Welche Zahl ist durch 12 und 7 teilbar? Zeichen der Teilbarkeit durch eine zusammengesetzte Zahl

Mathematik in der 6. Klasse beginnt mit dem Studium des Teilbarkeitsbegriffs und der Teilbarkeitszeichen. Oftmals auf Zeichen der Teilbarkeit durch solche Zahlen beschränkt:

An 2 : letzte Ziffer muss 0, 2, 4, 6 oder 8 sein;
An 3 : Die Summe der Ziffern der Zahl muss durch 3 teilbar sein;
An 4 : Die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl muss durch 4 teilbar sein;
An 5 : letzte Ziffer muss 0 oder 5 sein;
An 6 : Die Zahl muss Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und 3 haben;
Zeichen der Teilbarkeit durch 7 oft übersprungen;
Selten wird auch über die Prüfung der Teilbarkeit gesprochen 8 , obwohl es den Zeichen der Teilbarkeit durch 2 und 4 ähnelt. Damit eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die dreistellige Endung durch 8 teilbar ist.
Zeichen der Teilbarkeit durch 9 Jeder weiß: Die Summe der Ziffern einer Zahl muss durch 9 teilbar sein. Was jedoch keine Immunität gegen alle möglichen Tricks mit Datumsangaben entwickelt, die Numerologen verwenden.
Zeichen der Teilbarkeit durch 10 , wahrscheinlich die einfachste: Die Zahl muss mit Null enden.
Manchmal wird Sechstklässlern auch das Zeichen der Teilbarkeit mitgeteilt 11 . Sie müssen die Ziffern der Zahl an geraden Stellen addieren und die Zahlen an ungeraden Stellen vom Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 11 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 11 teilbar.

Kehren wir nun zum Zeichen der Teilbarkeit durch 7 zurück. Wenn darüber gesprochen wird, wird es mit dem Zeichen der Teilbarkeit durch 13 kombiniert und es wird empfohlen, es auch so zu verwenden.

Wir nehmen eine Nummer. Wir unterteilen es in Blöcke zu je 3 Ziffern (der Block ganz links kann eine oder zwei Ziffern enthalten) und addieren/subtrahieren diese Blöcke abwechselnd.

Wenn das Ergebnis durch 7, 13 (oder 11) teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 7, 13 (oder b 11) teilbar.

Diese Methode basiert neben einer Reihe mathematischer Tricks auf der Tatsache, dass 7x11x13 = 1001. Was aber tun mit dreistelligen Zahlen, bei denen die Frage der Teilbarkeit manchmal nicht ohne Division selbst gelöst werden kann?

Mit dem universellen Teilbarkeitstest kann man relativ konstruieren einfache Algorithmen Bestimmen, ob eine Zahl durch 7 und andere „unbequeme“ Zahlen teilbar ist.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 7
Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl weglassen und diese Ziffer zweimal vom resultierenden Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 7 teilbar.

Beispiel 1:
Ist 238 durch 7 teilbar?
23-8-8 = 7. Die Zahl 238 ist also durch 7 teilbar.
Tatsächlich ist 238 = 34x7

Diese Aktion kann mehrmals ausgeführt werden.
Beispiel 2:
Ist 65835 durch 7 teilbar?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 ist durch 7 teilbar (wenn wir das nicht bemerkt hätten, könnten wir noch einen Schritt machen: 6-3-3 = 0, und 0 ist definitiv durch 7 teilbar).

Die Zahl 65835 ist also auch durch 7 teilbar.

Basierend auf dem universellen Teilbarkeitskriterium ist es möglich, die Teilbarkeitskriterien um 4 und um 8 zu verbessern.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 4
Wenn die halbe Einerzahl plus die Zehnerzahl eine gerade Zahl ist, dann ist die Zahl durch 4 teilbar.

Beispiel 3
Ist die Zahl 52 durch 4 teilbar?
5+2/2 = 6, die Zahl ist gerade, also durch 4 teilbar.

Beispiel 4
Ist die Zahl 134 durch 4 teilbar?
3+4/2 = 5, ungerade Zahl, also ist 134 nicht durch 4 teilbar.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 8
Wenn man die doppelte Hunderterzahl, die Zehnerzahl und die halbe Einerzahl addiert und das Ergebnis durch 4 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 8 teilbar.

Beispiel 5
Ist die Zahl 512 durch 8 teilbar?
5*2+1+2/2 = 12, die Zahl ist durch 4 teilbar, also ist 512 durch 8 teilbar.

Beispiel 6
Ist die Zahl 1984 durch 8 teilbar?
9*2+8+4/2 = 28, die Zahl ist durch 4 teilbar, also ist 1984 durch 8 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 12 ist die Vereinigung der Zeichen der Teilbarkeit durch 3 und durch 4. Das Gleiche gilt für jedes n, das das Produkt von Koprime p und q ist. Damit eine Zahl durch n teilbar ist (das gleich dem Produkt von pq ist, sodass gcd(p,q)=1 ist), muss eine Zahl gleichzeitig durch p und q teilbar sein.

Seien Sie jedoch vorsichtig! Damit die zusammengesetzten Teilbarkeitszeichen funktionieren, müssen die Faktoren der Zahl genau teilerfremd sein. Man kann nicht sagen, dass eine Zahl durch 8 teilbar ist, wenn sie durch 2 und 4 teilbar ist.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 13
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 13 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl verwerfen und sie viermal zum resultierenden Ergebnis addieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.

Beispiel 7
Ist 65835 durch 8 teilbar?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Die Zahl 43 ist nicht durch 13 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 65835 auch nicht durch 13 teilbar ist.

Beispiel 8
Ist 715 durch 13 teilbar?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 ist durch 13 teilbar, also ist 715 auch durch 13 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 und andere zusammengesetzte Zahlen, die keine Potenzen von Primzahlen sind, ähneln den Kriterien für die Teilbarkeit durch 12. Wir prüfen die Teilbarkeit dieser Zahlen durch Koprimfaktoren.

Für 14: für 2 und für 7;
Für 15: um 3 und um 5;
Für 18: 2 und 9;
Für 21: am 3. und am 7.;
Für 20: um 4 und um 5 (oder mit anderen Worten, die letzte Ziffer muss Null sein und die vorletzte muss gerade sein);
Für 24: 3 und 8;
Für 26: 2 und 13;
Für 28: 4 und 7.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 16.
Anstatt zu prüfen, ob die 4-stellige Endung durch 16 teilbar ist, können Sie die Einerstelle mit dem Zehnfachen der Zehnerstelle addieren, die Hunderterstelle vervierfachen usw
achtmal die Tausenderstelle und prüfe, ob das Ergebnis durch 16 teilbar ist.

Beispiel 9
Ist 1984 durch 16 teilbar?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 ist nicht durch 16 teilbar, also ist 1984 auch nicht durch 16 teilbar.

Beispiel 10
Ist die Zahl 1526 durch 16 teilbar?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 ist nicht durch 16 teilbar, also ist auch 1526 durch 16 teilbar.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 17.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 17 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer der Zahl wegwerfen und diese Zahl fünfmal vom resultierenden Ergebnis subtrahieren. Wenn das Ergebnis durch 13 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 13 teilbar.

Beispiel 11
Ist die Zahl 59772 durch 17 teilbar?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 ist durch 17 teilbar, also ist 59772 auch durch 17 teilbar.

Beispiel 12
Ist 4913 durch 17 teilbar?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 ist durch 17 teilbar, also ist 4913 auch durch 17 teilbar.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 19.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 19 teilbar ist, müssen Sie das Doppelte der letzten Ziffer zu der Zahl hinzufügen, die nach dem Verwerfen der letzten Ziffer übrig bleibt.

Beispiel 13
Ist die Zahl 9044 durch 19 teilbar?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 ist durch 19 teilbar, also ist 9044 auch durch 19 teilbar.

Verbesserter Test auf Teilbarkeit durch 23.
Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 23 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer, erhöht um das Siebenfache, zu der Zahl hinzufügen, die nach dem Verwerfen der letzten Ziffer übrig bleibt.

Beispiel 14
Ist die Zahl 208012 durch 23 teilbar?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Eigentlich sieht man schon, dass 253 23 ist,

Die Regeln zum Dividieren durch Zahlen von 1 bis 10 sowie durch 11 und 25 wurden entwickelt, um das Dividieren natürlicher Zahlen zu vereinfachen. Diejenigen, die auf 2, 4, 6, 8, 0 enden, gelten als gerade.

Was sind Zeichen der Teilbarkeit?

Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen Algorithmus, mit dem Sie schnell feststellen können, ob die Zahl durch die im Voraus festgelegte Zahl teilbar ist. Wenn das Teilbarkeitszeichen es ermöglicht, auch den Rest der Teilung herauszufinden, spricht man vom Äquiresistenzzeichen.

Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 2

Eine Zahl kann durch zwei geteilt werden, wenn die letzte Ziffer gerade oder null ist. In anderen Fällen ist eine Aufteilung nicht möglich.

Zum Beispiel:

52.734 ist durch 2 teilbar, weil ihre letzte Ziffer 4 ist, also gerade. 7693 ist nicht durch 2 teilbar, da 3 ungerade ist. 1240 ist teilbar, weil die letzte Ziffer Null ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3

Ziffer 3 ist ein Vielfaches nur der Zahlen, deren Summe durch 3 teilbar ist

Beispiel:

17.814 kann durch 3 geteilt werden, da die Summe ihrer Ziffern 21 beträgt und durch 3 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 4

Eine Zahl kann durch 4 geteilt werden, wenn ihre letzten beiden Ziffern Null sind, oder sie kann ein Vielfaches von 4 bilden. In allen anderen Fällen funktioniert die Division nicht.

Beispiele:

31.800 kann durch 4 geteilt werden, da am Ende zwei Nullen stehen. 4 846 854 ist nicht durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern die Zahl 54 bilden, die nicht durch 4 teilbar ist. 16604 ist durch 4 teilbar, da die letzten beiden Ziffern von 04 die Zahl 4 bilden, die durch 4 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 5

5 ist ein Vielfaches von Zahlen, deren letzte Ziffer Null oder Fünf ist. Alle anderen teilen nicht.

Beispiel:

245 ist ein Vielfaches von 5, weil die letzte Ziffer 5 ist. 774 ist kein Vielfaches von 5, weil die letzte Ziffer vier ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 6

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar ist. In allen anderen Fällen ist sie nicht teilbar.

Zum Beispiel:

216 kann durch 6 geteilt werden, da es ein Vielfaches von zwei und drei ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 7

Ein Vielfaches von 7 ist eine Zahl, wenn man durch Subtrahieren der letzten verdoppelten Ziffer von dieser Zahl, jedoch ohne sie (ohne die letzte Ziffer), einen Wert erhält, der durch 7 teilbar ist.

Beispielsweise ist 637 ein Vielfaches von 7, weil 63-(2 7)=63-14=49. 49 können unterteilt werden in.

Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 8

Es sieht aus wie ein Zeichen der Teilbarkeit durch die Zahl 4. Die Zahl kann durch 8 geteilt werden, wenn drei (und nicht zwei, wie im Fall von vier) letzten Ziffern Null sind oder ein Vielfaches von 8 bilden können. In allen anderen Fällen gilt: es ist nicht teilbar.

Beispiele:

456.000 kann durch 8 geteilt werden, da am Ende drei Nullen stehen. 160.003 kann nicht durch 8 geteilt werden, da die letzten drei Ziffern 4 bilden, was kein Vielfaches von 8 ist. 111.640 ist ein Vielfaches von 8, da die letzten drei Ziffern 640 bilden, was durch 8 teilbar ist.

Zu Ihrer Information: Sie können die gleichen Zeichen für die Division durch die Zahlen 16, 32, 64 usw. benennen. Aber in der Praxis spielen sie keine Rolle.

Zeichen der Teilbarkeit durch 9

Durch 9 teilbar sind Zahlen, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.

Zum Beispiel:

Die Zahl 111499 ist nicht durch 9 teilbar, da die Summe der Ziffern (25) nicht durch 9 teilbar ist. Die Zahl 51 633 kann durch 9 geteilt werden, da die Summe ihrer Ziffern (18) das 9-fache beträgt.

Zeichen der Teilbarkeit durch 10, durch 100 und durch 1000

Sie können die Zahlen, deren letzte Ziffer 0 ist, durch 10 dividieren, diejenigen, deren letzte beiden Ziffern Nullen sind, durch 100 und diejenigen, deren letzte drei Ziffern Nullen sind, durch 1000.

Beispiele:

4500 kann durch 10 und 100 geteilt werden. 778.000 ist ein Vielfaches von 10, 100 und 1000.

Jetzt wissen Sie, welche Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen es gibt. Erfolgreiche Berechnungen und vergessen Sie nicht die Hauptsache: Alle diese Regeln dienen dazu, mathematische Berechnungen zu vereinfachen.

Aus Lehrplan Viele erinnern sich daran, dass es Anzeichen der Teilbarkeit gibt. Unter diesem Satz werden Regeln verstanden, mit denen Sie schnell feststellen können, ob eine Zahl ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist, ohne eine direkte arithmetische Operation durchzuführen. Diese Methode basiert auf Aktionen, die mit einem Teil der Ziffern aus dem Eintrag in der Positionsnummer ausgeführt werden

Viele Menschen erinnern sich an die einfachsten Zeichen der Teilbarkeit aus dem Lehrplan. Zum Beispiel die Tatsache, dass alle Zahlen durch 2 teilbar sind, wobei die letzte Ziffer in der Aufzeichnung gerade ist. Diese Funktion ist am einfachsten zu merken und in der Praxis anzuwenden. Wenn wir über die Methode der Division durch 3 sprechen, dann gilt für mehrstellige Zahlen die folgende Regel, die an einem solchen Beispiel gezeigt werden kann. Sie müssen herausfinden, ob 273 ein Vielfaches von drei ist. Führen Sie dazu die folgende Operation aus: 2+7+3=12. Die resultierende Summe ist durch 3 teilbar, daher ist 273 durch 3 teilbar, sodass das Ergebnis eine ganze Zahl ist.

Die Vorzeichen der Teilbarkeit durch 5 und 10 lauten wie folgt. Im ersten Fall endet der Eintrag mit den Zahlen 5 oder 0, im zweiten Fall nur mit 0. Um herauszufinden, ob die Teilbarkeit ein Vielfaches von vier ist, gehen Sie wie folgt vor. Es ist notwendig, die letzten beiden Ziffern zu isolieren. Handelt es sich um zwei Nullen oder um eine Zahl, die ohne Rest durch 4 teilbar ist, dann ist alles Teilbare ein Vielfaches des Teilers. Es ist zu beachten, dass die aufgeführten Zeichen nur im Dezimalsystem verwendet werden. Sie gelten nicht für andere Zählmethoden. In solchen Fällen werden eigene Regeln abgeleitet, die von der Grundlage des Systems abhängen.

Die Vorzeichen der Division durch 6 sind wie folgt. 6, wenn es sich um ein Vielfaches von 2 und 3 handelt. Um festzustellen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, müssen Sie die letzte Ziffer ihrer Eingabe verdoppeln. Das erhaltene Ergebnis wird von der ursprünglichen Zahl subtrahiert, wobei die letzte Ziffer nicht berücksichtigt wird. Diese Regel ist im folgenden Beispiel zu sehen. Es ist notwendig herauszufinden, ob 364 ein Vielfaches ist. Dazu wird 4 mit 2 multipliziert, es ergibt sich 8. Als nächstes nächste Aktion: 36-8=28. Das erhaltene Ergebnis ist ein Vielfaches von 7 und daher kann die ursprüngliche Zahl 364 durch 7 geteilt werden.

Die Vorzeichen der Teilbarkeit durch 8 sind wie folgt. Wenn die letzten drei Ziffern einer Zahl ein Vielfaches von acht bilden, ist die Zahl selbst durch den angegebenen Teiler teilbar.

Ob eine mehrstellige Zahl durch 12 teilbar ist, können Sie wie folgt herausfinden. Mithilfe der oben aufgeführten Teilbarkeitskriterien müssen Sie herausfinden, ob die Zahl ein Vielfaches von 3 und 4 ist. Wenn sie gleichzeitig als Teiler für eine Zahl fungieren können, können Sie eine gegebene Teilbarkeit auch durch 12 dividieren. Eine ähnliche Regel gilt auch für andere komplexe Zahlen, zum Beispiel fünfzehn. In diesem Fall sollten die Teiler 5 und 3 sein. Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 14 teilbar ist, sollten Sie prüfen, ob sie ein Vielfaches von 7 und 2 ist. Sie können dies also im folgenden Beispiel betrachten. Es muss festgestellt werden, ob 658 durch 14 teilbar ist. Die letzte Ziffer im Eintrag ist gerade, daher ist die Zahl ein Vielfaches von zwei. Als nächstes multiplizieren wir 8 mit 2 und erhalten 16. Von 65 müssen Sie 16 subtrahieren. Das Ergebnis 49 ist wie die ganze Zahl durch 7 teilbar. Daher kann 658 auch durch 14 geteilt werden.

Wenn die letzten beiden Ziffern in angegebene Nummer durch 25 teilbar sind, dann ist alles ein Vielfaches dieses Teilers. Bei mehrstelligen Zahlen klingt das Vorzeichen der Teilbarkeit durch 11 wie folgt. Es muss herausgefunden werden, ob die Differenz zwischen den Summen der Ziffern an ungeraden und geraden Stellen in der Aufzeichnung ein Vielfaches eines bestimmten Teilers ist.

Es ist zu beachten, dass die Zeichen der Teilbarkeit von Zahlen und ihre Kenntnis viele Probleme, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Mathematik auftreten, sehr oft erheblich vereinfachen Alltagsleben. Dank der Möglichkeit, festzustellen, ob eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist, können Sie verschiedene Aufgaben schnell erledigen. Darüber hinaus trägt der Einsatz dieser Methoden im Mathematikunterricht zur Entwicklung von Schülern oder Schülern bei und trägt zur Entwicklung bestimmter Fähigkeiten bei.

Etkareva Alina

Forschungsstudienprojekt für die 6. Klasse

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Vorschau:

Bezirkswissenschaftliche Studentenkonferenz

Abschnitt „Mathematik“

„Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen“

Etkareva Alina,

Schüler der 6. Klasse

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Wissenschaftlicher Leiter:

Stepanowa Galina Alexejewna

Mathematiklehrer

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S. Katzen

Einleitung……………………………………………………………………...3

1. Kapitel 1. Ein bisschen Geschichte …………………………………………….4 -5

2. Kapitel 2. Zeichen der Teilbarkeit

5- 6

2.2. Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, unabhängig voneinander erhalten ………………………………………………………..6- 7

2.3. Zeichen der Teilbarkeit durch 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, beschrieben in verschiedenen Quellen ................................ .................................................... 8-11

3.Kapitel 3. Anwendung von Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen bei der Lösung von Problemen ................................... ............ ...................................... ........... ............11-14

Abschluss. …………………………………………………………..15

Liste der verwendeten Literatur…………………………………………16

Einführung

Relevanz: Beim Studium des Themas „Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen durch 2, 3, 5, 9, 10“ interessierte mich die Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Es ist bekannt, dass es nicht immer das Gleiche ist natürliche Zahl ist ohne Rest durch eine andere natürliche Zahl teilbar. Beim Dividieren natürlicher Zahlen erhalten wir einen Rest, machen Fehler und verlieren dadurch Zeit. Teilbarkeitskriterien helfen, ohne eine Division durchzuführen, festzustellen, ob eine natürliche Zahl durch eine andere teilbar ist. Ich beschloss zu schreiben Forschungsarbeit Zu diesem Thema.

Hypothese: Wenn es möglich ist, die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 2, 3, 5, 9, 10 zu bestimmen, dann muss es Zeichen geben, anhand derer man die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch andere Zahlen bestimmen kann.

Studienobjekt:Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Gegenstand der Studie:Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Ziel: Ergänzen Sie die von mir untersuchten bereits bekannten Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen vollständig.

Aufgaben:

Studieren Sie die Geschichtsschreibung des Themas.
Wiederholen Sie die Teilbarkeitszeichen durch 2, 3, 5, 9, 10, die ich in der Schule gelernt habe.
Untersuchen Sie unabhängig die Vorzeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Studium zusätzlicher Literatur, die die Richtigkeit der Hypothese über die Existenz anderer Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen und die Richtigkeit der von mir identifizierten Teilbarkeitszeichen bestätigt.
Schreiben Sie die Teilbarkeitszeichen der natürlichen Zahlen durch 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 auf, die Sie aus weiterer Literatur finden.
Machen Sie eine Schlussfolgerung.
Erstellen Sie eine Folienpräsentation zum Thema: „Zeichen der Teilbarkeit“.
Erstellen Sie eine Broschüre „Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen“.

Neuheit:

Im Laufe des Projekts habe ich mein Wissen über die Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen aufgefrischt.

Forschungsmethoden:Materialsammlung, Datenverarbeitung, Beobachtung, Vergleich, Analyse, Verallgemeinerung.

Kapitel 1. Ein bisschen Geschichte.

Das Teilbarkeitskriterium ist eine Regel, mit der man ohne Division feststellen kann, ob eine natürliche Zahl durch eine andere teilbar ist. Zeichen der Teilbarkeit haben Wissenschaftler schon immer interessiert verschiedene Länder und Zeiten.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 9, 10 sind seit der Antike bekannt. Das Zeichen der Teilbarkeit durch 2 war den alten Ägyptern 2.000 Jahre v. Chr. bekannt, und die Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5 wurden vom italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (1170-1228) detailliert beschrieben.

Beim Studium des Themas „Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen“ interessierte mich die Frage der Erstellung einer Primzahlentabelle, da Primzahlen bei der Untersuchung aller anderen Zahlen eine wichtige Rolle spielen. Es stellt sich heraus, dass der alexandrinische Wissenschaftler Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, über dieselbe Frage nachdachte. Seine Methode zur Zusammenstellung einer Liste von Primzahlen wurde „Sieb des Eratosthenes“ genannt. Lassen Sie es notwendig sein, alle Primzahlen bis 100 zu finden. Schreiben wir alle Zahlen bis 100 hintereinander.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Lassen Sie die Zahl 2 stehen und streichen Sie alle anderen geraden Zahlen durch. Die erste überlebende Zahl nach 2 ist 3. Jetzt lassen wir die Zahl 3 und streichen die durch 3 teilbaren Zahlen durch. Dann streichen wir die durch 5 teilbaren Zahlen durch. Als Ergebnis werden alle zusammengesetzten Zahlen durchgestrichen und nur Primzahlen Zahlen bleiben bestehen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, große 100.

Fragen der Teilbarkeit von Zahlen beschäftigten sich schon die Pythagoräer. In der Zahlentheorie haben sie sich intensiv mit der Typologie der natürlichen Zahlen beschäftigt. Die Pythagoräer teilten sie in Klassen ein. Es wurden Klassen unterschieden: perfekte Zahlen (eine Zahl, die der Summe ihrer eigenen Teiler entspricht, zum Beispiel: 6=1+2+3), freundliche Zahlen (von denen jede gleich der Summe der Teiler der anderen ist, zum Beispiel). 220 und 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), geschweifte Zahlen (Dreieckszahl, Quadratzahl) , Primzahlen usw.

Blaise Pascal Pythagoras. Leonardo von Pisa Eratosthenes

(Fibonacci)

Einen großen Beitrag zur Erforschung der Teilbarkeitszeichen von Zahlen leistete Blaise Pascal (1623-1662). Der junge Blaise zeigte schon sehr früh herausragende mathematische Fähigkeiten und lernte das Zählen, bevor er lesen konnte. Im Allgemeinen ist sein Beispiel ein klassischer Fall des mathematischen Genies von Kindern. Im Alter von 24 Jahren verfasste er seine erste mathematische Abhandlung, „An Experience in the Theory of Conic Sections“. Etwa zur gleichen Zeit entwarf er eine mechanische Addiermaschine, den Prototyp der Addiermaschine. In der Frühphase seiner Arbeit (1640-1650) fand ein vielseitiger Wissenschaftler einen Algorithmus zum Finden von Vorzeichen für die Teilbarkeit einer ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl, aus der alle Vorzeichen folgen. Ihr Vorzeichen ist wie folgt: Natürliche Zahl A ist durch eine andere natürliche Zahl teilbar B nur wenn die Summe der Produkte der Ziffern der Zahl A zu den entsprechenden Resten, die man durch Division der Biteinheiten durch die Zahl erhält B, dividiert durch diese Zahl.

Daher sind die Teilbarkeitszeichen seit der Antike bekannt und für Mathematiker von Interesse.

Kapitel 2

2.1. Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen, die in der Schule studiert wurden.

Wenn Sie sich mit diesem Thema befassen, müssen Sie die Konzepte von Teilern, Vielfachen, Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen kennen.

Teiler einer natürlichen Zahl A eine natürliche Zahl genannt b , auf dem a ohne Rest geteilt.

Oft die Aussage über die Teilbarkeit einer Zahl A auf der Zahl b wird mit anderen äquivalenten Worten ausgedrückt: a ist ein Vielfaches von b, b ist ein Teiler von a, b teilt a.

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die zwei Teiler haben: 1 und die Zahl selbst. Zum Beispiel sind die Zahlen 5,7,19 Primzahlen, weil sind durch 1 und sich selbst teilbar.

Zahlen, die mehr als zwei Faktoren haben, werden zusammengesetzte Zahlen genannt. Beispielsweise hat die Zahl 14 vier Teiler: 1, 2, 7, 14, was bedeutet, dass sie zusammengesetzt ist.

Das…..

2.2. Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, unabhängig ermittelt.

Als ich die Aktionen der Division und Multiplikation natürlicher Zahlen durchführte und die Ergebnisse der Aktionen beobachtete, fand ich Muster und erhielt die folgenden Zeichen der Teilbarkeit.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 4.

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ;

Bei der Multiplikation natürlicher Zahlen mit 4 ist mir aufgefallen, dass die Zahlen, die aus den letzten beiden Ziffern der Zahl gebildet werden, ohne Rest durch 4 teilbar sind.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 4 lautet wie folgt: natürlich h

Zeichen der Teilbarkeit durch 6.

Beachten Sie, dass 6=2 3 Zeichen der Teilbarkeit durch 6: Wenn eine natürliche Zahl gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar ist, dann ist sie durch 6 teilbar.

Beispiele:

216 ist durch 2 teilbar (endet auf 6) und durch 3 teilbar (8+1+6=15, 15׃3), also ist die Zahl durch 6 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 8.

Als ich eine natürliche Zahl mit 8 multiplizierte, fiel mir ein solches Muster auf: Die Zahlen enden auf drei 0-la oder die letzten drei Ziffern ergeben eine Zahl, die durch 8 teilbar ist.

Das ist also das Zeichen. natürlich h

Zeichen der Teilbarkeit durch 15.

Beachten Sie, dass 15=3 5

Beispiele:

Zeichen der Teilbarkeit durch 25.

Multiplikation von Natur durchführen verschiedene Zahlen Mit 25 sah ich dieses Muster: Werke enden mit 00, 25, 50, 75.

So natürlich Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn sie auf 00, 25, 50, 75 endet.

Zeichen der Teilbarkeit durch 50.

Zahlen sind durch 50 teilbar: 50, 1

Bedeutet, Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn sie mit zwei Nullen oder 50 endet.

Stehen am Ende einer natürlichen Zahl so viele Nullen wie in einer Biteinheit, dann ist diese Zahl durch diese Biteinheit teilbar.

Beispiele:

25600 ist durch 100 teilbar, weil Zahlen enden mit der gleichen Anzahl an Nullen. 8975000 ist durch 1000 teilbar, weil beide Zahlen enden auf 000.

Indem ich Aktionen mit Zahlen durchführte und Muster bemerkte, formulierte ich die Zeichen der Teilbarkeit und fand in zusätzlicher Literatur eine Bestätigung für die Richtigkeit der Zeichen, die ich für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 4, 6, 8, 15, 25, 50 formuliert hatte. 100, 1000.

2.3. Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, beschrieben in verschiedenen Quellen.

In weiterer Literatur habe ich mehrere Anzeichen für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 7 gefunden.

P Zeichen der Teilbarkeit durch 7:

Beispiele:

479345 ist nicht durch 7 teilbar, weil 479-345=134, 134 ist nicht durch 7 teilbar.

Beispiele:

4592 ist durch 7 teilbar, weil 45 2=90, 90+92=182, 182 ist durch 7 teilbar.

57384 ist nicht durch 7 teilbar, weil 573 2=1146, 1146+84=1230,1230 ist nicht durch 7 teilbar

aba

Beispiele:

Baa

Beispiele:

aab

Beispiele:

Baa

Beispiele:

10׃7=1 (Pause 3)

100×7=14 (Pause 2)

1000׃7=142 (Rest 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (Rest 5)

6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7

Die Zahl 354722 ist nicht durch 7 teilbar, weil 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 ist nicht durch 7 teilbar 7; 6-Rest aus der Division von 1000 durch 7; 2-Rest aus der Division von 100 durch 7; 3-Rest aus der Division 10 x 7).

Zeichen der Teilbarkeit durch 11.

Beispiel:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Beispiele:

Zeichen der Teilbarkeit durch 12.

Beispiele:

Zeichen der Teilbarkeit durch 13.

Beispiele:

Zeichen der Teilbarkeit durch 14.

Beispiele:

Die Zahl 35882 ist durch 2 und 7 teilbar, also durch 14 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 19.

Beispiele:

153 4

182 4 182+4 2=190, 190/19, also ist die Zahl 1824/19.

Zeichen der Teilbarkeit durch 37.

Beispiel:

Also, in Alle aufgeführten Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen lassen sich in 4 Gruppen einteilen:

1 Gruppe – wenn die Teilbarkeit von Zahlen durch die letzte(n) Ziffer(n) bestimmt wird – sind dies Zeichen der Teilbarkeit durch 2, durch 5, durch eine Biteinheit, durch 4, durch 8, durch 25, durch 50;

Gruppe 2 – wenn die Teilbarkeit von Zahlen durch die Summe der Ziffern der Zahl bestimmt wird – sind dies Zeichen der Teilbarkeit durch 3, durch 9, durch 7 (1 Vorzeichen), durch 11, durch 37;

Gruppe 3 – wenn die Teilbarkeit von Zahlen bestimmt wird, nachdem einige Aktionen an den Ziffern der Zahl durchgeführt wurden – dies sind Zeichen der Teilbarkeit durch 7, durch 11, durch 13, durch 19;

Gruppe 4 – wenn andere Teilbarkeitszeichen verwendet werden, um die Teilbarkeit einer Zahl zu bestimmen – dies sind Teilbarkeitszeichen durch 6, durch 12, durch 14, durch 15.

Kapitel 3. Anwendung von Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen bei der Lösung von Problemen.

Teilbarkeitskriterien werden beim Finden von GCD und LCM sowie bei der Lösung von Textaufgaben mithilfe von GCD und LCM verwendet.

Aufgabe 1:

Schüler der 5. Klasse kauften 203 Lehrbücher. Jeder kaufte gleich viele Bücher. Wie viele Fünftklässler waren da und wie viele Lehrbücher kaufte jeder von ihnen?

Lösung: Beide zu bestimmenden Größen müssen ganze Zahlen sein, d. h. gehören zu den Teilern der Zahl 203. Wenn wir 203 in Faktoren zerlegen, erhalten wir: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Aus praktischen Gründen.

Antworten :

Aufgabe 2 .

Lösung:

Antworten:

Aufgabe 3: In der 9. Klasse erhielten 1/7 der Schüler Fünfer für den Test, 1/3 - Vierer, 1/2 - Dreier. Der Rest der Arbeit war unbefriedigend. Wie viele solcher Jobs gab es?

Lösung:

Die mathematischen Beziehungen des Problems gehen davon aus, dass die Anzahl der Schüler in der Klasse 84, 126 usw. beträgt. Menschlich. Aus Gründen des gesunden Menschenverstandes folgt daraus jedoch, dass die Zahl 42 die akzeptableste Antwort ist.

Antwort: 1 Job.

Aufgabe 4.

Lösung : In der ersten dieser Klassen könnten sein: 17, 34, 51 ... - Zahlen, die ein Vielfaches von 17 sind. In der zweiten Klasse: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - Zahlen, die ein Vielfaches von sind 9. Wir müssen 1 Zahl aus der ersten Folge auswählen und 2 ist die Zahl aus der zweiten, damit sie 70 ergeben. Darüber hinaus können in diesen Folgen nur wenige Terme die mögliche Anzahl der Kinder in der ausdrücken Klasse. Diese Überlegung schränkt die Aufzählung der Optionen erheblich ein. Die einzig mögliche Option war ein Paar (34, 36).

Antworten:

Aufgabe 5.

Lösung:

Antworten:

Aufgabe 6. Zwei Busse fahren vom selben Platz auf unterschiedlichen Routen ab. Für einen der Busse dauert der Hin- und Rückflug 48 Minuten, für den anderen 1 Stunde und 12 Minuten. Nach welcher Zeit treffen sich die Busse wieder am gleichen Platz?

Lösung:

Antworten:

Aufgabe 7 . Gegebene Tabelle:

Antworten:

Aufgabe 8.

Antworten:

Aufgabe 9.

Antworten:

Daher waren wir von der Verwendung von Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen bei der Lösung von Problemen überzeugt.

Abschluss.

Im Laufe meiner Arbeit habe ich mich mit der Entwicklungsgeschichte der Teilbarkeitszeichen vertraut gemacht. Sie selbst hat die Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen durch 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 richtig formuliert, was sie durch weitere Literatur bestätigt fand. Durch die Arbeit mit verschiedenen Quellen kam ich zu der Überzeugung, dass es andere Anzeichen für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen (durch 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37) gibtbestätigte die Richtigkeit der Hypotheseüber die Existenz anderer Kriterien für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Aus der weiteren Literatur habe ich Probleme gefunden, bei deren Lösung die Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen verwendet werden.

Die Kenntnis und Verwendung der oben genannten Teilbarkeitszeichen natürlicher Zahlen vereinfacht viele Berechnungen erheblich und spart Zeit; schließt Rechenfehler aus, die bei der Durchführung der Divisionsoperation auftreten können. Es ist zu beachten, dass die Formulierung einiger Merkmale recht kompliziert ist. Vielleicht werden sie deshalb in der Schule nicht gelernt.

Das von mir gesammelte Material habe ich in Form einer Broschüre gestaltet, die im Mathematikunterricht, in den Klassen eines Mathematikzirkels, verwendet werden kann. Mathematiklehrer können es beim Studium dieses Themas verwenden. Ich empfehle auch Kommilitonen, die mehr über Mathematik wissen möchten als ein gewöhnlicher Student, sich mit meiner Arbeit vertraut zu machen.

Weitere Fragen können berücksichtigt werden:

Ableitung von Teilbarkeitszeichen;

Finden Sie heraus, ob es noch Anzeichen einer Teilbarkeit gibt, für deren Untersuchung ich noch nicht über ausreichende Kenntnisse verfüge?

Liste der verwendeten Literatur (Quellen):

Galkin V.A. Aufgaben zum Thema „Zeichen der Teilbarkeit“.// Mathematik, 1999.-№5.-S.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.L. Außerschulische Arbeit in Mathematik in den Klassen 6-8. - M.: Pädagogik, 1984.
Kaplun L.M. GCD und LCM in Aufgaben. // Mathematik, 1999.- №7. - S. 4-6.
Pelman Ya.I. Mathe macht Spaß! - M.: TERRA – Buchclub, 2006.
Enzyklopädisches Wörterbuch eines jungen Mathematikers. / Comp. Savin A.P. - M.: Pädagogik, 1989. - S. 352.
Internet

Zeichen der Teilbarkeit

Um 5.

Wenn die Zahl auf 0,5 endet.

Am 2.

Wenn die Zahl auf 0, 2, 4, 6, 8 endet

Am 10.

Wenn die Zahl auf 0 endet

Am 3 (9).

Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 3 (9) teilbar ist.

Vorschau:

Antworten:

Aufgabe 8.

Schreiben Sie eine neunstellige Zahl, die keine sich wiederholenden Ziffern enthält (alle Ziffern sind unterschiedlich) und die ohne Rest durch 11 teilbar ist. Schreiben Sie die größte dieser Zahlen und die kleinste davon.

Antworten: Der größte ist 987652413, der kleinste ist 102347586.

Aufgabe 9.

Vanya hat sich eine einfache dreistellige Zahl ausgedacht, deren Ziffern alle unterschiedlich sind. Mit welcher Ziffer kann es enden, wenn die letzte Ziffer gleich der Summe der ersten beiden ist? Nennen Sie Beispiele für solche Zahlen.

Antworten: Es kann nur mit der Zahl 7 enden. Es gibt 4 solcher Zahlen: 167, 257, 347, 527.

Zeichen der Teilbarkeit durch 2

Endet eine natürliche Zahl mit 2, 4, 6, 8, 0, dann ist sie ohne Rest durch 2 teilbar.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 5.

Wenn eine Zahl mit 0 oder 5 endet, ist sie ohne Rest durch 5 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3

Wenn die Ziffernsumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 3 teilbar.

Beispiele

684: 3, weil 6+ 8 + 4=18, 18: 3, also die Zahl: mal 3.

763 nicht: on3, weil 7+6+3=16, 16 nicht: mal 3, also 763 nicht: mal 3.

Zeichen der Teilbarkeit durch 9

Wenn die Ziffernsumme einer Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl selbst durch 9 teilbar.

Beispiele

765: 9, weil 7+6+5=18, 18: 9, also 765: 9

881 nicht: on9, weil 8+8+1=17, 17 ist nicht: mal 9, also ist 881 nicht: mal 9.

Das Zeichen der Teilbarkeit durch 4.

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ; …

natürlich h Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern 0 oder durch 4 teilbar sind.

Zeichen der Teilbarkeit durch 6.

Beachten Sie, dass 6=2 3 Zeichen der Teilbarkeit durch 6:

Wenn eine natürliche Zahl sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist, dann ist sie durch 6 teilbar.

Beispiele:

816 ist durch 2 teilbar (endet auf 6) und durch 3 teilbar (8+1+6=15, 15׃3), also ist die Zahl durch 6 teilbar.

625 ist nicht durch 2 oder 3 teilbar, also auch nicht durch 6.

2120 ist durch 2 teilbar (endet auf 0), aber nicht durch 3 teilbar (2+1+2+0=5, 5 ist nicht durch 3 teilbar), daher ist die Zahl nicht durch 6 teilbar.

279 ist durch 3 teilbar (2+7+9=18, 18:3), aber nicht durch 2 teilbar (endet mit einer ungeraden Zahl), daher ist die Zahl nicht durch 6 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 7.

Ι. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Tausenderzahl und der durch die letzten drei Ziffern ausgedrückten Zahl durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

478009 ist durch 7 teilbar, weil 478-9=469, 469 ist durch 7 teilbar.

475341 ist nicht durch 7 teilbar, weil 475-341=134, 134 ist nicht durch 7 teilbar.

ΙΙ. Eine natürliche Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die Summe aus dem Doppelten der Zahl bis zur Zehnerstelle und der restlichen Zahl durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

4592 ist durch 7 teilbar, weil 45 2=90, 90+92=182, 182/7.

Min. und die andere 1 Std. 12 Min. Nach welcher Zeit treffen sich die Busse wieder am gleichen Platz?

Lösung: LCM(48, 72) = 144 (min). 144 Min. = 2 Std. 24 Min.

Antworten: Nach 2 Stunden und 24 Minuten treffen sich die Busse wieder am selben Platz.

Aufgabe 7 . Gegebene Tabelle:

Geben Sie in die leeren Zellen die folgenden Zahlen ein: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Lösung : In der ersten dieser Klassen könnten sein: 17, 34, 51 ... - Zahlen, die ein Vielfaches von 17 sind. In der zweiten Klasse: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - Zahlen, die ein Vielfaches von sind 9. Wir müssen 1 Zahl aus der ersten Folge auswählen und 2 ist die Zahl aus der zweiten, damit sie 70 ergeben. Darüber hinaus können in diesen Folgen nur wenige Terme die mögliche Anzahl von Kindern in ausdrücken Klasse. Diese Überlegung schränkt die Aufzählung der Optionen erheblich ein. Die einzig mögliche Option war ein Paar (34, 36).

Antworten: Es gibt 34 Schüler in der ersten Klasse und 36 Schüler in der zweiten Klasse.

Aufgabe 5.

Wie viele identische Geschenke kann man aus 320 Nüssen, 240 Süßigkeiten und 200 Äpfeln am wenigsten herstellen? Wie viele Nüsse, Süßigkeiten und Äpfel enthält jedes Geschenk?

Lösung: GCD(320, 240, 200) = 40 (Geschenke), dann hat jedes Geschenk: 320:40 = 8 (Nüsse); 240: 40 = 6 (Süßigkeiten); 200:40 = 5 (Äpfel).

Antworten: Jedes Geschenk enthält 8 Nüsse, 6 Bonbons, 5 Äpfel.

Aufgabe 6.

Zwei Busse fahren vom selben Platz auf unterschiedlichen Routen ab. Einer der Busse hat eine Hin- und Rückfahrt, die 48 Minuten dauert

57384 ist nicht durch 7 teilbar, weil 573 2=1146, 1146+84=1230, 1230 ist nicht durch 7 teilbar.

ΙΙΙ. Eine dreistellige natürliche Zahl der Form aba ist durch 7 teilbar, wenn a+b durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

252 ist durch 7 teilbar, weil 2+5=7, 7/7.

636 ist nicht durch 7 teilbar, weil 6+3=9, 9 ist nicht durch 7 teilbar.

IV. Eine dreistellige natürliche Zahl der Form Baa ist durch 7 teilbar, wenn die Ziffernsumme der Zahl durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

455 ist durch 7 teilbar, weil 4+5+5=14, 14/7.

244 ist nicht durch 7 teilbar, weil 2+4+4=12, 12 ist nicht durch 7 teilbar.

V. Eine dreistellige natürliche Zahl der Form aab ist durch 7 teilbar, wenn 2a-b durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

882 ist durch 7 teilbar, weil 8+8-2=14, 14/7.

996 ist nicht durch 7 teilbar, weil 9+9-6=12, 12 ist nicht durch 7 teilbar.

VI. Vierstellige natürliche Zahl der Form Baa , wobei b eine zweistellige Zahl ist, ist durch 7 teilbar, wenn b+2a durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

2744 ist durch 7 teilbar, weil 27+4+4=35, 35/7.

1955 ist nicht durch 7 teilbar, weil 19+5+5=29, 29 ist nicht durch 7 teilbar.

VII. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn das Ergebnis der zweifachen Subtraktion der letzten Ziffer von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

483 ist durch 7 teilbar, weil 48-3 2=42, 42/7.

564 ist nicht durch 7 teilbar, weil 56-4 2=48, 48 ist nicht durch 7 teilbar.

VIII. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn die Summe der Produkte der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Reste, die man durch Division der Biteinheiten durch die Zahl 7 erhält, durch 7 teilbar ist.

Beispiele:

10׃7=1 (Pause 3)

100×7=14 (Pause 2)

1000׃7=142 (Rest 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (Rest 5)

1000000׃7=142857 (Rest 1) und die Reste werden noch einmal wiederholt.

Die Zahl 1316 ist durch 7 teilbar, weil 1· 6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7 (6 ist der Rest von 1000 geteilt durch 7; 2 ist der Rest von 100 geteilt durch 7; 3 ist der Rest von 10 geteilt durch 7).

Die Zahl 354722 ist nicht durch 7 teilbar, weil 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 ist nicht durch 7 teilbar(5 ist der Rest von 100.000 geteilt durch 7; 4 ist der Rest von 10.000 geteilt durch 7; 6 ist der Rest von 1000 geteilt durch 7; 2 ist der Rest von 100 geteilt durch 7; 3 ist der Rest von 10 geteilt durch 7).

Die Anzahl der Geschenke muss ein Teiler jeder der Zahlen sein, die die Anzahl der Orangen, Süßigkeiten und Nüsse ausdrücken, und der größten dieser Zahlen. Daher müssen wir den GCD dieser Zahlen finden. GCD (60, 175, 225) = 15. Jedes Geschenk enthält: 60: 15 = 4 - Orangen,175:15 = 11 Nüsse und 225:15 = 15 Bonbons.

Antworten: In einem Geschenk - 4 Orangen, 11 Nüsse, 15 Süßigkeiten.

Aufgabe 3: In der 9. Klasse erhielten 1/7 der Schüler Fünfer für den Test, 1/3 - Vierer, ½ - Dreier. Der Rest der Arbeit war unbefriedigend. Wie viele solcher Jobs gab es?

Lösung: Die Lösung des Problems sollte ein Vielfaches der Zahlen sein: 7, 3, 2. Suchen wir zunächst die kleinste dieser Zahlen. LCM (7, 3, 2) = 42. Sie können einen Ausdruck entsprechend der Bedingung des Problems erstellen: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 erfolglos.

Die mathematische Beziehung der Problembeziehung geht davon aus, dass die Anzahl der Schüler in der Klasse 84, 126 usw. beträgt. Menschlich. Aus Gründen des gesunden Menschenverstandes folgt daraus jedoch, dass die Zahl 42 die akzeptableste Antwort ist.

Antwort: 1 Job.

Aufgabe 4.

Es gibt 70 Schüler in zwei Klassen zusammen. In einer Klasse erschienen 7 von 17 Schülern nicht zum Unterricht und in einer anderen bekamen 2 von 9 eine Eins in Mathematik. Wie viele Schüler sind in jeder Klasse?

Beispiele:

25600 ist durch 100 teilbar, weil Zahlen enden mit der gleichen Anzahl an Nullen.

8975000 ist durch 1000 teilbar, weil beide Zahlen enden auf 000.

Aufgabe 1: (Verwendung gemeinsame Teiler und GCD)

Schüler der 5. Klasse „A“ kauften 203 Lehrbücher. Jeder kaufte gleich viele Bücher. Wie viele Fünftklässler waren da und wie viele Lehrbücher kaufte jeder von ihnen?

Lösung: Beide zu bestimmenden Größen müssen ganze Zahlen sein, d. h. gehören zu den Teilern der Zahl 203. Wenn wir 203 faktorisieren, erhalten wir:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Aus praktischen GründenDaraus folgt, dass es nicht 29 Lehrbücher geben kann. Außerdem kann die Anzahl der Lehrbücher nicht gleich sein1, weil in diesem Fall wären es 203 Schüler. Es sind also 29 Fünftklässler und jeder von ihnen hat 7 Lehrbücher gekauft.

Antworten : 29 Fünftklässler; 7 Lehrbücher

Aufgabe 2 . Es gibt 60 Orangen, 165 Nüsse und 225 Bonbons. Welche größte Zahl Aus diesem Bestand lassen sich identische Geschenke für Kinder herstellen? Was ist in jedem Set enthalten?

Lösung:

Zeichen der Teilbarkeit durch 8.

125 8=1000; 242 8=1936; 512 8=4 096 ; 600 8=4 800; 1234 8=9 872 ; 122875 8=983 000 ;…

natürlich h Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch 0 teilbar sind oder durch 8 teilbar sind.

Zeichen der Teilbarkeit durch 11.

I. Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen ein Vielfaches von 11 ist.

Die Differenz kann eine negative Zahl oder 0 sein, sie muss jedoch ein Vielfaches von 11 sein. Die Nummerierung erfolgt von links nach rechts.

Beispiel:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 ist kein Vielfaches von 11, daher ist diese Zahl nicht durch 11 teilbar.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 ist ein Vielfaches von 11, daher ist diese Zahl durch 11 teilbar.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 ist kein Vielfaches von 11, daher ist diese Zahl nicht durch 11 teilbar.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 ist ein Vielfaches von 11, daher ist diese Zahl durch 11 teilbar.

II. Eine natürliche Zahl wird von rechts nach links in Gruppen zu je 2 Ziffern unterteilt und diese Gruppen werden addiert. Wenn die resultierende Summe ein Vielfaches von 11 ist, ist die Testzahl ein Vielfaches von 11.

Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 12561714 durch 11 teilbar ist.

Teilen wir die Zahl in Gruppen zu je zwei Ziffern auf: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 ist durch 11 teilbar, also ist diese Zahl durch 11 teilbar.

III. Eine dreistellige natürliche Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Summe der Seitenziffern der Zahl gleich der Ziffer in der Mitte ist. Die Antwort wird aus denselben Nebenzahlen bestehen.

Beispiele:

594 ist durch 11 teilbar, weil 5+4=9, 9 liegt in der Mitte.

473 ist durch 11 teilbar, weil 4+3=7, 7- in der Mitte.

861 ist nicht durch 11 teilbar, weil 8+1=9 und 6 in der Mitte.

Zeichen der Teilbarkeit durch 12.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 12 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 3 und 4 teilbar ist.

Beispiele:

636 ist durch 3 und 4 teilbar, also durch 12 teilbar.

587 ist weder durch 3 noch durch 4 teilbar, also auch nicht durch 12.

27126 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 4, also nicht durch 12 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 37.

I. Eine natürliche Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Summe der Zahlen durch Zifferntripel dieser Zahl in gebildet wird Dezimalschreibweise ist jeweils durch 37 teilbar.

Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 100048 durch 37 teilbar ist.

100/048 100+48=148, 148 ist durch 37 teilbar, also ist die Zahl auch durch 37 teilbar.

II. Dreistellige natürliche Zahl geschrieben die gleichen Zahlen ist durch 37 teilbar.

Beispiel:

Die Zahlen 111, 222, 333, 444, 555, ... sind durch 37 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 25

Eine natürliche Zahl ist durch 25 teilbar, wenn sie auf 00, 25, 50, 75 endet.

Zeichen der Teilbarkeit durch 50.

Zahlen sind durch 50 teilbar: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Sie enden entweder bei 50 oder 00.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn sie mit zwei Nullen oder 50 endet.

Kombiniertes Vorzeichen der Teilbarkeit durch 10, 100, 1000, ...

Wenn am Ende einer natürlichen Zahl so viele Nullen stehen wie in einer Biteinheit, dann ist diese Zahl durch dieses Bit teilbar -

neue Einheit.

Zeichen der Teilbarkeit durch 13.

I. Eine natürliche Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Tausenderzahl und der aus den letzten drei Ziffern gebildeten Zahl durch 13 teilbar ist.

Beispiele:

Die Zahl 465400 ist durch 13 teilbar, weil 465 - 400 = 65, 65 ist durch 13 teilbar.

Die Zahl 256184 ist nicht durch 13 teilbar, weil 256 - 184 = 72, 72 ist nicht durch 13 teilbar.

II. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn das Ergebnis der Subtraktion der letzten Ziffer multipliziert mit 9 von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 13 teilbar ist.

Beispiele:

988 ist durch 13 teilbar, weil 98 - 9 8 = 26, 26 ist durch 13 teilbar.

853 ist nicht durch 13 teilbar, weil 85 - 3 9 = 58, 58 ist nicht durch 13 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 14.

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 14 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und 7 teilbar ist.

Beispiele:

Die Zahl 45826 ist durch 2 teilbar, aber nicht durch 7, also nicht durch 14.

Die Zahl 1771 ist durch 7 teilbar, aber nicht durch 2, also nicht durch 14.

Zeichen der Teilbarkeit durch 15.

Beachten Sie, dass 15=3 5.Wenn eine natürliche Zahl sowohl durch 5 als auch durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch durch 15 teilbar.

Beispiele:

346725 ist durch 5 teilbar (endet auf 5) und durch 3 teilbar (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), also ist die Zahl durch 15 teilbar.

48732 ist durch 3 teilbar (4+8+7+3+2=24, 24:3), aber nicht durch 5 teilbar, daher ist die Zahl nicht durch 15 teilbar.

87565 ist durch 5 teilbar (endet auf 5), aber nicht durch 3 teilbar (8+7+5+6+5=31, 31 ist nicht durch 3 teilbar), daher ist die Zahl nicht durch 15 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 19.

Eine natürliche Zahl ist genau dann ohne Rest durch 19 teilbar, wenn die Zahl ihrer Zehner, addiert zur doppelten Zahl der Einer, durch 19 teilbar ist.

Dabei ist zu beachten, dass die Anzahl der Zehner einer Zahl nicht als Ziffer an der Zehnerstelle gezählt werden sollte, sondern Gesamtzahl insgesamt ganze Zehner.

Beispiele:

153 4 Zehner-153, 4 2=8, 153+8=161, 161 ist nicht durch 19 teilbar, also ist 1534 auch nicht durch 19 teilbar.

182 4 182+4 2=190, 190:19, also die Zahl 1824: 19.

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Zeichen der Teilbarkeit

NATÜRLICH

ZAHLEN

Zusammengestellt von Etkareva Alina.

Jahr 2013

Zeichen der Teilbarkeit durch 2
Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, also gerade.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3
Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 4 Vorzeichen
Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Anzahl ihrer letzten beiden Ziffern Null oder durch 4 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 5
Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (d. h. gleich 0 oder 5).

Zeichen der Teilbarkeit durch 6
Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 7
Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn das Ergebnis der zweifachen Subtraktion der letzten Ziffer von dieser Zahl ohne die letzte Ziffer durch 7 teilbar ist (z. B. ist 259 durch 7 teilbar, da 25 - (2 9) = 7 teilbar ist von 7).

Zeichen der Teilbarkeit durch 8
Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern Nullen sind oder eine durch 8 teilbare Zahl bilden.

Zeichen der Teilbarkeit durch 9
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 10
Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie mit Null endet.

Zeichen der Teilbarkeit durch 11
Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die Summe der Ziffern mit wechselnden Vorzeichen durch 11 teilbar ist (d. h. 182919 ist durch 11 teilbar, da 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 durch teilbar ist 11) – eine Folge der Tatsache, dass alle Zahlen der Form 10 n bei Division durch 11 einen Rest von (-1) n ergeben.

Zeichen der Teilbarkeit durch 12
Eine Zahl ist genau dann durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 13
Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn die Zahl ihrer Zehner, addiert zum Vierfachen der Einerzahl, ein Vielfaches von 13 ist (z. B. 845 ist durch 13 teilbar, da 84 + (4 5) = 104 ist teilbar durch 13).

Zeichen der Teilbarkeit durch 14
Eine Zahl ist genau dann durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und 7 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 15
Eine Zahl ist genau dann durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 17
Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn die Anzahl ihrer Zehner, addiert zur Anzahl der Einheiten erhöht um 12, ein Vielfaches von 17 ist (z. B. 29053→2905+36=2941→294+12=306→30). +72=102→10+ 24 = 34. Da 34 durch 17 teilbar ist, ist 29053 auch durch 17 teilbar. Das Zeichen ist nicht immer praktisch, hat aber in der Mathematik eine gewisse Bedeutung. Es gibt einen etwas einfacheren Weg: Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn die Differenz zwischen der Anzahl ihrer Zehner und dem Fünffachen der Anzahl der Einheiten ein Vielfaches von 17 ist (z. B. 32952→3295-10=3285→328). -25=303→30-15=15. Da 15 nicht durch 17 teilbar ist, ist 32952 auch nicht durch 17 teilbar)

Zeichen der Teilbarkeit durch 19
Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn die Zahl ihrer Zehner, addiert zur doppelten Zahl der Einer, ein Vielfaches von 19 ist (zum Beispiel ist 646 durch 19 teilbar, da 64 + (6 2) = 76 teilbar ist bis 19).

Zeichen der Teilbarkeit durch 23
Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre Hunderter plus das Dreifache ihrer Zehner ein Vielfaches von 23 ist (z. B. ist 28842 durch 23 teilbar, da 288 + (3 * 42) = 414 weiterhin 4 + (3 * 14) = ist 46 ist offensichtlich durch 23 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 25
Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 25 teilbar sind (also 00, 25, 50 oder 75 bilden) oder die Zahl ein Vielfaches von 5 ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 99
Teilen wir die Zahl von rechts nach links in Gruppen von 2 Ziffern auf (es kann eine Ziffer in der Gruppe ganz links geben) und ermitteln wir die Summe dieser Gruppen, indem wir sie zählen zweistellig. Diese Summe ist genau dann durch 99 teilbar, wenn die Zahl selbst durch 99 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 101
Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Gruppen von 2 Ziffern auf (die Gruppe ganz links kann eine Ziffer haben) und ermitteln die Summe dieser Gruppen mit variablen Vorzeichen, wobei wir sie als zweistellige Zahlen betrachten. Diese Summe ist genau dann durch 101 teilbar, wenn die Zahl selbst durch 101 teilbar ist. Beispielsweise ist 590547 durch 101 teilbar, da 59-05+47=101 durch 101 teilbar ist.

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