III. Primeri problemov z rešitvami

Razred: 11

Predstavitev za lekcijo

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Namen lekcije:

spodbujati razvoj spretnosti deljenja polinoma s polinomom in uporabe Hornerjeve sheme;
okrepite svoje veščine v preglednicah OpenOffice.org Calc;
organizirati dejavnosti učencev za zaznavanje, razumevanje in začetno pomnjenje novega znanja;
analizirati in dokazati Bezoutov izrek pri reševanju problemske situacije: ali je možno faktorizirati polinom tretje stopnje;
razmislite o uporabi Bezoutovega izreka za reševanje enačb višje stopnje;
spodbujati razvoj logično razmišljanje, pozornost, govor in sposobnost za samostojno delo.

Vrsta lekcije: pouk o uvajanju nove snovi.

Oprema: multimedijski projektor, predstavitev lekcije, računalniška učilnica.

"Da bi izboljšali um, morate več razmišljati kot pa si zapomniti."
Descartes (1596 -1650). Francoski matematik, fizik, filolog, filozof.

Med poukom

jaz. Organiziranje časa

Naša današnja naloga je skupne dejavnosti potrdite besede Descartesa (diapozitiv 1). Tema naše lekcije (diapozitiv 2) "Bezoutov izrek" je tako pomembna, da se uporablja celo v Naloge za enotni državni izpit in razne olimpijade. Bezoutov izrek olajša rešitev številnih problemov, ki vsebujejo enačbe višjih stopenj. Žal se preučuje samo na ravni profila.

II. Nastanek problematične situacije

V tej lekciji se bomo naučili reševati enačbe višjih stopenj, sami pa bomo izpeljali algoritem rešitve.

Reši enačbo: x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0(3. diapozitiv). Pojavi se težava: razumemo, da bi bilo priročno levo stran enačbe predstaviti kot produkt, in ker je produkt enak nič, potem vsak faktor enačimo z nič. Če želite to narediti, morate faktorizirati polinom tretje stopnje. Ampak kako? Ali je možno v našem primeru združiti ali oklepati skupni faktor? (Ne).

III. Posodabljanje referenčnega znanja

Spomnimo se, kako faktoriziramo polinom x 2 - 5x - 6? (Slide 4).

(V skladu s formulo za faktorizacijo kvadratnega trinoma:

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x-x 2), kjer sta x 1 in x 2 korena trinoma).

Poiščite korenine trinoma na dva načina. Kateri?

(z uporabo formule za korenine kvadratne enačbe in Vietovega izreka).

En učenec iz vsake skupine rešuje na tabli. Ostali učenci so v svojih zvezkih. Dobili smo: x 2 - 5x - 6 = (x - 6) (x + 1).

To pomeni, da je trinom deljiv z vsakim od binomov: x – 6 in x + 1.

Bodite pozorni na prosti člen našega trinoma in poiščite njegove delitelje (±1, ±2, ±3, ±6).

Kateri delitelji so koreni trinoma? (-1 in 6)

Kakšen zaključek je mogoče potegniti? (Koreni trinoma so delitelji prostega člena).

IV. Postavljanje hipotez

Kateri monom vam bo torej pomagal najti korenine polinoma?

P(x) = x 3 - 2x 2 - 6x + 4=0?

(brezplačni član).

Zapiši njegove delitelje: ±1; ±2; ±4.

Poiščite polinomske vrednosti za vsak delitelj. Z uporabo preglednic in neposredno:

1. skupina računa v zvezku, druga na računalnikih v OpenOffice.org Calc.

P(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(Pri računanju v preglednicah učenci v celico B2 vpišejo formulo: =A1^3-2*A1^2-6*A1+4. Z označevalcem za samodopolnjevanje dobijo vrednosti polinoma v celotnem stolpcu ).

Kateri delitelj je koren polinoma? (-2)

Tako bo eden od faktorjev v razširitvi x-(-2) = x + 2.

Kako najti druge množitelje?

(Deli "v stolpcu" z binomom x + 2)

Kako drugače je mogoče? (po Hornerjevi shemi). (diapozitiv 5)

Kaj je Hornerjeva shema? ( Hornerjeva shema je algoritem za deljenje polinomov, napisan za poseben primer, ko je delitelj enak binomu x–a).

Izvajamo delitev: prva skupina je "v stolpcu", druga - po Hornerjevi shemi.

Razdeljen brez sledu.

Vrnimo se k enačbi: x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=0

x 2 -2x+2=0 - kvadratna enačba. Reši:

D 1 = 4 – 2 = 2;

Odgovor: -2, .

Ali lahko pride do ostanka pri deljenju? Na to vprašanje bomo odgovorili kasneje. Zdaj poimenujte vrednost polinoma pri x = - 2. (Vrednost je nič).

Upoštevajte, da je x = - 2 koren polinoma, ostanek pri deljenju polinoma z x-(-2) pa je 0.

Considerx=1 – ni koren enačbe.

Poskusimo deliti polinom s x-1. Druga skupina izvaja dolgo deljenje. Prvi po Hornerjevi shemi dopolnjuje tabelo s še eno vrstico.

Torej, x 3 - 2x 2 - 6x + 4 = (x – 1)∙(x 2 - x – 7) – 3.

Upoštevajte, da x=1 ni koren polinoma in je ostanek pri deljenju polinoma z (x-1) enak vrednosti polinoma pri x=1.

Tu je odgovor na vprašanje o preostanku. Da, ostanek je bil dobljen za vrednost x, ki ni koren polinoma.

Nadaljujmo Hornerjevo shemo za preostale delitelje prostega člena. Zdaj naj prva skupina računa na računalniku, druga pa v zvezkih.

V. Dokaz hipoteze

(Slide 6) Opazili ste vzorec glede ostanka. Kateri? (ostanek dobimo za vrednost x, ki ni koren polinoma).

Zapišimo ta vzorec splošni pogled.

Naj bo P(x) polinom in a število.

Dokažimo trditev: Ostanek, ko P(x) delimo z (x - a), je enak P(a).

Dokaz. P(x) delimo z ostankom na (x - a).

Dobimo P(x)= (x - a)Q(x) + R; Po definiciji ostanka je polinom r bodisi enak 0 bodisi ima stopnjo manjšo od stopnje (x - a), tj. manj kot 1. Toda stopnja polinoma je manjša od 1 le, če je enaka 0, zato je v obeh primerih R dejansko število - nič ali nič.

Sedaj nadomestimo vrednost x = a v enakost P(x)= (x - a)Q(x) + R, dobimo P(a)= (a - a)Q(x) + R, P(a) = R, torej R = P(a).

Ta vzorec je opazil tudi matematik Bezout.

Sporočilo študenta

(Slide 7) Etienne Bezu - francoski matematik, član Pariške akademije znanosti (od leta 1758), se je rodil v Nemoursu 31. marca 1730 in umrl 27. septembra 1783. Od leta 1763 je Bezu poučeval matematiko na srednji šoli, od leta 1768 pa v kraljevem topniškem korpusu.

Glavna dela Etienna Bezouta se nanašajo na višjo algebro, posvečena so ustvarjanju teorije za reševanje algebrskih enačb.

V teoriji reševanja sistemov linearne enačbe prispeval je k nastanku teorije determinant, razvil teorijo izločanja neznank iz sistemov enačb višjih stopenj in dokazal izrek (prvi ga je formuliral Maclaurin), da se dve krivulji reda m in n sekata v večini mn točk.

V Franciji in tujini je bil do leta 1848 zelo priljubljen njegov "Tečaj matematike" v šestih zvezkih, ki ga je napisal v letih 1764-69.

Bezout je razvil metodo nedoločenih množiteljev. V elementarni algebri se po njem imenuje metoda za reševanje sistemov enačb, ki temelji na tej metodi.

Del Bezoutovih del je posvečen zunanji balistiki.

Eden od osnovnih izrekov algebre je poimenovan po znanstveniku.

Posledica

Kolikšen mora biti ostanek, da je polinom P(x) deljiv z binomom (x – a)? (enako 0).

Iz Bezoutovega izreka dobimo posledico: Da je polinom P(x) deljiv z binomom (x – a), je nujno in zadostno, da velja enakost P(a) = 0.

VI. Asimilacija naučenega

(Slide 8) Rešite enačbo: x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0.

Celoštevilski koreni polinoma P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 morajo biti delitelji prostega člena, torej so to lahko števila -1, 1, 3, -3.

Izberimo koren po Hornerjevi shemi:

VII. rezultat:

Torej, kaj nam daje Bezoutov izrek? (Slide 9)

Bezoutov izrek omogoča nadaljnje iskanje korenin polinoma, katerega stopnja je za 1 manjša, potem ko smo našli en koren polinoma: če je P(a) = 0, potem je P(x)= (x - a)Q( x) in vse, kar ostane, je rešiti enačbo Q (x) = 0. Včasih s to tehniko - imenujemo jo zmanjšanje stopnje - lahko najdete vse korenine polinoma.

Prej je bil koncept polinoma definiran kot algebraična vsota monomov. Če so vsi podobni monomi polinoma podani in urejeni v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke, se nastali zapis imenuje kanonični zapis polinom.

Opredelitev. Izražanje oblike

Kje x– nekatere spremenljivke, realna števila in , se imenuje polinom stopnje n iz spremenljivke x . stopnja polinoma je največja potenca spremenljivke v njenem kanoničnem zapisu. Če se spremenljivka ne pojavi v zapisu polinoma, tj. je polinom enak konstanti, njegova stopnja se šteje za enako 0. Primer, ko je treba polinom obravnavati ločeno. V tem primeru je splošno sprejeto, da njegova stopnja ni določena.

Primeri. polinom druge stopnje,

polinom pete stopnje.

Opredelitev. Dva polinoma enakače in samo če imajo enake koeficiente v svojih kanoničnih oblikah pri enakih potencah.

Opredelitev. Številka je poklicana koren polinoma, če pri nastavitvi te številke namesto x Polinom ima vrednost 0, tj. Z drugimi besedami, bo koren enačbe

Tako je problem iskanja vseh korenin polinoma in korenin racionalne enačbe en in isti problem.

Racionalne enačbe prve in druge stopnje se rešujejo z znanimi algoritmi. Obstajajo tudi formule za iskanje korenin polinomov tretje in četrte stopnje (Cardanove in Ferrarijeve formule), vendar zaradi svoje okornosti niso vključene v tečaj osnovne matematike.

Splošna ideja iskanja korenin polinomov višjih stopenj je faktoriziranje polinoma in zamenjava enačbe z enakovrednim nizom enačb nižje stopnje.

V prejšnjih temah smo opazili glavne načine faktoriziranja polinomov: vzetje skupnega faktorja; združevanje v skupine; formule za skrajšano množenje.

Vendar pa metoda združevanja v skupine ni algoritemske narave, zato jo je težko uporabiti za polinome velikih stopenj. Oglejmo si nekaj dodatnih izrekov in metod, ki nam omogočajo faktorizacijo polinomov višjih stopenj.

Izrek o deljenju z ostankom. Naj so podani polinomi in je stopnja drugačna od 0, stopnja pa večja od stopnje. Potem obstajajo polinomi, tako da je enakost

Poleg tega se stopinja, ki je manjša od stopnje, imenuje polinom deljivo, polinom delilnik, polinom nepopolno zasebno, in polinom preostanek .

Če je ostanek deljenja 0, potem to rečemo delnice na popolnoma, enakost pa ima obliko:

Algoritem za deljenje polinoma s polinomom je podoben algoritmu za deljenje števila s številom po stolpcu ali kotu. Opišimo korake algoritma.

V črto zapiši dividendo, vključno z vsemi potencami spremenljivke (manjkajoče zapiši s koeficientom 0).

V »kotiček« zapišite dividendo, vključno z vsemi potencami spremenljivke.

Če želite najti prvi člen (monom) v nepopolnem količniku, morate vodilni monom dividende deliti z vodilnim monomom delitelja.

Dobljeni prvi člen količnika pomnožimo s celotnim deliteljem in rezultat zapišemo pod dividendo, enake potence spremenljivke pa zapišemo eno pod drugo.

Dobljeni produkt odštejte od dividende.

Uporabite algoritem za nastali ostanek, začenši s točko 1).

Algoritem je zaključen, ko ima dobljena razlika stopnjo manjšo od stopnje delitelja. To je ostanek.

Primer. Polinom delite z .

Zapisovanje dividende in delitelja

Ponovite postopek

Stopnja je manjša od stopnje delitelja. To je torej ostanek. Rezultat deljenja bo zapisan takole:

Hornerjeva shema.Če je delitelj polinom prve stopnje, lahko postopek deljenja poenostavimo. Razmislite o algoritmu za deljenje polinoma z binomom.

Primer. Polinom razdelite po Hornerjevi shemi. V tem primeru A=2. Zapišimo rezultate izvajanja algoritma korak za korakom.

Prvi korak.

Drugi korak

Tretji korak

Četrti korak

Tako zapišemo rezultat deljenja na naslednji način

Komentiraj.Če morate deliti z binomom

Nato se pretvori v obliko then. Iz tega je jasno, da bomo z deljenjem po Hornerjevi shemi našli želeni količnik, tako da bomo ugotovljeno delili s A. Ostalo ostaja enako.

Bezoutov izrek. Ostanek pri deljenju polinoma z je enak vrednosti polinoma v točki x = A, tj. . Polinom je deljiv z brez ostanka, če in samo če x = A je koren polinoma.

Torej, ko smo našli en koren polinoma A , ga lahko faktorizirate tako, da izberete faktor, ki ima za eno stopnjo manjšo od stopnje. Ta množitelj je mogoče najti s pomočjo Hornerjeve sheme ali z deljenjem z vogalom.

Vprašanje iskanja korena se reši bodisi z izbiro bodisi z uporabo izreka o racionalnih koreninah polinoma.

Izrek. Naj polinom ima celoštevilske koeficiente. Če je nezmanjšani ulomek koren polinoma, potem je njegov števec str je delitelj prostega člena in imenovalec q je delitelj vodilnega koeficienta.

Ta izrek je osnova algoritem za iskanje racionalnih korenin polinom (če obstaja).

Razgradnja algebraičnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov

Opredelitev Ulomek, katerega števec in imenovalec vsebujeta polinome, imenujemo algebrski ulomek .

Poglejmo si algebraične ulomke ene spremenljivke. V splošni obliki jih lahko zapišemo na naslednji način: , kjer števec vsebuje polinom stopnje n, imenovalec je polinom stopnje k. Če , potem se ulomek imenuje pravilno .

TO preprosti algebraični ulomki Obstajata dve vrsti pravilnih ulomkov:

Izrek. Vsak algebrski ulomek lahko predstavimo kot vsoto najpreprostejših algebrskih ulomkov.

Algoritem za razgradnjo algebraičnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov.

Razčlenimo imenovalec.

Določite število pravilnih ulomkov in vrsto njihovih imenovalcev.

Zapiši enačbo, na kateri je na levi strani prvotni ulomek, na desni pa vsota najpreprostejših ulomkov z nedoločenimi koeficienti.

Zmanjšaj ulomke na desni strani na skupni imenovalec.

Izenačite polinome v števcih ulomkov. S pomočjo definicije enakosti polinomov sestavi sistem linearnih enačb in ga reši z iskanjem nedoločenih koeficientov.

Bezoutov izrek, kljub svoji navidezni preprostosti in očitnosti, je eden od osnovnih izrekov teorije polinomov. V tem izreku so algebraične značilnosti polinomov (omogočajo delo s polinomi kot celimi števili) povezane z njihovimi funkcionalne lastnosti(ki omogočajo, da se polinomi obravnavajo kot funkcije).

Bezoutov izrek navaja, da je ostanek pri deljenju polinoma s polinomom .

Koeficienti polinoma ležijo v določenem komutativnem obroču z enoto (na primer v polju realnih ali kompleksnih števil).

Bezoutov izrek - dokaz.

Polinom delimo z ostankom P(x) na polinom (x-a):

Na podlagi dejstva, da deg R(x)< deg (x-a) = 1 - polinom stopnje, ki ni višja od nič. Zamenjamo, saj dobimo .

Vendar ni najpomembnejši izrek, ampak posledica Bezoutovega izreka:

1. Število je koren polinoma P(x) takrat in samo takrat P(x) deljiva z binomom brez ostanka x-a.

Na podlagi tega množica korenin polinoma P(x) je identična množici korenov ustrezne enačbe x-a.

2. Prosti člen polinoma se deli s poljubnim celoštevilskim korenom polinoma s celimi koeficienti (če je vodilni koeficient enak ena, so vsi racionalni koreni celi).

3. Recimo, da je celoštevilski koren zmanjšanega polinoma P(x) s celimi koeficienti. To pomeni, da je za vsako celo število število deljivo z .

Bezoutov izrek omogoča, da po najdbi ene korenine polinoma iščemo še korenine polinoma, katerega stopnja je že za 1 manjša: če , potem je ta polinom P(x) bo videti takole:

Primeri Bezoutovega izreka:

Poiščite ostanek pri deljenju polinoma z binomom.

Primeri rešitev Bezoutovega izreka:

Na podlagi Bezoutovega izreka zahtevani ostanek ustreza vrednosti polinoma v točki. Potem bomo našli , za to zamenjamo vrednost v izraz za polinom namesto . Dobimo:

Odgovori: Ostanek = 5.

Hornerjeva shema.

Hornerjeva shema je algoritem za deljenje (deljenje po Hornerjevi shemi) polinomov, napisan za poseben primer, če je količnik enak binomu.

Sestavimo ta algoritem:

Predpostavimo, da je to dividenda

Količnik (njegova stopnja bo verjetno ena manjša), r- ostanek (ker je deljenje izvedeno s polinomom 1 stopnje, potem bo stopnja ostanka ena manjša, tj. nič, torej je ostanek konstanta).

Po definiciji deljenja z ostankom P(x) = Q(x) (x-a) + r. Po zamenjavi polinomskih izrazov dobimo:

Odpremo oklepaje in izenačimo koeficiente pri enakih potencah, nato pa koeficiente količnika izrazimo preko koeficientov dividenda in delitelja:

Primerno je povzeti izračune v naslednji tabeli:

Označi tiste celice, katerih vsebina je vključena v izračune v naslednjem koraku.

Primeri sheme Horner:

Recimo, da moramo polinom deliti z binomom x-2.

Ustvarimo tabelo z dvema vrsticama. V 1 vrstico izpišemo koeficiente našega polinoma. V drugi vrstici bomo dobili koeficiente nepopolnega količnika po naslednji shemi: najprej prepišemo vodilni koeficient tega polinoma, nato pa, da dobimo naslednji koeficient, zadnjega najdenega pomnožimo z a=2 in seštejte z ustreznim koeficientom polinoma F(x). Najnovejši koeficient bo ostanek, vsi predhodni pa bodo koeficienti nepopolnega količnika.

Število je koren polinoma, če in samo če je deljivo s

Naj bo _ koren polinoma, tj. Delimo s, kjer je stopnja manjša od stopnje, ki je enaka, torej je stopnja enaka, tj. . Pomeni,. Ker iz zadnje enakosti sledi, da je t.j. .

Nasprotno pa naj razdeli, t.j. . Potem.

Posledica. Ostanek pri deljenju polinoma z je enak.

Polinome prve stopnje imenujemo linearni polinomi. Bezoutov izrek kaže, da je iskanje korenin polinoma enakovredno iskanju njegovih linearnih deliteljev z vodilnim koeficientom 1.

Polinom je mogoče razdeliti na linearni polinom z algoritmom deljenja z ostanki, vendar obstaja več priročen način divizijo, znano kot Hornerjeva shema.

Naj in naj, kje. Primerjava koeficientov za iste stopnje neznanke z levo in desni deli zadnja enakost, imamo:

Število imenujemo koren množice polinoma, če se deli, a ne deli več.

Če želite preveriti, ali bo število koren polinoma in kakšna je njegova množičnost, lahko uporabite Hornerjevo shemo. Najprej se deli z, nato pa, če je ostanek nič, se dobljeni količnik deli z itd. dokler ni doseženo stanje, ki ni nič.

Število različnih korenin polinoma ne presega njegove stopnje.

Naslednji glavni izrek je zelo pomemben.

Glavni izrek. Vsak polinom z numeričnimi koeficienti neničelne stopnje ima vsaj en koren (lahko je kompleksen).

Posledica. Vsak polinom stopnje ima v C (množici kompleksnih števil) toliko korenin, kolikor je njegova stopnja, pri čemer vsak koren šteje tolikokrat, kolikor je njegova množica.

kjer je _ korenin, tj. v množici C je vsak polinom razstavljen v produkt linearnih faktorjev. Če združimo iste dejavnike, potem:

kjer so že različne korenine, _ mnogoterost korena.

Če ima polinom z realnimi koeficienti koren, potem je tudi število koren

To pomeni, da ima polinom z realnimi koeficienti kompleksne korenine v parih.

Posledica. Polinom z realnimi koeficienti lihe stopnje ima liho število realnih korenin.

Let in korenine Then je deljeno z in, vendar ker y in št skupni delilniki, potem se razdeli na izdelek.

Izjava 2. Polinom z realnimi stopenjskimi koeficienti se vedno razgradi na množico realnih števil v produkt linearnih polinomov, ki ustrezajo njegovim realnim koreninam, in polinomov 2. stopnje, ki ustrezajo paru konjugiranih kompleksnih korenin.

Pri izračunu integralov racionalnih funkcij bomo morali racionalni ulomek predstaviti kot vsoto najpreprostejših.

Racionalni ulomek je ulomek, kjer sta in polinoma z realnimi koeficienti ter polinom. Racionalni ulomek se imenuje pravi, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. Če racionalni ulomek ni pravi ulomek, ga lahko z deljenjem števca z imenovalcem v skladu s pravilom za deljenje polinomov predstavimo v obliki, kjer sta in sta nekaj polinomov, in je pravi racionalni ulomek.

Lema 1.Če je pravi racionalni ulomek, število pa je pravi koren mnogokratnosti polinoma, tj. in potem obstajata realno število in polinom z realnimi koeficienti, tako da je kje tudi pravi ulomek.

V tem primeru je enostavno pokazati, da je dobljeni izraz racionalen ulomek z realnimi koeficienti.

Lema 2.Če je pravilen racionalen ulomek, število (in sta realna) pa je koren mnogokratnosti polinoma, tj. in, in če, potem obstajajo realna števila in in polinom z realnimi koeficienti, tako da je kje tudi pravi ulomek.

Racionalni ulomki oblike, _ trinom z realnimi koeficienti, ki nima realnih korenin, se imenujejo najenostavnejši (ali elementarni) ulomki.

Vsak pravi racionalni ulomek je mogoče na edinstven način predstaviti kot vsoto preprostih ulomkov.

Pri pridobivanju takšne ekspanzije v praksi se izkaže za priročno tako imenovano metodo nedoločenih koeficientov. Sestavljen je iz naslednjega:

· Za dani ulomek je napisana razširitev, v kateri so koeficienti neznani;
· Nato obe strani enakosti spravimo na skupni imenovalec in izenačimo koeficiente dobljenih polinomov v števcu.

Poleg tega, če je stopnja polinoma enaka, potem v števcu po redukciji na skupni imenovalec dobimo polinom stopnje, tj. polinom s koeficienti.

Tudi število neznank je enako: .

Tako dobimo sistem enačb z neznankami. Obstoj rešitve za ta sistem izhaja iz zgornjega izreka.

Morda bi bilo koristno prebrati: