3 va 6 nisbatan tub sonlardir. Koʻp sonlar taʼrifi

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Ushbu ish tushuntirishga qo'shilish uchun mo'ljallangan yangi mavzu. O'qituvchi amaliy va uy vazifalarini o'z xohishiga ko'ra tanlaydi.

Uskunalar: kompyuter, proyektor, ekran.

Tushuntirish jarayoni

Slayd 1. Eng katta umumiy bo‘luvchi.

og'zaki ish.

1. Hisoblang:

A)
0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?
b)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Javoblar: a) 8; b) 3.

2. Fikrni rad eting: “2” soni barcha sonlarning umumiy bo‘luvchisidir”.

Shubhasiz, toq sonlar 2 ga bo'linmaydi.

3. 2 ga karrali sonlar nima deyiladi?

4. Istalgan sonning bo‘luvchisi bo‘lgan sonni ayting.

Yozma holda.

1. 2376 sonini tub ko‘rsatkichlarga ko‘paytiring.

2. 18 va 60 ning barcha umumiy bo‘luvchilarini toping.

18 va 60 ning eng katta umumiy bo‘luvchisi nima?

Ikki natural sonning eng katta umumiy boʻluvchisi deb qaysi sonni shakllantirishga harakat qiling

Qoida. Qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son eng katta umumiy bo'luvchi deyiladi.

Ular yozadilar: GCD (18; 60) = 6.

Iltimos, ayting-chi, GCDni topishning ko'rib chiqilgan usuli qulaymi?

Raqamlar juda katta bo'lishi mumkin va ular uchun barcha bo'luvchilarni sanab o'tish qiyin.

Keling, GCDni topishning boshqa usulini topishga harakat qilaylik.

Keling, 18 va 60 raqamlarini tub ko'paytmalarga ajratamiz:

18 =

18 sonining bo‘luvchilariga misollar keltiring.

Raqamlar: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

60 sonining bo‘luvchilariga misollar keltiring.

Raqamlar: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; o'ttiz; 60.

18 va 60 ning umumiy bo‘luvchilariga misollar keltiring.

Raqamlar: 1; 2; 3; 6.

18 va 60 ning eng katta umumiy bo‘luvchisini qanday topish mumkin?

Algoritm.

1. Bu sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajrating.

2. Raqamlarning ko‘paytiruvchilarini solishtiring va har xillarini kesib tashlang.

3. Qolgan omillarning mahsulotini hisoblang.

Slayd 4. O'zaro tub sonlar.

Mashq qilish. 24 va 35 raqamlarining GCD ni toping.

Qoida. Natural sonlar, agar ularning eng katta umumiy boʻluvchisi 1 boʻlsa, koʻp sonlar deyiladi.

Bu qiziq!

18 sonining bo'luvchilari: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
60 ning bo'luvchilari: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; o'ttiz; 60.
GCD (18;60) = 6.
6 ning bo'luvchilari: 1; 2; 3; 6.
E'tibor bering, raqamlar 1; 2; 3; 6 - 18 va 60 ning umumiy bo'luvchilari.
Masalan, GCD (108; 196) = 4. Demak, biz darhol aytishimiz mumkinki, 108 va 196 sonlarining umumiy bo'luvchilari 4 sonining bo'luvchilari, ya'ni 1; 2; 4.

(a;b) gcd sonining har bir bo'luvchisi a va b sonlarining umumiy bo'luvchisi va aksincha, ularning har bir umumiy bo'luvchisi gcd sonining (a;b) bo'luvchisidir.

Ko'p sonlar nima?

Koʻp sonlar taʼrifi

Oʻzaro tub sonlarning taʼrifi:

Koʻp sonli sonlar bittadan boshqa umumiy boʻluvchiga ega boʻlmagan butun sonlardir.

Koʻp sonli raqamlarga misollar

Muqobil misol:

2 va 3 ning bittadan boshqa umumiy bo'luvchilari yo'q.

Nisbatan tub sonlarga yana bir misol:

3 va 7 ning bittadan boshqa umumiy bo'luvchilari yo'q.

Ko'p sonli raqamlarning yana bir misoli:

11 va 13 ning bittadan boshqa umumiy bo'luvchilari yo'q.

Endi biz ko'p sonlar nimani anglatadi degan savolga javob berishimiz mumkin.

Ko'p sonli raqam nimani anglatadi?

Bular bittadan boshqa umumiy bo'luvchiga ega bo'lmagan butun sonlardir.

Ikki umumiy son

Bu juftlarning har biri ikkita nisbatan tub sondir.

11 va 15
15 va 16
16 va 23

Koʻp tub sonlarning umumiy boʻluvchilari

Koʻp tub sonlarning umumiy boʻluvchilari faqat bitta boʻlib, koʻp tub sonlar taʼrifidan kelib chiqadi.

Koʻp tub sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi

Ko‘p tub sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi bitta bo‘lib, ko‘p sonlarning ta’rifidan kelib chiqadi.

Raqamlar nisbatan oddiymi?

3 va 13 raqamlari bir-biriga mos keladimi? Ha, chunki ularning bittadan tashqari umumiy bo'luvchilari yo'q.

3 va 12 raqamlari bir-biriga mos keladimi? Yo'q, chunki ularning umumiy bo'luvchilari 1 va 3. Ko'p tub sonlarning ta'rifiga ko'ra, faqat bitta umumiy bo'luvchi bo'lishi kerak.

3 va 108 raqamlari bir-biriga mos keladimi? Yo'q, chunki ularning umumiy bo'luvchilari 1 va 3. Ko'p tub sonlarning ta'rifiga ko'ra, faqat bitta umumiy bo'luvchi bo'lishi kerak.

108 va 5 raqamlari bir-biriga mos keladimi? Ha, chunki ularning bittadan tashqari umumiy bo'luvchilari yo'q.

Matematika darsliklarini ba'zan o'qish qiyin. Mualliflarning quruq va tushunarli tilini tushunish har doim ham oson emas. Ha, va u erdagi mavzular doimo bir-biriga bog'langan, o'zaro ta'sirli. Bitta mavzuni o'zlashtirish uchun siz bir nechta oldingi mavzularni ko'tarishingiz va ba'zan butun darslikni varaqlashingiz kerak. Qiyinmi? Ha. Va keling, ushbu qiyinchiliklarni chetlab o'tish xavfini o'z zimmamizga olaylik va mavzuga nostandart yondashuvni topishga harakat qilaylik. Keling, raqamlar mamlakatiga qandaydir ekskursiya qilaylik. Biroq, biz ta'rifni bir xil qoldiramiz, chunki matematika qoidalarini bekor qilib bo'lmaydi. Demak, koʻp tub sonlar umumiy boʻluvchisi birga teng boʻlgan natural sonlardir. Bu tushunarli? Juda.

Ko'proq vizual misol uchun, keling, 6 va 13 raqamlarini olaylik. Ularning ikkalasi ham bittaga bo'linadi (o'zaro tub). Ammo 12 va 14 raqamlari bunday bo'lishi mumkin emas, chunki ular nafaqat 1 ga, balki 2 ga ham bo'linadi. Quyidagi raqamlar - 21 va 47 ham "ikkilamchi sonlar" toifasiga kirmaydi: ularni nafaqat bo'lish mumkin. 1 ga, balki 7 ga ham.

Muqobil sonlar quyidagicha belgilanadi: ( A, y) = 1.

Buni yanada soddaroq aytish mumkin: bu erda umumiy bo'luvchi (eng katta) birga teng.
Nima uchun bizga bunday bilim kerak? Sababi yetarli.

Ba'zi shifrlash tizimlariga o'zaro kiritilgan. Hill shifrlari yoki Tsezarni almashtirish tizimi bilan ishlaydiganlar, bu ma'lumotsiz hech qanday joyga erisha olmasligingizni tushunishadi. Agar siz generatorlar haqida eshitgan bo'lsangiz, inkor etishga jur'at eta olmaysiz: u erda ham ko'p sonli raqamlar qo'llaniladi.

Keling, bunday oddiylarni olish usullari haqida gapiraylik, siz tushunganingizdek, ular faqat ikkita bo'linuvchiga ega bo'lishi mumkin: ular o'z-o'zidan va bittaga bo'linadi. Aytaylik, 11, 7, 5, 3 tub sonlar, lekin 9 emas, chunki bu raqam allaqachon 9, 3 va 1 ga bo'linadi.

Va agar A tub son, va da- to'plamdan (1, 2, ... A- 1), keyin kafolatlanadi ( A, da) = 1 yoki umumiy sonlar - A Va da.

Bu, to'g'rirog'i, tushuntirish emas, balki hozirgina aytilganlarning takrorlanishi yoki xulosasi.

Oddiy raqamlarni olish mumkin, ammo ta'sirchan raqamlar uchun (masalan, milliardlab) bu usul juda uzoq, ammo ba'zida xatoga yo'l qo'yadigan super formulalardan farqli o'laroq, u ishonchliroq.

Tanlab ishlash mumkin da > A. Buning uchun y tanlanadi, shunda raqam yonadi A baham ko'rmagan. Buning uchun tub son natural songa ko'paytiriladi va qiymat qo'shiladi (yoki aksincha, ayiriladi) (masalan, R), bu kamroq A:

y= R a + k

Agar, masalan, A = 71, R= 3, q=10, keyin mos ravishda, da bu erda u 713 ga teng bo'ladi. Boshqa tanlov mumkin, darajalar bilan.

Qo‘shma sonlar ko‘paytiriladigan sonlardan farqli o‘laroq, o‘z-o‘zidan, 1 ga va boshqa sonlarga (shuningdek, qoldiqsiz) bo‘linadi.

Boshqacha qilib aytganda, (bittasidan tashqari) kompozit va oddiy bo'linadi.

Oddiy sonlar - bu arzimas bo'luvchilarga ega bo'lmagan natural sonlar (sonning o'zi va birligidan tashqari). Ularning roli, ayniqsa, bugungi, zamonaviy, tez rivojlanayotgan kriptografiyada muhim ahamiyatga ega, buning natijasida ilgari nihoyatda mavhum intizom hisoblangan, u juda talabga aylangan: ma'lumotlarni himoya qilish algoritmlari doimiy ravishda takomillashtirilmoqda.

Eng katta tub sonni GIMPS (distribution computing) loyihasida ishtirok etgan oftalmolog Martin Nowak boshqa ishqibozlar bilan birga topdi, ulardan 15 mingga yaqin. Hisoblash uchun oltita kerak bo‘ldi. uzoq yillar davomida. Novakning ko'z klinikasida joylashgan ikki yarim o'nlab kompyuterlar jalb qilingan. Titanik mehnat va qat'iyat natijasi 7816230 kasrdan iborat 225964951-1 raqami edi. Aytgancha, rekord katta raqam ushbu kashfiyotdan olti oy oldin yetkazib berilgan. Va yarim millionga kamroq belgilar bor edi.

Raqamni nomlamoqchi bo'lgan daho uchun, davomiyligi qaerda kasrli belgi O'n million belgidan "sakrab o'tish" bilan nafaqat dunyo miqyosidagi shon-shuhrat, balki 100 000 dollar ham olish imkoniyati mavjud. Aytgancha, Nayan Xayratval milliondan oshib ketgan raqam uchun kichikroq (50 000 dollar) olgan.

Ushbu maqoladagi ma'lumotlar "mavzuni qamrab oladi" nisbatan tub sonlar". Birinchidan, ikkita o'zaro tub sonning ta'rifi, shuningdek, uch yoki undan ortiq ko'proq tub sonlarning ta'rifi berilgan. Shundan so‘ng ko‘paytmali sonlarga misollar keltiriladi va berilgan sonlarning ko‘paytma ekanligini isbotlash usullari keltiriladi. Bundan tashqari, ko'plab tub sonlarning asosiy xossalari sanab o'tilgan va isbotlangan. Xulosa qilib aytganda, juft tub sonlar eslatib o'tiladi, chunki ular ko'plab tub sonlar bilan chambarchas bog'liq.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ko'pincha topshiriqlar mavjud bo'lib, ularda berilgan butun sonlarning ko'paytma ekanligini isbotlash talab qilinadi. Dalil maksimalni hisoblash uchun kamayadi umumiy bo'luvchi berilgan raqamlar va GCD ning birga tengligini tekshirish. GCD ni hisoblashdan oldin tub sonlar jadvalini ko'rib chiqish ham foydalidir: birdaniga asl butun sonlar tub bo'lib qoladi va biz tub sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi birga teng ekanligini bilamiz. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

84 va 275 sonlar ko‘paytma ekanligini isbotlang.

Yechim.

Shubhasiz, bu raqamlar oddiy emas, shuning uchun biz 84 va 275 raqamlarining o'zaro soddaligi haqida darhol gapira olmaymiz va biz GCDni hisoblashimiz kerak. GCD ni topish uchun Evklid algoritmidan foydalaning: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , demak gcd (84, 275)=1 . Bu 84 va 275 sonlarining koʻp sonli ekanligini isbotlaydi.

Koʻp tub sonlarning taʼrifi uch yoki undan koʻp songacha kengaytirilishi mumkin.

Ta'rif.

a 1 , a 2 , …, a k , k>2 butun sonlar deyiladi ko'paytma agar bu sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bittaga teng bo'lsa.

Yuqoridagi ta'rifdan kelib chiqadiki, agar ma'lum bir butun sonlar to'plamining bittadan boshqa musbat umumiy bo'luvchisi bo'lsa, u holda bu butun sonlar ko'paytiruvchi emas.

Keling, misollar keltiraylik. -99 , 17 va -27 uchta butun sonlar ko'paytiriladi. Har qanday tub sonlar to'plami nisbatan tub sonlar to'plamini tashkil qiladi, masalan, 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 va 677 nisbiy tub sonlardir. Va 12 , -9 , 900 va -72 to'rtta soni nisbatan tub emas, chunki ular 1 dan farq qiladigan musbat umumiy bo'luvchi 3 ga ega. 17, 85 va 187 raqamlari ham tub son emas, chunki ularning har biri 17 ga bo'linadi.

Odatda, ba'zi raqamlarning ko'p sonli ekanligi aniq emas va bu haqiqatni isbotlash kerak. Bu sonlarning koʻpaytma ekanligini bilish uchun bu sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisini topish va koʻp tub sonlarning taʼrifiga asoslanib, xulosa chiqarish kerak.

Misol.

331, 463 va 733 raqamlari nisbatan tub raqamlarmi?

Yechim.

Tub sonlar jadvaliga nazar tashlasak, 331, 463 va 733 sonlarning har biri tub son ekanligini aniqlaymiz. Shuning uchun ularning bitta musbat umumiy bo'luvchisi bor. Shunday qilib, uchta 331, 463 va 733 raqamlari nisbatan tub sonlardir.

Javob:

Ha.

Misol.

−14 , 105 , −2 107 va −91 sonlari ko‘paytma emasligini isbotlang.

Yechim.

Bu sonlar bir-biriga teng emasligini isbotlash uchun siz ularning gcd ni topib, bittaga teng emasligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Shunday qilib, qilaylik.

Manfiy butun sonlarning bo'luvchilari mos keladiganlarning bo'luvchilari bilan bir xil bo'lgani uchun, u holda gcd(−14, 105, 2107, −91)= gcd(14, 105, 2 107, 91) . Maqolaning materialiga murojaat qilib, uch yoki undan ortiq sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topib, GCD(14, 105, 2 107, 91)=7 ekanligini aniqlaymiz. Demak, asl sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi yetti ga teng, shuning uchun bu sonlar koʻp sonli sonlar emas.

Koʻproq tub sonlarning xossalari

Koʻp sonli sonlar bir qancha xossalarga ega. Asosiysini ko'rib chiqing o'zaro xossalar.

Butun a va b sonlarni eng katta umumiy boʻluvchiga boʻlish natijasida olingan sonlar koʻp tub sonlar, yaʼni a:gcd(a, b) va b:gcd(a, b) koʻp tub sonlardir.

Biz bu xususiyatni GCD xususiyatlarini tahlil qilganimizda isbotladik.

Koʻp tub sonlarning koʻrib chiqilgan xossasi koʻplab tub sonlar juftligini topish imkonini beradi. Buning uchun istalgan ikkita butun sonni olish va ularni eng katta umumiy bo'luvchiga bo'lish kifoya, natijada olingan sonlar ko'paytiriladi.

a va b butun sonlar koʻpaytiruvchi boʻlishi uchun a·u 0 +b·v 0 =1 boʻlgan u 0 va v 0 butun sonlar mavjudligi zarur va yetarli.

Keling, avvalo zaruratni isbotlaylik.

a va b sonlar ko‘paytirilsin. U holda ko'p tub sonlarning ta'rifi bo'yicha gcd(a, b)=1 . Va gcd ning xossalaridan a va b butun sonlar uchun a u 0 +b v 0 =gcd(a, b) Bezout munosabati to‘g‘ri ekanligini bilamiz. Demak, a·u 0 +b·v 0 =1 .

Etarliligini isbotlash uchun qoladi.

a·u 0 +b·v 0 =1 tengligi to'g'ri bo'lsin. Gcd(a, b) a va b bo'lganligi sababli, bo'linuvchanlik xususiyatlariga ko'ra gcd(a, b) yig'indini a u 0 + b v 0 ga, demak, birlikka bo'lish kerak. Va bu faqat gcd(a, b)=1 bo'lganda mumkin. Demak, a va b koʻplab tub sonlardir.

Koʻpaytma sonlarning keyingi xossasi quyidagicha: agar a va b sonlar koʻpaytma boʻlsa va a c koʻpaytmasi b ga boʻlinsa, c b ga boʻlinadi.

Haqiqatan ham, a va b koʻp tub boʻlganligi uchun oldingi xossadan a u 0 +b v 0 =1 tenglikka ega boʻlamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini c ga ko'paytirsak, a·c·u 0 +b·c·v 0 =c ga ega bo'lamiz. a c u 0 +b c v 0 yig'indisining birinchi hadi b ga bo'linadi, chunki a c shart b ga bo'linadi, bu yig'indining ikkinchi hadi ham b ga bo'linadi, chunki omillardan biri b ga teng, shuning uchun butun yig'indi b ga bo'linadi. Va a·c·u 0 +b·c·v 0 yig‘indisi c ga teng bo‘lgani uchun c ham b ga bo‘linadi.

Agar a va b raqamlar nisbatan tub bo'lsa, gcd(a c, b)=gcd(c, b) .

Birinchidan, gcd(a c, b) gcd(c, b) ga bo‘linishini, ikkinchidan, gcd(c, b) gcd(a c, b) ga bo‘linishini ko‘rsatamiz, bu gcd(a c, b) tengligini isbotlaydi. =gcd(c, b) .

GCD(a c, b) a c va b ni ham ajratadi va gcd(a c, b) b ni ajratgani uchun u b c ni ham ajratadi. Ya'ni, gcd(a c, b) a c va b c ni ham ajratadi, shuning uchun u eng katta umumiy bo'luvchining xususiyatlaridan kelib chiqqan holda gcd(a c, b c) ni ham ajratadi, bu gcd ning xususiyatlariga ko'ra c c gcd(a) ni ham ajratadi. , b)=c. Shunday qilib, gcd(a c, b) ham b, ham c ni ajratadi, demak, gcd(c, b) ham ajratadi.

Boshqa tomondan, gcd(c, b) c va b ni ham ajratadi va u c ni ajratgani uchun a c ni ham ajratadi. Shunday qilib, gcd(c, b) a c va b ni ham ajratadi, demak, gcd(a c, b) ham ajratadi.

Shunday qilib, biz gcd(a c, b) va gcd(c, b) bir-birini o'zaro bo'lishlarini ko'rsatdik, ya'ni ular teng.

Agar a 1 , a 2 , …, a k raqamlarining har biri b 1, b 2, …, b m raqamlarining har biri bilan oʻzaro tub son boʻlsa (bu yerda k va m bir nechta. butun sonlar), u holda a 1 a 2 ... a k va b 1 b 2 ... b m ko‘paytmalari ko‘paytma sonlar, xususan, a 1 =a 2 =...=a k =a va b 1 =b 2 = bo‘lsa. …=b m =b, u holda a k va b m o‘zaro tub sonlardir.

Koʻp tub sonlarning oldingi xossasi shaklning bir qator tengliklarini yozish imkonini beradi GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= GCD(a 2 ... a k , b m)=…= GCD(a k , b m)=1, bu erda oxirgi o'tish mumkin, chunki a k va b m faraz bo'yicha o'zaro tub sonlardir. Shunday qilib, GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Endi a 1 ·a 2 ·…·a k =A ni belgilab, bizda bor
GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= GCD(b 1 b 2 ... b m , A)=
=gcd(b 2 ... b m , A)=... =gcd(b m , A)=1
(oxirgi o'tish oldingi banddagi oxirgi tenglik tufayli amal qiladi). Shunday qilib, biz tenglikka erishdik GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, bu a 1 ·a 2 ·…·a k va b 1 ·b 2 ·…·b m koʻpaytmalari koʻp tub sonlar ekanligini isbotlaydi.

Shu bilan koʻp tub sonlarning asosiy xossalarini koʻrib chiqish yakunlanadi.

Juftlik tub sonlar - ta'riflar va misollar

Muqobil sonlar jihatidan berilgan juft tub sonlarning ta’rifi.

Ta'rif.

a 1 , a 2 , …, a k, har biri boshqalar bilan koʻpaytiruvchi butun sonlar deyiladi. juft tub sonlar.

Keling, juft tub sonlarga misol keltiraylik. 14, 9, 17 va -25 raqamlari juft tub sonlardir, chunki 14 va 9, 14 va 17, 14 va -25, 9 va 17, 9 va -25, 17 va -25 juft sonlar juft tub sonlardir. Bu erda biz juft tub sonlar har doim ko'p sonli ekanligini ta'kidlaymiz.

Boshqa tomondan, nisbatan tub sonlar har doim ham juft tub sonlar emas, buni quyidagi misol tasdiqlaydi. 8 , 16 , 5 va 15 raqamlari juft tub son emas, chunki 8 va 16 raqamlari koʻp son emas. Biroq, 8 , 16 , 5 va 15 raqamlari koʻp sonli sonlardir. Demak, 8, 16, 5 va 15 nisbatan tub sonlar, lekin juft tub sonlar emas.

Muayyan miqdordagi tub sonlar to'plamini ta'kidlash kerak. Bu raqamlar har doim ham koʻp, ham juft tub boʻladi. Masalan, 71 , 443 , 857 , 991 ham juft tub sonlar, ham qoʻshimcha tub sonlar.

Qachon ekanligi ham aniq gaplashamiz taxminan ikkita butun son bo'lsa, ular uchun "juftlik tub" va "ko'p son" tushunchalari mos keladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

Vilenkin N.Ya. va hokazo. Matematika. 6-sinf: Ta’lim muassasalari uchun darslik.
Vinogradov I.M. Sonlar nazariyasi asoslari.
Mixelovich Sh.X. Raqamlar nazariyasi.
Kulikov L.Ya. va boshqalar.Algebra va sonlar nazariyasiga oid masalalar toʻplami: Qo'llanma fizika va matematika talabalari uchun. pedagogika institutlarining mutaxassisliklari.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: