1 ist eine natürliche Zahl oder nicht. Studieren eines genauen Themas: natürliche Zahlen – was sind Zahlen, Beispiele und Eigenschaften

Die Mathematik entstand etwa im 6. Jahrhundert v. Chr. aus der allgemeinen Philosophie. h., und von diesem Moment an begann ihr Siegeszug um die Welt. Jede Entwicklungsstufe brachte etwas Neues mit sich – das elementare Zählen entwickelte sich weiter, verwandelte sich in Differential- und Integralrechnung, Jahrhunderte vergingen, Formeln wurden immer verwirrender und es kam der Moment, in dem „die komplexeste Mathematik begann – alle Zahlen daraus verschwanden“. Aber was war die Grundlage?

Der Anfang der Zeit

Natürliche Zahlen tauchten zusammen mit den ersten mathematischen Operationen auf. Eine Wirbelsäule, zwei Stacheln, drei Stacheln... Sie entstanden dank indischer Wissenschaftler, die die erste Positionslehre entwickelten

Das Wort „Positionalität“ bedeutet, dass die Position jeder Ziffer in einer Zahl streng definiert ist und ihrem Rang entspricht. Zum Beispiel sind die Zahlen 784 und 487 die gleichen Zahlen, aber die Zahlen sind nicht gleichwertig, da die erste 7 Hunderter umfasst, während die zweite nur 4 umfasst. Die indische Neuerung wurde von den Arabern aufgegriffen, die die Zahlen in die Form brachten das wissen wir jetzt.

In der Antike wurden Zahlen angegeben mystische Bedeutung Pythagoras glaubte, dass die Zahl zusammen mit den Grundelementen Feuer, Wasser, Erde und Luft der Erschaffung der Welt zugrunde liegt. Wenn wir alles nur von der mathematischen Seite betrachten, was ist dann eine natürliche Zahl? Der Körper der natürlichen Zahlen wird als N bezeichnet und ist eine unendliche Reihe von Zahlen, die ganze Zahlen und positiv sind: 1, 2, 3, … + ∞. Null ist ausgeschlossen. Wird hauptsächlich zum Zählen von Artikeln und zum Anzeigen der Reihenfolge verwendet.

Was ist das in der Mathematik? Peanos Axiome

Feld N ist das Grundfeld, auf dem die elementare Mathematik basiert. Im Laufe der Zeit haben sich Felder ganzzahliger, rationaler,

Die Arbeit des italienischen Mathematikers Giuseppe Peano ermöglichte die weitere Strukturierung der Arithmetik, erreichte ihre Formalität und bereitete den Weg für weitere Schlussfolgerungen, die über den Feldbereich N hinausgingen.

Was eine natürliche Zahl ist, wurde bereits früher geklärt in einfacher Sprache Im Folgenden betrachten wir eine mathematische Definition, die auf Peanos Axiomen basiert.

Eins gilt als natürliche Zahl.
Die Zahl, die auf eine natürliche Zahl folgt, ist eine natürliche Zahl.
Es gibt keine natürliche Zahl vor eins.
Wenn die Zahl b sowohl auf die Zahl c als auch auf die Zahl d folgt, dann ist c=d.
Ein Axiom der Induktion, das wiederum zeigt, was eine natürliche Zahl ist: Wenn eine Aussage, die von einem Parameter abhängt, für die Zahl 1 wahr ist, dann nehmen wir an, dass sie auch für die Zahl n aus dem Körper der natürlichen Zahlen N gilt. Dann die Aussage gilt auch für n =1 aus dem Körper der natürlichen Zahlen N.

Grundlegende Operationen für das Gebiet der natürlichen Zahlen

Da Feld N das erste für mathematische Berechnungen war, gehören sowohl die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche einer Reihe von Operationen darunter dazu. Sie sind geschlossen und nicht. Der Hauptunterschied besteht darin, dass geschlossene Operationen das Ergebnis garantiert innerhalb der Menge N belassen, unabhängig davon, um welche Zahlen es sich handelt. Es reicht aus, dass sie natürlich sind. Das Ergebnis anderer numerischer Wechselwirkungen ist nicht mehr so klar und hängt direkt davon ab, um welche Art von Zahlen es sich im Ausdruck handelt, da es der Hauptdefinition widersprechen kann. Also geschlossene Operationen:

Addition - x + y = z, wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind;
Multiplikation - x * y = z, wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind;
Potenzierung - x y, wobei x, y im N-Feld enthalten sind.

Die verbleibenden Operationen, deren Ergebnis im Kontext der Definition „was ist eine natürliche Zahl“ möglicherweise nicht existiert, sind wie folgt:

Eigenschaften von Zahlen, die zum Körper N gehören

Alle weiteren mathematischen Überlegungen basieren auf den folgenden Eigenschaften, den trivialsten, aber nicht weniger wichtigen.

Die kommutative Eigenschaft der Addition ist x + y = y + x, wobei die Zahlen x, y im Körper N enthalten sind. Oder das bekannte „Die Summe ändert sich nicht, wenn man die Stellen der Terme ändert.“
Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation ist x * y = y * x, wobei die Zahlen x, y im N-Feld enthalten sind.
Die kombinatorische Eigenschaft der Addition ist (x + y) + z = x + (y + z), wobei x, y, z im N-Feld enthalten sind.
Die Matching-Eigenschaft der Multiplikation ist (x * y) * z = x * (y * z), wobei die Zahlen x, y, z im N-Feld enthalten sind.
Verteilungseigenschaft - x (y + z) = x * y + x * z, wobei die Zahlen x, y, z im N-Feld enthalten sind.

Pythagoräischer Tisch

Einer der ersten Schritte zur Kenntnis der gesamten Struktur der elementaren Mathematik durch Schüler, nachdem sie selbst verstanden haben, welche Zahlen als natürliche Zahlen bezeichnet werden, ist die Pythagoräische Tafel. Es kann nicht nur aus wissenschaftlicher Sicht betrachtet werden, sondern auch als höchst wertvolles wissenschaftliches Denkmal.

Diese Multiplikationstabelle hat im Laufe der Zeit eine Reihe von Änderungen erfahren: Die Null wurde daraus entfernt, und die Zahlen von 1 bis 10 stellen sich selbst dar, ohne Berücksichtigung der Ordnungen (Hunderter, Tausender...). Es handelt sich um eine Tabelle, in der die Zeilen- und Spaltenüberschriften Zahlen sind und der Inhalt der Zellen, in denen sie sich schneiden, ihrem Produkt entspricht.

In der Lehrpraxis der letzten Jahrzehnte bestand die Notwendigkeit, die pythagoräische Tafel „in der richtigen Reihenfolge“ auswendig zu lernen, das heißt, das Auswendiglernen stand an erster Stelle. Eine Multiplikation mit 1 wurde ausgeschlossen, da das Ergebnis ein Multiplikator von 1 oder größer war. Mittlerweile erkennt man in der Tabelle mit bloßem Auge ein Muster: Das Zahlenprodukt erhöht sich um einen Schritt, was dem Zeilentitel entspricht. Somit zeigt uns der zweite Faktor, wie oft wir den ersten einnehmen müssen, um das gewünschte Produkt zu erhalten. Dieses System ist viel bequemer als das, das im Mittelalter praktiziert wurde: Obwohl die Menschen verstanden, was eine natürliche Zahl ist und wie trivial sie ist, gelang es ihnen, ihr alltägliches Zählen zu erschweren, indem sie ein System verwendeten, das auf Zweierpotenzen basierte.

Teilmenge als Wiege der Mathematik

An dieser Moment das Feld der natürlichen Zahlen N wird nur als eine der Teilmengen komplexer Zahlen betrachtet, was sie jedoch nicht weniger wertvoll in der Wissenschaft macht. Die natürliche Zahl ist das Erste, was ein Kind lernt, wenn es sich selbst und sich selbst studiert die Umwelt. Ein Finger, zwei Finger... Dank ihm entwickelt sich ein Mensch logisches Denken sowie die Fähigkeit, Ursache zu bestimmen und Wirkung abzuleiten, was den Weg für große Entdeckungen ebnet.

Was ist natürlich und nicht natürlich? ganze Zahlen? Wie kann man einem Kind, oder vielleicht auch keinem Kind, erklären, was die Unterschiede zwischen ihnen sind? Lass es uns herausfinden. Soweit wir wissen, werden in der 5. Klasse nichtnatürliche und natürliche Zahlen studiert, und unser Ziel ist es, den Schülern zu erklären, dass sie wirklich verstehen und lernen, was und wie.

Geschichte

Natürliche Zahlen sind eines der alten Konzepte. Vor langer Zeit, als die Menschen noch nicht zählen konnten und keine Ahnung von Zahlen hatten, schlugen sie, wenn sie etwas zählen mussten, zum Beispiel Fische, Tiere, Punkte oder Striche auf verschiedene Gegenstände, wie Archäologen später herausfanden . Das Leben war damals sehr schwierig für sie, aber die Zivilisation entwickelte sich zunächst zum römischen Zahlensystem und dann zum dezimalen Zahlensystem. Heutzutage verwendet fast jeder arabische Ziffern

Alles über natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind Primzahlen, die wir in unserem täglichen Leben verwenden, um Objekte zu zählen und so Menge und Reihenfolge zu bestimmen. Derzeit verwenden wir zum Schreiben von Zahlen das dezimale Zahlensystem. Um eine beliebige Zahl aufzuschreiben, verwenden wir zehn Ziffern – von Null bis Neun.

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die wir verwenden, wenn wir Objekte zählen oder die Seriennummer von etwas angeben. Beispiel: 5, 368, 99, 3684.

Unter einer Zahlenreihe versteht man natürliche Zahlen, die in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind, d. h. von eins bis unendlich. Eine solche Reihe beginnt mit der kleinsten Zahl – 1, und es gibt keine größte natürliche Zahl, da die Zahlenreihe einfach unendlich ist.

Im Allgemeinen gilt die Null nicht als natürliche Zahl, da sie die Abwesenheit von etwas bedeutet und es auch keine Zählung von Gegenständen gibt

Das arabische Zahlensystem ist ein modernes System, das wir täglich verwenden. Es ist eine Variante von Indian (dezimal).

Modern wurde dieses Zahlensystem durch die Zahl 0, die von den Arabern erfunden wurde. Zuvor war es im indischen System nicht verfügbar.

Unnatürliche Zahlen. Was ist das?

Natürliche Zahlen umfassen keine negativen Zahlen oder Nicht-Ganzzahlen. Das bedeutet, dass es sich um unnatürliche Zahlen handelt

Nachfolgend finden Sie Beispiele.

Nichtnatürliche Zahlen sind:

Negative Zahlen, zum Beispiel: -1, -5, -36... und so weiter.
Rationale Zahlen, die in Dezimalbrüchen ausgedrückt werden: 4,5, -67, 44,6.
In Form eines einfachen Bruchs: 1 / 2, 40 2 /7 usw.

Irrationale Zahlen wie e = 2,71828, √2 = 1,41421 und dergleichen.

Wir hoffen, dass wir Ihnen sehr geholfen haben, nichtnatürliche und natürliche Zahlen zu verstehen. Jetzt wird es Ihnen leichter fallen, Ihrem Baby dieses Thema zu erklären, und es wird es genauso lernen wie die großen Mathematiker!

Die einfachste Zahl ist natürliche Zahl. Sie werden verwendet in Alltagsleben zum Zählen Objekte, d.h. um deren Anzahl und Reihenfolge zu berechnen.

Was ist eine natürliche Zahl: natürliche Zahlen Benennen Sie die Zahlen, die Sie gewohnt sind Zählen von Artikeln oder zum Angeben der Seriennummer eines beliebigen Artikels aus allen homogenen Artikeln Artikel.

Ganze Zahlen- Das sind Zahlen, die bei eins beginnen. Sie entstehen beim Zählen auf natürliche Weise.Zum Beispiel 1,2,3,4,5... -erste natürliche Zahlen.

Kleinste natürliche Zahl- eins. Es gibt keine größte natürliche Zahl. Beim Zählen der Zahl Null wird nicht verwendet, daher ist Null eine natürliche Zahl.

Natürliche Zahlenreihe ist die Folge aller natürlichen Zahlen. Natürliche Zahlen schreiben:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

In der natürlichen Reihe ist jede Zahl um eins größer als die vorherige.

Wie viele Zahlen gibt es in der natürlichen Reihe? Die natürliche Reihe ist unendlich; die größte natürliche Zahl existiert nicht.

Dezimal, da 10 Einheiten einer beliebigen Ziffer 1 Einheit der höchsten Ziffer bilden. Positionsmäßig schon wie die Bedeutung einer Ziffer von ihrem Platz in der Zahl abhängt, d.h. aus der Kategorie, in der es geschrieben steht.

Klassen natürlicher Zahlen.

Jede natürliche Zahl kann mit 10 geschrieben werden arabische Ziffern:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Um natürliche Zahlen zu lesen, werden sie von rechts beginnend in Gruppen zu je 3 Ziffern unterteilt. 3 zuerst Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Einheitenklasse, die nächsten 3 sind die Tausenderklasse, dann die Millionen-, Milliarden- und Milliardenklasseusw. Jede der Klassenziffern wird als ihre bezeichnetEntladung.

Vergleich natürlicher Zahlen.

Von 2 natürlichen Zahlen ist die kleinere die Zahl, die beim Zählen früher aufgerufen wird. Zum Beispiel, Nummer 7 weniger 11 (so geschrieben:7 < 11 ). Wenn eine Nummer mehr als die Sekunde, es ist so geschrieben:386 > 99 .

Tabelle der Ziffern und Zahlenklassen.


Einheit 1. Klasse	1. Ziffer der Einheit 2. Ziffer Zehner 3. Platz Hunderter
2. Klasse Tausend	1. Ziffer der Tausendereinheit 2. Ziffer Zehntausender 3. Kategorie Hunderttausende
Millionen 3. Klasse	1. Ziffer der Millioneneinheit 2. Kategorie zig Millionen 3. Kategorie Hunderte Millionen
Milliarden der 4. Klasse	1. Ziffer der Milliardeneinheit 2. Kategorie zig Milliarden 3. Kategorie Hunderte Milliarden

Zahlen ab der 5. Klasse gelten als große Zahlen. Einheiten der 5. Klasse sind Billionen, 6 Klasse – Billiarden, 7. Klasse – Trillionen, 8. Klasse – Sextillionen, 9. Klasse – eptillionen.

Grundlegende Eigenschaften natürlicher Zahlen.

Kommutativität der Addition . a + b = b + a
Kommutativität der Multiplikation. ab = ba
Assoziativität der Addition. (a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativität der Multiplikation.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition:

Operationen mit natürlichen Zahlen.

4. Die Division natürlicher Zahlen ist die Umkehroperation der Multiplikation.

Wenn b ∙ c = a, Das

Formeln zur Division:

ein: 1 = ein

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Numerische Ausdrücke und numerische Gleichheiten.

Eine Notation, bei der Zahlen durch Aktionszeichen verbunden sind, ist numerischer Ausdruck.

Zum Beispiel 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Datensätze, bei denen zwei numerische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen kombiniert werden, sind numerische Gleichheiten. Gleichheit hat eine linke und eine rechte Seite.

Die Reihenfolge der Ausführung arithmetischer Operationen.

Das Addieren und Subtrahieren von Zahlen sind Operationen ersten Grades, während Multiplikation und Division Operationen zweiten Grades sind.

Wann numerischer Ausdruck besteht aus Aktionen nur eines Grades, sie werden nacheinander ausgeführt von links nach rechts.

Wenn Ausdrücke nur aus Aktionen ersten und zweiten Grades bestehen, werden die Aktionen zuerst ausgeführt zweiten Grades und dann - Handlungen ersten Grades.

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, werden zuerst die Aktionen in den Klammern ausgeführt.

Zum Beispiel 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Definition

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die zum Zählen von Objekten bestimmt sind. Zur Erfassung natürlicher Zahlen werden 10 arabische Ziffern (0–9) verwendet, die die Grundlage des für mathematische Berechnungen allgemein anerkannten dezimalen Zahlensystems bilden.

Folge natürlicher Zahlen

Die natürlichen Zahlen bilden eine Reihe, die bei 1 beginnt und die Menge aller positiven ganzen Zahlen abdeckt. Diese Folge besteht aus den Zahlen 1,2,3,.... Das bedeutet in der natürlichen Reihe:

Es gibt eine kleinste Zahl und keine größte.
Jede nachfolgende Zahl ist um 1 größer als die vorherige (mit Ausnahme der Einheit selbst).
Da die Zahlen gegen Unendlichkeit tendieren, wachsen sie grenzenlos.

Manchmal wird 0 in eine Reihe natürlicher Zahlen eingeführt. Das ist akzeptabel, und dann reden sie darüber erweitert natürliche Serie.

Klassen natürlicher Zahlen

Jede Ziffer einer natürlichen Zahl drückt eine bestimmte Ziffer aus. Das letzte ist immer die Anzahl der Einer in der Zahl, das davor liegende ist die Zahl der Zehner, das dritte vom Ende ist die Zahl der Hunderter, das vierte ist die Zahl der Tausender und so weiter.

in Nummer 276: 2 Hunderter, 7 Zehner, 6 Einer
in der Zahl 1098: 1 Tausend, 9 Zehner, 8 Einer; Die Hunderterstelle fehlt hier, da sie als Null ausgedrückt wird.

Bei großen und sehr großen Zahlen erkennt man einen stabilen Trend (wenn man die Zahl von rechts nach links, also von der letzten zur ersten Ziffer betrachtet):

die letzten drei Ziffern der Zahl sind Einer, Zehner und Hunderter;
die vorherigen drei sind Einheiten, Zehntausende und Hunderttausende;
Die drei davor (d. h. die 7., 8. und 9. Ziffer der Zahl, gezählt vom Ende) sind Einheiten, Zehner und Hunderter von Millionen usw.

Das heißt, jedes Mal haben wir es mit drei Ziffern zu tun, also Einheiten, Zehnern und Hundertern eines größeren Namens. Solche Gruppen bilden Klassen. Und wenn man sich im Alltag mehr oder weniger oft mit den ersten drei Klassen auseinandersetzen muss, dann sollten die anderen aufgelistet werden, denn nicht jeder merkt sich deren Namen auswendig.

Die 4. Klasse, die auf die Millionenklasse folgt und 10-12-stellige Zahlen darstellt, wird Milliarde (oder Milliarde) genannt;
5. Klasse – Billionen;
6. Klasse – Billiarde;
7. Klasse – Trillion;
8. Klasse – Sextillion;
9. Klasse – Septillion.

Addition natürlicher Zahlen

Die Addition natürlicher Zahlen ist eine arithmetische Operation, die es Ihnen ermöglicht, eine Zahl zu erhalten, die die gleiche Anzahl an Einheiten enthält wie die addierten Zahlen.

Das Zusatzzeichen ist das „+“-Zeichen. Die addierten Zahlen werden Summanden genannt und das resultierende Ergebnis wird Summe genannt.

Kleine Zahlen werden mündlich addiert (summiert), schriftlich werden solche Aktionen in einer Zeile niedergeschrieben.

Mehrstellige Zahlen, die man nur schwer im Kopf addieren kann, werden normalerweise in eine Spalte eingefügt. Dazu schreibt man Zahlen untereinander, ausgerichtet an der letzten Ziffer, das heißt, man schreibt die Einerstelle unter die Einerstelle, die Hunderterstelle unter die Hunderterstelle usw. Als nächstes müssen Sie die Ziffern paarweise hinzufügen. Erfolgt die Ziffernaddition beim Übergang durch eine Zehn, so wird diese Zehn als Einheit über der Ziffer links (also der nächsten) fixiert und mit den Ziffern dieser Ziffer summiert.

Wenn die Spalte nicht 2 ergibt, sondern mehr Zahlen, dann können bei der Summierung der Ziffern einer Stelle nicht 1 Zehner, sondern mehrere überflüssig sein. In diesem Fall wird die Anzahl solcher Zehner auf die nächste Ziffer übertragen.

Natürliche Zahlen subtrahieren

Subtraktion ist eine arithmetische Operation, die Umkehrung der Addition, die darauf hinausläuft, dass Sie unter Verwendung der verfügbaren Summe und eines der Terme einen anderen finden müssen – einen unbekannten Term. Die Zahl, von der es subtrahiert wird, wird Minuend genannt; Die Zahl, die subtrahiert wird, ist subtrahierbar. Das Ergebnis der Subtraktion nennt man Differenz. Das zur Bezeichnung der Subtraktionswirkung verwendete Vorzeichen ist „–“.

Beim Übergang zur Addition werden Subtrahend und Differenz zu Addenden und der Minuend zu einer Summe. Die Addition wird normalerweise verwendet, um die Korrektheit der Subtraktion zu überprüfen und umgekehrt.

Hier ist 74 der Minuend, 18 der Subtrahend und 56 die Differenz.

Voraussetzung für die Subtraktion natürlicher Zahlen ist Folgendes: Der Minuend muss größer sein als der Subtrahend. Nur in diesem Fall ist auch die resultierende Differenz eine natürliche Zahl. Wenn die Subtraktion für eine erweiterte natürliche Reihe durchgeführt wird, ist es zulässig, dass der Minuend gleich dem Subtrahend ist. Und das Ergebnis der Subtraktion ist in diesem Fall 0.

Hinweis: Wenn der Subtrahend gleich Null ist, ändert die Subtraktionsoperation den Wert des Minuenden nicht.

Die Subtraktion mehrstelliger Zahlen erfolgt normalerweise in einer Spalte. Die Zahlen werden wie bei der Addition geschrieben. Für die entsprechenden Ziffern wird eine Subtraktion durchgeführt. Wenn sich herausstellt, dass der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, nehmen sie eins von der vorherigen (links befindlichen) Ziffer, die nach der Übertragung natürlich zu 10 wird. Diese Zehn wird mit der Nummer der angegebenen Ziffer summiert abgebaut und dann wird die Subtraktion durchgeführt. Wenn Sie dann die nächste Ziffer subtrahieren, berücksichtigen Sie unbedingt, dass die zu reduzierende Ziffer um 1 kleiner geworden ist.

Produkt natürlicher Zahlen

Das Produkt (oder die Multiplikation) natürlicher Zahlen ist eine arithmetische Operation, die das Ermitteln der Summe einer beliebigen Anzahl identischer Terme darstellt. Um die Multiplikationsaktion zu schreiben, verwenden Sie das Zeichen „·“ (manchmal „×“ oder „*“). Zum Beispiel: 3·5=15.

Die Multiplikation ist unverzichtbar, wenn eine Addition erforderlich ist. große Menge Bedingungen. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 4 siebenmal addieren müssen, ist die Multiplikation von 4 mit 7 einfacher als die folgende Addition: 4+4+4+4+4+4+4.

Zahlen, die multipliziert werden, nennt man Faktoren, das Ergebnis der Multiplikation nennt man Produkt. Demnach kann der Begriff „Produkt“ je nach Kontext sowohl den Vorgang der Multiplikation als auch dessen Ergebnis ausdrücken.

Mehrstellige Zahlen werden in einer Spalte multipliziert. Dabei werden Zahlen auf die gleiche Weise geschrieben wie bei der Addition und Subtraktion. Es empfiehlt sich, zuerst die längste der beiden Zahlen (oben) aufzuschreiben. In diesem Fall wird der Multiplikationsprozess einfacher und daher rationeller sein.

Beim Multiplizieren in einer Spalte werden die Ziffern jeder Ziffer der zweiten Zahl beginnend am Ende der Reihe nach mit den Ziffern der ersten Zahl multipliziert. Nachdem Sie das erste derartige Produkt gefunden haben, notieren Sie die Einerstelle und behalten Sie die Zehnerstelle im Hinterkopf. Bei der Multiplikation der Ziffer der 2. Zahl mit der nächsten Ziffer der 1. Zahl wird die berücksichtigte Ziffer zum Produkt addiert. Und noch einmal: Notieren Sie die Einerzahl des erhaltenen Ergebnisses und merken Sie sich die Zehnerzahl. Durch Multiplikation mit der letzten Ziffer der 1. Zahl wird die so erhaltene Zahl vollständig notiert.

Die Ergebnisse der Multiplikation der Ziffer mit der 2. Ziffer der zweiten Zahl werden in die zweite Zeile geschrieben und um 1 Zelle nach rechts verschoben. Usw. Das Ergebnis ist eine „Leiter“. Alle resultierenden Zahlenreihen sollten addiert werden (gemäß der Regel der Spaltenaddition). Leere Zellen sollten als mit Nullen gefüllt betrachtet werden. Die resultierende Summe ist das Endprodukt.

Notiz

Das Produkt einer natürlichen Zahl mit 1 (oder 1 mit einer Zahl) ist gleich der Zahl selbst. Zum Beispiel: 376·1=376; 1·86=86.
Wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich 0 sind, ist das Produkt gleich 0. Beispiel: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Division natürlicher Zahlen

Division ist eine Rechenoperation, mit deren Hilfe aus einem bekannten Produkt und einem der Faktoren ein weiterer – unbekannter – Faktor ermittelt werden kann. Division ist die Umkehrung der Multiplikation und dient zur Überprüfung, ob eine Multiplikation korrekt durchgeführt wurde (und umgekehrt).

Die Zahl, die geteilt wird, wird Dividende genannt; die Zahl, durch die dividiert wird, ist der Teiler; Das Ergebnis der Division wird Quotient genannt. Das Divisionszeichen ist „:“ (manchmal, seltener, „÷“).

Hier ist 48 der Dividend, 6 der Divisor, 8 der Quotient.

Nicht alle natürlichen Zahlen können untereinander geteilt werden. In diesem Fall dividieren Sie mit einem Rest. Es besteht darin, dass für den Divisor ein Faktor so gewählt wird, dass sein Produkt mit dem Divisor eine Zahl ergibt, die dem Wert des Dividenden möglichst nahe kommt, aber kleiner als dieser ist. Der Divisor wird mit diesem Faktor multipliziert und vom Dividenden abgezogen. Die Differenz wird der Rest der Division sein. Das Produkt aus einem Divisor und einem Faktor wird als unvollständiger Quotient bezeichnet. Achtung: Der Saldo muss kleiner sein als der gewählte Multiplikator! Ist der Rest größer, bedeutet dies, dass der Multiplikator falsch gewählt wurde und erhöht werden sollte.

Wir wählen einen Multiplikator für 7. V in diesem Fall Diese Zahl ist 5. Finden Sie den unvollständigen Quotienten: 7·5=35. Wir berechnen den Rest: 38-35=3. Seit 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Mehrstellige Zahlen werden in eine Spalte unterteilt. Dazu werden Dividend und Divisor nebeneinander geschrieben, wobei der Divisor durch einen vertikalen und einen horizontalen Strich getrennt wird. Im Dividenden werden die erste Ziffer oder die ersten paar Ziffern (rechts) isoliert, die eine Zahl darstellen müssen, die mindestens ausreicht, um durch den Divisor geteilt zu werden (d. h. diese Zahl muss größer als der Divisor sein). Für diese Zahl wird ein unvollständiger Quotient gewählt, wie in der Regel zur Division mit Rest beschrieben. Unter dem Divisor steht die Ziffer des Multiplikators, mit dem der Teilquotient ermittelt wird. Der unvollständige Quotient wird rechtsbündig unterhalb der zu dividierenden Zahl geschrieben. Finden Sie ihren Unterschied. Notieren Sie die nächste Ziffer der Dividende, indem Sie sie neben diese Differenz schreiben. Für die resultierende Zahl wird der Teilquotient erneut ermittelt, indem die Ziffer des ausgewählten Multiplikators neben der vorherigen unter dem Divisor notiert wird. Usw. Solche Aktionen werden durchgeführt, bis die Ziffern der Dividende aufgebraucht sind. Danach gilt die Teilung als abgeschlossen. Wenn Dividend und Divisor durch ein Ganzes (ohne Rest) dividiert werden, ergibt die letzte Differenz Null. Andernfalls wird die Restzahl ermittelt.

Potenzierung

Potenzierung ist eine mathematische Operation, bei der eine beliebige Anzahl identischer Zahlen multipliziert wird. Zum Beispiel: 2·2·2·2.

Solche Ausdrücke werden in der Form geschrieben: ein x,

Wo A– eine mit sich selbst multiplizierte Zahl, X– die Anzahl solcher Faktoren.

Primzahlen und zusammengesetzte natürliche Zahlen

Jede natürliche Zahl außer 1 kann in mindestens 2 Zahlen geteilt werden – eine und sich selbst. Basierend auf diesem Kriterium werden natürliche Zahlen in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen unterteilt.

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Zahlen, die durch mehr als diese beiden Zahlen teilbar sind, werden zusammengesetzte Zahlen genannt. Eine allein durch sich selbst teilbare Einheit ist weder einfach noch zusammengesetzt.

Primzahlen sind: 2,3,5,7,11,13,17,19 usw. Beispiele für zusammengesetzte Zahlen: 4 (teilbar durch 1,2,4), 6 (teilbar durch 1,2,3,6), 20 (teilbar durch 1,2,4,5,10,20).

Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden. Mit Primfaktoren meinen wir ihre Teiler, die Primzahlen sind.

Beispiel für Primfaktorzerlegung:

Teiler natürlicher Zahlen

Ein Divisor ist eine Zahl, durch die eine bestimmte Zahl ohne Rest geteilt werden kann.

Gemäß dieser Definition haben natürliche Primzahlen 2 Teiler, zusammengesetzte Zahlen mehr als 2 Teiler.

Viele Zahlen haben gemeinsame Faktoren. Ein gemeinsamer Teiler ist eine Zahl, die gegebene Zahlen ohne Rest teilt.

Die Zahlen 12 und 15 haben einen gemeinsamen Teiler von 3
Die Zahlen 20 und 30 haben gemeinsame Teiler 2,5,10

Von besonderer Bedeutung ist der größte gemeinsame Teiler (GCD). Insbesondere diese Zahl ist nützlich, um Brüche zu reduzieren. Um es zu finden, müssen Sie die gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegen und sie als Produkt ihrer gemeinsamen Primfaktoren in ihrer kleinsten Potenz darstellen.

Sie müssen den GCD der Nummern 36 und 48 finden.

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Es ist nicht immer möglich, mit dem bloßen Auge festzustellen, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist. In solchen Fällen erweist sich der entsprechende Teilbarkeitstest als nützlich, also eine Regel, mit der man in Sekundenschnelle feststellen kann, ob Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das Zeichen „“ wird verwendet, um die Teilbarkeit anzuzeigen.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Diese Größe (mit der Bezeichnung LOC) ist die kleinste Zahl, die durch jede der angegebenen Zahlen teilbar ist. Das LCM kann für eine beliebige Menge natürlicher Zahlen ermittelt werden.

NOC hat wie GCD eine erhebliche praktische Bedeutung. Es ist also das LCM, das gefunden werden muss, indem gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

Der LCM wird durch die Faktorisierung gegebener Zahlen in Primfaktoren bestimmt. Um es zu bilden, nehmen Sie ein Produkt, das aus jedem der (mindestens für eine Zahl) vorkommenden Primfaktoren besteht und maximal vertreten ist.

Sie müssen den LCM der Nummern 14 und 24 finden.

Arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel einer beliebigen (aber endlichen) Anzahl natürlicher Zahlen ist die Summe aller dieser Zahlen dividiert durch die Anzahl der Terme:

Das arithmetische Mittel ist ein Durchschnittswert für eine numerische Menge.

Die angegebenen Zahlen sind 2,84,53,176,17,28. Sie müssen ihr arithmetisches Mittel ermitteln.

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