Випадкова величина x задана функцією щільності розподілу. Числові характеристики безперервної випадкової величини

Математичне очікування

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.
2. Умова нормування:

Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність потрапляння випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою

Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:

Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює ймовірності прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йтися лише про ймовірність попадання в заданий інтервал. Нехай:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з крапок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції густини ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), одна із форм закону розподілу, але на відміну функції розподілу, вона універсальна: щільність розподілу існує лише безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіших у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш від середнього (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) густини ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, при цьому. Знайти коефіцієнт Аймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:


	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:


p i		0,24

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: , або:


	q n					p n

У ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 =1 - відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному з яких подія A має ймовірність появи p (і не появи q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що імовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

X 2

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіяння) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величина задається розподілом:

			10м

Визначити її числові показники.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Оскільки функція розподілу,

для , то

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

–5

X 2 :

X 2

. , де - Функція Лапласа.

Значення цієї функції перебувають за допомогою таблиці.

У нашому випадку: .

За таблицею знаходимо: , отже:

Поняття математичного очікування М(Х) та дисперсії D(X), введені раніше для дискретної випадкової величини, можна поширити на безперервні випадкові величини.

· Математичне очікування М(Х) безперервної випадкової величини Х визначається рівністю:

за умови, що це інтеграл сходиться.

· Дисперсія D(X) безперервної випадкової величини Хвизначається рівністю:

· Середнє квадратичне відхиленняσ( Х) безперервної випадкової величини визначається рівністю:

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання 5.3.Випадкова величина Хзадана диференціальною функцією f(x):

Знайти M(X), D(X), σ( Х), а також P(1 < х< 5).

Рішення:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Завдання

5.1. Х

f(x), а також

Р(‒1/2 < Х< 1/2).

5.2. Безперервна випадкова величина Хзадана функцією розподілу:

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π /9< Х< π /2).

5.3. Безперервна випадкова величина Х

Знайти: а) число з; б) М(Х), D(X).

5.4. Безперервна випадкова величина Хзадана щільністю розподілу:

Знайти: а) число з; б) М(Х), D(X).

5.5. Х:

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ( Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях величина Хнабуде рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

5.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ( Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Хприйме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

5.7. Функція f(х) Задано у вигляді:

з Х; б) функцію розподілу F(x).

5.8. Функція f(x) Задано у вигляді:

Знайти: а) значення постійної з, при якій функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

5.9. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= Хприйме значення: а) менше 5; б) не менше 7.

5.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення: а) менше 2; б) менше 4.

5.11.

Знайти: а) число з; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х > М(Х)).

5.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х ≤ М(Х)).

5.13. Розподіл Рем'я задається щільністю ймовірності:

Довести, що f(x) дійсно є щільністю розподілу ймовірностей.

5.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

Знайти число з.

5.15. Випадкова величина Хрозподілена за законом Сімпсона (рівностегнового трикутника) на відрізку [-2; 2] (рис. 5.4). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.

Мал. 5.4 Мал. 5.5

5.16. Випадкова величина Хрозподілена згідно із законом "прямокутного трикутника" в інтервалі (0;4) (рис. 5.5). Знайти аналітичний вираз для щільності ймовірності f(x) по всій числової осі.

Відповіді

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<Х< π /2)=1/2.

5.3. а) з= 1/6, б) М(Х)=3 , в) D(X)=26/81.

5.4. а) з=3/2, б) М(Х)=3/5, в) D(X)=12/175.

б) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( Х)= /3.

б) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( Х)= 1,893.

5.7. а) з =; б)

5.8. а) з= 1/2; б)

5.9. а) 1/4; б) 0.

5.10. а) 3/5; б) 1.

5.11. а) з= 2; б) М(Х)= 2; в 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(Х)= π /2; б) 1/2

Можливо, буде корисно почитати: