Tüm sayı sistemleri. Konumsal sayı sistemi

İnsanlar saymaya başlar başlamaz sayıları yazmaya ihtiyaç duymaya başladılar. Arkeologlar, ilkel insanların yerleşim yerlerinde, başlangıçta hemen hemen her miktarın aynı sayıda simgeyle yazıldığına dair kanıtlar buldular: çubuklar, noktalar, çizgiler. Böyle bir sisteme birim (birli) denir. Bu sistemdeki herhangi bir sayı, onu simgeleyen bir işaretin tekrarlanmasıyla yazılır.

Bu sistemin eskiliğine rağmen, bu güne kadar hala kullanılmaktadır; birinci sınıf öğrencilerine çubuklara güvenmeleri öğretilir ve bir askeri okul öğrencisinin şu anda eğitim aldığı kursu belirlemek için, üzerine dikilen şeritlerin sayısı sayılmalıdır. elbise kolu.

Tekli sistem en fazla değil uygun yol sayıların kaydedilmesi, kayıtta çok yer kaplaması ve kaydın monotonluğu hatalara neden olduğundan zamanla daha kullanışlı sayı sistemleri ortaya çıkmaya başladı.

Eski Mısır ondalık sayı sistemi

Eski Mısırlıların çok kullanışlı bir sayı sistemi vardı; anahtar sayılar: 1, 10, 100 vb. Geriye kalan sayılar toplama işlemi kullanılarak yazılmıştır. Bazı sayıların tanımları Şekil 1'de sunulmaktadır.

Sistem şu anda kullanımda değildir.

Roma sayı sistemi

Bu sistem günümüze kadar değişmeden kalmıştır. İki buçuk bin yıldan fazla bir süre önce ortaya çıktı Antik Roma. 1 rakamı için I (parmak), 5 rakamı için V (beş), 10 rakamı için X (iki el) işaretlerine dayanıyordu. Latin isimlerinin ilk harfleri olan 100, 500 ve 1000'i belirtmek için kullanıldı (centum - yüz, demimil - yarım bin, mille - bin). Romalılar sayıları yazmak için Mısırlılar gibi sadece toplamları değil aynı zamanda farklılıkları da kullandılar. Bunu yapmak için basit bir kural uygulandı: Daha büyük bir tabelanın arkasında duran her küçük tabela kendi değerine eklenir ve daha önce duranlar da kendi değerine eklenir. büyük işaret anlamından çıkarılır. Böylece IX, 9'u ve XI, 11'i temsil eder.

Roma rakamları günümüzde hala kullanılmaktadır ve kitapların bölümlerini, alt bölümlerini, yüzyılları adlandırmak için kullanılmaktadır ve ayrıca genellikle saatlerin üzerine de yazılmaktadır.

Alfabetik sayı sistemleri

Bu tür sistemler şunları içerir: Yunanca, Slav, Fince ve diğerleri. Burada 1'den 9'a, 10'dan 90'a ve 100'den 900'e kadar olan sayılar alfabenin harfleriyle belirtiliyordu. İÇİNDE Antik Yunan sayılar Yunan alfabesinin ilk dokuz harfiyle belirtiliyordu. 10'dan 90'a kadar olan sayılar sonraki dokuzdur. Ve 100'den 900'e kadar - Roma alfabesinin son dokuz harfiyle. Slavlar arasında sayısal değerler Harfleri sırayla eşleştirdim. Bunun için önce Glagolitik alfabe, ardından Kiril alfabesi kullanıldı. Rusya'da bu tür numaralandırma 17. yüzyılın sonuna kadar korundu. Daha sonra Peter, bugüne kadar kullandığımız Arapça numaralandırmayı yurt dışından getirdim.

Gösterim - bu, sayıları ve sayılarla ilgili işlemlere karşılık gelen kuralları temsil etmenin bir yoludur. Geçmişte var olan ve günümüzde kullanılan çeşitli sayı sistemleri şu şekilde ayrılabilir: konumsal olmayan Ve konumsal. Sayı yazarken kullanılan işaretler, arandı sayılarla.

İÇİNDE konumsal olmayan sayı sistemleri Bir rakamın anlamı sayı içindeki konumuna bağlı değildir.

Konumsal olmayan sayı sistemine bir örnek Roma sistemidir (Roma rakamları). Roma sisteminde sayı olarak Latin harfleri kullanılır:

Örnek 1. CCXXXII sayısı iki yüz, üç onluk ve iki birimden oluşur ve iki yüz otuz ikiye eşittir.

Romen rakamlarında sayılar soldan sağa doğru azalan sırada yazılır. Bu durumda değerleri birbirine eklenir. Sol tarafa daha küçük, sağ tarafa daha büyük bir sayı yazılırsa değerleri çıkarılır.

Örnek 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Örnek 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

İÇİNDE konumsal sayı sistemleri sayı gösteriminde bir rakamın gösterdiği değer, onun konumuna bağlıdır. Kullanılan basamak sayısına konumsal sayı sisteminin tabanı denir.

Modern matematikte kullanılan sayı sistemi konumsal ondalık sistem. Tabanı ondur çünkü Herhangi bir sayı on rakam kullanılarak yazılır:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bu sistemin konumsal yapısını herhangi bir çok basamaklı sayı örneğini kullanarak anlamak kolaydır. Örneğin, 333 sayısında ilk üç, üç yüz, ikinci - üç onluk, üçüncü - üç birlik anlamına gelir.

Tabanı olan konumsal bir sistemde sayıları yazmak için N Sahip olmalı alfabe itibaren N sayılar Genellikle bunun için N < 10 используют N ilk Arap rakamları ve ne zaman N> 10'dan ona kadar Arap rakamları harfler ekleyin. İşte çeşitli sistemlerin alfabe örnekleri:

Bir numaranın ait olduğu sistemin tabanını belirtmeniz gerekiyorsa, bu numaraya bir alt simge atanır. Örneğin:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Tabanı olan bir sayı sisteminde Q(Q-ary sayı sistemi) basamak birimleri bir sayının ardışık kuvvetleridir Q.Q Herhangi bir kategorinin birimleri bir sonraki kategorinin birimini oluşturur. Bir sayı yazmak için Q-ary sayı sistemi gerekli Q 0, 1, ..., sayılarını temsil eden çeşitli işaretler (rakamlar) Q– 1. Sayı yazma Q V Q-ary sayı sistemi 10 formuna sahiptir.

Sayı yazmanın genişletilmiş biçimi

İzin vermek Kova- temel sistemdeki numara Q, ai- numara kaydında mevcut olan belirli bir sayı sisteminin rakamları A, N+ 1 - sayının tam sayı kısmının basamak sayısı, M- sayının kesirli kısmının basamak sayısı:

Sayının genişletilmiş biçimi A formda bir kayıt denir:

Örneğin ondalık bir sayı için:

Aşağıdaki örnekler onaltılık ve ikili sayıların genişletilmiş biçimini göstermektedir:

Herhangi bir sayı sisteminde tabanı 10 olarak yazılır.

Ondalık olmayan bir sayının genişletilmiş biçimindeki tüm terimler ondalık sistemde temsil edilirse ve elde edilen ifade ondalık aritmetik kurallarına göre hesaplanırsa, ondalık sistemde verilen sayıya eşit bir sayı elde edilecektir. Bu prensip, ondalık olmayan sistemden ondalık sisteme dönüştürmek için kullanılır. Örneğin yukarıda yazılan sayıların ondalık sisteme dönüştürülmesi şu şekilde yapılır:

Ondalık sayıları diğer sayı sistemlerine dönüştürme

Tamsayı dönüşümü

Tam ondalık sayı X temelli bir sisteme dönüştürülmesi gerekiyor. Q:X= (A N A n-1 …A 1 A 0)q. Bulmak gerek önemli rakamlar sayılar: . Sayıyı genişletilmiş biçimde temsil edelim ve aynı dönüşümü gerçekleştirelim:

Bundan açıkça görülüyor ki A 0 bir sayıyı bölerken kalan olur X sayı başına Q. Parantez içindeki ifade bu bölümün tam sayı bölümüdür. şununla belirtelim X 1. Benzer dönüşümleri gerçekleştirerek şunu elde ederiz:

Buradan, A 1 bölümün kalanıdır X başına 1 Q. Kalanla bölmeye devam ederek istenen sayının bir dizi rakamını elde edeceğiz. Sayı BİR bu bölüm zincirinde son bölüm olacak, ne kadar küçükse Q.

Ortaya çıkan kuralı formüle edelim: bunun için tamsayılı bir ondalık sayıyı farklı tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için ihtiyacınız olan şey:

1) yeni sayı sisteminin temelini ondalık sayı sisteminde ifade edin ve sonraki tüm işlemleri ondalık aritmetik kurallarına göre gerçekleştirin;

2) verilen sayıyı ve elde edilen tamamlanmamış bölümleri, bölenden daha küçük bir tamamlanmamış bölüm elde edene kadar yeni sayı sisteminin tabanına sırayla bölün;

3) sayının rakamları olan ortaya çıkan bakiyeler yeni sistem sayıları yeni sayı sisteminin alfabesine uygun hale getirin;

4) yeni sayı sisteminde son bölümden başlayarak bir sayı yazın.

Örnek 1. 37 10 sayısını ikiliye dönüştürün.

Bir sayıdaki rakamları belirtmek için sembolizmi kullanırız: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

Buradan: 37 10 = 10010l 2

Örnek 2. 315 ondalık sayısını sekizlik ve onaltılık sistemlere dönüştürün:

Şu şekildedir: 315 10 = 473 8 = 13B 16. 11 10 = B 16 olduğunu hatırlayın.

Ondalık kesir X< 1 требуется перевести в систему с основаниемQ:X= (0,A –1 A –2 …A–m+1 A–m)q. Sayının anlamlı rakamlarını bulmamız gerekiyor: A –1 ,A –2 , …,A-M. Sayıyı genişletilmiş biçimde hayal edelim ve onu çarpalım Q:

Bundan açıkça görülüyor ki A–1 işin bir kısmı var X sayı başına Q. ile belirtelim X 1 ürünün kesirli kısmı ve bunu çarpın Q:

Buradan, A –2 işin bir kısmı var X numara başına 1 Q. Çarpmaya devam ederek bir sayı dizisi elde edeceğiz. Şimdi bir kural oluşturalım: Ondalık kesri farklı tabanlı bir sayı sistemine dönüştürmek için ihtiyacınız olan şey:

1) verilen sayıyı ve çarpımların elde edilen kesirli kısımlarını, ürünün kesirli kısmı sıfıra eşit olana veya yeni sayı sisteminde sayıyı temsil etmek için gerekli doğruluk elde edilene kadar yeni sayı sisteminin tabanıyla art arda çarpın;

2) Yeni sayı sistemindeki sayının rakamları olan eserlerin ortaya çıkan tam sayı kısımlarını yeni sayı sistemi alfabesine uygun hale getirmek;

3) Yeni sayı sisteminde sayının kesirli kısmını, ilk çarpımın tamsayı kısmından başlayarak oluşturur.

Örnek 3. 0,1875 ondalık kesirini ikili, sekizli ve onaltılık sistemlere dönüştürün.

Burada sol sütun sayıların tam sayı kısmını, sağ sütun ise kesirli kısmını içermektedir.

Dolayısıyla: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Karışık sayıları dönüştürme tamsayı ve kesirli kısımları içeren hesaplama iki aşamada gerçekleştirilir. Orijinal sayının tamsayı ve kesirli kısımları uygun algoritmalar kullanılarak ayrı ayrı çevrilir. Yeni sayı sisteminde bir sayının son kaydında tam sayı kısmı kesir kısmından virgül (nokta) ile ayrılmaktadır.

İkili hesaplamalar

John von Neumann ilkesine göre bir bilgisayar hesaplamaları İkili sistem Hesaplaşma. Temel ders çerçevesinde kendimizi ikili tamsayılarla hesaplamaları dikkate almakla sınırlamak yeterlidir. Çok basamaklı sayılarla hesaplama yapmak için tek basamaklı sayıların toplama ve çarpma kurallarını bilmeniz gerekir. Kurallar şunlardır:

Toplama ve çarpma işlemlerinin değiştirilebilirliği ilkesi tüm sayı sistemlerinde çalışır. İkili sistemde çok basamaklı sayılarla hesaplama yapma teknikleri ondalık sisteme benzer. Yani ikili sistemde toplama, çıkarma, “sütun” ile çarpma ve “köşe” ile bölme işlemleri ondalık sistemde olduğu gibi gerçekleştirilir.

İkili sayılarda çıkarma ve bölme kurallarına bakalım. Çıkarma işlemi toplama işleminin tersidir. Yukarıdaki toplama tablosundan çıkarma kuralları şöyledir:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Çok basamaklı sayıların çıkarılmasına bir örnek:

Elde edilen sonuç, çıkan sonuca fark eklenerek kontrol edilebilir. Sonuç azalan bir sayı olmalıdır.

Bölme çarpmanın ters işlemidir. Hiçbir sayı sisteminde 0'a bölünemez. 1'e bölmenin sonucu temettüye eşittir. İkili bir sayıyı 10 2'ye bölmek, ondalık sayıyı ona bölmeye benzer şekilde, ondalık basamağı bir basamak sola kaydırır. Örneğin:

100'e bölme virgülünü 2 basamak sola kaydırır, vb. Temel kursta, çok basamaklı ikili sayıları bölmeye ilişkin karmaşık örnekleri düşünmeniz gerekmez. Yetenekli öğrenciler genel ilkeleri anlayarak bunlarla baş edebilirler.

Bilgisayar belleğinde saklanan bilgilerin gerçek ikili formda temsil edilmesi, rakam sayısının fazla olması nedeniyle oldukça zahmetlidir. Bu, bu tür bilgilerin kağıda kaydedilmesi veya ekranda gösterilmesi anlamına gelir. Bu amaçlar için, karışık ikili-sekizli veya ikili-onaltılık sistemlerin kullanılması gelenekseldir.

Bir sayının ikili ve onaltılı gösterimi arasında basit bir ilişki vardır. Bir sayıyı bir sistemden diğerine dönüştürürken, bir onaltılık basamak, dört basamaklı bir ikili koda karşılık gelir. Bu yazışma ikili-onaltılık tabloya yansıtılmıştır:

İkili onaltılık tablo

Bu bağlantı 16 = 2 4 olmasına ve 0 ve 1 sayılarının dört basamaklı farklı kombinasyonlarının sayısının 16: 0000'den 1111'e kadar olması gerçeğine dayanmaktadır. Dolayısıyla sayıların onaltılıdan ikiliye ve tam tersi şekilde dönüştürülmesi resmi dönüşüm yoluyla yapılırikili onaltılık tabloya göre.

İşte 32 bit ikiliyi onaltılıya dönüştürmenin bir örneği:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Dahili bilginin onaltılık gösterimi verilirse, bunu ikili koda dönüştürmek kolaydır. Onaltılık gösterimin avantajı ikili gösterimden 4 kat daha kısa olmasıdır.. Öğrencilerin ikili-onaltılı tabloyu ezberlemeleri tavsiye edilir. O zaman gerçekten de onlar için onaltılık gösterim ikili gösterime eşdeğer hale gelecektir.

İkili sekizli sistemde, her sekizli basamak bir ikili basamak üçlüsüne karşılık gelir. Bu sistem ikili kodu 3 kat azaltmanıza olanak tanır.

Laboratuvar çalışması 1. “Sayı sistemleri”

Sayı sistemi, belirli bir özel karakter kümesini (sayıları) kullanarak sayı yazma kurallarıdır.

İnsanlar sayıları yazmanın çeşitli yollarını kullandılar ve bunları birkaç grupta birleştirebilirler: tekli, konumsal olmayan ve konumsal.

İlk ikisi, günümüzde çok sınırlı bir uygulamaya sahip oldukları için oldukça tarihsel öneme sahiptir.

Tekli sayı sistemi

Tekli gösterim sayıları kaydetmek için yalnızca bir işaretin kullanıldığı bir sayı sistemidir - 1 ("çubuk").

Bir sonraki sayı, bir önceki sayıya yeni bir 1 eklenerek elde edilir; sayıları (toplamları) sayının kendisine eşittir.

Çocuklara saymayı ilk kez öğretmek için kullanılan tam da bu sistemdir (“sayma çubuklarını” hatırlayabilirsiniz).

Başka bir deyişle, tekli sistemin kullanımı, çocukları sayılar ve işlemler dünyasıyla tanıştırmak için önemli bir pedagojik teknik olarak ortaya çıkıyor.

Konumsal olmayan gösterim

Konumsal olmayan sayı sistemi - Belirli bir miktarı ifade eden simgelerin, sayının görüntüsündeki konumuna (konumuna) bağlı olarak anlamlarını değiştirmediği bir sistem.

İtibaren konumsal olmayan En yaygın olanı Roma sayı sistemidir.

İçinde bazı temel sayılar büyük Latin harfleriyle belirtilmiştir:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

Diğer tüm sayılar temel sayıların birleşiminden oluşturulur ve:

    soldaki rakam sağdaki rakamdan küçükse soldaki rakam sağdan çıkarılır;

    sağdaki sayı soldaki sayıdan küçük veya ona eşitse bu sayılar toplanır;

Böyle bir sistemde sayıları yazmak hantal ve zahmetlidir, ancak daha da zahmetli olanı, en basit aritmetik işlemleri bile bu sistemde gerçekleştirmektir.

Son olarak, sıfırın ve M'den büyük sayılar için işaretlerin bulunmaması, herhangi bir sayının (hatta bir doğal sayının) Roma rakamlarıyla yazılmasına izin vermez. Bu sistem numaralandırma için kullanılır.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemleri, bir sayının görüntüsündeki her basamağın değerinin, diğer basamaklar dizisindeki konumu (konumu) ile belirlendiği sistemlerdir.

Sıralı karakter kümesi (sayılar) (A 0 , A v ..., A P ), Belirli bir konumsal sayı sistemindeki herhangi bir sayıyı temsil etmek için kullanılan şeye denir. alfabe, alfabedeki karakter (rakam) sayısı R= n + 1 - o temel, ve sayı sisteminin kendisi denir R-zengin.

Temel konumsal sayı sistemi - belirli bir sayı sistemindeki sayıları temsil etmek için kullanılan farklı basamakların sayısı.

Bizim için en tanıdık sayı sistemi ondalık sayı sistemidir. Alfabesi (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9) ve tabanıdır p = 10 yani bu sistemde herhangi bir sayıyı yazmak için yalnızca on farklı simge (rakam) kullanılır. Ondalık sayı sistemi, her rakamın 10 biriminin, bitişik en yüksek rakamın bir biriminde birleştirildiği, böylece her rakamın 10'un üssüne eşit bir ağırlığa sahip olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Bu nedenle, aynı rakamın değeri şu şekilde belirlenir: sayı görüntüsündeki konumu 10'un kuvvetleri ile karakterize edilir. Örneğin 222.22 sayısının görselinde 2 sayısı 5 kez tekrarlanırken, soldaki ilk 2 sayısı yüzler sayısını ifade etmektedir (ağırlığı 10 2); ikincisi onlar sayısı (ağırlığı 10 1), üçüncüsü birim sayısı (ağırlığı 10 0), dördüncüsü bir birimin onda biri sayısı (ağırlığı 10 -1) ve beşinci rakam, bir birimin yüzde biri sayısıdır (ağırlığı 10 -2'dir), yani 222.22 sayısı, 10 sayısının kuvvetlerine genişletilebilir:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2.

Benzer şekilde 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304.5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2.

Genel olarak görev için R-zengin sayı sisteminde tabanı belirlemek gerekir R ve aşağıdakilerden oluşan bir alfabe Rçeşitli karakterler (sayılar) A R Ben = 1,...,R.

Herhangi bir numara X P sayıların kuvvetlerine göre genişletilerek bir polinom olarak temsil edilebilir P:

bir sayının kısaltılmış hali olan katsayılar dizisi X P :

Sayının tamsayı kısmını kesirli kısmından ayıran nokta, bu sayı dizisindeki her konumun spesifik değerlerini sabitlemeye yarar ve başlangıç ​​noktasıdır.

Sayıları dönüştürme yöntemleri. Sayıların temsili çeşitli sistemlerölü hesaplaşma

Tercümebir sayı sisteminden diğerine sayılar

Aynı sayı farklı sayı sistemlerinde yazılabilir.

Algoritmatamsayıları dönüştürme Q -zengin sistem P -zengin, q > p için

Orijinal numarayı değiştirmek içinX Q eşit sayıX P kurallara göre gerekliQ-zengin aritmetik bölme tamsayıX Q yeni bir temeldeP. Sondan birinciye doğru yazılan bölme sonuçları X rakamları olacaktır. P .

Polinomun katsayıları bilinmediğinden bunları a i olarak gösteririz; şunu elde ederiz:

Genellikle açıklanan prosedür, okulda tanıdık olan bir bölme işlemi şeklinde sunulur:

Böylece X 5 =443 elde ettik.

Çevirinin doğruluğunu kontrol ediyoruz: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10.

Dikkat etmeniz gereken ikinci şey ise tüm işlemler çevirinin yapıldığı sayı sisteminin aritmetik kurallarına göre gerçekleştirildi(dikkate alınan örnekte - ondalık sayı).

Tamsayıları dönüştürmek için algoritma Q -zengin sistem P -zengin, q için< p

Çevirmek için bir numara vermeniz gerekiyorX Q P-zengin aritmetik.

X 6  X 10 , X = 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Yukarıdaki algoritmaların, bir sayıyı ondalık sistemden diğerine veya tam tersi şekilde dönüştürürken kullanılması uygundur.

Ayrıca diğer sayı sistemleri arasında çeviri için de çalışırlar, ancak böyle bir çeviri, tüm aritmetik işlemlerin kaynağın (ilk algoritmada) veya nihai (ikinci algoritmada) kurallarına göre yapılması gerektiği gerçeği nedeniyle karmaşık hale gelecektir. ) sistemi.

Bu nedenle geçişin, örneğin X 3  X 8'in, 10. sistem X 3  X 10  X 8'e bir ara geçiş yoluyla gerçekleştirilmesi daha kolaydır.

Q > p için uygun kesirleri dönüştürme algoritması

0,X q doğru kesirini dönüştürmenin sonucu aynı zamanda 0,X p doğru kesri olacaktır; orijinal kesirin yeni bazla çarpılmasıyla elde edilirPkurallara göreQ-zengin aritmetik; ortaya çıkan çarpımın tam sayı kısmı yeni kesrin en yüksek rakamı olacaktır; ortaya çıkan ürünün kesirli kısmı tekrar çarpılmalıdır.Pvesaire.

Örnek: 0.X 10  0.X 2. 0.X=0.375 10

Daha sonra 0,X 2 elde etmek için:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Böylece 0,375 10 = 0,011 2 olur.

Kontrol edin 0,011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0,25+1,125=0,375 10

Q için uygun kesirleri dönüştürme algoritması< p

Çeviri içinX Q X P numara sağlanmalıdırX Q polinom formunda ve tüm işlemleri kurallara göre gerçekleştirinP-zengin aritmetik.

Örnek: X 6  X 10, X 6 =0,234 6

Bunun için

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Kontrol ediyoruz:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (ir elde edilmesi durumunda hesaplama hatası rasyonel sayılar}

Örnek: X 2  X 10, X=0,10101 2

Bunun için

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Kontrol ediyoruz:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0 . Bu doğru

Sayıları sayı sistemleri arasında dönüştürme 2 – 8 – 16

Bu sayı sistemlerinde sayıların görüntülenmesine örnekler Tablo 1'de verilmiştir.

Tablo 1. Sayı sistemleri

ondalık

ikili

ondalık

ikili

Tamsayı ikili sayıyı taban sayı sistemine dönüştürmek içinP = 2 R verilen ikili sayıyı en az anlamlı basamaktan başlayarak gruplara bölmek yeterlidir.Rher sayıyı ve her grubu bağımsız olarak sisteme çevirinP.

Örneğin 110001 2 sayısını p=8 sayı sistemine dönüştürmek için orijinal sayıyı sağdan sola doğru üç basamaklı gruplara bölüp (8 = 2 3 dolayısıyla r = 3) çevirmeniz gerekir. sekizli sayı sistemi: 110001 2 =61 8 . 110001 2 =32+16+1=49 10, 6*8 1 +1*8 0 =49 10'u kontrol ediyoruz

Benzer şekilde, ikili rakamları 4'lü gruplara bölerek 110001 2 = 31 16 elde ederiz.

Taban sayı sisteminde yazılmış bir tam sayıyı dönüştürmek içinP = 2 R İkili sistemde, orijinal sayının her basamağını bağımsız olarak karşılık gelen sayıyla değiştirmek yeterlidir.R-bit ikili sayı, gerekirse önemsiz sıfırlarla bir gruba eklenirRsayılar

Örnek: ikili sayı sisteminde D3 16 sayısını hayal edin:

Örnek, 123 8 = 001010011 2 = 53 16.

Bağımsız tamamlama için görevler

    p-ary sayı sistemindeki X p sayısını, q-ary sayı sistemindeki X q sayısına dönüştürün

    X 5  X 10, burada X 5 =123

    X 3  X 10, burada X 3 =102

    X 10  X 4, burada X 10 =123

    X 10  X 6, burada X 10 =548

    X 5  X 3, burada X 3 =421

    X 2  X 6, burada X 2 =0111001

    X 2  X 16, burada X 2 =10011

    X 2  X 8, burada X 2 =101010

    X 16  X 2, burada X 16 =AD3

    X 8  X 2, burada X 8 =5470

II. Ondalık sayıyı ikili sayıya dönüştürün:

    743 10 , b) 334.12 10 , c) 61.375, d) 160.25 10 , e) 131.82 10

III. Ondalık sayıyı onaltılık sayıya dönüştürün:

    445 10 , b) 334.12 10 , c) 261.375, d) 160.25 10 , e) 131.82 10

Birim (tekli) sayı sistemi Sayı sistemlerinin listesi

Gösterim:

  • bir sayı kümesinin (tamsayılar ve/veya gerçek sayılar) temsillerini verir;
  • her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;
  • sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtır.

Sayı sistemleri ikiye ayrılır konumsal, konumsal olmayan Ve karışık.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemlerinde, bir sayının gösteriminde aynı sayısal işaret (rakam) vardır. Farklı anlamlar bulunduğu yere (kategoriye) bağlı olarak. Rakamların yer anlamına dayalı konumsal numaralandırmanın icadı Sümerlere ve Babillilere atfedilir; Bu tür numaralandırma Hindular tarafından geliştirildi ve insan uygarlığı tarihinde çok değerli sonuçlar doğurdu. Bu tür sistemler, ortaya çıkışı parmak sayımıyla ilişkili olan modern ondalık sayı sistemini içerir. İÇİNDE Ortaçağ avrupasıİtalyan tüccarlar aracılığıyla ortaya çıktı ve onlar da onu Müslümanlardan ödünç aldılar.

Konumsal sayı sistemi genellikle, adı verilen bir tamsayı tarafından belirlenen -zengin sayı sistemini ifade eder. temel sayı sistemleri. -ary sayı sistemindeki işaretsiz bir tam sayı, bir sayının kuvvetlerinin sonlu doğrusal birleşimi olarak temsil edilir:

tamsayılar nerede çağrılır sayılarla, eşitsizliği tatmin etmek.

Böyle bir gösterimdeki her dereceye sıra ağırlığı denir. Rakamların ve bunlara karşılık gelen rakamların kıdemi, göstergenin değerine (rakam numarası) göre belirlenir. Tipik olarak sıfır olmayan sayılarda soldaki sıfırlar atlanır.

Herhangi bir tutarsızlık yoksa (örneğin, tüm sayılar benzersiz yazılı karakterler biçiminde sunulduğunda), sayı, soldan sağa, sayıların azalan önceliğine göre sıralanan alfasayısal basamakların bir dizisi olarak yazılır:

Örneğin sayı yüz üç ondalık sayı sisteminde şu şekilde temsil edilir:

Şu anda en çok kullanılan konumsal sistemler şunlardır:

Konumsal sistemlerde, sistemin tabanı ne kadar büyük olursa, sayı yazarken gereken rakam sayısı (yani yazılı rakamlar) o kadar az olur.

Karışık sayı sistemleri

Karışık sayı sistemi-zengin sayı sisteminin bir genellemesidir ve sıklıkla konumsal sayı sistemlerine de atıfta bulunur. Karışık sayı sisteminin temeli artan bir sayı dizisidir ve içindeki her sayı doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilir:

katsayıların daha önce olduğu gibi çağrıldığı yer sayılarla bazı kısıtlamalar geçerlidir.

Karışık sayı sisteminde bir sayı yazmak, rakamlarının sıfırdan farklı olan ilk rakamdan başlayarak azalan indeks sırasına göre listelenmesidir.

Fonksiyon olarak türüne bağlı olarak karışık sayı sistemleri kuvvet, üstel vb. olabilir. Bazıları için karışık sayı sistemi üstel-zengin sayı sistemiyle çakışır.

Karışık sayı sisteminin en ünlü örneği, zamanın gün, saat, dakika ve saniye sayısı olarak temsil edilmesidir. Bu durumda “gün, saat, dakika, saniye” değeri saniye değerine karşılık gelir.

Faktöriyel sayı sistemi

İÇİNDE faktöriyel sayı sistemi bazlar bir faktöriyel dizisidir ve her doğal sayı şu şekilde temsil edilir:

, Nerede .

Faktoriyel sayı sistemi şu durumlarda kullanılır: ters çevirme listeleriyle permütasyonların kodunun çözülmesi: permütasyon numarasına sahip olarak, bunu şu şekilde çoğaltabilirsiniz: sayıdan bir eksik olan bir sayı (numaralandırma sıfırdan başlar) faktöriyel sayı sistemine yazılır ve sayının katsayısı i! permütasyonların yapıldığı kümedeki i+1 elemanının ters çevrilme sayısını gösterecektir (i+1'den küçük ancak istenen permütasyonda onun sağında yer alan elemanların sayısı)

Örnek: 5 elementten oluşan bir permütasyon kümesi düşünün, toplamda 5 tane var! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) numaralı permütasyondan 119 - (5,4,3,2,1) numaralı permütasyona kadar), 101'inci permütasyonu bulalım: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; i! sayısının katsayısı ti olsun, o zaman t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, o zaman: 5'ten küçük ancak sağda yer alan eleman sayısı 4; 4'ten küçük ancak sağda bulunan öğelerin sayısı 0'dır; 3'ten az fakat sağda yer alan elemanların sayısı 2'dir; 2'den küçük ancak sağda bulunan elemanların sayısı 0'dır (permütasyondaki son eleman kalan tek yere "koyulur") - böylece 101'inci permütasyon şöyle görünecektir: (5,3,1,2 ,4) Bu yöntemin kontrolü, permütasyonun her bir elemanı için ters çevirmelerin doğrudan sayılmasıyla gerçekleştirilebilir.

Fibonacci sayı sistemi Fibonacci sayılarına dayanmaktadır. Her doğal sayı şu biçimde temsil edilir:

, Fibonacci sayıları nerede ve katsayılar sonlu sayıda bire sahip ve arka arkaya iki bir yok.

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde bir rakamın ifade ettiği değer, sayı içindeki konumuna bağlı değildir. Bu durumda sistem, örneğin sayıların azalan sırada düzenlenmesi için sayıların konumuna kısıtlamalar getirebilir.

Binom sayı sistemi

Binom katsayılarını kullanarak temsil

, Nerede .

Artık Sınıf Sistemi (RSS)

Kalıntı sınıfı sisteminde sayının temsili, kalıntı kavramına ve Çin kalan teoremine dayanmaktadır. RNS, bir dizi nispeten asal sayı tarafından belirlenir. modüllerürünle, segmentteki her bir tamsayı bir kalıntı kümesiyle ilişkilendirilecek şekilde ilişkilendirilir; burada

…

Aynı zamanda Çin kalan teoremi aralıktaki sayıların temsilinin benzersizliğini garanti eder.

RNS'de aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), sonucun bir tam sayı olduğu biliniyorsa ve aynı zamanda içinde yer alıyorsa bileşen bazında gerçekleştirilir.

RNS'nin dezavantajları, yalnızca sınırlı sayıda sayıyı temsil etme yeteneğinin yanı sıra, RNS'de temsil edilen sayıları karşılaştırmak için etkili algoritmaların bulunmamasıdır. Karşılaştırma genellikle argümanların RNS'den karma taban sayı sistemine çevrilmesi yoluyla gerçekleştirilir.

Stern – Brocot sayı sistemi- Stern-Brocot ağacını temel alan pozitif rasyonel sayıları yazmanın bir yolu.

Farklı ulusların sayı sistemleri

Birim numarası sistemi

Görünen o ki, kronolojik olarak her milletin sayma konusunda ustalaşmış ilk sayı sistemi. Doğal sayı aynı işaretin (çizgi veya nokta) tekrarlanmasıyla gösterilir. Örneğin, 26 sayısını tasvir etmek için 26 çizgi çizmeniz (veya bir kemik, taş vb. Üzerine 26 çentik açmanız gerekir). Daha sonra algılama kolaylığı açısından büyük sayılar Bu işaretler üçlü veya beşli gruplar halinde gruplandırılmıştır. Daha sonra eşit hacimli işaret grupları, bazı yeni işaretlerle değiştirilmeye başlar - gelecekteki sayıların prototipleri bu şekilde ortaya çıkar.

Eski Mısır sayı sistemi

Babil sayı sistemi

Alfabetik sayı sistemleri

Alfabetik sayı sistemleri eski Ermeniler, Gürcüler, Yunanlılar (İyonik sayı sistemi), Araplar (abjadia), Yahudiler (gematria'ya bakın) ve Orta Doğu'nun diğer halkları tarafından kullanılıyordu. Slav ayin kitaplarında Yunan alfabetik sistemi Kiril harflerine çevrildi.

Yahudi sayı sistemi

Yunan sayı sistemi

Roma sayı sistemi

Neredeyse konumsal olmayan sayı sisteminin kanonik örneği, sayı olarak Latin harflerini kullanan Roma sistemidir:
Ben 1'i temsil ediyorum,
V-5,
X - 10,
L - 50,
C-100,
D-500,
M-1000

Örneğin II = 1 + 1 = 2
burada I sembolü sayı içindeki yerine bakılmaksızın 1'i temsil etmektedir.

Aslında Roma sistemi tamamen konumsal olmayan bir sistem değildir, çünkü büyük olandan önce gelen daha küçük rakam ondan çıkarılır, örneğin:

IV = 4 iken:
VI = 6

Maya sayı sistemi

Ayrıca bakınız

Notlar

Bağlantılar

  • Gashkov S.B. Sayı sistemleri ve uygulamaları. - M .: MTsNMO, 2004. - (Kütüphane “Matematik Eğitimi”).
  • Fomin S.V. Sayı sistemleri. - M .: Nauka, 1987. - 48 s. - (Matematik üzerine popüler dersler).
  • Yaglom İ. Sayı sistemleri // Kuantum. - 1970. - No. 6. - S. 2-10.
  • Sayılar ve sayı sistemleri. Dünya Çapında Çevrimiçi Ansiklopedi.
  • Stakhov A. Sayı sistemlerinin bilgisayar tarihindeki rolü.
  • Mikushin A.V. Sayı sistemleri. Dersler "Dijital cihazlar ve mikroişlemciler"
  • Butler J. T., Sasao T. Yedekli Çok Değerli Sayı Sistemleri Makalede birden büyük rakamlar kullanan ve sayıların temsilinde fazlalığa izin veren sayı sistemleri ele alınmaktadır.

Wikimedia Vakfı. 2010.



 

Okumak faydalı olabilir: