1 sistem linearnih algebrskih enačb. Sistem linearnih algebrskih enačb

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema pri tečaju linearne algebre. Ogromno problemov iz vseh vej matematike se spušča na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ta članek. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• izberite optimalno metodo za reševanje vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb z upoštevanjem podrobnih rešitev tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej dajmo vse potrebne definicije, koncepte in uvesti oznake.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Po tem bomo prešli na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošni pogled, v kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema singularna. Oblikujmo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (če so združljivi) z uporabo koncepta baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo posvetili strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu bomo obravnavali sisteme enačb, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po strani.

Definicije, pojmi, oznake.

Obravnavali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti členi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika Ta sistem enačb ima obliko,
Kje - glavna matrika sistema, - stolpčna matrika neznanih spremenljivk, - stolpčna matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1)-ti stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk postane identiteta.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem – negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšni SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo enolično rešitev in v primeru homogenega sistema so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v srednji šoli. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

v kateri je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih členov in z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih členov) :

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število enačb v sistemu večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , je matrika A invertibilna, kar pomeni, da obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matričnega stolpca neznanih spremenljivk. Tako smo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb matrična metoda.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem je mogoče SLAE rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebraičnih dodatkov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Ostaja še izračunati matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike v matrični stolpec brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporedne izključitve neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo, in tako naprej, dokler ni samo neznana spremenljivka x n ostane v zadnji enačbi. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem hodu Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, z uporabo te vrednosti iz predzadnje enačbe se izračuna x n-1 in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema stranema druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Zdaj odstranimo x 2 iz tretje enačbe tako, da njeni levi in ​​desni strani dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnoženo z:

S tem se zaključi hod Gaussove metode naprej;

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe poiščemo preostalo neznano spremenljivko in s tem dokončamo obratno Gaussovo metodo.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Na splošno število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in singularna.

Kronecker–Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj neskladen, podaja Kronecker–Capellijev izrek:
Da bi bil sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, tj. , Rank(A)=Rank(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker–Capellijevega izreka za določitev združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Poglejmo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike enak dvema.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A), zato lahko z uporabo Kronecker–Capellijevega izreka sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki je različen od nič osnovni.

Iz definicije bazičnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več baznih minorov;

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p krat n enak r, potem so vsi vrstični (in stolpčni) elementi matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi vrstičnimi (in stolpčnimi) elementi, ki tvorijo osnova manjša.

Kaj nam pove izrek o rangu matrike?

Če smo po Kronecker–Capellijevem izreku ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli bazni minor glavne matrike sistema (njen vrstni red je enak r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrane osnovne podlage. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Rang razširjene matrike je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda je drugačen od nič. Na osnovi Kronecker–Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo minor vzamemo . Sestavljen je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri tvorjenju baznega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo ga s Cramerjevo metodo:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v dobljenem SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, potem na levi strani enačb pustimo člene, ki tvorijo osnovo, manjše, preostale člene pa prenesemo na desne strani enačb. enačbe sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (r izmed njih), ki ostanejo na levi strani enačb, se imenujejo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki so na desni strani prost.

Zdaj verjamemo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo preko prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Poglejmo si na primeru.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Poiščimo rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki meji na ta minor:


Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Za osnovo vzamemo najdeni neničelni minor tretjega reda.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Na levi strani enačb sistema pustimo člene, vključene v bazni mol, ostale pa prenesemo iz nasprotna znamenja na desni strani:


Dajmo prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to pomeni, da sprejmemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko


Rešimo nastali elementarni sistem linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema splošnih linearnih algebrskih enačb najprej določimo njegovo združljivost s Kronecker–Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nekompatibilen.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo bazni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega baznega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani sistemskih enačb pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale izraze prenesemo na desne strani in damo poljubne vrednosti prostih neznanih spremenljivk. Iz dobljenega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznane spremenljivke z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Gaussovo metodo je mogoče uporabiti za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb katere koli vrste, ne da bi jih najprej preizkusili glede skladnosti. Postopek zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z računalniškega vidika je boljša Gaussova metoda.

Pazi natančen opis in analiziral primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku bomo govorili o istočasnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je zbirka (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če linearno neodvisne rešitve homogene SLAE označimo kot X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) so stebrasti matrike dimenzije n z 1), potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), da je,.

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula določa vse možne rešitve prvotni SLAE, z drugimi besedami, če vzamemo kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), po formuli dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE definiramo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo bazni minor izvornega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani sistemskih enačb z nasprotnimi predznaki. Dajmo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti 1,0,0,...,0 in izračunamo glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer z uporabo metode Cramer. To bo povzročilo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam priredimo vrednosti 0.0,...,0.1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Na ta način bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in je partikularna rešitev originalne nehomogene SLAE, ki jo dobimo tako, da prostim neznankam podamo vrednosti ​​0,0,…,0 in izračun vrednosti glavnih neznank.

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo robnih pomorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščimo obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je bil minor drugega reda, različen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dvema. Vzemimo . Za jasnost omenimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega baznega minora pa je enak dvema. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Rešimo jo s Cramerjevo metodo:

Tako,.

Sedaj pa konstruirajmo X (2) . Da bi to naredili, damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 0, x 4 = 1, nato najdemo glavne neznanke iz sistema linearnih enačb
.

Ponovno uporabimo Cramerjevo metodo:

Dobimo.

Tako smo dobili dva vektorja temeljnega sistema rešitev in , zdaj lahko zapišemo splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb:

, kjer sta C 1 in C 2 poljubni števili., so enake nič. Za osnovo vzamemo tudi minor, tretjo enačbo izločimo iz sistema in člene s prostimi neznankami premaknemo na desne strani sistemskih enačb:

Če želite najti, dajmo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 0 in x 4 = 0, potem bo sistem enačb dobil obliko , od koder najdemo glavne neznane spremenljivke z uporabo Cramerjeve metode:

Imamo , torej,

kjer sta C 1 in C 2 poljubni števili.

Upoštevati je treba, da rešitve nedoločenega homogenega sistema linearnih algebrskih enačb generirajo linearni prostor

rešitev.

Kanonična enačba elipsoida v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu ima obliko . Naša naloga je določiti parametre a, b in c. Ker elipsoid poteka skozi točke A, B in C, se mora pri zamenjavi njihovih koordinat v kanonično enačbo elipsoida spremeniti v identiteto. Tako dobimo sistem treh enačb:

Označimo , potem bo sistem postal sistem linearnih algebrskih enačb .

Izračunajmo determinanto glavne matrike sistema:

Ker ni ničelna, lahko rešitev najdemo s Cramerjevo metodo:
). Očitno je, da sta x = 0 in x = 1 korena tega polinoma. Kvocient iz deljenja na je . Tako imamo razširitev in prvotni izraz prevzame obliko .

Uporabimo metodo nedoločenih koeficientov.

Ko izenačimo ustrezne koeficiente števcev, pridemo do sistema linearnih algebrskih enačb . Njena rešitev nam bo dala želene nedoločene koeficiente A, B, C in D.

Rešimo sistem z Gaussovo metodo:

Z uporabo obratne Gaussove metode najdemo D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Dobimo

odgovor:

.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarski panogi matematično modeliranje različne procese. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi desni del ki je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk; lahko jih je poljubno.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ni; vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in ga najti optimalni algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb za splošnoizobraževalni učni načrt za 7. razred je precej preprosto in zelo podrobno razloženo. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Dejanje se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Reševanje tega primera je enostavno in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak To je preverjanje prejetih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neustrezno.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z uporabo algebraičnega seštevanja

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja izvajajo člen za členom seštevanje in množenje enačb z različne številke. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Uporaba te metode zahteva prakso in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi; tudi število neznank ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo z uvedbo nove spremenljivke t možno reducirati 1. enačbo sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminante je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. IN podan primer a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo s seštevanjem.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je sestavljena iz konstruiranja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

Naslednji primer zahteva iskanje grafične rešitve sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne; vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrika je posebna vrsta tabele, napolnjene s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrika-vektor je matrika enega stolpca z neskončno možnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, pri kateri se prvotna matrika spremeni v enotsko matriko; taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja pri delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitev sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk v sistemih z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam s substitucijo in algebrskim seštevanjem, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se za sisteme 3 in 4 enačb uporablja reševanje po Gaussovi metodi. Cilj metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Dijakom je Gaussova metoda težko razumljiva Srednja šola, vendar je eden najzanimivejših načinov za razvijanje iznajdljivosti otrok, vključenih v nadaljevalne učne programe pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.

Morda bi bilo koristno prebrati:

• Tožba za odvzem roditeljskih pravic, vzorec;
• Prodaja stanovanja brez plačila dohodnine;
• Serija "American Crime Story": Farsa, ki temelji na primeru OJ Simpson OJ Simpson sodnik;
• Napovedi o tretji svetovni vojni Napovedi o tem, kdo bo zmagal v 3. svetovni vojni;
• Individualni mesečni horoskop zdravja Horoskop zdravja za vodnarja;
• Možna je komunikacija z onostranstvom Diagnoza - narkolepsija;
• Ovsene in jabolčne palačinke;
• Prosena kaša v večnamenskem kuhalniku Redmond RMC-M70 Prosena kaša v večnamenskem kuhalniku Redmond;