هیپوتنوز مستطیل چیست؟ چگونه اضلاع مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ مبانی هندسه

در ابتدا به یاد می آوریم که مثلث چند وجهی است که دارای 3 زاویه است. اگر ابعاد دیگر مثلث مشخص باشد چگونه می توان هپوتنوز مثلث قائم الزاویه را پیدا کرد؟

دستورالعمل

  1. طول پاها مشخص است. که در این مورد، فرضیه را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کرد. این قضیه به این صورت به نظر می رسد: مجموع مجذورات پاها برابر با مجذور هیپوتانوس است. از این نتیجه به دست می آید که برای محاسبه طول هیپوتانوس، لازم است مقدار هر پا را به نوبه خود مربع کنیم. سپس اعداد به دست آمده را جمع کنید و از مجموع حاصل جذر جذر بگیرید.
  2. اگر ساق (VC) و زاویه مجاور آن مشخص باشد، چگونه هیپوتنوز را در مثلث KFB پیدا کنیم؟ زاویه شناخته شده را با α نشان می دهیم. یکی از خواص مثلث قائم الزاویه به این صورت است: نسبت طول ساق مثلث قائم الزاویه به طول هیپوتنوز برابر کسینوس زاویه بین هیپوتنوز و این پا است. این را می توان به صورت زیر نوشت: FB=BK*cos(α).
  3. یک پایه دیگر (KF) شناخته شده است و همان زاویه α، اکنون مخالف خواهد بود. هیپوتنوس را می توان با اعمال همان خواص مثلث قائم الزاویه نیز یافت. در اینجا به این نتیجه رسیدیم که نسبت طول پایه یک مثلث قائم الزاویه به طول هیپوتنوز آن برابر با سینوس زاویه مقابل ساق است. می نویسیم: FB=KF*sin(α).
  4. اگر دایره ای در اطراف آن توصیف شده باشد که شعاع آن مشخص است، چگونه می توان هپوتنوس یک مثلث را پیدا کرد. از خصوصیات دایره ای که به دور یک مثلث قائم الزاویه محصور شده است، مشخص می شود که چنین دایره ای دارای مرکز منطبق بر نقطه هیپوتانوس است که آن را به نصف تقسیم می کند. به عبارت دیگر، شعاع برابر با نیمی از هیپوتنوز است. و این بدان معنی است که دو شعاع هیپوتانوس را تشکیل می دهند: FB=2*R.

با دانستن خواص مثلث قائم الزاویه و قضیه فیثاغورث، محاسبه طول هیپوتانوس بسیار آسان است. اگر هنوز به خاطر سپردن تمام ویژگی ها برای شما دشوار است، فقط فرمول های آماده ای را یاد بگیرید که جایگزین کردن آن بسیار آسان است. ارزش های شناخته شدهبرای محاسبه طول هیپوتانوس

ترجمه شده از یونانی، hypotenuse به معنای "کشیده" است. برای درک صحیح، یک ریسمان کمانی را تصور کنید که دو سر یک چوب انعطاف پذیر را به هم متصل می کند. اینجا نیز در راست گوشه، طولانی ترین ضلع، هیپوتنوز است که در مقابل قرار دارد زاویه راست. به عنوان یک اتصال دهنده دو طرف دیگر به نام پاها عمل می کند. برای اینکه بفهمید این "رشته" چقدر طول دارد، باید طول پاها یا مقدار دو زاویه حاد را داشته باشید. با ترکیب این داده ها می توانید مقدار مورد نظر را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید.

چگونه هیپوتنوز را با پاها پیدا کنیم

ساده ترین راه برای محاسبه اگر ارزش دو پا را می دانید (بیایید یک A و دومی B را نشان دهیم). خود فیثاغورث و قضیه مشهور جهانی او به کمک می آیند. او به ما می گوید که اگر طول پاها را مربع کنیم و مقادیر محاسبه شده را اضافه کنیم، در نتیجه مقدار طول هیپوتانوس را مجذور خواهیم یافت. از موارد فوق نتیجه می گیریم: برای یافتن مقدار هیپوتنوز، لازم است که ریشه دوم مجموع مجموع مربع های پاهای C \u003d √ (A² + B²) را استخراج کنیم. مثال: پایه A \u003d 10 سانتی‌متر، پایه B \u003d 20 سانتی‌متر. هیپوتانوز 22.36 سانتی‌متر است. محاسبه به شرح زیر است: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d 3.6.

چگونه هیپوتانوس را از طریق یک زاویه پیدا کنیم

محاسبه طول هیپوتنوس از طریق یک زاویه معین کمی دشوارتر است. اگر اندازه یکی از دو پایه (بیایید A را نشان دهیم) و اندازه زاویه (بیایید α را نشان دهیم) که در مقابل آن قرار دارد را می دانید، اندازه هیپوتانوس با استفاده از مثلثات و به طور خاص سینوس پیدا می شود. تنها کاری که باید انجام دهید این است که مقدار پای شناخته شده را بر سینوس زاویه تقسیم کنید. C=A/sin(α). به عنوان مثال: طول ساق A = 30 سانتی متر است، زاویه مقابل آن 45 درجه است، هیپوتونوس 42.25 سانتی متر خواهد بود. محاسبه به شرح زیر است: 30 / sin (45 درجه) = 30 / 0.71 = 42.25.

راه دیگر این است که اندازه هیپوتانوس را با استفاده از کسینوس پیدا کنید. اگر اندازه ساق (بیایید نشان دهیم B) و زاویه تند (بگذارید α را نشان دهیم) که در مجاورت آن است، استفاده می شود. تنها کاری که باید انجام دهید این است که مقدار پا را بر سینوس زاویه تقسیم کنید. С=В/cos(α). به عنوان مثال: طول ساق B = 30 سانتی متر است، زاویه مقابل آن 45 درجه است، هیپوتونوس 42.25 سانتی متر خواهد بود. محاسبه به شرح زیر است: 30 / cos (45 درجه) = 30 / 0.71 = 42.25.

چگونه هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را پیدا کنیم؟

هر دانش آموزی که به خود احترام می گذارد می داند که مثلث متساوی الساقین است، مشروط بر اینکه دو ضلع از سه ضلع آن با یکدیگر برابر باشند. این اضلاع را جانبی می گویند و آن که باقی می ماند قاعده است. اگر یکی از زوایا 90 درجه باشد، شما یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین دارید.

یافتن هیپوتانوس در چنین مثلثی ساده است، زیرا دارای چندین ویژگی است که به شما کمک می کند. زوایای مجاور پایه از نظر ارزش یکسان هستند، مجموع زوایای 180 درجه است. این به این معنی است که زاویه سمت راست در مقابل پایه قرار دارد، به این معنی که پایه هیپوتنوز است، پاها طرفین هستند.

یک مثال را در نظر بگیرید: پایه A \u003d 2 سانتی متر، به این معنی که پای دیگر 2 سانتی متر است. بنابراین، قضیه فیثاغورث را بازنویسی می کنیم: C² \u003d 2 * A². با جایگزینی داده ها به فرمول، مقدار هیپوتنوس برابر با 2.83 سانتی متر را به دست می آوریم.نتیجه گیری: اگر یک ضلع مثلث قائم الزاویه 2 سانتی متر باشد، قاعده آن 2.83 سانتی متر خواهد بود.

به مثلثی مثلث قائم الزاویه گفته می شود که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. ضلع مقابل زاویه قائمه را هیپوتنوز می نامند و دو طرف دیگر پاها هستند.

برای یافتن زاویه در یک مثلث قائم الزاویه از برخی از ویژگی های مثلث قائم الزاویه استفاده می شود که عبارتند از: مجموع زوایای تند 90 درجه و همچنین این واقعیت که در مقابل ساق که طول آن نصف هیپوتانوس است، قرار دارد. زاویه برابر 30 درجه

ناوبری سریع مقاله

مثلث متساوی الساقین

یکی از خصوصیات مثلث متساوی الساقین این است که دو زاویه آن برابر است. برای محاسبه مقادیر زوایای یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه، باید بدانید:

  • زاویه راست 90 درجه است.
  • مقادیر زوایای حاد با فرمول تعیین می شود: (180º-90º)/2=45º، i.е. زوایای α و β 45 درجه هستند.

اگر مقدار یکی از زاویه‌های تند مشخص باشد، دومی را می‌توان با فرمول: β=180-90-α یا α=180-90-β پیدا کرد. بیشتر اوقات، این نسبت در صورتی استفاده می شود که یکی از زاویه ها 60 درجه یا 30 درجه باشد.

مفاهیم کلیدی

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است. از آنجایی که یک زاویه راست است، دو زاویه دیگر تیز خواهند بود. برای پیدا کردن آنها باید بدانید که:


روش های دیگر

مقادیر زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه را می توان با دانستن مقدار میانه محاسبه کرد - خطی که از راس به طرف مقابل مثلث کشیده شده است و ارتفاع - یک خط مستقیم که یک خط عمود بر افتاده است. از زاویه سمت راست به سمت هیپوتانوز. فرض کنید s میانه رسم شده از زاویه سمت راست به نقطه وسط هیپوتانوس، h ارتفاع باشد. در این مورد معلوم می شود که:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

دو طرف

اگر طول هایپوتنوز و یکی از پاها یا دو ضلع در یک مثلث قائم الزاویه مشخص باشد، از هویت های مثلثاتی برای یافتن مقادیر زوایای تند استفاده می شود:

  • α=آرکسین(a/c)، β=آرکسین(b/c).
  • α=arcos(b/c)، β=arcos(a/c).
  • α=arctg(a/b)، β=arctg(b/a).
این مقاله را به اشتراک بگذاریدبا دوستان در شبکه های اجتماعی شبکه های:

دستورالعمل

در صورت نیاز به محاسبه هیپوتنوس با استفاده از قضیه فیثاغورث، از الگوریتم زیر استفاده کنید: - در مثلث مشخص کنید که کدام ضلع پاها و کدام ضلع هستند. دو ضلعی که زاویه نود درجه را تشکیل می دهند، پاها هستند، ضلع سوم باقی مانده از مثلث، هیپوتنوس است. (نگاه کنید به شکل) - هر پایه از این مثلث را به توان دوم ببرید، یعنی مقدار آنها را در خودش ضرب کنید. مثال 1. اگر یک پایه در مثلث 12 سانتیمتر و دیگری 5 سانتیمتر باشد، فرض کنید که باید افت فشار را محاسبه کنید، اولاً مربعهای پاها عبارتند از: 12 * 12 = 144 سانتی متر و 5 * 5 = 25 سانتی متر. - سپس مجموع پاهای مربع را تعیین کنید. یک عدد معین یک مربع است هیپوتنوئوس، بنابراین برای پیدا کردن باید از قدرت دوم عدد خلاص شوید طولاین ضلع مثلث برای این کار، مقدار مجموع مربع های پاها را از زیر ریشه مربع استخراج کنید. مثال 1. 144+25=169. جذر 169 برابر با 13 خواهد بود. بنابراین، طول این هیپوتنوئوسبرابر با 13 سانتی متر

روش دیگری برای محاسبه طول هیپوتنوئوسدر اصطلاح سینوس و کسینوس زوایای مثلث نهفته است. طبق تعریف: سینوس زاویه آلفا نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است. یعنی با نگاه کردن به شکل، یک CB / AB گناه کنید. از این رو، هیپوتانوز AB \u003d CB / sin a. مثال 2. بگذارید زاویه a 30 درجه و پای مقابل آن 4 سانتی متر باشد. باید هیپوتانوس را پیدا کنید. راه حل: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0.5 \u003d 8 cm پاسخ: طول هیپوتنوئوسبرابر با 8 سانتی متر

یک راه مشابه برای پیدا کردن هیپوتنوئوساز تعریف کسینوس یک زاویه. کسینوس یک زاویه نسبت ساق مجاور آن و هیپوتنوئوس. یعنی cos a \u003d AC / AB، از این رو AB \u003d AC / cos a. مثال 3. در مثلث ABC، AB هیپوتنوز، زاویه BAC 60 درجه، ساق AC 2 سانتی متر است، AB را پیدا کنید.
راه حل: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 سانتی متر پاسخ: طول هیپوتانوس 4 سانتی متر است.

نکته 2: چگونه طول هیپوتانوس را در مثلث قائم الزاویه پیدا کنیم

هیپوتنوس طولانی ترین اضلاع در یک مثلث قائم الزاویه نامیده می شود، بنابراین تعجب آور نیست که این کلمه از یونانی به عنوان "کشیده" ترجمه شود. این ضلع همیشه در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد و اضلاع تشکیل دهنده این زاویه را پاها می نامند. با دانستن طول این اضلاع و بزرگی زوایای تند در ترکیب های مختلف این مقادیر، می توان طول هیپوتانوس را نیز محاسبه کرد.

دستورالعمل

اگر طول هر دو پایه مثلث (A و B) مشخص باشد، شاید از مشهورترین فرض ریاضی در سیاره ما، قضیه فیثاغورث، برای یافتن طول هیپوتنوس (C) استفاده کنید. می گوید که مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها که از آن نتیجه می شود که باید جذر مجذور طول های دو ضلع شناخته شده را محاسبه کنید: C \u003d √ (A² + B²). به عنوان مثال، اگر طول یک پا 15 سانتی‌متر و دیگری 10 سانتی‌متر باشد، آن‌گاه طول هیپوتونوس تقریباً 18.0277564 سانتی‌متر خواهد بود، زیرا √(15²+10²)=√(225+100)= √325247564 سانتی‌متر. .

اگر طول تنها یکی از پایه های (A) در یک مثلث قائم الزاویه و همچنین مقدار زاویه مقابل آن (α) مشخص باشد، در این صورت طول هیپوتنوس (C) را می توان با استفاده از یکی از آنها تعیین کرد. توابع مثلثاتی- سینوس برای انجام این کار، طول ضلع شناخته شده را بر سینوس زاویه شناخته شده تقسیم کنید: C=A/sin(α). به عنوان مثال، اگر طول یکی از پاها 15 سانتی متر باشد، و زاویه در راس مخالف مثلث 30 درجه باشد، طول هیپوتنوز 30 سانتی متر خواهد بود، زیرا 15 / sin (30 درجه) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30.

هندسه علم آسانی نیست. می تواند برای هر دو مفید باشد برنامه آموزشی مدرسه، و همچنین در زندگی واقعی. دانستن بسیاری از فرمول ها و قضایا محاسبات هندسی را ساده می کند. یکی از ساده ترین اشکال در هندسه مثلث است. یکی از انواع مثلث ها، متساوی الاضلاع، ویژگی های خاص خود را دارد.

ویژگی های مثلث متساوی الاضلاع

طبق تعریف، مثلث چند وجهی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است. این یک شکل دو بعدی تخت است، خواص آن در دبیرستان مورد مطالعه قرار می گیرد. با توجه به نوع زاویه، مثلث های تند، منفرد و قائم الزاویه از هم متمایز می شوند. مثلث قائم الزاویه است شکل هندسیکه در آن یکی از زوایا 90 درجه است. چنین مثلثی دارای دو پایه است (آنها یک زاویه قائمه ایجاد می کنند) و یک هیپوتنوز (در مقابل زاویه راست است). بسته به مقدار شناخته شده، سه عدد وجود دارد راه های سادههیپوتنوز مثلث قائم الزاویه را محاسبه کنید.

راه اول یافتن هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه است. قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورث قدیمی ترین روش برای محاسبه هر یک از اضلاع مثلث قائم الزاویه است. به نظر می رسد: "در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پا." بنابراین، برای محاسبه هیپوتانوس، باید جذر مجموع دو پایه را به دست آورد. برای وضوح، فرمول ها و نمودار آورده شده است.


راه دوم. محاسبه هیپوتنوس با استفاده از 2 مقدار شناخته شده: ساق و زاویه مجاور

یکی از خواص مثلث قائم الزاویه می گوید که نسبت طول ساق به طول هیپوتنوز معادل کسینوس زاویه بین این پا و هیپوتنوز است. بیایید زاویه ای را که برای ما شناخته شده است α بنامیم. اکنون، به لطف تعریف شناخته شده، می توانیم به راحتی فرمولی برای محاسبه هیپوتنوز فرموله کنیم: Hypotenuse = leg/cos(α)


راه سوم. محاسبه هیپوتنوس با استفاده از 2 مقدار شناخته شده: ساق و زاویه مقابل

اگر زاویه مخالف مشخص باشد، می توان دوباره از خواص یک مثلث قائم الزاویه استفاده کرد. نسبت طول ساق و هیپوتونوس معادل سینوس زاویه مقابل است. بیا دوباره زنگ بزنیم زاویه معروفآ. اکنون برای محاسبات، فرمول کمی متفاوت را اعمال می کنیم:
Hypotenuse = leg/sin (α)


مثال هایی برای کمک به درک فرمول ها

برای درک عمیق تر از هر یک از فرمول ها، باید مثال های گویا را در نظر بگیرید. بنابراین، فرض کنید یک مثلث قائم الزاویه داده می شود، جایی که چنین داده هایی وجود دارد:

  • پا - 8 سانتی متر.
  • زاویه مجاور cosα1 0.8 است.
  • زاویه مقابل sinα2 0.8 است.

طبق قضیه فیثاغورث: Hypotenuse \u003d ریشه مربع (36 + 64) \u003d 10 سانتی متر.
با اندازه پا و زاویه شامل: 8 / 0.8 \u003d 10 سانتی متر.
با اندازه پا و زاویه مخالف: 8 / 0.8 \u003d 10 سانتی متر.

با درک فرمول، می توانید به راحتی هیپوتانوس را با هر داده محاسبه کنید.


ویدئو: قضیه فیثاغورث

 

شاید خواندن آن مفید باشد: