Cum a apărut principiul minimei acțiuni? Principiul minimei acțiuni

Când eram la școală, profesorul nostru de fizică, pe nume Bader, m-a sunat odată după oră și mi-a spus: „Arăți de parcă te-ai săturat teribil de toate; Ascultă un lucru interesant.” Și mi-a spus ceva ce mi s-a părut cu adevărat fascinant. Chiar și acum, deși a trecut mult timp de atunci, continuă să mă fascineze. Și de fiecare dată când îmi amintesc ce am spus, mă întorc la muncă. Și de data aceasta, în timp ce mă pregăteam pentru prelegere, m-am trezit analizând din nou aceleași lucruri. Și, în loc să mă pregătesc pentru prelegere, am luat decizia sarcina noua. Subiectul despre care vorbesc este principiul minimei acțiuni.


„Așa mi-a spus atunci profesorul meu Bader: „Să aveți, de exemplu, o particulă în câmpul gravitațional; această particulă, care a ieșit de undeva, se mișcă liber în altă parte în alt punct. L-ai aruncat, să zicem, în sus, și a zburat în sus și apoi a căzut.

I-a luat ceva timp să călătorească de la locul de plecare până la locul final. Acum încearcă o altă mișcare. Lasă-o să se mute „de aici pe aici” nu mai ca înainte, ci așa:

Dar tot m-am trezit în locul potrivit în același moment ca înainte.”

„Și așa”, a continuat profesorul, „dacă calculezi energia cinetică în fiecare moment de-a lungul traseului particulei, scazi energia potențială din ea și integrezi diferența pe tot timpul când a avut loc mișcarea, vei vedea că numărul pe care îl obțineți va fi Mai mult, decât pentru mișcarea adevărată a particulelor.

Cu alte cuvinte, legile lui Newton pot fi formulate nu ca F=ma, ci după cum urmează: energia cinetică medie minus energia potențială medie atinge cea mai mică valoare pe traiectoria pe care un obiect se deplasează efectiv dintr-un loc în altul.

Voi încerca să vă explic asta puțin mai clar.
Dacă luăm câmpul gravitațional și desemnăm traiectoria particulei X(t), Unde X- înălțimea deasupra solului (deocamdată să ne descurcăm cu o singură dimensiune; lăsați traiectoria să ruleze doar în sus și în jos, și nu în lateral), atunci energia cinetică va fi y 2 m(dx/ dt) 2 , a energia potenţială la un moment arbitrar de timp va fi egală cu mgx.


Acum, pentru un moment de mișcare de-a lungul traiectoriei, iau diferența dintre energiile cinetice și potențiale și mă integrez pe tot parcursul timpului de la început până la sfârșit. Lasă în momentul inițial de timp t x mișcarea a început la o anumită înălțime și s-a încheiat pe moment t 2 la o altă anumită înălţime.

Atunci integrala este egală cu ∫ t2 t1 dt

Mișcarea adevărată are loc de-a lungul unei anumite curbe (în funcție de timp este o parabolă) și duce la o anumită valoare integrală. Dar tu poti inainte dea pune imaginați-vă o altă mișcare: mai întâi o creștere bruscă și apoi niște fluctuații bizare.

Puteți calcula diferența dintre energiile potențiale și cinetice pe această cale... sau pe oricare alta. Și cel mai uimitor lucru este că calea reală este cea de-a lungul căreia această integrală este cea mai mică.
Hai să verificăm. Mai întâi, să ne uităm la acest caz: o particulă liberă nu are deloc energie potențială. Atunci regula spune că atunci când se deplasează dintr-un punct în altul într-un timp dat, integrala energiei cinetice ar trebui să fie cea mai mică. Aceasta înseamnă că particula trebuie să se miște uniform. (Și acest lucru este corect, tu și cu mine știm că viteza într-o astfel de mișcare este constantă.) De ce uniform? Să ne dăm seama. Dacă ar fi altfel, atunci, uneori, viteza particulei ar depăși media și uneori ar fi sub ea, iar viteza medie ar fi aceeași, pentru că particula ar trebui să ajungă „de aici până aici” în timpul convenit. De exemplu, dacă trebuie să ajungeți de acasă la școală cu mașina într-un anumit timp, puteți face acest lucru în diferite moduri: puteți conduce ca nebun la început și puteți încetini la sfârșit sau puteți conduce cu aceeași viteză, sau poți chiar să mergi pe partea opusă și abia apoi să te întorci spre școală etc. În toate cazurile, viteza medie, desigur, ar trebui să fie aceeași - coeficientul distanței de acasă la școală împărțit la timp. Dar chiar și la această viteză medie, uneori te-ai mișcat prea repede și alteori prea încet. Și medie pătrat ceva care se abate de la medie este, după cum știm, întotdeauna mai mare decât pătratul mediei; Aceasta înseamnă că integrala energiei cinetice în timpul fluctuațiilor vitezei de mișcare va fi întotdeauna mai mare decât atunci când se mișcă cu o viteză constantă. Vedeți că integrala va atinge un minim atunci când viteza este constantă (în absența forțelor). Calea corectă este aceasta.

Un obiect aruncat în sus într-un câmp gravitațional se ridică la început rapid, apoi din ce în ce mai încet. Acest lucru se întâmplă pentru că are și energie potențială, iar valoarea sa minimă ar trebui să atingă o singura datanessîntre energiile cinetice și potențiale.. Deoarece energia potențială crește pe măsură ce te ridici, atunci mai puțin diferență Va funcționa dacă atingeți acele înălțimi în care energia potențială este ridicată cât mai repede posibil. Apoi, scăzând acest potențial ridicat din energia cinetică, obținem o scădere a mediei. Deci calea care urcă și furnizează o piesă negativă bună în detrimentul energiei potențiale este mai profitabilă.

Atât mi-a spus profesorul meu, pentru că era un profesor foarte bun și știa când era timpul să mă opresc. Eu însumi, vai, nu sunt așa. Îmi este greu să mă opresc la timp. Și așa, în loc să-ți trezesc doar interesul pentru povestea mea, vreau să te intimidez, vreau să te sătul de complexitatea vieții - voi încerca să demonstrez ceea ce ți-am spus. Problema matematică pe care o vom rezolva este foarte dificilă și unică. Există o anumită cantitate S, numit acțiune. Este egal cu energia cinetică minus energia potențială integrată în timp:

Dar, pe de altă parte, nu poți să te miști prea repede sau să mergi prea sus, pentru că asta ar necesita prea multă energie cinetică. Trebuie să vă mișcați suficient de repede pentru a vă ridica și a coborî în timpul acordat. Deci nu ar trebui să încerci să zbori prea sus, ci doar să atingi un nivel rezonabil. Ca urmare, se dovedește că soluția este un fel de echilibru între dorința de a obține cât mai multă energie potențială și dorința de a reduce cantitatea de energie cinetică cât mai mult posibil - aceasta este dorința de a obține o reducere maximă. în diferența dintre energiile cinetice și potențiale.”

Nu uitați că p.e. și k.e.—ambele funcții ale timpului. Pentru orice nouă cale imaginabilă, această acțiune capătă sensul ei specific. Problema matematică este de a determina care curbă are acest număr mai mic decât celelalte.

Tu spui: „Oh, acesta este doar un exemplu simplu de maxim și minim. Trebuie să calculăm acțiunea, să o diferențiem și să găsim minimul.”

Dar asteapta. De obicei avem o funcție a unei variabile și trebuie să găsim valoarea variabil, la care funcția devine cea mai mică sau mai mare. Să presupunem că există o tijă încălzită în mijloc. Căldura se răspândește peste el și se stabilește propria sa temperatură în fiecare punct al tijei. Trebuie să găsiți punctul în care este cel mai înalt. Dar vorbim despre ceva complet diferit - fiecare cale în spațiu răspunde la numărul său și ar trebui să-l găsească pe acela cale, pentru care acest număr este minim. Aceasta este o zonă complet diferită a matematicii. Acesta nu este un calcul obișnuit, dar variațională(așa îl numesc ei).

Această zonă a matematicii are multe dintre propriile sale probleme. Să spunem, un cerc este de obicei definit ca locul punctelor ale căror distanțe față de un punct dat sunt aceleași, dar un cerc poate fi definit diferit: este una dintre curbe lungime dată, care înconjoară cea mai mare zonă. Orice altă curbă a aceluiași perimetru cuprinde o zonă mai mică decât cercul. Deci, dacă stabilim sarcina: să găsim curba unui perimetru dat care delimitează cea mai mare zonă, atunci vom avea o problemă din calculul variațiilor, și nu din calculul cu care sunteți obișnuit.

Deci, vrem să luăm integrala peste drumul parcurs de corp. Hai să o facem așa. Ideea este să ne imaginăm că există o cale adevărată și că orice altă curbă pe care o desenăm nu este calea reală, astfel încât dacă calculăm acțiunea pentru aceasta, vom obține un număr mai mare decât cel pe care îl obținem pentru acțiunea corespunzătoare. spre calea reală.

Deci, sarcina este de a găsi adevărata cale. Unde zace? O modalitate, desigur, ar fi să numărăm acțiunea pentru milioane și milioane de căi și apoi să vedem care cale are cea mai mică acțiune. Aceasta este calea în care acțiunea este minimă și va fi reală.

Această metodă este destul de posibilă. Cu toate acestea, poate fi simplificat. Dacă există o cantitate care are un minim (din funcții obișnuite, să zicem, temperatură), atunci una dintre proprietățile minimului este că atunci când se îndepărtează de ea la distanță primul de ordinul micimii, functia se abate de la valoarea sa minima doar cu suma al doilea Ordin. Și în orice alt loc al curbei, o deplasare cu o distanță mică modifică valoarea funcției și cu o valoare de ordinul întâi a micii. Dar, cel puțin, ușoare abateri laterale nu duc la o schimbare a funcției ca primă aproximare.

Aceasta este proprietatea pe care o vom folosi pentru a calcula calea reală.

Dacă calea este corectă, atunci o curbă ușor diferită de aceasta nu va duce, ca primă aproximare, la o modificare a mărimii acțiunii. Toate modificările, dacă acesta a fost cu adevărat minim, vor apărea doar în a doua aproximare.

Acest lucru este ușor de demonstrat. Dacă, cu o anumită abatere de la curbă, apar modificări în primul rând, atunci aceste modificări sunt în vigoare proporţional deviere. Ele sunt susceptibile de a crește efectul; altfel nu ar fi un minim. Dar odată cu schimbările proporţional abaterea, apoi schimbarea semnului abaterii va reduce efectul. Se dovedește că atunci când devii într-o direcție, efectul crește, iar când devii în direcția opusă, scade. Singura posibilitate ca aceasta să fie într-adevăr un minim este ca, ca primă aproximare, să nu apară modificări, iar modificările sunt proporționale cu pătratul abaterii de la calea reală.

Deci, vom merge pe următorul drum: notăm prin X(t) (cu o linie mai jos) calea adevărată este cea pe care vrem să o găsim. Hai să facem o încercare X(t), deosebindu-se de cea dorită printr-o cantitate mică, pe care o notăm η (t).

Ideea este că dacă numărăm acțiunea S pe un drum X(t), atunci diferența dintre acestea S și prin acțiunea pe care am calculat-o pentru cale X(t) (pentru simplitate va fi desemnat S), sau diferența dintre S_ Și S, ar trebui să fie o primă aproximare η zero. Ele pot diferi în a doua ordine, dar în prima diferența trebuie să fie zero.

Și acest lucru trebuie respectat pentru toată lumea η . Cu toate acestea, nu chiar pentru toată lumea. Metoda necesită luarea în considerare numai a acelor căi care încep și se termină toate în aceeași pereche de puncte, adică fiecare cale trebuie să înceapă la un anumit punct la momentul respectiv. t 1 și se încheie într-un alt punct specific în acest moment t 2 . Aceste puncte și momente sunt înregistrate. Deci funcția noastră d) (deviația) trebuie să fie zero la ambele capete: η (t 1 )= 0 Și η (t2)=0. În această condiție, problema noastră matematică devine complet definită.

Dacă nu știai calculul, ai putea face același lucru pentru a găsi minimul unei funcții obișnuite f(X). Te-ai gândi ce s-ar întâmpla dacă ai lua f(X) si adauga la X cantitate mică h, și ar susține că modificarea la f(X) în primul rând h ar trebui să fie la un minim egal cu zero. Vrei să mă aranjezi x+h în loc de Xși ar extinde j(x+h) până la prima putere h. . ., într-un cuvânt, ar repeta tot ceea ce ne propunem să facem η .

Dacă ne uităm acum cu atenție la asta, vom vedea că primii doi termeni scrisi aici corespund acelei acțiuni S, pe care aş scrie pentru calea adevărată căutată X. Vreau să-ți concentrez atenția asupra schimbării S, adică asupra diferenței dintre S și așa S_, care ar rezulta pentru adevărata cale. Vom scrie această diferență ca bS și să-i spunem o variație S. Renunțând la „ordinea secundă și superioară”, obținem pentru σS

Acum sarcina arată așa. Aici, în fața mea, este o parte integrantă. Nu știu încă cum este, dar știu sigur că, ce η Indiferent de ce, această integrală trebuie să fie egală cu zero. „Ei bine”, ați putea crede, singura posibilitateîn acest scop, este astfel încât multiplicatorul la η a fost egal cu zero”. Dar ce zici de primul termen, unde există d η / dt? Tu spui: „Dacă η se transformă în nimic, atunci derivatul său este același nimic; aceasta înseamnă coeficientul la dv\/ dt trebuie să fie, de asemenea, zero”. Ei bine, asta nu este în întregime adevărat. Acest lucru nu este în întregime adevărat deoarece între abatere η iar derivatul său există o legătură; nu sunt complet independente deoarece η (t) trebuie să fie zero și t 1 iar la t 2 .


La rezolvarea tuturor problemelor de calcul al variațiilor, se folosește întotdeauna același principiu general. Schimbați ușor ceea ce doriți să variați (similar cu ceea ce am făcut noi prin adăugarea η ), aruncați o privire asupra termenilor de ordinul întâi, apoi aranjați totul astfel încât să obțineți o integrală sub următoarea formă: „schift (η ), înmulțit cu ceea ce rezultă”, dar astfel încât să nu conțină niciun derivat al η (Nu d η / dt). Este absolut necesar să transformăm totul pentru ca „ceva” să rămână, înmulțit cu η . Acum veți înțelege de ce acest lucru este atât de important. (Există formule care vă vor spune cum, în unele cazuri, puteți face acest lucru fără calcule; dar nu sunt atât de generale încât să merite să fie memorate; cel mai bine este să faceți calculele așa cum le facem noi.)

Cum pot reface un penis d η / dt, astfel încât să apară η ? Pot realiza acest lucru integrând bucată cu piesă. Se pare că în calculul variațiilor întregul truc este de a descrie variația S iar apoi se integrează pe părți astfel încât derivatele lui η a dispărut. În toate problemele în care apar derivate, se execută același truc.

Tine minte principiu general integrare pe părți. Dacă aveți o funcție arbitrară f înmulțită cu d η / dt și integrat cu t, apoi scrii derivatul lui η /t

Limitele integrării trebuie substituite în primul termen t 1 Și t 2 . Apoi sub integrală voi primi termenul din integrare pe părți și ultimul termen care rămâne neschimbat în timpul transformării.
Și acum se întâmplă ceea ce se întâmplă întotdeauna - partea integrată dispare. (Și dacă nu dispare, atunci principiul trebuie reformulat, adăugând condiții care să asigure o astfel de dispariție!) Am spus deja că η la capetele traseului trebuie să fie egal cu zero. La urma urmei, care este principiul nostru? Faptul este că acțiunea este minimă cu condiția ca curba variată să înceapă și să se termine în punctele selectate. Înseamnă că η (t1)=0 și η (t2)=0. Prin urmare, termenul integrat se dovedește a fi zero. Îi adunăm pe restul membrilor și scriem

Variație S a dobândit acum forma pe care am vrut să i-o dăm: ceva este între paranteze (să-l notăm F), si toate acestea se inmultesc cu η (t) si integrat din t t inainte de t 2 .
Sa dovedit că integrala unei expresii înmulțită cu η (t), întotdeauna egal cu zero:

Există vreo funcție de la t; il inmultesc cu η (t) și să-l integreze de la început până la sfârșit. Și orice ar fi η, Primesc zero. Aceasta înseamnă că funcția F(t) egal cu zero. În general, acest lucru este evident, dar pentru orice eventualitate, vă voi arăta o modalitate de a dovedi.

Fie ca η (t) Voi alege ceva care este egal cu zero peste tot, pentru toți t, cu excepția unei valori preselectate t. Rămâne zero până ajung acolo t, s Apoi sare pentru o clipă și imediat cade înapoi. Dacă luați integrala acestui m) înmulțită cu o funcție F, singurul loc în care vei obține ceva diferit de zero este unde η (t) a sărit în sus; și vei primi valoarea F în acest punct pe integrala peste salt. Integrala peste salt în sine nu este egală cu zero, ci după înmulțire cu F ar trebui să dea zero. Aceasta înseamnă că funcția în locul în care a existat un salt trebuie să se dovedească a fi zero. Dar saltul ar fi putut fi făcut oriunde; Mijloace, F trebuie să fie zero peste tot.

Vedem că dacă integrala noastră este egală cu zero pentru oricare η , apoi coeficientul la η ar trebui să ajungă la zero. Integrala de acțiune atinge un minim de-a lungul căii care va satisface o astfel de ecuație diferențială complexă:

De fapt, nu este atât de complicat; l-ai mai întâlnit. Este doar F=ma. Primul termen este masa înmulțită cu accelerația; a doua este derivata energiei potențiale, adică forța.

Deci am arătat (cel puțin pentru un sistem conservator) că principiul celei mai mici acțiuni conduce la răspunsul corect; el afirmă că calea care are acţiunea minimă este calea care satisface legea lui Newton.

Mai trebuie făcută o remarcă. Nu am dovedit asta minim. Poate acesta este maximul. De fapt, acest lucru nu trebuie să fie neapărat minim. Aici totul este la fel ca în „principiul celui mai scurt timp”, despre care am discutat în timp ce studiam optica. Și acolo am vorbit mai întâi despre „cel mai scurt” timp. Cu toate acestea, s-a dovedit că există situații în care acest timp nu este neapărat „cel mai scurt”. Principiul fundamental este că pentru orice abateri de ordinul întâi din calea optică schimbăriîn timp ar fi egal cu zero; Aici este aceeași poveste. Prin „minim” înțelegem de fapt că în primul ordin al micșorării modificării cantității S când abaterile de la cale ar trebui să fie egale cu zero. Și acesta nu este neapărat „minimul”.

Acum vreau să trec la câteva generalizări. În primul rând, toată această poveste ar putea fi realizată în trei dimensiuni. În loc de simplu X aș avea atunci X yȘi z ca functii t, iar acțiunea ar părea mai complicată. Când vă deplasați în 3D, trebuie să utilizați energia cinetică completă): (t/2),înmulțit cu pătratul vitezei totale. Cu alte cuvinte

În plus, energia potențială este acum o funcție X yȘi z. Ce poți spune despre drum? O cale este o anumită curbă generală în spațiu; nu este atât de ușor de desenat, dar ideea rămâne aceeași. Dar η? Ei bine, η are și trei componente. Calea poate fi deplasată atât în ​​x, cât și în interior y,și prin z, sau în toate cele trei direcții simultan. Asa de η acum un vector. Acest lucru nu creează complicații majore. Numai variațiile ar trebui să fie egale cu zero prima comanda atunci calculul poate fi efectuat secvenţial cu trei schimburi. Mai întâi te poți mișca ts numai in directie Xși spuneți că coeficientul ar trebui să meargă la zero. Obțineți o singură ecuație. Atunci ne vom muta ts in directia lași îl primim pe al doilea. Apoi mișcă-te în direcția zși îl primim pe al treilea. Puteți face totul, dacă doriți, într-o altă ordine. Oricum ar fi, apare un trio de ecuații. Dar legea lui Newton este, de asemenea, trei ecuații în trei dimensiuni, câte una pentru fiecare componentă. Rămâneți să vedeți singuri că toate acestea funcționează în trei dimensiuni (nu este prea mult lucru aici). Apropo, puteți lua orice sistem de coordonate doriți, polar, orice și puteți obține imediat legile lui Newton în legătură cu acest sistem, având în vedere ce se întâmplă atunci când are loc o schimbare η de-a lungul unei raze sau de-a lungul unui unghi etc.

Metoda poate fi generalizată la un număr arbitrar de particule. Dacă, să zicem, aveți două particule și există unele forțe care acționează între ele și există energie potențială reciprocă, atunci pur și simplu adăugați energiile lor cinetice și scădeți energia potențială de interacțiune din sumă. Ce variati? Cărări ambii particule. Apoi, pentru două particule care se mișcă în trei dimensiuni, apar șase ecuații. Puteți varia poziția particulei 1 în direcție X, in directia la si spre z,și faceți același lucru cu particula 2, deci există șase ecuații. Și așa ar trebui să fie. Trei ecuații determină accelerația particulei 1 datorită forței care acționează asupra acesteia, iar celelalte trei determină accelerația particulei 2 datorită forței care acționează asupra acesteia. Urmați întotdeauna aceleași reguli ale jocului și veți obține legea lui Newton pentru un număr arbitrar de particule.

Am spus că vom obține legea lui Newton. Acest lucru nu este în întregime adevărat, deoarece legea lui Newton include și forțe neconservatoare, cum ar fi frecarea. Newton a susținut că acea este egal cu orice F. Principiul acţiunii minime este valabil numai pentru conservator sisteme, astfel încât toate forțele pot fi obținute dintr-o funcție potențială. Dar știți că la nivel microscopic, adică la cel mai profund nivel fizic, forțe neconservatoare nu există. Forțele neconservative (cum ar fi frecarea) apar doar pentru că neglijăm efectele complexe microscopice: pur și simplu sunt prea multe particule de analizat. Fundamental aceleasi legi poate sa să fie exprimat ca principiul celei mai mici acțiuni.

Permiteți-mi să trec la generalizări suplimentare. Să presupunem că suntem interesați de ce se va întâmpla atunci când particula se mișcă relativistic. Până acum nu am obținut ecuația relativistă corectă a mișcării; F=ma este adevărată numai în mișcările non-relativiste. Se pune întrebarea: există un principiu corespunzător al celei mai mici acțiuni în cazul relativist? Da, există. Formula în cazul relativist este:

Prima parte a integralei de acțiune este produsul masei de repaus t 0 pe de la 2 iar la integrala funcției viteză √ (1-v 2 /c 2 ). Apoi, în loc să scădem energia potențială, avem integrale ale potențialului scalar φ și ale potențialului vectorial A ori v. Desigur, aici sunt luate în considerare doar forțele electromagnetice. Toate câmpurile electrice și magnetice sunt exprimate în termeni de φ și A. Această funcție de acțiune oferă o teorie completă a mișcării relativiste a unei particule individuale într-un câmp electromagnetic.

Desigur, trebuie să înțelegeți că oriunde am scris v, înainte de a face calcule, ar trebui să înlocuiți dx/ dt în loc de v x etc Mai mult, unde am scris pur si simplu x, y, z, trebuie să-ți imaginezi punctele în acest moment t: X(t), y(t), z(t). De fapt, numai după astfel de substituții și substituții ale lui v veți obține o formulă pentru acțiunea unei particule relativiste. Lăsați-i pe cei mai pricepuți dintre voi să încerce să demonstreze că această formulă de acțiune oferă de fapt ecuațiile corecte de mișcare pentru teoria relativității. Permiteți-mi doar să vă sfătuiesc să începeți prin a elimina A, adică să faceți fără câmpuri magnetice pentru moment. Apoi va trebui să obțineți componentele ecuației de mișcare dp/dt=—qVφ, unde, după cum probabil vă amintiți, p=mv√(1-v 2 /c 2).

Este mult mai dificil să se includă potențialul vectorial A în considerare. Variațiile devin apoi incomparabil mai complexe. Dar în cele din urmă forța se dovedește a fi egală cu ceea ce ar trebui să fie: g(E+v × B). Dar distrează-te tu cu el.

Aș dori să subliniez că în cazul general (de exemplu, în formula relativistă), integrala în acțiune nu mai include diferența dintre energiile cinetice și potențiale. Acest lucru a fost potrivit doar într-o aproximare non-relativista. De exemplu, membru m o c 2√(1-v 2 /c 2)-Aceasta nu este ceea ce se numește energie cinetică. Întrebarea care ar trebui să fie acțiunea pentru un anumit caz poate fi decisă după unele încercări și erori. Acesta este același tip de problemă ca și determinarea care ar trebui să fie ecuațiile de mișcare. Trebuie doar să te joci cu ecuațiile pe care le cunoști și să vezi dacă pot fi scrise ca principiul celei mai mici acțiuni.

Încă o notă despre terminologie. Acea funcție care se integrează în timp pentru a obține o acțiune S, numit lagrangianăΛ. Aceasta este o funcție care depinde numai de vitezele și pozițiile particulelor. Deci principiul celei mai mici acțiuni este scris și în formă

unde sub X iȘi v i sunt implicate toate componentele coordonatelor și vitezelor. Dacă auzi vreodată pe cineva vorbind despre „Lagrangian”, vorbește despre funcția folosită pentru a obține S. Pentru mișcarea relativistă într-un câmp electromagnetic

În plus, ar trebui să remarc că cei mai meticuloși și pedanți oameni nu sună S acțiune. Se numește „prima funcție principală a lui Hamilton”. Dar să țin o prelegere despre „principiul lui Hamilton de cea mai mică primă funcție principală” a fost peste puterile mele. L-am numit „acțiune”. Și în plus, din ce în ce mai mult mai multi oameni ei o numesc „acțiune”. Vedeți, din punct de vedere istoric, acțiunea a fost numită altceva care nu este la fel de util științei, dar cred că are mai mult sens să schimbăm definiția. Acum și tu vei începe să numești noua funcție o acțiune și în curând toată lumea va începe să o numească cu acest nume simplu.

Acum vreau să vă spun ceva despre subiectul nostru care este similar cu raționamentul pe care l-am avut despre principiul celui mai scurt timp. Există o diferență în însăși esența legii care spune că o integrală luată dintr-un punct în altul are un minim - legea care ne spune ceva despre întreaga cale deodată și legea care spune că atunci când te miști, atunci Aceasta înseamnă că există o forță care duce la accelerare. A doua abordare vă raportează despre fiecare pas, vă urmărește calea centimetru cu centimetru, iar prima oferă imediat o declarație generală despre întreaga cale parcursă. În timp ce vorbeam despre lumină, am vorbit despre legătura dintre aceste două abordări. Acum vreau să vă explic de ce ar trebui să existe legi diferențiale dacă există un astfel de principiu - principiul acțiunii minime. Motivul este acesta: să luăm în considerare calea parcursă efectiv în spațiu și timp. Ca și înainte, ne vom descurca cu o măsurătoare, astfel încât să putem desena un grafic al dependenței X din t. Pe calea adevărată S atinge un minim. Să presupunem că avem această cale și că trece printr-un punct A spatiu si timp si printr-un alt punct vecin b.

Acum, dacă întreaga integrală a t 1 inainte de t 2 a atins un minim, este necesar ca integrala de-a lungul unei mici secțiuni de la a la b a fost, de asemenea, minimă. Nu poate fi acea parte a A inainte de b cel puțin puțin mai mult decât minimul. În caz contrar, puteți muta curba înainte și înapoi în această secțiune și puteți reduce ușor valoarea întregii integrale.

Aceasta înseamnă că orice parte a căii ar trebui să ofere, de asemenea, un minim. Și acest lucru este valabil pentru orice porțiune mică de drum. Prin urmare, principiul că întregul drum ar trebui să dea un minim poate fi formulat spunând că un segment infinitezimal al căii este și o curbă pe care acțiunea este minimă. Și dacă luăm un segment suficient de scurt al drumului - între puncte foarte apropiate unul de celălalt AȘi b,- atunci nu contează cum se schimbă potențialul de la un punct la altul departe de acest loc, pentru că, parcurgând întregul tău segment scurt, aproape niciodată nu te muți din acel loc. Singurul lucru pe care trebuie să îl luați în considerare este schimbarea de ordinul întâi în micimea potențialului. Răspunsul poate depinde numai de derivatul potențialului și nu de potențialul din altă parte. Astfel, o afirmație despre proprietatea întregii căi ca întreg devine o declarație despre ceea ce se întâmplă pe o secțiune scurtă a căii, adică o declarație diferențială. Și această formulare diferențială include derivate ale potențialului, adică forța într-un punct dat. Aceasta este o explicație calitativă a legăturii dintre drept în ansamblu și legea diferențială.

Când am vorbit despre lumină, am discutat și despre întrebarea: cum găsește o particulă calea corectă? Din punct de vedere diferențial, acest lucru este ușor de înțeles. În fiecare moment, particula experimentează accelerare și știe doar ce ar trebui să facă în acel moment. Dar toate instinctele voastre de cauză și efect se ridică atunci când auziți că o particulă „decide” calea pe care să o urmeze, străduindu-se pentru un minim de acțiune. Nu „adulmecă” căile învecinate, dându-și seama la ce vor duce acestea - mai mult sau mai puțină acțiune? Când am plasat un ecran în calea luminii, astfel încât fotonii să nu poată încerca toate căile, am aflat că ei nu pot decide ce cale să o urmeze și am primit fenomenul de difracție.

Dar este acest lucru valabil și pentru mecanică? Este adevărat că o particulă nu numai că „merge pe drumul cel bun”, dar reconsideră toate celelalte traiectorii imaginabile? Și dacă, punându-i obstacole în cale, nu îi permitem să privească înainte, atunci vom obține un fel de analog al fenomenului de difracție? Cel mai minunat lucru despre toate acestea este că totul este într-adevăr așa. Este exact ceea ce spun legile mecanicii cuantice. Deci principiul nostru de acțiune minimă nu este pe deplin formulat. Nu constă în faptul că particula alege calea celei mai mici acțiuni, ci în faptul că „simte” toate căile învecinate și o alege pe cea pe care acțiunea este minimă, iar metoda acestei alegeri este similară cu cea modul în care lumina selectează cel mai scurt timp. Vă amintiți că modul în care lumina selectează cel mai scurt timp este acesta: dacă lumina merge pe o cale care necesită un timp diferit, va ajunge cu o fază diferită. Iar amplitudinea totală la un moment dat este suma contribuțiilor de amplitudine pentru toate căile pe care lumina poate ajunge la ea. Toate acele căi ale căror faze diferă brusc nu dau nimic după adăugare. Dar dacă ați reușit să găsiți întreaga secvență de căi, ale căror faze sunt aproape aceleași, atunci contribuțiile mici se vor aduna, iar la punctul de sosire amplitudinea totală va primi o valoare notabilă. Cea mai importantă cale este cea lângă care există multe căi apropiate care dau aceeași fază.

Exact același lucru se întâmplă în mecanica cuantică. Mecanica cuantică completă (non-relativistă și neglijând spinul electronilor) funcționează astfel: probabilitatea ca o particulă să părăsească un punct 1 pe moment t 1, va ajunge la punctul 2 pe moment t 2 , egal cu pătratul amplitudinii probabilității. Amplitudinea totală poate fi scrisă ca suma amplitudinilor pentru toate moduri posibile- pentru orice rută de sosire. Pentru oricine X(t), care ar putea apărea pentru orice traiectorie imaginară imaginabilă, trebuie calculată amplitudinea. Apoi toate trebuie să fie pliate. Ce luăm ca amplitudine de probabilitate a unei anumite căi? Integrala noastră de acțiune ne spune care ar trebui să fie amplitudinea unei căi individuale. Amplitudinea este proporțională e tS/h, Unde S - acţiune pe această cale. Aceasta înseamnă că dacă reprezentăm faza amplitudinii ca număr complex, atunci unghiul de fază va fi egal cu S/ h. Acțiune S are dimensiunea energiei în timp, iar constanta lui Planck are aceeași dimensiune. Aceasta este constanta care determină când este necesară mecanica cuantică.

Și așa funcționează totul. Să acționeze pentru toate căile S va fi foarte mare în comparație cu numărul h. Lasă o cale să conducă la o anumită valoare a amplitudinii. Faza căii adiacente va fi complet diferită, deoarece cu o uriașă S chiar și modificări minore S schimba brusc faza (la urma urmei h extrem de putin). Aceasta înseamnă că căile adiacente își sting contribuțiile atunci când sunt adăugate. Și numai într-o zonă nu este adevărat acest lucru - în cel în care atât calea, cât și vecinul său - ambele, la o primă aproximare, au aceeași fază (sau, mai precis, aproape aceeași acțiune, variind în h). Numai astfel de căi sunt luate în considerare. Și în cazul limitativ, când constanta lui Planck h tinde spre zero, legile corecte ale mecanicii cuantice pot fi rezumate spunând: „Uitați de toate acele amplitudini de probabilitate. Particula se mișcă de fapt pe o cale specială - exact cea pe care S la o primă aproximare nu se schimbă.” Aceasta este legătura dintre principiul celei mai mici acțiuni și mecanica cuantică. Faptul că mecanica cuantică poate fi formulată în acest fel a fost descoperit în 1942 de un elev al aceluiași profesor, domnul Bader, despre care v-am povestit. [Mecanica cuantică a fost formulată inițial folosind o ecuație diferențială pentru amplitudine (Schrödinger), precum și unele matematici matrice (Heisenberg).]

Acum vreau să vorbesc despre alte principii de minim în fizică. Există multe principii interesante de acest gen. Nu le voi enumera pe toate, dar o să mai numesc doar una. Mai târziu când ajungem la unul fenomen fizic, pentru care există un principiu minim excelent, vă voi povesti despre el. Acum vreau să arăt că nu este necesar să descriem electrostatica folosind o ecuație diferențială pentru câmp; se poate cere în schimb ca unele integrale să aibă un maxim sau un minim. Pentru început, să luăm cazul în care densitatea de sarcină este cunoscută peste tot, dar trebuie să găsim potențialul φ în orice punct din spațiu. Știți deja că răspunsul ar trebui să fie:

Un alt mod de a spune același lucru este evaluarea integralei U*

aceasta este o integrală de volum. Este luată în tot spațiul. Cu distribuție corectă a potențialului φ (X, y,z) această expresie atinge minimul ei.

Putem arăta că ambele afirmații referitoare la electrostatică sunt echivalente. Să presupunem că am ales o funcție arbitrară φ. Vrem să arătăm că atunci când luăm φ ca valoare corectă potențialul _φ plus o mică abatere f, apoi în primul ordin al micșorării variația în U* va fi egal cu zero. Așa că scriem

aici φ este ceea ce căutăm; dar vom varia φ pentru a vedea ce trebuie să fie pentru variație U* s-a dovedit a fi de primul ordin al micimii. În primul termen U* trebuie sa scriem

Aceasta trebuie integrată de X yși prin z. Și aici se sugerează același truc: pentru a scăpa de df/ dx, ne vom integra peste XÎn părți. Aceasta va duce la o diferențiere suplimentarăφ în ceea ce privește X. Aceasta este aceeași idee de bază cu care am scăpat de derivate cu privire la t. Folosim egalitatea

Termenul integrat este zero deoarece considerăm că f este zero la infinit. (Acest lucru corespunde cu dispariția η ca t 1 Și t 2 . Prin urmare, principiul nostru este formulat mai precis după cum urmează: U* pentru dreapta φ mai puțin decât pentru oricare altul φ(x, y,z), având aceleași valori la infinit.) Atunci vom proceda la fel cu la si cu z. Integrala noastră ΔU* se va transforma în

Pentru ca această variație să fie egală cu zero pentru orice f arbitrar, coeficientul lui f trebuie să fie egal cu zero. Mijloace,

Ne-am întors la vechea noastră ecuație. Aceasta înseamnă că propunerea noastră „minimă” este corectă. Se poate generaliza dacă calculele sunt ușor modificate. Să revenim și să integrăm parte cu parte, fără a descrie totul componentă cu componentă. Să începem prin a scrie următoarea egalitate:

Diferențiând partea stângă, pot arăta că este exact egală cu dreapta. Această ecuație este potrivită pentru realizarea integrării pe părți. În integrala noastră ΔU* înlocuim Vφ*Vf nși fV 2 φ+V*(fVφ) și apoi integrați acest lucru peste volum. Termenul de divergență după integrarea asupra volumului este înlocuit cu o integrală peste suprafață:

Și din moment ce integrăm pe întreg spațiul, suprafața din această integrală se află la infinit. Aceasta înseamnă f=0 și obținem același rezultat.

Abia acum începem să înțelegem cum să rezolvăm problemele în care suntem nu stim unde se află toate taxele. Să avem conductori pe care sarcinile sunt cumva distribuite. Dacă potențialele de pe toți conductorii sunt fixe, atunci principiul nostru minim este încă permis să se aplice. Integrarea în U* vom desena numai de-a lungul zonei situate în afara tuturor conductoarelor. Dar din moment ce nu putem schimba (φ) pe conductori, atunci pe suprafața lor f = 0, iar integrala de suprafață

trebuie făcută numai în spațiile dintre conductori. Și, desigur, obținem din nou ecuația Poisson

Prin urmare, am arătat că integrala noastră originală U* atinge un minim chiar și atunci când este calculat în spațiul dintre conductori, fiecare dintre ele fiind la un potențial fix [aceasta înseamnă că fiecare funcție de testare φ(g, y,z) trebuie să fie egal cu potenţialul conductorului specificat când (X y,z) - puncte ale suprafeţei conductorului]. Există un caz special interesant când sarcinile sunt situate numai pe conductori. Apoi

iar principiul nostru minim ne spune că, în cazul în care fiecare conductor are propriul potențial predeterminat, potențialele din spațiile dintre ele sunt reglate astfel încât integrala U* se dovedește a fi cât mai mic posibil. Ce fel de integrală este aceasta? Termenul Vφ este câmpul electric. Aceasta înseamnă că integrala este energie electrostatică. Câmpul corect este singurul care, dintre toate câmpurile obţinute ca gradient de potenţial, are cea mai mică energie totală.

Aș dori să folosesc acest rezultat pentru a rezolva o anumită problemă și să vă arăt că toate aceste lucruri au o semnificație practică reală. Să presupunem că am luat doi conductori sub forma unui condensator cilindric.

Conductorul interior are un potențial egal cu, de exemplu, V, iar pentru cel extern - zero. Fie raza conductorului interior egală cu A,și extern - b. Acum putem presupune că distribuția potențialelor între ele este orice. Dar dacă luăm corect valoarea lui φ și calculați
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 dV atunci energia sistemului ar trebui să fie 1/2CV 2.

Deci, folosind principiul nostru, puteți calcula capacitatea CU. Dacă luăm o distribuție potențială incorectă și încercăm să estimăm capacitatea condensatorului folosind această metodă, vom ajunge cu prea mult de mare importanta capacitate la fix V. Orice potențial estimat φ care nu coincide exact cu valoarea sa adevărată va duce și la o valoare incorectă a lui C, mai mare decât este necesar. Dar dacă potențialul cp ales incorect este încă o aproximare aproximativă, atunci capacitatea CU se va dovedi cu o bună acuratețe, deoarece eroarea din C este o valoare de ordinul doi în comparație cu eroarea din φ.

Să presupunem că nu cunosc capacitatea condensatorului cilindric. Atunci, ca să o recunosc, pot folosi acest principiu. Pur și simplu voi testa diferite funcții ale lui φ ca potențial până când voi atinge cea mai mică valoare CU. Să spunem, de exemplu, că am ales un potențial care corespunde unui câmp constant. (Știți, desigur, că câmpul de aici nu este de fapt constant; acesta variază ca 1/r) Dacă câmpul este constant, aceasta înseamnă că potențialul depinde liniar de distanță. Pentru ca tensiunea pe conductori să fie cea necesară, funcția φ trebuie să aibă forma

Această funcție este egală cu V la r=a, zero la r =b, iar între ele există o pantă constantă egală cu - V/(b—A). Deci, pentru a determina integrala U*, trebuie doar să înmulțiți pătratul acestui gradient cu ε o /2 și să integrați pe întregul volum. Să efectuăm acest calcul pentru un cilindru cu lungimea unitară. Element de volum la rază r este egal cu 2πrdr. Efectuând integrarea, constat că primul meu test oferă următoarea capacitate:

Așa că obțin o formulă pentru capacitate, care, deși incorectă, este un fel de aproximare:

Desigur, este diferit de răspunsul corect C=2πε 0 /ln (b/a), dar per total nu este chiar asa de rau. Să încercăm să-l comparăm cu răspunsul corect pentru mai multe valori b/a. Numerele pe care le-am calculat sunt prezentate în tabelul următor.

Chiar și când b/a=2(și acest lucru duce deja la diferențe destul de mari între câmpurile constante și liniare), am încă o aproximare destul de acceptabilă. Răspunsul, desigur, așa cum era de așteptat, este puțin prea mare. Dar dacă un fir subțire este plasat în interiorul unui cilindru mare, atunci totul arată mult mai rău. Apoi câmpul se schimbă foarte mult și înlocuirea lui cu un câmp constant nu duce la nimic bun. Când b/a = 100, supraestimăm răspunsul de aproape două ori. Pentru cei mici b/a situatia arata mult mai bine. În limita opusă, când distanța dintre conductori nu este foarte mare (să zicem, pentru b/a = 1,1), un câmp constant se dovedește a fi o aproximare foarte bună, dă valoarea CU precise cu zecimi de procente.

Acum vă voi spune cum să îmbunătățiți acest calcul. (Răspunsul pentru cilindru este, desigur, celebru, dar aceeași metodă funcționează pentru alții forme neobișnuite condensatoare, pentru care este posibil să nu cunoașteți răspunsul corect.) Următorul pas este găsirea unei aproximări mai bune pentru potențialul adevărat φ, care ne este necunoscut. Să presupunem că poți testa constanta plus exponentul φ, etc. Dar de unde știi că ai cea mai bună aproximare dacă nu cunoști adevărata φ? Răspuns: Numărați CU; cu cât este mai jos, cu atât mai aproape de adevăr. Să testăm această idee. Fie potențialul să nu fie liniar, ci, să zicem, pătratic în r, iar câmpul electric să nu fie constant, ci liniar. Cel mai general formă pătratică, care se transformă în φ=O când r=b iar în φ=F at r=a, este aceasta:

unde α este un număr constant. Această formulă este puțin mai complicată decât cea anterioară. Include atât un termen pătratic, cât și unul liniar. Este foarte ușor să obțineți un câmp din el. Este egal cu simplu

Acum, acesta trebuie să fie pătrat și integrat peste volum. Dar stai un minut. Ce ar trebui să iau pentru α? Pot să consider f o parabolă, dar care? Iată ce voi face: calculează capacitatea la arbitrar α. voi primi

Acest lucru pare puțin confuz, dar așa se dovedește după integrarea pătratului câmpului. Acum pot alege pentru mine. Știu că adevărul este mai jos decât orice sunt pe cale să calculez. Indiferent ce aș pune în loc de a, răspunsul va fi totuși prea mare. Dar dacă îmi continui jocul cu α și încerc să obțin cea mai mică valoare posibilă CU, atunci această valoare cea mai mică va fi mai aproape de adevăr decât orice altă valoare. Prin urmare, acum trebuie să aleg α astfel încât valoarea CU a atins minimul. Revenind la calculul diferenţial obişnuit, sunt convins că minimul CU va fi atunci când α =— 2 b/(b+A). Înlocuind această valoare în formulă, obțin cea mai mică capacitate

Mi-am dat seama pentru ce oferă această formulă CU la valori diferite b/a. Am numit aceste numere CU(patratic). Iată un tabel care compară CU(patratic) cu CU(Adevărat).

De exemplu, când raportul razei este de 2:1, primesc 1,444. Aceasta este o aproximare foarte bună a răspunsului corect, 1,4423. Chiar și cu mari Da aproximarea rămâne destul de bună - este mult mai bun decât primul apropiindu-se. Rămâne tolerabil (supraestimat cu doar 10%) chiar și cu b/a = 10: 1. O discrepanță mare apare doar la un raport de 100: 1. Obțin CU egal cu 0,346 în loc de 0,267. Pe de altă parte, pentru un raport de rază de 1,5 acordul este excelent, iar pentru b/a=1,1 răspunsul este 10.492065 în loc de așteptatul 10.492070. Acolo unde te-ai aștepta la un răspuns bun, se dovedește a fi foarte, foarte bun.

Am dat toate aceste exemple, în primul rând, pentru a demonstra valoarea teoretică a principiului acțiunii minime și, în general, a tuturor principiilor minimului și, în al doilea rând, pentru a vă arăta utilitatea lor practică și deloc pentru a calcula capacitatea pe care le avem deja știm foarte bine. Pentru orice altă formă, puteți încerca un câmp aproximativ cu câțiva parametri necunoscuți (cum ar fi α) și să-i potriviți la minimum. Veți obține rezultate numerice superioare la probleme care nu pot fi rezolvate altfel.

Principiul celei mai mici acțiuni, formulat mai întâi tocmai de Jacobi, este similar cu principiul lui Hamilton, dar mai puțin general și mai greu de demonstrat. Acest principiu este aplicabil numai în cazul în care conexiunile și funcția de forță nu depind de timp și când, prin urmare, există o integrală a forței vii.

Această integrală are forma:

Principiul lui Hamilton enunţat mai sus prevede că variaţia integralei

este egal cu zero la trecerea mișcării actuale la orice altă mișcare infinit apropiată care transferă sistemul din același poziția inițială la aceeași poziție finală în aceeași perioadă de timp.

Principiul lui Jacobi, dimpotrivă, exprimă o proprietate a mișcării care nu depinde de timp. Jacobi consideră integrala

acţiune determinantă. Principiul stabilit de el afirmă că variația acestei integrale este zero atunci când comparăm mișcarea reală a sistemului cu orice altă mișcare infinit apropiată care duce sistemul din aceeași poziție inițială în aceeași poziție finală. În acest caz, nu acordăm atenție perioadei de timp petrecute, dar observăm ecuația (1), adică ecuația forței de muncă cu aceeași valoare a constantei h ca în mișcarea reală.

Acest conditie necesara extremum duce, în general, la minimul integralei (2), de unde și denumirea de principiul celei mai mici acțiuni. Condiția minimă pare a fi cea mai naturală, deoarece valoarea lui T este în esență pozitivă și, prin urmare, integrala (2) trebuie să aibă în mod necesar un minim. Existența unui minim poate fi dovedită cu strictețe dacă doar perioada de timp este suficient de mică. Dovada acestei poziții poate fi găsită în faimosul curs al lui Darboux despre teoria suprafeței. Noi, însă, nu o vom prezenta aici și ne vom limita la a deriva condiția

432. Dovada principiului celei mai mici acțiuni.

În calculul propriu-zis întâlnim o dificultate care nu este prezentă în demonstrarea teoremei lui Hamilton. Variabila t nu mai rămâne independentă de variație; prin urmare variații ale lui q i și q. sunt legate de variația lui t printr-o relație complexă care decurge din ecuația (1). Cel mai simplu mod de a ocoli această dificultate este schimbarea variabilei independente, alegând una ale cărei valori se încadrează între limite constante care nu depind de timp. Fie k o nouă variabilă independentă, ale cărei limite se presupune că sunt independente de t. La mutarea sistemului, parametrii și t vor fi funcții ale acestei variabile

Fie literele cu numere prime q denotă derivate ale parametrilor q în raport cu timpul.

Deoarece conexiunile, prin presupunere, nu depind de timp, coordonatele carteziene x, y, z sunt funcții ale lui q care nu conțin timp. Prin urmare, derivatele lor vor fi funcții liniare omogene ale lui q și 7 va fi o formă pătratică omogenă a lui q, ai căror coeficienți sunt funcții ale lui q. Avem

Pentru a distinge derivatele lui q în raport cu timpul, notăm, folosind paranteze, (q), derivatele lui q luate în raport cu și puse în conformitate cu aceasta

atunci vom avea

iar integrala (2), exprimată prin noua variabilă independentă A, va lua forma;

Derivata poate fi eliminată folosind teorema forței vii. Într-adevăr, integrala forței de muncă va fi

Înlocuind această expresie în formula pentru reducem integrala (2) la forma

Integrala care definește acțiunea și-a luat astfel forma finală (3). Funcția integrand este rădăcina pătrată a formei pătratice a mărimilor

Să arătăm că ecuațiile diferențiale ale extremelor integralei (3) sunt exact ecuațiile Lagrange. Ecuațiile extremelor, bazate pe formulele generale ale calculului variațiilor, vor fi:

Să înmulțim ecuațiile cu 2 și să facem diferențieri parțiale, ținând cont că nu conține, atunci obținem, dacă nu scriem un indice,

Acestea sunt ecuații ale extremelor exprimate în termenii variabilei independente. Sarcina acum este să revenim la variabila independentă

Deoarece Γ este o funcție omogenă de gradul doi și este o funcție omogenă de gradul I, avem

Pe de altă parte, teorema forței vii poate fi aplicată factorilor derivatelor din ecuațiile extremelor, ceea ce duce, așa cum am văzut mai sus, la înlocuirea

Ca rezultat al tuturor substituțiilor, ecuațiile extremelor sunt reduse la forma

Am ajuns astfel la ecuațiile Lagrange.

433. Cazul când nu există forţe motrice.

În cazul în care forţe motrice nu, există o ecuație pentru forța de muncă și avem

Condiția ca integrala să fie minimă este în acest caz, este că valoarea corespunzătoare -10 ar trebui să fie cea mai mică. Astfel, când nu există forțe motrice, atunci dintre toate mișcările în care forța vie menține aceeași valoare dată, mișcarea efectivă este aceea care transferă sistemul din poziția inițială în poziția finală în cel mai scurt timp.

Dacă sistemul este redus la un punct care se deplasează pe o suprafață staționară, atunci mișcarea reală, dintre toate mișcările de pe suprafață care au loc cu aceeași viteză, este mișcarea în care punctul se mișcă din poziția inițială în poziția finală în cel mai scurt

interval de timp. Cu alte cuvinte, un punct descrie pe suprafață cea mai scurtă linie dintre cele două poziții ale sale, adică o linie geodezică.

434. Notă.

Principiul celei mai mici acțiuni presupune că sistemul are mai multe grade de libertate, deoarece dacă ar exista un singur grad de libertate, atunci o ecuație ar fi suficientă pentru a determina mișcarea. Deoarece mișcarea poate fi în acest caz complet determinată de ecuația forței vii, atunci mișcarea reală va fi singura care satisface această ecuație și, prin urmare, nu poate fi comparată cu nicio altă mișcare.

PRINCIPIUL CĂI MAI EFICIENT

Unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, conform lui Krom, pentru o anumită clasă de mișcări mecanice în comparație între ele. sistem, cel valabil este acela pentru care fizic. dimensiune, numit acțiune, are cea mai mică valoare (mai precis, staționară). De obicei, N. d. este folosit în una din două forme.

a) N. d p. sub forma lui Hamilton - Ostrogradsky stabilește că dintre toate mișcările cinematice posibile ale unui sistem de la o configurație la alta (aproape de prima), realizate în aceeași perioadă de timp, cea valabilă este cea pentru care. acţiunea hamiltoniană S va fi cea mai mică. Matematică. expresia N. d.p în acest caz are forma: dS = 0, unde d este simbolul variației incomplete (izocrone) (adică, spre deosebire de variația completă, timpul nu variază în ea).

b) N. d p sub forma lui Maupertuis - Lagrange stabilește că dintre toate mișcările cinematice posibile ale unui sistem de la o configurație la alta apropiată de acesta, efectuate cu menținerea aceleiași valori a energiei totale a sistemului, cea valabilă. pentru - Prin urmare, acțiunea Lagrange W va fi cea mai mică. Matematică. expresia N. d.p are în acest caz forma DW = 0, unde D este simbolul variației totale (spre deosebire de principiul Hamilton-Ostrogradsky, aici variază nu numai coordonatele și vitezele, ci și timpul de mișcare a sistem de la o configurație la alta) . N.d.p.v. În acest caz, este valabil doar pentru sistemele conservatoare și, în plus, holonomice, în timp ce în primul caz, principiul non-conservativ este mai general și, în special, poate fi extins și la sistemele neconservative. N.D.P. sunt folosite pentru a compila ecuații ale mișcării mecanice. sisteme şi să studieze principiile generale ale acestor mişcări. Cu o generalizare adecvată a conceptelor, NDP își găsește aplicații în mecanica unui mediu continuu, în electrodinamică și cuantică. mecanica etc.

• - la fel ca...

  Enciclopedie fizică

• - m-operator, operator de minimizare, - o metodă de construire de noi funcții din alte funcții, constând din următoarele...

  Enciclopedie matematică

• - unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, conform căruia pentru o anumită clasă de mișcări mecanice se compară între ele. sistemul se realizeaza acela pentru care actiunea este minima...

  Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

• - una dintre cele mai importante legi ale mecanicii, stabilită de omul de știință rus M.V. Ostrogradsky...

  Enciclopedia Rusă

• Dicţionar de termeni juridici

• - în dreptul constituțional al unui număr de state principiul conform căruia principiile și normele de drept internațional general recunoscute sunt parte integrantă sistemul juridic tara relevanta...

  Enciclopedia Avocatului

• - în dreptul constituțional al unui număr de state principiul conform căruia normele de drept internațional general recunoscute fac parte integrantă din sistemul juridic național...

  Dicționar juridic mare

• - cea mai scurtă distanță de la centrul încărcăturii explozive până la suprafata libera- line on nay-malkoto resistance - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...

  Dicționar de construcții

• - dacă este posibil să se deplaseze puncte ale unui corp deformabil în direcții diferite, fiecare punct al acestui corp se mișcă în direcția de cea mai mică rezistență...

  Dicţionar Enciclopedic de Metalurgie

• - o regulă prin care stocurile existente sunt de obicei evaluate fie la cel mai mic cost, fie la cel mai mic preț de vânzare...

  Dicţionar de termeni de afaceri

• - în dreptul constituțional al unui număr de state - principiul conform căruia principiile și normele de drept internațional general recunoscute fac parte integrantă din sistemul juridic al statului în cauză și funcționează...

  Dicţionar enciclopedic de economie şi drept

• - unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, conform căruia pentru o clasă dată de mișcări ale unui sistem mecanic în comparație între ele, cel valabil este cel pentru care mărimea fizică,...
• - la fel ca principiul lui Gauss...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - unul dintre principiile variaţionale ale mecanicii; la fel ca principiul minimei acțiuni...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - unul dintre principiile variaționale ale mecanicii, conform căruia pentru o anumită clasă de mișcări ale unui sistem mecanic în comparație între ele, cea pentru care acțiunea este minimă...

  Mare Dicţionar enciclopedic

• - Carte Alege cel mai mult calea ușoară acțiuni, evitarea obstacolelor, evitarea dificultăților...

  Dicționar frazeologic al limbii literare ruse

„PRINCIPIU CEL MAI MAI VALOARE” în ​​cărți

2.5.1. Principiul de funcționare al dispozitivului

Din cartea Entertaining Electronics [Enciclopedia neconvențională a circuitelor utile] autor Kashkarov Andrei Petrovici

2.5.1. Principiul de funcționare al dispozitivului Principiul de funcționare al dispozitivului este simplu. Când fluxul luminos emis de LED-ul HL1 este reflectat de obiect și lovește fotodetectorul, unitatea electronică, implementată pe 2 microcircuite - comparatorul KR1401SA1 și temporizatorul KR1006VI1, produce

Principiul de funcționare al terafimului

Din cartea Cunoașterea secretă. Teoria și practica Agni Yoga autor Roerich Elena Ivanovna

Principiul de funcționare al terafimului 24.02.39 Știți că fiecare conștientizare și reprezentare a oricărui obiect ne aduce prin aceasta mai aproape de el. După cum știți, straturile psihice ale unui obiect pot fi transferate în terafimii acestuia. Terafimul astral al lumilor îndepărtate și

Trei condiții pentru aplicarea legii celui mai mic efort

Din cartea Înțelepciunea lui Deepak Chopra [Obțineți ceea ce doriți urmând cele 7 legi ale Universului] de Tim Goodman

Trei condiții pentru ca Legea celui mai mic efort să funcționeze Să vedem ce condiții sunt necesare pentru a atrage acest flux creativ de energie din Univers în viața ta - energia iubirii și, prin urmare, pentru ca Legea celui mai mic efort să înceapă să funcționeze în viața ta .

Capitolul 19 PRINCIPIUL EFECTULUI MINIMULUI

Din cartea 6. Electrodinamica autor Feynman Richard Phillips

Capitolul 19 PRINCIPIUL EFECTULUI MAI MĂRUN Adăugarea făcută după o prelegere Când eram la școală, profesorul nostru de fizică, pe nume Bader, m-a sunat odată după oră și mi-a spus: „Arăți de parcă te-ai săturat teribil de toate; ascultă un lucru interesant

5. Principiul minimei acțiuni

Din cartea Revoluția în fizică de de Broglie Louis

5. Principiul acțiunii minime Ecuațiile pentru dinamica unui punct material dintr-un câmp de forțe cu potențial pot fi obținute pe baza principiului că vedere generala se numește principiul lui Hamilton sau principiul acțiunii staționare. Conform acestui principiu, dintre toate

Principiul de funcționare

Din cartea Ghidul lăcătușului pentru încuietori de Phillips Bill

Principiul de funcționare Capacitatea de a roti cilindrul depinde de poziția știfturilor, care la rândul său este determinată de gravitație, de acțiunea arcurilor și de forța cheii (sau a cheii principale; pentru informații despre cheile principale, vezi capitolul 9) . În absența unei chei, gravitația și arcurile apăsează

Principiul acțiunii staționare

Din cartea Big Enciclopedia Sovietică(ST) autor TSB

Principiul minimei acțiuni

TSB

Principiul minimei constrângeri

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (NA) a autorului TSB

2.5.1. Principiul de funcționare

Din cartea Protectia releelor ​​in retelele electrice de distributie B90 autor Buliciov Alexandru Vitalievici

2.5.1. Principiul de funcționare În rețelele electrice cu alimentare bidirecțională și în rețelele inelare, protecția curentă convențională nu poate funcționa selectiv. De exemplu, în reteaua electrica cu două surse de alimentare (Fig. 2.15), unde întrerupătoarele și protecțiile sunt instalate pe ambele părți

Principiul de funcționare

Din cartea Turbo Suslik. Cum să nu te mai draci și să începi să trăiești autor Leușkin Dmitri

Principiul acțiunii „Procesează acest lucru” este, de fapt, un fel de „macro” care, cu o singură frază, lansează o grămadă de procese în subconștient, al căror scop este procesarea materialului mental selectat. Acest handler în sine include 7 module diferite, dintre care unele

Cum să începeți să urmați legea celui mai mic efort: trei acțiuni necesare

Din cartea A Guide to Growing Capital de la Joseph Murphy, Dale Carnegie, Eckhart Tolle, Deepak Chopra, Barbara Sher, Neil Walsh autorul Stern Valentin

Cum să începeți să urmați Legea celui mai mic efort: trei acțiunile necesare Pentru ca Legea celui mai mic efort să înceapă să funcționeze, trebuie nu doar să respectați cele trei condiții menționate mai sus, ci și să efectuați trei acțiuni Prima acțiune: începeți să acceptați lumea așa cum este Accept

11. Fizica și Aikido din cea mai mică acțiune

autor Mindell Arnold

11. Fizica și Aikido de cel mai mic efect Când suflă, este doar vânt. Când plouă, este doar ploaie. Când norii trec, soarele strălucește prin ei. Dacă te deschizi la perspicacitate, atunci ești una cu insight. Și îl poți folosi complet. Dacă deschizi

Principiul lui Leibniz al celei mai mici acțiuni „Vis Viva”

Din cartea Geopsychology in Shamanism, Physics and Taoism autor Mindell Arnold

Principiul lui Leibniz al acțiunii minime „Vis Viva” Cu toții trebuie să-i mulțumim lui Wilhelm Gottfried Leibniz (1646–1716) pentru principiul acțiunii minime. Unul dintre primii fizicieni și matematicieni „moderni”, Leibniz a trăit pe vremea lui Newton - o epocă în care oamenii de știință erau mai deschisi

Aikido - întruchiparea principiului acțiunii minime

Din cartea Geopsychology in Shamanism, Physics and Taoism autor Mindell Arnold

Aikido - întruchiparea principiului acțiunii minime Psihologia și tehnologia noastră sunt în mare măsură conduse de un concept foarte apropiat de ideea de acțiune minimă. Încercăm constant să ne ușurăm viața. Calculatoarele de astăzi nu sunt suficient de rapide; Ei trebuie sa

P. Maupertuis) în 1744, subliniind imediat natura sa universală și considerând-o aplicabilă opticii și mecanicii. Din acest principiu a derivat legile reflexiei și refracției luminii.

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Cercetarea matematică și dezvoltarea principiului lui Fermat a fost efectuată de Christiaan Huygens, după care subiectul a fost discutat activ de cei mai mari oameni de știință ai secolului al XVII-lea. Leibniz a introdus conceptul fundamental de acțiune în fizică în 1669: „Acțiunile formale ale mișcării sunt proporționale... cu produsul cantității de materie, distanțele pe care se mișcă și viteza.”

  În paralel cu analiza fundamentelor mecanicii au fost dezvoltate metode de rezolvare a problemelor variaționale. Isaac Newton în „Principiile matematice ale filosofiei naturale” (1687) a pus și a rezolvat prima problemă variațională: găsirea unei forme a unui corp de rotație care se mișcă într-un mediu rezistent de-a lungul axei sale pentru care rezistența experimentată ar fi cea mai mică. Aproape simultan au apărut și alte probleme variaționale: problema brahistocronului (1696), forma unei linii de lanț etc.

  Evenimente decisive au avut loc în 1744. Leonhard Euler a publicat prima lucrare generală despre calculul variațiilor („Metoda de găsire a curbelor care posedă proprietățile maximului sau minimului”), iar Pierre-Louis de Maupertuis, în tratatul său „Reconcilierea diverselor legi ale naturii, care până acum părea Incompatibil”, a dat prima formulare a principiului acțiunii minime: „calea urmată de lumină este calea pentru care cantitatea de acțiune va fi cea mai mică.” El a demonstrat îndeplinirea acestei legi atât pentru reflectarea, cât și pentru refracția luminii. Ca răspuns la articolul lui Maupertuis, Euler a publicat (în același an 1744) lucrarea „Despre determinarea mișcării corpurilor aruncate într-un mediu nerezistent prin metoda maximelor și minimelor”, iar în această lucrare a dat lui Maupertuis. principiu un caracter mecanic general: „Deoarece toate fenomenele naturale urmează unele. Dacă există vreo lege a maximului sau a minimului, atunci nu există nicio îndoială că pentru liniile curbe care descriu corpurile aruncate, atunci când unele forțe acționează asupra lor, există o proprietate a maxim sau minim. Euler a formulat în continuare această lege: traiectoria unui corp atinge un minim ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ds). Apoi a aplicat-o, deducând legile mișcării într-un câmp gravitațional uniform și în alte câteva cazuri.

  În 1746 Maupertuis nou loc de muncă a fost de acord cu opinia lui Euler și a proclamat cea mai generală versiune a principiului său: „Când apare o schimbare în natură, cantitatea de acțiune necesară pentru această schimbare este cea mai mică posibilă. Cantitatea de acțiune este produsul dintre masa corpurilor prin viteza lor și distanța pe care o parcurg.” În discuția amplă care a urmat, Euler a susținut prioritatea lui Maupertuis și a susținut natura universală a noii legi: „toată dinamica și hidrodinamica pot fi dezvăluite cu o ușurință uimitoare numai prin metoda maximelor și minimelor.”

  O nouă etapă a început în 1760-1761, când Joseph Louis Lagrange a introdus conceptul strict de variație a unei funcții, a dat calculului variațiilor o formă modernă și a extins principiul celei mai mici acțiuni la un sistem mecanic arbitrar (adică nu numai la puncte materiale libere). Aceasta a marcat începutul mecanicii analitice. O nouă generalizare a principiului a fost efectuată de Carl Gustav Jacob Jacobi în 1837 - el a considerat problema din punct de vedere geometric, ca găsirea extremelor unei probleme variaționale într-un spațiu de configurație cu o metrică non-euclidiană. În special, Jacobi a subliniat că, în absența forțelor externe, traiectoria sistemului reprezintă o linie geodezică în spațiul de configurare.

  Abordarea lui Hamilton s-a dovedit a fi universală și foarte eficientă în modelele matematice ale fizicii, în special pentru mecanica cuantică. Puterea sa euristică a fost confirmată în crearea Relativității Generale, când David Hilbert a aplicat principiul lui Hamilton pentru a deriva ecuațiile finale ale câmpului gravitațional (1915).

  În mecanica clasică

  Principiul acțiunii minime servește ca bază fundamentală și standard a formulărilor lagrangiene și hamiltoniene ale mecanicii.

  Mai întâi să ne uităm la construcție astfel: mecanica lagrangiană. Folosind exemplul unui sistem fizic cu un grad de libertate, să reamintim că acțiunea este funcțională în raport cu coordonatele (generalizate) (în cazul unui grad de libertate - o coordonată), adică se exprimă prin q (t) (\displaystyle q(t)) astfel încât fiecare variantă imaginabilă a funcţiei q (t) (\displaystyle q(t)) se compară un anumit număr - o acțiune (în acest sens putem spune că o acțiune ca funcțională este o regulă care permite orice funcţie dată q (t) (\displaystyle q(t)) calculați un număr foarte specific - numit și acțiune). Acțiunea arată astfel:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

  Unde L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) este Lagrangianul sistemului, în funcție de coordonatele generalizate q (\displaystyle q), derivatul său pentru prima dată q ˙ (\displaystyle (\punct (q))), și, de asemenea, posibil, explicit din timp t (\displaystyle t). Dacă sistemul are mai multe grade de libertate n (\displaystyle n), atunci Lagrangianul depinde de Mai mult coordonate generalizate q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n)și derivatele lor pentru prima dată. Astfel, acțiunea este o funcțională scalară în funcție de traiectoria corpului.

  Faptul că acțiunea este un scalar face ușor să o scrieți în orice coordonate generalizate, principalul lucru este că poziția (configurația) sistemului este caracterizată fără ambiguitate de acestea (de exemplu, în loc de coordonate carteziene, acestea pot fi polare coordonatele, distanțele dintre punctele sistemului, unghiurile sau funcțiile acestora etc. .d.).

  Acțiunea poate fi calculată pentru o traiectorie complet arbitrară q (t) (\displaystyle q(t)), indiferent cât de „sălbatic” și „nenatural” ar fi. Cu toate acestea, în mecanica clasică, printre întregul set de traiectorii posibile, există doar una de-a lungul căreia corpul va merge efectiv. Principiul acțiunii staționare oferă exact răspunsul la întrebarea cum se va mișca de fapt corpul:

  Aceasta înseamnă că dacă este dat Lagrangianul sistemului, atunci folosind calculul variațiilor putem stabili exact cum se va mișca corpul, obținând mai întâi ecuațiile de mișcare - ecuațiile Euler-Lagrange, apoi rezolvându-le. Acest lucru permite nu numai generalizarea serioasă a formulării mecanicii, ci și alegerea coordonatelor cele mai convenabile pentru fiecare problemă specifică, fără a se limita la cele carteziene, care pot fi foarte utile pentru obținerea celor mai simple și mai ușor de rezolvat ecuații.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ mare ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

  Unde H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots,q_(N),p_(1),p_(2),\dots,p_(N),t) )- Funcția Hamilton a acestui sistem; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots,q_(N))- coordonate (generalizate), p ≡ p 1, p 2, …, p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots,p_(N))- i se conjugă impulsurile (generalizate), care împreună caracterizează la fiecare moment dat în timp starea dinamică a sistemului și, fiecare fiind o funcție a timpului, caracterizând astfel evoluția (mișcarea) sistemului. În acest caz, pentru a obține ecuațiile de mișcare ale sistemului sub forma ecuațiilor canonice ale lui Hamilton, este necesar să se varieze acțiunea scrisă în acest mod independent pentru toate q i (\displaystyle q_(i))Și p i (\displaystyle p_(i)).

  Trebuie remarcat faptul că, dacă din condițiile problemei este posibil, în principiu, să se găsească legea mișcării, atunci aceasta este automat Nuînseamnă că este posibil să se construiască un funcțional care ia o valoare staționară în timpul mișcării adevărate. Un exemplu ar fi o mișcare articulară sarcini electrice iar monopolurile - sarcini magnetice - într-un câmp electromagnetic. Ecuațiile lor de mișcare nu pot fi derivate din principiul acțiunii staționare. În mod similar, unele sisteme hamiltoniene au ecuații de mișcare care nu pot fi derivate din acest principiu.

  Exemple

  Exemple banale ajută la evaluarea utilizării principiului de funcționare prin ecuațiile Euler-Lagrange. Particulă liberă (masă m si viteza v) în spațiul euclidian se mișcă în linie dreaptă. Folosind ecuațiile Euler-Lagrange, acest lucru poate fi afișat în coordonate polare, după cum urmează. În absența potențialului, funcția Lagrange este pur și simplu egală cu energia cinetică

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\punct (x))^(2)+(\punct (y))^(2)\dreapta)) ψ = ∫ [D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  Aici ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) este o notație condiționată pentru integrarea funcțională infinit multiplă pe toate traiectoriile x(t) și ℏ (\displaystyle \hbar )- Constanta lui Planck. Subliniem că, în principiu, acțiunea în exponențial apare (sau poate apărea) ea însăși atunci când se studiază operatorul de evoluție în mecanica cuantică, dar pentru sistemele care au un analog exact clasic (non-cuantic), este exact egal cu cel obișnuit. acţiune clasică.

  Analiza matematică a acestei expresii în limita clasică - pentru suficient de mare S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), adică cu oscilații foarte rapide ale exponențialului imaginar - arată că majoritatea covârșitoare a tuturor traiectoriilor posibile din această integrală se anulează reciproc în limită (formal la S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty)). Pentru aproape orice cale, există o cale pe care schimbarea de fază va fi exact opusă, iar acestea se vor adăuga la zero contribuție. Nu sunt reduse doar acele traiectorii pentru care acțiunea este aproape de valoarea extremă (pentru majoritatea sistemelor - la minim). Acesta este un fapt pur matematic din

• 3.1.Revoluții științifice în istoria științelor naturale
• 3.2. Prima revoluție științifică. Sistemul heliocentric al lumii. Doctrina pluralității lumilor
• 3.3. A doua revoluție științifică. Crearea mecanicii clasice și a științelor naturale experimentale. Imagine mecanică a lumii
• 3.4. Chimia într-o lume mecanicistă
• 3.5. Știința naturii timpurilor moderne și problema metodei filozofice
• 3.6. A treia revoluție științifică. Dialectizarea științelor naturii
• 3.7. Purificarea istoriei naturale
• 3.8. Cercetări în domeniul câmpului electromagnetic și începutul prăbușirii tabloului mecanicist al lumii
• I Istoria naturală a secolului XX
• 4.1.A patra revoluție științifică. Pătrunderea în adâncurile materiei. Teoria relativității și mecanica cuantică. Prăbușirea finală a imaginii mecaniciste a lumii
• 4.2. Revoluția științifică și tehnologică, componenta ei de științe naturale și etapele istorice
• 4.3. Panorama științelor naturale moderne 4.3.1. Caracteristicile dezvoltării științei în secolul al XX-lea
• 4.3.2. Fizica microlumilor și megalumilor. Fizica atomică
• 4.3.3. Realizări în principalele domenii ale chimiei moderne
• 4.3.4. Biologia secolului XX: cunoașterea nivelului molecular al vieții. Condiții preliminare pentru biologia modernă.
• 4.3.5. Cibernetică și sinergetică
• Secțiunea III
• I Spațiu și timp
• 1.1.Dezvoltarea ideilor despre spațiu și timp în perioada pre-newtoniană
• 1. 2. Spațiu și timp
• 1.3. Rază lungă și rază scurtă. Dezvoltarea conceptului de „câmp”
• 2.1.Principiul relativității lui Galileo
• 2.2. Principiul minimei acțiuni
• 2.3. Teoria specială a relativității a. Einstein
• 1. Principiul relativității: toate legile naturii sunt aceleași în toate cadrele de referință inerțiale.
• 2.4. Elemente de relativitate generală
• 3. Legea conservării energiei în procesele macroscopice
• 3.1. „Forța vie”
• 3.2. Lucru în mecanică. Legea conservării și transformării energiei în mecanică
• 3.3. Energie interna
• 3.4. Interconversia diferitelor tipuri de energie unele în altele
• 4. Principiul creșterii entropiei
• 4.1. Ciclul Carnot ideal
• 4.2. Conceptul de entropie
• 4.3. Entropie și probabilitate
• 4.4. Ordine și haos. Săgeata timpului
• 4.5. „Demonul lui Maxwell”
• 4.6. Problema morții termice a Universului. Ipoteza fluctuației Boltzmann
• 4.7. Sinergetice. Nașterea ordinii din haos
• I Elemente de fizică cuantică
• 5.1. Dezvoltarea vederilor asupra naturii luminii. Formula lui Planck
• 5.2. Energia, masa și impulsul unui foton
• 5.3. Ipoteza lui De Broglie. Proprietățile ondulatorii ale materiei
• 5.4. Principiul incertitudinii Heisenberg
• 5.5. Principiul complementarității lui Bohr
• 5.6. Conceptul de integritate în fizica cuantică. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen
• 5.7. Valuri de probabilitate. Ecuația Schrödinger. Principiul cauzalității în mecanica cuantică
• 5.8. Starile unui sistem fizic. Modele dinamice și statistice în natură
• 5.9. Fizica cuantică relativistă. Lumea antiparticulelor. Teoria câmpului cuantic
• I Pe drumul construirii unei teorii unificate a câmpului 6.1. Teorema lui Noether și legile de conservare
• 6.2. Conceptul de simetrie
• 6.3. Simetrii de gabarit
• 6.4. Interacțiuni. Clasificarea particulelor elementare
• 6.5. Pe drumul către o teorie unificată a câmpului. Ideea ruperii spontane a simetriei vidului
• 6.6. Viziunea sinergică a evoluției Universului. Istoricismul obiectelor fizice. Vidul fizic ca abstractizare inițială în fizică
• 6.7. Principiul antropic. „Reglarea fină” a Universului
• Secțiunea IV
• 1. Chimia în sistemul „societate-natura”.
• I Denumiri chimice
• Secțiunea V
• I Teorii ale originii vieţii
• 1.1. Creaționismul
• 1.2. Generare spontană (spontană).
• 1.3. Teoria stării de echilibru
• 1.4. Teoria panspermiei
• 1.5. Evoluția biochimică
• 2.1. Teoria evoluției lui Lamarck
• 2.2. Darwin, Wallace și originea speciilor prin selecție naturală
• 2.3. Înțelegerea modernă a evoluției
• 3.1. Paleontologie
• 3.2. Distribuție geografică
• 3.3. Clasificare
• 3.4. Creșterea plantelor și animalelor
• 3.5. Anatomie comparată
• 3.6. Radiații adaptive
• 3.7. Embriologie comparată
• 3.8. Biochimie comparată
• 3.9. Evoluție și genetică
• Secțiunea VI. Uman
• I Originea omului și a civilizației
• 1.1.Apariția omului
• 1.2. Problema etnogenezei
• 1.3. Culturogeneza
• 1.4. Apariția civilizației
• I Omul și biosfera
• 7.1. Conceptul de V.I. Vernadsky despre biosferă și fenomenul uman
• 7.2. Cicluri cosmice
• 7.3. Natura ciclică a evoluției. Omul ca ființă cosmică
• I cuprins
• Secțiunea I. Metoda științifică 7
• Secțiunea II. Istoria științelor naturii 42
• Secțiunea III. Elemente de fizică modernă 120
• Secțiunea IV. Concepte de bază și prezentări ale chimiei246
• Secțiunea V. Apariția și evoluția vieții 266
• Secțiunea VI. Omul 307
• 344007, Rostov-pe-Don,
• 344019, Rostov-pe-Don, str. Sovetskaya, 57. Calitatea imprimării corespunde foliilor transparente furnizate.

2.2. Principiul minimei acțiuni

În secolul al XVIII-lea a avut loc acumularea și sistematizarea ulterioară a rezultatelor științifice, marcate de tendința de a combina realizările științifice individuale într-o imagine strict ordonată, coerentă a lumii, prin aplicarea sistematică a metodelor de analiză matematică la studiul fenomenelor fizice. Munca multor minți strălucite în această direcție a condus la crearea teoriei de bază a unui program de cercetare mecanicistă - mecanica analitică, pe baza prevederilor cărora au fost create diverse teorii fundamentale care descriu o anumită clasă de componente.

fenomene teoretice: hidrodinamică, teoria elasticității, aerodinamică etc. Unul dintre cele mai importante rezultate ale mecanicii analitice este principiul celei mai mici acțiuni (principiul variațional), care este important pentru înțelegerea proceselor care au loc în fizică la sfârșitul secolului XX. .

Rădăcinile apariției principiilor variaționale în știință se întorc în Grecia Antică și sunt asociate cu numele de Erou din Alexandria. Ideea oricărui principiu variațional este de a varia (modifica) o anumită valoare care caracterizează un proces dat și de a selecta dintre toate procesele posibile pe cel pentru care această valoare ia o valoare extremă (maximum sau minim). Heron a încercat să explice legile reflexiei luminii variind valoarea care caracterizează lungimea drumului parcurs de o rază de lumină de la sursă la observator atunci când este reflectată de oglindă. A ajuns la concluzia că, dintre toate căile posibile, o rază de lumină o alege pe cea mai scurtă (dintre toate posibilele geometric).

În secolul al XVII-lea, două mii de ani mai târziu, matematicianul francez Fermat a atras atenția asupra principiului lui Heron, l-a extins la medii cu diferiți indici de refracție și l-a reformulat în termeni de timp. Principiul lui Fermat afirmă: într-un mediu de refracție, ale cărui proprietăți nu depind de timp, o rază de lumină, care trece prin două puncte, alege o astfel de cale încât timpul necesar pentru a parcurge de la primul punct la al doilea este minim. Principiul lui Heron se dovedește a fi un caz special al principiului lui Fermat pentru medii cu indice de refracție constant.

Principiul lui Fermat a atras atenția contemporanilor săi. Pe de o parte, a mărturisit în cel mai bun mod posibil despre „principiul economiei” din natură, despre planul divin rațional realizat în structura lumii, pe de altă parte, a contrazis teoria corpusculară a luminii a lui Newton. Potrivit lui Newton, s-a dovedit că în mediile mai dense viteza luminii ar trebui să fie mai mare, în timp ce din principiul lui Fermat a rezultat că în astfel de medii viteza luminii devine mai mică.

În 1740, matematicianul Pierre Louis Moreau de Maupertuis, analizând critic principiul lui Fermat și urmând principiul teologic

motive logice despre perfecțiune și cea mai economică structură a Universului, au proclamat principiul celei mai mici acțiuni în lucrarea sa „Despre diverse legi ale naturii care păreau incompatibile”. Maupertuis a abandonat cel mai mic timp al lui Fermat și a introdus un nou concept - acțiune. Acțiunea este egală cu produsul dintre impulsul corpului (cantitatea de mișcare P = mV) și calea parcursă de corp. Timpul nu are niciun avantaj față de spațiu și nici invers. Prin urmare, lumina nu alege calea cea mai scurtă și nu cel mai scurt timp de parcurs, ci, potrivit lui Maupertuis, „alege calea care oferă cea mai reală economie: calea pe care o urmează este calea pe care amploarea acțiunii. este minim.” Principiul acțiunii minime a fost dezvoltat în continuare în lucrările lui Euler și Lagrange; a fost baza pe care Lagrange a dezvoltat un nou domeniu de analiză matematică – calculul variațiilor. Acest principiu a primit o generalizare suplimentară și o formă completată în lucrările lui Hamilton. În forma sa generalizată, principiul celei mai mici acțiuni folosește conceptul de acțiune exprimat nu prin impuls, ci prin funcția Lagrange. Pentru cazul unei particule care se mișcă într-un anumit câmp potențial, funcția Lagrange poate fi reprezentată ca diferența dintre cinetica și energie potențială:

(Conceptul de „energie” este discutat în detaliu în capitolul 3 al acestei secțiuni.)

Produsul se numește acțiune elementară. Acțiunea totală este suma tuturor valorilor pe întregul interval de timp luat în considerare, cu alte cuvinte, acțiunea totală A:



Ecuațiile mișcării particulelor pot fi obținute folosind principiul celei mai mici acțiuni, conform căruia mișcarea reală are loc în așa fel încât acțiunea se dovedește a fi extremă, adică variația ei devine 0:



Principiul variațional Lagrange-Hamilton permite cu ușurință extinderea la sisteme care constau din non-

câte (multe) particule. Mișcarea unor astfel de sisteme este de obicei considerată într-un spațiu abstract (o tehnică matematică convenabilă) de un număr mare de dimensiuni. Să presupunem că pentru N puncte este introdus un spațiu abstract de 3N coordonate de N particule, formând un sistem numit spațiu de configurare. Secvența diferitelor stări ale sistemului este reprezentată de o curbă în acest spațiu de configurare - o traiectorie. Luând în considerare toate căile posibile care leagă două puncte date ale acestui spațiu 3N-dimensional, se poate fi convins că mișcarea reală a sistemului are loc în conformitate cu principiul celei mai mici acțiuni: dintre toate traiectoriile posibile, cea pentru care acțiunea este extremă. pe întreg intervalul de timp de mișcare se realizează.

La minimizarea acțiunii în mecanica clasică se obțin ecuațiile Euler-Lagrange, a căror legătură cu legile lui Newton este bine cunoscută. Ecuațiile Euler-Lagrange pentru Lagrangianul câmpului electromagnetic clasic se dovedesc a fi ecuațiile lui Maxwell. Astfel, vedem că utilizarea Lagrangianului și a principiului acțiunii minime ne permite să specificăm dinamica particulelor. Cu toate acestea, Lagrangianul are o altă trăsătură importantă, care a făcut ca formalismul lagrangian să fie fundamental în rezolvarea aproape a tuturor problemelor fizicii moderne. Cert este că, împreună cu mecanica newtoniană, legile de conservare pentru unele mărimi fizice au fost formulate în fizică deja în secolul al XIX-lea: legea conservării energiei, legea conservării momentului, legea conservării momentului unghiular, legea de conservare a sarcinii electrice. Numărul legilor de conservare în legătură cu dezvoltarea fizicii cuantice și a fizicii particulelor elementare în secolul nostru a devenit și mai mare. Se pune întrebarea cum să găsiți o bază comună pentru scrierea atât a ecuațiilor de mișcare (să zicem, legile lui Newton sau ecuațiile lui Maxwell), cât și a cantităților care sunt conservate în timp. S-a dovedit că o astfel de bază este utilizarea formalismului lagrangian, întrucât lagrangianul unei anumite teorii se dovedește a fi invariant (neschimbabil) în raport cu transformările corespunzătoare spațiului abstract specific luat în considerare în această teorie, ceea ce are ca rezultat legile de conservare. Aceste trăsături lagrangiene

nu a condus la oportunitatea formulării teoriilor fizice în limbajul lagrangienilor. Conștientizarea acestei circumstanțe a ajuns în fizică datorită apariției teoriei relativității a lui Einstein.

"





 

Ar putea fi util să citiți:

• Scolecifobia și cum să o combatem;
• Experții s-au exprimat în favoarea extinderii operațiunii ISS;
• Structura și activitatea vitală a ciliatelor folosind exemplul ciliatului papuc;
• Arhiepiscopul Jonathan (Eletsky): La originile nașterii Bisericii Ortodoxe Ucrainene;
• Autoritățile din regiunea Kurgan nu plătesc capitala regională, guvernatorul Osipov îndeplinește orientările federale pentru transparența alegerilor.;
• Salata cu varza chinezeasca si batoane de crab Salata cu varza chinezeasca si porumb cu crab;
• Lucuma - descrierea fructului și proprietățile sale cu fotografii;
• Rețete de supă de mei cu o notă istorică din pește, carne, slabă;