III. Beispiele für Probleme mit Lösungen

Klasse: 11

Präsentation für den Unterricht

Zurück vorwärts

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Der Zweck der Lektion:

Förderung der Entwicklung von Fähigkeiten zur Division eines Polynoms durch ein Polynom und zur Verwendung des Horner-Schemas;
Stärken Sie Ihre Fähigkeiten in OpenOffice.org Calc-Tabellen;
die Aktivitäten der Schüler organisieren, um neues Wissen wahrzunehmen, zu verstehen und sich zunächst einzuprägen;
Analysieren und beweisen Sie den Satz von Bezout bei der Lösung einer Problemsituation: Ist es möglich, ein Polynom dritten Grades zu faktorisieren?
Erwägen Sie die Verwendung des Bezout-Theorems zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.
Entwicklung fördern logisches Denken, Aufmerksamkeit, Sprache und Fähigkeit zum selbstständigen Arbeiten.

Unterrichtsart: Lektion zur Einführung neuen Materials.

Ausrüstung: Multimedia-Projektor, Unterrichtspräsentation, Computerunterricht.

„Um den Geist zu verbessern, muss man mehr argumentieren als auswendig lernen.“
Descartes (1596 -1650). Französischer Mathematiker, Physiker, Philologe, Philosoph.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren

Unsere Aufgabe heute ist Gemeinsame Aktivitäten Bestätigen Sie die Worte von Descartes (Folie 1). Das Thema unserer Lektion (Folie 2) „Theorem von Bezout“ ist so bedeutsam, dass es sogar in verwendet wird Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen und verschiedene Olympiaden. Der Satz von Bezout erleichtert die Lösung vieler Probleme, die Gleichungen höheren Grades enthalten. Leider wird es nur auf Profilebene untersucht.

II. Die Entstehung einer problematischen Situation

In dieser Lektion lernen wir, wie man Gleichungen höheren Grades löst, und leiten den Lösungsalgorithmus selbst ab.

Löse die Gleichung: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(Folie 3). Es entsteht ein Problem: Wir verstehen, dass es praktisch wäre, die linke Seite der Gleichung als Produkt darzustellen, und da das Produkt gleich Null ist, dann jeden Faktor mit Null gleichzusetzen. Dazu müssen Sie das Polynom dritten Grades faktorisieren. Aber wie? Ist es in unserem Fall möglich, den gemeinsamen Faktor zu gruppieren oder einzuklammern? (Nein).

III. Aktualisierung des Referenzwissens

Erinnern wir uns, wie man das Polynom x 2 - 5x - 6 faktorisiert? (Folie 4).

(Gemäß der Formel zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x-x 2), wobei x 1 und x 2 Wurzeln des Trinoms sind).

Finden Sie die Wurzeln des Trinoms auf zwei Arten. Welche?

(unter Verwendung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung und des Satzes von Vieta).

Ein Schüler aus jeder Gruppe löst an der Tafel. Der Rest der Schüler ist in ihren Heften. Wir haben: x 2 - 5x - 6 = (x - 6) (x + 1).

Das bedeutet, dass das Trinom durch jedes der Binome teilbar ist: x – 6 und x + 1.

Achten Sie auf den freien Term unseres Trinoms und finden Sie seine Teiler (±1, ±2, ±3, ±6).

Welche Teiler sind die Wurzeln des Trinoms? (-1 und 6)

Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen? (Die Wurzeln des Trinoms sind Teiler des freien Termes).

IV. Eine Hypothese aufstellen

Welches Monom hilft Ihnen also, die Wurzeln eines Polynoms zu finden?

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(Freies Mitglied).

Notieren Sie seine Teiler: ±1; ±2; ±4.

Finden Sie die Polynomwerte für jeden Teiler. Mithilfe von Tabellenkalkulationen und direkt:

Die 1. Gruppe rechnet im Notebook, die zweite am Computer in OpenOffice.org Calc.

P(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(Bei der Berechnung in Tabellenkalkulationen geben die Schüler in Zelle B2 die Formel ein: =A1^3-2*A1^2-6*A1+4. Mithilfe der Autovervollständigungsmarkierung erhalten sie die Werte des Polynoms in der gesamten Spalte ).

Welcher Teiler ist die Wurzel des Polynoms? (-2)

Somit wird einer der Faktoren in der Entwicklung x-(-2) = x + 2 sein.

Wie finde ich andere Multiplikatoren?

(Dividieren Sie „in einer Spalte“ durch das Binomial x + 2)

Wie ist es sonst möglich? (nach Horners Schema). (Folie 5)

Was ist Horners Plan? ( Horners Schema ist ein Algorithmus zur Division von Polynomen, der für den Sonderfall geschrieben wurde, dass der Divisor gleich einem Binomial ist x–a).

Wir führen die Aufteilung durch: Die erste Gruppe befindet sich „in einer Spalte“, die zweite – nach Horners Schema.

Ohne Spur geteilt.

Kehren wir zur Gleichung zurück: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - quadratische Gleichung. Löse es:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Antwort: -2, .

Kann es beim Teilen zu einem Rest kommen? Wir werden diese Frage später beantworten. Benennen Sie nun den Wert des Polynoms bei x = - 2. (Der Wert ist Null).

Bitte beachten Sie, dass x = - 2 die Wurzel des Polynoms ist und der Rest bei Division des Polynoms durch x-(-2) 0 ist.

Bedenken Sie, dass x = 1 nicht die Wurzel der Gleichung ist.

Versuchen wir, das Polynom durch zu dividieren x-1. Die zweite Gruppe führt eine lange Division durch. Die erste ergänzt nach Horners Schema die Tabelle um eine weitere Zeile.

Also, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x – 1)∙(x 2 - x – 7) – 3.

Beachten Sie, dass x=1 nicht die Wurzel des Polynoms ist und der Rest bei der Division des Polynoms durch (x-1) gleich dem Wert des Polynoms bei x=1 ist.

Hier ist die Antwort auf die Frage nach dem Rest. Ja, der Rest wurde für einen Wert von x erhalten, der nicht die Wurzel des Polynoms ist.

Lassen Sie uns Horners Schema für die verbleibenden Teiler des freien Termes fortsetzen. Lassen Sie nun die erste Gruppe am Computer rechnen und die zweite in Notizbüchern.

V. Beweis der Hypothese

(Folie 6) Beim Rest ist Ihnen ein Muster aufgefallen. Welcher? (Der Rest wird für einen Wert von x erhalten, der nicht die Wurzel des Polynoms ist).

Schreiben wir dieses Muster ein Gesamtansicht.

Sei P(x) ein Polynom und a eine Zahl.

Beweisen wir die Aussage: Der Rest, wenn P(x) durch (x - a) geteilt wird, ist gleich P(a).

Nachweisen. Teilen Sie P(x) durch den Rest durch (x - a).

Wir erhalten P(x)= (x - a)Q(x) + R; Per Definition eines Restes ist das Polynom r entweder gleich 0 oder hat einen Grad kleiner als der Grad (x – a), d. h. kleiner als 1. Der Grad eines Polynoms ist jedoch nur dann kleiner als 1, wenn er gleich 0 ist, und daher ist R in beiden Fällen tatsächlich eine Zahl – Null oder ungleich Null.

Wenn wir nun den Wert x = a in die Gleichung P(x)= (x - a)Q(x) + R einsetzen, erhalten wir P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) = R , also tatsächlich R = P(a).

Dieses Muster wurde auch vom Mathematiker Bezout bemerkt.

Nachricht des Schülers

(Folie 7) Etienne Bezu – französischer Mathematiker, Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften (seit 1758), wurde am 31. März 1730 in Nemours geboren und starb am 27. September 1783. Seit 1763 unterrichtete Bezu Mathematik an der Midshipmen's School und seit 1768 am Royal Artillery Corps.

Die Hauptwerke von Etienne Bezout beziehen sich auf die höhere Algebra; sie widmen sich der Erstellung einer Theorie zur Lösung algebraischer Gleichungen.

In der Theorie der Lösung von Systemen lineare Gleichungen Er trug zur Entstehung der Determinantentheorie bei, entwickelte die Theorie der Eliminierung von Unbekannten aus Gleichungssystemen höheren Grades und bewies den Satz (erstmals von Maclaurin formuliert), dass sich zwei Kurven der Ordnung m und n an höchstens mn Punkten schneiden.

In Frankreich und im Ausland erfreute sich bis 1848 sein sechsbändiger „Mathematikkurs“, den er 1764–69 verfasste, großer Beliebtheit.

Bezout entwickelte die Methode der unbestimmten Multiplikatoren. In der Elementaralgebra ist eine auf dieser Methode basierende Methode zur Lösung von Gleichungssystemen nach ihm benannt.

Ein Teil von Bezouts Werken ist der Außenballistik gewidmet.

Einer der Grundsätze der Algebra ist nach dem Wissenschaftler benannt.

Folge

Wie groß muss der Rest sein, damit das Polynom P(x) durch das Binomial (x – a) teilbar ist? (gleich 0).

Wir erhalten eine Folgerung aus dem Satz von Bezout: Damit das Polynom P(x) durch ein Binomial (x – a) teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Gleichheit P(a) = 0 erfüllt ist.

VI. Assimilation des Gelernten

(Folie 8) Lösen Sie die Gleichung: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

Die ganzzahligen Wurzeln des Polynoms P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 müssen Teiler des freien Termes sein, es können also die Zahlen -1, 1, 3, -3 sein.

Wählen wir eine Wurzel nach dem Horner-Schema aus:

VII. Ergebnis:

Was sagt uns also Bezouts Theorem? (Folie 9)

Der Satz von Bezout ermöglicht es, nachdem man eine Wurzel eines Polynoms gefunden hat, weiter nach den Wurzeln eines Polynoms zu suchen, dessen Grad um 1 kleiner ist: wenn P(a) = 0, dann P(x)= (x - a)Q( x), und alles, was bleibt, ist, die Gleichung Q (x) = 0 zu lösen. Mit dieser Technik – sie wird als Reduzierung des Grades bezeichnet – können Sie manchmal alle Wurzeln eines Polynoms finden.

Zuvor wurde der Begriff eines Polynoms als algebraische Summe von Monomen definiert. Wenn alle ähnlichen Monome eines Polynoms angegeben und in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen angeordnet sind, wird der resultierende Datensatz aufgerufen kanonische Notation Polynom.

Definition. Ausdruck der Form

Wo X– eine Variable, reelle Zahlen und , wird aufgerufen Polynom des Grades N aus Variable X . Grad eines Polynoms ist die größte Potenz der Variablen in ihrer kanonischen Notation. Wenn die Variable nicht in der Polynomschreibweise vorkommt, d. h. Das Polynom ist gleich einer Konstante, sein Grad wird als gleich 0 angesehen. Der Fall, in dem das Polynom separat betrachtet werden muss. In diesem Fall wird allgemein angenommen, dass der Grad nicht definiert ist.

Beispiele. Polynom zweiten Grades,

Polynom fünften Grades.

Definition. Zwei Polynome gleich genau dann, wenn sie in ihren kanonischen Formen bei gleichen Potenzen die gleichen Koeffizienten haben.

Definition. Die Nummer wird angerufen Wurzel des Polynoms, wenn stattdessen diese Nummer eingestellt wird X Das Polynom nimmt den Wert 0 an, d.h. Mit anderen Worten, wird die Wurzel der Gleichung sein

Somit ist das Problem, alle Wurzeln eines Polynoms und die Wurzeln einer rationalen Gleichung zu finden, ein und dasselbe Problem.

Rationale Gleichungen ersten und zweiten Grades werden mit bekannten Algorithmen gelöst. Es gibt auch Formeln zum Finden der Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades (Cardano- und Ferrari-Formeln), die jedoch aufgrund ihrer Umständlichkeit nicht in den Unterricht der Elementarmathematik einbezogen werden.

Die allgemeine Idee, die Wurzeln von Polynomen höheren Grades zu finden, besteht darin, das Polynom zu faktorisieren und die Gleichung durch einen äquivalenten Satz von Gleichungen niedrigeren Grades zu ersetzen.

In früheren Themen wurden die wichtigsten Methoden zum Faktorisieren von Polynomen erwähnt: Nehmen eines gemeinsamen Faktors; Gruppierung; abgekürzte Multiplikationsformeln.

Da die Gruppierungsmethode jedoch nicht algorithmischer Natur ist, ist es schwierig, sie auf Polynome mit hohem Grad anzuwenden. Betrachten wir einige zusätzliche Theoreme und Methoden, die es uns ermöglichen, Polynome höheren Grades zu faktorisieren.

Satz über die Division mit Rest. Es seien Polynome gegeben, deren Grad von 0 verschieden sei und der Grad größer als der Grad sei. Dann gibt es Polynome mit der Gleichheit

Darüber hinaus wird ein Grad kleiner als ein Grad Polynom genannt teilbar, Polynom Teiler, Polynom unvollständig privat, und das Polynom der Rest .

Wenn der Rest der Division 0 ist, dann sagen wir das Anteile An vollständig, und die Gleichheit hat die Form:

Der Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Polynom ähnelt dem Algorithmus zum Teilen einer Zahl durch eine Zahl durch eine Spalte oder Ecke. Beschreiben wir die Schritte des Algorithmus.

Schreiben Sie den Dividenden in eine Zeile, einschließlich aller Potenzen der Variablen (schreiben Sie die fehlenden mit einem Koeffizienten von 0).

Notieren Sie die Dividende in der „Ecke“, einschließlich aller Potenzen der Variablen.

Um den ersten Term (Monom) in einem unvollständigen Quotienten zu finden, müssen Sie das führende Monom des Dividenden durch das führende Monom des Divisors dividieren.

Multiplizieren Sie den resultierenden ersten Term des Quotienten mit dem gesamten Divisor und schreiben Sie das Ergebnis unter den Dividenden, und schreiben Sie die gleichen Potenzen der Variablen untereinander.

Subtrahieren Sie das resultierende Produkt von der Dividende.

Wenden Sie den Algorithmus ab Punkt 1) auf den resultierenden Rest an.

Der Algorithmus ist abgeschlossen, wenn die resultierende Differenz einen Grad kleiner als der Grad des Divisors hat. Das ist der Rest.

Beispiel. Teilen Sie das Polynom durch.

Dividende und Divisor aufschreiben

Wiederholen Sie den Vorgang

Der Grad ist kleiner als der Grad des Divisors. Das ist also der Rest. Das Ergebnis der Division wird wie folgt geschrieben:

Horners Plan. Wenn der Divisor ein Polynom ersten Grades ist, kann das Divisionsverfahren vereinfacht werden. Betrachten Sie den Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Binomial.

Beispiel. Teilen Sie das Polynom nach dem Horner-Schema. In diesem Fall A=2. Lassen Sie uns die Ergebnisse der Ausführung des Algorithmus Schritt für Schritt aufschreiben.

Schritt eins.

Schritt zwei

Schritt drei

Schritt vier

Daher schreiben wir das Ergebnis der Division wie folgt

Kommentar. Wenn Sie durch ein Binomial dividieren müssen

Dann wird es in das Formular dann konvertiert. Daraus ist klar, dass wir durch Teilen nach Horners Schema durch finden werden. Dann wird der gewünschte Quotient erhalten, indem wir das Gefundene durch dividieren A. Der Rest bleibt gleich.

Satz von Bezout. Der Rest bei der Division eines Polynoms durch entspricht dem Wert des Polynoms an der Stelle X = A, d.h. . Ein Polynom ist genau dann ohne Rest teilbar, wenn X = A ist die Wurzel des Polynoms.

Damit haben wir eine Wurzel des Polynoms gefunden A , wir können es faktorisieren, indem wir den Faktor auswählen, dessen Grad um eins kleiner ist als der Grad. Dieser Faktor kann entweder mithilfe des Horner-Schemas oder durch Division mit einer Ecke ermittelt werden.

Die Frage, die Wurzel zu finden, wird entweder durch Auswahl oder durch die Verwendung des Satzes über rationale Wurzeln eines Polynoms gelöst.

Satz. Sei das Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten. Wenn ein irreduzibler Bruch die Wurzel eines Polynoms ist, dann sein Zähler P ist der Teiler des freien Terms und der Nenner Q ist der Teiler des führenden Koeffizienten.

Dieser Satz liegt zugrunde Algorithmus zum Finden rationaler Wurzeln Polynom (falls vorhanden).

Zerlegung eines algebraischen Bruchs in eine Summe einfacher Brüche

Definition Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome enthalten, heißt algebraischer Bruch .

Betrachten wir algebraische Brüche einer Variablen. Sie können in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: , wobei der Zähler ein Polynom vom Grad enthält N, der Nenner ist ein Polynom vom Grad k. Wenn , dann heißt der Bruch richtig .

ZU einfache algebraische Brüche Es gibt zwei Arten von echten Brüchen:

Satz. Jeder algebraische Bruch kann als Summe der einfachsten algebraischen Brüche dargestellt werden.

Algorithmus zur Zerlegung eines algebraischen Bruchs in eine Summe einfacher Brüche.

Faktorisieren Sie den Nenner.

Bestimmen Sie die Anzahl der echten Brüche und die Art ihrer Nenner.

Schreiben Sie eine Gleichheit auf, auf deren linker Seite der ursprüngliche Bruch und auf der rechten Seite die Summe der einfachsten Brüche mit unbestimmten Koeffizienten steht.

Bringen Sie die Brüche auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner.

Setzen Sie die Polynome in den Zählern von Brüchen gleich. Erstellen Sie mithilfe der Definition der Polynomgleichheit ein System linearer Gleichungen und lösen Sie es, indem Sie die unbestimmten Koeffizienten ermitteln.

Satz von Bezout ist trotz seiner scheinbaren Einfachheit und Offensichtlichkeit einer der Grundsätze der Polynomtheorie. In diesem Satz werden die algebraischen Eigenschaften von Polynomen (sie ermöglichen es Ihnen, mit Polynomen als ganze Zahlen zu arbeiten) mit ihren verknüpft funktionelle Eigenschaften(die es ermöglichen, Polynome als Funktionen zu behandeln).

Satz von Bezout besagt, dass der Rest bei der Division eines Polynoms durch ein Polynom beträgt.

Die Koeffizienten des Polynoms liegen in einem kommutativen Ring mit Eins (zum Beispiel im Bereich der reellen oder komplexen Zahlen).

Bezouts Theorem – Beweis.

Teilen Sie das Polynom durch den Rest P(x) zu einem Polynom (x-a):

Basierend auf der Tatsache, dass Grad R(x)< deg (x-a) = 1 - ein Polynom mit einem Grad nicht höher als Null. Wir ersetzen, da wir bekommen .

Am wichtigsten ist jedoch nicht der Satz, sondern die Folgerung des Satzes von Bezout:

1. Zahl ist die Wurzel eines Polynoms P(x) dann und nur wann P(x) ohne Rest durch ein Binomial teilbar x-a.

Darauf aufbauend die Wurzelmenge des Polynoms P(x) ist identisch mit der Wurzelmenge der entsprechenden Gleichung x-a.

2. Der freie Term eines Polynoms wird durch eine beliebige ganzzahlige Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten dividiert (wenn der führende Koeffizient gleich eins ist, sind alle rationalen Wurzeln ganzzahlig).

3. Angenommen, das ist die ganzzahlige Wurzel des reduzierten Polynoms P(x) mit ganzzahligen Koeffizienten. Das bedeutet, dass die Zahl für jede ganze Zahl durch teilbar ist.

Der Satz von Bezout ermöglicht es, nachdem man eine Wurzel eines Polynoms gefunden hat, weiter nach Wurzeln eines Polynoms zu suchen, dessen Grad bereits um 1 kleiner ist: wenn , dann dieses Polynom P(x) wird so aussehen:

Beispiele für den Satz von Bezout:

Ermitteln Sie den Rest, wenn Sie ein Polynom durch ein Binomial dividieren.

Lösungsbeispiele für den Satz von Bezout:

Basierend auf dem Satz von Bezout entspricht der erforderliche Rest dem Wert des Polynoms am Punkt. Dann werden wir finden, dafür ersetzen wir den Wert in den Ausdruck für das Polynom anstelle von . Wir bekommen:

Antwort: Rest = 5.

Horners Plan.

Horner-Schema ist ein Algorithmus zum Dividieren (Dividieren nach dem Horner-Schema) von Polynomen, der für den Sonderfall geschrieben wurde, wenn der Quotient einem Binomial entspricht.

Lassen Sie uns diesen Algorithmus erstellen:

Nehmen wir an, das sei die Dividende

Der Quotient (sein Grad wird wahrscheinlich eins weniger sein), R- Rest (da die Division durch ein Polynom erfolgt 1 Grad, dann ist der Grad des Restes eins weniger, d.h. Null, also ist der Rest eine Konstante).

Per Definition der Division mit Rest P(x) = Q(x) (x-a) + r. Nach dem Einsetzen der Polynomausdrücke erhalten wir:

Wir öffnen die Klammern und setzen die Koeffizienten mit den gleichen Potenzen gleich, danach drücken wir die Koeffizienten des Quotienten durch die Koeffizienten von Dividend und Divisor aus:

Es ist zweckmäßig, die Berechnungen in der folgenden Tabelle zusammenzufassen:

Es hebt diejenigen Zellen hervor, deren Inhalte im nächsten Schritt in die Berechnungen einbezogen werden.

Beispiele für Horner-Schemata:

Angenommen, wir müssen ein Polynom durch ein Binomial dividieren x-2.

Wir erstellen eine Tabelle mit zwei Zeilen. In einer Zeile schreiben wir die Koeffizienten unseres Polynoms aus. In der zweiten Zeile erhalten wir die Koeffizienten des unvollständigen Quotienten nach folgendem Schema: Zuerst schreiben wir den führenden Koeffizienten dieses Polynoms um, dann multiplizieren wir den zuletzt gefundenen mit, um den nächsten Koeffizienten zu erhalten a=2 und mit dem entsprechenden Koeffizienten des Polynoms addieren F(x). Der jüngste Koeffizient ist der Rest und alle vorherigen sind die Koeffizienten des unvollständigen Quotienten.

Eine Zahl ist genau dann eine Wurzel eines Polynoms, wenn sie durch teilbar ist

Sei _ die Wurzel des Polynoms, d.h. Teilen wir durch, wobei der Grad kleiner als der Grad ist, der gleich ist. Der Grad ist also gleich, d. h. . Bedeutet, . Denn aus der letzten Gleichheit folgt, dass d.h. .

Lassen Sie ihn umgekehrt teilen, d.h. . Dann.

Folge. Der Rest bei der Division eines Polynoms durch ist gleich.

Polynome ersten Grades heißen lineare Polynome. Der Satz von Bezout zeigt, dass das Finden der Wurzeln eines Polynoms dem Finden seiner linearen Teiler mit dem führenden Koeffizienten 1 entspricht.

Ein Polynom kann mit dem Division-mit-Rest-Algorithmus in ein lineares Polynom geteilt werden, aber es gibt noch mehr bequeme Weise Teilung, bekannt als Horner-Schema.

Lass und lass, wo. Vergleich der Koeffizienten für die gleichen Grade der Unbekannten mit den linken und die richtigen Teile letzte Gleichheit, wir haben:

Eine Zahl heißt Wurzel der Multiplizität eines Polynoms, wenn sie teilt, aber nicht mehr teilt.

Um zu prüfen, ob eine Zahl die Wurzel eines Polynoms ist und welche Multiplizität sie hat, können Sie das Horner-Schema verwenden. Zuerst wird durch dividiert, dann wird, wenn der Rest Null ist, der resultierende Quotient durch dividiert usw. bis ein Saldo ungleich Null erreicht ist.

Die Anzahl der verschiedenen Wurzeln eines Polynoms überschreitet nicht seinen Grad.

Der folgende Hauptsatz ist von großer Bedeutung.

Hauptsatz. Jedes Polynom mit numerischen Koeffizienten ungleich Null hat mindestens eine Wurzel (kann komplex sein).

Folge. Jedes Polynom vom Grad hat in C (der Menge der komplexen Zahlen) so viele Wurzeln wie sein Grad, wobei jede Wurzel so oft gezählt wird wie seine Multiplizität.

wo _ Wurzeln, d.h. In der Menge C wird jedes Polynom in ein Produkt linearer Faktoren zerlegt. Wenn die gleichen Faktoren zusammengenommen werden, dann gilt:

wo es bereits verschiedene Wurzeln gibt, _ Multiplizität der Wurzel.

Wenn ein Polynom mit reellen Koeffizienten eine Wurzel hat, dann ist die Zahl auch eine Wurzel

Dies bedeutet, dass ein Polynom mit reellen Koeffizienten paarweise komplexe Wurzeln hat.

Folge. Ein Polynom mit reellen Koeffizienten ungeraden Grades hat eine ungerade Anzahl reeller Wurzeln.

Lassen und Wurzeln Dann wird durch und aber geteilt, da y und nein gemeinsame Teiler, dann wird es in das Produkt unterteilt.

Aussage 2. Ein Polynom mit reellen Gradkoeffizienten zerfällt auf der Menge der reellen Zahlen immer in das Produkt linearer Polynome, die seinen reellen Wurzeln entsprechen, und Polynomen 2. Grades, die einem Paar konjugiert komplexer Wurzeln entsprechen.

Bei der Berechnung von Integralen rationaler Funktionen müssen wir einen rationalen Bruch als Summe der einfachsten darstellen.

Ein rationaler Bruch ist der Bruch, bei dem es sich um Polynome mit reellen Koeffizienten und um ein Polynom handelt. Ein rationaler Bruch heißt echter Bruch, wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners. Wenn ein rationaler Bruch kein echter Bruch ist, kann er durch Division des Zählers durch den Nenner gemäß der Regel zum Teilen von Polynomen in der Form dargestellt werden, in der und einige Polynome sind, und ist ein echter rationaler Bruch.

Lemma 1. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und die Zahl die reelle Wurzel der Multiplizität des Polynoms ist, d. h. und dann gibt es eine reelle Zahl und ein Polynom mit reellen Koeffizienten, so dass wo auch ein echter Bruch ist.

In diesem Fall lässt sich leicht zeigen, dass der resultierende Ausdruck ein rationaler Bruch mit reellen Koeffizienten ist.

Lemma 2. Wenn es sich um einen echten rationalen Bruch handelt und die Zahl (und reell) die Wurzel der Multiplizität des Polynoms ist, d. h. und, und wenn, dann gibt es reelle Zahlen und und ein Polynom mit reellen Koeffizienten, so dass wo auch ein echter Bruch ist.

Rationale Brüche der Form _ ein Trinom mit reellen Koeffizienten, das keine reellen Wurzeln hat, werden einfachste (oder elementare) Brüche genannt.

Jeder echte rationale Bruch kann auf einzigartige Weise als Summe einfacher Brüche dargestellt werden.

Um eine solche Entwicklung in der Praxis zu erhalten, erweist sich die sogenannte Methode der unbestimmten Koeffizienten als praktisch. Es besteht aus Folgendem:

· Für einen gegebenen Bruch wird eine Entwicklung geschrieben, bei der die Koeffizienten als unbekannt gelten;
· Danach werden beide Seiten der Gleichheit auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und die Koeffizienten der resultierenden Polynome im Zähler gleichgesetzt.

Wenn außerdem der Grad des Polynoms gleich ist, erhält man im Zähler nach Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner ein Polynom vom Grad, d.h. Polynom mit Koeffizienten.

Die Anzahl der Unbekannten ist ebenfalls gleich: .

Somit erhält man ein Gleichungssystem mit Unbekannten. Die Existenz einer Lösung für dieses System folgt aus dem oben angegebenen Satz.

Es könnte nützlich sein zu lesen: