Ce număr este divizibil cu 12 și 7. Semne de divizibilitate cu un număr compus

Matematica în clasa a VI-a începe cu studierea conceptului de divizibilitate și a semnelor de divizibilitate. Ele sunt adesea limitate la criteriile de divizibilitate cu următoarele numere:

Pe 2 : ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6 sau 8;
Pe 3 : suma cifrelor numărului trebuie să fie divizibilă cu 3;
Pe 4 : numărul format din ultimele două cifre trebuie să fie divizibil cu 4;
Pe 5 : ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5;
Pe 6 : numărul trebuie să aibă semne de divizibilitate cu 2 și 3;
Test de divizibilitate pentru 7 deseori ratat;
De asemenea, rareori vorbesc despre testul de divizibilitate prin 8 , deși este similar cu criteriile de divizibilitate cu 2 și 4. Pentru ca un număr să fie divizibil cu 8, este necesar și suficient ca terminația din trei cifre să fie divizibilă cu 8.
Test de divizibilitate pentru 9 Toată lumea știe: suma cifrelor unui număr trebuie să fie divizibilă cu 9. Ceea ce, însă, nu dezvoltă imunitate împotriva a tot felul de trucuri cu date pe care le folosesc numerologii.
Test de divizibilitate pentru 10 , probabil cel mai simplu: numărul trebuie să se termine cu zero.
Uneori, elevii de clasa a șasea sunt învățați despre testul de divizibilitate prin 11 . Trebuie să adăugați cifrele numărului care sunt în locuri pare și să scădeți numerele care sunt în locuri impare din rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 11, atunci numărul în sine este divizibil cu 11.

Să revenim acum la testul de divizibilitate cu 7. Dacă vorbesc despre el, îl combină cu testul de divizibilitate cu 13 și sfătuiesc să-l folosească în acest fel.

Să luăm un număr. Îl împărțim în blocuri de câte 3 cifre fiecare (blocul din stânga poate conține una sau 2 cifre) și adunăm/scădem alternativ aceste blocuri.

Dacă rezultatul este divizibil cu 7, 13 (sau 11), atunci numărul în sine este divizibil cu 7, 13 (sau 11).

Această metodă, ca și o serie de trucuri matematice, se bazează pe faptul că 7x11x13 = 1001. Cu toate acestea, ce să faceți cu numerele de trei cifre, pentru care problema divizibilității, de asemenea, nu poate fi rezolvată fără diviziunea în sine.

Folosind criteriul universal de divizibilitate, se poate construi relativ algoritmi simpli stabilirea dacă un număr este divizibil cu 7 și alte numere „incomode”.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 7
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 7, trebuie să aruncați ultima cifră din număr și să scădeți această cifră de două ori din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 7, atunci numărul în sine este divizibil cu 7.

Exemplul 1:
E 238 divizibil cu 7?
23-8-8 = 7. Deci numărul 238 este divizibil cu 7.
Într-adevăr, 238 = 34x7

Această acțiune poate fi efectuată în mod repetat.
Exemplul 2:
Este 65835 divizibil cu 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 este divizibil cu 7 (dacă nu am fi observat acest lucru, am fi putut mai face un pas: 6-3-3 = 0, iar 0 este cu siguranță divizibil cu 7).

Aceasta înseamnă că numărul 65835 este divizibil cu 7.

Pe baza criteriului universal de divizibilitate, este posibil să se îmbunătățească criteriile de divizibilitate cu 4 și cu 8.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 4
Dacă jumătate din numărul de unități plus numărul de zeci este un număr par, atunci numărul este divizibil cu 4.

Exemplul 3
Este numărul 52 divizibil cu 4?
5+2/2 = 6, numărul este par, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 4.

Exemplul 4
Este numărul 134 divizibil cu 4?
3+4/2 = 5, numărul este impar, ceea ce înseamnă că 134 nu este divizibil cu 4.

Test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 8
Dacă adăugați de două ori numărul de sute, numărul de zeci și jumătate din numărul de unități, iar rezultatul este divizibil cu 4, atunci numărul în sine este divizibil cu 8.

Exemplul 5
Este numărul 512 divizibil cu 8?
5*2+1+2/2 = 12, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 512 este divizibil cu 8.

Exemplul 6
Este numărul 1984 divizibil cu 8?
9*2+8+4/2 = 28, numărul este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 1984 este divizibil cu 8.

Testul de divizibilitate cu 12- aceasta este unirea semnelor de divizibilitate cu 3 și 4. Același lucru funcționează pentru orice n care este produsul dintre coprime p și q. Pentru ca un număr să fie divizibil cu n (care este egal cu produsul pq,actih, astfel încât gcd(p,q)=1), trebuie să fie divizibil atât cu p, cât și cu q.

Totuși, fii atent! Pentru ca criteriile de divizibilitate compuse să funcționeze, factorii unui număr trebuie să fie coprimi. Nu poți spune că un număr este divizibil cu 8 dacă este divizibil cu 2 și 4.

Testul îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 13
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 13, trebuie să renunțați la ultima cifră din număr și să o adăugați de patru ori la rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.

Exemplul 7
Este 65835 divizibil cu 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Numărul 43 nu este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 65835 nu este divizibil cu 13.

Exemplul 8
E 715 divizibil cu 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că numărul 715 este divizibil cu 13.

Semne de divizibilitate cu 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 iar alte numere compuse care nu sunt puteri ale primelor sunt similare cu testele de divizibilitate cu 12. Verificăm divizibilitatea prin factori coprimi a acestor numere.

Pentru 14: pentru 2 și pentru 7;
Pentru 15: pentru 3 și pentru 5;
Pentru 18: pe 2 și 9;
Pentru 21: pe 3 și 7;
Pentru 20: cu 4 și cu 5 (sau, cu alte cuvinte, ultima cifră trebuie să fie zero, iar penultima cifră trebuie să fie pară);
Pentru 24: pentru 3 și pentru 8;
Pentru 26: pe 2 și 13;
Pentru 28: pentru 4 și pentru 7.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 16.
În loc să verificați dacă sfârșitul de 4 cifre a unui număr este divizibil cu 16, puteți adăuga cifra celor cu de 10 ori cifra zecilor, cifra cvadrupla a sutelor și
înmulțit cu de opt ori cifra miilor și verificați dacă rezultatul este divizibil cu 16.

Exemplul 9
Este numărul 1984 divizibil cu 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nu este divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1984 nu este divizibil cu 16.

Exemplul 10
Este numărul 1526 divizibil cu 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nu e divizibil cu 16, ceea ce înseamnă că 1526 nu este divizibil cu 16.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 17.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 17, trebuie să renunțați la ultima cifră din număr și să scădeți de cinci ori această cifră din rezultatul rezultat. Dacă rezultatul este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.

Exemplul 11
Este numărul 59772 divizibil cu 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 59772 este divizibil cu 17.

Exemplul 12
Este numărul 4913 divizibil cu 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 e divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că numărul 4913 este divizibil cu 17.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 19.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 19, trebuie să adăugați de două ori ultima cifră la numărul rămas după ce ați renunțat la ultima cifră.

Exemplul 13
Este numărul 9044 divizibil cu 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 e divizibil cu 19, ceea ce înseamnă că numărul 9044 este divizibil cu 19.

Un test îmbunătățit pentru divizibilitatea cu 23.
Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 23, trebuie să adăugați ultima cifră, mărită de 7 ori, la numărul rămas după eliminarea ultimei cifre.

Exemplul 14
Este numărul 208012 divizibil cu 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
De fapt, puteți observa deja că 253 este 23,

Au fost dezvoltate reguli pentru împărțirea numerelor de la 1 la 10, precum și a 11 și 25 pentru a simplifica procesul de împărțire a numerelor naturale. Cele care se termină cu 2, 4, 6, 8 sau 0 sunt considerate pare.

Care sunt semnele de divizibilitate?

În esență, acesta este un algoritm care vă permite să determinați rapid dacă un număr va fi divizibil cu unul care este specificat în prealabil. În cazul în care testul de divizibilitate face posibilă aflarea restului diviziunii, se numește testul echirestului.

Testul de divizibilitate cu 2

Un număr poate fi împărțit la doi dacă ultima sa cifră este pară sau zero. În alte cazuri, împărțirea nu va fi posibilă.

De exemplu:

52.734 este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră este 4, care este par. 7.693 nu e divizibil cu 2 deoarece 3 este impar. 1.240 este divizibil deoarece ultima cifră este zero.

Teste de divizibilitate cu 3

Numărul 3 este un multiplu al acelor numere a căror sumă este divizibilă cu 3

Exemplu:

17.814 poate fi împărțit la 3 deoarece suma totală a cifrelor sale este 21 și este divizibil cu 3.

Testul de divizibilitate cu 4

Un număr poate fi împărțit la 4 dacă ultimele sale două cifre sunt zero sau poate forma un multiplu de 4. În toate celelalte cazuri, împărțirea nu poate fi realizată.

Exemple:

31.800 poate fi împărțit la 4 deoarece are două zerouri la sfârșit. 4.846.854 nu este divizibil cu 4 deoarece ultimele două cifre formează numărul 54, care nu este divizibil cu 4. 16.604 este divizibil cu 4 deoarece ultimele două cifre ale lui 04 formează numărul 4, care este divizibil cu 4.

Test de divizibilitate cu cifra 5

5 este multiplu al unui număr în care ultima cifră este zero sau cinci. Toți ceilalți nu împărtășesc.

Exemplu:

245 este un multiplu al lui 5 deoarece ultima cifră este 5. 774 nu este un multiplu al lui 5 deoarece ultima cifră este patru.

Test de divizibilitate cu cifra 6

Un număr poate fi împărțit la 6 dacă poate fi împărțit simultan la 2 și 3. În toate celelalte cazuri, nu este divizibil.

De exemplu:

216 poate fi împărțit la 6 deoarece este un multiplu al doi și al trei.

Test de divizibilitate cu 7

Un număr este un multiplu de 7 dacă, la scăderea ultimei cifră dublată din acest număr, dar fără ea (fără ultima cifră), rezultatul este o valoare care poate fi împărțită la 7.

De exemplu, 637 este un multiplu al lui 7 deoarece 63-(2·7)=63-14=49. 49 poate fi împărțit la.

Test de divizibilitate pentru 8

Este asemănător cu semnul divizibilității cu numărul 4. Numărul poate fi împărțit la 8 dacă trei (și nu două, ca în cazul celor patru) ultimele cifre sunt zerouri sau pot forma un număr care este un multiplu al lui 8. În toate celelalte cazuri, nu este divizibil.

Exemple:

456.000 poate fi împărțit la 8 deoarece are trei zerouri la sfârșit. 160.003 nu poate fi împărțit la 8 deoarece ultimele trei cifre formează numărul 4, care nu este un multiplu al lui 8. 111.640 este un multiplu al lui 8 deoarece ultimele trei cifre formează numărul 640, care poate fi împărțit la 8.

Pentru informarea dvs.: puteți numi aceleași semne pentru împărțirea la numerele 16, 32, 64 și așa mai departe. Dar în practică nu contează.

Testul de divizibilitate cu 9

Divizibile cu 9 sunt acele numere a căror sumă de cifre poate fi împărțită la 9.

De exemplu:

Numărul 111.499 nu este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor (25) nu poate fi împărțită la 9. Numărul 51.633 poate fi împărțit la 9, deoarece suma cifrelor sale (18) este un multiplu al lui 9.

Semne de divizibilitate cu 10, 100 și 1000

Puteți împărți acele numere a căror ultima cifră este 0 cu 10, cele ale căror ultime două cifre sunt zero cu 100 și cele ale căror ultime trei cifre sunt zero cu 1000.

Exemple:

4500 poate fi împărțit la 10 și la 100. 778.000 este un multiplu al 10, 100 și 1000.

Acum știi ce semne de divizibilitate a numerelor există. Calcule de succes pentru dvs. și nu uitați de principalul lucru: toate aceste reguli sunt date pentru a simplifica calculele matematice.

Din curiculumul scolar mulți își amintesc că există semne de divizibilitate. Această expresie se referă la reguli care vă permit să determinați rapid dacă un număr este un multiplu al unui număr dat fără a efectua o operație aritmetică directă. Această metodă se bazează pe acțiunile efectuate cu o parte din numerele de la intrarea în pozițional

Mulți oameni își amintesc cele mai simple semne de divizibilitate din programa școlară. De exemplu, faptul că toate numerele a căror ultima cifră este pară sunt divizibile cu 2. Acest semn este cel mai ușor de reținut și de aplicat în practică. Dacă vorbim despre metoda de împărțire la 3, atunci următoarea regulă se aplică numerelor cu mai multe cifre, care pot fi arătate cu acest exemplu. Trebuie să aflați dacă 273 este un multiplu al lui trei. Pentru a face acest lucru, efectuați următoarea operație: 2+7+3=12. Suma rezultată este împărțită la 3, prin urmare, 273 va fi împărțit la 3 în așa fel încât rezultatul să fie un număr întreg.

Semnele divizibilității cu 5 și 10 vor fi următoarele. În primul caz, înregistrarea se va încheia cu numerele 5 sau 0, în al doilea caz doar cu 0. Pentru a afla dacă dividendul este multiplu de patru, procedați astfel. Este necesar să izolați ultimele două cifre. Dacă acestea sunt două zerouri sau un număr care este divizibil cu 4 fără rest, atunci tot ce este împărțit va fi un multiplu al divizorului. Trebuie remarcat faptul că caracteristicile enumerate sunt utilizate numai în sistemul zecimal. Ele nu sunt utilizate în alte metode numerice. În astfel de cazuri, sunt derivate propriile reguli, care depind de baza sistemului.

Semnele împărțirii cu 6 sunt următoarele. 6 dacă este un multiplu al lui 2 și al lui 3. Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 7, trebuie să dublezi ultima cifră din notația sa. Rezultatul rezultat este scăzut din numărul inițial, care nu ia în considerare ultima cifră. Această regulă poate fi văzut în exemplul următor. Este necesar să aflați dacă 364 este un multiplu. Pentru a face acest lucru, 4 este înmulțit cu 2, rezultând 8. Apoi, faceți următoarea acțiune: 36-8=28. Rezultatul obținut este un multiplu de 7 și, prin urmare, numărul inițial 364 poate fi împărțit la 7.

Semnele divizibilității cu 8 sunt următoarele. Dacă ultimele trei cifre dintr-un număr formează un număr care este un multiplu de opt, atunci numărul în sine va fi divizibil cu divizorul dat.

Puteți afla dacă un număr din mai multe cifre este divizibil cu 12, după cum urmează. Folosind criteriile de divizibilitate enumerate mai sus, trebuie să aflați dacă numărul este un multiplu de 3 și 4. Dacă aceștia pot acționa simultan ca divizori ai numărului, atunci cu un anumit dividend puteți efectua și operația de împărțire cu 12. . O regulă similară se aplică altor numere complexe, de exemplu, cincisprezece. În acest caz, divizorii ar trebui să fie 5 și 3. Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 14, ar trebui să vedeți dacă este un multiplu al lui 7 și 2. Deci, puteți lua în considerare acest lucru în exemplul următor. Este necesar să se determine dacă 658 poate fi împărțit la 14. Ultima cifră din intrare este pară, prin urmare, numărul este un multiplu de doi. Apoi, înmulțim 8 cu 2, obținem 16. Din 65 trebuie să scădem 16. Rezultatul 49 este împărțit la 7, ca și numărul întreg. Prin urmare, 658 poate fi împărțit la 14.

Dacă ultimele două cifre sunt în număr dat sunt divizibile cu 25, atunci toate vor fi multiplu ale acestui divizor. Pentru numerele cu mai multe cifre, semnul divizibilității cu 11 va suna după cum urmează. Este necesar să aflăm dacă un divizor dat este un multiplu al diferenței dintre sumele cifrelor care sunt în locuri pare și impare în notația sa.

Trebuie remarcat faptul că semnele de divizibilitate a numerelor și cunoașterea lor simplifică foarte adesea multe probleme care se găsesc nu numai în matematică, ci și în Viata de zi cu zi. A ști dacă un număr este multiplu al altuia vă ajută să finalizați rapid o varietate de sarcini. În plus, utilizarea acestor metode la orele de matematică va ajuta la dezvoltarea elevilor sau școlarilor și va contribui la dezvoltarea anumitor abilități.

Etkareva Alina

Proiect de cercetare de învățare pentru clasa a VI-a

Descarca:

Previzualizare:

Conferința științifică raională a studenților

Secțiunea „Matematică”

„Semne de divizibilitate a numerelor naturale”

Etkareva Alina,

elev de clasa a VI-a

Gara de liceu GBOU Se încarcă

Consilier stiintific:

Stepanova Galina Alekseevna

profesor de matematică

Gara de liceu GBOU Se încarcă

S. Pisicile

Introducere ……………………………………………………………………………………..3

1. Capitolul 1. Puțină istorie……………………………………………………….4 -5

2. Capitolul 2. Semne de divizibilitate

2.1 Semne de divizibilitate a numerelor naturale cu 2, cu 3 (9) cu 5, cu 10, studiate la școală……………………………………………………. ……………….5- 6

2.2. Semne de divizibilitate a numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, obținute independent…………………………………………………………………..6- 7

2.3. Semne de divizibilitate cu 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, descrise în diverse surse.................................. ....... ................................................. ............. ........................8-11

3.Capitolul 3. Aplicarea testelor de divizibilitate a numerelor naturale în rezolvarea problemelor................................... ................ ................................. ....................... ............11-14

Concluzie. ……………………………………………………………………..15

Lista referințelor………………………………………………………16

Introducere

Relevanţă: În timp ce studiam subiectul: „Semne pentru divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10”, am devenit interesat de întrebarea divizibilității numerelor. Se știe că nu este întotdeauna la fel numar natural este divizibil cu un alt număr natural fără rest. Când împărțim numerele naturale, obținem un rest, facem greșeli și, ca urmare, pierdem timp. Testele de divizibilitate ajută, fără a efectua împărțirea, să se stabilească dacă un număr natural este divizibil cu altul. Am decis să scriu muncă de cercetare pe această temă.

Ipoteză: Dacă este posibil să se determine divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10, atunci trebuie să existe semne prin care se poate determina divizibilitatea numerelor naturale cu alte numere.

Obiectul de studiu:Divizibilitatea numerelor naturale.

Subiect de studiu:Criterii de divizibilitate pentru numere naturale.

Ţintă: Suplimentează criteriile deja cunoscute pentru divizibilitatea numerelor naturale în ansamblu, pe care le-am studiat.

Sarcini:

Studiați istoriografia problemei.
Repetă semnele de divizibilitate cu 2, 3. 5, 9, 10, pe care le-am studiat la școală.
Explorează independent semnele de divizibilitate ale numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Studiați literatura suplimentară care confirmă corectitudinea ipotezei despre existența altor semne de divizibilitate a numerelor naturale și corectitudinea semnelor de divizibilitate pe care le-am identificat.
Notați semnele găsite din literatura suplimentară pentru divizibilitatea numerelor naturale cu 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
Trage o concluzie.
Faceți o prezentare de diapozitive pe tema: „Semne de divizibilitate”.
Alcătuiește o broșură „Teste pentru divizibilitatea numerelor naturale”.

Noutate:

Pe parcursul proiectului, mi-am extins cunoștințele despre semnele de divizibilitate a numerelor naturale.

Metode de cercetare:Colectarea materialului, prelucrarea datelor, observarea, compararea, analiza, sinteza.

Capitolul 1. Puțină istorie.

Testul de divizibilitate este o regulă prin care, fără a efectua împărțirea, puteți determina dacă un număr natural este divizibil cu altul. Semnele de divizibilitate au interesat întotdeauna oamenii de știință tari diferite si vremuri.

Semnele de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri. Semnul divizibilității cu 2 era cunoscut de vechii egipteni cu 2 mii de ani î.Hr., iar semnele divizibilității cu 2, 3, 5 au fost descrise în detaliu de matematicianul italian Leonardo Fibonacci (1170-1228).

Când am studiat subiectul: „Numere prime și compuse”, am devenit interesat de problema compilării unui tabel de numere prime, deoarece numerele prime joacă un rol important în studiul tuturor celorlalte numere. Se pare că omul de știință alexandrian Eratosthenes, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr., s-a gândit cândva la aceeași întrebare. Metoda lui de a întocmi o listă de numere prime a fost numită „sita lui Eratosthenes”. Să presupunem că trebuie să găsim toate numerele prime până la 100. Să scriem toate numerele până la 100 la rând.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Lăsând numărul 2, tăiați toate celelalte numere pare. Primul număr supraviețuitor după 2 va fi 3. Acum, lăsând numărul 3, să tăiem numerele divizibile cu 3. Apoi tăiați numerele divizibile cu 5. Ca urmare, toate numerele compuse vor fi tăiate și numai numerele prime vor rămâne: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Folosind această metodă, puteți face liste de numere prime , mai mari decât 100.

Problemele divizibilității numerelor au fost luate în considerare de pitagoreici. În teoria numerelor, au lucrat mult la tipologia numerelor naturale. Pitagoreii i-au împărțit în clase. S-au distins clase: numere perfecte (un număr egal cu suma divizorilor proprii, de exemplu: 6=1+2+3), numere prietenoase (fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt, de exemplu 220 și 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110 220=1+2+4+71+142), numere figurate (număr triunghiular, număr pătrat), prim; numere etc.

Blaise Pascal Pitagora. Leonardo din Pisa Eratostene

(Fibonacci)

Blaise Pascal (1623-1662) a adus o mare contribuție la studiul semnelor de divizibilitate a numerelor. Tânărul Blaise a arătat foarte devreme abilități matematice remarcabile, învățând să numere înainte de a putea citi. În general, exemplul său este un caz clasic de geniu matematic din copilărie. El a scris primul său tratat de matematică, „O experiență în teoria secțiunilor conice”, la vârsta de 24 de ani. Cam în același timp, el a proiectat o mașină de adăugare mecanică, prototipul mașinii de adăugare. În perioada timpurie a lucrării sale (1640-1650), om de știință versatil a găsit un algoritm pentru găsirea semnelor de divizibilitate a oricărui număr întreg cu orice alt întreg, din care urmează toate semnele particulare. Semnul său este următorul: Număr natural A va fi împărțit la un alt număr natural b numai dacă suma produselor cifrelor numărului A în resturile corespunzătoare obținute prin împărțirea unităților de cifre la număr b, se împarte la acest număr.

Astfel, semnele de divizibilitate sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri și au fost de interes pentru matematicieni.

Capitolul 2. Semne de divizibilitate

2.1 Semne de divizibilitate a numerelor naturale, studiate la școală.

Când studiezi acest subiect, trebuie să cunoști conceptele de divizor, numere multiple, prime și compuse.

Împărțitor al unui număr natural A apelați un număr natural b, la care a împărțit fără rest.

Adesea o afirmație despre divizibilitatea unui număr A prin numărul b se exprimă în alte cuvinte echivalente: a este un multiplu al lui b, b este un divizor al lui a, b împarte a.

Numerele prime sunt numere naturale care au doi divizori: 1 și numărul însuși. De exemplu, numerele 5,7,19 sunt prime pentru că sunt divizibile cu 1 și cu el însuși.

Numerele care au mai mult de doi divizori se numesc numere compuse. De exemplu, numărul 14 are 4 divizori: 1, 2, 7, 14, ceea ce înseamnă că este compus.

Acea…..

2.2 Semne de divizibilitate a numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, obținute independent..

Efectuând operațiile de împărțire și înmulțire a numerelor naturale, observând rezultatele acțiunilor, am găsit tipare și am primit următoarele semne de divizibilitate.

Testul de divizibilitate cu 4.

25.4=1 00; 56.4=224; 123.4=492; 125.4=5 00; 2345.4=93 80; 2500·4=100 00;

În timp ce înmulțeam numerele naturale cu 4, am observat că numerele formate din ultimele două cifre ale unui număr sunt divizibile cu 4 fără rest.

Testul de divizibilitate cu 4 arată astfel: Natural h

Testul de divizibilitate cu 6.

Rețineți că 6=2·3 Testul de divizibilitate cu 6: Dacă un număr natural este divizibil atât cu 2, cât și cu 3, atunci este divizibil cu 6.

Exemple:

216 este divizibil cu 2 (se termină cu 6) și divizibil cu 3 (8+1+6=15, 15׃3), ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 6.

Testul de divizibilitate cu 8.

Când am înmulțit un număr natural cu 8, am observat acest model: numerele se termină în trei 0 sau ultimele trei cifre alcătuiesc un număr care este divizibil cu 8.

Deci acesta este semnul. Natural h

Test de divizibilitate cu 15.

Rețineți că 15=3·5

Exemple:

Test de divizibilitate cu 25.

Efectuarea înmulțirii naturale numere diferite la 25 de ani, am văzut următorul model: lucrările se termină în 00, 25, 50, 75.

Deci este firesc Un număr este divizibil cu 25 dacă se termină cu 00, 25, 50, 75.

Testul de divizibilitate cu 50.

Numere divizibile cu 50: 50, 1

Mijloace, Un număr natural este divizibil cu 50 dacă și numai dacă se termină cu două zerouri sau 50.

Dacă la sfârșitul unui număr natural există același număr de zerouri ca și în unitatea de cifre, atunci acest număr este împărțit la această unitate de cifre.

Exemple:

25600 este divizibil cu 100 pentru că numerele se termină cu același număr de zerouri. 8975000 este divizibil cu 1000 deoarece ambele numere se termină cu 000.

Astfel, efectuând operații cu numere și sesând tipare, am formulat semnele de divizibilitate și din literatura suplimentară am găsit confirmarea corectitudinii semnelor pe care le-am formulat pentru divizibilitatea numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50. , 100, 1000.

2.3 Semne de divizibilitate a numerelor naturale cu 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, descrise în diverse surse.

Din literatura suplimentară, am găsit câteva semne de divizibilitate a numerelor naturale cu 7.

P semne de divizibilitate cu 7:

Exemple:

479345 nu este divizibil cu 7, deoarece 479-345=134, 134 nu este divizibil cu 7.

Exemple:

4592 este divizibil cu 7 pentru că 45·2=90, 90+92=182, 182 este divizibil cu 7.

57384 nu e divizibil cu 7, deoarece 573·2=1146, 1146+84=1230,1230 nu este divizibil cu 7

aba

Exemple:

baa

Exemple:

aab

Exemple:

baa

Exemple:

10׃7=1 (ost 3)

100׃7=14 (ost 2)

1000׃7=142 (ost 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (ost 5)

6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7(6-rămâne din împărțirea a 1000 la 7; 2-rămâne din împărțirea a 100 la 7; 3-rămâne din împărțirea a 10 la 7).

Numărul 354722 nu este divizibil cu 7, deoarece... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 nu este divizibil cu 7 (5 este restul împărțirii a 100.000 la 7; 4 este restul împărțirii a 10.000 la 7 6-restul de la împărțirea a 1000 la 7;

Teste de divizibilitate cu 11.

Exemplu:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Exemple:

Testul de divizibilitate cu 12.

Exemple:

Teste de divizibilitate cu 13.

Exemple:

Test de divizibilitate cu 14.

Exemple:

Numărul 35882 este divizibil cu 2 și 7, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 14.

Test de divizibilitate cu 19.

Exemple:

153 4

182 4 182+4·2=190, 190/19, ceea ce înseamnă că numărul este 1824/19.

Teste de divizibilitate cu 37.

Exemplu:

Astfel, în Toate semnele enumerate de divizibilitate a numerelor naturale pot fi împărțite în 4 grupuri:

Grupa 1 - când divizibilitatea numerelor este determinată de ultima (ultimele) cifre - acestea sunt semne de divizibilitate cu 2, cu 5, cu o unitate de cifre, cu 4, cu 8, cu 25, cu 50;

Grupa 2 - când divizibilitatea numerelor este determinată de suma cifrelor numărului - acestea sunt semne de divizibilitate cu 3, cu 9, cu 7 (1 semn), cu 11, cu 37;

Grupa 3 - când se determină divizibilitatea numerelor după efectuarea unor acțiuni asupra cifrelor numărului - acestea sunt semne de divizibilitate cu 7, cu 11, cu 13, cu 19;

Grupa 4 - când se folosesc alte semne de divizibilitate pentru a determina divizibilitatea unui număr - acestea sunt semne de divizibilitate cu 6, cu 12, cu 14, cu 15.

Capitolul 3. Aplicarea testelor de divizibilitate pentru numere naturale la rezolvarea problemelor.

Criteriile de divizibilitate sunt utilizate la găsirea GCD și LCM, precum și la rezolvarea problemelor cu cuvinte folosind GCD și LCM.

Sarcina 1:

Elevii de clasa a V-a au cumpărat 203 manuale. Toți au cumpărat același număr de cărți. Câți elevi de clasa a cincea erau acolo și câte manuale a cumpărat fiecare dintre ei?

Soluţie: Ambele mărimi care trebuie determinate trebuie să fie numere întregi, adică. fii printre divizorii numărului 203. După ce descompunem 203, obținem: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Din motive practice.

Răspuns :

Sarcina 2.

Soluţie:

Răspuns:

Sarcina 3: În clasa a IX-a, 1/7 elevi au primit A la test, 1/3 - B, 1/2 - C. Restul lucrării s-a dovedit a fi nesatisfăcător. Câte astfel de lucrări au existat?

Soluţie:

Relațiile matematice ale problemei presupun că numărul de elevi din clasă este 84, 126 etc. Uman. Dar bunul simț sugerează că cel mai acceptabil răspuns este numărul 42.

Raspuns: 1 job.

Sarcina 4.

Solutie: În prima dintre aceste clase ar putea fi: 17, 34, 51... - numere care sunt multipli ai lui 17. În a doua clasă: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - numere care sunt multipli din 9. Trebuie să alegem 1 număr din prima secvență, iar 2 este un număr din a doua, astfel încât să adună 70. Mai mult, în aceste secvențe doar un număr mic de termeni poate exprima numărul posibil de copii din clasă. Această considerație limitează semnificativ selecția opțiunilor. Singura opțiune posibilă a fost perechea (34, 36).

Răspuns:

Sarcina 5.

Soluţie:

Răspuns:

Sarcina 6. Două autobuze pleacă din aceeași piață pe rute diferite. Unul dintre autobuze durează 48 de minute dus-întors, în timp ce celălalt durează 1 oră și 12 minute. Cât timp va dura ca autobuzele să se reîntâlnească în aceeași piață?

Soluţie:

Răspuns:

Sarcina 7. Având în vedere tabelul:

Răspuns:

Sarcina 8.

Răspuns:

Sarcina 9.

Răspuns:

Astfel, suntem convinși de utilizarea testelor de divizibilitate pentru numerele naturale la rezolvarea problemelor.

Concluzie.

În procesul de lucru, m-am familiarizat cu istoria dezvoltării semnelor de divizibilitate. Ea însăși a formulat corect semnele de divizibilitate a numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, ceea ce a găsit confirmarea din literatura suplimentară. Lucrând cu diferite surse, m-am convins că există și alte semne de divizibilitate a numerelor naturale (cu 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), căa confirmat corectitudinea ipotezeidespre existenţa altor semne de divizibilitate a numerelor naturale.

Din literatura suplimentară am găsit probleme în care se folosesc criteriile de divizibilitate pentru numerele naturale.

Cunoașterea și utilizarea semnelor de mai sus de divizibilitate a numerelor naturale simplifică foarte mult multe calcule și economisește timp; elimină erorile de calcul care pot fi făcute la efectuarea operației de împărțire. Trebuie remarcat faptul că formularea unor semne este destul de complexă. Poate de aceea nu sunt studiati la scoala.

Am alcătuit materialul pe care l-am adunat sub forma unei broșuri care poate fi folosită la orele de matematică sau la orele de cerc de matematică. Profesorii de matematică îl pot folosi atunci când predau acest subiect. De asemenea, recomand colegilor care doresc să afle mai multe despre matematică decât elevul obișnuit să se familiarizeze cu munca mea.

În viitor, puteți lua în considerare următoarele întrebări:

Derivarea semnelor de divizibilitate;

Aflați dacă mai există semne de divizibilitate pe care încă nu am suficiente cunoștințe pentru a le studia?

Lista literaturii utilizate (surse):

Galkin V.A. Probleme pe tema „Criterii de divizibilitate”. // Matematică, 1999.-№5.-P.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. Lucrări extracurriculare la matematică în clasele 6-8 - M.: Educaţie, 1984.
Kaplun L.M. GCD și LCM în probleme. // Matematică, 1999.- Nr. 7. – P. 4-6.
Pelman Ya.I. Matematica este interesanta! – M.: TERRA – Clubul de carte, 2006.
Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician./ Comp. Savin A.P. – M.: Pedagogie, 1989. – P. 352.
Internet

Semne de divizibilitate

La 5.

Dacă numărul se termină cu 0,5.

Pe 2.

Dacă numărul se termină cu 0, 2, 4, 6, 8

Pe 10.

Dacă numărul se termină cu 0

Pe 3 (9).

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3 (9).

Previzualizare:

Răspuns:

Sarcina 8.

Scrieți un număr de nouă cifre care nu are cifre care se repetă (toate cifrele sunt diferite) și care este divizibil cu 11 fără rest. Scrieți cel mai mare dintre aceste numere, cel mai mic dintre ele.

Răspuns: Cel mai mare este 987652413, cel mai mic este 102347586.

Sarcina 9.

Vanya a conceput un număr simplu de trei cifre, ale cărui cifre sunt toate diferite. În ce cifră se poate termina dacă ultima sa cifră este egală cu suma primelor două. Dați exemple de astfel de numere.

Răspuns: Se poate termina doar cu numărul 7. Există 4 astfel de numere: 167, 257, 347, 527.

Testul de divizibilitate cu 2

Dacă un număr natural se termină cu 2, 4, 6, 8, 0, atunci este divizibil cu 2 fără rest.

Testul de divizibilitate cu 5.

Dacă un număr se termină cu 0 sau 5, atunci este divizibil cu 5 fără rest.

Testul de divizibilitate cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3.

Exemple

684: 3, deoarece 6+ 8 + 4 = 18, 18: 3, ceea ce înseamnă numărul: cu 3.

763 nu: pe 3, deoarece 7+6+3=16, 16 nu: cu 3, ceea ce înseamnă 763 nu: cu 3.

Testul de divizibilitate cu 9

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9.

Exemple

765: 9, deoarece 7+6+5=18, 18: 9, ceea ce înseamnă 765: 9

881 nu: on9, deoarece 8+8+1=17, 17 nu: cu 9, ceea ce înseamnă 881 nu: cu 9.

Testul de divizibilitate cu 4.

25.4=1 00; 56.4=224; 123.4=492; 125.4=5 00; 2345.4=93 80; 2500·4=100 00; ...

Natural h Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre sunt 0 sau formează un număr divizibil cu 4.

Testul de divizibilitate cu 6.

Rețineți că 6=2·3 Testul de divizibilitate cu 6:

Dacă un număr natural este divizibil cu 2 și 3, atunci este divizibil cu 6.

Exemple:

816 este divizibil cu 2 (se termină cu 6) și divizibil cu 3 (8+1+6=15, 15׃3), ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 6.

625 nu este divizibil cu 2 sau 3, ceea ce înseamnă că nu este divizibil cu 6.

2120 este divizibil cu 2 (se termină cu 0), dar nu este divizibil cu 3 (2+1+2+0=5, 5 nu este divizibil cu 3), ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 6.

279 este divizibil cu 3 (2+7+9=18, 18:3), dar nu este divizibil cu 2 (se termină cu o cifră impară), ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 6.

Test de divizibilitate cu 7.

eu. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă și numai dacă diferența dintre numărul de mii și numărul exprimat prin ultimele trei cifre este divizibil cu 7.

Exemple:

478009 este divizibil cu 7 pentru că 478-9=469, 469 e divizibil cu 7.

475341 nu este divizibil cu 7, deoarece 475-341=134, 134 nu este divizibil cu 7.

eu. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă suma dublului numărului din zeci și a numărului rămas este divizibil cu 7.

Exemple:

4592 este divizibil cu 7 pentru că 45·2=90, 90+92=182, 182/7.

min, iar celelalte 1 oră 12 minute. Cât timp va dura ca autobuzele să se reîntâlnească în aceeași piață?

Soluţie: NOC(48, 72) = 144 (min). 144 min = 2 ore 24 min.

Răspuns: După 2 ore și 24 de minute autobuzele se vor întâlni din nou în aceeași piață.

Sarcina 7. Având în vedere tabelul:

Scrieți următoarele numere în celulele goale: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Răspuns: Sunt 34 de elevi în clasa I, iar 36 de elevi în clasa a II-a.

Sarcina 5.

Care este cel mai mic număr de cadouri identice care pot fi făcute din 320 de nuci, 240 de bomboane, 200 de mere? Câte nuci, dulciuri și mere vor fi în fiecare cadou?

Soluţie: gcd(320, 240, 200) = 40 (cadouri), atunci fiecare cadou va conține: 320:40 = 8 (nuci); 240: 40 = 6 (bomboane); 200:40 = 5 (mere).

Răspuns: Fiecare cadou contine 8 nuci, 6 bomboane, 5 mere.

Sarcina 6.

Două autobuze pleacă din aceeași piață pe rute diferite. Unul dintre autobuze are o durată dus-întors de 48

57384 nu e divizibil cu 7, deoarece 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 nu este divizibil cu 7.

eu. Număr natural din trei cifre al formularului aba va fi divizibil cu 7 dacă a+b este divizibil cu 7.

Exemple:

252 este divizibil cu 7 deoarece 2+5=7, 7/7.

636 nu este divizibil cu 7 deoarece 6+3=9, 9 nu este divizibil cu 7.

IV. Număr natural din trei cifre al formularului baa va fi divizibil cu 7 dacă suma cifrelor numărului este divizibil cu 7.

Exemple:

455 este divizibil cu 7 deoarece 4+5+5=14, 14/7.

244 nu este divizibil cu 7, deoarece 2+4+4=12, 12 nu este divizibil cu 7.

V. Număr natural din trei cifre al formei aab va fi divizibil cu 7 dacă 2a-b este divizibil cu 7.

Exemple:

882 este divizibil cu 7 deoarece 8+8-2=14, 14/7.

996 nu este divizibil cu 7, deoarece 9+9-6=12, 12 nu este divizibil cu 7.

VI. Număr natural din patru cifre al formularului baa , unde b este un număr din două cifre, va fi divizibil cu 7 dacă b+2a este divizibil cu 7.

Exemple:

2744 este divizibil cu 7 deoarece 27+4+4=35, 35/7.

1955 nu este divizibil cu 7, deoarece 19+5+5=29, 29 nu este divizibil cu 7.

VII. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă și numai dacă rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 7.

Exemple:

483 este divizibil cu 7 deoarece 48-3·2=42, 42/7.

564 nu este divizibil cu 7 deoarece 56-4 2=48, 48 nu este divizibil cu 7.

VIII. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă și numai dacă suma produselor cifrelor numărului cu resturile corespunzătoare obținute prin împărțirea unităților de cifre la numărul 7 este divizibilă cu 7.

Exemple:

10׃7=1 (ost 3)

100׃7=14 (ost 2)

1000׃7=142 (ost 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (ost 5)

1000000׃7=142857 (restul 1) iar restul se repetă din nou.

Numărul 1316 este divizibil cu 7 deoarece... 1· 6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7 (6 este restul împărțirii a 1000 la 7; 2 este restul împărțirii a 100 la 7; 3 este restul împărțirii a 10 la 7).

Numărul de cadouri trebuie să fie un divizor al fiecăruia dintre numerele care exprimă numărul de portocale, dulciuri și nuci și cel mai mare dintre aceste numere. Prin urmare, trebuie să găsim mcd-ul acestor numere. GCD (60, 175, 225) = 15. Fiecare cadou va conține: 60: 15 = 4 – portocale,175: 15 = 11 – nuci și 225: 15 = 15 – bomboane.

Răspuns: Un cadou contine 4 portocale, 11 nuci, 15 bomboane.

Sarcina 3: În clasa a IX-a, 1/7 elevi au primit A la test, 1/3 - B, ½ - C. Restul lucrării s-a dovedit a fi nesatisfăcător. Câte astfel de lucrări au existat?

Soluţie: Soluția problemei trebuie să fie un număr care este un multiplu al numerelor: 7, 3, 2. Să găsim mai întâi cel mai mic dintre aceste numere. LCM (7, 3, 2) = 42. Puteți crea o expresie în funcție de condițiile problemei: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 nereușită.

Problemele de relație matematică presupun că numărul de elevi din clasă este de 84, 126 etc. Uman. Dar bunul simț sugerează că cel mai acceptabil răspuns este numărul 42.

Raspuns: 1 job.

Sarcina 4.

Sunt 70 de elevi în cele două clase împreună. Într-o clasă, 7/17 elevi nu s-au prezentat la ore, iar în alta, 2/9 au primit note excelente la matematică. Câți elevi sunt în fiecare clasă?

Exemple:

25600 este divizibil cu 100 pentru că numerele se termină cu același număr de zerouri.

8975000 este divizibil cu 1000 deoarece ambele numere se termină cu 000.

Sarcina 1: (Utilizare divizori comuniși GCD)

Elevii clasei 5 „A” au cumpărat 203 manuale. Toți au cumpărat același număr de cărți. Câți elevi de clasa a cincea erau acolo și câte manuale a cumpărat fiecare dintre ei?

Soluţie: Ambele mărimi care trebuie determinate trebuie să fie numere întregi, adică. fii printre divizorii numărului 203. După ce descompus 203, obținem:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Din motive practicerezultă că nu pot exista 29 de manuale De asemenea, numărul de manuale nu poate fi egal1, pentru că în acest caz ar fi 203 elevi Asta înseamnă că sunt 29 de elevi de clasa a V-a și fiecare dintre ei a cumpărat 7 manuale.

Răspuns : 29 elevi de clasa a cincea; 7 manuale

Sarcina 2. Sunt 60 de portocale, 165 de nuci și 225 de bomboane. Care cel mai mare număr Din acest stoc se pot face cadouri identice pentru copii? Ce este inclus în fiecare set?

Soluţie:

Testul de divizibilitate cu 8.

125.8=1.000; 242.8=1.936; 512.8=4096; 600.8=4 800; 1234.8=9.872; 122875·8=983.000;…

Natural h Un număr este divizibil cu 8 dacă și numai dacă ultimele sale trei cifre sunt divizibile cu 0 sau formează un număr divizibil cu 8.

Teste de divizibilitate cu 11.

I. Un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare este un multiplu de 11.

Diferența poate fi un număr negativ sau 0, dar trebuie să fie un multiplu al lui 11. Numerotarea merge de la stânga la dreapta.

Exemplu:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nu este un multiplu al lui 11, ceea ce înseamnă că acest număr nu este divizibil cu 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 este multiplu al lui 11, ceea ce înseamnă că acest număr este divizibil cu 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nu este un multiplu al lui 11, ceea ce înseamnă că acest număr nu este divizibil cu 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 este multiplu al lui 11, ceea ce înseamnă că acest număr este divizibil cu 11.

II. Un număr natural este împărțit de la dreapta la stânga în grupuri de câte 2 cifre fiecare și aceste grupuri sunt adăugate. Dacă suma rezultată este un multiplu al lui 11, atunci numărul testat este un multiplu al lui 11.

Exemplu: Stabiliți dacă numărul 12561714 este divizibil cu 11.

Să împărțim numărul în grupuri de câte două cifre fiecare: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 este divizibil cu 11, ceea ce înseamnă că acest număr este divizibil cu 11.

III. Un număr natural de trei cifre este divizibil cu 11 dacă suma cifrelor laterale ale numărului este egală cu cifra din mijloc. Răspunsul va consta din aceleași numere laterale.

Exemple:

594 este divizibil cu 11 deoarece 5+4=9, 9 este la mijloc.

473 este divizibil cu 11 deoarece 4+3=7, 7- la mijloc.

861 nu este divizibil cu 11 deoarece 8+1=9, iar în mijloc există 6.

Testul de divizibilitate cu 12.

Un număr natural este divizibil cu 12 dacă și numai dacă este divizibil cu 3 și 4 în același timp.

Exemple:

636 este divizibil cu 3 și 4, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 12.

587 nu este divizibil cu 3 sau 4, ceea ce înseamnă că nu este divizibil cu 12.

27126 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că nu este divizibil cu 12.

Teste de divizibilitate cu 37.

I. Un număr natural este divizibil cu 37 dacă suma numerelor formate din triplete ale cifrelor acestui număr din notație zecimală divizibil cu 37 în mod corespunzător.

Exemplu: Stabiliți dacă numărul 100048 este divizibil cu 37.

100/048 100+48=148, 148 este divizibil cu 37, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 37.

II. Număr natural de trei cifre scris aceleasi numere divizibil cu 37.

Exemplu:

Numerele 111, 222, 333, 444, 555, ... sunt divizibile cu 37.

Test de divizibilitate cu 25

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă se termină cu 00, 25, 50, 75.

Testul de divizibilitate cu 50.

Numere divizibile cu 50: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,... Se termină fie în 50, fie în 00.

Un număr natural este divizibil cu 50 dacă și numai dacă se termină cu două zerouri sau 50.

Semnul combinat al divizibilității cu 10, 100, 1000, ...

Dacă la sfârșitul unui număr natural există același număr de zerouri ca și în unitatea de cifre, atunci acest număr este împărțit la această unitate de cifre -

unitate nouă.

Teste de divizibilitate cu 13.

I. Un număr natural este divizibil cu 13 dacă diferența dintre numărul de mii și numărul format din ultimele trei cifre este divizibil cu 13.

Exemple:

Numărul 465400 este divizibil cu 13 pentru că... 465 – 400 = 65, 65 împărțit la 13.

Numărul 256184 nu este divizibil cu 13, deoarece... 256 – 184 = 72, 72 nu este divizibil cu 13.

II. Un număr natural este divizibil cu 13 dacă și numai dacă rezultatul scăderii ultimei cifre înmulțite cu 9 din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 13.

Exemple:

988 este divizibil cu 13 deoarece 98 - 9 8 = 26, 26 este împărțit la 13.

853 nu este divizibil cu 13 deoarece 85 - 3 9 = 58, 58 nu este divizibil cu 13.

Test de divizibilitate cu 14.

Un număr natural este divizibil cu 14 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și 7 în același timp.

Exemple:

Numărul 45826 este divizibil cu 2, dar nu este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că nu este divizibil cu 14.

Numărul 1771 este divizibil cu 7, dar nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că nu este divizibil cu 14.

Test de divizibilitate cu 15.

Rețineți că 15=3·5.Dacă un număr natural este divizibil cu 5 și 3, atunci este divizibil cu 15.

Exemple:

346725 este divizibil cu 5 (se termină cu 5) și divizibil cu 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 15.

48732 este divizibil cu 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), dar nu este divizibil cu 5, ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 15.

87565 este divizibil cu 5 (se termină cu 5), dar nu este divizibil cu 3 (8+7+5+6+5=31, 31 nu este divizibil cu 3), ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 15.

Test de divizibilitate cu 19.

Un număr natural este divizibil cu 19 fără rest dacă și numai dacă numărul zecilor lui adăugat la dublul numărului de unități este divizibil cu 19.

Trebuie luat în considerare faptul că numărul zecilor dintr-un număr ar trebui să fie numărat nu după cifra de la locul zecilor, ci numărul total cât zeci în total.

Exemple:

153 4 zeci-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 nu este divizibil cu 19, ceea ce înseamnă că 1534 nu este divizibil cu 19.

182 4 182+4·2=190, 190:19, ceea ce înseamnă numărul 1824: 19.

Liceu GBOU cale ferată Artă. Se încarcă

SEMNELE DE DIVIZIUNE

NATURAL

NUMERE

Compilat de Alina Etkareva.

anul 2013

Testul de divizibilitate cu 2
Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima lui cifră este divizibil cu 2, adică este par.

Testul de divizibilitate cu 3
Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3.

Testul de divizibilitate cu 4
Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale numărului sunt zero sau divizibil cu 4.

Testul de divizibilitate cu 5
Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră este divizibilă cu 5 (adică egală cu 0 sau 5).

Testul de divizibilitate cu 6
Un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și 3.

Test de divizibilitate cu 7
Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 7 (de exemplu, 259 este divizibil cu 7, deoarece 25 - (2 9) = 7 este divizibil. până la 7).

Testul de divizibilitate cu 8
Un număr este divizibil cu 8 dacă și numai dacă ultimele sale trei cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 8.

Testul de divizibilitate cu 9
Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 9.

Test de divizibilitate cu 10
Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă se termină cu zero.

Test de divizibilitate cu 11
Un număr este divizibil cu 11 dacă și numai dacă suma cifrelor alternative este divizibil cu 11 (adică 182919 este divizibil cu 11, deoarece 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 este divizibil cu 11) - o consecință a faptului că toate numerele de forma 10 n atunci când sunt împărțite la 11 lasă un rest de (-1) n .

Testul de divizibilitate cu 12
Un număr este divizibil cu 12 dacă și numai dacă este divizibil cu 3 și 4.

Testul de divizibilitate cu 13
Un număr este divizibil cu 13 dacă și numai dacă numărul zecilor lui adăugat la patru ori numărul unu este un multiplu al lui 13 (de exemplu, 845 este divizibil cu 13, deoarece 84 + (4 5) = 104 este divizibil cu 13. 13).

Test de divizibilitate cu 14
Un număr este divizibil cu 14 dacă și numai dacă este divizibil cu 2 și 7.

Test de divizibilitate cu 15
Un număr este divizibil cu 15 dacă și numai dacă este divizibil cu 3 și 5.

Testul de divizibilitate cu 17
Un număr este divizibil cu 17 dacă și numai dacă numărul zecilor lui, adăugat cu de 12 ori numărul de unități, este multiplu de 17 (de exemplu, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+). 72=102→10+ 24 = 34. Deoarece 34 e divizibil cu 17, atunci 29053 este divizibil cu 17). Semnul nu este întotdeauna convenabil, dar are un anumit sens în matematică. Există o modalitate puțin mai simplă - Un număr este divizibil cu 17 dacă și numai dacă diferența dintre numărul zecilor sale și de cinci ori numărul unităților este un multiplu de 17 (de exemplu, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15 deoarece 15 nu este divizibil cu 17, atunci 32952 nu este divizibil cu 17).

Test de divizibilitate cu 19
Un număr este divizibil cu 19 dacă și numai dacă numărul zecilor lui adăugat la dublul numărului de unități este multiplu de 19 (de exemplu, 646 este divizibil cu 19, deoarece 64 + (6 2) = 76 este divizibil cu 19 ).

Test de divizibilitate cu 23
Un număr este divizibil cu 23 dacă și numai dacă numărul său de sute adăugat la triplul numărului zecilor este un multiplu al lui 23 (de exemplu, 28842 este divizibil cu 23, deoarece 288 + (3 * 42) = 414 continuă 4 + (3 * 14) = 46 este evident divizibil cu 23).

Test de divizibilitate cu 25
Un număr este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre sunt divizibile cu 25 (adică 00, 25, 50 sau 75) sau numărul este un multiplu al lui 5.

Test de divizibilitate cu 99
Să împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (grupul din stânga poate avea o cifră) și să aflăm suma acestor grupuri numărându-le numere cu două cifre. Această sumă este divizibilă cu 99 dacă și numai dacă numărul însuși este divizibil cu 99.

Test de divizibilitate cu 101
Să împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (grupul din stânga poate avea o cifră) și să găsim suma acestor grupuri cu semne alternante, considerându-le numere de două cifre. Această sumă este divizibilă cu 101 dacă și numai dacă numărul însuși este divizibil cu 101. De exemplu, 590547 este divizibil cu 101, deoarece 59-05+47=101 este divizibil cu 101).

Ar putea fi util să citiți: