გენეტიკური სიმბოლიზმი, ამოცანების დიზაინი. კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის - განმარტება, პოვნის მაგალითები როგორ გამოვყოთ გადამკვეთი ხაზები

ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში განვსაზღვრავთ კუთხეს გადაკვეთის ხაზებს შორის და წარმოგიდგენთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შემდეგი, ჩვენ ვუპასუხებთ კითხვას: „როგორ ვიპოვოთ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის, თუ ცნობილია ამ ხაზების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში“? დასასრულს, მაგალითებისა და ამოცანების ამოხსნისას ვივარჯიშებთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნაში.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე გადამკვეთ სწორ ხაზებს შორის - განსაზღვრება.

სწორხაზოვან ხაზებს შორის კუთხის დადგენას თანდათან მივუდგებით.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ დახრილი ხაზების განმარტება: სამგანზომილებიან სივრცეში ორ ხაზს ე.წ. შეჯვარება, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში არ წევენ. ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ გადამკვეთი ხაზები არ იკვეთება, არ არის პარალელური და, უფრო მეტიც, არ ემთხვევა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი ორივე გარკვეულ სიბრტყეში იქნებოდნენ.

მოდით მივცეთ დამატებითი დამხმარე მსჯელობა.

მოდით, ორი გადამკვეთი ხაზი a და b იყოს მოცემული სამგანზომილებიან სივრცეში. მოდით ავაშენოთ სწორი ხაზები a 1 და b 1 ისე, რომ ისინი პარალელურად იყვნენ დახრილი ხაზების a და b, შესაბამისად, და გაიარონ M 1 სივრცეში რაღაც წერტილი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორ გადამკვეთ ხაზს a 1 და b 1. მოდით, კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის a 1 და b 1 იყოს კუთხის ტოლი. ახლა ავაშენოთ a 2 და b 2 წრფეები, პარალელურად a და b ხაზების პარალელურად, რომლებიც გადიან M 2 წერტილს, რომელიც განსხვავდება M 1 წერტილისგან. A 2 და b 2 გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხე ასევე ტოლი იქნება კუთხის. ეს განცხადება მართალია, რადგან სწორი ხაზები a 1 და b 1 დაემთხვევა სწორ ხაზებს a 2 და b 2, შესაბამისად, თუ შესრულებულია პარალელური გადატანა, რომელშიც M 1 წერტილი გადადის M 2 წერტილში. ამრიგად, M წერტილში გადამკვეთ ორ სწორ წრფეს შორის კუთხის ზომა, შესაბამისად მოცემული გადამკვეთი წრფეების პარალელურად, არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევანზე.

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის.

განმარტება.

კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორისარის კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის, რომლებიც შესაბამისად პარალელურია მოცემული გადამკვეთი წრფეების.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის ასევე არ იქნება დამოკიდებული M წერტილის არჩევანზე. მაშასადამე, M წერტილად შეგვიძლია ავიღოთ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება ერთ-ერთ გადამკვეთ წრფეს.

მოდით მივცეთ ილუსტრაცია გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრის შესახებ.

კუთხის პოვნა გადამკვეთ ხაზებს შორის.

ვინაიდან გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხე განისაზღვრება გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხით, გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნა მცირდება სამგანზომილებიან სივრცეში შესაბამის გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხის პოვნამდე.

უდავოა, რომ საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე შესწავლილი მეთოდები შესაფერისია გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის საპოვნელად. ანუ, საჭირო კონსტრუქციების დასრულების შემდეგ, შეგიძლიათ დააკავშიროთ სასურველი კუთხე მდგომარეობიდან ცნობილი ნებისმიერი კუთხით, ფიგურების თანასწორობის ან მსგავსების საფუძველზე, ზოგიერთ შემთხვევაში ეს დაგეხმარებათ კოსინუსების თეორემა, და ზოგჯერ იწვევს შედეგს კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განსაზღვრამართკუთხა სამკუთხედი.

თუმცა ძალიან მოსახერხებელია გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნის პრობლემის გადაჭრა კოორდინატთა მეთოდით. სწორედ ამას განვიხილავთ.

დაე, Oxyz დაინერგოს სამგანზომილებიან სივრცეში (თუმცა ბევრ პრობლემაში თქვენ თავად უნდა შეიყვანოთ იგი).

დავსვათ დავალება: ვიპოვოთ კუთხე a და b გადაკვეთის ხაზებს შორის, რომლებიც შეესაბამება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz სივრცეში წრფის ზოგიერთ განტოლებას.

მოდი მოვაგვაროთ.

ავიღოთ თვითნებური წერტილი სამგანზომილებიან სივრცეში M და დავუშვათ, რომ სწორი ხაზები a 1 და b 1 გადის მასში, შესაბამისად, a და b გადაკვეთის სწორი ხაზების პარალელურად. მაშინ საჭირო კუთხე a და b გადამკვეთ წრფეებს შორის უდრის კუთხეს a 1 და b 1 გადამკვეთ წრფეებს შორის განსაზღვრებით.

ამრიგად, ჩვენ უბრალოდ უნდა ვიპოვოთ კუთხე a 1 და b 1 ხაზებს შორის. სივრცეში ორ გადამკვეთ წრფეს შორის კუთხის პოვნის ფორმულის გამოსაყენებლად, უნდა ვიცოდეთ a 1 და b 1 წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები.

როგორ მივიღოთ ისინი? და ეს ძალიან მარტივია. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის განმარტება საშუალებას გვაძლევს ვამტკიცოთ, რომ პარალელური წრფეების მიმართულების ვექტორების სიმრავლეები ერთმანეთს ემთხვევა. ამიტომ, a 1 და b 1 სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები შეიძლება მივიღოთ მიმართულების ვექტორებად და სწორი ხაზები a და b შესაბამისად.

Ისე, კუთხე a და b გადამკვეთ წრფეებს შორის გამოითვლება ფორმულით
, სად და არის a და b სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები, შესაბამისად.

გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსის პოვნის ფორმულა a და b აქვს ფორმა .

საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ კუთხის სინუსი გადაკვეთის ხაზებს შორის, თუ ცნობილია კოსინუსი: .

რჩება მაგალითების გადაწყვეტილებების ანალიზი.

მაგალითი.

იპოვეთ კუთხე a და b გადაკვეთის ხაზებს შორის, რომლებიც განისაზღვრება Oxyz მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განტოლებებით. და .

გამოსავალი.

სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები სივრცეში საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ ამ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები - ისინი მოცემულია წილადების მნიშვნელებში რიცხვებით, ანუ, . სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები სივრცეში ასევე შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები - ისინი უდრის კოეფიციენტებს პარამეტრის წინ, ანუ, - პირდაპირი ვექტორი . ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი ფორმულის გამოსაყენებლად, რომლითაც გამოითვლება გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხე:

პასუხი:

მოცემული გადამკვეთ წრფეებს შორის კუთხე უდრის.

მაგალითი.

იპოვეთ კუთხის სინუსი და კოსინუსი იმ გადაკვეთის ხაზებს შორის, რომლებზეც დევს ABCD პირამიდის AD და BC კიდეები, თუ ცნობილია მისი წვეროების კოორდინატები: .

გამოსავალი.

AD და BC გადაკვეთის ხაზების მიმართულების ვექტორები არის ვექტორები და . გამოვთვალოთ მათი კოორდინატები, როგორც სხვაობა ვექტორის ბოლო და საწყისი წერტილების შესაბამის კოორდინატებს შორის:

ფორმულის მიხედვით ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ კუთხის კოსინუსი მითითებულ გადაკვეთის ხაზებს შორის:

ახლა გამოვთვალოთ კუთხის სინუსი გადაკვეთის ხაზებს შორის:

გენეტიკური სიმბოლიზმი

სიმბოლიზმი არის მეცნიერების ნებისმიერ დარგში გამოყენებული ჩვეულებრივი სახელებისა და ტერმინების ჩამონათვალი და ახსნა.

გენეტიკური სიმბოლიზმის საფუძველი ჩაუყარა გრეგორ მენდელს, რომელმაც გამოიყენა ანბანური სიმბოლიზმი თვისებების აღსანიშნავად. დომინანტური ნიშნები აღინიშნა ლათინური ანბანის დიდი ასოებით A, B, C და ა.შ., რეცესიული სიმბოლოები - მცირე ასოებით - a, b, c და ა.შ. მენდელის მიერ შემოთავაზებული ლიტერატურული სიმბოლიზმი არსებითად არის მახასიათებლების მემკვიდრეობის კანონების გამოხატვის ალგებრული ფორმა.

შემდეგი სიმბოლიზმი გამოიყენება გადაკვეთის აღსანიშნავად.

მშობლები აღინიშნება ლათინური ასო P-ით (მშობლები - მშობლები), შემდეგ მათ გვერდით იწერება მათი გენოტიპები. მდედრობითი სქესი აღინიშნება სიმბოლოთი ♂ (ვენერას სარკე), მამრობითი სქესი ♀ (მარსის ფარი და შუბი). "x" მოთავსებულია მშობლებს შორის, რათა მიუთითებდეს გადაკვეთაზე. პირველ ადგილზე მდედრობითი სქესის გენოტიპი იწერება, მეორეზე კი მამრობითი.

პირველი თაობა დასახელებულია F 1 (ფილი - ბავშვები), მეორე თაობა - ფ 2 და ა.შ. ახლოს არის შთამომავლების გენოტიპების აღნიშვნები.

ძირითადი ტერმინებისა და ცნებების ლექსიკონი

ალელები (ალელური გენები)- ერთი გენის სხვადასხვა ფორმები, რომლებიც წარმოიქმნება მუტაციების შედეგად და განლაგებულია დაწყვილებული ჰომოლოგიური ქრომოსომების იდენტურ წერტილებში (ადგილებზე).

ალტერნატიული ნიშნები- ურთიერთგამომრიცხავი, კონტრასტული თვისებები.

გამეტები (ბერძნულიდან "gametes" „- მეუღლე) არის მცენარის ან ცხოველის ორგანიზმის რეპროდუქციული უჯრედი, რომელიც ატარებს ერთ გენს ალელური წყვილიდან. გამეტები ყოველთვის ატარებენ გენებს "სუფთა" სახით, რადგან წარმოიქმნება მეიოტური უჯრედების გაყოფით და შეიცავს ერთ-ერთ ჰომოლოგიურ ქრომოსომას.

გენი (ბერძნულიდან "genos" "- დაბადება) არის დნმ-ის მოლეკულის ნაწილი, რომელიც ატარებს ინფორმაციას ერთი კონკრეტული ცილის პირველადი სტრუქტურის შესახებ.

ალელური გენები - დაწყვილებული გენები, რომლებიც მდებარეობს ჰომოლოგიური ქრომოსომების იდენტურ უბნებში.

გენოტიპი - ორგანიზმის მემკვიდრეობითი მიდრეკილებების (გენების) ერთობლიობა.

ჰეტეროზიგოტი (ბერძნულიდან "heteros" " - სხვა და ზიგოტი) - ზიგოტი, რომელსაც აქვს ორი განსხვავებული ალელი მოცემული გენისთვის (აა, ბბ).

ჰეტეროზიგოტურიარიან ინდივიდები, რომლებმაც მიიღეს განსხვავებული გენები მშობლებისგან. ჰეტეროზიგოტური ინდივიდი თავის შთამომავლობაში აწარმოებს სეგრეგაციას ამ თვისებისთვის.

ჰომოზიგოტი (ბერძნულიდან "homos" " - იდენტური და ზიგოტი) - ზიგოტი, რომელსაც აქვს მოცემული გენის იგივე ალელები (ორივე დომინანტი ან ორივე რეცესიული).

ჰომოზიგოტური უწოდებენ ინდივიდებს, რომლებმაც მშობლებისგან მიიღეს იგივე მემკვიდრეობითი მიდრეკილებები (გენები) რაიმე კონკრეტული მახასიათებლის მიმართ. ჰომოზიგოტური ინდივიდი შთამომავლობაში არ წარმოქმნის რღვევას.

ჰომოლოგიური ქრომოსომა(ბერძნულიდან "homos" " - იდენტური) - დაწყვილებული ქრომოსომა, იდენტური ფორმის, ზომის, გენების ნაკრები. დიპლოიდურ უჯრედში ქრომოსომების ნაკრები ყოველთვის დაწყვილებულია: ერთი ქრომოსომა დედის წარმოშობის წყვილია, მეორე კი მამობრივი წარმოშობისა.

ჰეტეროზიგოტურიარიან ინდივიდები, რომლებმაც მიიღეს განსხვავებული გენები მშობლებისგან. ამრიგად, გენოტიპის მიხედვით, ინდივიდები შეიძლება იყვნენ ჰომოზიგოტები (AA ან aa) ან ჰეტეროზიგოტები (Aa).

დომინანტური თვისება (გენი) – უპირატესი, გამოხატული - მითითებულია ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: A, B, C და ა.შ.

რეცესიული თვისება (გენი) – ჩახშობილი ნიშანი მითითებულია ლათინური ანბანის შესაბამისი მცირე ასოებით: a, b c და ა.შ.

გადაკვეთის ანალიზი– საცდელი ორგანიზმის გადაკვეთა სხვასთან, რომელიც არის მოცემული ნიშანთვისების რეცესიული ჰომოზიგოტი, რაც შესაძლებელს ხდის საცდელი პირის გენოტიპის დადგენას.

დიჰიბრიდული გადაკვეთა– ფორმების გადაკვეთა, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ორი წყვილი ალტერნატიული მახასიათებლებით.

მონოჰიბრიდული გადაკვეთა– ფორმების გადაკვეთა, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება ალტერნატიული მახასიათებლების ერთი წყვილით.

სუფთა ხაზები - ორგანიზმები, რომლებიც ჰომოზიგოტურია ერთი ან მეტი მახასიათებლის მიმართ და არ აწარმოებენ ალტერნატიული ნიშან-თვისების გამოვლინებებს მათ შთამომავლობაში.

ფენი ნიშანია.

ფენოტიპი - ორგანიზმის ყველა გარეგანი ნიშნისა და თვისების მთლიანობა, რომელიც ხელმისაწვდომია დაკვირვებისა და ანალიზისთვის.

გენეტიკური პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი

ყურადღებით წაიკითხეთ დავალების დონე.
მოკლედ ჩაწერეთ პრობლემის პირობები.
ჩაწერეთ შეჯვარებული პირების გენოტიპები და ფენოტიპები.
იდენტიფიცირება და ჩაწერეთ გამეტების ტიპები, რომლებიც წარმოიქმნება შეჯვარებული პირების მიერ.
ჯვრიდან მიღებული შთამომავლობის გენოტიპებისა და ფენოტიპების განსაზღვრა და ჩაწერა.
გადაკვეთის შედეგების ანალიზი. ამისათვის დაადგინეთ შთამომავლობის კლასების რაოდენობა ფენოტიპისა და გენოტიპის მიხედვით და ჩამოწერეთ რიცხვითი თანაფარდობის სახით.
დაწერეთ პასუხი კითხვაზე პრობლემაში.

(გარკვეულ თემებზე პრობლემების გადაჭრისას შეიძლება შეიცვალოს ეტაპების თანმიმდევრობა და შეიცვალოს მათი შინაარსი.)

დავალებების ფორმატირება

ჩვეულებრივად არის ჩაწერილი ჯერ ქალის გენოტიპი, შემდეგ კი მამაკაცის (სწორი ჩანაწერი - ♀ААВВ x ♂аавв; არასწორი ჩანაწერი- ♂ aavv x ♀AABB).
ერთი ალელური წყვილის გენები ყოველთვის ერთმანეთის გვერდით იწერება(სწორი ჩანაწერი - ♀ААВВ; არასწორი ჩანაწერი ♀ААВВ).
გენოტიპის ჩაწერისას, ნიშნების აღმნიშვნელი ასოები ყოველთვის იწერება ანბანური თანმიმდევრობით, მიუხედავად იმისა, რომელ ნიშან-თვისებას - დომინანტური თუ რეცესიული - აღნიშნავენ (სწორი ჩანაწერი - ♀ааВВ;არასწორი ჩანაწერი -♀ვვაა).
თუ ცნობილია ინდივიდის მხოლოდ ფენოტიპი, მაშინ მისი გენოტიპის ჩაწერისას იწერება მხოლოდ ის გენები, რომელთა არსებობაც უდავოა.გენი, რომელიც არ შეიძლება განისაზღვროს ფენოტიპით, აღინიშნება "_"(მაგალითად, თუ ბარდის თესლების ყვითელი ფერი (A) და გლუვი ფორმა (B) დომინანტური თვისებებია, ხოლო მწვანე ფერი (a) და ნაოჭიანი ფორმა (c) რეცესიულია, მაშინ ინდივიდის გენოტიპი ყვითელი ნაოჭიანი თესლით. იწერება შემდეგნაირად: A_vv).
ფენოტიპი ყოველთვის იწერება გენოტიპის ქვეშ.
გამეტები იწერება მათი შემოვლით.(A).
ინდივიდებში განისაზღვრება და აღირიცხება გამეტების ტიპები და არა მათი რაოდენობა

კურსი იყენებს გეომეტრიული ენამათემატიკის კურსში (კერძოდ, გიმნაზიის ახალ გეომეტრიის კურსში) მიღებული აღნიშვნებითა და სიმბოლოებით შედგენილი.

აღნიშვნებისა და სიმბოლოების მთელი მრავალფეროვნება, ისევე როგორც მათ შორის კავშირები, შეიძლება დაიყოს ორ ჯგუფად:

I ჯგუფი - გეომეტრიული ფიგურების აღნიშვნები და მათ შორის მიმართება;

II ჯგუფი ლოგიკური მოქმედებების აღნიშვნები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიული ენის სინტაქსურ საფუძველს.

ქვემოთ მოცემულია ამ კურსში გამოყენებული მათემატიკური სიმბოლოების სრული სია. განსაკუთრებული ყურადღება ეთმობა სიმბოლოებს, რომლებიც გამოიყენება გეომეტრიული ფიგურების პროგნოზების აღსანიშნავად.

ჯგუფი I

სიმბოლოები, რომლებიც მიუთითებენ გეომეტრიულ ფიგურებსა და მათ შორის არსებულ მიმართებებს

ა. გეომეტრიული ფიგურების აღნიშვნა

1. გეომეტრიული ფიგურა აღინიშნება - ფ.

2. წერტილები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით ან არაბული ციფრებით:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. ხაზები, რომლებიც თვითნებურად მდებარეობს პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში, აღინიშნება ლათინური ანბანის მცირე ასოებით:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

დონის ხაზები აღინიშნება: h - ჰორიზონტალური; ვ- წინა.

შემდეგი აღნიშვნები ასევე გამოიყენება სწორი ხაზებისთვის:

(AB) - სწორი ხაზი, რომელიც გადის A და B წერტილებზე;

[AB) - სხივი დასაწყისით A წერტილით;

[AB] - სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც შემოიფარგლება A და B წერტილებით.

4. ზედაპირები აღინიშნება ბერძნული ანბანის მცირე ასოებით:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

ზედაპირის განსაზღვრის ხაზგასასმელად, უნდა იყოს მითითებული გეომეტრიული ელემენტები, რომლითაც იგი განისაზღვრება, მაგალითად:

α(a || b) - სიბრტყე α განისაზღვრება პარალელური a და b წრფეებით;

β(d 1 d 2 gα) - β ზედაპირი განისაზღვრება d 1 და d 2 სახელმძღვანელოებით, გენერატორით g და პარალელიზმის სიბრტყით α.

5. კუთხეები მითითებულია:

∠ABC - კუთხე B წერტილთან წვეროსთან, ასევე ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. კუთხოვანი: მნიშვნელობა (ხარისხის ზომა) აღინიშნება ნიშნით, რომელიც მოთავსებულია კუთხის ზემოთ:

ABC კუთხის სიდიდე;

φ კუთხის სიდიდე.

მართი კუთხე აღინიშნება კვადრატით შიგნით წერტილით

7. გეომეტრიულ ფიგურებს შორის მანძილი მითითებულია ორი ვერტიკალური სეგმენტით - ||.

Მაგალითად:

|AB| - მანძილი A და B წერტილებს შორის (AB სეგმენტის სიგრძე);

|აა| - მანძილი A წერტილიდან a წრფემდე;

|Aα| - მანძილი A წერტილიდან α ზედაპირამდე;

|აბ| - მანძილი a და b ხაზებს შორის;

|აβ| მანძილი α და β ზედაპირებს შორის.

8. საპროექციო სიბრტყეებისთვის მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები: π 1 და π 2, სადაც π 1 არის ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე;

π 2 - შუბლის პროექციის თვითმფრინავი.

საპროექციო თვითმფრინავების შეცვლისას ან ახალი თვითმფრინავების დანერგვისას, ეს უკანასკნელი აღინიშნება π 3, π 4 და ა.შ.

9. პროექციის ღერძები აღინიშნება: x, y, z, სადაც x არის აბსცისის ღერძი; y - ორდინატთა ღერძი; z - აპლიკაციის ღერძი.

მონჯის მუდმივი სწორი ხაზის დიაგრამა აღინიშნება k-ით.

10. წერტილების, ხაზების, ზედაპირის, ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურის პროგნოზები მითითებულია იგივე ასოებით (ან რიცხვებით), როგორც ორიგინალი, იმ პროექციის სიბრტყის შესაბამისი ზემოწერის დამატებით, რომელზედაც ისინი მიიღეს:

A", B", C", D", ... , L", M", N", წერტილების ჰორიზონტალური პროგნოზები; A", B", C", D", ..., L", M " , N", ... წერტილების ფრონტალური პროგნოზები; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - ხაზების ჰორიზონტალური პროგნოზები; a" , b" , c", d" , ... , l" m " , n " , ... ხაზების ფრონტალური პროექციები; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... ზედაპირების ჰორიზონტალური პროგნოზები; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... ზედაპირების ფრონტალური პროგნოზები.

11. სიბრტყეების (ზედაპირების) კვალი აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც ჰორიზონტალური ან ფრონტალური, 0α ქვესკრიპტის დამატებით, ხაზგასმულია, რომ ეს ხაზები დევს პროექციის სიბრტყეში და მიეკუთვნება α სიბრტყეს (ზედაპირს).

ასე რომ: h 0α - სიბრტყის (ზედაპირის) ჰორიზონტალური კვალი α;

f 0α - სიბრტყის (ზედაპირის) შუბლის კვალი α.

12. სწორი ხაზების (ხაზების) კვალი აღინიშნება დიდი ასოებით, რომლებითაც იწყება სიტყვები, რომლებიც განსაზღვრავენ პროექციის სიბრტყის სახელს (ლათინური ტრანსკრიფცია), რომელსაც კვეთს წრფე, ხაზთან კავშირის მითითებით.

მაგალითად: H a - სწორი ხაზის ჰორიზონტალური კვალი (ხაზი) a;

F a - სწორი ხაზის ფრონტალური კვალი (ხაზი) a.

13. წერტილების, წრფეების (ნებისმიერი ფიგურის) თანმიმდევრობა აღინიშნება 1,2,3,..., n-ით:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1, a 2, a 3,...,a n;

α 1, α 2, α 3,...,α n;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n და ა.შ.

წერტილის დამხმარე პროექცია, რომელიც მიღებულია ტრანსფორმაციის შედეგად გეომეტრიული ფიგურის რეალური მნიშვნელობის მისაღებად, აღინიშნება იგივე ასოთი 0 ქვემოწერით:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

აქსონომეტრიული პროგნოზები

14. წერტილების, ხაზების, ზედაპირების აქსონომეტრიული პროგნოზები აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც ბუნება ზედწერილი 0-ის დამატებით:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0, ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. მეორადი პროგნოზები მითითებულია ზემოწერის 1-ის დამატებით:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

სახელმძღვანელოში ნახატების წაკითხვის გასაადვილებლად საილუსტრაციო მასალის შედგენისას გამოყენებულია რამდენიმე ფერი, რომელთაგან თითოეულს აქვს გარკვეული სემანტიკური მნიშვნელობა: შავი ხაზები (წერტილები) მიუთითებს ორიგინალურ მონაცემებზე; მწვანე ფერი გამოიყენება დამხმარე გრაფიკული კონსტრუქციების ხაზებისთვის; წითელი ხაზები (წერტილები) აჩვენებს კონსტრუქციების შედეგებს ან იმ გეომეტრიულ ელემენტებს, რომლებსაც განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს.

ბ. გეომეტრიულ ფიგურებს შორის დამოკიდებულების აღმნიშვნელი სიმბოლოები

არა. პორ.	Დანიშნულება	შინაარსი	სიმბოლური აღნიშვნის მაგალითი
1	≡	მატჩი	(AB)≡(CD) - სწორი ხაზი, რომელიც გადის A და B წერტილებს, ემთხვევა C და D წერტილებზე გამავალ წრფეს
2	≅	კონგრუენტული	∠ABC≅∠MNK - კუთხე ABC შეესაბამება MNK კუთხეს
3	∼	Მსგავსი	ΔАВС∼ΔMNK - სამკუთხედები АВС და MNK მსგავსია
4	\|\|	პარალელურად	α\|\|β - სიბრტყე α პარალელურია β სიბრტყის
5	⊥	Პერპენდიკულარული	a⊥b - სწორი ხაზები a და b პერპენდიკულურია
6		შეჯვარება	c d - სწორი ხაზები c და d იკვეთება
7		ტანგენტები	t l - წრფე t არის ტანგენტური l წრფეზე. βα - β სიბრტყე tangent α ზედაპირზე
8	→	ნაჩვენებია	F 1 → F 2 - ფიგურა F 1 ასახულია F 2 ფიგურაზე
9	ს	პროექციის ცენტრი. თუ პროექციის ცენტრი არასწორი წერტილია, მაშინ მისი პოზიცია მითითებულია ისრით, პროექციის მიმართულების მითითებით	-
10	ს	პროექციის მიმართულება	-
11	პ	პარალელური პროექცია	р s α Parallel projection - პარალელური პროექცია α სიბრტყეზე s მიმართულებით

B. სიმრავლე-თეორიული აღნიშვნა

არა. პორ.	Დანიშნულება	შინაარსი	სიმბოლური აღნიშვნის მაგალითი	სიმბოლური აღნიშვნის მაგალითი გეომეტრიაში
1	M,N	კომპლექტი	-	-
2	A,B,C,...	ნაკრების ელემენტები	-	-
3	{ ... }	მოიცავს...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,...) - ფიგურა Ф შედგება A, B, C, ... წერტილებისგან.
4	∅	ცარიელი ნაკრები	L - ∅ - კომპლექტი L ცარიელია (არ შეიცავს ელემენტებს)	-
5	∈	ეკუთვნის, არის ელემენტი	2∈N (სადაც N არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე) - ნომერი 2 ეკუთვნის N სიმრავლეს	A ∈ a - წერტილი A ეკუთვნის a წრფეს (პუნქტი A დევს a ხაზზე)
6	⊂	მოიცავს, შეიცავს	N⊂M - ნაკრები N არის სიმრავლის ნაწილი (ქვესიმრავლე). ყველა რაციონალური რიცხვის M	a⊂α - სწორი ხაზი a მიეკუთვნება α სიბრტყეს (გაგება მნიშვნელობით: a წრფის წერტილთა სიმრავლე არის α სიბრტყის წერტილების ქვესიმრავლე)
7	∪	ასოციაცია	C = A U B - სიმრავლე C არის სიმრავლეთა გაერთიანება A და B; (1, 2. 3, 4.5) = (1,2,3)∪(4.5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - გატეხილი ხაზი, ABCD არის სეგმენტების გაერთიანება [AB], [BC],
8	∩	ბევრის კვეთა	M=K∩L - სიმრავლე M არის K და L სიმრავლეთა კვეთა (შეიცავს ელემენტებს, რომლებიც მიეკუთვნებიან როგორც K, ასევე L სიმრავლეს). M ∩ N = ∅ - M და N სიმრავლეთა კვეთა ცარიელი სიმრავლეა (M და N სიმრავლეს არ აქვთ საერთო ელემენტები)	a = α ∩ β - სწორი ხაზი a არის კვეთა თვითმფრინავები α და β a ∩ b = ∅ - სწორი ხაზები a და b არ იკვეთება (არ გვაქვს საერთო წერტილები)

II ჯგუფი ლოგიკური ოპერაციების აღმნიშვნელი სიმბოლოები

არა. პორ.	Დანიშნულება	შინაარსი	სიმბოლური აღნიშვნის მაგალითი
1	∧	წინადადებათა შეერთება; შეესაბამება „და“ კავშირს. წინადადება (p∧q) მართალია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ p და q ორივე მართალია	α∩β = (К:K∈α∧K∈β) α და β ზედაპირების გადაკვეთა არის წერტილების სიმრავლე (წრფე), შედგება ყველა იმ და მხოლოდ იმ K წერტილისგან, რომელიც მიეკუთვნება α ზედაპირს და β ზედაპირს
2	∨	წინადადებების განცალკევება; შეესაბამება "ან" კავშირს. წინადადება (p∨q) მართალია, როდესაც წინადადებებიდან ერთი მაინც არის ჭეშმარიტი (ეს არის p ან q, ან ორივე).	-
3	⇒	იმპლიკამენტი ლოგიკური შედეგია. წინადადება p⇒q ნიშნავს: „თუ p, მაშინ q“	(a\|\|c∧b\|\|c)⇒a\|\|b. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამესთან, მაშინ ისინი ერთმანეთის პარალელურია
4	⇔	წინადადება (p⇔q) გაგებულია მნიშვნელობით: „თუ p, მაშინ ასევე q; თუ q, მაშინ ასევე p“	А∈α⇔А∈l⊂α. წერტილი მიეკუთვნება სიბრტყეს, თუ იგი ეკუთვნის ამ სიბრტყის რომელიმე წრფეს. საპირისპირო განცხადება ასევე მართალია: თუ წერტილი ეკუთვნის გარკვეულ წრფეს, თვითმფრინავს ეკუთვნის, მაშინ ის თავად თვითმფრინავს ეკუთვნის
5	∀	ზოგადი კვანტიფიკატორი იკითხება: ყველასთვის, ყველასთვის, ვინმესთვის. გამოთქმა ∀(x)P(x) ნიშნავს: "ყოველ x-ზე: P(x) თვისებაა"	∀(ΔАВС)( = 180°) ნებისმიერი (ნებისმიერი) სამკუთხედისთვის, მისი კუთხეების მნიშვნელობების ჯამი წვეროებზე უდრის 180°
6	∃	ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორი იკითხება: არსებობს. გამოთქმა ∃(x)P(x) ნიშნავს: "არსებობს x, რომელსაც აქვს თვისება P(x)"	(∀α)(∃a). ნებისმიერი სიბრტყისთვის α არის სწორი ხაზი, რომელიც არ მიეკუთვნება α სიბრტყეს. და α სიბრტყის პარალელურად
7	∃1	არსებობის უნიკალურობის კვანტიფიკატორი კითხულობს: არსებობს მხოლოდ ერთი (-i, -th)... გამოთქმა ∃1(x)(Рх) ნიშნავს: „არსებობს მხოლოდ ერთი (მხოლოდ ერთი) x, ქონებრივი Px"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) ნებისმიერი ორი განსხვავებული წერტილისთვის A და B არის უნიკალური სწორი ხაზი a, ამ წერტილების გავლით.
8	(Px)	P(x) დებულების უარყოფა	ab(∃α)(α⊃a, b). თუ a და b წრფეები იკვეთება, მაშინ არ არსებობს სიბრტყე a, რომელიც შეიცავს მათ
9	\	ნიშნის უარყოფა	≠ -სეგმენტი [AB] არ არის სეგმენტის ტოლი.a?b - წრფე a არ არის ბ წრფის პარალელურად

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: