ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები. ფუნქციის ur ფუნქციის გრაფიკის შესწავლა

მოდით ავირჩიოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე და გამოვსახოთ არგუმენტის მნიშვნელობები აბსცისის ღერძზე Xდა ორდინატზე - ფუნქციის მნიშვნელობები y = f(x).

ფუნქციის გრაფიკი y = f(x)არის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთა აბსციები ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს, ხოლო ორდინატები ტოლია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, y = f (x) ფუნქციის გრაფიკი არის სიბრტყის ყველა წერტილის, კოორდინატების სიმრავლე. X, ზერომლებიც აკმაყოფილებენ ურთიერთობას y = f(x).



ნახ. 45 და 46 ასახავს ფუნქციების გრაფიკებს y = 2x + 1და y = x 2 - 2x.

მკაცრად რომ ვთქვათ, უნდა განვასხვავოთ ფუნქციის გრაფიკი (რომლის ზუსტი მათემატიკური განმარტება ზემოთ იყო მოცემული) და შედგენილი მრუდი, რომელიც ყოველთვის იძლევა გრაფიკის მხოლოდ მეტ-ნაკლებად ზუსტ ჩანახატს (და მაშინაც კი, როგორც წესი, არა მთელი გრაფიკი, არამედ მხოლოდ მისი ნაწილი, რომელიც მდებარეობს თვითმფრინავის ბოლო ნაწილებში). თუმცა, შემდგომში ჩვენ ზოგადად ვიტყვით "გრაფიკას" და არა "გრაფიკის ესკიზს".

გრაფიკის გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში. კერძოდ, თუ წერტილი x = aეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს y = f(x), შემდეგ ნომრის მოსაძებნად ვ(ა)(ანუ ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილში x = a) თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს. ეს აუცილებელია აბსცისის წერტილის გავლით x = aორდინატთა ღერძის პარალელურად სწორი ხაზის დახატვა; ეს ხაზი გადაკვეთს ფუნქციის გრაფიკს y = f(x)ერთ მომენტში; ამ წერტილის ორდინატი, გრაფის განსაზღვრის ძალით, ტოლი იქნება ვ(ა)(სურ. 47).



მაგალითად, ფუნქციისთვის f(x) = x 2 - 2xგრაფიკის გამოყენებით (ნახ. 46) ვპოულობთ f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 და ა.შ.

ფუნქციის გრაფიკი ნათლად ასახავს ფუნქციის ქცევას და თვისებებს. მაგალითად, ნახ. 46 ცხადია, რომ ფუნქცია y = x 2 - 2xიღებს დადებით მნიშვნელობებს, როდესაც X< 0 და ზე x > 2, უარყოფითი - 0-ზე< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xიღებს ზე x = 1.

ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად f(x)თქვენ უნდა იპოვოთ თვითმფრინავის ყველა წერტილი, კოორდინატები X,ზერომლებიც აკმაყოფილებენ განტოლებას y = f(x). უმეტეს შემთხვევაში, ამის გაკეთება შეუძლებელია, რადგან ასეთი პუნქტების უსასრულო რაოდენობაა. მაშასადამე, ფუნქციის გრაფიკი გამოსახულია დაახლოებით - მეტი ან ნაკლები სიზუსტით. უმარტივესი არის გრაფიკის გამოსახვის მეთოდი რამდენიმე წერტილის გამოყენებით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ არგუმენტი Xმიეცით მნიშვნელობების სასრული რაოდენობა - ვთქვათ, x 1, x 2, x 3,..., x k და შექმენით ცხრილი, რომელიც შეიცავს შერჩეულ ფუნქციის მნიშვნელობებს.

ცხრილი ასე გამოიყურება:



ასეთი ცხრილის შედგენის შემდეგ შეგვიძლია გამოვყოთ რამდენიმე წერტილი ფუნქციის გრაფიკზე y = f(x). შემდეგ, ამ წერტილების გლუვი ხაზით შეერთებით, მივიღებთ ფუნქციის გრაფიკის სავარაუდო ხედს y = f(x).

თუმცა უნდა აღინიშნოს, რომ მრავალწერტილიანი შედგენის მეთოდი ძალიან არასანდოა. სინამდვილეში, გრაფიკის ქცევა განზრახ წერტილებს შორის და მისი ქცევა სეგმენტის გარეთ აღებულ უკიდურეს წერტილებს შორის უცნობი რჩება.

მაგალითი 1. ფუნქციის გრაფიკის შესაქმნელად y = f(x)ვიღაცამ შეადგინა არგუმენტებისა და ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი:

შესაბამისი ხუთი წერტილი ნაჩვენებია ნახ. 48.



ამ წერტილების მდებარეობიდან გამომდინარე, მან დაასკვნა, რომ ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი (გამოსახულია 48-ზე წერტილოვანი ხაზით). შეიძლება ეს დასკვნა საიმედოდ ჩაითვალოს? თუ არ არსებობს დამატებითი მოსაზრებები ამ დასკვნის გასამყარებლად, ის ძნელად შეიძლება ჩაითვალოს საიმედოდ. საიმედო.

ჩვენი განცხადების დასასაბუთებლად, განიხილეთ ფუნქცია

.

გამოთვლები აჩვენებს, რომ ამ ფუნქციის მნიშვნელობები -2, -1, 0, 1, 2 წერტილებში ზუსტად არის აღწერილი ზემოთ მოცემული ცხრილით. თუმცა ამ ფუნქციის გრაფიკი საერთოდ არ არის სწორი ხაზი (ეს ნაჩვენებია სურ. 49-ზე). კიდევ ერთი მაგალითი იქნება ფუნქცია y = x + l + sinπx;მისი მნიშვნელობები ასევე აღწერილია ზემოთ მოცემულ ცხრილში.

ეს მაგალითები გვიჩვენებს, რომ მისი „სუფთა“ სახით გრაფიკის გამოსახვის მეთოდი რამდენიმე წერტილის გამოყენებით არასანდოა. მაშასადამე, მოცემული ფუნქციის გრაფიკის დასახატად, ჩვეულებრივ ხდება შემდეგნაირად. ჯერ ვსწავლობთ ამ ფუნქციის თვისებებს, რისი დახმარებითაც შეგვიძლია ავაშენოთ გრაფიკის ესკიზი. შემდეგ, ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლით რამდენიმე წერტილში (რომლის არჩევანი დამოკიდებულია ფუნქციის დადგენილ თვისებებზე), გვხვდება გრაფიკის შესაბამისი წერტილები. და ბოლოს, მრუდი შედგენილია აგებულ წერტილებში ამ ფუნქციის თვისებების გამოყენებით.

ჩვენ მოგვიანებით განვიხილავთ ფუნქციების ზოგიერთ (უმარტივეს და ყველაზე ხშირად გამოყენებულ) თვისებებს, რომლებიც გამოიყენება გრაფიკის ესკიზის მოსაძებნად, მაგრამ ახლა განვიხილავთ დიაგრამების ასაგებად გამოყენებულ მეთოდებს.


y = |f(x)| ფუნქციის გრაფიკი.

ხშირად საჭიროა ფუნქციის დახატვა y = |f(x)|, სადაც f(x) -მოცემული ფუნქცია. შეგახსენებთ, როგორ კეთდება ეს. რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის განსაზღვრით შეგვიძლია დავწეროთ

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი y =|f(x)|შეიძლება მიიღოთ გრაფიკიდან, ფუნქცია y = f(x)შემდეგნაირად: ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილი y = f(x), რომლის ორდინატები არაუარყოფითია, უცვლელი უნდა დარჩეს; შემდგომში, ფუნქციის გრაფიკის წერტილების ნაცვლად y = f(x)უარყოფითი კოორდინატების მქონე ფუნქციის გრაფიკზე უნდა ააგოთ შესაბამისი წერტილები y = -f(x)(ანუ ფუნქციის გრაფიკის ნაწილი
y = f(x), რომელიც მდებარეობს ღერძის ქვემოთ X,სიმეტრიულად უნდა აისახოს ღერძის გარშემო X).



მაგალითი 2.ფუნქციის გრაფიკის დახატვა y = |x|.

ავიღოთ ფუნქციის გრაფიკი y = x(სურ. 50, ა) და ამ გრაფის ნაწილი ზე X< 0 (ღერძის ქვეშ იწვა X) სიმეტრიულად ასახული ღერძის მიმართ X. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ფუნქციის გრაფიკს y = |x|(სურ. 50, ბ).

მაგალითი 3. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა y = |x 2 - 2x|.


პირველი, მოდით დავხატოთ ფუნქცია y = x 2 - 2x.ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ, პარაბოლის წვეროს აქვს კოორდინატები (1; -1), მისი გრაფიკი კვეთს x ღერძს 0 და 2 წერტილებში. ინტერვალში (0; 2) ფუნქცია იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს, ამიტომ გრაფიკის ეს ნაწილი სიმეტრიულად აისახება აბსცისის ღერძთან მიმართებაში. ნახაზი 51 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკს y = |x 2 -2x|, ფუნქციის გრაფიკზე დაყრდნობით y = x 2 - 2x

y = f(x) + g(x) ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკის აგების პრობლემა y = f(x) + g(x).თუ მოცემულია ფუნქციის გრაფიკები y = f(x)და y = g(x).

გაითვალისწინეთ, რომ y = |f(x) + g(x)| ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის x-ის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე, რომლისთვისაც ორივე ფუნქციაა განსაზღვრული y = f(x) და y = g(x), ანუ განსაზღვრების ეს დომენი არის განსაზღვრების დომენების კვეთა, ფუნქციები f(x) და g(x).

დაუშვით ქულები (x 0, y 1) და (x 0, y 2) შესაბამისად განეკუთვნება ფუნქციების გრაფიკებს y = f(x)და y = g(x), ანუ ი 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0).მაშინ წერტილი (x0;. y1 + y2) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს y = f(x) + g(x)(ამისთვის f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. და ნებისმიერი წერტილი ფუნქციის გრაფიკზე y = f(x) + g(x)შეიძლება ამ გზით მიიღოთ. მაშასადამე, ფუნქციის გრაფიკი y = f(x) + g(x)შეიძლება მიიღოთ ფუნქციის გრაფიკებიდან y = f(x). და y = g(x)თითოეული წერტილის შეცვლა ( x n, y 1) ფუნქციური გრაფიკა y = f(x)წერტილი (x n, y 1 + y 2),სად y 2 = g(x n), ანუ თითოეული წერტილის გადანაცვლებით ( x n, y 1) ფუნქციის გრაფიკი y = f(x)ღერძის გასწვრივ ზეთანხით y 1 = g(x n). ამ შემთხვევაში განიხილება მხოლოდ ასეთი პუნქტები X n რომლისთვისაც ორივე ფუნქციაა განსაზღვრული y = f(x)და y = g(x).

ფუნქციის შედგენის ეს მეთოდი y = f(x) + g(x) ეწოდება ფუნქციების გრაფიკების დამატება y = f(x)და y = g(x)

მაგალითი 4. ნახატზე აშენდა ფუნქციის გრაფიკი გრაფიკების დამატების მეთოდით
y = x + sinx.

ფუნქციის შედგენისას y = x + sinxჩვენ ვფიქრობდით, რომ f(x) = x,ა g(x) = sinx.ფუნქციის გრაფიკის გამოსასახად ვირჩევთ წერტილებს აბსცისებით -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. მნიშვნელობები. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxგამოვთვალოთ შერჩეულ პუნქტებზე და შედეგები მოვათავსოთ ცხრილში.


ეს სასწავლო მასალა მხოლოდ საცნობაროა და ეხება თემების ფართო სპექტრს. სტატიაში მოცემულია ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების მიმოხილვა და განიხილება ყველაზე მნიშვნელოვანი საკითხი - როგორ ავაშენოთ გრაფიკი სწორად და სწრაფად. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკების ცოდნის გარეშე უმაღლესი მათემატიკის შესწავლისას რთული იქნება, ამიტომ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, თუ როგორ გამოიყურება პარაბოლის, ჰიპერბოლის, სინუსის, კოსინუსის და ა.შ. გრაფიკები და დაიმახსოვროთ ზოგიერთი. ფუნქციების მნიშვნელობებზე. ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ ძირითადი ფუნქციების ზოგიერთ თვისებებზე.

მე არ პრეტენზია მაქვს მასალების სისრულესა და მეცნიერულ სიზუსტეზე, აქცენტი, პირველ რიგში, პრაქტიკაზე გაკეთდება - ის, რაც ადამიანი ხვდება სიტყვასიტყვით ყოველ ნაბიჯზე, უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ თემაზე. დუმების სქემები? შეიძლება ასე ითქვას.

მკითხველთა მრავალი თხოვნის გამო დაწკაპუნებადი სარჩევი:

გარდა ამისა, არის ულტრა მოკლე შინაარსი ამ თემაზე
- დაეუფლეთ 16 ტიპის სქემებს ექვსი გვერდის შესწავლით!

სერიოზულად, ექვსი, მეც კი გამიკვირდა. ეს რეზიუმე შეიცავს გაუმჯობესებულ გრაფიკას და ხელმისაწვდომია ნომინალური საფასურით; შეგიძლიათ ნახოთ დემო ვერსია. მოსახერხებელია ფაილის დაბეჭდვა ისე, რომ გრაფიკები ყოველთვის ხელთ იყოს. მადლობა პროექტის მხარდაჭერისთვის!

და დავიწყოთ მაშინვე:

როგორ ავაშენოთ კოორდინატთა ღერძები სწორად?

პრაქტიკაში ტესტებს სტუდენტები თითქმის ყოველთვის ასრულებენ ცალკე რვეულებში, კვადრატში გაფორმებული. რატომ გჭირდებათ მონიშნული ნიშნები? ყოველივე ამის შემდეგ, მუშაობა, პრინციპში, შეიძლება გაკეთდეს A4 ფურცლებზე. და გალია აუცილებელია მხოლოდ ნახატების მაღალი ხარისხის და ზუსტი დიზაინისთვის.

ფუნქციის გრაფიკის ნებისმიერი ნახაზი იწყება კოორდინატთა ღერძებით.

ნახატები შეიძლება იყოს ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი.

ჯერ განვიხილოთ ორგანზომილებიანი შემთხვევა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა:

1) კოორდინატთა ღერძების დახატვა. ღერძი ე.წ x-ღერძი , და ღერძი არის y-ღერძი . ჩვენ ყოველთვის ვცდილობთ დავხატოთ ისინი მოწესრიგებული და არა მრუდე. ისრები ასევე არ უნდა ჰგავდეს პაპა კარლოს წვერს.

2) ცულებს ვაწერთ დიდი ასოებით "X" და "Y". არ დაგავიწყდეთ ცულების მარკირება.

3) დააყენეთ მასშტაბი ღერძების გასწვრივ: დახაზეთ ნული და ორი ერთი. ნახატის გაკეთებისას ყველაზე მოსახერხებელი და ხშირად გამოყენებული მასშტაბი არის: 1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახატი მარცხნივ) - თუ შესაძლებელია, მიჰყევით მას. თუმცა, დროდადრო ხდება ისე, რომ ნახატი არ ჯდება ნოუთბუქის ფურცელზე - მაშინ ვამცირებთ მასშტაბს: 1 ერთეული = 1 უჯრედი (ნახატი მარჯვნივ). იშვიათია, მაგრამ ხდება, რომ ნახატის მასშტაბი კიდევ უფრო უნდა შემცირდეს (ან გაიზარდოს)

არ არის საჭირო „ტყვიამფრქვევის“…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,….რადგან კოორდინატთა სიბრტყე არ არის დეკარტის ძეგლი და სტუდენტი არ არის მტრედი. Ჩვენ ვდებთ ნულიდა ორი ერთეული ღერძების გასწვრივ. ხანდახან იმის მაგივრადერთეულები, მოსახერხებელია სხვა მნიშვნელობების „მონიშვნა“, მაგალითად, „ორი“ აბსცისის ღერძზე და „სამი“ ორდინატთა ღერძზე - და ეს სისტემა (0, 2 და 3) ასევე ცალსახად განსაზღვრავს კოორდინატთა ბადეს.

ნახატის აგებამდე უკეთესია ნახატის სავარაუდო ზომების შეფასება. მაგალითად, თუ დავალება მოითხოვს სამკუთხედის დახატვას წვეროებით , , მაშინ სრულიად გასაგებია, რომ პოპულარული მასშტაბი 1 ერთეული = 2 უჯრედი არ იმუშავებს. რატომ? მოდით შევხედოთ საკითხს - აქ მოგიწევთ თხუთმეტი სანტიმეტრის ქვემოთ გაზომვა და, ცხადია, ნახატი არ ჯდება (ან ძლივს ჯდება) ნოუთბუქის ფურცელზე. ამიტომ, ჩვენ დაუყოვნებლივ ვირჩევთ უფრო მცირე მასშტაბს: 1 ერთეული = 1 უჯრედი.

სხვათა შორის, დაახლოებით სანტიმეტრი და ნოუთბუქის უჯრედები. მართალია, რომ 30 ბლოკნოტი შეიცავს 15 სანტიმეტრს? გასართობად გაზომეთ ბლოკნოტში სახაზავი 15 სანტიმეტრი. სსრკ-ში შესაძლოა ასეც იყო... საინტერესოა, რომ თუ ამ იმავე სანტიმეტრებს ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად გაზომავთ, შედეგები (უჯრედებში) განსხვავებული იქნება! მკაცრად რომ ვთქვათ, თანამედროვე ნოუთბუქები არ არის ჩექმიანი, არამედ მართკუთხა. ეს შეიძლება სისულელე ჩანდეს, მაგრამ, მაგალითად, კომპასით წრის დახატვა ასეთ სიტუაციებში ძალიან მოუხერხებელია. მართალი გითხრათ, ასეთ მომენტებში იწყებ ფიქრს ამხანაგი სტალინის სისწორეზე, რომელიც გაგზავნეს ბანაკებში წარმოებაში ჰაკერული სამუშაოსთვის, რომ აღარაფერი ვთქვათ შიდა საავტომობილო ინდუსტრიაზე, თვითმფრინავების დაცემაზე ან ელექტროსადგურების აფეთქებაზე.

საუბარია ხარისხზე, ან მოკლე რეკომენდაციაზე საკანცელარიო ნივთებზე. დღეს გაყიდვაში არსებული ნოუთბუქების უმეტესობა, რბილად რომ ვთქვათ, სრული სისულელეა. იმ მიზეზით, რომ ისინი სველდებიან და არა მხოლოდ გელის კალმებიდან, არამედ ბურთულიანი კალმებიდანაც! ისინი ზოგავენ ფულს ქაღალდზე. ტესტების დასასრულებლად გირჩევთ გამოიყენოთ რვეულები არხანგელსკის რბილობი და ქაღალდის ქარხნიდან (18 ფურცელი, კვადრატი) ან "პიატეროჩკა", თუმცა ეს უფრო ძვირია. მიზანშეწონილია აირჩიოთ გელის კალამი; ყველაზე იაფი ჩინური გელის შემავსებელიც კი ბევრად უკეთესია, ვიდრე ბურთულიანი კალამი, რომელიც ან ჭუჭყიან ან იშლება ქაღალდზე. ერთადერთი „კონკურენტული“ ბურთულიანი კალამი, რომელიც მახსოვს, არის ერიხ კრაუზე. ის წერს ნათლად, ლამაზად და თანმიმდევრულად - სრული ბირთვით თუ თითქმის ცარიელი.

დამატებით: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ხედვა ანალიტიკური გეომეტრიის თვალით განხილულია სტატიაში ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორების საფუძველი, დეტალური ინფორმაცია კოორდინატთა კვარტლების შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ გაკვეთილის მეორე აბზაცში წრფივი უტოლობა.

3D ქეისი

აქაც თითქმის იგივეა.

1) კოორდინატთა ღერძების დახატვა. სტანდარტული: ღერძი გამოიყენება - მიმართული ზემოთ, ღერძი - მიმართული მარჯვნივ, ღერძი - მიმართული ქვევით მარცხნივ მკაცრად 45 გრადუსიანი კუთხით.

2) მონიშნეთ ცულები.

3) დააყენეთ სასწორი ღერძების გასწვრივ. ღერძის გასწვრივ მასშტაბი ორჯერ უფრო მცირეა, ვიდრე სხვა ღერძების გასწვრივ. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ სწორ ნახატში მე გამოვიყენე არასტანდარტული "ნაჭერი" ღერძის გასწვრივ (ეს შესაძლებლობა უკვე აღინიშნა ზემოთ). ჩემი აზრით, ეს უფრო ზუსტი, სწრაფი და ესთეტიურად სასიამოვნოა - არ არის საჭირო მიკროსკოპის ქვეშ მოძებნოთ უჯრედის შუა და კოორდინატების საწყისთან ახლოს მდებარე ერთეულის „გამოძერწვა“.

3D ნახატის გაკეთებისას, კვლავ, უპირატესობა მიანიჭეთ მასშტაბებს
1 ერთეული = 2 უჯრედი (ნახატი მარცხნივ).

რისთვის არის ყველა ეს წესი? Კანონები იმისთვისაა, რომ დაარღვიო. სწორედ ამას გავაკეთებ ახლა. ფაქტია, რომ სტატიის შემდგომ ნახატებს ჩემი გავაკეთებ Excel-ში და კოორდინატთა ღერძები არასწორი დიზაინის თვალსაზრისით გამოიყურება. მე შემეძლო ყველა გრაფიკის ხელით დახატვა, მაგრამ მათი დახატვა საშინელებაა, რადგან Excel-ს არ სურს უფრო ზუსტად დახატოს ისინი.

ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და ძირითადი თვისებები

განტოლებით მოცემულია წრფივი ფუნქცია. წრფივი ფუნქციების გრაფიკი არის პირდაპირი. სწორი ხაზის ასაგებად საკმარისია ორი წერტილის ცოდნა.

მაგალითი 1

შექმენით ფუნქციის გრაფიკი. მოდი ვიპოვოთ ორი წერტილი. ხელსაყრელია ნულის არჩევა ერთ-ერთ პუნქტად.

თუ, მაშინ

ავიღოთ სხვა წერტილი, მაგალითად, 1.

თუ, მაშინ

დავალებების შესრულებისას, პუნქტების კოორდინატები ჩვეულებრივ შეჯამებულია ცხრილში:


და თავად მნიშვნელობები გამოითვლება ზეპირად ან მონახაზზე, კალკულატორზე.

ნაპოვნია ორი წერტილი, მოდით გავაკეთოთ ნახაზი:


ნახატის მომზადებისას ყოველთვის ვაწერთ ხელს გრაფიკას.

სასარგებლო იქნება წრფივი ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევების გახსენება:


დააკვირდით, როგორ მოვათავსე ხელმოწერები, ხელმოწერებმა არ უნდა დაუშვას შეუსაბამობა ნახატის შესწავლისას. ამ შემთხვევაში უკიდურესად არასასურველი იყო ხელმოწერის დადება ხაზების გადაკვეთის წერტილის გვერდით, ან ქვედა მარჯვენა კუთხეში გრაფიკებს შორის.

1) ფორმის წრფივ ფუნქციას () პირდაპირი პროპორციულობა ეწოდება. Მაგალითად, . პირდაპირი პროპორციულობის გრაფიკი ყოველთვის გადის საწყისზე. ამრიგად, სწორი ხაზის აგება გამარტივებულია - საკმარისია მხოლოდ ერთი წერტილის პოვნა.

2) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, თავად ღერძი მოცემულია განტოლებით. ფუნქციის გრაფიკი იწერება დაუყოვნებლივ, წერტილების პოვნის გარეშე. ანუ, ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: „y ყოველთვის უდრის –4-ს, x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის“.

3) ფორმის განტოლება განსაზღვრავს ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს, კერძოდ, თავად ღერძი მოცემულია განტოლებით. ფუნქციის გრაფიკი ასევე დაუყოვნებლივ იწერება. ჩანაწერი უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: "x ყოველთვის არის y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის 1-ის ტოლი."

ზოგი იკითხავს, ​​რატომ ახსოვს მე-6 კლასიო?! ეს ასეა, შეიძლება ასეც არის, მაგრამ პრაქტიკის წლების განმავლობაში მე შევხვდი ათეულ სტუდენტს, რომლებიც გაოგნებულები იყვნენ გრაფიკის აგების ან.

სწორი ხაზის აგება ყველაზე გავრცელებული მოქმედებაა ნახატების გაკეთებისას.

სწორი ხაზი დეტალურად განიხილება ანალიტიკური გეომეტრიის კურსში და დაინტერესებულ პირებს შეუძლიათ მიმართონ სტატიას სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლება.

კვადრატული, კუბური ფუნქციის გრაფიკი, მრავალწევრის გრაფიკი

პარაბოლა. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი () წარმოადგენს პარაბოლას. განვიხილოთ ცნობილი შემთხვევა:

გავიხსენოთ ფუნქციის ზოგიერთი თვისება.

მაშ ასე, ჩვენი განტოლების ამონახსნი: – სწორედ ამ ადგილას მდებარეობს პარაბოლის წვერო. რატომ არის ეს ასე, შეგიძლიათ იხილოთ თეორიულ სტატიაში წარმოებულის შესახებ და გაკვეთილი ფუნქციის უკიდურესობაზე. იმავდროულად, მოდით გამოვთვალოთ შესაბამისი "Y" მნიშვნელობა:

ამრიგად, წვერო არის წერტილში

ახლა ჩვენ ვპოულობთ სხვა წერტილებს პარაბოლის სიმეტრიის თავხედურად გამოყენებისას. უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქცია – არც კი არის, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ გააუქმა პარაბოლას სიმეტრია.

რა მიზნით ვიპოვოთ დარჩენილი ქულები, ვფიქრობ, საბოლოო ცხრილიდან გაირკვევა:

ამ კონსტრუქციულ ალგორითმს ფიგურალურად შეიძლება ვუწოდოთ „შატლი“ ან „წინ და უკან“ პრინციპი ანფისა ჩეხოვასთან.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:


შესწავლილი გრაფიკებიდან მახსენდება კიდევ ერთი სასარგებლო თვისება:

კვადრატული ფუნქციისთვის () შემდეგი მართალია:

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.

თუ , მაშინ პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით.

მრუდის შესახებ სიღრმისეული ცოდნის მიღება შესაძლებელია გაკვეთილზე ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

კუბური პარაბოლა მოცემულია ფუნქციით. აქ არის სკოლიდან ნაცნობი ნახატი:


მოდით ჩამოვთვალოთ ფუნქციის ძირითადი თვისებები

ფუნქციის გრაფიკი

იგი წარმოადგენს პარაბოლას ერთ-ერთ ტოტს. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:


ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ამ შემთხვევაში, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი ჰიპერბოლის გრაფიკისთვის ზე.

უხეში შეცდომა იქნება, თუ ნახაზის შედგენისას დაუდევრად დაუშვებთ გრაფიკს ასიმპტოტთან გადაკვეთის საშუალებას.

ასევე ცალმხრივი საზღვრები გვეუბნება, რომ ჰიპერბოლა არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან.

განვიხილოთ ფუნქცია უსასრულობაში: ანუ, თუ ღერძის გასწვრივ დავიწყებთ მოძრაობას მარცხნივ (ან მარჯვნივ) უსასრულობამდე, მაშინ "თამაშები" იქნება მოწესრიგებული ნაბიჯი. უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ნულს და, შესაბამისად, ჰიპერბოლის ტოტებს უსასრულოდ ახლოსმიუახლოვდით ღერძს.

ასე რომ, ღერძი არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ფუნქციის გრაფიკისთვის, თუ "x" მიდრეკილია პლუს ან მინუს უსასრულობისკენ.

ფუნქცია არის უცნაურიდა, შესაბამისად, ჰიპერბოლა სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ. ეს ფაქტი აშკარაა ნახაზიდან, გარდა ამისა, იგი ადვილად მოწმდება ანალიტიკურად: .

() ფორმის ფუნქციის გრაფიკი წარმოადგენს ჰიპერბოლის ორ ტოტს.

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს პირველ და მესამე კოორდინატთა კვარტალში(იხ. სურათი ზემოთ).

თუ , მაშინ ჰიპერბოლა მდებარეობს მეორე და მეოთხე კოორდინატთა მეოთხედებში.

ჰიპერბოლის რეზიდენციის მითითებული ნიმუში ადვილად გასაანალიზებელია გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნების თვალსაზრისით.

მაგალითი 3

ააგეთ ჰიპერბოლის მარჯვენა ტოტი

ჩვენ ვიყენებთ წერტილოვანი მშენებლობის მეთოდს და ხელსაყრელია მნიშვნელობების შერჩევა ისე, რომ ისინი იყოფა მთლიანზე:

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:


ჰიპერბოლის მარცხენა ტოტის აგება რთული არ იქნება, აქ ფუნქციის უცნაურობა დაგვეხმარება. უხეშად რომ ვთქვათ წერტილოვანი კონსტრუქციის ცხრილში გონებრივად ვამატებთ თითოეულ რიცხვს მინუსს, ვსვამთ შესაბამის წერტილებს და ვხატავთ მეორე ტოტს.

დეტალური გეომეტრიული ინფორმაცია განხილული ხაზის შესახებ შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი

ამ განყოფილებაში დაუყოვნებლივ განვიხილავ ექსპონენციალურ ფუნქციას, რადგან უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში 95% შემთხვევაში ჩნდება ექსპონენცია.

შეგახსენებთ, რომ ეს არის ირაციონალური რიცხვი: , ეს საჭირო იქნება გრაფიკის აგებისას, რომელსაც, ფაქტობრივად, ავაშენებ ცერემონიის გარეშე. სამი ქულა ალბათ საკმარისია:

მოდით, ფუნქციის გრაფიკი მარტო დავტოვოთ, უფრო მოგვიანებით.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ფუნქციების გრაფიკები და ა.შ. ფუნდამენტურად ერთნაირად გამოიყურება.

უნდა ითქვას, რომ მეორე შემთხვევა პრაქტიკაში ნაკლებად ხდება, მაგრამ ხდება, ამიტომ საჭიროდ ჩათვალე ამ სტატიაში ჩამეტანა.

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი

განვიხილოთ ფუნქცია ბუნებრივი ლოგარითმით.
მოდით დავხატოთ პუნქტი-პუნქტი:

თუ დაგავიწყდათ რა არის ლოგარითმი, გთხოვთ, მიმართოთ თქვენს სასკოლო სახელმძღვანელოებს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

დომენი:

მნიშვნელობების დიაპაზონი: .

ფუნქცია არ არის შეზღუდული ზემოდან: , მართალია ნელა, მაგრამ ლოგარითმის ტოტი უსასრულობამდე მიდის.
მოდით შევამოწმოთ ფუნქციის ქცევა ნულთან ახლოს მარჯვნივ: . ასე რომ, ღერძი არის ვერტიკალური ასიმპტოტი რადგან ფუნქციის გრაფიკი, როგორც „x“ იხრება ნულისკენ მარჯვნიდან.

აუცილებელია იცოდეთ და გახსოვდეთ ლოგარითმის ტიპიური მნიშვნელობა: .

პრინციპში, ლოგარითმის დიაგრამა ფუძემდე ერთნაირად გამოიყურება: , , (ათწილადი ლოგარითმი 10 ფუძესთან) და ა.შ. უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ბაზა, მით უფრო ბრტყელი იქნება გრაფიკი.

ჩვენ არ განვიხილავთ საქმეს, არ მახსოვს, ბოლოს როდის ავაშენე გრაფიკი ასეთი საფუძვლით. და ლოგარითმი, როგორც ჩანს, ძალიან იშვიათი სტუმარია უმაღლესი მათემატიკის ამოცანებში.

ამ პარაგრაფის ბოლოს კიდევ ერთ ფაქტს გეტყვით: ექსპონენციალური ფუნქცია და ლოგარითმული ფუნქცია- ეს არის ორი ურთიერთშებრუნებული ფუნქცია. თუ ყურადღებით დააკვირდებით ლოგარითმის გრაფიკს, ხედავთ, რომ ეს არის იგივე მაჩვენებელი, ის უბრალოდ განსხვავებულად მდებარეობს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები

სად იწყება ტრიგონომეტრიული ტანჯვა სკოლაში? უფლება. სინუსიდან

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

ამ ხაზს ე.წ სინუსოიდი.

შეგახსენებთ, რომ „პი“ არის ირაციონალური რიცხვი: , ხოლო ტრიგონომეტრიაში ის თვალებს გიბრწყინავს.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

ეს ფუნქცია არის პერიოდულიპერიოდით. Რას ნიშნავს? მოდით შევხედოთ სეგმენტს. მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ უსასრულოდ მეორდება ზუსტად იგივე გრაფიკი.

დომენი: , ანუ "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის არის სინუსური მნიშვნელობა.

მნიშვნელობების დიაპაზონი: . ფუნქცია არის შეზღუდული: ანუ ყველა "თამაში" მკაცრად ზის სეგმენტში.
ეს არ ხდება: ან, უფრო ზუსტად, ხდება, მაგრამ ამ განტოლებებს გამოსავალი არ აქვთ.

წრფივი ფუნქცია არის y=kx+b ფორმის ფუნქცია, სადაც x დამოუკიდებელი ცვლადია, k და b არის ნებისმიერი რიცხვი.
წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

1. ფუნქციის გრაფიკის დასახატად,ჩვენ გვჭირდება ფუნქციის გრაფიკის კუთვნილი ორი წერტილის კოორდინატები. მათ მოსაძებნად, თქვენ უნდა აიღოთ ორი x მნიშვნელობა, ჩაანაცვლოთ ისინი ფუნქციის განტოლებაში და გამოიყენოთ ისინი შესაბამისი y მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

მაგალითად, y= x+2 ფუნქციის გამოსათვლელად მოსახერხებელია ავიღოთ x=0 და x=3, მაშინ ამ წერტილების ორდინატები უდრის y=2 და y=3. ვიღებთ ქულებს A(0;2) და B(3;3). დავაკავშიროთ ისინი და მივიღოთ y= x+2 ფუნქციის გრაფიკი:

2. ფორმულაში y=kx+b რიცხვს k ეწოდება პროპორციულობის კოეფიციენტი:
თუ k>0, მაშინ ფუნქცია y=kx+b იზრდება
თუ კ
კოეფიციენტი b გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკის გადაადგილებას OY ღერძის გასწვრივ:
თუ b>0, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y=kx ფუნქციის გრაფიკიდან b ერთეულების ზემოთ OY ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით.
თუ ბ
ქვემოთ მოყვანილ სურათზე ნაჩვენებია y=2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y= ½ x+3; y=x+3

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ამ ფუნქციაში კოეფიციენტი k ნულის ზემოთ,და ფუნქციებია იზრდება.უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია k-ის მნიშვნელობა, მით მეტია სწორი ხაზის დახრის კუთხე OX ღერძის დადებითი მიმართულებით.

ყველა ფუნქციაში b=3 - და ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;3) წერტილში.

ახლა განვიხილოთ y=-2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y=- ½ x+3; y=-x+3

ამჯერად ყველა ფუნქციაში კოეფიციენტი k ნულზე ნაკლებიდა ფუნქციები მცირდება.კოეფიციენტი b=3 და გრაფიკები, როგორც წინა შემთხვევაში, კვეთენ OY ღერძს (0;3) წერტილში.

განვიხილოთ y=2x+3 ფუნქციების გრაფიკები; y=2x; y=2x-3

ახლა ყველა ფუნქციის განტოლებაში k კოეფიციენტები უდრის 2-ს. და მივიღეთ სამი პარალელური წრფე.

მაგრამ b კოეფიციენტები განსხვავებულია და ეს გრაფიკები კვეთენ OY ღერძს სხვადასხვა წერტილში:
y=2x+3 (b=3) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;3) წერტილში.
y=2x (b=0) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;0) წერტილში - საწყისი.
y=2x-3 (b=-3) ფუნქციის გრაფიკი კვეთს OY ღერძს (0;-3) წერტილში.

ასე რომ, თუ ვიცით k და b კოეფიციენტების ნიშნები, მაშინვე შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, როგორ გამოიყურება y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი.
თუ k 0

თუ k>0 და b>0, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

თუ k>0 და ბ, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

თუ k, მაშინ y=kx+b ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

თუ k=0, შემდეგ ფუნქცია y=kx+b გადაიქცევა y=b ფუნქციად და მისი გრაფიკი ასე გამოიყურება:

y=b ფუნქციის გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატები უდრის b თუ b=0, მაშინ y=kx ფუნქციის გრაფიკი (პირდაპირი პროპორციულობა) გადის საწყისში:

3. ცალკე აღვნიშნოთ x=a განტოლების გრაფიკი.ამ განტოლების გრაფიკი არის სწორი ხაზი OY ღერძის პარალელურად, რომლის ყველა წერტილს აქვს აბსციზა x=a.

მაგალითად, x=3 განტოლების გრაფიკი ასე გამოიყურება:
ყურადღება!განტოლება x=a არ არის ფუნქცია, ამიტომ არგუმენტის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, რაც არ შეესაბამება ფუნქციის განმარტებას.


4. ორი წრფის პარალელურობის პირობა:

y=k 1 x+b 1 ფუნქციის გრაფიკი პარალელურია y=k 2 x+b 2 ფუნქციის გრაფიკის, თუ k 1 =k 2.

5. ორი სწორი ხაზის პერპენდიკულარული პირობა:

y=k 1 x+b 1 ფუნქციის გრაფიკი პერპენდიკულარულია y=k 2 x+b 2 ფუნქციის გრაფიკზე, თუ k 1 *k 2 =-1 ან k 1 =-1/k 2

6. y=kx+b ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.

OY ღერძით. OY ღერძის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის აბსცისა ნულის ტოლია. ამიტომ, OY ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად, x-ის ნაცვლად ფუნქციის განტოლებაში უნდა ჩაანაცვლოთ ნული. ვიღებთ y=b. ანუ OY ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები (0; b).

OX ღერძით: OX ღერძის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილის ორდინატი არის ნული. ამიტომ, OX ღერძთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ ნული ფუნქციის განტოლებაში y-ის ნაცვლად. ვიღებთ 0=kx+b. აქედან გამომდინარე x=-b/k. ანუ, OX ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები (-b/k;0):

აგების ფუნქცია

თქვენს ყურადღებას გთავაზობთ ფუნქციების გრაფიკების ონლაინ აწყობის სერვისს, რომლის ყველა უფლება ეკუთვნის კომპანიას დესმოსი. გამოიყენეთ მარცხენა სვეტი ფუნქციების შესაყვანად. შეგიძლიათ შეიყვანოთ ხელით ან ვირტუალური კლავიატურის გამოყენებით ფანჯრის ბოლოში. ფანჯრის გრაფიკით გასადიდებლად, შეგიძლიათ დამალოთ როგორც მარცხენა სვეტი, ასევე ვირტუალური კლავიატურა.

ონლაინ დიაგრამების უპირატესობები

  • შეყვანილი ფუნქციების ვიზუალური ჩვენება
  • ძალიან რთული გრაფიკების აგება
  • იმპლიციტურად მითითებული გრაფიკების აგება (მაგალითად, ელიფსი x^2/9+y^2/16=1)
  • დიაგრამების შენახვისა და მათზე ბმულის მიღების შესაძლებლობა, რომელიც ყველასთვის ხელმისაწვდომი ხდება ინტერნეტში
  • მასშტაბის კონტროლი, ხაზის ფერი
  • გრაფიკების დახაზვის შესაძლებლობა წერტილების მიხედვით, მუდმივების გამოყენებით
  • რამდენიმე ფუნქციის გრაფიკის დახატვა ერთდროულად
  • გამოსახვა პოლარულ კოორდინატებში (გამოიყენეთ r და θ(\theta))

ჩვენთან ადვილია სხვადასხვა სირთულის დიაგრამების შექმნა ონლაინ. მშენებლობა კეთდება მომენტალურად. სერვისი მოთხოვნადია ფუნქციების გადაკვეთის წერტილების მოსაძებნად, გრაფიკების გამოსასახად მათი შემდგომი გადატანისთვის Word დოკუმენტში ილუსტრაციების სახით პრობლემების გადაჭრისას და ფუნქციის გრაფიკების ქცევითი მახასიათებლების გასაანალიზებლად. ოპტიმალური ბრაუზერი ამ ვებგვერდის დიაგრამებთან მუშაობისთვის არის Google Chrome. სწორი ოპერაცია არ არის გარანტირებული სხვა ბრაუზერების გამოყენებისას.

სკოლის მოსწავლეებს ალგებრის შესწავლის დასაწყისშივე აწყობენ ფუნქციის გრაფიკის ამოცანას და აგრძელებენ მათ აგებას წლიდან წლამდე. დაწყებული წრფივი ფუნქციის გრაფიკიდან, რომლისთვისაც საჭიროა მხოლოდ ორი წერტილის ცოდნა, პარაბოლამდე, რომელიც უკვე მოითხოვს 6 წერტილს, ჰიპერბოლას და სინუსურ ტალღას. ყოველწლიურად ფუნქციები უფრო და უფრო რთული ხდება და მათი გრაფიკების აწყობა შაბლონის გამოყენებით აღარ არის შესაძლებელი, საჭიროა უფრო რთული კვლევების ჩატარება წარმოებულებისა და ლიმიტების გამოყენებით.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკი? ამისათვის დავიწყოთ უმარტივესი ფუნქციებით, რომელთა გრაფიკები დახატულია წერტილი-პუნქტით და შემდეგ განვიხილოთ უფრო რთული ფუნქციების აგების გეგმა.

ხაზოვანი ფუნქციის გრაფიკის დახატვა

უმარტივესი გრაფიკების ასაგებად გამოიყენეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილი. წრფივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი. შევეცადოთ ვიპოვოთ y=4x+5 ფუნქციის გრაფიკზე წერტილები.

  1. ამისათვის ავიღოთ x ცვლადის ორი თვითნებური მნიშვნელობა, ჩავანაცვლოთ ისინი სათითაოდ ფუნქციაში, ვიპოვოთ y ცვლადის მნიშვნელობა და შევიყვანოთ ყველაფერი ცხრილში.
  2. აიღეთ მნიშვნელობა x=0 და ჩაანაცვლეთ ფუნქცია x - 0-ის ნაცვლად. მივიღებთ: y=4*0+5, ანუ y=5, ჩაწერეთ ეს მნიშვნელობა ცხრილში 0-ის ქვეშ. ანალოგიურად, ავიღოთ x=. 0, ვიღებთ y=4*1+5, y=9.
  3. ახლა, ფუნქციის გრაფიკის ასაგებად, თქვენ უნდა გამოსახოთ ეს წერტილები კოორდინატულ სიბრტყეზე. შემდეგ თქვენ უნდა დახაზოთ სწორი ხაზი.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი

კვადრატული ფუნქცია არის y=ax 2 +bx +c ფორმის ფუნქცია, სადაც x არის ცვლადი, a,b,c რიცხვები (a არ არის 0-ის ტოლი). მაგალითად: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

უმარტივესი კვადრატული ფუნქციის ასაგებად y=x 2 ჩვეულებრივ აღებულია 5-7 ქულა. ავიღოთ x ცვლადის მნიშვნელობები: -2, -1, 0, 1, 2 და ვიპოვოთ y-ის მნიშვნელობები ისევე, როგორც პირველი გრაფიკის აგებისას.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს პარაბოლა ეწოდება. ფუნქციების გრაფიკების აგების შემდეგ მოსწავლეებს უჩნდებათ გრაფიკთან დაკავშირებული ახალი ამოცანები.

მაგალითი 1: იპოვეთ y=x 2 ფუნქციის გრაფიკის წერტილის აბსციზა, თუ ორდინატი არის 9. ამოცანის ამოსახსნელად საჭიროა მისი მნიშვნელობის 9 ჩანაცვლება y-ის ნაცვლად ფუნქციით. ვიღებთ 9=x 2-ს და ამოვხსნით. ეს განტოლება. x=3 და x=-3. ეს ასევე ჩანს ფუნქციის გრაფიკზე.

ფუნქციის კვლევა და მისი დახატვა

უფრო რთული ფუნქციების გრაფიკების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ რამდენიმე ნაბიჯი, რომელიც მიმართულია მის შესწავლაზე. ამისათვის საჭიროა:

  1. იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. განმარტების დომენი არის ყველა ის მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება მიიღოს x ცვლადმა. ის წერტილები, რომლებშიც მნიშვნელი ხდება 0 ან რადიკალური გამოხატულება ხდება უარყოფითი, უნდა გამოირიცხოს განმარტების დომენიდან.
  2. დააყენეთ ფუნქცია ლუწი თუ კენტი. შეგახსენებთ, რომ ლუწი ფუნქცია არის ის, რომელიც აკმაყოფილებს f(-x)=f(x) პირობას. მისი გრაფიკი სიმეტრიულია Oy-სთან მიმართებაში. ფუნქცია კენტი იქნება, თუ ის აკმაყოფილებს f(-x)=-f(x) პირობას. ამ შემთხვევაში, გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
  3. იპოვეთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით. Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილის აბსცისის საპოვნელად აუცილებელია განტოლების ამოხსნა f(x) = 0 (ორდინატი 0-ის ტოლია). Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ორდინატის საპოვნელად საჭიროა x ცვლადის ნაცვლად ფუნქციაში 0 ჩავანაცვლოთ (აბსციზა არის 0).
  4. იპოვეთ ფუნქციის ასიმპტოტები. ასიპტოტი არის სწორი ხაზი, რომელსაც გრაფიკი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება, მაგრამ არასოდეს კვეთს. მოდით გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.
    • სწორი ხაზის ვერტიკალური ასიმპტოტი x=a
    • ჰორიზონტალური ასიმპტოტი - სწორი ხაზი y=a
    • ირიბი ასიმპტოტი - y=kx+b ფორმის სწორი ხაზი
  5. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები. ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ პირველი წარმოებული და გაატოლოთ ის 0-ზე. სწორედ ამ წერტილებში შეიძლება ფუნქცია შეიცვალოს გაზრდიდან კლებამდე. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე. თუ წარმოებული დადებითია, მაშინ ფუნქციის გრაფიკი იზრდება, თუ უარყოფითია, მცირდება.
  6. იპოვნეთ ფუნქციის გრაფიკის გადახრის წერტილები, ზევით და ქვევით ამოზნექილი ინტერვალები.

გადახრის წერტილების პოვნა ახლა უფრო ადვილია, ვიდრე ოდესმე. თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ მეორე წარმოებული, შემდეგ გაათანაბროთ იგი ნულამდე. შემდეგ ვპოულობთ მეორე წარმოებულის ნიშანს თითოეულ ინტერვალზე. თუ ის დადებითია, მაშინ ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია ქვემოთ, თუ უარყოფითია, ამოზნექილია ზემოთ.



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: