміщенні точки докладання сили з нижнього положення у верхній напрямок сили та напрямок переміщення збігаються, тоді

Тому робота сили пружності

Робота сил на кінцевому переміщенні; Якщо = const, то

де - Кінцевий кут повороту; , де п -число обертів тіла довкола осі.

Кінетична енергія матеріальної точки та механічної системи. Теорема Кеніга

Кінетична енергія- скалярний захід механічного руху.

Кінетична енергія матеріальної точки -скалярна позитивна величина, що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості,

Кінетична енергія механічної системиарифметична сума кінетичних енергій усіх матеріалів цієї системи:

Кінетична енергія системи, що складається з ппов'язаних між собою тіл, що дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій усіх тіл цієї системи:

Теорема Кеніга

Кінетична енергія механічної системиу загальному випадку її руху дорівнює сумі кінетичної енергії руху системи разом із центром мас та кінетичної енергії системи при її русі щодо центру мас:

де Vkc -швидкість k-й точки системи щодо центру мас.

Кінетична енергія твердого тіла при різному русі

Поступальний рух.

Обертання тіла навколо нерухомої осі . де - момент інерції тіла щодо осі обертання.

3. Плоскопаралельний рух. де - момент інерції плоскої фігури щодо осі, що проходить через центр мас.

При плоскому русітіла кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху тіла зі швидкістю центру мас та кінетичної енергії обертального руху навколо осі, що проходить через центр мас, ;

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки

Теорема у диференціальній формі.

Диференціалвід кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарній роботі сили, що діє на точку,

Теорема в інтегральній (кінцевій) формі.

ЗмінаКінетичної енергії матеріальної точки на деякому переміщенні дорівнює роботі сили, що діє на точку, на тому ж переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Теорема у диференціальній формі.

Диференціалвід кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на систему.

Теорема в інтегральній (кінцевій) формі.

ЗмінаКінетична енергія механічної системи на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до системи, на тому ж переміщенні. ; Для системи твердих тіл = 0 (за якістю внутрішніх сил). Тоді

Закон збереження механічної енергії матеріальної точки та механічної системи

Якщо на матеріальнуточку чи механічну систему діють лише консервативні сили, то будь-якому положенні точки чи системи сума кінетичної і потенційної енергій залишається величиною постійної.

Для матеріальної точки

Для механічної системи Т+ П= const

де Т+ П --повна механічна енергія системи.

Динаміка твердого тіла

Диференціальні рівняння руху твердого тіла

Ці рівняння можна отримати із загальних теорем динаміки механічної системи.

1. Рівняння поступального руху тіла - з теореми про рух центру мас механічної системи У проекціях на осі декартових координат

2. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі - з теореми про зміну кінетичного моменту механічної системи щодо осі, наприклад щодо осі

Оскільки кінетичний момент L z твердого тіла щодо осі, то якщо

Так як або, то рівняння можна записати у вигляді або форма запису рівняння залежить від того, що слід визначити в конкретній задачі.

Диференціальні рівняння плоскопаралельногорухи твердого тіла є сукупністю рівнянь поступальногоруху плоскої фігури разом з центром мас і обертальногорухи щодо осі, що проходить через центр мас:

Фізичний маятник

Фізичним маятникомназивається тверде тіло, що обертається навколо горизонтальної осі, що не проходить через центр мас тіла, і рухається під дією сили тяжіння.

Диференціальне рівняння обертання

У разі малих вагань.

Тоді, де

Вирішення цього однорідного рівняння.

Нехай при t=0Тоді

-- рівняння гармонійних коливань.

Період коливань маятника

Наведена довжинафізичного маятника - це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань фізичного маятника.

Момент кількості руху момент кількості руху

(кінетичний момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механічного руху тіла чи системи тіл щодо якогось центру (точки) чи осі. Для обчислення моменту кількості руху Kматеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, як і обчислення моменту сили, якщо замінити у яких вектор сили на вектор кількості руху mv, тобто. K = [r· mv], де r- Відстань до осі обертання. Сума моментів кількості руху всіх точок системи щодо центру (осі) називається головним моментом кількості руху системи (кінетичним моментом) щодо цього центру (осі). При обертальному русі твердого тіла головний момент кількості руху щодо осі обертання z I zна кутову швидкість ω тіла, тобто. K z = I zω.

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ

МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ (кінетичний момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механічного руху тіла або системи тіл щодо будь-якого центру (точки) або осі. Для обчислення моменту кількості руху Доматеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, як і обчислення моменту сили (див.МОМЕНТ СИЛИ)якщо замінити в них вектор сили на вектор кількості руху mv, зокрема K 0 = [r· mv]. Сума моментів кількості руху всіх точок системи щодо центру (осі) називається головним моментом кількості руху системи (кінетичним моментом) щодо цього центру (осі). При обертальному русі твердого тіла головний момент кількості руху щодо осі обертання zтіла виражається добутком моменту інерції (див.МОМЕНТ ІНЕРЦІЇ) I z на кутову швидкість w тіла, тобто. До Z = I z w.

Енциклопедичний словник. 2009 .

Дивитись що таке "момент кількості руху" в інших словниках:

- (Кінетичний момент, кутовий момент), один із заходів механіч. руху матеріальної точки чи системи. Особливо важливу роль М. до. д. грає при вивченні обертаючих. руху. Як і для моменту сили, розрізняють М. до. д. щодо центру (точки) і… Фізична енциклопедія

- (кінетичний момент Момент імпульсу, кутовий Момент), міра механічного руху тіла чи системи тіл щодо якогось центру (точки) чи осі. Для обчислення моменту кількості руху До матеріальної точки (тіла) справедливі самі… Великий Енциклопедичний словник

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, яка залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі.

момент кількості руху- кінетичний момент, один із заходів механічного руху матеріальної точки або системи. Особливо важливу роль момент кількості руху грає щодо обертального руху. Як і моменту сили, розрізняють момент… … Енциклопедичний словник з металургії

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, lygus dalelės padėties vektoriaus is tam tikro taško y. L = r · p; čia L – judesio kiekio momento… …

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas t sritis standartizacija ir metrologija apibrėžtis materialiojo taško arba dalelės spindulio vectoriaus ir judesio kiekio vektorinė sandauga. Dažniausiai apibūdina sukamąjį judesį taško arba ašejs, iš kurios yra… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

момент кількості руху- judesio kiekio momentas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular moment; moment of momentum; rotation moment vok. Drehimpuls, m; Impulsmoment, n; Rotationsmoment, n rus. момент імпульсу, m; момент кількості руху, м; кутовий момент … Fizikos terminų žodynas

Кінетичний момент, один із заходів механічного руху матеріальної точки або системи. Особливо важливу роль М. до. д. грає при вивченні обертального руху. Як і для моменту сили (…). Велика Радянська Енциклопедія

- (Кінетич. момент, момент імпульсу, кутовий момент), міра механич. рухи тіла або системи тіл щодо к. л. центру (точки) або осн. Для обчислення М. до. д. До матеріальної точки (тіла) справедливі самі формули, що й у обчислення моменту … Природознавство. Енциклопедичний словник

Те саме, що момент імпульсу. Великий енциклопедичний політехнічний словник

Книги

Твори, Карл Маркс. Другий том Творів К. Маркса та Ф. Енгельса містить твори, написані з вересня 1844 до лютого 1846 року. Наприкінці серпня 1844 р. у Парижі відбулася зустріч Маркса та Енгельса,...
Теоретична механіка. Динаміка металоконструкцій, В. Н. Шинкін. Розглянуто основні теоретичні та практичні питання динаміки матеріальної системи та аналітичної механіки за такими темами: геометрія мас, динаміка матеріальної системи та твердого…

Можливо, буде корисно почитати: