Was ist der Fortschrittsunterschied? Wie finde ich eine arithmetische Folge? Arithmetische Folgebeispiele mit Lösung

Viele Menschen haben von der arithmetischen Progression gehört, aber nicht jeder hat eine gute Vorstellung davon, was es ist. In diesem Artikel geben wir die entsprechende Definition und gehen auch der Frage nach, wie man die Differenz einer arithmetischen Folge findet, und geben eine Reihe von Beispielen.

Mathematische Definition

Also wenn wir reden überüber arithmetische oder algebraische Progression (diese Konzepte definieren dasselbe), bedeutet dies, dass es eine bestimmte Zahlenreihe gibt, die erfüllt nächstes Gesetz: Alle zwei benachbarten Zahlen in einer Reihe unterscheiden sich um den gleichen Wert. Mathematisch wird es so geschrieben:

Hier bedeutet n die Nummer des Elements a n in der Folge und die Zahl d ist die Differenz der Folge (der Name ergibt sich aus der vorgestellten Formel).

Was bedeutet es, den Unterschied d zu kennen? Darüber, wie „weit“ benachbarte Zahlen voneinander entfernt sind. Allerdings ist die Kenntnis von d eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Bestimmung (Wiederherstellung) des gesamten Verlaufs. Es ist notwendig, eine weitere Zahl zu kennen, die absolut jedes Element der betrachteten Reihe sein kann, zum Beispiel a 4, a10, aber in der Regel wird die erste Zahl verwendet, also eine 1.

Formeln zur Bestimmung von Fortschrittselementen

Im Allgemeinen reichen die oben genannten Informationen bereits aus, um mit der Lösung spezifischer Probleme fortzufahren. Bevor jedoch die arithmetische Folge angegeben wird und es notwendig sein wird, ihren Unterschied zu finden, stellen wir einige vor nützliche Formeln, wodurch der anschließende Prozess der Problemlösung erleichtert wird.

Es lässt sich leicht zeigen, dass jedes Element der Folge mit der Nummer n wie folgt gefunden werden kann:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Tatsächlich kann jeder diese Formel durch eine einfache Suche überprüfen: Wenn Sie n = 1 einsetzen, erhalten Sie das erste Element, wenn Sie n = 2 einsetzen, dann gibt der Ausdruck die Summe der ersten Zahl und der Differenz an und so weiter.

Die Bedingungen vieler Probleme sind so zusammengesetzt, dass bei einem bekannten Zahlenpaar, dessen Zahlen auch in der Folge angegeben sind, die gesamte Zahlenreihe rekonstruiert werden muss (Differenz und erstes Element finden). Jetzt werden wir dieses Problem in allgemeiner Form lösen.

Gegeben seien also zwei Elemente mit den Zahlen n und m. Mit der oben erhaltenen Formel können Sie ein System aus zwei Gleichungen erstellen:

a n = a 1 + (n – 1) * d;

am = a 1 + (m - 1) * d

Um unbekannte Größen zu finden, verwenden wir eine bekannte einfache Technik zur Lösung eines solchen Systems: Subtrahieren Sie die linke und rechte Seite paarweise, die Gleichheit bleibt gültig. Wir haben:

a n = a 1 + (n – 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Daher haben wir eine Unbekannte (a 1) ausgeschlossen. Jetzt können wir den endgültigen Ausdruck zur Bestimmung von d schreiben:

d = (a n – a m) / (n – m), wobei n > m

Wir haben eine sehr einfache Formel erhalten: Um die Differenz d gemäß den Bedingungen des Problems zu berechnen, muss lediglich das Verhältnis der Differenzen zwischen den Elementen selbst und ihren Seriennummern ermittelt werden. Auf einen sollte man achten wichtiger Punkt Achtung: Die Differenzen werden zwischen dem „höchsten“ und dem „niedrigsten“ Element ermittelt, d das „Junior“-Element).

Der Ausdruck für die Differenz d-Progression sollte zu Beginn der Lösung des Problems in eine der Gleichungen eingesetzt werden, um den Wert des ersten Termes zu erhalten.

In unserem Zeitalter der Entwicklung der Computertechnologie versuchen viele Schüler, Lösungen für ihre Aufgaben im Internet zu finden, daher stellen sich häufig Fragen dieser Art: Finden Sie online die Differenz einer arithmetischen Folge. Bei einer solchen Anfrage gibt die Suchmaschine eine Reihe von Webseiten zurück, zu denen Sie die aus der Bedingung bekannten Daten eingeben müssen (dies können entweder zwei Begriffe der Progression oder die Summe einer bestimmten Anzahl davon sein). ) und erhalten sofort eine Antwort. Dieser Ansatz zur Lösung des Problems ist jedoch im Hinblick auf die Entwicklung des Schülers und sein Verständnis für das Wesentliche der ihm gestellten Aufgabe unproduktiv.

Lösung ohne Verwendung von Formeln

Lösen wir das erste Problem, ohne eine der angegebenen Formeln zu verwenden. Gegeben seien die Elemente der Reihe: a6 = 3, a9 = 18. Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge.

Bekannte Elemente stehen dicht nebeneinander in einer Reihe. Wie oft muss die Differenz d zur kleinsten addiert werden, um die größte zu erhalten? Dreimal (das erste Mal, wenn wir d hinzufügen, erhalten wir das 7. Element, das zweite Mal das achte und schließlich das dritte Mal das neunte). Welche Zahl muss dreimal zu drei addiert werden, um 18 zu erhalten? Das ist die Nummer fünf. Wirklich:

Somit ist die unbekannte Differenz d = 5.

Natürlich hätte die Lösung mit der entsprechenden Formel durchgeführt werden können, aber dies geschah nicht mit Absicht. Ausführliche Erklärung Die Lösung des Problems sollte klar sein und ein leuchtendes Beispiel Was ist eine arithmetische Folge?

Eine Aufgabe ähnlich der vorherigen

Lassen Sie uns nun ein ähnliches Problem lösen, aber die Eingabedaten ändern. Sie sollten also herausfinden, ob a3 = 2, a9 = 19.

Natürlich können Sie auch hier auf die Lösungsmethode „frontal“ zurückgreifen. Da jedoch die Elemente der Reihe relativ weit voneinander entfernt sind, ist diese Methode nicht ganz praktisch. Aber die Verwendung der resultierenden Formel führt uns schnell zur Antwort:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Hier haben wir die endgültige Zahl gerundet. Inwieweit diese Rundung zu einem Fehler geführt hat, lässt sich anhand des Ergebnisses beurteilen:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Dieses Ergebnis weicht nur um 0,1 % von dem in der Bedingung angegebenen Wert ab. Daher kann die Rundung auf die nächsten Hundertstel berücksichtigt werden erfolgreiche Wahl.

Probleme bei der Anwendung der Formel für einen Term

Betrachten wir ein klassisches Beispiel für ein Problem zur Bestimmung der Unbekannten d: Finden Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, wenn a1 = 12, a5 = 40.

Wenn zwei Zahlen einer unbekannten algebraischen Folge gegeben sind und eine davon das Element a 1 ist, dann muss man nicht lange nachdenken, sondern sollte sofort die Formel für den a n-Term anwenden. IN in diesem Fall wir haben:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Wir bekamen genaue Anzahl beim Dividieren, daher macht es keinen Sinn, die Genauigkeit des berechneten Ergebnisses zu überprüfen, wie es im vorherigen Absatz getan wurde.

Lösen wir ein weiteres ähnliches Problem: Wir müssen die Differenz einer arithmetischen Folge finden, wenn a1 = 16, a8 = 37.

Wir verwenden einen ähnlichen Ansatz wie der vorherige und erhalten:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Was sollten Sie sonst noch über die arithmetische Progression wissen?

Zusätzlich zu den Problemen, einen unbekannten Unterschied oder einzelne Elemente zu finden, ist es oft notwendig, Probleme der Summe der ersten Terme einer Folge zu lösen. Die Betrachtung dieser Probleme würde den Rahmen des Artikels sprengen. Der Vollständigkeit halber stellen wir jedoch eine allgemeine Formel für die Summe von n Zahlen in einer Reihe vor:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2


Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)... ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nachfolgende Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

Allerdings kann \(d\) auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben angezeigt.

Zahlen, die eine Folge bilden, werden aufgerufen Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie eine arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Nummer des Elements in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Arithmetische Folgeprobleme lösen

Im Prinzip reichen die oben dargestellten Informationen bereits aus, um nahezu jedes Rechenprogressionsproblem (auch das der OGE) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) festgelegt. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antwort: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

Wir erhalten die ersten Elemente der Folge und wissen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich von seinem Nachbarn um die gleiche Zahl. Finden wir heraus, welches, indem wir das vorherige vom nächsten Element subtrahieren: \(d=49-62=-13\).

Jetzt können wir unseren Fortschritt zum (ersten negativen) Element wiederherstellen, das wir brauchen.

Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antwort: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das durch den Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:


Um \(x\) zu finden, müssen wir wissen, um wie viel sich das nächste Element vom vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten, um den Fortschrittsunterschied. Finden wir es aus zwei bekannten benachbarten Elementen: \(d=12,5-10=2,5\).

Und jetzt können wir leicht finden, wonach wir suchen: \(x=5+2,5=7,5\).


Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antwort: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die folgenden Bedingungen definiert: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Wir müssen die Summe der ersten sechs Terme der Progression ermitteln. Aber wir kennen ihre Bedeutung nicht; uns wird nur das erste Element gegeben. Deshalb berechnen wir zunächst die Werte einzeln und verwenden dabei das, was uns gegeben wird:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Und nachdem wir die sechs Elemente berechnet haben, die wir brauchen, finden wir ihre Summe.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Die benötigte Menge wurde gefunden.

Antwort: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antwort: \(d=7\).

Wichtige Formeln für den arithmetischen Fortschritt

Wie Sie sehen, können viele Probleme der arithmetischen Folge einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nachfolgende Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (die Unterschied der Progression).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Entscheidung „frontal“ sehr unbequem ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Sollten wir das Vierfache von \(385\) addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Du wirst es leid sein zu zählen...

Daher lösen sie in solchen Fällen die Dinge nicht „frontal“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe der \(n\) ersten Terme.

Formel des \(n\)-ten Termes: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) der erste Term der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) – Term der Progression mit der Zahl \(n\).


Mit dieser Formel können wir schnell sogar das dreihundertste oder millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Unterschied in der Progression kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen angegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antwort: \(b_(246)=1850\).

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei



\(a_n\) – der letzte summierte Term;


Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) festgelegt. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

Um die Summe der ersten fünfundzwanzig Terme zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und des fünfundzwanzigsten Termes kennen.
Unsere Progression ergibt sich aus der Formel des n-ten Termes in Abhängigkeit von seiner Anzahl (weitere Einzelheiten finden Sie unter). Berechnen wir das erste Element, indem wir \(n\) durch eins ersetzen.

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Finden wir nun den fünfundzwanzigsten Term, indem wir fünfundzwanzig anstelle von \(n\) einsetzen.

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Nun können wir die benötigte Menge ganz einfach berechnen.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Die Antwort ist fertig.

Antwort: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe von \(n\) ersten Elementen;
\(a_1\) – der erste summierte Term;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – Anzahl der Elemente insgesamt.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antwort: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen man nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken muss (in der Mathematik kann das nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Die Aufgabe ist der vorherigen sehr ähnlich. Wir fangen an, das Gleiche zu lösen: Zuerst finden wir \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Jetzt möchte ich \(d\) in die Formel für die Summe einsetzen ... und hier zeigt sich eine kleine Nuance – wir kennen \(n\) nicht. Mit anderen Worten: Wir wissen nicht, wie viele Begriffe hinzugefügt werden müssen. Wie finde ich das heraus? Denken wir nach. Wir hören auf, Elemente hinzuzufügen, wenn wir das erste positive Element erreichen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements herausfinden. Wie? Schreiben wir die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements einer arithmetischen Folge auf: \(a_n=a_1+(n-1)d\) für unseren Fall.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Wir brauchen \(a_n\), um größer als Null zu werden. Lassen Sie uns herausfinden, bei welchem ​​\(n\) dies passieren wird.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Wir übertragen minus eins und vergessen nicht, die Vorzeichen zu ändern

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Berechnen wir...

\(n>65.333…\)

...und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element die Zahl \(66\) haben wird. Dementsprechend hat das letzte Negativ \(n=65\). Lassen Sie uns das für alle Fälle überprüfen.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Wir müssen also die ersten \(65\) Elemente hinzufügen.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Die Antwort ist fertig.

Antwort: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen angegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-Element einschließlich.
Lösung:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

In diesem Problem müssen Sie auch die Summe der Elemente ermitteln, beginnend jedoch nicht mit dem ersten, sondern mit dem \(26\)ten. Für einen solchen Fall haben wir keine Formel. Wie soll man entscheiden?
Es ist ganz einfach: Um die Summe vom \(26\)ten bis zum \(42\)ten zu ermitteln, müssen Sie zuerst die Summe vom \(1\)ten bis zum \(42\)ten ermitteln und dann subtrahieren daraus die Summe vom ersten bis zum (25)ten (siehe Bild).


Für unsere Progression \(a_1=-33\) und die Differenz \(d=4\) (schließlich addieren wir die vier zum vorherigen Element, um das nächste zu finden). Mit diesem Wissen ermitteln wir die Summe der ersten \(42\)-y-Elemente.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Nun die Summe der ersten \(25\) Elemente.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Und schließlich berechnen wir die Antwort.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Antwort: \(S=1683\).

Für die arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Summe einer arithmetischen Folge.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber zu diesem Thema gibt es allerhand Aufgaben. Von einfach bis ziemlich solide.

Lassen Sie uns zunächst die Bedeutung und Formel des Betrags verstehen. Und dann werden wir entscheiden. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung des Betrags ist so einfach wie ein Muh. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, müssen Sie lediglich alle Terme sorgfältig addieren. Wenn es nur wenige Begriffe gibt, können Sie diese ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel... das Hinzufügen ist ärgerlich.) In diesem Fall hilft die Formel.

Die Formel für den Betrag ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges klären.

S n - die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste Von zuletzt. Es ist wichtig. Sie summieren sich genau Alle Mitglieder in einer Reihe, ohne zu überspringen oder zu überspringen. Und genau ab Erste. Bei Problemen wie der Ermittlung der Summe des dritten und achten Termes oder der Summe des fünften bis zwanzigsten Termes wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschen.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- zuletzt Mitglied der Progression. Die letzte Nummer der Serie. Kein sehr bekannter Name, aber wenn man ihn auf die Menge anwendet, ist er sehr passend. Dann werden Sie es selbst sehen.

N - Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Begriffe überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren zuletzt Mitglied ein. Knifflige Frage: Welches Mitglied wird sein? der Letzte wenn gegeben endlos arithmetische Folge?)

Um sicher antworten zu können, müssen Sie die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt sein sollte. Ansonsten ein endgültiger, konkreter Betrag existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, ob die Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es angegeben wird: eine Reihe von Zahlen oder eine Formel für den n-ten Term.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Term der Progression bis zum Term mit Zahl funktioniert N. Tatsächlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Anzahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. N, wird allein durch die Aufgabe bestimmt. Das alles liegt in der Aufgabe wertvolle Information oft verschlüsselt, ja... Aber egal, in den folgenden Beispielen enthüllen wir diese Geheimnisse.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Vor allem, eine nützliche Information:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben, bei denen es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, liegt in der korrekten Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Aufgabenschreiber verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Hier kommt es vor allem darauf an, keine Angst zu haben. Um das Wesen der Elemente zu verstehen, genügt es, sie einfach zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finden Sie die Summe der ersten 10 Terme.

Gute Arbeit. Ganz einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge mithilfe der Formel zu ermitteln? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Mitglieds N.

Wo erhalte ich die letzte Mitgliedsnummer? N? Ja, genau dort, unter der Bedingung! Es heißt: Finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, mit welcher Nummer wird es sein? zuletzt, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein Wir werden in die Formel ersetzen eine 10, und stattdessen N- zehn. Ich wiederhole, die Nummer des letzten Mitglieds stimmt mit der Anzahl der Mitglieder überein.

Es bleibt abzuwarten eine 1 Und eine 10. Dies lässt sich leicht mit der Formel für den n-ten Term berechnen, die in der Problemstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie das geht? Nehmen Sie an der vorherigen Lektion teil, ohne diese geht es nicht.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt nur noch, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist es. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; a 1 =2,3. Finden Sie die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Mit dieser Formel können wir den Wert eines beliebigen Begriffs anhand seiner Zahl ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Es bleibt noch, alle Elemente in die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge einzusetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein Wir ersetzen einfach den n-ten Term durch die Formel und erhalten:

Stellen wir ähnliche vor und erhalten eine neue Formel für die Summe der Terme einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, ist dies hier nicht erforderlich n. Semester ein. Bei manchen Problemen hilft diese Formel sehr, ja... Sie können sich diese Formel merken. Oder Sie zeigen es einfach zum richtigen Zeitpunkt an, wie hier. Schließlich müssen Sie sich immer die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Ermitteln Sie die Summe aller positiven Ergebnisse zweistellige Zahlen, Vielfaches von drei.

Wow! Weder Ihr erstes Mitglied, noch Ihr letztes, noch überhaupt ein Fortschritt ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit dem Kopf denken und alle Elemente der Summe der arithmetischen Folge aus der Bedingung herausziehen. Wir wissen, was zweistellige Zahlen sind. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird sein? Erste? 10, vermutlich.) A letztes Ding zweistellige Zahl? 99, natürlich! Die Dreistelligen werden ihm folgen...

Vielfache von drei... Hm... Das sind hier Zahlen, die durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können bereits eine Reihe entsprechend den Bedingungen des Problems aufschreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Serie eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen um genau drei Punkte. Wenn man beispielsweise zu einem Begriff 2 oder 4 addiert, erhält man das Ergebnis, d.h. die neue Zahl ist nicht mehr durch 3 teilbar. Den Unterschied der arithmetischen Folge können Sie sofort ermitteln: d = 3. Es wird sich als nützlich erweisen!)

Daher können wir einige Fortschrittsparameter sicher aufschreiben:

Wie hoch wird die Zahl sein? N letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 ist, irrt sich gewaltig... Die Zahlen stehen immer hintereinander, aber unsere Mitglieder springen über drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Eine Möglichkeit ist für die Superfleißigen. Sie können den Verlauf und die gesamte Zahlenreihe aufschreiben und die Anzahl der Mitglieder mit Ihrem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für Nachdenkliche. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn wir die Formel auf unser Problem anwenden, stellen wir fest, dass 99 der dreißigste Term der Progression ist. Diese. n = 30.

Schauen wir uns die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge an:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben der Problemstellung alles Notwendige entnommen, um den Betrag zu berechnen:

eine 1= 12.

ein 30= 99.

S n = S 30.

Es bleibt nur noch die elementare Arithmetik. Wir setzen die Zahlen in die Formel ein und berechnen:

Antwort: 1665

Eine andere Art beliebter Rätsel:

4. Gegeben sei eine arithmetische Folge:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finden Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir schauen uns die Formel für den Betrag an und ... wir regen uns auf.) Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Formel den Betrag berechnet vom ersten Mitglied. Und in der Aufgabe müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression in einer Reihe aufschreiben und Begriffe von 20 bis 34 hinzufügen. Aber... das ist irgendwie dumm und dauert lange, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Teilen wir unsere Serie in zwei Teile. Der erste Teil wird sein vom ersten Semester bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - von zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S 1-19, addieren wir es mit der Summe der Terme des zweiten Teils S 20-34 erhalten wir die Summe der Progression vom ersten bis zum vierunddreißigsten Term S 1-34. So:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daraus können wir ersehen, dass wir die Summe finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Es werden beide Beträge auf der rechten Seite berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. Die Standardsummenformel ist auf sie durchaus anwendbar. Lass uns anfangen?

Wir extrahieren die Fortschrittsparameter aus der Problemstellung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir berechnen sie mit der Formel für den n-ten Term, wie in Aufgabe 2:

ein 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

eine 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Da ist nichts übrig. Subtrahieren Sie von der Summe von 34 Termen die Summe von 19 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262,5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt einen sehr nützlichen Trick, um dieses Problem zu lösen. Statt direkter Berechnung was Sie brauchen (S 20-34), wir haben gezählt etwas, das scheinbar nicht nötig ist – S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem Gesamtergebnis entfernt wird. Diese Art von „Finte mit den Ohren“ rettet einen oft vor schlimmen Problemen.)

In dieser Lektion haben wir uns mit Problemen befasst, bei denen es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem lösen, bei dem es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, empfehle ich, sofort die beiden Hauptformeln aus diesem Thema aufzuschreiben.

Formel für den n-ten Term:

Diese Formeln verraten Ihnen sofort, worauf Sie achten und in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

5. Ermitteln Sie die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Problem 4 versteckt. Nun, Problem 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Probleme gibt es häufig in der Staatlichen Akademie der Wissenschaften.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. Bis zu 4550 Rubel! Und ich beschloss, meinem Lieblingsmenschen (mir selbst) ein paar glückliche Tage zu schenken. Lebe schön, ohne dir etwas zu verweigern. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und an jedem weiteren Tag geben Sie 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld ausgeht. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Die Zusatzformel aus Aufgabe 2 hilft.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Und für diejenigen, die „sehr…“)

Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei der jede Zahl um den gleichen Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.

Dieses Thema erscheint oft komplex und unverständlich. Die Indizes der Buchstaben, das n-te Glied der Progression, die Differenz der Progression – das alles ist irgendwie verwirrend, ja... Lasst uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden und alles wird sofort besser.)

Das Konzept der arithmetischen Progression.

Die arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Haben Sie Zweifel? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.

Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Können Sie diese Serie verlängern? Welche Zahlen kommen nach der Fünf als nächstes? Jeder... äh..., kurz gesagt, jeder wird erkennen, dass als nächstes die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. kommen werden.

Machen wir die Aufgabe komplizierter. Ich gebe Ihnen eine unvollendete Zahlenreihe:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sie können das Muster erfassen, die Serie erweitern und benennen siebte Zeilennummer?

Wenn Sie bemerkt haben, dass diese Zahl 20 ist, herzlichen Glückwunsch! Du hast nicht nur gefühlt Schlüsselpunkte arithmetische Folge, sondern auch erfolgreich im Geschäftsleben eingesetzt! Wenn Sie es noch nicht herausgefunden haben, lesen Sie weiter.

Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte der Empfindungen in die Mathematik übersetzen.)

Erster wichtiger Punkt.

Die arithmetische Progression beschäftigt sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Diagramme zu zeichnen und all das ... Aber hier erweitern wir die Reihe, ermitteln die Nummer der Reihe ...

Macht nichts. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Der Abschnitt heißt „Reihe“ und arbeitet speziell mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)

Zweiter wichtiger Punkt.

In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.

Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eins mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist drei mehr als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Möglichkeit gibt, das Muster zu erfassen und nachfolgende Zahlen zu berechnen.

Dritter wichtiger Punkt.

Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber er ist sehr, sehr wichtig. Da ist er: Jede Fortschrittsnummer ist an ihrer Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste usw. Wenn Sie sie zufällig vermischen, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Folge wird verschwinden. Was übrig bleibt, ist nur eine Reihe von Zahlen.

Das ist der springende Punkt.

Natürlich in neues Thema neue Begriffe und Bezeichnungen erscheinen. Sie müssen sie kennen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Sie müssen sich zum Beispiel für Folgendes entscheiden:

Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirierend?) Briefe, einige Register ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen lediglich die Bedeutung der Begriffe und Bezeichnungen verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.

Begriffe und Bezeichnungen.

Arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.

Diese Menge heißt . Schauen wir uns dieses Konzept genauer an.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied ist der Betrag, um den jede Fortschrittszahl mehr vorheriger.

Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Fortschrittszahl ist beim Hinzufügen Differenz der arithmetischen Folge zur vorherigen Zahl.

Zum Berechnen sagen wir mal zweite Zahlen der Serie, müssen Sie Erste Nummer hinzufügen genau dieser Unterschied einer arithmetischen Folge. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen Zu vierte, na ja, usw.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied kann sein positiv, dann wird sich herausstellen, dass jede Zahl in der Reihe real ist mehr als der vorherige. Dieser Fortschritt wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hier wird jede Zahl erhalten beim Hinzufügen positive Zahl, +5 zur vorherigen.

Der Unterschied kann sein Negativ, dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als der vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.

Zum Beispiel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Hier wird auch jede Zahl ermittelt beim Hinzufügen zum vorherigen, aber bereits eine negative Zahl, -5.

Übrigens ist es bei der Arbeit mit der Progression sehr nützlich, sofort deren Natur zu bestimmen – ob sie zunimmt oder abnimmt. Dies hilft sehr dabei, die Entscheidung zu treffen, Ihre Fehler zu erkennen und sie zu korrigieren, bevor es zu spät ist.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D.

Wie findet man D? Sehr einfach. Es ist notwendig, von jeder Zahl in der Reihe zu subtrahieren vorherige Nummer. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens „Differenz“.)

Definieren wir zum Beispiel: D zur Erhöhung der arithmetischen Folge:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Wir nehmen eine beliebige Zahl aus der Reihe, die wir wollen, zum Beispiel 11. Wir subtrahieren davon vorherige Nummer diese. 8:

Das ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Folge beträgt die Differenz drei.

Du kannst es haben jede Fortschrittsnummer, Weil für einen bestimmten Verlauf D-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Zahl nehmen. Einfach weil die allererste Nummer kein vorheriges.)

Übrigens, das weiß ich d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Folge zu finden. Addieren wir 3 zur fünften Zahl – wir erhalten die sechste, es wird 17 sein. Addieren wir drei zur sechsten Zahl, erhalten wir die siebte Zahl – zwanzig.

Definieren wir D für absteigende arithmetische Folge:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ich erinnere Sie daran, unabhängig von den Anzeichen, zu bestimmen D brauchen von einer beliebigen Nummer nimm den vorherigen weg. Wählen Sie eine beliebige Fortschrittszahl, zum Beispiel -7. Seine bisherige Zahl ist -2. Dann:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganze Zahl, Bruchzahl, irrationale Zahl, jede beliebige Zahl.

Andere Begriffe und Bezeichnungen.

Jede Zahl in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.

Jedes Mitglied der Progression hat eine eigene Nummer. Die Zahlen sind streng geordnet, ohne Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel ist in der Folge 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei der erste Term, fünf der zweite, elf der vierte, nun, Sie verstehen...) Bitte verstehen Sie klar - die Zahlen selbst kann absolut alles sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung von Zahlen- unbedingt in Ordnung!

Wie schreibe ich eine Progression in allgemeiner Form? Kein Problem! Jede Zahl einer Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird üblicherweise der Buchstabe verwendet A. Die Mitgliedsnummer wird durch einen Index unten rechts angezeigt. Wir schreiben durch Kommas (oder Semikolons) getrennte Begriffe wie folgt:

eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5, .....

eine 1- das ist die erste Zahl, eine 3- Dritter usw. Nichts Besonderes. Diese Serie kann kurz so geschrieben werden: (ein).

Fortschritte passieren endlich und unendlich.

Ultimativ Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.

Unendlich Progression – hat, wie Sie vielleicht vermuten, eine unendliche Anzahl von Mitgliedern.)

Sie können den endgültigen Verlauf einer Reihe wie folgt schreiben, alle Begriffe und einen Punkt am Ende:

eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5.

Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:

eine 1, eine 2, ... eine 14, eine 15.

Im Kurzeintrag müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:

(a n), n = 20

Eine unendliche Folge erkennt man an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile, wie in den Beispielen dieser Lektion.

Jetzt können Sie die Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach und dienen lediglich dem Verständnis der Bedeutung einer arithmetischen Folge.

Beispiele für Aufgaben zur Rechenprogression.

Schauen wir uns die oben gestellte Aufgabe im Detail an:

1. Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Wir übersetzen die Aufgabe in eine verständliche Sprache. Gegeben ist eine unendliche arithmetische Folge. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: ein 2 = 5. Der Fortschrittsunterschied ist bekannt: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Glied dieser Progression finden.

Der Übersichtlichkeit halber werde ich eine Reihe entsprechend den Bedingungen des Problems aufschreiben. Die ersten sechs Amtszeiten, wobei die zweite Amtszeit fünf beträgt:

eine 1, eine 5, eine 3, eine 4, eine 5, eine 6, ....

eine 3 = eine 2 + D

In Ausdruck ersetzen ein 2 = 5 Und d = -2,5. Vergessen Sie nicht das Minus!

eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Der dritte Term fiel kleiner aus als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, was bedeutet, dass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Der Fortschritt nimmt ab. Okay, berücksichtigen wir es.) Wir zählen den vierten Term unserer Serie:

eine 4 = eine 3 + D

eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

eine 5 = eine 4 + D

eine 5=0+(-2,5)= - 2,5

eine 6 = eine 5 + D

eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Daher wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Das Ergebnis ist die folgende Serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Es bleibt der erste Begriff zu finden eine 1 nach dem bekannten zweiten. Das ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Also der Unterschied der arithmetischen Folge D sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, A wegbringen:

eine 1 = eine 2 - D

eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Das ist es. Aufgabenantwort:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nebenbei möchte ich anmerken, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Das gruseliges Wort bedeutet einfach, nach einem Mitglied der Progression zu suchen entsprechend der vorherigen (benachbarten) Nummer. Im Folgenden werden wir uns andere Möglichkeiten ansehen, mit der Progression zu arbeiten.

Aus dieser einfachen Aufgabe lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen.

Erinnern:

Wenn wir mindestens einen Term und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jeden Term dieser Folge finden.

Erinnerst du dich? Mit dieser einfachen Schlussfolgerung können Sie die meisten Probleme des Schulkurses zu diesem Thema lösen. Alle Aufgaben drehen sich um Drei Haupt Parameter: Mitglied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Nummer eines Mitglieds der Folge. Alle.

Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra aufgehoben.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge hängen mit der Progression zusammen. Aber entsprechend der Progression selbst- Alles dreht sich um drei Parameter.

Schauen wir uns als Beispiel einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema an.

2. Schreiben Sie die endliche arithmetische Folge als Reihe, wenn n=5, d = 0,4 und a 1 = 3,6.

Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich merken, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge gezählt werden, sie zählen und aufschreiben. Es ist ratsam, die Wörter in den Aufgabenbedingungen nicht zu übersehen: „endgültig“ und „ n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie völlig blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Es bleibt die Antwort aufzuschreiben:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Eine weitere Aufgabe:

3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) sein wird, wenn a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Wer weiß? Wie kann man etwas bestimmen?

Wie-wie... Schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und schauen Sie, ob dort eine Sieben steht oder nicht! Wir zählen:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Jetzt ist deutlich zu erkennen, dass wir erst sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben fiel nicht in unsere Zahlenreihe, und daher wird die Sieben nicht Teil der gegebenen Reihe sein.

Antwort: Nein.

Und hier ist ein Problem, das auf einer echten Version des GIA basiert:

4. Mehrere aufeinanderfolgende Terme der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; 15; X; 9; 6; ...

Hier ist eine Serie geschrieben ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied D. Macht nichts. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen. Schauen wir mal, was möglich ist wissen aus dieser Serie? Was sind die drei Hauptparameter?

Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.

Aber es gibt drei Zahlen und – Achtung! - Wort "konsistent" im Zustand. Das bedeutet, dass die Zahlen streng geordnet und lückenlos sind. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Zahlen? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Daher können wir die Differenz der arithmetischen Folge berechnen! Subtrahiere von sechs vorherige Zahl, d.h. neun:

Es bleiben nur Kleinigkeiten übrig. Welche Zahl wird die vorherige für X sein? Fünfzehn. Das bedeutet, dass X durch einfache Addition leicht gefunden werden kann. Addiere die Differenz der arithmetischen Folge zu 15:

Das ist alles. Antwort: x=12

Wir lösen die folgenden Probleme selbst. Hinweis: Diese Probleme basieren nicht auf Formeln. Nur um die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlen und Buchstaben auf, schauen sie an und finden sie heraus.

5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.

6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Anzahl n dieses Mitglieds.

7. Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 = 15,1. Finden Sie eine 3.

8. Es werden mehrere aufeinanderfolgende Terme der arithmetischen Folge ausgeschrieben:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Finden Sie den Term der Progression, der durch den Buchstaben x gekennzeichnet ist.

9. Der Zug begann sich vom Bahnhof zu bewegen und erhöhte die Geschwindigkeit gleichmäßig um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

10. Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Folge a 2 = 5; a 6 = -5. Finden Sie eine 1.

Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Es hat alles geklappt? Toll! Sie können die arithmetische Progression für mehr beherrschen hohes Level, in den folgenden Lektionen.

Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. Im Sonderteil 555 werden alle diese Probleme Stück für Stück gelöst.) Und natürlich wird eine einfache praktische Technik beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich und auf einen Blick hervorhebt!

Übrigens gibt es beim Zugrätsel zwei Probleme, über die man oft stolpert. Die eine bezieht sich ausschließlich auf den Fortschritt, die zweite gilt allgemein für alle Probleme in der Mathematik und auch in der Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer in eine andere. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.

In dieser Lektion haben wir uns mit der elementaren Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihren Hauptparametern befasst. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen D zu den Zahlen, schreibe eine Reihe, alles wird gelöst.

Die Fingerlösung eignet sich gut für sehr kurze Teile einer Reihe, wie in den Beispielen dieser Lektion. Je länger die Reihe ist, desto komplizierter werden die Berechnungen. Zum Beispiel, wenn in Problem 9 in der Frage, die wir ersetzen "fünf Minuten" An „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird deutlich schlimmer.)

Und es gibt auch Aufgaben, die im Kern einfach, aber rechnerisch absurd sind, zum Beispiel:

Gegeben ist eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.

Also was, werden wir viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Du kannst dich umbringen!?

Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, mit der Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)

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Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.
Die Zahl mit Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Diese Zahlenfolge nennt man arithmetische Folge.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne verstanden Im weitem Sinne, wie eine unendliche Zahlenfolge. Der Name „Arithmetik“ wurde von der Theorie der stetigen Proportionen übernommen, die von den alten Griechen untersucht wurde.

Dabei handelt es sich um eine Zahlenfolge, bei der jedes Mitglied dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

A)
B)
C)
D)

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:
Ist arithmetische Folge - b, c.
Ist nicht arithmetische Folge - a, d.

Kehren wir zur angegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Terms zu ermitteln. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können die Progressionszahl zum vorherigen Wert addieren, bis wir den dritten Term der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenfassen müssen – nur drei Werte:

Der te Term der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des dritten Termes der Progression ermitteln müssten? Die Summierung würde mehr als eine Stunde dauern, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren von Zahlen keine Fehler machen würden.
Natürlich haben Mathematiker einen Weg gefunden, bei dem es nicht notwendig ist, die Differenz einer arithmetischen Folge zum vorherigen Wert zu addieren. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genauer an... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, woraus der Wert des dritten Termes dieser arithmetischen Folge besteht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbst den Wert eines Gliedes einer gegebenen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Hast du berechnet? Vergleichen Sie Ihre Notizen mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir die Terme der arithmetischen Folge nacheinander zum vorherigen Wert hinzugefügt haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie hinein generelle Form und wir bekommen:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Folgen können steigend oder fallend sein.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen in steigenden und fallenden Termen einer arithmetischen Folge verwendet.
Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen.
Wir erhalten eine arithmetische Folge, die aus den folgenden Zahlen besteht: Schauen wir uns an, wie die te-Zahl dieser arithmetischen Folge aussehen wird, wenn wir sie mit unserer Formel berechnen:


Seit damals:

Daher sind wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl in abnehmender als auch in zunehmender arithmetischer Folge funktioniert.
Versuchen Sie, das te- und das te-Term dieser arithmetischen Folge selbst zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Verkomplizieren wir das Problem – wir leiten die Eigenschaft der arithmetischen Folge ab.
Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Bedingung:
- Arithmetische Folge, finde den Wert.
Ganz einfach, sagen Sie und fangen an, nach der Formel zu zählen, die Sie bereits kennen:

Lass, ah, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und erhalten, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns in der Bedingung Zahlen gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, dass bei den Berechnungen ein Fehler gemacht wird.
Überlegen Sie nun, ob es möglich ist, dieses Problem mit einer beliebigen Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich ja, und das werden wir jetzt versuchen herauszustellen.

Bezeichnen wir den erforderlichen Term der arithmetischen Folge als, die Formel zu deren Ermittlung ist uns bekannt – dies ist dieselbe Formel, die wir zu Beginn abgeleitet haben:
, Dann:

  • Der bisherige Term der Progression ist:
  • Der nächste Term der Progression ist:

Fassen wir die vorherigen und nachfolgenden Bedingungen der Progression zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Terme der Progression der doppelte Wert des dazwischen liegenden Progressionsterms ist. Mit anderen Worten: Um den Wert eines Progressionsterms mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu ermitteln, müssen Sie diese addieren und durch dividieren.

Stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Sichern wir das Material. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut gemacht! Du weißt fast alles über Fortschritt! Es bleibt nur noch eine Formel herauszufinden, die der Legende nach von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, dem „König der Mathematiker“ – Karl Gauß, leicht abgeleitet werden konnte …

Als Carl Gauss 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeit der Schüler anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe von allem.“ natürliche Zahlen von bis (nach anderen Quellen bis) einschließlich.“ Stellen Sie sich die Überraschung des Lehrers vor, als einer seiner Schüler (das war Karl Gauß) eine Minute später die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langen Berechnungen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauß bemerkte ein bestimmtes Muster, das auch Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ten Termen besteht: Wir müssen die Summe dieser Terme der arithmetischen Folge ermitteln. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn die Aufgabe das Ermitteln der Summe ihrer Terme erfordert, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns den uns gegebenen Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genauer an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Hast du es versucht? Was haben Sie bemerkt? Rechts! Ihre Summen sind gleich


Sagen Sie mir nun, wie viele solcher Paare gibt es insgesamt in der uns gegebenen Progression? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist und ähnliche Paare gleich sind, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Unterschied in der Progression. Versuchen Sie, die Formel des th-Terms in die Summenformel einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut gemacht! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauss gestellt wurde: Berechnen Sie selbst, wie groß die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte fest, dass die Summe der Terme gleich ist und die Summe der Terme gleich ist. Haben Sie sich dafür entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser Zeit machten geistreiche Menschen die Eigenschaften der arithmetischen Folge voll aus.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und das größte Bauprojekt dieser Zeit vor – den Bau einer Pyramide... Das Bild zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagen Sie? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Folge? Berechnen Sie, wie viele Blöcke zum Bau einer Mauer benötigt werden, wenn an der Basis Blockziegel platziert werden. Ich hoffe, Sie zählen nicht, während Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus: .
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.
Setzen wir unsere Daten in die letzten Formeln ein (berechnen wir die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Habe es? Gut gemacht, Sie beherrschen die Summe der n-ten Terme einer arithmetischen Folge.
Natürlich kann man eine Pyramide nicht aus Blöcken an der Basis bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandsteine ​​benötigt werden, um unter dieser Bedingung eine Mauer zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Ausbildung

Aufgaben:

  1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag erhöht sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Mascha in der Woche Kniebeugen machen, wenn sie bei der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat?
  2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
  3. Bei der Lagerung von Protokollen stapeln Holzfäller diese so, dass jede oberste Schicht ein Protokoll weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme enthält ein Mauerwerk, wenn das Fundament des Mauerwerks aus Baumstämmen besteht?

Antworten:

  1. Definieren wir die Parameter der arithmetischen Folge. In diesem Fall
    (Wochen = Tage).

    Antwort: In zwei Wochen sollte Mascha einmal am Tag Kniebeugen machen.

  2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
    Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
    Die Anzahl der ungeraden Zahlen beträgt die Hälfte. Überprüfen wir diese Tatsache jedoch mithilfe der Formel zum Ermitteln des ten Glieds einer arithmetischen Folge:

    Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
    Ersetzen wir die verfügbaren Daten in die Formel:

    Antwort: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

  3. Erinnern wir uns an das Problem mit den Pyramiden. In unserem Fall a gilt: Da jede oberste Schicht um einen Log reduziert wird, gibt es insgesamt eine Reihe von Schichten.
    Ersetzen wir die Daten in der Formel:

    Antwort: Im Mauerwerk liegen Baumstämme.

Fassen wir es zusammen

  1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kann zu- oder abnehmend sein.
  2. Formel finden Der te Term einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge angegeben ist.
  3. Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge- - wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.
  4. Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:

    , wobei die Anzahl der Werte ist.

Arithmetische Progression. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Zahlenfolge

Setzen wir uns hin und beginnen ein paar Zahlen aufzuschreiben. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber wir können immer sagen, welches das erste, welches das zweite ist usw., das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten: Jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar einer eindeutigen. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuordnen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn der te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Reihenfolge:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (hier ist der erste Term gleich und die Differenz gleich). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine rekurrente Formel, bei der Sie zum Ermitteln des th-Terms den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um zum Beispiel das te Glied der Progression mit dieser Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lass es zum Beispiel. Dann:

Ist nun klar, wie die Formel lautet?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Welcher? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Jetzt doch viel bequemer, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Was ist der Unterschied? Hier ist was:

(Deshalb wird es Differenz genannt, weil es gleich der Differenz aufeinanderfolgender Terme der Progression ist).

Also die Formel:

Dann ist der hundertste Term gleich:

Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach hat der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten berechnet. Er bemerkte, dass die Summe aus dem ersten und letztes Datum ist gleich, die Summe des zweiten und des vorletzten ist gleich, die Summe des dritten und des dritten vom Ende ist gleich und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es insgesamt? Das ist richtig, also genau die Hälfte aller Zahlen. Also,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste dieser Zahlen ist diese. Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition zur vorherigen Zahl erhalten. Somit bilden die Zahlen, die uns interessieren, eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz.

Formel des th-Terms für diese Progression:

Wie viele Begriffe gibt es in der Folge, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Der letzte Term der Progression wird gleich sein. Dann ist die Summe:

Antwort: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

  1. Jeden Tag läuft der Sportler mehr Meter als am Vortag. Wie viele Gesamtkilometer wird er in einer Woche laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
  2. Ein Radfahrer legt jeden Tag mehr Kilometer zurück als am Vortag. Am ersten Tag legte er km zurück. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer wird er am letzten Tag seiner Reise zurücklegen?
  3. Der Preis für einen Kühlschrank in einem Geschäft sinkt jedes Jahr um den gleichen Betrag. Bestimmen Sie, wie stark der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel verkauft wurde.

Antworten:

  1. Dabei geht es vor allem darum, die arithmetische Folge zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
    .
    Antwort:
  2. Hier gilt: , muss gefunden werden.
    Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie im vorherigen Problem verwenden:
    .
    Ersetzen Sie die Werte:

    Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also lautet die Antwort.
    Berechnen wir den am letzten Tag zurückgelegten Weg mit der Formel des th-Terms:
    (km).
    Antwort:

  3. Gegeben: . Finden: .
    Es könnte nicht einfacher sein:
    (reiben).
    Antwort:

Arithmetische Progression. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Der arithmetische Fortschritt kann steigend () und fallend () sein.

Zum Beispiel:

Formel zum Finden des n-ten Termes einer arithmetischen Folge

wird durch die Formel geschrieben, wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.

Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Damit können Sie einen Term einer Folge leicht finden, wenn die benachbarten Terme bekannt sind – wo ist die Anzahl der Zahlen in der Folge.

Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu ermitteln:

Wo ist die Anzahl der Werte?

Wo ist die Anzahl der Werte?

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