Auf der Tafel sind 100 verschiedene ganze Zahlen geschrieben.

Gepostet am 14.03.2018

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100 verschiedene sind an die Tafel geschrieben natürliche Zahlen, und es ist bekannt, dass die Summe dieser Zahlen 5120 beträgt.

a) Kann die Zahl 230 an die Tafel geschrieben werden?

b) Ist es möglich, dass die Zahl 14 nicht an der Tafel steht?

c) Was ist die kleinste Zahl an der Tafel, die durch 14 teilbar ist?

Wie löst man? Am besten unter allen Buchstaben.

Mathematik,

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Traurigkeit

vor 2 Minuten

A) Berechnen wir die Option, bei der der Betrag am kleinsten ist. Dies ist natürlich einfach die Summe der ersten hundert Zahlen, d.h. 1+2+3…+100 . Sie können durch Sortieren rechnen oder die Formel „ Beträge arithmetische Folge ".

Berechnen wir nun den Betrag. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;

Wir müssen irgendwie versuchen, eine beliebige Zahl in unserer Reihe durch zu ersetzen 230 . Lassen Sie uns herausfinden, welcher Betrag uns von dem in der Bedingung angegebenen Betrag fehlt: 5120-5050=70 , ja, was war die größte Zahl in unserer Serie? Rechts, 100 . Es stellt sich heraus, dass die größte Zahl, durch die wir eine beliebige Zahl aus unserer Reihe ersetzen können, ist 170 . Was bedeutet die Zahlen 230 in einer Reihe das kann nicht sein.

Keine Antwort;

B) Nehmen wir die gleiche Reihe, von 1 bis 100, aber entfernen wir die Nummer von dort 14 und versuchen Sie es durch ein anderes zu ersetzen. Versuchen wir zum Beispiel, die kleinste Zahl danach zu nehmen 100 , nämlich 101 und wir sorgen für einen Ersatz. Summe der ersten hundert Zahlen Wir haben es gefunden, was bedeutet, dass wir es ersetzen müssen Subtrahiere 14 davon Und Neuen Wert hinzufügen 101: 5050-14+101=5137 -. Leider steht in der Bedingung, dass der Betrag gleich ist 5120 , also leider, Wir können die Nummer 14 nicht von unserer Liste ausschließen.

Antwort: b) Nein;

V) Finden wir alle Zahlen, die ein Vielfaches sind 14 aus unserer Serie ( von 1 bis 100). Es gibt viele Möglichkeiten, mehrere Werte zu finden, aber in unserem Fall ist die Anzahl nicht so groß. Sie können sie manuell durchgehen. Durch Addition erhalten wir eine Reihe: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Es gibt nur 7 Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind. Versuchen wir nun, sie durch mehr zu ersetzen große Werte kein Vielfaches von 14, weil auf dieser Moment, Unser Betrag beträgt 5050. Ersetzen Sie das größte Vielfache durch das kleinste unbenutzte Vielfache: 98 bis 101;

Unser Betrag beträgt: (101-98)+5050=5053- ;

Summe: (102-84)+5053=5071-;

Es ist noch Platz, lasst uns weitermachen. Ersetzen Sie 70 durch 103;

Summe: (103-70)+5071=5104-;

5104 , Trotzdem weniger als 5120, also lasst uns weitermachen. Ersetzen Sie 56 durch 104;

Summe: (104-56)+5104=5152-;

Es stellte sich heraus, dass es mehr als nötig war, was bedeutet, dass es notwendig ist

Auf der Tafel sind 100 verschiedene natürliche Zahlen mit einer Summe von 5120 geschrieben.

a) Lässt sich die Zahl 230 aufschreiben?

b) Kann man auf die Zahl 14 verzichten?

c) Was ist die kleinste durch 14 teilbare Zahl, die auf der Tafel stehen kann?

Lösung.

a) Schreiben Sie die Zahl 230 und 99 weitere verschiedene natürliche Zahlen an die Tafel. Die minimal mögliche Summe der Zahlen auf der Tafel wird erreicht, sofern die Summe von 99 verschiedenen natürlichen Zahlen minimal ist. Und dies wiederum ist möglich, wenn 99 verschiedene natürliche Zahlen eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz darstellen. Die Summe dieser Zahlen beträgt nach der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:

Summe aller Zahlen auf der Tafel S wird gleich sein:

Es ist leicht zu erkennen, dass die resultierende Summe größer als 5120 ist, was bedeutet, dass jede Summe von 100 verschiedenen natürlichen Zahlen, einschließlich 230, größer als 5120 ist, daher kann die Zahl 230 nicht auf der Tafel stehen.

b) Die Zahl 14 soll nicht an die Tafel geschrieben werden. In diesem Fall die kleinstmögliche Summe S Die Zahlen auf der Tafel bestehen aus zwei Summen arithmetischer Folgen: der Summe der ersten 13 Glieder der Folge mit dem ersten Glied, der Differenz (also der Reihe 1,2,3,..13) und der Summe von die ersten 87 Terme der Progression mit dem ersten Term, der Differenz (also der Reihe 15,16,17,..101). Lassen Sie uns diesen Betrag ermitteln:

Es ist leicht zu erkennen, dass die resultierende Summe größer als 5120 ist, was bedeutet, dass jede Summe von 100 verschiedenen natürlichen Zahlen, unter denen es keine 14 gibt, größer als 5120 ist, daher ist es unmöglich, auf die Zahl 14 zu verzichten Planke.

c) Nehmen wir an, dass alle Zahlen von 1 bis 100 an die Tafel geschrieben sind. Dann stellt sich heraus, dass die resultierende Reihe eine arithmetische Folge mit dem ersten Term, der Differenz, darstellt. Verwenden Sie die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge: Wir finden die Summe aller Zahlen auf der Tafel:

Der resultierende Betrag erfüllt nicht die Bedingungen des Problems. Um nun die Summe aller auf der Tafel geschriebenen Zahlen auf die in der Bedingung angegebene zu erhöhen, versuchen wir, Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind, durch andere Zahlen nach einer Hundert zu ersetzen: Ersetzen Sie 70 durch 110, 84 durch 104 und 98 mit 108. Die resultierende Summe S wird gleich sein:

Bei weiterer Ersetzung von Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind, durch Zahlen größer als 100 erhöht sich die Summe und entspricht nicht mehr den Bedingungen des Problems. Somit ist die kleinste Anzahl von Vielfachen von 14 4.

Geben wir eine andere Lösung für Punkt c).

Geben wir ein Beispiel, bei dem vier Zahlen an die Tafel geschrieben werden, die ein Vielfaches von 14 sind (14, 28, 42, 56):

1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.

Beweisen wir, dass es nicht drei Zahlen geben kann, die ein Vielfaches von 14 sind. Um die maximale Anzahl von Zahlen zu entfernen, die ein Vielfaches von 14 sind, müssen die Unterschiede zwischen der neuen und der alten Zahl minimal sein. Das heißt, Sie müssen die größten Zahlen, Vielfache von 14, durch die kleinstmöglichen Zahlen größer als einhundert ersetzen. Die Anzahl der Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind, sei 3. Dann ist die Mindestsumme der an die Tafel geschriebenen Zahlen:

Die resultierende Summe ist größer als 5120. Wenn weitere Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind, durch Zahlen größer als 100 ersetzt werden, erhöht sich die Summe, was bedeutet, dass nicht weniger als vier Zahlen, die ein Vielfaches von 14 sind, auf der Tafel sein dürfen.

A) Nein b) Nein c) 4.

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Aufgabe 19. An die Tafel wurden 20 natürliche Zahlen (nicht unbedingt unterschiedlich) geschrieben, von denen jede 40 nicht überschreitet. Anstelle einiger Zahlen (möglicherweise eine) wurden Zahlen an die Tafel geschrieben, die um eins kleiner als die ursprünglichen waren. Die Zahlen, die sich dann als gleich 0 herausstellten, wurden von der Tafel gelöscht.

a) Könnte sich herausstellen, dass das arithmetische Mittel der Zahlen auf der Tafel gestiegen ist?

b) Das arithmetische Mittel der ursprünglich geschriebenen Zahlen war 27. Könnte das arithmetische Mittel der auf der Tafel verbleibenden Zahlen gleich 34 sein?

c) Das arithmetische Mittel der ursprünglich geschriebenen Zahlen war 27. Ermitteln Sie den größtmöglichen Wert des arithmetischen Mittels der auf der Tafel verbleibenden Zahlen.

Lösung.

A) Ja, vielleicht zum Beispiel, wenn Sie 19 Zahlen gleich 10 und die 20. gleich 1 nehmen, dann wird die 20. Zahl nach der Verringerung um 1 gleich 0 und der Durchschnittswert beträgt nicht mehr 20 Zahlen, sondern 19. dann haben wir:

Anfangsdurchschnitt: ;

Durchschnittswert nach Änderung: .

Wie Sie sehen, ist der zweite Durchschnittswert größer geworden als der ursprüngliche.

B) Angenommen, Sie müssen zur Erfüllung dieser Bedingung Einheiten nehmen, dann Zahlen und eine Zahl, also insgesamt 20 Zahlen. Ihr arithmetisches Mittel wird gleich sein

und nach dem Löschen der Einheiten sollten Sie erhalten

das heißt, wir haben ein Gleichungssystem:

Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, erhalten wir:

Um die Bedingungen dieses Absatzes zu erfüllen, müssen Sie also eine Bruchzahl von Zahlen verwenden, was im Rahmen dieser Aufgabe nicht möglich ist.

Antwort: Nein.

V) Um den maximalen Durchschnitt der auf der Tafel verbleibenden Zahlen zu erhalten, müssen Sie zunächst eine Reihe von Zahlen aufschreiben, bestehend aus die größte Zahl Einheiten (die dann von der Tafel gelöscht werden) und die verbleibende Anzahl muss maximal sein. Schreiben wir diese Bedingung in das Formular

wo ist die Anzahl der Einheiten; - 20. Zahl (wird so gewählt, dass der Durchschnitt 27 beträgt). Von hier aus haben wir:

Aus dem resultierenden Ausdruck geht klar hervor, dass der Minimalwert, bei dem wir den Maximalwert erhalten, ist. Wir haben also eine Folge von Zahlen, deren Summe gleich ist

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