To'rtburchakning gipotenuzasi nima. To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini qanday topish mumkin? Geometriya asoslari

Eng boshida biz uchburchak 3 ta burchakka ega bo'lgan ko'pburchak ekanligini eslaymiz. To'g'ri burchakli uchburchakning boshqa o'lchamlari ma'lum bo'lsa, uning gipotenuzasi qanday topiladi?

Ko'rsatma

  1. Oyoqlarning uzunligi ma'lum. IN bu holat, gipotenuzani Pifagor teoremasi yordamida hisoblash mumkin. Bu teorema shunday eshitiladi: oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng. Bundan kelib chiqadiki, gipotenuzaning uzunligini hisoblash uchun har bir oyoqning qiymatini navbat bilan kvadratga solish kerak. Keyin olingan raqamlarni qo'shing va umumiy natijadan kvadrat ildizni oling.
  2. Agar oyoq (VC) va unga tutash burchak ma'lum bo'lsa, KFB uchburchagida gipotenuzani qanday topish mumkin? Ma'lum burchakni a bilan belgilaymiz. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan biri quyidagicha: to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati gipotenuza va bu oyoq orasidagi burchakning kosinusiga teng. Buni quyidagicha yozish mumkin: FB=BK*cos(a).
  3. Yana bir oyoq (KF) ma'lum va bir xil burchak a, Endi u qarama-qarshi bo'ladi. Gipotenuzani to'g'ri burchakli uchburchakning bir xil xususiyatlarini qo'llash orqali ham topish mumkin. Bu erdan olamiz, to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligining uning gipotenuzasi uzunligiga nisbati oyoqqa qarama-qarshi burchak sinusiga teng. Biz yozamiz: FB=KF*sin(a).
  4. Agar uchburchak atrofida uning radiusi ma'lum bo'lgan doira tasvirlangan bo'lsa, uning gipotenuzasi qanday topiladi. To'g'ri burchakli uchburchak atrofida o'ralgan doiraning xususiyatlaridan ma'lumki, bunday aylana gipotenuza nuqtasiga to'g'ri keladigan markazga ega bo'lib, uni yarmiga bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, radius gipotenuzaning yarmiga teng. Bu esa ikki radius gipotenuzani tashkil etishini bildiradi: FB=2*R.

To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlarini va Pifagor teoremasini bilgan holda, gipotenuzaning uzunligini hisoblash juda oson. Agar siz uchun barcha xususiyatlarni eslab qolish hali ham qiyin bo'lsa, unda almashtirish juda oson bo'lgan tayyor formulalarni o'rganing. ma'lum qiymatlar gipotenuzaning uzunligini hisoblash uchun.

dan tarjima qilingan yunoncha, gipotenuza "cho'zilgan" degan ma'noni anglatadi. To'g'ri tushunish uchun egiluvchan tayoqning ikki uchini bog'laydigan kamon ipini tasavvur qiling. Bu yerda ham to'g'ri uchburchak, eng uzun tomoni qarama-qarshi joylashgan gipotenuzadir to'g'ri burchak. U oyoqlar deb ataladigan boshqa ikki tomonning birlashtiruvchisi sifatida ishlaydi. Ushbu "string" qancha uzunligini bilish uchun siz oyoqlarning uzunligi yoki ikkita o'tkir burchakning qiymatiga ega bo'lishingiz kerak. Ushbu ma'lumotlarni birlashtirib, formulalar yordamida kerakli qiymatni hisoblashingiz mumkin.

Oyoqlar bilan gipotenuzani qanday topish mumkin

Ikki oyoqning qiymatini bilsangiz, hisoblashning eng oson usuli (bir A, ikkinchisini B deb belgilaymiz). Pifagorning o'zi va uning dunyoga mashhur teoremasi yordamga keladi. Uning aytishicha, agar biz oyoqlarning uzunligini kvadratga aylantirsak va hisoblangan qiymatlarni qo'shsak, natijada biz gipotenuzaning kvadrat uzunligining qiymatini bilib olamiz. Yuqoridagilardan xulosa qilamiz: gipotenuzaning qiymatini topish uchun C \u003d √ (A² + B²) oyoqlari kvadratlarining umumiy yig'indisining kvadrat ildizini olish kerak. Misol: oyoq A \u003d 10 sm, oyoq B \u003d 20 sm. Gipotenuza 22,36 sm. Hisoblash quyidagicha: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √30.2.

Burchak orqali gipotenuzani qanday topish mumkin

Berilgan burchak orqali gipotenuzaning uzunligini hisoblash biroz qiyinroq. Agar siz ikki oyoqdan birining o‘lchamini (A ni belgilaymiz) va unga qarama-qarshi joylashgan burchakning o‘lchamini (a ni belgilaymiz) bilsangiz, gipotenuzaning o‘lchami trigonometriya, xususan, sinus yordamida topiladi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa ma'lum oyoqning qiymatini burchakning sinusiga bo'lishdir. C=A/sin(a). Misol: oyoq uzunligi A = 30 sm, unga qarama-qarshi burchak 45 °, gipotenuza 42,25 sm bo'ladi Hisoblash quyidagicha: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Boshqa usul - kosinus yordamida gipotenuzaning o'lchamini topishdir. Agar siz oyoqning o'lchamini (B ni belgilaymiz) va unga qo'shni bo'lgan o'tkir burchakni (a ni belgilaymiz) bilsangiz ishlatiladi. Sizga kerak bo'lgan yagona narsa, oyoq qiymatini burchakning sinusiga bo'lishdir. S=V/cos(a). Misol: oyoqning uzunligi B = 30 sm, unga qarama-qarshi burchak 45 °, gipotenuza 42,25 sm bo'ladi Hisoblash quyidagicha: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi qanday topiladi

O'zini hurmat qiladigan har qanday talaba uchburchakning teng yonli ekanligini biladi, agar uch tomonning ikkitasi bir-biriga teng bo'lsa. Bu tomonlar lateral deb ataladi, qolgan qismi esa asosdir. Agar burchaklardan biri 90 ° bo'lsa, sizda teng yonli uchburchak mavjud.

Bunday uchburchakda gipotenuzani topish juda oddiy, chunki u yordam beradigan bir nechta xususiyatlarga ega. Poydevorga ulashgan burchaklar bir xil qiymatga ega, burchaklarning umumiy yig'indisi 180 ° ga teng. Bu shuni anglatadiki, to'g'ri burchak asosga qarama-qarshi yotadi, ya'ni asos gipotenuza, oyoqlari yon tomonlardir.

Misolni ko'rib chiqing: oyog'i A \u003d 2 sm, ya'ni boshqa oyog'i 2 sm. Shunday qilib, biz Pifagor teoremasini qayta yozamiz: C² \u003d 2 * A². Ma'lumotlarni formulaga almashtirib, 2,83 sm ga teng gipotenuzaning qiymatini olamiz.Xulosa: agar teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning bir tomoni 2 sm bo'lsa, uning asosi 2,83 sm bo'ladi.

Agar burchaklaridan biri 90º bo'lsa, uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, qolgan ikkitasi esa oyoqlar deb ataladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda burchakni topish uchun to'g'ri burchakli uchburchaklarning ba'zi xususiyatlaridan foydalaniladi, xususan: o'tkir burchaklar yig'indisi 90º ekanligi, shuningdek, uzunligi gipotenuzaning yarmi bo'lgan oyoqqa qarama-qarshi tomonda joylashganligi. burchak 30º ga teng.

Tez maqola navigatsiyasi

Izosceles uchburchagi

Teng yonli uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikkita burchagi tengdir. To'g'ri burchakli teng burchakli uchburchak burchaklarining qiymatlarini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

  • To'g'ri burchak 90º.
  • O'tkir burchaklarning qiymatlari formula bo'yicha aniqlanadi: (180º-90º)/2=45º, ya'ni. a va b burchaklari 45º.

Agar o'tkir burchaklardan birining qiymati ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: b=180º-90º-a yoki a=180º-90º-b. Ko'pincha, bu nisbat burchaklardan biri 60º yoki 30º bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi 180º ga teng. Bir burchak to'g'ri bo'lgani uchun, qolgan ikkitasi o'tkir bo'ladi. Ularni topish uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:


boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining qiymatlarini mediananing qiymatini bilish orqali hisoblash mumkin - uchburchakning uchidan qarama-qarshi tomoniga chizilgan chiziq va balandlik - perpendikulyar tushirilgan to'g'ri chiziq. to'g'ri burchakdan gipotenuzaga. To'g'ri burchakdan gipotenuzaning o'rta nuqtasiga chizilgan mediana s, balandlik bo'lsin. Bunday holda ma'lum bo'ladi:


  • sina=b/(2*s); sinb=a/(2*s).
  • cosa=a/(2*s); cos b=b/(2*s).
  • sina=h/b; sinb=h/a.

Ikki tomon

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi va oyoqlaridan biri yoki ikki tomoni ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini topish uchun trigonometrik identifikatsiyalardan foydalaniladi:

  • a=arksin(a/c), b=arksin(b/c).
  • a=arcos(b/c), b=arcos(a/c).
  • a=arctg(a/b), b=arctg(b/a).
Ushbu maqolani baham ko'ring ijtimoiy tarmoqdagi do'stlar bilan tarmoqlar:

Ko'rsatma

Agar siz Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzani hisoblashingiz kerak bo'lsa, quyidagi algoritmdan foydalaning: - Uchburchakda qaysi tomonlari oyoqlar va qaysilari gipotenuza ekanligini aniqlang. To'qson graduslik burchakni tashkil etuvchi ikki tomon - oyoqlar, uchburchakning qolgan uchinchi tomoni - gipotenuza. (rasmga qarang) - Ushbu uchburchakning har bir oyog'ini ikkinchi darajaga ko'taring, ya'ni ularning qiymatini o'z-o'zidan ko'paytiring. Misol 1. Agar uchburchakda bir oyog'i 12 sm, ikkinchisi 5 sm bo'lsa, gipotenuzani hisoblash kerak bo'lsin.Birinchidan, oyoqlarning kvadratlari: 12 * 12 = 144 sm va 5 * 5 = 25 sm. - Keyin, kvadratlarning oyoqlari yig'indisini aniqlang. Muayyan raqam kvadratdir gipotenuza, shuning uchun topish uchun raqamning ikkinchi kuchidan qutulish kerak uzunligi uchburchakning bu tomoni. Buning uchun kvadrat ildiz ostidan oyoq kvadratlari yig'indisining qiymatini ajratib oling. 1-misol. 144+25=169. 169 ning kvadrat ildizi 13 bo'ladi. Demak, buning uzunligi gipotenuza 13 sm ga teng.

Uzunlikni hisoblashning yana bir usuli gipotenuza uchburchakdagi burchaklarning sinusi va kosinuslari terminologiyasida yotadi. Ta'rifga ko'ra: alfa burchagi sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati. Ya'ni, rasmga qarab, sin a \u003d CB / AB. Demak, gipotenuza AB \u003d CB / sin a. 2-misol. a burchagi 30 gradus, unga qarama-qarshi oyog'i 4 sm bo'lsin.Siz gipotenuzani topishingiz kerak. Yechim: AB \u003d 4 sm / sin 30 \u003d 4 sm / 0,5 \u003d 8 sm. Javob: uzunlik gipotenuza 8 sm ga teng.

Xuddi shunday topish usuli gipotenuza burchak kosinusining ta'rifidan. Burchakning kosinusu - unga qo'shni oyoqning nisbati va gipotenuza. Ya'ni, cos a \u003d AC / AB, shuning uchun AB \u003d AC / cos a. Misol 3. ABC uchburchakda AB gipotenuza, BAC burchagi 60 gradus, AC oyoq 2 sm.AB ni toping.
Yechim: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 sm.Javob: gipotenuzaning uzunligi 4 sm.

Maslahat 2: To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligini qanday topish mumkin

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakda tomonlarning eng uzuni deb ataladi, shuning uchun bu so'z yunon tilidan "cho'zilgan" deb tarjima qilinganligi ajablanarli emas. Bu tomon har doim 90 ° burchakka qarama-qarshi yotadi va bu burchakni tashkil etuvchi tomonlar oyoqlar deb ataladi. Ushbu tomonlarning uzunligini va bu qiymatlarning turli kombinatsiyalarida o'tkir burchaklarning kattaligini bilib, gipotenuzaning uzunligini ham hisoblash mumkin.

Ko'rsatma

Agar uchburchakning ikkala oyog'ining uzunligi (A va B) ma'lum bo'lsa, gipotenuzaning (C) uzunligini topish uchun sayyoramizdagi eng mashhur matematik postulat - Pifagor teoremasidan foydalaning. Unda aytilishicha, gipotenuza uzunligining kvadrati oyoqlar uzunliklarining kvadratlari yig'indisiga teng, shundan kelib chiqadiki, siz ikkita ma'lum tomonning kvadrat uzunliklari yig'indisining kvadrat ildizini hisoblashingiz kerak: C \u003d √ (A² + B²). Masalan, agar bir oyog'ining uzunligi 15 santimetr, ikkinchisi esa 10 santimetr bo'lsa, u holda gipotenuzaning uzunligi taxminan 18,0277564 santimetr bo'ladi, chunki √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈75 √325≈75. .

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda faqat bitta oyoqning uzunligi (A) ma'lum bo'lsa, shuningdek unga qarama-qarshi burchakning qiymati (a), u holda gipotenuzaning uzunligi (C) dan biri yordamida aniqlanishi mumkin. trigonometrik funktsiyalar- sinus. Buning uchun ma'lum tomonning uzunligini ma'lum burchakning sinusiga bo'ling: C=A/sin(a). Masalan, agar oyoqlardan birining uzunligi 15 santimetr bo'lsa va uchburchakning qarama-qarshi cho'qqisidagi burchak 30 ° bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 30 santimetr bo'ladi, chunki 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Geometriya oson fan emas. Bu ikkalasi uchun ham foydali bo'lishi mumkin maktab o'quv dasturi, shuningdek, ichida haqiqiy hayot. Ko'pgina formulalar va teoremalarni bilish geometrik hisoblarni soddalashtiradi. Geometriyadagi eng oddiy shakllardan biri uchburchakdir. Teng tomonli uchburchaklar navlaridan biri o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Teng tomonli uchburchakning xususiyatlari

Ta'rifga ko'ra, uchburchak - bu uchta burchak va uch tomoni bo'lgan ko'pburchak. Bu tekis ikki o'lchovli raqam, uning xususiyatlari o'rta maktabda o'rganiladi. Burchak turiga ko'ra o'tkir burchakli, o'tkir burchakli va to'g'ri burchakli uchburchaklar farqlanadi. To'g'ri burchakli uchburchak geometrik shakl bu erda burchaklardan biri 90º. Bunday uchburchakning ikkita oyog'i bor (ular to'g'ri burchak hosil qiladi) va bitta gipotenuza (u to'g'ri burchakka qarama-qarshidir). Qaysi miqdorlar ma'lum bo'lishiga qarab, uchtasi bor oddiy usullar To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini hisoblang.

Birinchi usul to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini topishdir. Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning har qanday tomonlarini hisoblashning eng qadimgi usuli hisoblanadi. Bu shunday eshitiladi: "To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng." Shunday qilib, gipotenuzani hisoblash uchun ikki oyoq kvadratining yig'indisining kvadrat ildizini olish kerak. Aniqlik uchun formulalar va diagramma berilgan.


Ikkinchi yo'l. Gipotenuzani ikkita ma'lum qiymatdan foydalangan holda hisoblash: oyoq va qo'shni burchak

To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati bu oyoq va gipotenuza orasidagi burchakning kosinusiga ekvivalentdir. Bizga ma'lum bo'lgan burchakni a deb ataymiz. Endi, taniqli ta'rif tufayli biz gipotenuzani hisoblash uchun formulani osongina shakllantirishimiz mumkin: Gipotenuza = leg/cos (a)


Uchinchi yo'l. Gipotenuzani ikkita ma'lum qiymatdan foydalanib hisoblash: oyoq va qarama-qarshi burchak

Agar qarama-qarshi burchak ma'lum bo'lsa, to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan yana foydalanish mumkin. Oyoq uzunligi va gipotenuzaning nisbati qarama-qarshi burchakning sinusiga ekvivalentdir. Yana qo'ng'iroq qilaylik mashhur burchak a. Endi hisob-kitoblar uchun biz biroz boshqacha formulani qo'llaymiz:
Gipotenuza = oyoq/sin (a)


Formulalarni tushunishga yordam beradigan misollar

Har bir formulani chuqurroq tushunish uchun siz tasviriy misollarni ko'rib chiqishingiz kerak. Shunday qilib, shunday ma'lumotlar mavjud bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak berilgan deylik:

  • Oyoq - 8 sm.
  • Qo'shni burchak cosa1 0,8 ga teng.
  • Qarama-qarshi burchak sina2 0,8 ga teng.

Pifagor teoremasiga ko'ra: Gipotenuz \u003d kvadrat ildiz (36 + 64) \u003d 10 sm.
Oyoqning o'lchami va kiritilgan burchak bo'yicha: 8 / 0,8 \u003d 10 sm.
Oyoqning kattaligi va qarama-qarshi burchak bo'yicha: 8 / 0,8 \u003d 10 sm.

Formulani tushunganingizdan so'ng, siz har qanday ma'lumot bilan gipotenuzani osongina hisoblashingiz mumkin.


Video: Pifagor teoremasi

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: