Integratsiya usullari. Noaniq integrallarni yechish usullari

12-ma'ruza

1 . To'g'ridan-to'g'ri integratsiya – oddiy integrallar jadvali, integrallash qoidalari va noaniq integrallarning xossalari yordamida integrallarni hisoblash.

1-misol. +BILAN .

Qo'llaniladigan trigonometriya formulasi: .

2-misol.

bu erda integratsiya o'zgaruvchisi o'rniga integrandning aniq transformatsiyasi amalga oshiriladi X qabul qilingan ifoda (a-bx), bu o'zgaruvchiga nisbatan jadvalli integral olinadi. Ushbu texnika ba'zan " haydash » qandaydir ifodaning differentsial belgisi ostida.

Haqiqatan ham: .


2 . O'zgaruvchilarni almashtirish usuli . O'zgartirish usuli .

Mayli y=f(x), x X . Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz t , qo'yish x=(t) , t T, Keyin y=f(x)=f((t)) ;dx=(t)dt Va

Oxirgi ifodani integratsiyalashgandan so'ng, natijada eski o'zgaruvchiga o'tishingiz kerak.

Bu usul integral murakkab funksiya bo'lganda qo'llaniladi.

Misol. Integralni toping : .

Yechim.

1. O'zgaruvchan almashtirish: x=t/4 , Keyin dx=dt/4.

O'rnini bosish X Va dx asl integralda biz quyidagilarni olamiz:

= .

2. almashtirish: 4x = t , Keyin dx = dt/4 . Biz bir xil javobni olamiz.


3. "Qismlar bo'yicha" integratsiya usuli .

O'rtaga qo'ying X ikkita uzluksiz differentsiallanuvchi funksiya berilgan u(x) Va v(x) .

Keling, ularning mahsulotining differentsial ifodasini yozamiz:

Olingan ifodaning chap va o'ng tomonlarini birlashtiramiz:

Bu bizga qismlar bo'yicha integratsiya formulasini beradi:


Qismlar bo'yicha integrallash usuli integrallarning butun sinfi uchun qo'llaniladi, masalan, integranda:

1) oddiy integrallar jadvalida bo'lmagan har qanday funktsiya:

yoki uning ko‘paytmasi ko‘paytmasi P(x) :

, .

Bu holda, uchun u olish, mos ravishda, va hokazo, va uchun dv - ifoda P(x)dx ., shuning uchun antiderivativlardan biri v osongina aniqlash mumkin: ,

(bu erda integrallashda ixtiyoriy doimiyni olib tashlash kerak);


2) ko‘phadning trigonometrik funksiya yoki ko‘rsatkichli ko‘paytmasi: .

Bu holda, uchun u qabul qilinishi kerak P(x) , va uchun dv - integralning qolgan qismi: exdx, sinxdx, va hokazo.

Qismlar bo'yicha integratsiya operatsiyasi ko'p marta ishlatilishi mumkin, bu ba'zan muammoni hal qilishga imkon beradi.


1-misol. Integralni toping .

Yechim.

Keling, qo'ying ln x = u , dx =dv (Bu yerga P(x) =1 ).

Keyin du = d(ln x) =, v = =x - asl nusxalardan biri.

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanib,

olamiz:

=xln x – =x ln x – =x ln x – x +C = x(ln x – 1 ) +C .

2-misol.

Integralni toping .

Yechim.

Mayli x =u (P(x) =x ), =dvdu = , v =.

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:



=x sin x – = x sin x + chunki x +C .

3-misol. Integralni toping .

Yechim.

Keling, qo'ying x =u , e x dx =dv .

Keyin du =dx , v =masalan .

=xe x–=xe x - e x= e x (x - 1) +BILAN.


4-misol. Integralni toping .

Yechim.

Keling, qo'ying x 2 =u , e x dx =dv .

Keyin du =2xdx , v =e x .

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

=x 2 ∙e x –2 .

Keling, yana qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llaymiz (3-misolga qarang):

x 2 e x–2 = x 2 e x– 2 (xe x– e x)+C=

= e x (x 2–2x+2) +C .


4.Noaniq koeffitsient usuli

Ratsional funktsiyalarni birlashtirish uchun ishlatiladi

bu yerda va ko‘phad bo‘lib, ayiruvchining darajasi maxraj (to‘g‘ri kasr) darajasidan kichik bo‘lsa, ko‘phadni ko‘phadga bo‘lish yo‘li bilan noto‘g‘ri kasrni ma’lum ko‘phad va to‘g‘ri kasr yig‘indisiga keltirish mumkin.


Algebradan teorema bo'yicha, darajaning har bir polinomi n etakchi koeffitsienti birga teng, haqiqiy aniq ildizlarga ega x 1 ,x 2 , ..., x n , quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Q(x )=(x – x 1 )(x - x 2 )(x - xn ).

Keyin to'g'ri kasrni oddiy kasrlarga ajratish va yozish mumkin:

Qayerda A 1 ,A 2 , ...,A n - ba'zi raqamlar (aniqlanmagan koeffitsientlar).


Ifodaning o'ng tomonini umumiy maxrajga qisqartirish va keyin koeffitsientlarni bir xil darajada tenglashtirish X chap va o'ng tomonlarning hisoblagichida biz noma'lum koeffitsientlarni aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz A 1,A 2, ...,A n .

Shundan so'ng, ratsional funktsiyaning integratsiyasi topishga qisqartiriladi n shaklning integrallari:


Misol. Integralni toping .

Yechim. Integratsiya to'g'ri kasr, uni oddiy kasrlarga ajratamiz.

Maxrajning haqiqiy, turli ildizlari bor: x 1= 0 ,x 2 =2 ,x 3= –2 . Shuning uchun , x3–4x= x(x–2)(x+2 ) ,

Kompleks integrallar

Ushbu maqola noaniq integrallar mavzusini yakunlaydi va men juda murakkab deb hisoblagan integrallarni o'z ichiga oladi. Dars saytga murakkabroq misollarni tahlil qilish istagini bildirgan tashrif buyuruvchilarning takroriy iltimoslari asosida yaratilgan.

Ushbu matnni o'quvchi yaxshi tayyorlangan va asosiy integratsiya usullarini qanday qo'llashni biladi deb taxmin qilinadi. Dummies va integrallarga juda ishonmaydigan odamlar birinchi darsga murojaat qilishlari kerak - Noaniq integral. Yechimlarga misollar, bu erda mavzuni deyarli noldan o'zlashtirishingiz mumkin. Ko'proq tajribali talabalar mening maqolalarimda hali uchramagan integratsiya usullari va usullari bilan tanishishlari mumkin.

Qanday integrallar hisobga olinadi?

Avval biz ildizli integrallarni ko'rib chiqamiz, ularni hal qilish uchun biz ketma-ket foydalanamiz o'zgaruvchan almashtirish Va qismlar bo'yicha integratsiya. Ya'ni, bitta misolda ikkita texnika bir vaqtning o'zida birlashtirilgan. Va undan ham ko'proq.

Keyin biz qiziqarli va original bilan tanishamiz integralni o'ziga kamaytirish usuli. Ko'pgina integrallar shu tarzda echiladi.

Dasturning uchinchi soni oldingi maqolalarda kassa yonidan o'tib ketgan murakkab kasrlarning integrallari bo'ladi.

To'rtinchidan, trigonometrik funktsiyalardan qo'shimcha integrallar tahlil qilinadi. Xususan, ko'p vaqt talab qiladigan universal trigonometrik almashtirishdan qochadigan usullar mavjud.

(2) Integratsiya funksiyasida ayiruvchini maxraj hadiga bo‘lamiz.

(3) Biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz. Darhol oxirgi integralda funksiyani differentsial belgisi ostiga qo'ying.

(4) Qolgan integrallarni olamiz. E'tibor bering, logarifmda moduldan ko'ra qavslardan foydalanishingiz mumkin, chunki .

(5) Biz to'g'ridan-to'g'ri almashtirishdan "te" ni ifodalovchi teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

Masoxist talabalar javobni farqlashlari va men kabi asl integrandni olishlari mumkin. Yo'q, yo'q, men tekshiruvni to'g'ri ma'noda qildim =)

Ko'rib turganingizdek, yechim davomida biz ikkitadan ortiq echim usullaridan foydalanishga majbur bo'ldik, shuning uchun bunday integrallar bilan ishlash uchun sizga ishonchli integratsiya ko'nikmalari va biroz tajriba kerak bo'ladi.

Amalda, albatta, kvadrat ildiz ko'proq uchraydi, uni o'zingiz hal qilish uchun uchta misol:

2-misol

Noaniq integralni toping

3-misol

Noaniq integralni toping

4-misol

Noaniq integralni toping

Ushbu misollar bir xil turdagi, shuning uchun maqola oxiridagi to'liq yechim faqat 2-misol uchun bo'ladi; 3-4-misollarda bir xil javoblar mavjud. Menimcha, qarorlarning boshida qaysi almashtirishni qo'llash aniq. Nega men bir xil turdagi misollarni tanladim? Ko'pincha ularning rolida topiladi. Ko'pincha, ehtimol, shunga o'xshash narsa .

Lekin har doim ham emas, arktangens, sinus, kosinus, eksponensial va boshqa funktsiyalar ostida chiziqli funktsiyaning ildizi mavjud bo'lganda, bir vaqtning o'zida bir nechta usullardan foydalanish kerak. Bir qator hollarda, "osongina tushish" mumkin, ya'ni almashtirilgandan so'ng darhol oddiy integral olinadi, uni elementar usulda olish mumkin. Yuqorida taklif qilingan vazifalarning eng osoni 4-misol bo'lib, unda almashtirilgandan so'ng nisbatan oddiy integral olinadi.

Integralni o'ziga kamaytirish orqali

Aqlli va chiroyli usul. Keling, janrning klassiklarini ko'rib chiqaylik:

5-misol

Noaniq integralni toping

Ildiz ostida kvadratik binomial mavjud va bu misolni birlashtirishga urinish choynakni soatlab bosh og'rig'iga olib kelishi mumkin. Bunday integral qismlarga bo'linadi va o'ziga qisqartiriladi. Aslida, bu qiyin emas. Agar bilsangiz.

Ko'rib chiqilayotgan integralni lotin harfi bilan belgilaymiz va yechimni boshlaymiz:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

(1) Integratsiya funktsiyasini muddatlarga bo'lish uchun tayyorlang.

(2) Biz integral funksiya atamasini terminga ajratamiz. Bu hamma uchun tushunarli bo'lmasligi mumkin, lekin men buni batafsilroq tasvirlab beraman:

(3) Biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz.

(4) Oxirgi integralni (“uzun” logarifm) oling.

Endi yechimning eng boshiga qaraylik:

Va oxirigacha:

Nima sodir bo `LDI? Bizning manipulyatsiyalarimiz natijasida integral o'ziga qisqardi!

Keling, boshi va oxirini tenglashtiramiz:

Belgini o'zgartirish bilan chap tomonga o'ting:

Va biz ikkalasini o'ng tomonga o'tkazamiz. Natijada:

Doimiy, qat'iy aytganda, avvalroq qo'shilishi kerak edi, lekin men uni oxirida qo'shdim. Bu erda qat'iylik nima ekanligini o'qishni tavsiya qilaman:

Eslatma: Aniqroq aytganda, yechimning yakuniy bosqichi quyidagicha ko'rinadi:

Shunday qilib:

Doimiyni tomonidan qayta belgilanishi mumkin. Nima uchun uni qayta belgilash mumkin? Chunki u hali ham buni qabul qiladi har qanday qadriyatlar va bu ma'noda doimiylar va o'rtasida hech qanday farq yo'q.
Natijada:

Doimiy renotatsiyaga ega shunga o'xshash hiyla keng qo'llaniladi differensial tenglamalar. Va u erda men qattiqqo'l bo'laman. Va bu erda men bunday erkinlikka faqat sizni keraksiz narsalar bilan aralashtirib yubormaslik va diqqatni integratsiya usulining o'ziga qaratish uchun ruxsat beraman.

6-misol

Noaniq integralni toping

Mustaqil yechim uchun yana bir tipik integral. To'liq yechim va javob dars oxirida. Oldingi misoldagi javob bilan farq bo'ladi!

Agar kvadrat ildiz ostida kvadrat trinomial mavjud bo'lsa, u holda echim har holda ikkita tahlil qilingan misolga tushadi.

Masalan, integralni ko'rib chiqing . Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - birinchi to'liq kvadratni tanlang:
.
Keyinchalik, chiziqli almashtirish amalga oshiriladi, bu "hech qanday oqibatlarsiz" amalga oshiriladi:
, natijada integral hosil bo'ladi. Tanish narsa, to'g'rimi?

Yoki kvadratik binom bilan bu misol:
To'liq kvadratni tanlang:
Va chiziqli almashtirishdan so'ng biz integralni olamiz, u ham allaqachon muhokama qilingan algoritm yordamida hal qilinadi.

Keling, integralni o'ziga kamaytirishning yana ikkita tipik misolini ko'rib chiqaylik:
– ko‘rsatkichning sinusga ko‘paytirilgan integrali;
– ko‘rsatkichning kosinusga ko‘paytirilgan integrali.

Qismlar bo'yicha sanab o'tilgan integrallarda siz ikki marta integrallashingiz kerak bo'ladi:

7-misol

Noaniq integralni toping

Integrand - bu ko'rsatkichning sinusga ko'paytirilishi.

Biz qismlarga ikki marta integrallashamiz va integralni o'ziga qisqartiramiz:


Qismlar bo'yicha qo'sh integrallash natijasida integral o'ziga qisqardi. Biz yechimning boshi va oxirini tenglashtiramiz:

Biz uni belgini o'zgartirish bilan chap tomonga siljitamiz va integralimizni ifodalaymiz:

Tayyor. Shu bilan birga, o'ng tomonni tarash tavsiya etiladi, ya'ni. ko'rsatkichni qavsdan chiqaring va sinus va kosinusni qavs ichiga "chiroyli" tartibda joylashtiring.

Endi misolning boshiga, aniqrog‘i, qismlar bo‘yicha integratsiyaga qaytaylik:

Biz ko'rsatkichni shunday belgiladik. Savol tug'iladi: ko'rsatkich har doim bilan belgilanishi kerakmi? Shart emas. Aslida, ko'rib chiqilayotgan integralda asosan farqi yo'q, deganda nimani nazarda tutamiz, biz boshqacha yo'l tutishimiz mumkin edi:

Nima uchun bu mumkin? Koʻrsatkich oʻz-oʻzidan (differensiallanishda ham, integrasiyada ham) aylangani uchun sinus va kosinus oʻzaro bir-biriga aylanadi (yana differensiallanishda ham, integrasiyada ham).

Ya'ni trigonometrik funktsiyani ham belgilashimiz mumkin. Ammo, ko'rib chiqilgan misolda, bu unchalik oqilona emas, chunki kasrlar paydo bo'ladi. Agar xohlasangiz, ushbu misolni ikkinchi usul yordamida hal qilishga harakat qilishingiz mumkin, javoblar mos kelishi kerak.

8-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Qaror qabul qilishdan oldin, o'ylab ko'ring, bu holda ko'rsatkichli yoki trigonometrik funktsiyani belgilash foydaliroqmi? To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va, albatta, unutmangki, ushbu darsdagi javoblarning aksariyatini farqlash orqali tekshirish juda oson!

Ko'rib chiqilgan misollar eng murakkab emas edi. Amalda, konstanta trigonometrik funktsiyaning ko'rsatkichida ham, argumentida ham bo'lsa, integrallar ko'proq uchraydi, masalan: . Ko'p odamlar bunday integralda chalkashib ketishadi va men ko'pincha o'zimni adashtiraman. Gap shundaki, eritmada fraksiyalarning paydo bo'lish ehtimoli yuqori va ehtiyotsizlik tufayli biror narsani yo'qotish juda oson. Bundan tashqari, belgilarda xatolik ehtimoli yuqori, ko'rsatkichning minus belgisi borligini unutmang va bu qo'shimcha qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.

Yakuniy bosqichda natija ko'pincha shunday bo'ladi:

Yechim oxirida ham siz juda ehtiyot bo'lishingiz va fraktsiyalarni to'g'ri tushunishingiz kerak:

Murakkab kasrlarni integrallash

Biz asta-sekin darsning ekvatoriga yaqinlashamiz va kasrlarning integrallarini ko'rib chiqa boshlaymiz. Shunga qaramay, ularning hammasi ham o'ta murakkab emas, shunchaki bir sababga ko'ra misollar boshqa maqolalarda biroz "mavzudan tashqari" edi.

Ildizlar mavzusini davom ettirish

9-misol

Noaniq integralni toping

Ildiz ostidagi maxrajda kvadrat uchlik va ildizdan tashqarida "X" ko'rinishidagi "qo'shimcha" mavjud. Bunday turdagi integralni standart almashtirish yordamida yechish mumkin.

Biz qaror qilamiz:

Bu erda almashtirish oddiy:

Keling, almashtirishdan keyingi hayotni ko'rib chiqaylik:

(1) almashtirishdan keyin ildiz ostidagi atamalarni umumiy maxrajga keltiramiz.
(2) Biz uni ildiz ostidan chiqaramiz.
(3) Pay va maxraj ga kamaytiriladi. Shu bilan birga, ildiz ostida men shartlarni qulay tartibda qayta tashkil qildim. Ba'zi tajribaga ega bo'lgan holda, (1), (2) bosqichlarni sharhlangan harakatlarni og'zaki bajarish orqali o'tkazib yuborish mumkin.
(4) Darsdan eslaganingizdek, natijada olingan integral Ayrim kasrlarni integrallash, qaror qilinmoqda to'liq kvadrat qazib olish usuli. To'liq kvadratni tanlang.
(5) Integrallash orqali biz oddiy “uzun” logarifmni olamiz.
(6) Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz. Agar dastlab , keyin orqaga: .
(7) Yakuniy harakat natijani to'g'rilashga qaratilgan: ildiz ostida biz yana atamalarni umumiy maxrajga keltiramiz va ularni ildiz ostidan chiqaramiz.

10-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bu erda yagona "X" ga doimiy qo'shiladi va almashtirish deyarli bir xil:

Qo'shimcha qilish kerak bo'lgan yagona narsa, amalga oshirilayotgan almashtirishdan "x" ni ifodalashdir:

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Ba'zan bunday integralda ildiz ostida kvadratik binomi bo'lishi mumkin, bu hal qilish usulini o'zgartirmaydi, u yanada soddaroq bo'ladi. Farqni his eting:

11-misol

Noaniq integralni toping

12-misol

Noaniq integralni toping

Dars oxirida qisqacha echimlar va javoblar. Shuni ta'kidlash kerakki, 11-misol aynan binom integral, yechish usuli sinfda muhokama qilingan Irratsional funksiyalarning integrallari.

2-darajali ajralmaydigan ko'phadning darajaga integrali

(maxrajdagi polinom)

Integralning kam uchraydigan turi, ammo shunga qaramay amaliy misollarda uchraydi.

13-misol

Noaniq integralni toping

Ammo 13-raqamli omadli misolga qaytaylik (to'g'risini aytsam, men to'g'ri taxmin qilmadim). Ushbu integral, shuningdek, qanday hal qilishni bilmasangiz, juda asabiylashishi mumkin bo'lgan narsalardan biridir.

Yechim sun'iy o'zgartirishdan boshlanadi:

O'ylaymanki, hamma allaqachon hisoblagichni maxraj bo'yicha atama bo'yicha qanday ajratishni tushunadi.

Olingan integral qismlarga bo'linadi:

Shaklning integrali uchun ( – natural son) hosil qilamiz takrorlanuvchi kamaytirish formulasi:
, Qayerda – bir daraja past integrali.

Keling, echilgan integral uchun ushbu formulaning to'g'riligini tekshiramiz.
Bu holda: , , formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, javoblar bir xil.

14-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Namuna yechim yuqoridagi formuladan ikki marta ketma-ket foydalanadi.

Agar daraja ostida bo'lsa bo'linmas kvadrat trinomial, keyin yechim mukammal kvadratni ajratib, binomga keltiriladi, masalan:

Numeratorda qo'shimcha ko'phad bo'lsa-chi? Bunda noaniq koeffitsientlar usuli qo'llaniladi va integratsiya funksiyasi kasrlar yig'indisiga kengaytiriladi. Ammo mening amaliyotimda bunday misol bor hech qachon uchrashmagan, shuning uchun maqolada bu ishni o'tkazib yubordim Kasr-ratsional funksiyalarning integrallari, Men hozir o'tkazib yuboraman. Agar siz hali ham bunday integralga duch kelsangiz, darslikka qarang - u erda hamma narsa oddiy. Menimcha, materialni (hatto oddiy narsalarni) kiritish tavsiya etilmaydi, ular bilan uchrashish ehtimoli nolga teng.

Murakkab trigonometrik funktsiyalarni integrallash

Ko'pgina misollar uchun "murakkab" sifatdoshi yana asosan shartli. Keling, yuqori quvvatlardagi tangens va kotangentlardan boshlaylik. Amaldagi yechish usullari nuqtai nazaridan, tangens va kotangens deyarli bir xil, shuning uchun men tangens haqida ko'proq gaplashaman, bu integralni echishning ko'rsatilgan usuli kotangens uchun ham tegishli ekanligini anglatadi.

Yuqoridagi darsda biz ko'rib chiqdik universal trigonometrik almashtirish trigonometrik funktsiyalarning ma'lum turdagi integrallarini echish uchun. Umumjahon trigonometrik almashtirishning kamchiligi shundaki, uni qo'llash ko'pincha qiyin hisob-kitoblarga ega bo'lgan noqulay integrallarga olib keladi. Va ba'zi hollarda, universal trigonometrik almashtirishdan qochish mumkin!

Keling, yana bir kanonik misolni, sinusga bo'lingan integralini ko'rib chiqaylik:

17-misol

Noaniq integralni toping

Bu erda siz universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz va javob olishingiz mumkin, ammo undan oqilona yo'l bor. Men har bir qadam uchun sharhlar bilan to'liq yechimni taqdim etaman:

(1) Ikki burchakning sinusi uchun trigonometrik formuladan foydalanamiz.
(2) Biz sun'iy o'zgartirishni amalga oshiramiz: maxrajga bo'linadi va ga ko'paytiriladi.
(3) Maxrajdagi taniqli formuladan foydalanib, kasrni tangensga aylantiramiz.
(4) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.
(5) Integralni oling.

O'zingiz hal qilishingiz uchun bir nechta oddiy misollar:

18-misol

Noaniq integralni toping

Eslatma: Birinchi qadam kamaytirish formulasidan foydalanish bo'lishi kerak va oldingi misolga o'xshash harakatlarni diqqat bilan bajaring.

19-misol

Noaniq integralni toping

Xo'sh, bu juda oddiy misol.

Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.

O'ylaymanki, endi hech kim integral bilan muammoga duch kelmaydi:
va h.k.

Usulning g'oyasi nima? G'oya faqat tangenslar va tangens hosilasini integratsiyaga o'tkazish uchun transformatsiyalar va trigonometrik formulalardan foydalanishdir. Ya'ni, biz almashtirish haqida gapiramiz: . 17-19-misollarda biz aslida bu almashtirishdan foydalandik, lekin integrallar shunchalik sodda ediki, biz ekvivalent amalni bajardik - funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish.

Yuqorida aytib o'tganimdek, shunga o'xshash mulohazalar kotangent uchun ham amalga oshirilishi mumkin.

Yuqoridagi almashtirishni qo'llash uchun rasmiy shart ham mavjud:

Kosinus va sinus kuchlarining yig'indisi manfiy butun son EVEN sondir, Masalan:

integral uchun - manfiy butun son EVEN soni.

! Eslatma : agar integranda FAQAT sinus yoki FAQAT kosinus boʻlsa, u holda integral manfiy toq daraja uchun ham olinadi (eng oddiy holatlar 17, 18-misollarda keltirilgan).

Keling, ushbu qoidaga asoslanib, yana bir nechta mazmunli vazifalarni ko'rib chiqaylik:

20-misol

Noaniq integralni toping

Sinus va kosinus kuchlarining yig'indisi: 2 – 6 = –4 manfiy butun son EVEN son, ya'ni integralni tangenslarga va uning hosilasiga keltirish mumkin:

(1) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(2) Ma'lum formuladan foydalanib, biz .
(3) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(4) Biz formuladan foydalanamiz .
(5) Funksiyani differensial belgi ostida keltiramiz.
(6) Biz almashtirishni amalga oshiramiz. Ko'proq tajribali talabalar almashtirishni amalga oshirmasliklari mumkin, ammo tangensni bitta harf bilan almashtirish yaxshiroqdir - chalkashlik xavfi kamroq.

21-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Kutib turing, chempionat raundlari boshlanish arafasida =)

Ko'pincha integralda "hodgepodge" mavjud:

22-misol

Noaniq integralni toping

Ushbu integral dastlab tangensni o'z ichiga oladi, bu darhol allaqachon tanish fikrga olib keladi:

Men sun'iy o'zgartirishni boshida, qolgan bosqichlarni esa izohsiz qoldiraman, chunki hamma narsa yuqorida muhokama qilingan.

O'zingizning yechimingiz uchun bir nechta ijodiy misollar:

23-misol

Noaniq integralni toping

24-misol

Noaniq integralni toping

Ha, ularda, albatta, siz sinus va kosinusning kuchlarini pasaytirishingiz va universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz mumkin, ammo agar u tangentlar orqali amalga oshirilsa, yechim ancha samarali va qisqaroq bo'ladi. To'liq yechim va javoblar dars oxirida

Berilgan X oraliqda differentsiallanuvchi F(x) funksiya deyiladi funktsiyaning antiderivativi f(x) yoki f(x) ning integrali, agar har bir x ∈X uchun quyidagi tenglik bajarilsa:

F "(x) = f(x). (8.1)

Berilgan funksiya uchun barcha antiderivativlarni topish uning deyiladi integratsiya. Noaniq integral funksiya f(x) berilgan oraliqda X - f(x) funksiya uchun barcha antiderivativ funksiyalar to'plami; belgilash -

Agar F(x) f(x) funksiyaning qandaydir anti hosilasi bo'lsa, u holda ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

bu yerda C ixtiyoriy doimiydir.

Integrallar jadvali

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan biz noaniq integralning asosiy xususiyatlarini va jadvalli integrallar ro'yxatini olamiz:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Jadvalli integrallar ro'yxati

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arktan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

O'zgaruvchan almashtirish

Ko'p funktsiyalarni birlashtirish uchun o'zgaruvchini almashtirish usuli yoki foydalaning almashtirishlar, integrallarni jadval shakliga keltirish imkonini beradi.

Agar f(z) funksiya [a,b] da uzluksiz bo‘lsa, z =g(x) funksiya uzluksiz hosilaga va a ≤ g(x) ≤ b bo‘lsa, u holda

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Bundan tashqari, o'ng tomonda integrallashgandan so'ng, z=g(x) almashtirish amalga oshirilishi kerak.

Buni isbotlash uchun asl integralni quyidagi shaklda yozish kifoya:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Masalan:

Qismlar bo'yicha integratsiya usuli

u = f(x) va v = g(x) funksiyalar uzluksiz ga ega bo'lsin. Keyin, ishga ko'ra,

d(uv))= udv + vdu yoki udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifodasi uchun antiderivativ aniq uv bo'ladi, shuning uchun formula quyidagicha bo'ladi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formula qoidani ifodalaydi qismlar bo'yicha integratsiya. U udv=uv"dx ifodasini vdu=vu"dx ifodasining integrasiyasiga olib keladi.

Masalan, siz ∫xcosx dx ni topmoqchi bo'lsin. Keling, u = x, dv = cosxdx, demak, du=dx, v=sinx. Keyin

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasi o'zgaruvchilarni almashtirishdan ko'ra ko'proq cheklangan doiraga ega. Ammo integrallarning butun sinflari mavjud, masalan,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax va boshqalar bo‘lib, ular qismlar bo‘yicha integrallash yordamida aniq hisoblanadi.

Aniq integral

Aniq integral tushunchasi quyidagicha kiritiladi. F(x) funksiya intervalda aniqlansin. [a,b] segmentini ajratamiz n a= x 0 nuqtalar bo'yicha qismlar< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
D x i =x i - x i-1. f(p i)D x i ko'rinishdagi yig'indisi deyiladi integral yig'indisi, va uning l = maxx i → 0 da chegarasi, agar u mavjud bo‘lsa va chekli bo‘lsa, deyiladi. aniq integral f(x) ning funksiyalari a oldin b va belgilanadi:

F(p i)Dx i (8.5).

Bu holda f(x) funksiya chaqiriladi oraliqda integrallash mumkin, a va b raqamlari chaqiriladi integralning pastki va yuqori chegaralari.

Aniq integral uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri keladi:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(p)(b-a) (l∈).

Oxirgi xususiyat deyiladi o'rtacha qiymat teoremasi.

f(x) uzluksiz bo'lsin. Keyin bu segmentda noaniq integral mavjud

∫f(x)dx = F(x) + C

va sodir bo'ladi Nyuton-Leybnits formulasi, aniq integralni noaniq integral bilan bog‘lash:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrik talqin: aniq integral yuqoridan y=f(x) egri chizigʻi, x=a va x=b toʻgʻri chiziqlari va oʻq segmenti bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonidir. ho'kiz.

Noto'g'ri integrallar

Cheksiz chegarali integrallar va uzluksiz (cheklanmagan) funksiyalarning integrallari deyiladi. sizniki emas. Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar - Bular cheksiz oraliqdagi integrallar bo'lib, quyidagicha aniqlanadi:

(8.7)

Agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, u deyiladi f(x) ning konvergent noto'g'ri integrali[a,+ ∞) oraliqda va f(x) funksiya chaqiriladi cheksiz oraliqda integrallash mumkin[a,+ ∞). Aks holda, integral shunday deyiladi mavjud emas yoki farqlanadi.

(-∞,b] va (-∞, + ∞) oraliqlaridagi noto'g'ri integrallar xuddi shunday aniqlanadi:

Cheklanmagan funksiyaning integrali tushunchasini aniqlaymiz. Agar f(x) barcha qiymatlar uchun uzluksiz bo'lsa x segment , f(x) cheksiz uzilishga ega bo'lgan c nuqtadan tashqari, keyin ikkinchi turdagi noto'g'ri integrali f(x) a dan b gacha miqdori deyiladi:

agar bu chegaralar mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa. Belgilash:

Integral hisoblarga misollar

3.30-misol.∫dx/(x+2) ni hisoblang.

Yechim. t = x+2 ni belgilaymiz, keyin dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31-misol. ∫ tgxdx ni toping.

Yechim.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx bo‘lsin, u holda ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Misol3.32 . ∫dx/sinx ni toping

Yechim.

Misol3.33. Toping.

Yechim. = .

Misol3.34 . ∫arctgxdx ni toping.

Yechim. Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik. u=arctgx, dv=dx ni belgilaymiz. U holda du = dx/(x 2 +1), v=x, qaerdan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; chunki
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Misol3.35 . ∫lnxdx ni hisoblang.

Yechim. Qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Keyin ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Misol3.36 . ∫e x sinxdx ni hisoblang.

Yechim. u = e x, dv = sinxdx, keyin du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx ni belgilaymiz. Shuningdek, ∫e x cosxdx integralini qismlarga ajratamiz: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Bizda ... bor:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Biz ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx munosabatini oldik, undan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Misol 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x ni hisoblang.

Yechim. Chunki dx/x = dlnx, u holda J= ∫cos(lnx)d(lnx). lnx ni t ga almashtirsak, J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C integrali jadvaliga kelamiz.

Misol 3.38 . J = ni hisoblang.

Yechim.= d(lnx) ekanligini hisobga olib, lnx = t ni almashtiramiz. Keyin J = .

Misol 3.39 . J = integralini hisoblang .

Yechim. Bizda ... bor: . Shuning uchun =
=
=. quyidagicha kiritildi: sqrt(tan(x/2)).

Va agar natija oynasida yuqori o'ng burchakdagi Qadamlarni ko'rsatish tugmachasini bossangiz, siz batafsil echimga ega bo'lasiz.

Ushbu integralni hisoblash uchun, agar iloji bo'lsa, u yoki bu usuldan foydalanib, uni jadvalli integralga keltirishimiz va shu bilan kerakli natijani topishimiz kerak. Kursimizda biz eng keng tarqalgan integratsiya usullaridan faqat ba'zilarini ko'rib chiqamiz va ularni eng oddiy misollarda qo'llashni ko'rsatamiz.

Eng muhim integratsiya usullari:
1) to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli (kengaytirish usuli),
2) almashtirish usuli (yangi o'zgaruvchini kiritish usuli),
3) qismlar bo'yicha birlashtirish usuli.

I. Bevosita integratsiya usuli

Ko'p funksiyalarning noaniq integrallarini topish masalasi ularni jadval integrallaridan biriga qisqartirish yo'li bilan hal qilinadi.

∫(1-√x) 2 dx=∫(1-2√x+x)dx=∫dx-∫2√xdx+∫xdx=∫dx-2∫x dx+∫xdx=

3-misol. ∫sin 2 xdx

Chunki sin 2 x=(1-cos2x), u holda
∫sin 2 xdx=(1-cos2x)dx=∫dx-∫cos2xd(2x)=x-sin2x+C

4-misol. ∫sinxcos3xdx

sinxcos3x=(sin4x-sin2x), bizda bor
∫sinxcos3xdx=∫(sin4x-sin2x)dx=∫sin4xd(4x)-∫sin2xd(2x)=-cos4x+cos2x+C

5-misol. Noaniq integralni toping: ∫cos(7x-3)dx

∫cos(7x-3)=∫cos(7x-3)d(7x-3)=sin(7x-3)+C

6-misol.

II. O'zgartirish usuli (o'zgaruvchini o'zgartirish orqali integratsiya)

Agar x=ph(t) funksiya uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, u holda berilgan noaniq integralda ∫f(x)dx formuladan foydalanib har doim yangi t o‘zgaruvchiga o‘tish mumkin.

∫f(x)dx=∫f(ph(t))ph"(t)dt

Keyin o'ng tomondan integralni toping va asl o'zgaruvchiga qayting. Bunday holda, bu tenglikning o'ng tomonidagi integral bu tenglikning chap tomonidagi integraldan oddiyroq yoki hatto jadvalli bo'lib chiqishi mumkin. Integralni topishning bu usuli o'zgaruvchilarning o'zgarishi usuli deb ataladi.

7-misol. ∫x√x-5dx

Ildizdan qutulish uchun √x-5=t ni o'rnatamiz. Demak, x=t 2 +5 va shuning uchun dx=2tdt. O'zgartirishni amalga oshirib, biz doimo quyidagilarga egamiz:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

8-misol.

O'shandan beri bizda bor

9-misol.

10-misol. ∫e -x 3 x 2 dx

-x 3 =t almashtirishdan foydalanamiz. U holda bizda -3x 2 dx=dt va ∫e -x 3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x 3 +C bo‘ladi.

11-misol.

1+sinx=t , keyin cosxdx=dt va almashtirishni qo'llaymiz

III. Qismlar bo'yicha integratsiya usuli

Qismlar bo'yicha integratsiya quyidagi formulaga asoslanadi:

∫udv=uv-∫vdu

bu yerda u(x),v(x) uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyalardir. Formula qismlar bo'yicha integratsiya formulasi deb ataladi. Bu formula shuni ko'rsatadiki, ∫udv integral ∫vdu integraliga olib keladi, u asl integraldan oddiyroq yoki hatto jadvalli bo'lib chiqishi mumkin.

12-misol. ∫xe -2x dx noaniq integralni toping.

To'g'ridan-to'g'ri integratsiya

Asosiy integratsiya formulalari

1. C – doimiy 1*.
2. , n ≠ –1
3. +C
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Oddiy integrallar va noaniq integrallarning asosiy xossalari jadvalidan to'g'ridan-to'g'ri foydalanish orqali integrallarni hisoblash deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri integratsiya.

1-misol.

2-misol.

3-misol.

Bu murakkab funktsiyani integrallashning eng keng tarqalgan usuli bo'lib, integralni boshqa integral o'zgaruvchiga o'tkazish orqali o'zgartirishdan iborat.

Agar elementar transformatsiyalar yordamida integralni jadvalga keltirish qiyin bo'lsa, bu holda almashtirish usuli qo'llaniladi. Bu usulning mohiyati shundaki, yangi o'zgaruvchini kiritish orqali bu integralni to'g'ridan-to'g'ri qabul qilish nisbatan oson bo'lgan yangi integralga qisqartirish mumkin.

O'zgartirish usuli bilan integratsiya qilish uchun yechim sxemasidan foydalaning:

2) ikkala almashtirilgan qismdan farqni toping;

3) butun integralini yangi o‘zgaruvchi orqali ifodalash (bundan keyin jadval integrali olinishi kerak);

4) olingan jadval integralini toping;

5) teskari almashtirishni amalga oshiring.

Integrallarni toping:

1-misol . O'zgartirish:cosx=t,-sinxdx=dt,

Yechim:

2-misol.∫e -x3 x 2 dx O'zgartirish:-x 3 =t, -3x 2 dx=dt, Yechim:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

3-misol.O'zgartirish: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Yechim: .

1.5-BO'lim. Aniq integral, uni hisoblash usullari.

1-modda Aniq integral tushunchasi

Vazifa. Funksiyaga qarshi hosila bo‘lgan funksiyaning o‘sish qismini toping f(x), argumentni o'tkazishda x qiymatdan a qadrlash b.

Yechim. Faraz qilaylik, integratsiya quyidagilarni topdi: ∫ (x)dx = F(x)+C.

Keyin F(x)+C 1, Qayerda C 1- har qanday berilgan raqam ushbu funktsiya uchun antiderivativ funktsiyalardan biri bo'ladi f(x). Argument qiymatdan o'tganda uning o'sishini topamiz a qadrlash b. Biz olamiz:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

Ko'rib turganimizdek, antiderivativ funktsiyaning o'sish ifodasida F(x)+C 1 doimiy qiymat yo'q C 1. Va ostidan beri C 1 har qanday berilgan raqam nazarda tutilgan bo'lsa, olingan natija quyidagi xulosaga keladi: argumentga o'tish bo'yicha x qiymatdan x=a qadrlash x=b barcha funktsiyalar F(x)+C, berilgan funksiya uchun antiderivativlar f(x), ga teng bir xil o'sishga ega F(b)-F(a).



Ushbu o'sish odatda aniq integral deb ataladi va belgisi bilan belgilanadi: va o'qing: integrali A oldin b f(x) funksiyasidan dx ustidan yoki qisqasi ning integrali A oldin b f(x)dx dan.

Raqam A chaqirdi pastki chegara integratsiya, raqam b - yuqori; a ≤ x ≤ b segmenti - integratsiya segmenti. Bu integral funktsiyasi deb faraz qilinadi f(x) barcha qiymatlar uchun uzluksiz x, shartlarni qondirish: axb

Ta'rif. F(x)+C ga qarshi hosila funksiyalarining ortishi argumentga o'tish bo'yicha x qiymatdan x=a qadrlash x=b, farqiga teng F(b)-F(a), aniq integral deyiladi va belgisi bilan belgilanadi: shuning uchun agar ∫ (x)dx = F(x)+C, keyin = F(b)-F(a) - berilgan tenglik Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.

2-band Aniq integralning asosiy xossalari

Barcha xossalar ko'rib chiqilayotgan funktsiyalar mos keladigan intervallarda integrallash mumkin degan taklifda tuzilgan.

3-band Aniq integralni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash

Tegishli noaniq integralni topish uchun aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalaning.

bular. Aniq integral integratsiyaning yuqori va pastki chegaralaridagi har qanday antiderivativ funktsiya qiymatlari orasidagi farqga teng.

Ushbu formula aniq integralni hisoblash tartibini ko'rsatadi:

1) bu funksiyaning noaniq integralini toping;

2) hosil bo‘lgan antiderivativga argument o‘rniga integralning avval yuqori, keyin esa pastki chegarasini qo‘ying;

3) yuqori chegarani almashtirish natijasidan pastki chegarani almashtirish natijasini ayirish.

1-misol: Integralni hisoblang:

2-misol: Integralni hisoblang:

b.4 Aniq integralni almashtirish usuli bilan hisoblash

Aniq integralni almashtirish usuli bilan hisoblash quyidagicha:

1) integrandning bir qismini yangi o'zgaruvchiga almashtirish;

2) aniq integralning yangi chegaralarini topish;

3) ikkala almashtirilgan qismdan farqni toping;

4) butun integralini yangi o'zgaruvchi orqali ifodalash (bundan keyin jadval integrali olinishi kerak); 5) hosil bo'lgan aniq integralni hisoblang.

1-misol: Integralni hisoblang:

O'zgartirish: 1+cosx=t,-sinxdx=dt,

1.6-BO'lim. Aniq integralning geometrik ma'nosi.

Egri trapezoidning maydoni:

Ma'lumki, segmentdagi aniq integral f(x) funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonini ifodalaydi.

Muayyan chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini, agar ushbu chiziqlar tenglamalari ma'lum bo'lsa, ma'lum integrallar yordamida topish mumkin.

Segmentga [a; b] uzluksiz funksiya berilgan y = ƒ(x) ≥ 0. Keling, ushbu trapetsiyaning maydonini topaylik.

0 o'qi bilan chegaralangan rasmning maydoni x, ikkita vertikal to'g'ri chiziq x = a, x = b va y = ƒ(x) funksiya grafigi (rasm), formula bilan aniqlanadi:

Bu aniq integralning geometrik ma'nosi.

1-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

Yechim: Chizma tuzamiz (e'tibor bering, y=0 tenglama Ox o'qini aniqlaydi).

Javob: S = 9 birlik 2

2-misol: Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y= - e x, x=1 va koordinata o'qlari.

Yechish: Keling, rasm chizamiz.
Agar egri trapezoid bo'lsa butunlay Ox o'qi ostida joylashgan, keyin uning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Ushbu holatda:

Diqqat! Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun hozirgina muhokama qilingan formulada minus paydo bo'ladi.

1.7-BO'lim. Aniq integralning qo'llanilishi

b.1 Aylanish jismining hajmini hisoblash

Agar egri trapetsiya Ox o'qiga tutash bo'lsa va y=a, y=b to'g'ri chiziqlar va funktsiya grafigi. y= F (x) (1-rasm), keyin aylanish jismining hajmi integralni o'z ichiga olgan formula bilan aniqlanadi.

Inqilob tanasining hajmi quyidagilarga teng:

Misol:

Chiziqning Ox o'qi atrofida 0≤ x ≤4 aylanish yuzasi bilan chegaralangan jismning hajmini toping.

Yechim: V

birliklar 3. Javob: 3-birlik.

3.1-BO'lim. Oddiy differensial tenglamalar

1-modda Differensial tenglama tushunchasi

Ta'rif. Differensial tenglama oʻzgaruvchilar toʻplami va ularning hosilalari funksiyasini oʻz ichiga olgan tenglama.

Bunday tenglamaning umumiy shakli =0 ga teng, bu erda F - uning argumentlarining ma'lum funktsiyasi, qo'zg'almas sohada ko'rsatilgan; x - mustaqil o'zgaruvchi (u differensiallashadigan o'zgaruvchi);y - bog'liq o'zgaruvchi (hosilalar olinadigan va aniqlanadigan); - y bog'liq o'zgaruvchining x mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi.

2-modda Differensial tenglamaning asosiy tushunchalari

Tartibda; ... uchun differensial tenglamaning unga kiritilgan eng yuqori hosilaning tartibi deyiladi.

Masalan:

Ikkinchi tartibli tenglama birinchi tartibli tenglamadir.

O'zgaruvchilarni bog'laydigan va differentsial tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi har qanday funktsiya deyiladi qaror differensial tenglama.

Umumiy yechim birinchi tartibli differensial tenglamaning funksiyasi va ixtiyoriy doimiy C bo'lib, bu tenglamani dagi o'ziga xoslikka aylantiradi.

=0 ko'rinishda yozilgan umumiy yechim deyiladi umumiy integral.

Shaxsiy qaror=0 tenglama - o'zgarmas qiymat - qo'zg'almas son uchun umumiy yechimdan olingan yechim.

n-tartibli (n= 1,2,3,...) differensial tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi, shaklning dastlabki shartlarini qanoatlantiradi.

chaqirdi Cauchy muammosi.

3-modda Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan birinchi tartibli differentsial tenglamalar

Birinchi tartibli differentsial tenglama, agar uni qayta yozish mumkin bo'lgan tarzda ifodalash mumkin bo'lsa, ajratiladigan tenglama deyiladi. Agar . Keling, integratsiya qilaylik: .

Ushbu turdagi tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. Alohida o'zgaruvchilar;

2. Ajratilgan o‘zgaruvchilar bilan tenglamani integrallash orqali ushbu tenglamaning umumiy yechimini toping;

3. Dastlabki shartlarni (agar ular berilgan bo'lsa) qanoatlantiradigan muayyan yechim toping.

1-misol. Tenglamani yeching. x=-2 da y=4 shartni qanoatlantiradigan muayyan yechim topilsin.

Yechim: Bu ajratilgan o'zgaruvchan tenglama. Integrallash orqali tenglamaning umumiy yechimini topamiz: . Oddiyroq umumiy yechimni olish uchun biz C/2 ko'rinishida o'ng tomonda doimiy terminni ifodalaymiz. Bizda umumiy yechim bor yoki mavjud. y=4 va x=-2 qiymatlarini umumiy yechimga almashtirsak, 16=4+C ni olamiz, undan C=12.

Demak, bu shartni qanoatlantiradigan tenglamaning ma'lum bir yechimi ko'rinishga ega

2-misol. Agar tenglamaning maxsus yechimini toping .

Yechim:, , , , , umumiy qaror.

X va y qiymatlarini xususiy yechimga almashtiramiz: , , xususiy yechim.

3-misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping . Yechim: ,, , - umumiy qaror.

4-modda Birinchisidan yuqori tartibli differensial tenglamalar

yoki ko`rinishdagi tenglama qo`sh integrallash yo`li bilan yechiladi: , , qayerdan . Bu funksiyani integrallab, biz f(x) ning yangi funksiyasini olamiz, uni F(x) bilan belgilaymiz. Shunday qilib, ; . Yana integrallashamiz: yoki y=F(x). Ikki ixtiyoriy konstanta va ni o'z ichiga olgan tenglamaning umumiy yechimini oldik.

1-misol. Tenglamani yeching.

Yechim:, , ,

2-misol. Tenglamani yeching . Yechish: , , .

3.2-BO'lim. Raqamlar qatori, uning a'zolari

Ta'rif 1.Raqamlar seriyasi++…++… shaklining ifodasi deyiladi, (1)

Qaerda, , …, , … - muayyan sanoq sistemasiga tegishli sonlar.

Shunday qilib, biz haqiqiy seriyalar haqida gapirishimiz mumkin R, qaysi uchun murakkab seriyalar haqida C, i= 1, 2, …, n, ... = =.

3.3-bo'lim. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika asoslari



 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: