Усі системи обчислення. Позиційна система числення

Як тільки люди почали рахувати, у них з'явилася потреба в записі чисел. Археологи знаходили на стоянках первісних людей свідчення того, що спочатку майже будь-яка кількість записувалася просто тотожною йому кількістю значків: паличок, крапок, рисочок. Така система називається одиничною (унарною). Будь-яке число в системі записується повторенням одного знака, який символізує одиницю.

Незважаючи на давнину цієї системи вона використовується і до сьогодні, першокласників вчать рахувати на паличках, а для визначення курсу, на якому зараз навчається курсант військового училища, слід порахувати кількість смужок, нашитих на його рукаві.

Унарна система – не самий зручний спосібзапису чисел, запис займає багато місця і монотонність запису призводить до помилок, тому з часом почали з'являтися зручніші системи числення.

Десяткова давньоєгипетська система числення

У Стародавніх Єгиптян була дуже зручна система числення, в ній були знаки, що позначають ключові числа: 1, 10, 100 і т. д. Інші числа записували за допомогою додавання. Позначення деяких чисел представлено малюнку 1 .

Нині система не використовується.

Римська система числення

Ця система збереглася без змін до наших днів. З'явилася вона більш ніж дві з половиною тисячі років тому Стародавньому Римі. В її основі лежали знаки I (палець руки) для числа 1, V (п'ятірня) для числа 5, X (дві руки) для числа 10. А для позначення 100, 500 та 1000 застосовували перші літери латинських назв (centum – сто, demimille) – половина тисячі, mille – тисяча). Щоб записати число римляни використовували як суми, як єгиптяни, а й різницю. Для цього застосовувалося просте правило: кожен менший знак, що стоїть після більшого, додається до його значення, а стоїть перед. великим знакомвіднімається від його значення. Таким чином IX – позначає 9, а XI – 11 .

Римськими цифрами користуються до цього дня, і використовують для найменування розділів, підрозділів книг, століть, так само їх часто пишуть на годиннику.

Алфавітні системи числення

До таких систем належать: грецька, слов'янська, фінська та інші. Тут числа від 1 до 9, від 10 до 90 та від 100 до 900 позначалися літерами алфавіту. У Стародавню Греціюцифри позначалися першими дев'ятьма літерами грецького алфавіту. Числа від 10 до 90 – наступними дев'ятьма. І від 100 до 900 – останніми дев'ятьма літерами римського алфавіту. У слов'ян числові значеннявідповідали буквам по порядку. Спочатку для цього використовувалася глаголиця, а потім і кирилиця. У Росії її така нумерація збереглася остаточно XVII століття. Потім Петро I привіз з-за кордону арабську нумерацію, яку ми використовуємо донині.

Система зчислення - це спосіб зображення чисел та відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційніі позиційні. Знаки, що використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення значення цифри не залежить від положення в числі.

Прикладом непозиційної системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі як цифри використовуються латинські літери:

приклад 1.Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і дорівнює двомстам тридцяти двом.

У римських числах цифри записуються зліва направо порядку спадання. У разі їх значення складаються. Якщо ж ліворуч записана менша цифра, а праворуч - більша, їх значення віднімаються.

приклад 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 - 1 = 4.

приклад 3.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою позиційної системи числення.

Система числення, що застосовується в сучасній математиці, є позиційною десятковою системою. Її основа дорівнює десяти, т.к. запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти з прикладу будь-якого багатозначного числа. Наприклад, серед 333 перша трійка означає три сотні, друга - три десятки, третя - три одиниці.

Для запису чисел у позиційній системі з основою nпотрібно мати алфавітз nцифр. Зазвичай для цього при n < 10 используют nперших арабських цифр, а при n> 10 до 10 арабським цифрамдодають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:

Якщо потрібно вказати основу системи, до якої належить число, воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

У системі числення з основою q(q-ічна система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа q.qодиниць якогось розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-Ічної системи числення потрібно qрізних знаків (цифр), що зображують числа 0, 1, ..., q- 1. Запис числа qв q-Ічної системи числення має вигляд 10.

Розгорнута форма запису числа

Нехай Aq- Число в системі з основою q, аi -цифри даної системи числення, присутні у записі числа A, n+ 1 - число розрядів цілої частини числа m- Число розрядів дробової частини числа:

Розгорнутою формою числа Аназивається запис у вигляді:

Наприклад, для десяткового числа:

У наступних прикладах наводиться розгорнута форма шістнадцяткового та двійкового чисел:

У будь-якій системі числення її основа записується як 10.

Якщо всі складові в розгорнутій формі недесяткового числа подати в десятковій системі і обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, що дорівнює цьому. За цим принципом проводиться переведення з десяткової системи до десяткової. Наприклад, переведення в десяткову систему написаних вище чисел проводиться так:

Переведення десяткових чисел до інших систем числення

Переклад цілих чисел

Ціле десяткове число Xпотрібно перевести в систему з основою q:X= (a n a n-1 …a 1 a 0) q. Потрібно знайти значущі цифричисла: . Представимо число у розгорнутій формі та здійснимо тотожне перетворення:

Звідси видно, що a 0 є залишок від поділу числа Xна число q. Вираз у дужках - ціле приватне від цього поділу. Позначимо його за X 1. Виконуючи аналогічні перетворення, отримаємо:

Отже, a 1 є залишок від розподілу X 1 на q. Продовжуючи поділ із залишком, отримуватимемо послідовність цифр шуканого числа. Цифра anу цьому ланцюжку поділів буде останнім приватним, меншим q.

Сформулюємо отримане правило: для того щоб перевести ціле десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно:

1) підставу нової системи числення висловити у десятковій системі числення і всі наступні дії проводити за правилами десяткової арифметики;

2) послідовно виконувати розподіл даного числа та одержуваних неповних приватних на підставу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;

3) отримані залишки, які є цифрами числа новій системічислення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

4) скласти число у новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.

приклад 1.Перевести число 37 10 в двійкову систему.

Для позначення цифр у записі числа використовуємо символіку: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Звідси: 37 10 = l00l0l 2

приклад 2.Перекласти десяткове число 315 у вісімкову та шістнадцяткову системи:

Звідси випливає: 315 10 = 473 8 = 13B 16 . Нагадаємо, що 11 10 = B 16 .

Десятковий дріб X< 1 требуется перевести в систему с основаниемq:X= (0,a –1 a –2 …a–m+1 a-m) q. Потрібно знайти значні цифри числа: a –1 ,a –2 , …,a-m. Представимо число у розгорнутій формі та помножимо його на q:

Звідси видно, що a–1 є ціла частина твору Xна число q. Позначимо за X 1 дробову частину твору та помножимо її на q:

Отже, a –2 є ціла частина твору X 1 на число q. Продовжуючи множення, отримуватимемо послідовність цифр. Тепер сформулюємо правило: для того щоб перевести десятковий дріб у систему числення з іншою основою, потрібно:

1) послідовно множити дане число та одержувані дробові частини творів на основу нової системи доти, поки дробова частина твору не стане рівною нулю або не буде досягнуто необхідної точності представлення числа в новій системі числення;

2) отримані цілі частини творів, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

3) скласти дробову частину числа у новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

приклад 3.Перевести десятковий дріб 0,1875 у двійковий, вісімковий та шістнадцятковий системи.

Тут у лівому стовпці знаходиться ціла частина чисел, а правому - дробова.

Звідси: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Переклад змішаних чисел, Що містять цілу та дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа перекладаються окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа в новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової коми (точкою).

Двійкові обчислення

Згідно з принципом Джона фон Неймана, комп'ютер здійснює обчислення в двійковій системіобчислення. У межах базового курсу досить обмежитися розглядом обчислень із цілими двійковими числами. Для виконання обчислень із багатозначними числами необхідно знати правила додавання та правила множення однозначних чисел. Ось ці правила:

Принцип перестановки складання та множення працює у всіх системах числення. Прийоми виконання обчислень з багатозначними числами у двійковій системі аналогічні десятковій. Інакше висловлюючись, процедури складання, віднімання і множення “стовпчиком” і розподілу “куточком” у двійковій системі виробляються як і, як й у десятковій.

Розглянемо правила віднімання та розподілу двійкових чисел. Операція віднімання є зворотною по відношенню до додавання. З наведеної вище таблиці додавання випливають правила віднімання:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ось приклад віднімання багатозначних чисел:

Отриманий результат можна перевірити додаванням різниці з віднімається. Повинне вийти зменшуване число.

Поділ - операція зворотна до множення. У будь-якій системі числення ділити на 0 не можна. Результат поділу на 1 дорівнює ділимому. Розподіл двійкового числа на 10 2 веде до переміщення коми на один розряд вліво, подібно до десяткового поділу на десять. Наприклад:

Поділ на 100 зміщує кому на 2 розряди вліво і т.д. У базовому курсі можна розглядати складні приклади поділу багатозначних двійкових чисел. Хоча здібні учні можуть впоратися з ними, зрозумівши загальні принципи.

Подання інформації, що зберігається в комп'ютерній пам'яті в її справжньому двійковому вигляді, дуже громіздко через велику кількість цифр. Йдеться про запис такої інформації на папері або виведення її на екран. Для цих цілей прийнято використовувати змішану двійково-вісімкову або двійково-шістнадцяткову системи.

Існує простий зв'язок між двійковим та шістнадцятковим уявленням числа. При переведенні числа з однієї системи в іншу шістнадцятковій цифрі відповідає чотирирозрядний двійковий код. Ця відповідність відображена у двійково-шістнадцятковій таблиці:

Двійково-шістнадцяткова таблиця

Такий зв'язок заснований на тому, що 16 = 24 і число різних чотирирозрядних комбінацій з цифр 0 і 1 дорівнює 16: від 0000 до 1111. Тому переведення чисел з шістнадцяткових у двійкові і назад проводиться шляхом формального перекодуванняпо двійково-шістнадцятковій таблиці.

Ось приклад переведення 32-розрядного двійкового коду в 16-річну систему:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Якщо дано шістнадцяткове подання внутрішньої інформації, його легко перевести в двійковий код. Перевага шістнадцяткового уявлення полягає в тому, що воно в 4 рази коротше двійкового. Бажано, щоб учні запам'ятали двійково-шістнадцяткову таблицю. Тоді справді для них шістнадцяткове уявлення стане еквівалентним двійковому.

У двійково-вісімковій системі кожній вісімковій цифрі відповідає тріада двійкових цифр. Ця система дозволяє скоротити двійковий код утричі.

Лабораторна робота 1. «Системи числення»

Система числення – це правила запису чисел з допомогою заданого набору спеціальних знаків – цифр.

Людьми використовувалися різні способи запису чисел, які можна об'єднати у кілька груп: унарні, непозиційні та позиційні.

Дві перші становлять швидше історичний інтерес, оскільки мають дуже обмежене застосування нині.

Унарна система числення

Унарна система зчислення – це система числення, в якій для запису чисел використовується лише один знак – 1 («паличка»).

Наступне число виходить із попереднього додаванням нової 1; їх кількість (сума) дорівнює самому числу.

Саме така система застосовується для початкового навчання рахунку дітей (можна згадати «лічильні палички»).

Іншими словами, використання саме унарної системи виявляється важливим педагогічним прийомом для введення дітей у світ чисел та дій із ними.

Непозиційні система зчислення

Непозиційна система числення - система, в якій символи, що позначають ту чи іншу кількість, не змінюють значення залежно від розташування (позиції) у зображенні числа.

З непозиційних Найбільш поширеною вважатимуться римську систему числення.

У ній деякі базові числа позначені великими латинськими літерами:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

Всі інші числа будуються з базових комбінацій, причому:

якщо цифра зліва менше, ніж цифра справа, то ліва цифра віднімається з правої;

якщо цифра справа менше або дорівнює цифрі зліва, то ці цифри складаються;

Запис чисел у такій системі громіздкий і незручний, але ще більш незручним виявляється виконання в ній навіть найпростіших арифметичних операцій.

Зрештою, відсутність нуля та знаків для чисел більше M не дозволяють римськими цифрами записати будь-яке число (хоч би натуральне). Використовується система для нумерації.

Позиційні системи числення

Позиційними називаються системи числення, у яких значення кожної цифри зображенні числа визначається її становищем (позицією) у інших цифр.

Впорядкований набір символів (цифр) (а 0 , a v ..., а п ), використовується для представлення будь-яких чисел у заданій позиційній системі числення, називають її алфавітом,число символів (цифр) алфавіту р= п + 1 - її основою,а саму систему числення називають р-Річний.

Заснування позиційної системи числення - кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у даній системі числення.

Найзвичнішою для нас є десяткова система числення. Її алфавіт - (0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9), а основа р = 10, тобто в цій системі для запису будь-яких чисел використовується лише десять різних символів (цифр). Десятична система числення заснована на тому, що 10 одиниць кожного розряду об'єднуються в одну одиницю сусіднього старшого розряду, тому кожен розряд має вагу, що дорівнює ступеню 10. Отже, значення однієї і тієї ж цифри визначається її місцезнаходженням у зображенні числа, що характеризується ступенем числа 10. Наприклад, у зображенні числа 222.22 цифра 2 повторюється 5 разів, при цьому перша ліворуч цифра 2 означає кількість сотень (її вага дорівнює 10 2); друга - кількість десятків (її вага дорівнює 10 1), третя - кількість одиниць (її вага дорівнює 10 0), четверта - кількість десятих часток одиниці (її вага дорівнює 10 -1) і п'ята цифра - кількість сотих часток одиниці (її вага дорівнює 10 -2), тобто число 222.22 може бути розкладене за ступенями числа 10:

222.22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2 .

Аналогічно 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10 °;

1304.5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10 ° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10 ° + 1 10 -1 + 5 10 -2 .

У випадку для завдання р-річкової системи числення необхідно визначити основу рта алфавіт, що складається з ррізних символів (цифр) а р i = 1,...,нар.

Будь-яке число X pможна подати у вигляді полінома шляхом розкладання його за ступенями числа p:

послідовність з коефіцієнтів якого є скороченим записом числа X p :

Точка, що відокремлює цілу частину числа від дробової, служить для фіксації конкретних значень кожної позиції цієї послідовності цифр і є початком відліку.

Методи переведення чисел. Подання чисел у різних системахчислення

Перекладчисел з однієї системи числення до іншої

Те саме число може бути записано в різних системах числення.

Алгоритмперекладу цілих чисел з q -річної системи в p -ричну, при q > p

Для заміни вихідного числаX q рівним йому числомX p потрібно за правиламиq-річної арифметики цілочислово ділитиX q на нову основуp. Результати поділу, записані в порядку від останнього до першого, виявляться цифрами X p .

Оскільки коефіцієнти многочлена невідомі, позначимо їх ai; отримуємо:

Зазвичай описану процедуру подають у вигляді звичної по школі операції поділу:

Отже, отримали X 5 =443.

Перевіряємо правильність перекладу: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 .

Друге, на що потрібно звернути увагу – всі операції виконувались за правилами арифметики тієї системи числення, від якої здійснювався переклад(У розглянутому прикладі – десятковий).

Алгоритм перекладу цілих чисел з q -річної системи в p -ричну, при q< p

Для перекладу необхідно надати числоX q p-Річний арифметики.

X 6  X 10 , Х= 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Наведеними алгоритмами зручно користуватися під час переведення числа з десяткової системи на якусь іншу чи навпаки.

Вони працюють і для перекладу між будь-якими іншими системами числення, однак такий переклад буде утруднений тим, що всі арифметичні операції необхідно здійснювати за правилами вихідної (у першому алгоритмі) або кінцевої (у другому алгоритмі) системи.

З цієї причини перехід, наприклад X 3  X 8 простіше здійснити через проміжний перехід до 10-ї системи X 3  X 10  X 8 .

Алгоритм переведення правильного дробу при q > p

Результатом переведення правильного дробу 0,X q буде також правильний дріб 0,X p , який вийде в результаті множення вихідного дробу на нову основуpза правиламиq-Річний арифметики; ціла частина одержаного твору буде цифрою старшого розряду нового дробу; дробову частину отриманого твір слід знову помножити наpі т.д.

Приклад: 0,X 10  0,X 2 . 0, Х = 0,375 10

Тоді для отримання 0, X 2:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Таким чином, 0,375 10 = 0,011 2 .

Перевіряємо 0,011 = 0 * 2 -1 +1 * 2 -2 +1 * 2 -3 = 0,25 +1,125 = 0,375 10

Алгоритм переведення правильного дробу при q< p

Для перекладуX q  X p необхідно уявити числоX q у формі багаточлена та виконати всі операції за правиламиp-Річний арифметики.

Приклад: X 6  X 10 , Х 6 =0,234 6

Для цього

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Перевіряємо:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (похибка обчислень у разі отримання ір раціональних чисел}

Приклад: X 2  X 10 Х = 0,10101 2

Для цього

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Перевіряємо:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0.

Все вірно

Переказ чисел між системами числення 2 – 8 – 16

Приклади зображення чисел у цих системах числення наведено у таблиці 1

Таблиця 1. Системи числення	десяткова	Таблиця 1. Системи числення	десяткова

двійковаp = 2 Для переведення цілого двійкового числа в систему числення з основою rДля переведення цілого двійкового числа в систему числення з основоюдосить це двійкове число, починаючи з молодшого розряду, розбити на групи вp.

цифр кожна та кожну групу незалежно перевести до системи

Наприклад, для переведення числа 110001 2 в систему числення p = 8, потрібно розбити вихідне число на групи по три розряди праворуч наліво (8 = 2 3, отже, r = 3) і перевести в 8-річну систему числення: 110001 2 = 61 8 . Перевіряємо 110001 2 = 32 +16 +1 = 49 10 , 6 * 8 1 +1 * 8 0 = 49 10

Аналогічно, розбиваючи на групи по 4 двійкові цифри, отримаємо 110 001 2 = 31 16 .p = 2 Для переведення цілого двійкового числа в систему числення з основою Для перекладу цілого числа, записаного в системі числення з основоюДля переведення цілого двійкового числа в систему числення з основою-розрядним двійковим числом, доповнюючи його при необхідності незначними нулями до групиДля переведення цілого двійкового числа в систему числення з основоюцифр.

Приклад: представимо число D3 16 у двійковій системі числення:

Наприклад, 123 8 = 001010011 2 = 53 16 .

Завдання для самостійного виконання

Переведіть число X p p-річкової системи числення до X q q-річкової системи числення

X 5  X 10 , де X 5 =123

X 3  X 10 , де X 3 =102

X 10  X 4 , де X 10 =123

X 10  X 6 , де X 10 =548

X 5  X 3 , де X 3 =421

X 2  X 6 , де X 2 =0111001

X 2  X 16 , де X 2 =10011

X 2  X 8 , де X 2 =101010

X 16  X 2 , де X 16 =AD3

X 8  X 2 , де X 8 =5470

ІІ. Переведіть десяткове число у двійкове:

743 10, b) 334.12 10, c) 61.375, d) 160.25 10, e) 131.82 10

ІІІ. Переведіть десяткове число до шістнадцяткового числа:

445 10, b) 334.12 10, c) 261.375, d) 160.25 10, e) 131.82 10

Поодинока (унарна) система числення Список систем числення

Система зчислення:

дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);
дає кожному числу унікальну виставу (або, принаймні, стандартну виставу);
відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Системи числення поділяються на позиційні, непозиційніі змішані.

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення один і той же числовий знак (цифра) у записі числа має різні значенняв залежності від місця (розряду), де він розташований. Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам; розвинена була така нумерація індусами та мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації. До таких систем належить сучасна десяткова система числення , виникнення якої пов'язані з рахунком пальцями. У середньовічної Європивона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували її в мусульман.

Під позиційною системою числення зазвичай розуміється -річна система числення, яка визначається цілим числом основоюсистеми числення. Ціле число без знака в -річковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації ступенів числа:

де - це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівність .

Кожен ступінь у такому записі називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних цифр визначається значенням показника (номером розряду). Зазвичай, у ненульових числах ліві нулі опускаються.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри подаються у вигляді унікальних письмових знаків), число записують у вигляді послідовності його -річних цифр, що перераховуються за спаданням старшинства розрядів зліва направо:

Наприклад, число сто триподається в десятковій системі числення у вигляді:

Найбільш вживаними нині позиційними системами є:

У позиційних системах чим більше основа системи, тим менша кількість розрядів (тобто цифр, що записуються) потрібно при записі числа.

Змішані системи числення

Змішана система численняє узагальненням -річкової системи числення і часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел, і кожне число в ній представляється як лінійна комбінація:

, де на коефіцієнти , звані як і раніше цифрами, накладаються деякі обмеження.

Записом числа у змішаній системі числення називається перерахування його цифр у порядку зменшення індексу, починаючи з першого ненульового.

Залежно від виду як функції від змішані системи числення можуть бути статечними, показовими тощо. Коли для деякого, змішана система числення збігається з показовою-річковою системою числення.

Найбільш відомим прикладом змішаної системи числення є уявлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин та секунд. У цьому величина « днів, годин, хвилин, секунд» відповідає значенню секунд.

Факторіальна система числення

У факторіальній системі численняосновами є послідовність факторіалів, і кожне натуральне число подається у вигляді:

де .

Факторіальна система числення використовується при декодування перестановок списками інверсій: маючи номер перестановки, можна відтворити її так: число, на одиницю менше номера (нумерація починається з нуля) записується в факторіальной системі числення, причому коефіцієнт при числі i! буде позначати число інверсій для елемента i+1 у тому множині, в якому проводяться перестановки (кількість елементів менших i+1, але стоять правіше за нього в перестановці)

Приклад: розглянемо безліч перестановок із 5 елементів, всього їх 5! = 120 (від перестановки з номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки з номером 119 - (5,4,3,2,1)), знайдемо 101 перестановку: 100 = 4!* 4 + 3! * 0 + 2! * 2 + 1! * 0 = 96 + 4; покладемо ti - коефіцієнт при числі i!, Тоді t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 тоді: число елементів менших 5, але стоять правіше дорівнює 4; число елементів менших 4, але стоять правіше 0; число елементів менших 3, але які стоять правіше, дорівнює 2; число елементів менших 2, але стоять правіше дорівнює 0 (останній елемент у перестановці «ставиться» на єдине місце, що залишилося) - таким чином, 101-а перестановка матиме вигляд: (5,3,1,2,4) Перевірка даного методу може бути здійснена шляхом безпосереднього підрахунку інверсій кожного елемента перестановки.

Фібоначчієва система численняґрунтується на числах Фібоначчі. Кожне натуральне число в ній представляється у вигляді:

, де - Числа Фібоначчі, , при цьому в коефіцієнтах є кінцева кількість одиниць і не зустрічаються дві одиниці поспіль.

Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, залежить від становища в числе. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад, щоб вони були розташовані в порядку зменшення.

Біноміальна система числення

Подання, що використовує біномні коефіцієнти

де .

Система залишкових класів (СІК)

Уявлення числа в системі залишкових класів засноване на понятті відрахування та китайської теореми про залишки. СІК визначається набором взаємно простих модулівз твором так, що кожному цілому з відрізка ставиться у відповідність набір відрахувань , де

…

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність уявлення для чисел із відрізка.

У СІК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, поділ) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілим і також лежить в .

Недоліками СІК є можливість представлення лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, поданих у СІК. Порівняння зазвичай здійснюється через переведення аргументів із СОК у змішану систему числення на підставах.

Система числення Штерна-Броко- Спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко.

Системи числення різних народів

Одинична система числення

Очевидно, хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Натуральне числозображується шляхом повторення однієї й тієї ж знака (рисочки чи точки). Наприклад, щоб зобразити число 26, потрібно провести 26 рисок (або зробити 26 засічок на кістки, камені тощо). Згодом, задля зручності сприйняття великих чисел, ці знаки групуються по три чи п'ять. Потім рівнооб'ємні групи знаків починають замінюватись якимось новим знаком - так виникають прообрази майбутніх цифр.

Давньоєгипетська система числення

Вавилонська система числення

Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки (іонічна система числення), араби (абджадія), євреї (див. гематрія) та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецьку алфавітну систему було переведено на літери кирилиці.

Єврейська система числення

Грецька система числення

Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські літери:
I позначає 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Наприклад, II = 1 + 1 = 2
тут символ I означає 1 незалежно від місця в числі.

Насправді, римська система не є повністю непозиційною, оскільки менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї, наприклад:

IV = 4, тоді як:
VI = 6

Система числення майя

Див. також

Примітки

Посилання

Гашков С. Б.Системи числення та їх застосування. – М.: МЦНМО, 2004. – (Бібліотека «Математичне просвітництво»).
Фомін С. В.Системи числення. – М.: Наука, 1987. – 48 с. - (популярні лекції з математики).
Яглом І.Системи числення // Квант. – 1970. – № 6. – С. 2-10.
Цифри та системи числення. Онлайн Енциклопедія Навколишній світ.
Стахов А.Роль систем числення історія комп'ютерів .
Мікушин А. В. Системи числення. Курс лекцій "Цифрові пристрої та мікропроцесори"
Butler JT, Sasao T

Wikimedia Foundation.

2010 .