როგორ მოვძებნოთ სამკუთხედის ფართობი. დაამტკიცეთ რა არის სამკუთხედის ფართობი

სამკუთხედი ცნობილი ფიგურაა. და ეს, მიუხედავად მისი ფორმების მდიდარი მრავალფეროვნებისა. მართკუთხა, ტოლგვერდა, მწვავე, ტოლკუთხა, ბლაგვი. თითოეული მათგანი გარკვეულწილად განსხვავებულია. მაგრამ ნებისმიერისთვის საჭიროა იცოდეს სამკუთხედის ფართობი.

საერთო ფორმულები ყველა სამკუთხედისთვის, რომელიც იყენებს გვერდების ან სიმაღლეების სიგრძეს

მათში მიღებული აღნიშვნები: მხარეები - a, b, c; სიმაღლეები შესაბამის გვერდებზე a, n in, n s.

1. სამკუთხედის ფართობი გამოითვლება ½-ის ნამრავლით, გვერდითა და მასზე დაშვებული სიმაღლით. S = ½ * a * n a. ანალოგიურად, უნდა დაწეროთ ფორმულები დანარჩენი ორი მხარისთვის.

2. ჰერონის ფორმულა, რომელშიც ჩანს ნახევრადპერიმეტრი (ჩვეულებრივია მისი აღნიშვნა პ პატარა ასოთი, სრული პერიმეტრისგან განსხვავებით). ნახევრადპერიმეტრი უნდა გამოითვალოს შემდეგნაირად: შეკრიბეთ ყველა გვერდი და გაყავით 2-ზე. ნახევრადპერიმეტრის ფორმულა: p \u003d (a + b + c) / 2. შემდეგ ტოლია \\ ფართობის ფიგურა ასე გამოიყურება: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. თუ არ გსურთ გამოიყენოთ ნახევრად პერიმეტრი, მაშინ გამოგადგებათ ასეთი ფორმულა, რომელშიც მხოლოდ გვერდების სიგრძეა წარმოდგენილი: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ბ + გ - ა) * (ა + გ - გ) * (ა + ბ - გ)). ის ოდნავ გრძელია ვიდრე წინა, მაგრამ ეს დაგეხმარებათ, თუ დაგავიწყდათ როგორ იპოვოთ ნახევრად პერიმეტრი.

ზოგადი ფორმულები, რომლებშიც ჩანს სამკუთხედის კუთხეები

აღნიშვნა, რომელიც საჭიროა ფორმულების წასაკითხად: α, β, γ - კუთხეები. ისინი დევს მოპირდაპირე მხარეს a, b, c, შესაბამისად.

1. მისი მიხედვით, ორი გვერდის ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი უდრის სამკუთხედის ფართობს. ანუ: S = ½ a * b * sin γ. დანარჩენი ორი შემთხვევის ფორმულები ანალოგიურად უნდა დაიწეროს.

2. სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთი და სამი მხრიდან ცნობილი კუთხეები. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. ასევე არსებობს ფორმულა ერთი ცნობილი გვერდით და მის მიმდებარე ორი კუთხით. ეს ასე გამოიყურება: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

ბოლო ორი ფორმულა არ არის უმარტივესი. მათი დამახსოვრება საკმაოდ რთულია.

ზოგადი ფორმულები იმ სიტუაციისთვის, როდესაც ცნობილია შემოხაზული ან შემოხაზული წრეების რადიუსი

დამატებითი აღნიშვნები: r, R — რადიუსი. პირველი გამოიყენება ჩაწერილი წრის რადიუსისთვის. მეორე არის აღწერილი.

1. პირველი ფორმულა, რომლითაც გამოითვლება სამკუთხედის ფართობი, დაკავშირებულია ნახევარპერიმეტრთან. S = r * r. სხვა გზით, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. მეორე შემთხვევაში დაგჭირდებათ სამკუთხედის ყველა გვერდის გამრავლება და მათი გაყოფა შემოხაზული წრის ოთხმაგი რადიუსით. პირდაპირი გაგებით, ასე გამოიყურება: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. მესამე სიტუაცია საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ მხარეების ცოდნის გარეშე, მაგრამ გჭირდებათ სამივე კუთხის მნიშვნელობები. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

განსაკუთრებული შემთხვევა: მართკუთხა სამკუთხედი

ეს არის უმარტივესი სიტუაცია, რადგან საჭიროა მხოლოდ ორივე ფეხის სიგრძე. ისინი აღინიშნება ლათინური ასოებით a და b. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი უდრის მასზე დამატებული მართკუთხედის ფართობის ნახევარს.

მათემატიკურად ასე გამოიყურება: S = ½ a * b. ის ყველაზე ადვილი დასამახსოვრებელია. იმის გამო, რომ ის ჰგავს მართკუთხედის ფართობის ფორმულას, ჩნდება მხოლოდ წილადი, რომელიც აღნიშნავს ნახევარს.

განსაკუთრებული შემთხვევა: ტოლფერდა სამკუთხედი

ვინაიდან მისი ორი მხარე თანაბარია, მისი ფართობის ზოგიერთი ფორმულა გარკვეულწილად გამარტივებულია. მაგალითად, ჰერონის ფორმულა, რომელიც ითვლის ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობს, იღებს შემდეგ ფორმას:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

თუ დააკონვერტირებთ, ის უფრო მოკლე გახდება. ამ შემთხვევაში ჰერონის ფორმულა ტოლფერდა სამკუთხედისთვის იწერება შემდეგნაირად:

S = ¼ √-ში (4 * a 2 - b 2).

რამდენადმე მარტივია, ვიდრე თვითნებური სამკუთხედისთვის, ფართობის ფორმულა ასე გამოიყურება, თუ იცით მხარეებიდა კუთხე მათ შორის. S \u003d ½ a 2 * sin β.

განსაკუთრებული შემთხვევა: ტოლგვერდა სამკუთხედი

ჩვეულებრივ, მის შესახებ პრობლემებში მხარე ცნობილია ან შეიძლება როგორმე ამოიცნო. შემდეგ ასეთი სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა შემდეგია:

S = (a 2 √3) / 4.

ამოცანები ფართობის პოვნისთვის, თუ სამკუთხედი გამოსახულია ქაღალდზე

უმარტივესი სიტუაციაა, როდესაც მართკუთხა სამკუთხედი ისეა დახატული, რომ მისი ფეხები ემთხვევა ქაღალდის ხაზებს. შემდეგ თქვენ უბრალოდ უნდა დათვალოთ უჯრედების რაოდენობა, რომლებიც ჯდება ფეხებში. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი და გაყავით ორზე.

როდესაც სამკუთხედი მკვეთრია ან ბლაგვი, ის უნდა იყოს დახატული მართკუთხედისკენ. შემდეგ მიღებულ ფიგურაში იქნება 3 სამკუთხედი. ერთი არის დავალებაში მოცემული. ხოლო დანარჩენი ორი დამხმარე და მართკუთხაა. ბოლო ორის არეები უნდა განისაზღვროს ზემოთ აღწერილი მეთოდით. შემდეგ გამოთვალეთ მართკუთხედის ფართობი და გამოაკლეთ ის, რაც გამოითვლება დამხმარეებისთვის. სამკუთხედის ფართობი განისაზღვრება.

გაცილებით რთულია სიტუაცია, როდესაც სამკუთხედის არც ერთი გვერდი არ ემთხვევა ქაღალდის ხაზებს. შემდეგ ის უნდა ჩაიწეროს მართკუთხედში ისე, რომ ორიგინალური ფიგურის წვეროები მის გვერდებზე იყოს. ამ შემთხვევაში, იქნება სამი დამხმარე მართკუთხა სამკუთხედი.

ჰერონის ფორმულის პრობლემის მაგალითი

მდგომარეობა. ზოგიერთ სამკუთხედს აქვს გვერდები. ისინი უდრის 3, 5 და 6 სმ. თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფართობი.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. კვადრატული ფესვის ქვეშ არის ოთხი რიცხვის ნამრავლი: 7, 4, 2 და 1. ანუ ფართობი არის √ (4 * 14) = 2 √ (14).

თუ მეტი სიზუსტე არ გჭირდებათ, მაშინ შეგიძლიათ აიღოთ 14-ის კვადრატული ფესვი. ეს არის 3,74. მაშინ ფართობი იქნება 7,48-ის ტოლი.

უპასუხე. S \u003d 2 √14 სმ 2 ან 7,48 სმ 2.

მართკუთხა სამკუთხედის პრობლემის მაგალითი

მდგომარეობა. მართკუთხა სამკუთხედის ერთი ფეხი 31 სმ-ით გრძელია, ვიდრე მეორე. საჭიროა მათი სიგრძის გარკვევა, თუ სამკუთხედის ფართობი 180 სმ 2-ია.
გამოსავალი. თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლების სისტემა. პირველი დაკავშირებულია ტერიტორიასთან. მეორე არის ფეხების თანაფარდობა, რომელიც მოცემულია პრობლემაში.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
პირველ რიგში, "a"-ს მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს პირველ განტოლებაში. გამოდის: 180 \u003d ½ (+ 31-ში) * ინჩი. მას აქვს მხოლოდ ერთი უცნობი რაოდენობა, ამიტომ მისი ამოხსნა მარტივია. ფრჩხილების გახსნის შემდეგ მიიღება კვადრატული განტოლება: 2 + 31-ში - 360 \u003d 0. ის იძლევა ორ მნიშვნელობას "in"-სთვის: 9 და - 40. მეორე რიცხვი არ არის შესაფერისი პასუხად. , ვინაიდან სამკუთხედის გვერდის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი მნიშვნელობა.

რჩება მეორე ფეხის გამოთვლა: მიღებულ რიცხვს დაუმატეთ 31. გამოდის 40. ეს არის პრობლემში მოძიებული რაოდენობები.

უპასუხე. სამკუთხედის ფეხები არის 9 და 40 სმ.

სამკუთხედის ფართობის, გვერდის და კუთხის მეშვეობით გვერდის პოვნის ამოცანა

მდგომარეობა. ზოგიერთი სამკუთხედის ფართობია 60 სმ2. მისი ერთ-ერთი გვერდის გამოთვლა აუცილებელია, თუ მეორე მხარე 15 სმ-ია, ხოლო მათ შორის კუთხე 30º.

გამოსავალი. მიღებული აღნიშვნებიდან გამომდინარე, სასურველი მხარე არის "a", ცნობილი "b", მოცემული კუთხე არის "γ". შემდეგ ფართობის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. აქ 30 გრადუსის სინუსი არის 0,5.

გარდაქმნების შემდეგ, "a" გამოდის ტოლი 60 / (0.5 * 0.5 * 15). ეს არის 16.

უპასუხე. სასურველი მხარე არის 16 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედში ჩაწერილი კვადრატის ამოცანა

მდგომარეობა. კვადრატის წვერო, რომლის გვერდია 24 სმ, ემთხვევა სამკუთხედის მართ კუთხეს. დანარჩენი ორი ფეხებზე წევს. მესამე ეკუთვნის ჰიპოტენუზას. ერთი ფეხის სიგრძეა 42 სმ. რა არის მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი?

გამოსავალი. განვიხილოთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი. პირველი მითითებულია დავალებაში. მეორე ეფუძნება თავდაპირველი სამკუთხედის ცნობილ წვერს. ისინი მსგავსია, რადგან მათ აქვთ საერთო კუთხე და წარმოიქმნება პარალელური ხაზებით.

მაშინ მათი ფეხების თანაფარდობა ტოლია. პატარა სამკუთხედის ფეხები არის 24 სმ (კვადრატის მხარე) და 18 სმ (მოცემული ფეხი 42 სმ გამოკლებული კვადრატის გვერდი 24 სმ). დიდი სამკუთხედის შესაბამისი ფეხებია 42 სმ და x სმ. სწორედ ეს "x" არის საჭირო სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად.

18/42 \u003d 24 / x, ანუ x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (სმ).

მაშინ ფართობი უდრის 56-ისა და 42-ის ნამრავლს, გაყოფილი ორზე, ანუ 1176 სმ 2-ზე.

უპასუხე. სასურველი ფართობია 1176 სმ 2.

სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი გვერდის ნამრავლის ნახევარს და ამ მხარეს დახატული სიმაღლის. იმ მხარეს, რომლისკენაც სიმაღლეა დახატული, ეწოდება ბაზა. ამრიგად, შეიძლება ითქვას, რომ სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარი მის სიმაღლეზე..

თუ სამკუთხედის გვერდის ფუძის სიგრძეს აღვნიშნავთ a, სიმაღლეს h, მაშინ მივიღებთ ფორმულას სამკუთხედის ფართობისთვის:

ამ ფორმულის დასამტკიცებლად, უნდა განიხილოს ყველა ვარიანტი სამკუთხედში სიმაღლის ადგილმდებარეობისთვის. მათგან მხოლოდ სამია. ეს:

სიმაღლე ემთხვევა სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს. ამ შემთხვევაში საქმე გვაქვს მართკუთხა სამკუთხედთან, რომელშიც ერთ-ერთი ფეხი აღებულია ფუძედ. ამ ფეხისკენ მიზიდული სიმაღლე არის მეორე ფეხი.
სიმაღლე სამკუთხედის შიგნითაა. ამ შემთხვევაში ის იკვეთება ფუძესთან და ყოფს ორ სეგმენტად. ეს სამკუთხედი იყოფა ორ მართკუთხა სამკუთხედად.
სიმაღლე სამკუთხედის გარეთაა. ამ შემთხვევაში იგი იკვეთება არა თავად ფუძესთან, არამედ მის გაგრძელებასთან (სწორი ხაზი, რომელზეც დევს ფუძე).

განვიხილოთ პირველი შემთხვევა. მიეცით სამკუთხედი ABC. მასში, სიმაღლე h არის დახატული a სიგრძის AC ფუძესთან, რომელიც დაემთხვა BC მხარეს:

მოგეხსენებათ, მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს. ჩვენ რომ გვქონდეს მართკუთხედი გვერდებით, რომელთა სიგრძეა a და h, მაშინ მისი ფართობი იქნება ah-ის ტოლი. თუ დიაგონალი შედგენილია მართკუთხედში, მაშინ ის ყოფს ორ თანაბარ მართკუთხა სამკუთხედად (მათ, შესაბამისად, სამივე გვერდი ტოლია). ამ სამკუთხედების ფართობებიც ერთმანეთის ტოლია და თითოეული არის მთელი მართკუთხედის ფართობის ½. ამრიგად, დადასტურდა, რომ სამკუთხედის ფართობი ქ ამ საქმესიქნება ½ აჰ-ის ტოლი.

განვიხილოთ მეორე შემთხვევა. მოდით, მასში h სიგრძის BH სიმაღლე კვეთს a სიგრძის AC მხარეს.

ამ შემთხვევაში მივიღებთ ორ მართკუთხა სამკუთხედს: ABH და CBH. პირველი განხილული შემთხვევიდან ვიცით, რომ მათი ფართობი არის ½ · AH · h და ½ · CH · h, შესაბამისად.

მთელი სამკუთხედის ფართობი ABC არის ამ ორი ფართობის ჯამი:

S = ½ AH h + ½ CH h

ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:

S = ½ სთ (AH + CH)

მაგრამ AH და CH ემატება სიგრძეს a. ამრიგად, მივედით ფორმულამდე, რომლის დამტკიცება გვინდოდა:

S = ½ სთ ა

ახლა განიხილეთ მესამე შემთხვევა, როდესაც სიმაღლე სამკუთხედის მიღმაა:

აქ ასევე შეგვიძლია დავინახოთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი. ეს არის ∆ABH და ∆CBH. და პირველი მოიცავს მეორეს. სასურველი სამკუთხედი ABC არის სამკუთხედის CBH დანამატი სამკუთხედის ABH. ამრიგად, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ ∆ABH ფართობი უდრის ∆CBH და ∆ABC ფართობების ჯამს:

S ∆ABH = S ∆CBH + S ∆ABC

სად ვიპოვოთ სასურველი სამკუთხედის ფართობი ABC:

S ∆ABC = S ∆ABH – S ∆CBH

სამკუთხედის ABH ფართობი არის ½ AH h, სამკუთხედის ფართობი CBH არის ½ CH h:

S ∆ABC = ½ AH h – ½ CH h

ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორებს ფრჩხილიდან:

S ∆ABC = ½ სთ (AH - CH)

მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, თუ CH სეგმენტს გამოვაკლებთ AH სეგმენტს, მაშინ მივიღებთ AC სეგმენტს, რომლის სიგრძე უდრის a. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავწეროთ, რომ ამ შემთხვევაში სამკუთხედის ფართობი ასევე არის ½ აჰ.

სამკუთხედის ფართობის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა ფორმულები. ყველა მეთოდიდან ყველაზე მარტივი და ყველაზე ხშირად გამოყენებული არის სიმაღლის გამრავლება ფუძის სიგრძეზე და შემდეგ შედეგის ორზე გაყოფა. თუმცა, ეს მეთოდი შორს არის ერთადერთისგან. ქვემოთ შეგიძლიათ წაიკითხოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი სხვადასხვა ფორმულების გამოყენებით.

ცალკე განვიხილავთ სამკუთხედის სპეციფიკური ტიპების ფართობის გამოთვლის მეთოდებს - მართკუთხა, ტოლფერდა და ტოლგვერდა. თითოეულ ფორმულას თან ახლავს მოკლე განმარტება, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ მისი არსი.

სამკუთხედის ფართობის პოვნის უნივერსალური გზები

ქვემოთ მოცემული ფორმულები იყენებენ სპეციალურ აღნიშვნას. ჩვენ გავშიფრავთ თითოეულ მათგანს:

a, b, c არის ჩვენ მიერ განხილული ფიგურის სამი მხარის სიგრძე;
r არის წრის რადიუსი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს ჩვენს სამკუთხედში;
R არის წრის რადიუსი, რომელიც შეიძლება აღწერილი იყოს მის გარშემო;
α - b და c გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხის მნიშვნელობა;
β არის კუთხე a და c შორის;
γ - a და b გვერდებით წარმოქმნილი კუთხის მნიშვნელობა;
h არის ჩვენი სამკუთხედის სიმაღლე, ჩამოშვებული α კუთხიდან a მხარეს;
p არის a, b და c გვერდების ჯამის ნახევარი.

ლოგიკურად გასაგებია, რატომ შეგიძლიათ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ამ გზით. სამკუთხედი ადვილად სრულდება პარალელოგრამამდე, რომელშიც სამკუთხედის ერთი გვერდი იმოქმედებს როგორც დიაგონალი. პარალელოგრამის ფართობი იპოვება მისი ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის გამრავლებით მასზე დახატული სიმაღლის მნიშვნელობაზე. დიაგონალი ამ პირობით პარალელოგრამს ყოფს 2 იდენტურ სამკუთხედად. აქედან გამომდინარე, აშკარაა, რომ ჩვენი თავდაპირველი სამკუთხედის ფართობი უნდა იყოს ამ დამხმარე პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი.

S=½ a b sin γ

ამ ფორმულის მიხედვით, სამკუთხედის ფართობი გვხვდება მისი ორი გვერდის, ანუ a და b სიგრძის გამრავლებით, მათ მიერ წარმოქმნილი კუთხის სინუსზე. ეს ფორმულა ლოგიკურად გამომდინარეობს წინადან. თუ სიმაღლეს β კუთხიდან b გვერდისკენ შევამცირებთ, მაშინ, მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების მიხედვით, a გვერდის სიგრძის γ კუთხის სინუსზე გამრავლებისას მივიღებთ სამკუთხედის სიმაღლეს, ანუ h.

განსახილველი ფიგურის ფართობი გვხვდება წრის რადიუსის ნახევარის გამრავლებით, რომელიც შეიძლება მასში ჩაიწეროს, მის პერიმეტრზე. ანუ ვპოულობთ აღნიშნული წრის ნახევრადპერიმეტრისა და რადიუსის ნამრავლს.

S= a b c/4R

ამ ფორმულის მიხედვით, ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელობა შეიძლება ვიპოვოთ ფიგურის გვერდების ნამრავლის გაყოფით მის გარშემო შემოხაზული წრის 4 რადიუსზე.

ეს ფორმულები უნივერსალურია, რადგან ისინი შესაძლებელს ხდის ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის განსაზღვრას (სკალენური, ტოლგვერდა, ტოლგვერდა, მართკუთხა). ეს შეიძლება გაკეთდეს უფრო რთული გამოთვლების დახმარებით, რაზეც დეტალურად არ ვისაუბრებთ.

სამკუთხედების ფართობი სპეციფიკური თვისებებით

როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი? ამ ფიგურის თავისებურება ის არის, რომ მისი ორი მხარე ერთდროულად მისი სიმაღლეა. თუ a და b არის ფეხები, ხოლო c ხდება ჰიპოტენუზა, მაშინ ფართობი გვხვდება შემდეგნაირად:

როგორ მოვძებნოთ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი? მას აქვს ორი გვერდი სიგრძით a და ერთი გვერდი სიგრძით b. მაშასადამე, მისი ფართობის დადგენა შესაძლებელია a გვერდის კვადრატის ნამრავლის 2-ზე გაყოფით γ კუთხის სინუსზე.

როგორ მოვძებნოთ ტერიტორია ტოლგვერდა სამკუთხედი? მასში ყველა გვერდის სიგრძეა a, ხოლო ყველა კუთხის მნიშვნელობა α. მისი სიმაღლე არის გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნამრავლი გამრავლებული 3-ის კვადრატულ ფესვზე. რეგულარული სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად საჭიროა გვერდის კვადრატი a გამრავლებული კვადრატულ ფესვზე 3-ზე და გაყოფილი 4-ზე.

სამკუთხედის ფართობი. გეომეტრიის ძალიან ბევრ პრობლემაში, რომელიც დაკავშირებულია ფართობების გამოთვლასთან, მათ შორის გამოცდისთვის დავალებების ჩათვლით, გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის ფორმულები. რამდენიმე მათგანია, აქ განვიხილავთ მთავარს.

ძალიან ადვილი იქნება ამ ფორმულების ჩამოთვლა, ეს სიკეთე უკვე საკმარისია საცნობარო წიგნებში და სხვადასხვა საიტებზე. ზოგიერთი მათგანის არსი მინდა გადმოგცეთ. სტატიის მასალის შესწავლის შემდეგ, მიხვდებით, რომ არ გჭირდებათ ყველა ფორმულის სწავლა, ისინი უნდა გესმოდეთ.

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აღადგინოთ მეხსიერება, თუ ისინი მოულოდნელად "გაფრინდებიან" საჭირო დროს. ასე რომ, ჯერ მოდით შევხედოთ პარალელოგრამს. განმარტება წერია:

Რატომ არის, რომ? ყველაფერი მარტივია! იმისათვის, რომ ნათლად აჩვენოთ რა არის ფორმულის მნიშვნელობა, მოდით შევასრულოთ რამდენიმე დამატებითი კონსტრუქცია:

სამკუთხედის (2) ფართობი უდრის სამკუთხედის (1) ფართობს, გონებრივად "გააწყვეტინეთ" მეორე და გადაიტანეთ იგი პირველზე გადატანით, მივიღებთ მართკუთხედს, რომლის ფართობი უდრის. თავდაპირველი პარალელოგრამის ფართობი:

მართკუთხედის ფართობი, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის მისი მიმდებარე გვერდების ნამრავლს. როგორც ესკიზიდან ჩანს, მიღებული მართკუთხედის ერთი მხარე პარალელოგრამის გვერდის ტოლია, მეორე კი ამ მხარეს დახატული მისი სიმაღლეა. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას პარალელოგრამის ფართობის S = a∙hა

განვაგრძოთ მისი ფართობის კიდევ ერთი ფორმულა. Ჩვენ გვაქვს:

გამოხატეთ სიმაღლე h a in მართკუთხა სამკუთხედისადაც b არის ჰიპოტენუზა:

ფართობის ფორმულაში ვცვლით h a-ს, მივიღებთ:

ჩვენ გავარკვიეთ პარალელოგრამი. მოდით გადავიდეთ სამკუთხედზე.

სამკუთხედის ფართობი. ექვსი ფორმულა!

პირველი ფორმულა

პარალელოგრამის დიაგონალი მას ყოფს ტოლი ფართობის ორ სამკუთხედად:

ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი:

* ანუ, თუ ვიცით სამკუთხედის რომელიმე გვერდი და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლე, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ორი

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა არის:

სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფართობის ნახევარი, ასე რომ:

*ანუ თუ ცნობილია სამკუთხედის რომელიმე ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჰერონის ფორმულა (მესამე)

ეს ფორმულა ძნელი გამოსატანია და არ გჭირდება. შეხედეთ რა ლამაზია, შეიძლება ითქვას, რომ ახსოვთ.

*თუ სამკუთხედის სამი გვერდია მოცემული, მაშინ ამ ფორმულის გამოყენებით ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფართობი.

ფორმულა ოთხი

სად რარის შემოხაზული წრის რადიუსი

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და მასში ჩაწერილი წრის რადიუსი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ხუთი

სად რარის შემოხაზული წრის რადიუსი.

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და შემოხაზული წრის რადიუსი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჩნდება კითხვა: თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი, მაშინ ადვილი არ არის მისი ფართობის პოვნა ჰერონის ფორმულით!

დიახ, ეს უფრო ადვილია, მაგრამ არა ყოველთვის, ზოგჯერ რთული ხდება. ეს დაკავშირებულია ფესვის მოპოვებასთან. გარდა ამისა, ეს ფორმულები ძალიან მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ისეთ პრობლემებში, სადაც მოცემულია სამკუთხედის ფართობი, მოცემულია მისი გვერდები და საჭიროა იპოვონ ჩაწერილი ან შემოხაზული წრის რადიუსი. ასეთი დავალებები შედის გამოცდაში.

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: