Natural sonlar va nol nima. Butun sonlar

Butun sonlar eng qadimgi matematik tushunchalardan biridir.

Uzoq o'tmishda odamlar raqamlarni bilishmagan va ob'ektlarni (hayvonlarni, baliqlarni va boshqalarni) sanash kerak bo'lganda, ular buni bizdan farqli ravishda bajarishgan.

Ob'ektlarning soni tananing qismlari bilan, masalan, qo'lning barmoqlari bilan taqqoslandi va ular: "Menda qo'lda barmoqlar qancha bo'lsa, shuncha yong'oq bor", dedilar.

Vaqt o'tishi bilan odamlar beshta yong'oq, beshta echki va beshta quyonning umumiy mulki borligini tushunishdi - ularning soni beshta.

Eslab qoling!

Butun sonlar ob'ektlarni sanashda olinadigan 1 dan boshlanadigan raqamlardir.

1, 2, 3, 4, 5…

eng kichik natural son — 1 .

eng katta natural son mavjud emas.

Hisoblashda nol raqami ishlatilmaydi. Shuning uchun nol natural son hisoblanmaydi.

Odamlar raqamlarni hisoblashdan ko'ra ancha kechroq yozishni o'rgandilar. Birinchidan, ular birlikni bitta tayoq bilan, keyin ikkita tayoq bilan - 2 raqami, uchtasi - 3 raqami bilan ifodalay boshladilar.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Keyin raqamlarni belgilash uchun maxsus belgilar paydo bo'ldi - zamonaviy raqamlarning peshqadamlari. Biz raqamlarni yozish uchun ishlatadigan raqamlar Hindistonda taxminan 1500 yil oldin paydo bo'lgan. Arablar ularni Evropaga olib kelishgan, shuning uchun ular chaqiriladi Arab raqamlari.

Hammasi bo'lib o'nta raqam mavjud: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu raqamlar har qanday natural sonni yozish uchun ishlatilishi mumkin.

Eslab qoling!

tabiiy seriyalar barcha natural sonlar ketma-ketligi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Tabiiy qatorlarda har bir raqam oldingisidan 1 ga katta.

Tabiiy qator cheksiz, unda eng katta natural son yo'q.

Biz foydalanadigan hisoblash tizimi deyiladi o'nlik pozitsion.

O'nlik, chunki har bir raqamning 10 birligi eng muhim raqamning 1 birligini tashkil qiladi. Pozitsion, chunki raqamning qiymati uning raqam yozuvidagi o'rniga, ya'ni u yozilgan raqamga bog'liq.

Muhim!

Milliarddan keyingi sinflar raqamlarning lotincha nomlariga ko'ra nomlanadi. Har bir keyingi birlik mingta oldingisini o'z ichiga oladi.

  • 1 000 milliard = 1 000 000 000 000 = 1 trillion (“uch” lotincha “uch” degan ma’noni anglatadi)
  • 1 000 trillion = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrillion ("quadra" lotincha "to'rt" degan ma'noni anglatadi)
  • 1 000 kvadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintillion (“quinta” lotincha “besh” degan ma’noni anglatadi)

Biroq, fiziklar barcha atomlar sonidan oshib ketadigan raqamni topdilar ( eng kichik zarralar materiya) butun koinotda.

Bu raqam maxsus nomga ega - googol. Googol - bu 100 ta nolga ega bo'lgan raqam.

"Kvadrat funksiya" - Xususiyatlar: -a uchun > 0 uchun monotonlik oraliqlari< 0. Квадратичная функция. План: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. Определение: График: 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Quvvat funktsiyasi 9-sinf" - Biz funktsiyalar bilan tanishmiz. Quvvat funktsiyasi. U. 0. 9-sinf o'qituvchisi Ladoshkina I.A. Y \u003d x2, y \u003d x4, y \u003d x6, y \u003d x8, ... Ko'rsatkich juft natural son (2n). Y = x. Parabola. Kub parabola. y=x2n funksiya juft, chunki (–x)2n = x2n.

“8-sinf kvadratik funksiya” - 1) Parabolaning yuqori qismini tuzing. -1. Funktsiyani chizing. 2) x=-1 simmetriya o‘qini tuzing. y. Algebra 8-sinf o`qituvchisi 496-maktab Bovina TV Kvadrat funksiya grafigini qurish. x. -7. Qurilish rejasi.

"Y X funksiya grafigi" - y=x2 + n funksiya grafigi (0; n) nuqtada cho'qqisi bo'lgan paraboladir. y=(x - m)2 funksiyaning grafigi cho‘qqisi (m; 0) nuqtada bo‘lgan paraboladir. Grafiklarni ko'rish uchun bosing. Sahifani bosish orqali ko'rsatiladi. Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, y=(x - m)2 + n funksiyaning grafigi (m; n) nuqtada tepasi bo‘lgan paraboladir.

"Tabiiy logarifm" - 0,1. "Logarifmik o'qlar". 0,04. 121. Natural logarifmlar. 7.4.

"Kvadrat funksiya va uning grafigi" - Muallif: Ilya Granov. Muammoni hal qilish: Qaror. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-ga tegishli. 4. Funktsiyaning grafigi y=4x nuqta: A(0,5:1) B(-1:-4)C(-2:16)D(0,1:0,4)? a=1 bo‘lganda, y=ax formulasi shaklni oladi.

Mavzu bo'yicha jami 25 ta taqdimot mavjud

Natural sonlarni aniqlashda ikkita yondashuv mavjud:

  • sanash (raqamlash) buyumlar ( birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi…);
  • natural sonlar - qachon paydo bo'ladigan sonlar miqdorni belgilash buyumlar ( 0 ta element, 1 ta element, 2 ta element, 3 ta element, 4 ta element, 5 ta element…).

Birinchi holda, natural sonlar qatori birdan, ikkinchisida - noldan boshlanadi. Ko'pchilik matematiklar uchun birinchi yoki ikkinchi yondashuvni afzal ko'rish (ya'ni nolni natural son sifatida ko'rib chiqish yoki yo'q) haqida umumiy fikr mavjud emas. Rus manbalarining aksariyati an'anaviy ravishda birinchi yondashuvni qo'llagan. Ikkinchi yondashuv, masalan, ishlarda qo'llaniladi Nikolas Burbaki, bu erda natural sonlar sifatida aniqlanadi kuch chekli to'plamlar.

Asosiy fakt shundaki, bu aksiomalar mohiyatan o'ziga xos tarzda natural sonlarni aniqlaydi (Peano aksiomalari tizimining kategorik tabiati). Ya'ni, buni isbotlash mumkin (qarang va qisqacha dalil ham) agar (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) Va (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N))),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) Peano aksiomalari tizimi uchun ikkita model bo'lsa, ular bo'lishi kerak izomorf, ya'ni teskari xaritalash mavjud ( ikkilanish) f: N → N ~ (\displaystyle f\kolon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) shu kabi f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) Va f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\ Displaystyle f (S (x)) = (\ tilda (S)) (f (x)) Barcha uchun x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Shuning uchun natural sonlar to'plamining har qanday o'ziga xos modeli sifatida tuzatish kifoya.

Natural son sifatida nol

Ba'zan, ayniqsa, xorijiy va tarjima adabiyotida, Peanoning birinchi va uchinchi aksiomalari bittani nolga almashtiradi. Bunda nol natural son hisoblanadi. Ekvivalent to'plamlar sinflari nuqtai nazaridan aniqlanganda, nol ta'rifi bo'yicha natural sondir. Uni maxsus tashlab yuborish g'ayritabiiy bo'lar edi. Bundan tashqari, bu nazariyaning keyingi qurilishi va qo'llanilishini sezilarli darajada murakkablashtiradi, chunki ko'pgina konstruktsiyalarda nol, bo'sh to'plam kabi, izolyatsiya qilingan narsa emas. Nolni natural son deb hisoblashning yana bir afzalligi shundaki N (\displaystyle \mathbb (N)) shakllari monoid.

Rus adabiyotida nol odatda natural sonlar sonidan chiqarib tashlanadi ( 0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )) va nolga teng natural sonlar to‘plami sifatida belgilanadi N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). Agar natural sonlar ta'rifiga nol kiritilgan bo'lsa, natural sonlar to'plami shunday yoziladi N (\displaystyle \mathbb (N)), va nolsiz - kabi N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*)).

Xalqaro matematik adabiyotlarda yuqoridagilarni hisobga olgan holda va noaniqliklarga yo'l qo'ymaslik uchun to'plam ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\nuqtalar \)) odatda musbat butun sonlar to'plami deb ataladi va belgilanadi Z + (\displaystyle \mathbb (Z) _(+)). Bir guruh ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\nuqtalar \)) ko'pincha manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami deb ataladi va belgilanadi Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\geqslant 0)).

Shunday qilib, tabiiy sonlar ham to'plam tushunchasiga asoslanib, ikkita qoidaga muvofiq kiritiladi:

Shu tarzda berilgan raqamlar chaqiriladi tartibli.

Keling, birinchi bir nechta tartib sonlarni va ularga mos keladigan natural sonlarni tavsiflaymiz:

Natural sonlar to'plamining qiymati

Cheksiz to'plamning qiymati tushunchasi bilan tavsiflanadi " to'plamning kardinalligi”, bu chekli to‘plam elementlari sonini cheksiz to‘plamlarga umumlashtirishdir. Hajmi (ya'ni quvvat) bo'yicha natural sonlar to'plami har qanday chekli to'plamdan kattaroqdir, lekin har qanday intervaldan kichikdir, masalan, interval. (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Natural sonlar to'plami to'plam bilan bir xil kardinallikka ega ratsional sonlar. Natural sonlar to'plami bilan bir xil kardinallik to'plami deyiladi hisoblash mumkin bo'lgan to'plam. Shunday qilib, har qanday a'zolar to'plami ketma-ketliklar sanaladigan. Shu bilan birga, har bir natural son cheksiz ko'p marta sodir bo'ladigan ketma-ketlik mavjud, chunki natural sonlar to'plamini sanab o'tish mumkin deb ko'rsatish mumkin. ittifoq kesishmaydigan sanoqli to'plamlar (masalan, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\o'ng))).

Natural sonlar ustida amallar

TO yopiq operatsiyalar Natural sonlar ustidagi (natural sonlar toʻplamidan natija chiqmaydigan amallar) quyidagi arifmetik amallarni oʻz ichiga oladi:

Bundan tashqari, yana ikkita operatsiya ko'rib chiqiladi (rasmiy nuqtai nazardan, ular natural sonlar bo'yicha amallar emas, chunki ular uchun aniqlanmagan. hammasi raqamlar juftligi (ba'zida ular mavjud, ba'zida esa yo'q)):

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ko'paytirish amallari asosiy hisoblanadi. Ayniqsa, uzuk butun sonlar orqali aniq belgilanadi ikkilik operatsiyalar qo'shish va ko'paytirish.

Asosiy xususiyatlar

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • Ko'paytirishning kommutativligi:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a). (a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).
  • Ko'paytirishning assotsiativligi:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)). ( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(holatlar))).

Algebraik tuzilish

Qo'shish natural sonlar to'plamini aylantiradi yarim guruh birlik bilan birlik rolini bajaradi 0 . Ko'paytirish, shuningdek, natural sonlar to'plamini birlikli yarim guruhga aylantiradi, ayni paytda identifikatsiya elementi 1 . Yordamida yopilishlar qo'shish-ayirish va ko'paytirish-bo'lish amallariga nisbatan butun sonlar guruhlari olinadi. Z (\displaystyle \mathbb (Z)) va ratsional ijobiy sonlar Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) mos ravishda.

To‘plam nazariyasi ta’riflari

Biz natural sonlarning ta'rifidan foydalanamiz ekvivalentlik sinflari chekli to'plamlar. Agar to'plamning ekvivalentlik sinfini belgilasak A, yordamida bijeksiyalar orqali hosil qilingan kvadrat qavslar: [A], asosiy arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi:

Ko'rsatish mumkinki, sinflar bo'yicha hosil bo'lgan amallar to'g'ri kiritilgan, ya'ni ular sinf elementlarini tanlashga bog'liq emas va induktiv ta'riflar bilan mos keladi.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Adabiyot

  • Vygodskiy M. Ya. Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma. - M.: Nauka, 1978 yil.
    • Qayta nashr: M.: AST, 2006,

Matematika umumiy falsafadan miloddan avvalgi VI asrda paydo bo'lgan. e. va shu paytdan boshlab uning butun dunyo bo'ylab g'alabali yurishi boshlandi. Rivojlanishning har bir bosqichi yangi narsalarni kiritdi - elementar hisoblash rivojlandi, differentsial va integral hisoblarga aylandi, asrlar o'zgardi, formulalar tobora chalkash bo'ldi va "eng murakkab matematika boshlangan - barcha raqamlar undan g'oyib bo'ldi". Lekin asos nima edi?

Vaqtning boshlanishi

Natural sonlar birinchi matematik amallar bilan birga paydo bo'ldi. Bir marta umurtqa pog'onasi, ikkita umurtqa pog'onasi, uchta umurtqa pog'onasi ... Ular birinchi pozitsiyani aniqlagan hind olimlari tufayli paydo bo'ldi.

"Pozitsiyalilik" so'zi raqamdagi har bir raqamning joylashuvi qat'iy belgilanganligini va uning toifasiga mos kelishini anglatadi. Misol uchun, 784 va 487 raqamlari bir xil raqamlar, lekin raqamlar ekvivalent emas, chunki birinchisida 7 yuz, ikkinchisida esa atigi 4. Arablar raqamlarni shaklga keltirgan hindlarning yangiligini oldilar. Biz hozir bilamiz.

Qadim zamonlarda raqamlar berilgan mistik ma'no, Pifagorlar dunyoning yaratilishida asosiy elementlar - olov, suv, er, havo bilan birga raqam yotadi, deb hisoblagan. Agar biz hamma narsani faqat matematik tomondan ko'rib chiqsak, unda natural son nima? Natural sonlar maydoni N bilan belgilanadi va butun va musbat sonlarning cheksiz qatoridir: 1, 2, 3, … + ∞. Nol bundan mustasno. U asosan narsalarni sanash va tartibni ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Matematikada nima bor? Peano aksiomalari

N maydoni elementar matematika tayanadigan asosiy maydondir. Vaqt o'tishi bilan, butun sonlar maydonlari, ratsional,

Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning ishi arifmetikaning keyingi tuzilishiga imkon berdi, uning rasmiyatchiligiga erishdi va N sohasidan tashqariga chiqadigan keyingi xulosalar uchun yo'l ochdi.

Natural son nima, u avvalroq aniqlangan oddiy til, Peano aksiomalariga asoslangan matematik ta'rif quyida ko'rib chiqiladi.

  • Bittasi natural son hisoblanadi.
  • Natural sondan keyin keladigan son natural sondir.
  • Bittadan oldin natural son yo'q.
  • Agar b soni c soniga ham, d soniga ham ergashsa, c=d.
  • Induksiya aksiomasi, bu o'z navbatida natural son nima ekanligini ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir bayonot 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda N natural sonlar maydonidan n soni uchun ham ishlaydi deb faraz qilamiz. gap N natural sonlar maydonidan n =1 uchun ham to'g'ri.

Natural sonlar maydoni uchun asosiy amallar

N maydoni matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, ta'rif sohalari ham, quyidagi operatsiyalarning qiymatlari diapazonlari ham unga tegishli. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar qanday raqamlar ishtirok etishidan qat'i nazar, N to'plam ichida natija qoldirishi kafolatlanadi. Ularning tabiiy bo'lishi kifoya. Qolgan sonli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi unchalik aniq emas va to'g'ridan-to'g'ri ifodada qanday raqamlar ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yopiq operatsiyalar:

  • qo'shish - x + y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
  • ko'paytirish - x * y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
  • eksponentatsiya - x y , bu erda x, y N maydoniga kiritilgan.

"Natural son nima" ta'rifi kontekstida natijasi bo'lmasligi mumkin bo'lgan qolgan operatsiyalar quyidagilardir:


N maydoniga tegishli sonlarning xossalari

Keyingi barcha matematik mulohazalar quyidagi xususiyatlarga asoslanadi, eng ahamiyatsiz, ammo muhim emas.

  • Qo'shishning kommutativ xossasi x + y = y + x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan. Yoki hammaga ma'lum bo'lgan "ayrimlarning joylari o'zgarishidan yig'indi o'zgarmaydi".
  • Ko'paytirishning kommutativ xususiyati x * y = y * x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan.
  • Qo'shishning assotsiativ xossasi (x + y) + z = x + (y + z) bo'lib, bu erda x, y, z N maydoniga kiradi.
  • Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati (x * y) * z = x * (y * z) bo'lib, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.
  • taqsimot xossasi - x (y + z) = x * y + x * z, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.

Pifagor stoli

Maktab o'quvchilarining boshlang'ich matematikaning butun tuzilishini bilishlaridagi birinchi qadamlardan biri, ular o'zlari uchun qaysi raqamlar tabiiy deb atalishini tushunganlaridan so'ng, bu Pifagor jadvalidir. Uni nafaqat ilm-fan nuqtai nazaridan, balki qimmatli ilmiy yodgorlik sifatida ham qarash mumkin.

Vaqt o'tishi bilan bu ko'paytirish jadvali bir qator o'zgarishlarga duch keldi: undan nol olib tashlandi va 1 dan 10 gacha raqamlar buyurtmalarni hisobga olmagan holda (yuzlab, minglab ...) o'zlarini bildiradi. Bu jadval bo'lib, unda satrlar va ustunlar sarlavhalari raqamlardan iborat bo'lib, ularning kesishgan kataklari tarkibi ularning mahsulotiga teng bo'ladi.

So'nggi o'n yilliklarda o'qitish amaliyotida Pifagor jadvalini "tartibda" yodlash zarurati paydo bo'ldi, ya'ni yodlash birinchi o'ringa chiqdi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, chunki natija 1 yoki undan ko'p edi. Ayni paytda, yalang'och ko'z bilan jadvalda siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti bir bosqichga o'sadi, bu chiziq sarlavhasiga teng. Shunday qilib, ikkinchi omil bizga kerakli mahsulotni olish uchun birinchisini necha marta olishimiz kerakligini ko'rsatadi. Bu tizim O'rta asrlarda qo'llanilganidan ancha qulayroq: hatto natural son nima ekanligini va u qanchalik ahamiyatsiz ekanligini tushunib, odamlar ikkining kuchiga asoslangan tizim yordamida kundalik hisoblashni murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi.

Matematikaning beshigi sifatida kichik to'plam

Yoniq bu daqiqa natural sonlar maydoni N faqat kompleks sonlarning kichik to'plamlaridan biri sifatida ko'rib chiqiladi, ammo bu ularni fanda kamroq qimmatli qilmaydi. Tabiiy son - bu bolaning o'zini o'rganish orqali o'rganadigan birinchi narsa va dunyo. Bir barmoq, ikki barmoq ... Unga rahmat, inson shakllanadi mantiqiy fikrlash, shuningdek, sababni aniqlash va natijani xulosa qilish qobiliyati buyuk kashfiyotlar uchun yo'l ochib beradi.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: