Рік винаходу радіозв'язку в римській системі числення. Різні системи числення та натуральні числа

| Планування уроків та матеріали до уроків | 6 класи | Матеріал для допитливих | Римська система числення

Матеріал
для допитливих

Римська система числення

Прикладом непозиційної системи числення, яка збереглася донині, може бути система числення, що застосовувалася понад дві з половиною тисячі років тому у Стародавньому Римі.

В основі римської системи числення лежать знаки I (один палець) для числа 1, V (розкрита долоня) для числа 5, X (дві складені долоні) для 10, а також спеціальні знаки для позначення чисел 50, 100, 500 та 1000.

Позначення для останніх чотирьох чисел з часом зазнали значних змін. Вчені припускають, що спочатку знак для числа 100 мав вигляд пучка з трьох рисок на кшталт російської літери Ж, а для числа 50 - вид верхньої половинки цієї літери, яка надалі трансформувалася на знак L:

Для позначення чисел 100, 500 та 1000 стали застосовувати перші літери відповідних латинських слів (Centum – сто, Demimille – половина тисячі, Mille – тисяча).

Щоб записати число, римляни використовували не тільки додавання, але й віднімання ключових чисел. У цьому застосовувалося таке правило.

Значення кожного меншого знака, поставленого зліва від більшого, віднімається від значення більшого знака.

Наприклад, запис IX позначає число 9, а запис XI - число 11. Десятичне число 28 представляється так:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десяткове число 99 має таке уявлення: XCIX = (-10 + 100) (- 1 + 10).

Те, що під час запису нових чисел ключові числаможуть не тільки складатися, а й відніматися, має істотний недолік: запис римськими цифрами позбавляє число єдиності уявлення Дійсно, відповідно до наведеного вище правила, число 1995 можна записати, наприклад, такими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000+ (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) тощо.

Єдиних правил запису римських чисел досі немає, але є пропозиції щодо прийняття для них міжнародного стандарту.

У наші дні будь-яку з римських цифр пропонується записувати в одному числі не більше трьох разів поспіль. На підставі цього побудовано таблицю, якою зручно користуватися для позначення чисел римськими цифрами:

Ця таблиця дозволяє записати будь-яке ціле число від 1 до 3999. Щоб це зробити, спочатку запишіть своє число, як завжди (у десятковій системі). Потім для цифр, що стоять у розрядах тисяч, сотень, десятків та одиниць, за таблицею підберіть відповідні кодові групи.

Для того щоб записати числа, більші за 3999, застосовують спеціальні правила, але знайомство з ними виходить за рамки нашого курсу.

Римські цифри користувалися дуже довго. Ще 200 років тому в ділових паперах числа мали позначатися римськими цифрами (вважалося, що звичайні арабські цифрилегко підробити).

Римська система числення сьогодні використовується в основному для найменування знаменних дат, томів, розділів та розділів у книгах.

З давніх-давен людина виявляє інтерес до навколишнього світу, намагається його вивчити, а отримані знання систематизувати і впорядкувати. Один із таких спосіб – рахунок. Для цього були придумані В даний час існує безліч способів обліку та обліку інформації. У цій статті ми розповімо про те, що таке натуральні числаЯкі бувають системи числення, як їх використовувати, а також історію їх виникнення.

Загальні відомості

То що таке натуральні числа? Визначення каже, що вони є найпростішими, тобто використовуються в повсякденному життідля підрахунку кількості будь-яких предметів. Нині застосовується позиційна десятирічна система числення. Наведемо визначення даному поняттю. Системи числення - це уявлення чисел з допомогою письмових символів (знаків), символічний спосіб запису чисел. Варто розділяти поняття "число" та "цифра". Перше являє собою абстрактну сутність, міру для визначення кількості. Цифрами називаються певні символи, які використовуються для запису чисел. Найпопулярніша і найпоширеніша - це арабська система символів. У ній цифри надаються знаками від 0 (нуля) і до 9 (дев'яти). Саме вона використовується для позначення натуральних чисел у цей час. Менш поширеною є римська система числення. Але про неї докладніше ми розповімо далі.

З вище сказаного можна дійти невтішного висновку, що натуральні числа - це, які використовуються рахунку предметів, вказують на порядковий номер якого-небудь предмета серед аналогічних. Наприклад, 5, 18, 596, 10873 тощо.

Що таке числовий ряд?

Усі натуральні числа, які розташовуються у порядку зростання, утворюють так званий числовий ряд. Свій початок він бере з найменшої цифри – одиниці. Найбільшого числа немає, оскільки цей ряд нескінченний. Таким чином, якщо до наступного числа ми додаємо один, отримаємо наступне число. Варто зазначити, що число нуль не є натуральним числом. Воно означає повну відсутність чогось, немає під собою матеріального основания. Отже, нуль не можна зарахувати до класу під назвою "натуральні числа". Позначається безліч натуральних чисел за допомогою великої латинської літери N.

Як вони з'явились?

У найдавніші часи для написання чисел використовували палички. Такий спосіб запозичили римляни своєї непозиційної системи числення (що це таке, ми розповімо далі). При цьому число записувалося без будь-яких символів, а як різниця чи сума паличок.

Наступний етап розвитку системи числення – позначення за допомогою букв. Потім з'явився позиційний клас чисел, що використовується й досі. Новаторами в цій галузі стали стародавні вавилоняни та індуси, які вигадали шістдесяткову та десятирічну системи відповідно. Варто зазначити, що арабська система, що широко використовується, є похідною від давньоіндійської. Арабські математики лише доповнили її цифрою нуль.

Класифікація системи числення

Оскільки чисел набагато більше, ніж відповідних цифр, то їх запису прийнято використовувати комбінацію (набір) цифр. Невелика кількість чисел (невелика за величиною) позначається однією цифрою. Виходить, що системи числення – це способи запису числових значеньза допомогою цифр. Величина може залежати від того, в якому порядку йдуть цифри, а може не мати значення. Ця властивість визначається системами рахунку, що є основою класифікування. Існує три групи (класи).

  1. Змішані.
  2. Позиційні.
  3. Непозиційні.

Як приклад першої групи наведемо грошові знаки. Розглянемо російську монетарну систему. У ній використовуються купюри та монети таких номіналів, як: один, два, п'ять, десять, сто, п'ятсот, тисяча та п'ять тисяч рублів, а також одна, п'ять, десять і п'ятдесят копійок. Щоб отримати певну суму в рублях, необхідно використати відповідну кількість грошових знаків різної номінальної гідності. Наприклад, мікрохвильова піч коштує 6379 російських рублів. Щоб зробити покупку, можна взяти шість купюр номіналом у тисячу рублів, 3 банкноти по сто рублів, одну купюру в п'ятдесят рублів, дві - по десять, одну монету п'ять рублів і дві монети по два рублі. Якщо ми запишемо кількість монет або купюр, починаючи від однієї тисячі рублів і закінчуючи копійкою, при цьому замінюючи номінали, що не використовуються, нулями, то отримаємо наступне число: 603121200000. Якщо перемішати цифри в отриманому раніше числі, то ми отримаємо помилкову ціну на мікрохвильову. Тому такий спосіб запису відноситься до класу позицій. Натуральні числа – це прямий приклад позиційного класу.

Непозиційний клас – що це таке?

Непозиційна система числення чисел характеризуються тим, що загальна величина числа не залежить від положення цифри під час написання. Якщо до кожної цифри ми припишемо відповідний знак номіналу, такі складові символи (номінал плюс цифра) можна перемішувати. Іншими словами, такий запис є непозиційним. Як чистий приклад можна навести римську систему. Її розглянемо докладніше.

Римські цифри

Цим поняттям називають систему знаків (символів), яка була вигадана древніми римлянами для своєї системи числення. Суть її полягає в наступному: усі натуральні числа записуються повторенням цифр. При цьому, якщо менша цифра стоїть перед більшою, то перша віднімається від останньої. Це називається принципом віднімання. Якщо має місце чотириразове повторення, це правилонею не поширюється. А якщо велика цифра стоїть перед меншою, то, навпаки, вони складаються (принцип складання). Історики відзначають, що дана система датується приблизно п'ятим століттям до нашої ери у етрусків, які, своєю чергою, могли її запозичити у протокельтів. Для правильного написання великої кількостіримськими символами необхідно спочатку написати кількість тисяч, потім – сотень, потім – десятків і в кінці – одиниць. Варто зазначити, що при цьому лише деякі з цифр (наприклад, I, M, X, C) можуть дублюватися, але не більше ніж три рази. Отже, з допомогою римських цифр можна записати практично будь-яке ціле число. Для сучасної людини, щоб спростити підрахунок, є спеціальна таблиця систем числення римських цифр.

Використання римських цифр

Ця система числення дуже широко застосовувалася в СРСР при позначенні дати для вказівки місяця. Дуже часто на надгробках дати життя та смерті вказуються в особливому форматі, де порядковий номер місяця пишеться римськими символами. В даний час, з переходом на комп'ютеризовану обробку інформації, використання цієї системи числення практично відійшло в Лету. Проте є сфери, де «римський стиль» зображення цифр має особливості. Наприклад, у країнах Західної Європи часто-густо використовують ці символи на фронтонах будівель для позначення номера року або в титрах відео- та кінопродукції. Так, у Литві на вітринах магазинів або дорожніх знаках, вивіски римськими цифрами позначаються дні тижня.

Сучасне застосування римської системи числення

Нині цей спосіб написання чисел немає широкого застосування. Однак історично встояло, що вона застосовується у сферах, про які ми докладно розповімо у цьому розділі. У всьому світі прийнято вказувати номер тисячоліття чи століття римськими символами. Так само відбувається і при написанні "порядкового номера" монаршої особи. Наприклад, Єлизавета II, Людовік XIVі т.д. Це з тим, що це система числення більш " велична " . Сама її поява асоціюється з світанком Римської імперії - взірцем традиції та класики. За тим же принципом, дана система зображення цифр використовується для маркування циферблата в деяких моделях годинника. Ще один поширений випадок застосування римських цифр – номери томів у багатотомному. літературному творі. Наприклад: "Війна і мир", том III. Іноді таким чином нумеруються частини книги, розділи чи розділи. У деяких виданнях можна зустріти позначення сторінок із передмовою до твору. Це роблять для того, щоб за зміни тексту передмови не змінювати посилання на нього в тілі основного тексту. Римські цифри використовують для позначення важливих історичних подійчи пунктів переліку. Наприклад, II світова війна, XVII з'їзд КПРС, XXII Олімпійські ігриі тому подібне. Крім того, так чи інакше пов'язаних з історією, цю систему числення використовують у хімії - для вказівки валентності елементів; у музичному мистецтві - для вказівки порядкового номера ступеня звукового ряду. Також римські цифри використовують у медицині.

Римська система числення була поширена в Європі в Середньовіччі, однак у зв'язку з тим, що вона виявилася незручною у використанні, сьогодні вона практично не застосовується. Її витіснили простіші, які зробили арифметику набагато простішою і легшою.

За основу в римській системі взято десять, а також їх половини. У минулому людина не мала потреби в записі великих і довгих чисел, тому комплект базисних цифр спочатку закінчувався на тисячі. Цифри записуються зліва направо, які сума і позначає задане число.

Головна відмінність у тому, що римська система числення є непозиційною. Це означає, що розташування цифри в записі числа не вказує на її значення. Римська цифра "1" записується як "I". А тепер поставимо дві одиниці разом і подивимося на їхнє значення: «II» - це якраз і є римська цифра 2, тоді як «11» записується в римському обчисленні як «XI». Крім одиниці іншими базисними цифрами у ній вважаються п'ять, десять, п'ятдесят, сто, п'ятсот і тисяча, які позначаються відповідно V, X, L, C, D та М.

У десятковій системі, яку ми використовуємо сьогодні, в числі 1756 року перша цифра відноситься до кількості тисяч, друга - сотень, третя - десятків, а четверта означає кількість одиниць. Тому вона і називається позиційною системоюа обчислення з її використанням здійснюються додаванням відповідних розрядів один до одного. Римська влаштована зовсім інакше: у ній значення цілої цифри залежить від її порядку у записі числа. Для того щоб, наприклад, перевести число 168 потрібно враховувати, що всі числа в ній виходять з базисних символів: якщо цифра зліва більша за цифру справа, то ці цифри віднімаються, в іншому випадку - складаються. Таким чином, 168 буде в ній записано як CLXVIII (C-100, LX – 60, VIII – 8). Як бачите, римська система числення пропонує досить громіздкий запис чисел, що робить вкрай незручними додавання і віднімання великих чисел, не кажучи вже про проведення над ними операцій розподілу та множення. Римська система має ще один істотний недолік, а саме відсутність нуля. Тому в наш час вона використовується виключно для позначення розділів у книгах, нумерації століть, урочистих дат, де відсутня необхідність здійснення арифметичних дій.

У повсякденному житті набагато легше використовувати десяткову систему, значення цифр у якій співвідноситься з кількістю кутів у кожному їх. Вона вперше з'явилася у VI столітті в Індії, а символи в ній остаточно закріпилися лише до XVI столітті. У Європу індійські цифри під назвою арабських проникли завдяки роботам відомого математика Фібоначчі. Для поділу цілої та дробової частини в арабській системі використовується кома або точка. А ось у обчислювальних машинах найчастіше застосовується яка поширилася в Європі завдяки роботам Лейбніца, що пов'язано з тим, що в комп'ютерній техніці використовуються тригери, які можуть бути лише у двох робочих положеннях.

Учень 6 класу школи №1231 Воронін Олександр

Римська система числення заснована на використання спеціальних символів для десяткових розрядів.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com


Підписи до слайдів:

Римська система числення Олександр Воронін, 6 "А" клас, школа 1233, м. Москва

Римські цифри Система римських цифр полягає в вживанні спеціальних знаків для десяткових розрядів I = 1, Х =10, З = 100, М = 1000 та його половин V = 5, L = 50, D = 500. Для закріплення у пам'яті буквених позначень цифр в порядку убування існує мнемонічне правило: Ми Даримо Соковиті Lимони, Досить Vсім Iх. Відповідно M, D, C, L, X, V, I

Римські цифри (продовження) Натуральні числа записуються за допомогою повторення цих цифр, наприклад: I = 1 X = 10 II = 2 XX = 20 III = 3 XXX = 30 При цьому якщо велика цифра стоїть перед меншою, то вони складаються (принцип складання ), якщо ж менша - перед більшою, то менша віднімається від більшої (принцип віднімання). VI = 6 XIX = 19 IV = 4 XXI = 21 Для правильного запису великих чисел римськими цифрами необхідно спочатку записати число тисяч, потім сотень, потім десятків і, нарешті, одиниць. Приклад: число 1988. Одна тисяча M, дев'ять сотень CM, вісімдесят LXXX, вісім VIII. Запишемо їх разом: MCMLXXXVIII.

Непозиційна система числення Непозиційні - це такі системи числення, алфавіт яких містить необмежену кількість символів, причому кількісний еквівалент будь-якого символу постійний, і залежить тільки від його зображення. Позиція (місце) символу не має значення. Непозиційні системи будуються за принципом адитивності (англ. Add – сума) – кількісний еквівалент числа визначається як сума символів (цифр). Наша десяткова система числення – позиційна. Залежно від місця розташування той самий символ (цифра) може позначати одиниці, десятки, сотні тощо. Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні.

Недоліки непозиційних систем – для запису великих числадоводиться вводити нові цифри; - неможливо записувати дробові та негативні числа; - Складно виконувати арифметичні операції.

Додавання і віднімання Скласти два римські числа не дуже складно: XIX + XXVI = XXXV Послідовність виконання додавання така: а) IX + VI: I після V "знищує" I перед X, тому в результаті отримуємо XV; б) X + XX = XXX, якщо додати ще один X, отримаємо XXXX, або XL. Складність віднімання римських чисел приблизно така сама. Але щоб від 500 відняти 263, 500 треба спочатку розкласти на більш дрібні складові і «скоротити» знаки, що повторюються в зменшуваному і віднімається: D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII

З множенням справа була складніша. Нехай потрібно помножити 126 на 37 (знаки дій вживатимемо сучасні; у римлян їх не було, назви дій писалися словами). СХХVI * XXXVII? Доводиться множити множину на кожну цифру множника окремо, а потім складати всі твори. Така техніка виконання множення аналогічна множенню багаточленів.

Множення: спосіб I CXXVI * XXXVII = CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * X = MCCLX CXXVI * V = DCXXX помножити за допомогою римських цифр 84573 та 4768? Скільки аркушів паперу довелося б списати, яка ймовірність наробити при цьому помилок та описок.

Інший спосіб множення - через двійкову арифметику. Подвоїти число в римському записі порівняно легко, як і поділити на два. Помножимо 3 7=X XX VII на 1 2 6 = C XX V I Запишемо два числа поруч із роздільником і будемо одне з них ділити, друге множити на два, записуючи отримане до стовпчика. X XX VII (37) C XX V I (126) LXXIV (74 = 37 * 2) LXIII (63 = 126:2) CXLVIII (148 = 74 * 2) X XXI (31 = 63:2 - округляємо вниз до цілого числа ) CCLXLVI (296=148*2) XV (1 5 =3 1:2 – округляємо вниз до цілого числа) DLXLII (592=296*2) VII (7 = 15:2 – округляємо вниз до цілого числа) MCLXXXIV (1184 =592*2) III (3 = 15:2 – округляємо вниз до цілого числа) MMCCCLXVIII (2368=1184*2) I (1 = 15:2 – округляємо вниз до цілого числа) Тепер потрібно скласти числа в першому стовпчику, але не всі, а тільки ті, які стоять навпроти непарних чисел у другому стовпчику: MMCCCLXVIII + MCLXXXIV + DLXLII + CCLXLVI + CXLVIII + LXXIV = = MMMMDCLXII = 4662

Поділ Виконання поділу було дуже складним у римській системі числення. Для цього використовувався спеціальний інструмент – абак. Тільки «високо освічені» люди вміли працювати на ньому.

ЦІКАВІ ФАКТИ У римській системі числення не було нуля. Не було навіть такого поняття, як нічого. Більшість дослідників сходяться на думці, що максимальним є число 4999 (MMMMCMXCIX). Римлянам не треба було знати таблицю множення. Як видно з прикладу на стор.8, потрібно було вміти множити на 1 та 10 – дуже прості дії- і на 5. Ті, для кого остання дія представляла труднощі, могли замінити його на множення на 10 і розподіл на 2. От би нам так!

Застосування В наш час римські цифри використовуються для позначень віку або тисячоліття: XIX століття, II тисячоліття до н. е. Порядковий номер монарха: Карл V, Катерина II. Номери тома у багатотомній книзі (іноді – номери частин книги, розділів чи розділів). У деяких виданнях - номери листів із передмовою до книги. Маркування циферблатів годинника, у тому числі на кремлівських курантах. Важливих подійабо пунктів списку, наприклад: V постулат Евкліда, ІІ світова війна, XX з'їзд КПРС, Ігри XXII Олімпіади. У хімії, медицині, юриспруденції.

А тепер найцікавіше… Завдання з римськими цифрами: необхідно перекласти одну паличку і здобути правильну рівність VI – IV = IX VI – IV = VII VI + IV = XII А це завдання для Ольги Вікторівни – нашої вчительки з математики (підказала мама) VII + V = VI

Головоломка Професор Нумерус викладає в університеті латину та історію. У вільний час він любить вирішувати головоломки, а також вигадує їх для онуків. Якось він виграв на конкурсі 10 000 євро. Він розділив гроші серед своїх онуків таким чином: Мартіна (Martina) отримала 1000 євро, Даніель (Daniel) – 500 євро, Крістіна (Christine) – 100 євро, Леон (Leon) – 50 євро, Ксафер (Xaver) – 10 євро, Вікторія (Victoria) – 5 євро, а Інго (Ingo) – лише 1 євро. Внуки вважають це несправедливим. Але професор Нумерус сміється. Хто здогадається чому він так розділив гроші, отримає суму, що залишилася.



 

Можливо, буде корисно почитати: