Raqam tushunchasiga nimalar kiradi. Eng katta umumiy ko'p va eng kichik umumiy bo'luvchi


Ushbu maqolada biz o'rganishni boshlaymiz ratsional sonlar. Bu erda biz aniqlaymiz ratsional sonlar, kerakli tushuntirishlarni bering va ratsional sonlarga misollar keltiring. Shundan so'ng, biz berilgan sonning oqilona yoki yo'qligini qanday aniqlashga e'tibor qaratamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional sonlarning ta'rifi va misollari

Ushbu kichik bo'limda biz ratsional sonlarning bir nechta ta'riflarini beramiz. Tuzilishdagi farqlarga qaramay, bu ta'riflarning barchasi bir xil ma'noga ega: ratsional sonlar butun va kasr sonlarni birlashtiradi, xuddi butun sonlar natural sonlarni, ularning qarama-qarshi sonlarini va nol sonini birlashtiradi. Boshqacha qilib aytganda, ratsional sonlar butun sonlarni umumlashtiradi va kasr sonlar.

dan boshlaylik Ratsional sonlarning ta'riflari eng tabiiy deb qabul qilinadi.

Olingan ta'rifdan kelib chiqadiki, ratsional son:

  • Har qanday natural son n . Darhaqiqat, har qanday natural sonni oddiy kasr sifatida ifodalash mumkin, masalan, 3=3/1.
  • Har qanday butun son, xususan, nol soni. Darhaqiqat, har qanday butun son ham musbat sifatida yozilishi mumkin oddiy kasr, manfiy umumiy kasr yoki nol sifatida. Masalan, 26=26/1 , .
  • Har qanday oddiy kasr (ijobiy yoki salbiy). Bu to'g'ridan-to'g'ri ratsional sonlarning berilgan ta'rifi bilan ifodalanadi.
  • Har qanday aralash raqam. Darhaqiqat, aralash sonni noto'g'ri umumiy kasr sifatida ifodalash har doim ham mumkin. Masalan, va .
  • Har qanday chekli o'nlik yoki cheksiz davriy kasr. Buning sababi, belgilangan o'nli kasrlar oddiy kasrlarga aylantiriladi. Masalan, , va 0,(3)=1/3 .

Bundan tashqari, har qanday cheksiz davriy bo'lmaganligi aniq kasr Bu ratsional son EMAS, chunki uni kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi.

Endi biz osongina olib kelamiz ratsional sonlarga misollar. 4, 903, 100,321 sonlari ratsional sonlardir, chunki ular natural sonlardir. 58 , −72 , 0 , −833 333 333 butun sonlari ham ratsional sonlarga misol bo‘la oladi. 4/9, 99/3 oddiy kasrlar ham ratsional sonlarga misol bo'la oladi. Ratsional sonlar ham sonlardir.

Yuqoridagi misollar shuni ko'rsatadiki, ham musbat, ham manfiy ratsional sonlar mavjud va nol ratsional son na musbat, na manfiy.

Ratsional sonlarning yuqoridagi ta'rifini qisqaroq shaklda shakllantirish mumkin.

Ta'rif.

Ratsional sonlar z/n kasr shaklida yozilishi mumkin bo'lgan raqamlarni chaqiring, bu erda z - butun son va n - natural son.

Ratsional sonlarning bu ta’rifi oldingi ta’rifga ekvivalent ekanligini isbotlaylik. Biz bilamizki, biz kasr satrini bo'lish belgisi sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin, keyin butun sonlarni bo'lish xususiyatlaridan va butun sonlarni bo'lish qoidalaridan quyidagi tengliklar va . Shunday qilib, bu dalil.

Asosan ratsional sonlarga misollar keltiramiz bu ta'rif. −5 , 0 , 3 va raqamlari ratsional sonlardir, chunki ular mos ravishda butun sonli va shaklning natural maxrajili kasrlar shaklida yozilishi mumkin.

Ratsional sonlarning ta'rifi quyidagi formulada ham berilishi mumkin.

Ta'rif.

Ratsional sonlar chekli yoki cheksiz davriy kasr shaklida yozilishi mumkin bo'lgan sonlar.

Bu ta'rif ham birinchi ta'rifga teng, chunki har qanday oddiy kasr chekli yoki davriy o'nli kasrga mos keladi va aksincha, va har qanday butun son kasrdan keyin nol bilan o'nli kasr bilan bog'lanishi mumkin.

Masalan, 5 , 0 , −13 raqamlari ratsional sonlarga misol boʻladi, chunki ularni quyidagi oʻnli kasrlar 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 va −7,(18) koʻrinishida yozish mumkin.

Ushbu bo'limning nazariyasini quyidagi bayonotlar bilan yakunlaymiz:

  • butun va kasr sonlar (musbat va manfiy) ratsional sonlar to‘plamini tashkil qiladi;
  • har bir ratsional sonni butun sonli va natural maxrajli kasr shaklida ifodalash mumkin va har bir bunday kasr ratsional sondir;
  • har bir ratsional sonni chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin va har bir bunday kasr qandaydir ratsional sonni ifodalaydi.

Bu raqam mantiqiymi?

Oldingi paragrafda biz har qanday natural son, har qanday butun son, oddiy kasr, har qanday aralash son, har qanday yakuniy o'nli kasr, shuningdek, har qanday davriy o'nli kasr ratsional son ekanligini aniqladik. Bu bilim bizga yozma sonlar to'plamidan ratsional sonlarni "tanib olish" imkonini beradi.

Lekin, agar raqam some , yoki , va hokazo kabi berilgan bo'lsa-chi, savolga qanday javob berish kerak, berilgan son oqilonami? Ko'p hollarda bunga javob berish juda qiyin. Keling, fikr yuritish uchun ba'zi yo'nalishlarni ko'rsatamiz.

Agar raqam faqat ratsional sonlar va arifmetik belgilarni (+, -, · va:) o'z ichiga olgan sonli ifoda sifatida ko'rsatilgan bo'lsa, bu ifodaning qiymati ratsional son bo'ladi. Bu ratsional sonlar ustida amallar qanday aniqlanganidan kelib chiqadi. Misol uchun, ifodadagi barcha amallarni bajargandan so'ng, biz ratsional sonni olamiz 18 .

Ba'zan, ifodalarni soddalashtirish va murakkabroq shakldan so'ng, berilgan sonning oqilona ekanligini aniqlash mumkin bo'ladi.

Keling, oldinga boraylik. 2 raqami ratsional sondir, chunki har qanday natural son ratsionaldir. Raqam haqida nima deyish mumkin? Bu mantiqiymi? Ma'lum bo'lishicha, yo'q - bu ratsional son emas, bu irratsional sondir (bu faktning qarama-qarshilik bilan isboti quyida adabiyotlar ro'yxatida ko'rsatilgan 8-sinf uchun algebra darsligida keltirilgan). Ildiz qandaydir natural sonning to'liq kvadrati bo'lgan son bo'lgan hollardagina natural sonning kvadrat ildizi ratsional son ekanligi isbotlangan. Masalan, va ratsional sonlar, chunki 81=9 2 va 1 024=32 2 , va raqamlari ratsional emas, chunki 7 va 199 raqamlari mukammal kvadratlar emas. natural sonlar.

Raqam mantiqiymi yoki yo'qmi? IN bu holat Shuning uchun bu raqam oqilona ekanligini ko'rish oson. Raqam mantiqiymi? Ildiz belgisi ostidagi son qandaydir butun sonning k darajali bo‘lsagina butun sonning k-chi ildizi ratsional son ekanligi isbotlangan. Shuning uchun, bu ratsional son emas, chunki beshinchi darajasi 121 bo'lgan butun son yo'q.

Qarama-qarshilik usuli ba'zi sonlarning logarifmlari negadir ratsional sonlar emasligini isbotlashga imkon beradi. Masalan, buni isbotlaylik - ratsional son emas.

Buning aksini faraz qilaylik, ya’ni bu ratsional son va oddiy kasr m/n sifatida yozilishi mumkin. Keyin va quyidagi tengliklarni bering: . Oxirgi tenglik mumkin emas, chunki uning chap tomonida bor toq raqam 5 n, o'ng tomonda esa juft son 2 m. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri, shuning uchun ratsional raqam emas.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash joizki, raqamlarning ratsionalligi yoki mantiqsizligini aniqlaganda, to'satdan xulosa qilishdan qochish kerak.

Masalan, p va e irratsional sonlarining ko'paytmasi irratsional son ekanligini darhol ta'kidlamaslik kerak, bu "ravshan", ammo isbotlanmagan. Bu savol tug'iladi: "Nima uchun mahsulot oqilona raqam bo'ladi?" Va nima uchun emas, chunki siz irratsional sonlarga misol keltira olasiz, ularning mahsuloti ratsional sonni beradi:.

Raqamlar va boshqa ko'plab raqamlar oqilona yoki yo'qligi ham noma'lum. Masalan, irratsional sonlar borki, ularning irratsional kuchi ratsional sondir. Tasavvur qilish uchun shaklning darajasini beraylik, bu darajaning asosi va ko'rsatkichi ratsional sonlar emas, balki , va 3 ratsional sondir.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Matematika. 6-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Fizika va matematikaning zamonaviy simbiozi ham matematikada qo'llaniladigan asosiy tushunchalarni tubdan qayta ko'rib chiqishga olib keladi, ular orasida bu tushuncha eng fundamental ahamiyatga ega.

Raqam tushunchasiga nimalar kiradi

Raqam jismoniy bilimlarning asosiy predmetidir. Fizika raqamlarni o'rganadi. Fizika sonning mavjudligidan kelib chiqadigan effektlarni o'rganadi. Raqam tabiatda vaqt mavjudligining ko'rinishidir. Raqam fizikaning haqiqiy ob'ektidir. Raqam bir vaqtning o'zida to'lqin va zarradir. Son – tadqiqotchi nuqtai nazaridan ham to‘lqin, ham zarracha bo‘lgan real ob’ekt, vaqt elementi, narsa, zamon ob’ekti. Demak, raqam tebranish va to'lqin jarayonlarini amalga oshiradigan ob'ektdir. Raqam tarqaladi.

Sonning mavjudlik shakli tebranish - garmonik tebranishlar, mexanik garmonik tebranishlar, elektr tebranish zanjiridagi erkin garmonik tebranishlar, so'ndirilgan va majburiy tebranishlardir.

Raqam haqida tushuncha. Kvant fizikasi fizikaning boshqa barcha sohalariga qaraganda zamonaviy fizikaning haqiqiy, ammo aniq bo'lmagan ob'ektiga - songa yaqinlashdi. Fizikaning haqiqiy ob'ekti sondir.

Bo'shliq raqamlardan iborat. Raqamlar qatorining haqiqiy cheksizligi (hisoblanadigan cheksizlik) fazoning o'zidir.

Raqamlar qatorining haqiqiy cheksizligi "maydon" dir. Cheksiz sonli qator - bu "tabiat"ning izchilligi, bu har qanday amalga oshirish masalasi sifatida vaqt jarayonidir. Raqam, universal va konkret, klassik mexanikada "tana" nomi ostida yashiringan haqiqatdir. Faqat raqam. Raqamlar qatorining ichki munosabatlari fizikaning shaffof fazosini tashkil qiladi.

V. I. Shilov

"Tezlik", "tezlanish", "momentum", "inersiya", "energiya", "issiqlik harakati", "ish", "tebranishlar", "elektr maydoni", " elektr zaryadi”, “elektr toki”, “dielektrik”, “yarim o‘tkazgich”, “plazma”, “magnit maydon”, “atom”, “induksiya”, “elektr toki”, “tebranishlar”, “to‘lqinlar”, “issiqlik nurlanishi”, "foton", "radioaktivlik", "elementar zarrachalarning fundamental o'zaro ta'siri" - va bularning barchasi raqam bilan o'lchanadi.

Shuning uchun raqam fizikaning asl predmeti bo'lib, matematikaning mohiyatiga to'g'ri keladi. Barcha fizik eksperimentlar sonlar qatori “ichida” oʻtkaziladigan tajribalar, maʼlum sonlar bilan tajribalar, sonlarning oʻzaro taʼsiri sohasidagi tajribalar, bitta, lekin haqiqatda mavjud boʻlgan raqamlar qatorining haqiqiy cheksizligiga asoslangan tajribalardir.

Raqamlar turlari o'rtasidagi farq zamonaviy fizika bo'limlarida keltirilgan jismoniy jarayonlarning haqiqiy jismoniy haqiqatidir. Raqamlar turlari o'rtasidagi farq jismoniy o'zaro ta'sirlar va jismoniy materiya turlari o'rtasidagi farqning haqiqiy shaklidir.

Raqamlar turlari jismoniy jarayonlarning butun xilma-xilligini aks ettiradi va bu xilma-xillikning o'rganilgan shaklidir. Shunday qilib:

Sonning bo'linuvchanligi fizik jarayonning aniq jismoniy mohiyatidir.

Bo'linmas, tub son fizikaning oxirgi haqiqiy ob'ektidir.

Eng oddiy raqam natural son. Ular ichida ishlatiladi Kundalik hayot hisoblash uchun buyumlar, ya'ni. ularning soni va tartibini hisoblash uchun.

Natural son nima: natural sonlar uchun ishlatiladigan raqamlarni ayting ob'ektlarni hisoblash yoki barcha bir hil buyumning seriya raqamini ko'rsatish uchun buyumlar.

Butun sonlarbirdan boshlanadigan raqamlardir. Ular hisoblashda tabiiy ravishda hosil bo'ladi.Masalan, 1,2,3,4,5... -birinchi natural sonlar.

eng kichik natural son- bitta. Eng katta natural son yo'q. Raqamni hisoblashda nol ishlatilmaydi, shuning uchun nol natural sondir.

tabiiy sonlar qatori barcha natural sonlar ketma-ketligidir. Natural sonlarni yozing:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Natural sonlarda har bir son oldingisidan bittaga ko'p bo'ladi.

Natural qatorda nechta son bor? Tabiiy qator cheksiz, eng katta natural son yo'q.

O'nlik, chunki har qanday toifadagi 10 birlik eng yuqori tartibdagi 1 birlikni tashkil qiladi. pozitsion shunday raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga qanday bog'liq, ya'ni. qayd qilingan toifadan.

Natural sonlar sinflari.

Har qanday natural sonni 10 ta arab raqamlari yordamida yozish mumkin:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natural sonlarni o'qish uchun ular o'ngdan boshlab, har biri 3 raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. 3 birinchi o'ngdagi raqamlar - birliklar sinfi, keyingi 3 - minglar sinfi, keyin millionlar, milliardlar vava boshqalar. Sinf raqamlarining har biri uning deyiladitushirish.

Natural sonlarni solishtirish.

2 ta natural sondan sanashda oldin chaqirilgan son kamroq. Masalan, raqam 7 Ozroq 11 (bunday yozilgan:7 < 11 ). Qachon bitta raqam soniyadan ko'proq, u shunday yozilgan:386 > 99 .

Raqamlar jadvali va raqamlar sinflari.

1-sinf birligi

1-raqam birligi

2-o'rin o'n

3-darajali yuzliklar

2-sinf ming

Minglarning 1-raqamli birliklari

2-raqam o'n minglar

3-o'rin - yuz minglab

3-sinf millionlar

1-raqamli birliklar million

2-raqam o'n millionlar

3-raqam - yuzlab millionlar

4-sinf milliardlar

1-raqam birliklari milliard

2-raqam o'nlab milliardlar

3-raqam - yuzlab milliardlar

5-sinf va undan yuqori raqamlarga tegishli katta raqamlar. 5-sinf birliklari - trillion, 6-chi sinf - kvadrillonlar, 7-sinf - kvintillionlar, 8-sinf - sekstilionlar, 9-sinf - epitilyonlar.

Natural sonlarning asosiy xossalari.

  • Qo'shishning kommutativligi . a + b = b + a
  • Ko'paytirishning kommutativligi. ab=ba
  • Qo'shishning assotsiativligi. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Ko'paytirishning assotsiativligi.
  • Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

Natural sonlar ustida amallar.

4. Natural sonlarni bo‘lish ko‘paytirishga teskari amaldir.

Agar b ∙ c \u003d a, Bu

Bo'linish formulalari:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Raqamli ifodalar va sonli tengliklar.

Raqamlar harakat belgilari bilan bog'langan yozuv raqamli ifoda.

Masalan, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Tenglik belgisi 2 ta sonli ifodani birlashtirgan yozuvlar raqamli tengliklar . Tenglikning chap tomoni va o'ng tomoni bor.

Arifmetik amallarni bajarish tartibi.

Sonlarni qo‘shish va ayirish birinchi darajali amallar, ko‘paytirish va bo‘lish esa ikkinchi darajali amallardir.

Agar raqamli ifoda faqat bir darajali harakatlardan iborat bo'lsa, ular ketma-ket bajariladi chapdan o'ngga.

Agar ifodalar faqat birinchi va ikkinchi darajali harakatlardan iborat bo'lsa, u holda birinchi navbatda harakatlar bajariladi ikkinchi darajali, keyin esa - birinchi darajali harakatlar.

Ifodada qavslar mavjud bo'lganda, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi.

Masalan, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Biror narsani hisoblash, OGE yoki FOYDALANISHda qimmatli vaqtni yutib olish, kamroq ahmoqona xatolarga yo'l qo'yish kerak bo'lganda hayotingizni JO'LDA soddalashtirish uchun - ushbu bo'limni o'qing!

Mana nimani o'rganasiz:

  • yordamida qanday qilib tezroq, osonroq va aniqroq hisoblash mumkinraqamlarni guruhlashqo'shish va ayirish paytida,
  • yordamida xatosiz tez ko'paytirish va bo'lish ko'paytirish qoidalari va bo'linish mezonlari,
  • yordamida hisob-kitoblarni sezilarli darajada tezlashtirish eng kichik umumiy karra(MOK) va eng katta umumiy bo'luvchi(GCD).

Ushbu bo'lim texnikasiga ega bo'lish tarozilarni u yoki bu yo'nalishda aylantirishi mumkin ... siz orzuingizdagi universitetga kirasizmi yoki yo'qmi, siz yoki ota-onangiz ta'lim uchun juda ko'p pul to'lashingiz kerak bo'ladi yoki siz byudjetga kirasiz. .

Keling, to'g'ridan-to'g'ri sho'ng'iymiz ... (Ketaylik!)

P.S. OXIRGI QIMMATLI MASLAHAT...

Muhim eslatma!Agar formulalar o'rniga bema'ni gaplarni ko'rsangiz, keshni tozalang. Buning uchun CTRL+F5 (Windows da) yoki tugmalarini bosing Cmd+R (Mac-da)

Bir guruh butun sonlar 3 qismdan iborat:

  1. butun sonlar(biz ularni quyida batafsilroq ko'rib chiqamiz);
  2. natural sonlarga qarama-qarshi sonlar(natur sonlar nima ekanligini bilishingiz bilanoq hamma narsa joyiga tushadi);
  3. nol -" " (usiz qayerda?)

Z harfi.

Butun sonlar

"Xudo tabiiy sonlarni yaratdi, qolgan hamma narsa inson qo'lining ishi" (c) nemis matematigi Kroneker.

Natural sonlar Biz ob'ektlarni hisoblash uchun foydalanadigan raqamlar va ularning paydo bo'lish tarixi shunga asoslanadi - o'qlarni, terilarni va boshqalarni hisoblash zarurati.

1, 2, 3, 4...n

N harfi.

Shunga ko'ra, bu ta'rifni o'z ichiga olmaydi (u erda yo'qligini hisoblay olmaysizmi?) va bundan tashqari, o'z ichiga olmaydi. salbiy qiymatlar(olma bormi?).

Bundan tashqari, barcha kasr raqamlari kiritilmagan (biz "Menda noutbuk bor" yoki "Men mashina sotganman" deb ham ayta olmaymiz)

Har qanday natural son 10 ta raqam yordamida yozilishi mumkin:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Demak, 14 raqam emas. Bu raqam. U qanday raqamlardan iborat? To'g'ri, raqamlardan va.

Qo'shish. Tezroq hisoblash va kamroq xatolar uchun qo'shishda guruhlash

Ushbu protsedura haqida qanday qiziqarli narsalarni ayta olasiz? Albatta, endi siz "shartlarni qayta tartibga solishdan yig'indining qiymati o'zgarmaydi" deb javob berasiz. Bu birinchi sinfdan tanish bo'lgan ibtidoiy qoidaga o'xshaydi, ammo katta misollarni echishda u darhol unutildi!

U haqida unutmangguruhlashdan foydalaning, hisoblash jarayonini osonlashtirish va xatolar ehtimolini kamaytirish uchun, chunki sizda imtihon uchun kalkulyator bo'lmaydi.

O'zingiz ko'ring, qaysi iborani qo'shish osonroq?

  • 4 + 5 + 3 + 6
  • 4 + 6 + 5 + 3

Albatta, ikkinchisi! Natija bir xil bo'lsa ham. Lekin! Ikkinchi yo'lni hisobga olsak, siz xato qilish ehtimoli kamroq va siz hamma narsani tezroq qilasiz!

Shunday qilib, sizning fikringizcha, siz shunday deb o'ylaysiz:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Ayirish. Tezroq hisoblash va kamroq xatolik uchun ayirishda guruhlash

Ayirish paytida biz ayirilgan raqamlarni ham guruhlashimiz mumkin, masalan:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Misolda ayirish qo'shish bilan aralashtirilsa-chi? Siz ham guruhlashingiz mumkin, siz javob berasiz va to'g'ri. Iltimos, raqamlar oldidagi belgilarni unutmang, masalan: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Esingizda bo'lsin: noto'g'ri qo'yilgan belgilar noto'g'ri natijaga olib keladi.

Ko'paytirish. Qanday qilib ongingizda ko'payish kerak

Ko'rinib turibdiki, mahsulot qiymati ham omillar o'rnini o'zgartirishdan o'zgarmaydi:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Men sizga "muammolarni hal qilishda foydalaning" demayman (siz o'zingiz maslahat oldingiz, to'g'rimi?), balki sizning boshingizdagi ba'zi raqamlarni qanday tezda ko'paytirishni aytaman. Shunday qilib, jadvalga diqqat bilan qarang:

Va ko'paytirish haqida bir oz ko'proq. Albatta, siz ikkita alohida voqeani eslaysiz... Nima demoqchi ekanimni bilasizmi? Mana bu haqda:

Ha, keling, bir ko'rib chiqaylik bo'linish belgilari. Hammasi bo'lib, bo'linish belgilari uchun 7 ta qoida mavjud, ulardan birinchi 3 tasini allaqachon bilasiz!

Ammo qolganlarini eslab qolish unchalik qiyin emas.

Raqamlarning bo'linuvchanligining 7 ta belgisi, bu sizning boshingizda tezda hisoblashingizga yordam beradi!

  • Albatta, siz birinchi uchta qoidani bilasiz.
  • To'rtinchi va beshinchini eslab qolish oson - bo'linganda va biz raqamni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi bunga bo'linishini tekshiramiz.
  • ga bo'lishda biz sonning oxirgi ikki raqamiga e'tibor beramiz - ular tashkil etgan raqam bo'linadimi?
  • Raqamga bo'lishda u bir vaqtning o'zida va ga bo'linishi kerak. Bu hammasi hikmat.

Endi siz "bularning barchasi menga nima uchun kerak" deb o'ylaysizmi?

Birinchidan, imtihon kalkulyatorsiz va bu qoidalar misollar bo'ylab harakatlanishingizga yordam beradi.

Ikkinchidan, siz topshiriqlarni eshitdingiz GCD Va MOQ? Tanish qisqartma? Keling, eslashni va tushunishni boshlaylik.

Eng katta umumiy bo'luvchi (gcd) - kasrlarni kamaytirish va tez hisoblash uchun kerak

Aytaylik, sizda ikkita raqam bor: va. Nima eng katta raqam ikkala raqam ham bo'linadimi? Siz ikkilanmasdan javob berasiz, chunki siz buni bilasiz:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Kengaytmada qanday raqamlar keng tarqalgan? To'g'ri, 2 * 2 = 4. Bu sizning javobingiz edi. Ushbu oddiy misolni yodda tutgan holda, siz topish algoritmini unutmaysiz GCD. Uni boshingizda "qurishga" harakat qiling. Bo'ldimi?

NODni topish uchun sizga kerak:

  1. Raqamlarni tub ko'paytmalarga (o'zidan boshqa hech narsaga yoki, masalan, 3, 7, 11, 13 va boshqalarga bo'linmaydigan raqamlarga) ajrating.
  2. Ularni ko'paytiring.

Nima uchun bizga bo'linish belgilari kerakligini tushunasizmi? Shunday qilib, siz raqamga qaraysiz va siz qoldiqsiz bo'linishni boshlashingiz mumkin.

Masalan, 290 va 485 raqamlarining GCD ni topamiz

Birinchi raqam -.

Unga qarab, uning nimaga bo'linishini darhol aytishingiz mumkin, keling, yozamiz:

siz uni boshqa hech narsaga bo'lolmaysiz, lekin mumkin - va, biz olamiz:

290 = 29 * 5 * 2

Keling, boshqa raqamni olaylik - 485.

Bo'linish belgilariga ko'ra, u bilan tugaydiganligi sababli, qoldiqsiz bo'linishi kerak. Biz baham ko'ramiz:

Keling, asl raqamni tahlil qilaylik.

  • Uni bo'linib bo'lmaydi (oxirgi raqam toq),
  • - ga bo'linmaydi, shuning uchun son ham bo'linmaydi,
  • va ga ham bo'linmaydi (sondagi raqamlar yig'indisi va ga bo'linmaydi)
  • ham bo'linmaydi, chunki u va ga bo'linmaydi,
  • ham va ga bo'linmaydi, chunki u va ga bo'linmaydi.
  • butunlay bo‘linib bo‘lmaydi

Shunday qilib, raqamni faqat va ga ajratish mumkin.

Va endi topamiz GCD bu raqamlar (va). Bu raqam nima? To'g'ri, .

Mashq qilaylikmi?

Vazifa raqami 1. 6240 va 6800 raqamlarining GCD ni toping

1) Men darhol bo'laman, chunki ikkala raqam ham 100% bo'linadi:

Vazifa raqami 2. 345 va 324 raqamlarining GCD ni toping

Men bu erda hech bo'lmaganda bitta umumiy bo'luvchini tezda topa olmayapman, shuning uchun men oddiy omillarga ajrataman (iloji boricha kamroq):

Eng kam umumiy ko'p (LCM) - vaqtni tejaydi, qutidan tashqari muammolarni hal qilishga yordam beradi

Aytaylik, sizda ikkita raqam bor - va. Qaysi songa bo'linadigan eng kichik son izsiz(ya'ni butunlay)? Tasavvur qilish qiyinmi? Mana sizga vizual maslahat:

Xat nimani anglatishini eslaysizmi? To'g'ri, shunchaki butun sonlar. Xo'sh, x ga to'g'ri keladigan eng kichik son nima? :

Ushbu holatda.

Bundan oddiy misol bir qancha qoidalarga amal qiladi.

MOQni tezda topish qoidalari

Qoida 1. Agar ikkita natural sondan biri boshqa songa boʻlinadigan boʻlsa, bu ikki sonning kattasi ularning eng kichik umumiy karrali hisoblanadi.

Quyidagi raqamlarni toping:

  • MOQ (7;21)
  • MOQ (6;12)
  • MOQ (5;15)
  • MOQ (3;33)

Albatta, siz bu vazifani osongina engdingiz va javoblarni oldingiz - va.

E'tibor bering, qoidada biz IKKI raqam haqida gapiramiz, agar ko'proq raqamlar bo'lsa, unda qoida ishlamaydi.

Misol uchun, LCM (7;14;21) 21 ga teng emas, chunki uni qoldiqsiz bo'linib bo'lmaydi.

2-qoida. Agar ikkita (yoki ikkitadan ortiq) sonlar koʻpaytma boʻlsa, eng kichik umumiy koʻpaytma ularning hosilasiga teng boʻladi.

toping MOQ quyidagi raqamlar uchun:

  • MOQ (1;3;7)
  • MOQ (3;7;11)
  • MOQ (2;3;7)
  • MOQ (3;5;2)

Hisobladingizmi? Mana javoblar - , ; .

Siz tushunganingizdek, bir xil x ni olish va olish har doim ham oson emas, shuning uchun biroz murakkabroq raqamlar uchun quyidagi algoritm mavjud:

Mashq qilaylikmi?

Eng kichik umumiy ko'paytmani toping - LCM (345; 234)

Eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) o'zingiz toping

Qanday javoblarni oldingiz?

Menga nima bo'ldi:

Topish uchun qancha vaqt ketdi MOQ? Mening vaqtim 2 daqiqa, men haqiqatan ham bilaman bitta hiyla, men hozir ochishni taklif qilaman!

Agar siz juda ehtiyotkor bo'lsangiz, ehtimol buni payqadingiz berilgan raqamlar biz allaqachon qidirganmiz GCD va siz ushbu misoldan bu raqamlarning faktorizatsiyasini olishingiz mumkin va shu bilan vazifangizni soddalashtirasiz, ammo bu hamma narsadan uzoqdir.

Rasmga qarang, ehtimol sizga boshqa fikrlar keladi:

Nima bopti? Men sizga bir maslahat beraman: ko'paytirishga harakat qiling MOQ Va GCD o'zaro va ko'paytirishda bo'ladigan barcha omillarni yozing. Siz boshqardingizmi? Siz shunday zanjir bilan yakunlashingiz kerak:

Buni batafsil ko'rib chiqing: omillarni qanday va parchalanish bilan solishtiring.

Bundan qanday xulosa chiqarish mumkin? To'g'ri! Agar qiymatlarni ko'paytirsak MOQ Va GCD o'rtasida, keyin biz bu raqamlarning mahsulotini olamiz.

Shunga ko'ra, raqamlar va ma'noga ega GCD(yoki MOQ), topishimiz mumkin MOQ(yoki GCD) quyidagi tarzda:

1. Raqamlarning ko‘paytmasini toping:

2. Olingan mahsulotni o'zimizga ajratamiz GCD (6240; 6800) = 80:

Ana xolos.

Keling, qoidani umumiy shaklda yozamiz:

topishga harakat qiling GCD agar ma'lum bo'lsa:

Siz boshqardingizmi? .

Salbiy raqamlar - "noto'g'ri raqamlar" va ularning insoniyat tomonidan tan olinishi.

Siz allaqachon tushunganingizdek, bu tabiiy raqamlarga qarama-qarshi raqamlar, ya'ni:

Salbiy raqamlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish mumkin - xuddi natural sonlar kabi. Ular juda o'ziga xos bo'lib tuyuladimi? Ammo haqiqat shundaki, manfiy raqamlar 19-asrga qadar matematikada o'zlarining munosib o'rinlarini "yutdilar" (shu paytgacha ular mavjudmi yoki yo'qmi, juda ko'p bahs-munozaralar mavjud edi).

Salbiy sonning o'zi "ayirish" kabi natural sonlar bilan bunday operatsiya tufayli paydo bo'lgan. Haqiqatan ham, dan ayirish - bu salbiy raqam. Shuning uchun salbiy sonlar to'plami ko'pincha "to'plamning kengaytmasi" deb ataladi natural sonlar».

Salbiy raqamlar uzoq vaqt davomida odamlar tomonidan tan olinmagan. Shunday qilib, Qadimgi Misr, Bobil va Qadimgi Gretsiya- o'z davrining chiroqlari manfiy raqamlarni tanimagan va tenglamada manfiy ildizlar olingan taqdirda (masalan, bizda bo'lgani kabi) ildizlar imkonsiz deb rad etilgan.

Birinchi marta salbiy raqamlar Xitoyda, keyin esa 7-asrda Hindistonda mavjud bo'lish huquqini oldi. Ushbu e'tirof haqida qanday fikrdasiz? To'g'ri, salbiy raqamlar qarzlarni (aks holda - etishmovchilikni) bildira boshladi. Salbiy raqamlar vaqtinchalik qiymat bo'lib, natijada ijobiyga o'zgaradi (ya'ni pul hali ham kreditorga qaytariladi) deb ishonilgan. Biroq, hind matematigi Brahmagupta o'sha paytda salbiy raqamlarni ijobiy raqamlar bilan teng ravishda ko'rib chiqdi.

Evropada manfiy raqamlarning foydaliligi, shuningdek, ular qarzni anglatishi mumkinligi ancha keyinroq, ya'ni ming yillikda paydo bo'ldi. Birinchi eslatma 1202 yilda Leonard Pizalik "Abakus kitobi" da ko'rilgan (men darhol aytamanki, kitob muallifining Piza minorasi bilan hech qanday aloqasi yo'q, lekin Fibonachchi raqamlari uning ishi ( Pizalik Leonardoning taxallusi Fibonachchi)). Bundan tashqari, evropaliklar salbiy raqamlar nafaqat qarzlarni, balki biror narsaning etishmasligini ham anglatishi mumkin degan xulosaga kelishdi, ammo buni hamma ham tan olmadi.

Shunday qilib, XVII asrda Paskal bunga ishongan. Sizningcha, u buni qanday oqladi? To'g'ri, "hech narsa hech narsadan kam bo'lishi mumkin emas". O'sha davrlarning aks-sadosi shundaki, salbiy son va ayirish operatsiyasi bir xil belgi - minus "-" bilan belgilanadi. Va haqiqat: . Raqam musbatmi, ayiriladimi yoki manfiymi, qo'shiladimi? ... "Birinchi bo'lgan" qatoridan nimadir: tovuqmi yoki tuxummi? Mana bu matematik falsafaning bir turi.

Salbiy raqamlar analitik geometriyaning paydo bo'lishi bilan, boshqacha aytganda, matematiklar haqiqiy o'q kabi narsani kiritganlarida, ularning mavjud bo'lish huquqini ta'minladilar.

Aynan shu paytdan boshlab tenglik paydo bo'ldi. Biroq, javoblardan ko'ra ko'proq savollar bor edi, masalan:

nisbat

Bu nisbat Arno paradoksi deb ataladi. O'ylab ko'ring, buning nimasi shubhali?

Keling, "" dan "" ko'proq gaplashamiz, to'g'rimi? Shunday qilib, mantiqqa ko'ra, nisbatning chap tomoni o'ng tomondan kattaroq bo'lishi kerak, lekin ular tengdir ... Mana bu paradoks.

Natijada, matematiklar 1831 yilda Karl Gauss (ha, ha, bu raqamlarning yig'indisini (yoki) hisobga olgan kishi) bunga chek qo'yganiga rozi bo'lishdi - u manfiy raqamlar musbat raqamlar bilan bir xil huquqlarga ega ekanligini aytdi va ularning hamma narsaga taalluqli emasligi hech narsani anglatmaydi, chunki kasrlar ko‘p narsaga ham taalluqli emas (kaza qazuvchi teshik qazib qo‘ymaydi, kinoga chipta sotib olmaysiz va hokazo).

Matematiklar faqat 19-asrda, manfiy sonlar nazariyasi Uilyam Hamilton va Hermann Grassmann tomonidan yaratilgandan keyin tinchlandi.

Ular qanchalik bahsli, bu salbiy raqamlar.

"Bo'shliq" ning paydo bo'lishi yoki nolning tarjimai holi.

Matematikada maxsus raqam. Bir qarashda, bu hech narsa emas: qo'shish, ayirish - hech narsa o'zgarmaydi, lekin siz uni "" huquqiga bog'lashingiz kerak va natijada olingan raqam asl raqamdan bir necha baravar ko'p bo'ladi. Nolga ko'paytirib, biz hamma narsani hech narsaga aylantiramiz, lekin biz "hech narsa" ga bo'linmaymiz. Bir so'z bilan aytganda, sehrli raqam)

Nolning tarixi uzoq va murakkab. Nolning izi xitoylarning eramizning 2000 yilgi yozuvlarida uchraydi. va undan oldin Mayya bilan. Nol belgisining birinchi qo'llanilishi, bugungi kunda bo'lgani kabi, yunon astronomlari orasida ko'rilgan.

Nima uchun bunday "hech narsa" belgisi tanlanganligi haqida ko'plab versiyalar mavjud. Ba'zi tarixchilar bu omikron ekanligiga ishonishga moyil, ya'ni. Yunoncha hech narsa so'zining birinchi harfi ouden. Boshqa versiyaga ko'ra, "obol" so'zi (deyarli hech qanday qiymatga ega bo'lmagan tanga) nol belgisiga hayot bergan.

Nol (yoki null) kabi matematik belgi birinchi bo'lib hindular orasida paydo bo'ladi (e'tibor bering, u erda salbiy raqamlar "rivojlana boshladi"). Nolni yozishning birinchi ishonchli dalillari 876 yilga to'g'ri keladi va ularda "" raqamning tarkibiy qismidir.

Zero Yevropaga ham kechikib keldi - faqat 1600 yilda va xuddi salbiy raqamlar kabi qarshilikka duch keldi (nima qilasan, ular evropaliklar).

Amerikalik matematik Charlz Seyf: "Nol ko'pincha nafratlangan, qo'rqqan yoki hatto qadimdan taqiqlangan", deb yozadi. Shunday qilib, 19-asr oxirida turk sultoni Abdul-Hamid II. tsenzuralariga barcha kimyo darsliklaridan H2O suv formulasini o'chirib tashlashni buyurdi, "O" harfini nolga tenglashtirdi va uning bosh harflarining nolga yaqinligi tufayli tuhmat qilinishini xohlamadi.

Internetda siz quyidagi iborani topishingiz mumkin: "Nol - koinotdagi eng kuchli kuch, u hamma narsani qila oladi! Nol matematikada tartibni yaratadi va bu tartibsizlikni ham keltirib chiqaradi. Mutlaqo to'g'ri nuqta :)

Bo'limning qisqacha mazmuni va asosiy formulalar

Butun sonlar to'plami 3 qismdan iborat:

  • natural sonlar (biz ularni quyida batafsil ko'rib chiqamiz);
  • tabiiy raqamlarga qarama-qarshi raqamlar;
  • nol - ""

Butun sonlar to'plami belgilanadi Z harfi.

1. Natural sonlar

Natural sonlar - bu biz ob'ektlarni hisoblash uchun ishlatadigan raqamlar.

Natural sonlar to'plami belgilanadi N harfi.

Butun sonlar bilan ishlashda sizga GCD va LCM ni topish qobiliyati kerak bo'ladi.

Eng katta umumiy bo'luvchi (GCD)

NODni topish uchun sizga kerak:

  1. Raqamlarni tub ko‘paytuvchilarga (o‘zidan boshqa hech narsaga yoki, masalan, va hokazolarga bo‘linmaydigan sonlarga) ajratish.
  2. Ikkala raqamning bir qismi bo'lgan omillarni yozing.
  3. Ularni ko'paytiring.

Eng kichik umumiy ko'p (LCM)

NOCni topish uchun sizga kerak bo'ladi:

  1. Raqamlarni asosiy omillarga ajrating (siz buni qanday qilishni allaqachon yaxshi bilasiz).
  2. Raqamlardan birining kengayishiga kiritilgan omillarni yozing (eng uzun zanjirni olish yaxshidir).
  3. Ularga qolgan raqamlarning kengayishlaridan etishmayotgan omillarni qo'shing.
  4. Olingan omillarning mahsulotini toping.

2. Salbiy sonlar

Bu natural sonlarga qarama-qarshi bo'lgan raqamlar, ya'ni:

Endi sizdan eshitmoqchiman...

Umid qilamanki, siz ushbu bo'limning juda foydali "fokuslarini" qadrladingiz va ular imtihonda sizga qanday yordam berishini tushundingiz.

Va eng muhimi, hayotda. Men bu haqda gapirmayapman, lekin menga ishoning, bu. Tez va xatosiz hisoblash qobiliyati ko'plab hayotiy vaziyatlarda qutqaradi.

Endi sizning navbatingiz!

Yozing, hisob-kitoblarda guruhlash usullari, bo'linish mezonlari, GCD va LCM dan foydalanasizmi?

Ehtimol, siz ulardan oldin foydalangandirsiz? Qaerda va qanday?

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda maqola qanday yoqqanini yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Muvaffaqiyatli uchun imtihondan o'tish, institutga byudjet bo'yicha va ENG MUHIM, umrbod qabul qilish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtliroq bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (kerak emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Bizning vazifalarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

  1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Maqola sotib oling - 299 rubl
  2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

Qabul qilish manbai: GOST 111 90: Shisha lavha. Texnik shartlar original hujjat Shuningdek, tegishli atamalarga qarang: 109. Betatron tebranishlari soni …

Fe'l, nsv., ishlatish. komp. tez-tez Morfologiya: men kiraman, siz kirasiz, u / u kiradi, biz kiramiz, siz kirasiz, ular kiradi, kiradi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi, kirdi; n., m. kirish ... Izohli lug'at Dmitrieva

Bobin to'plamining zarbalari soni- 9. Bobinlar to'plamining zarbalari soni Atrofdagi muhitga nisbatan umumiy harakat yo'nalishi bilan tavsiflangan ketma-ket bog'langan rulon guruhlari soni ichki muhit Eslatma. Harakatlar soni bo'yicha ular, masalan, bir tomonlama, ... ... farqlanadi. Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi

Dunyo haqidagi ob'ektiv, tizimli tashkil etilgan va asoslangan bilimlarni rivojlantirishga qaratilgan kognitiv faoliyatning maxsus turi. Kognitiv faoliyatning boshqa turlari bilan o'zaro ta'sir qiladi: kundalik, badiiy, diniy, mifologik ... Falsafiy entsiklopediya

Tarkib: 1) C. taʼrifi. 2) C. kelib chiqishi. 3) umumiy xususiyatlar C. 4) Tashkilot C. 5) Iqtisodiy tuzilmasi C. 6) Siyosiy roli C. 7) Oʻrta asr gildiya tashkilotining evolyutsiyasi. 8) C ning tanazzulga uchrashi. 9) Adabiyot. 1) C. ta'rifi ... ... ensiklopedik lug'at F. Brokxaus va I.A. Efron

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, Inqilobiy kalendarga qarang. Taqvim Taqvim maʼlumotlari Kalendar turi Quyosh, Oy, Oy Quyosh kalendar davri Kabisa yillarini kiritish... Vikipediya

Ushbu maqolada ma'lumot manbalariga havolalar yo'q. Ma'lumotlar tekshirilishi kerak, aks holda ular shubha ostiga olinishi va olib tashlanishi mumkin. Siz ... Vikipediya qilishingiz mumkin

Uran ... Vikipediya

Voyager 2-dan Uranning Uran fotosurati. Kashfiyot haqida ma'lumot Ochilish sanasi 1781 yil 13 mart Discoverer ... Vikipediya

Denni Phantom ... Vikipediya

Kitoblar

  • Rossiya imperiyasi tarixidagi kosmo-ritmlar (1671-1918), V. I. Vasilev. Ushbu kitob tarixning turli sanalari orasidagi sayyoraviy munosabatlarni hisoblashning original usulini taqdim etadi. Hamma joyda ishlatiladigan vaqt birliklari o'zboshimchalik bilan, ular "bog'langan" ...
  • Ezoterikning 13 eshigi. Odam Atodan hozirgi kungacha ezoterik ta'limotlar tarixi, Evgeniy Kolesov. Bu kitob muallifning 1994-95 yillarda o'qigan ma'ruzalari kursi asosida paydo bo'lgan. Madaniyat tarixi universitetida. Muallif uzoq vaqtdan beri hikoyani izchil va ob'ektiv taqdim etishga harakat qilish g'oyasiga ega edi ...

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: