გაანგარიშების ყველა სისტემა. პოზიციური რიცხვების სისტემა

როგორც კი ადამიანებმა დაიწყეს დათვლა, მათ გაუჩნდათ რიცხვების ჩაწერის საჭიროება. არქეოლოგებმა პრიმიტიული ადამიანების ადგილებზე აღმოაჩინეს მტკიცებულება, რომ თავდაპირველად თითქმის ნებისმიერი რიცხვი იწერებოდა უბრალოდ მის იდენტური ხატების რაოდენობით: ჩხირები, წერტილები, ტირეები. ასეთ სისტემას ეწოდება ერთიანი (უნარი). ამ სისტემაში ნებისმიერი რიცხვი იწერება ერთი სიმბოლოს გამეორებით, რომელიც სიმბოლოა ერთეულზე.

მიუხედავად ამ სისტემის სიძველისა, მას დღემდე იყენებენ, პირველკლასელებს ასწავლიან ჯოხების დათვლას, ხოლო იმ კურსის დასადგენად, რომელშიც ამჟამად სწავლობს სამხედრო სკოლის იუნკერი, უნდა დაითვალოს შეკერილი ზოლების რაოდენობა. მისი ყდის.

ერთიანი სისტემა არ არის ყველაზე მოსახერხებელი გზარიცხვების ჩაწერა, ჩაწერა დიდ ადგილს იკავებს და ჩაწერის ერთფეროვნება იწვევს შეცდომებს, შესაბამისად, დროთა განმავლობაში, უფრო მოსახერხებელი რიცხვითი სისტემები დაიწყო.

ათწილადი ძველი ეგვიპტური რიცხვების სისტემა

ძველ ეგვიპტელებს ჰქონდათ ძალიან მოსახერხებელი რიცხვითი სისტემა, მას ჰქონდა აღმნიშვნელი ნიშნები გასაღები ნომრები: 1, 10, 100 და ა.შ. დანარჩენი რიცხვები შეკრების გამოყენებით დაიწერა. ზოგიერთი რიცხვის აღნიშვნები წარმოდგენილია ნახაზ 1-ში.

სისტემა ამჟამად არ გამოიყენება.

რომაული რიცხვითი სისტემა

ეს სისტემა დღემდე უცვლელი დარჩა. ის ორნახევარ ათასზე მეტი წლის წინ გამოჩნდა Ანტიკური რომი. იგი ეფუძნებოდა I (თითი) ნიშანს 1 რიცხვისთვის, V (ხუთი) ნომრისთვის 5, X (ორი ხელი) ნომრისთვის 10. ხოლო 100, 500 და 1000-ის აღსანიშნავად, ლათინური სახელების პირველი ასოები იყო. გამოყენებული (centum - ასი, demille - ნახევარი ათასი, mille - ათასი). რიცხვის დასაწერად რომაელები ეგვიპტელების მსგავსად იყენებდნენ არა მარტო ჯამებს, არამედ განსხვავებასაც. ამისათვის გამოიყენეს მარტივი წესი: ყოველი პატარა ნიშანი დიდის შემდეგ ემატება მის ღირებულებას, ხოლო წინა დიდი ნიშანიგამოკლებული მისი ღირებულება. ამრიგად, IX - ნიშნავს 9-ს, ხოლო XI - 11-ს.

რომაული ციფრები გამოიყენება დღემდე და ისინი გამოიყენება სექციების, წიგნების ქვეგანყოფილებების, საუკუნეების დასასახელებლად, ასევე ხშირად იწერება საათებზე.

ანბანური რიცხვითი სისტემები

ეს სისტემებია: ბერძნული, სლავური, ფინური და სხვა. აქ რიცხვები 1-დან 9-მდე, 10-დან 90-მდე და 100-დან 900-მდე აღინიშნა ანბანის ასოებით. IN Უძველესი საბერძნეთირიცხვები აღინიშნა ბერძნული ანბანის პირველი ცხრა ასოებით. 10-დან 90-მდე რიცხვები შემდეგი ცხრაა. და 100-დან 900-მდე - რომაული ანბანის ბოლო ცხრა ასო. სლავები რიცხვითი მნიშვნელობებიშეუთავსეთ ასოები თანმიმდევრობით. ამისთვის ჯერ გლაგოლიტური ანბანი გამოიყენებოდა, შემდეგ კი კირიული ანბანი. რუსეთში ეს ნუმერაცია XVII საუკუნის ბოლომდე იყო დაცული. შემდეგ პეტრე I-მა უცხოეთიდან ჩამოიტანა არაბული ნუმერაცია, რომელსაც დღემდე ვიყენებთ.

აღნიშვნა - ეს არის რიცხვების წარმოდგენის გზა და რიცხვებზე მუშაობის შესაბამისი წესები. სხვადასხვა რიცხვითი სისტემები, რომლებიც ადრე არსებობდა და დღეს გამოიყენება, შეიძლება დაიყოს არაპოზიციურიდა პოზიციური. რიცხვების წერისას გამოყენებული ნიშნები, უწოდებენ ნომრები.

IN არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები ციფრის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე რიცხვში.

არაპოზიციური რიცხვების სისტემის მაგალითია რომაული სისტემა (რომაული რიცხვები). რომაულ სისტემაში ლათინური ასოები გამოიყენება რიცხვებად:

მაგალითი 1რიცხვი CCXXXII შედგება ორასი, სამი ათეული და ორი ერთეულისაგან და უდრის ორას ოცდათორმეტს.

რომაული ციფრები იწერება მარცხნიდან მარჯვნივ კლებადობით. ამ შემთხვევაში, მათი ღირებულებები ემატება. თუ მარცხნივ იწერება უფრო მცირე რიცხვი, ხოლო მარჯვნივ - დიდი, მაშინ მათი მნიშვნელობები გამოკლებულია.

მაგალითი 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

მაგალითი 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN პოზიციური რიცხვითი სისტემები რიცხვით ჩანაწერში მითითებული ციფრი დამოკიდებულია მის პოზიციაზე. გამოყენებული ციფრების რაოდენობას ეწოდება პოზიციური რიცხვების სისტემის საფუძველი.

თანამედროვე მათემატიკაში გამოყენებული რიცხვების სისტემა არის პოზიციური ათობითი სისტემა. მისი საფუძველი ათია, რადგან ნებისმიერი რიცხვი იწერება ათი ციფრის გამოყენებით:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ამ სისტემის პოზიციური ბუნება ადვილი გასაგებია ნებისმიერი მრავალნიშნა რიცხვის მაგალითით. მაგალითად, 333 რიცხვში პირველი სამი ნიშნავს სამასს, მეორე - სამ ათეულს, მესამე - სამ ერთეულს.

რიცხვების ჩაწერა პოზიციურ სისტემაში ფუძით ნᲣნდა ჰქონდეს ანბანისაწყისი ნციფრები. ჩვეულებრივ ამისთვის ნ < 10 используют ნპირველი არაბული ციფრები და ნ> 10-დან ათამდე არაბული ციფრებიასოების დამატება. აქ მოცემულია ანბანის მაგალითები რამდენიმე სისტემისგან:

თუ საჭიროა სისტემის ბაზის მითითება, რომელსაც ნომერი ეკუთვნის, მაშინ მას ენიჭება ამ ნომრის ხელმოწერა. Მაგალითად:

1011012, 36718, 3B8F16.

საბაზისო რიცხვების სისტემაში ქ(ქციფრთა ერთეულები რიცხვის თანმიმდევრული ხარისხებია ქ.ქნებისმიერი კატეგორიის ერთეულები ქმნიან შემდეგი კატეგორიის ერთეულს. რიცხვის დასაწერად ქ-აუცილებელია რიცხვების სისტემა ქსხვადასხვა სიმბოლოები (რიცხვები), რომლებიც წარმოადგენენ 0, 1, ... ნომრებს, ქ– 1. რიცხვის წერა ქვ ქ- არი რიცხვთა სისტემას აქვს ფორმა 10.

რიცხვის წერის გაფართოებული ფორმა

დაე აკ- ნომერი საბაზო სისტემაში ქ, აი -რიცხვის აღნიშვნაში მოცემული რიცხვითი სისტემის ციფრები ა, ნ+ 1 - რიცხვის მთელი ნაწილის ციფრების რაოდენობა, მ- რიცხვის წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობა:

რიცხვის გაფართოებული ფორმა აეწოდება ჩანაწერი სახით:

მაგალითად, ათობითი რიცხვისთვის:

შემდეგი მაგალითები აჩვენებს თექვსმეტობითი და ორობითი რიცხვების გაფართოებულ ფორმას:

ნებისმიერ რიცხვთა სისტემაში მისი ფუძე იწერება როგორც 10.

თუ არაათწილადი რიცხვის გაფართოებული ფორმით ყველა ტერმინი წარმოდგენილია ათობითი სისტემაში და მიღებული გამოთქმა გამოითვლება ათობითი არითმეტიკის წესების მიხედვით, მაშინ მიიღება რიცხვი ათწილადის სისტემაში მოცემულის ტოლი. ამ პრინციპის მიხედვით, ხდება არაათობითი სისტემიდან ათწილადში გადაყვანა. მაგალითად, ზემოთ დაწერილი რიცხვების ათობითი სისტემაში გადაყვანა ასე ხდება:

ათობითი რიცხვების სხვა რიცხვების სისტემებზე გადაყვანა

მთელი რიცხვის თარგმანი

მთელი ათობითი რიცხვი Xსაჭიროა ბაზის მქონე სისტემაში გადატანა ქ:X= (ან ა n-1 …ა 1 ა 0) q. საჭიროა მოძებნა მნიშვნელოვანი პირებინომრები: . წარმოვადგინოთ რიცხვი გაფართოებული სახით და შევასრულოთ იდენტური ტრანსფორმაცია:

აქედან ირკვევა, რომ ა 0 არის დარჩენილი რიცხვის გაყოფის შემდეგ Xთითო რიცხვზე ქ. ფრჩხილებში გამოსახული არის ამ გაყოფის მთელი რიცხვი. მოდით აღვნიშნოთ როგორც X 1. მსგავსი გარდაქმნების შესრულებისას მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე, ა 1 არის გაყოფის დარჩენილი ნაწილი X 1-ზე ქ. გაყოფის გაგრძელება ნაშთით, მივიღებთ სასურველი რიცხვის ციფრების თანმიმდევრობას. ნომერი ანამ განყოფილებების ჯაჭვში იქნება ბოლო კერძო, უფრო მცირე ქ.

ჩამოვაყალიბოთ შედეგად მიღებული წესი: ამისთვის მთელი ათობითი რიცხვის სხვა ფუძის მქონე რიცხვთა სისტემად გადაქცევა გჭირდებათ:

1) გამოთქვას ახალი რიცხვითი სისტემის საფუძველი ათწილად რიცხვთა სისტემაში და შეასრულოს ყველა შემდგომი მოქმედება ათობითი არითმეტიკის წესების მიხედვით;

2) მოცემული რიცხვი და მიღებული ნაწილობრივი კოეფიციენტები თანმიმდევრულად გავყოთ ახალი რიცხვითი სისტემის საფუძველზე, სანამ არ მივიღებთ გამყოფზე ნაკლებ არასრულ კოეფიციენტს;

3) მიღებული ნაშთები, რომლებიც არის რიცხვის ციფრები ახალი სისტემაგაანგარიშება, შეათანხმოს იგი ახალი რიცხვითი სისტემის ანბანთან;

4) შეადგინეთ რიცხვი ახალ რიცხვთა სისტემაში, ჩაწერეთ იგი ბოლო პირადი ნომრიდან დაწყებული.

მაგალითი 1გადაიყვანეთ რიცხვი 37 10 ორობით სისტემად.

რიცხვის აღნიშვნაში რიცხვების აღსანიშნავად ვიყენებთ სიმბოლიკას: ა 5 ა 4 ა 3 ა 2 ა 1 ა 0

აქედან: 37 10 = l00l0l 2

მაგალითი 2გადაიყვანეთ ათობითი რიცხვი 315 რვიან და თექვსმეტობით სისტემებად:

აქედან გამომდინარეობს: 315 10 = 473 8 = 13B 16. შეგახსენებთ, რომ 11 10 = B 16.

ათწილადი X< 1 требуется перевести в систему с основаниемქ:X= (0,ა –1 ა –2 …ა–მ+1 ა–მ) q . იპოვეთ რიცხვის მნიშვნელოვანი ციფრები: ა –1 ,ა –2 , …,ა-მ. ჩვენ წარმოვადგენთ რიცხვს გაფართოებული ფორმით და ვამრავლებთ მასზე ქ:

აქედან ირკვევა, რომ ა–1 არის ნაწარმოების მთელი ნაწილი Xთითო რიცხვზე ქ. აღნიშნეთ X 1 პროდუქტის წილადი ნაწილი და გავამრავლოთ ქ:

აქედან გამომდინარე, ა –2 არის ნაწარმოების მთელი ნაწილი X 1 ნომერზე ქ. გამრავლების გაგრძელებით მივიღებთ ციფრების თანმიმდევრობას. ახლა ჩამოვაყალიბოთ წესი: ათწილადი წილადის სხვა ფუძის მქონე რიცხვთა სისტემაში გადასაყვანად გჭირდებათ:

1) თანმიმდევრულად გავამრავლოთ მოცემული რიცხვი და ნაწარმოებების მიღებული წილადი ნაწილები ახალი სისტემის საფუძველზე, სანამ ნამრავლის წილადი ნაწილი არ გახდება ნულის ტოლი ან არ მიიღწევა რიცხვის ახალ რიცხვთა სისტემაში წარმოდგენის საჭირო სიზუსტე;

2) პროდუქციის შედეგად მიღებული მთელი რიცხვები, რომლებიც წარმოადგენს რიცხვის ციფრებს ახალ რიცხვთა სისტემაში, მოაქვს მათ ახალი რიცხვითი სისტემის ანბანთან შესაბამისობაში მოყვანა;

3) შეადგინეთ რიცხვის წილადი ნაწილი ახალ რიცხვთა სისტემაში, დაწყებული პირველი ნამრავლის მთელი რიცხვით.

მაგალითი 3გადაიყვანეთ ათობითი 0.1875 ორობით, რვადიანად და თექვსმეტობით.

აქ რიცხვების მთელი ნაწილი მარცხენა სვეტშია, ხოლო წილადი ნაწილი მარჯვენა სვეტში.

აქედან გამომდინარე: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

შერეული რიცხვების თარგმანი, რომელიც შეიცავს მთელ და წილად ნაწილებს, ხორციელდება ორ ეტაპად. ორიგინალური რიცხვის მთელი და წილადი ნაწილები ითარგმნება ცალ-ცალკე შესაბამისი ალგორითმების მიხედვით. ახალი რიცხვების სისტემაში რიცხვის საბოლოო ჩანაწერში მთელი რიცხვი გამოყოფილია წილადის მძიმისგან (წერტილი).

ორობითი გამოთვლა

ჯონ ფონ ნეუმანის პრინციპის მიხედვით, კომპიუტერი ახორციელებს გამოთვლებს ორობითი სისტემაგაანგარიშება. საბაზისო კურსის ფარგლებში საკმარისია შემოვიფარგლოთ ბინარული რიცხვებით გამოთვლების განხილვით. მრავალნიშნა რიცხვებით გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ შეკრების წესები და ერთნიშნა რიცხვების გამრავლების წესები. აქ არის წესები:

შეკრებისა და გამრავლების პერმუტაციის პრინციპი მუშაობს ყველა რიცხვთა სისტემაში. ორობით სისტემაში მრავალნიშნა რიცხვებით გამოთვლების შესრულების ტექნიკა ათწილადის მსგავსია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორობით სისტემაში „სვეტით“ შეკრების, გამოკლების და გამრავლების და „კუთხეზე“ გაყოფის პროცედურები შესრულებულია ისევე, როგორც ათობითი სისტემაში.

განვიხილოთ ორობითი რიცხვების გამოკლებისა და გაყოფის წესები. გამოკლების ოპერაცია არის შეკრების შებრუნებული. შეკრების ცხრილიდან ზემოთ, გამოკლების წესები შემდეგია:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

აქ მოცემულია მრავალნიშნა გამოკლების მაგალითი:

მიღებული შედეგის შემოწმება შესაძლებელია სუბტრაჰენდის სხვაობის დამატებით. ეს უნდა იყოს კლებადი რიცხვი.

გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია. ნებისმიერ რიცხვთა სისტემაში თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ 0-ზე. 1-ზე გაყოფის შედეგი დივიდენდის ტოლია. ორობითი რიცხვის 102-ზე გაყოფა ათწილადს ერთი ადგილით მარცხნივ გადააქვს, ისევე როგორც ათობითი გაყოფა ათზე. Მაგალითად:

100-ზე გაყოფით ათწილადის წერტილი გადაინაცვლებს 2 ადგილით მარცხნივ და ა.შ. საბაზისო კურსში თქვენ არ შეგიძლიათ განიხილოთ მრავალმნიშვნელოვანი ორობითი რიცხვების გაყოფის რთული მაგალითები. მიუხედავად იმისა, რომ ქმედუნარიან სტუდენტებს შეუძლიათ გაუმკლავდნენ მათ, ზოგადი პრინციპების გაცნობიერებით.

კომპიუტერის მეხსიერებაში შენახული ინფორმაციის წარმოდგენა მისი ნამდვილი ორობითი ფორმით ძალზე რთულია ციფრების დიდი რაოდენობის გამო. ეს ეხება ასეთი ინფორმაციის ქაღალდზე ჩაწერას ან მის ეკრანზე ჩვენებას. ამ მიზნებისათვის ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული ორობითი-ოქტალური ან ორობით-თექვსმეტობითი სისტემები.

არსებობს მარტივი კავშირი რიცხვის ორობით და თექვსმეტობით გამოსახულებას შორის. რიცხვის ერთი სისტემიდან მეორეზე გადათარგმნისას, ერთი თექვსმეტობითი ციფრი შეესაბამება ოთხნიშნა ორნიშნა კოდს. ეს კორესპონდენცია აისახება ბინარულ-თექვსმეტობით ცხრილში:

ორობითი თექვსმეტობითი ცხრილი

ასეთი ურთიერთობა ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ 16 = 2 4 და 0 და 1 ციფრების სხვადასხვა ოთხნიშნა კომბინაციების რაოდენობა არის 16: 0000-დან 1111-მდე. ამიტომ რიცხვების გადაყვანა თექვსმეტობითიდან ორობითად და პირიქით ხდება ფორმალური კონვერტაციითბინარულ-თექვსმეტობითი ცხრილით.

აქ მოცემულია 32-ბიტიანი ორობითი კოდის თექვსმეტობით სისტემაში თარგმნის მაგალითი:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

თუ მოცემულია შიდა ინფორმაციის თექვსმეტობითი წარმოდგენა, მაშინ ადვილია მისი გადათარგმნა ორობით კოდში. თექვსმეტობითი წარმოდგენის უპირატესობა ის არის, რომ ის 4-ჯერ უფრო მოკლეა, ვიდრე ორობითი. სასურველია მოსწავლეებმა დაიმახსოვრონ ბინარულ-თექვსმეტობითი ცხრილი. მაშინ მართლაც მათთვის თექვსმეტობითი წარმოდგენა გახდება ბინარულის ექვივალენტი.

ორობით რვაში, თითოეული რვა რიცხვი შეესაბამება ორობითი ციფრების ტრიადას. ეს სისტემა საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ორობითი კოდი 3-ჯერ.

ლაბორატორიული სამუშაო 1. "რიცხვთა სისტემები"

რიცხვითი სისტემა არის ნომრების ჩაწერის წესები სპეციალური სიმბოლოების - ციფრების გამოყენებით.

ადამიანები იყენებდნენ რიცხვების წერის სხვადასხვა ხერხს, რომლებიც შეიძლება რამდენიმე ჯგუფად გაერთიანდეს: უნივერსალური, არაპოზიციური და პოზიციური.

პირველი ორი საკმაოდ ისტორიული ინტერესია, რადგან მათ ამჟამად ძალიან შეზღუდული გამოყენება აქვთ.

უნარული რიცხვების სისტემა

უნარი აღნიშვნა - ეს არის რიცხვითი სისტემა, რომელშიც რიცხვების დასაწერად გამოიყენება მხოლოდ ერთი ნიშანი - 1 ("ჯოხი").

შემდეგი რიცხვი მიიღება წინადან ახალი 1-ის მიმატებით; მათი რიცხვი (ჯამი) უდრის თავად რიცხვს.

სწორედ ეს სისტემა გამოიყენება ბავშვების დათვლაზე პირველადი სწავლებისთვის (შეგიძლიათ გაიხსენოთ „დათვლის ჯოხები“).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უნარული სისტემის გამოყენება აღმოჩნდება მნიშვნელოვანი პედაგოგიური ტექნიკა ბავშვების რიცხვებისა და მათთან მოქმედებების სამყაროში გასაცნობად.

არაპოზიციური აღნიშვნა

არაპოზიციური რიცხვების სისტემა - სისტემა, რომელშიც კონკრეტული სიდიდის აღმნიშვნელი სიმბოლოები არ ცვლის თავის მნიშვნელობას რიცხვის გამოსახულებაში მდებარეობის (პოზიციის) მიხედვით.

დან არაპოზიციური ყველაზე გავრცელებულია რომაული რიცხვითი სისტემა.

მასში რამდენიმე ძირითადი რიცხვი მითითებულია დიდი ლათინური ასოებით:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

ყველა სხვა რიცხვი აგებულია საბაზისო რიცხვების კომბინაციით და:

თუ მარცხნივ ციფრზე ნაკლებია მარჯვნივ, მაშინ მარცხენა ციფრს აკლდება მარჯვნიდან;

თუ რიცხვი მარჯვნივ არის მარცხნივ რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი, მაშინ ეს რიცხვები ემატება;

ასეთ სისტემაში რიცხვების ჩაწერა შრომატევადი და მოუხერხებელია, მაგრამ კიდევ უფრო მოუხერხებელია მასში უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებაც კი.

დაბოლოს, M-ზე მეტი რიცხვების ნულისა და ნიშნების არარსებობა არ იძლევა რაიმე რიცხვის (თუნდაც ნატურალური რიცხვის) ჩაწერის საშუალებას რომაულ ციფრებში. ეს სისტემა გამოიყენება ნუმერაციისთვის.

პოზიციური რიცხვების სისტემები

პოზიციური რიცხვითი სისტემები ეწოდება, რომლებშიც რიცხვის გამოსახულებაში თითოეული ციფრის მნიშვნელობა განისაზღვრება მისი პოზიციით (პოზიციით) სხვა ციფრებში.

სიმბოლოების შეკვეთილი ნაკრები (ნომრები) (ა 0 , ა ვ ..., ა პ ), გამოიყენება მოცემული პოზიციური რიცხვების სისტემაში ნებისმიერი რიცხვის წარმოსადგენად, დარეკეთ ანბანი,ანბანის სიმბოლოების (ციფრების) რაოდენობა რ= n+ 1 - ის ფონდი,და თავად რიცხვთა სისტემა ეწოდება რ-რიკ.

ბაზა პოზიციური რიცხვების სისტემა - სხვადასხვა ციფრების რაოდენობა, რომლებიც გამოიყენება რიცხვების წარმოსაჩენად მოცემულ რიცხვთა სისტემაში.

ჩვენთვის ყველაზე ნაცნობი არის ათობითი რიცხვების სისტემა. მისი ანბანი არის (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9) და საფუძველი p = 10, ანუ ამ სისტემაში, მხოლოდ ათი განსხვავებული სიმბოლო (ციფრი) გამოიყენება ნებისმიერი რიცხვის დასაწერად. ათობითი რიცხვების სისტემა ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ თითოეული ციფრის 10 ერთეული გაერთიანებულია მიმდებარე უმაღლესი ციფრის ერთ ერთეულში, ამიტომ თითოეულ ციფრს აქვს წონა 10-ის სიმძლავრის ტოლი. შესაბამისად, იგივე ციფრის მნიშვნელობა განისაზღვრება მისი მდებარეობა რიცხვის გამოსახულებაში, რომელიც ხასიათდება 10-ის სიმძლავრით. მაგალითად, 222.22 რიცხვის გამოსახულებაში რიცხვი 2 მეორდება 5-ჯერ, ხოლო პირველი რიცხვი 2 მარცხნივ ნიშნავს ასეულთა რიცხვს (მისი წონა არის 10 2); მეორე - ათეულების რაოდენობა (მისი წონა არის 10 1), მესამე - ერთეულების რაოდენობა (მისი წონა არის 10 0), მეოთხე - ერთეულის მეათედების რაოდენობა (მისი წონა არის 10 -1) და მეხუთე ციფრი - ერთეულის მეასედების რაოდენობა (მისი წონაა 10 -2), ანუ რიცხვი 222.22 შეიძლება გაფართოვდეს 10-ის ხარისხში:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2 .

ანალოგიურად, 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304.5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2 .

ზოგადად, სამუშაოსთვის რ-არი რიცხვების სისტემა, აუცილებელია ფუძის დადგენა რდა ანბანი, რომელიც შედგება რსხვადასხვა სიმბოლოები (ნომრები) ა რ მე = 1,...,რ.

ნებისმიერი ნომერი X გვშეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრავალწევრად, მისი გაფართოებით რიცხვის ხარისხებში გვ:

რომელთა კოეფიციენტების თანმიმდევრობა არის რიცხვის შემოკლებული აღნიშვნა X გვ :

წერტილი, რომელიც გამოყოფს რიცხვის მთელ ნაწილს წილადისგან, ემსახურება თითოეული პოზიციის სპეციფიკური მნიშვნელობების დაფიქსირებას რიცხვების ამ თანმიმდევრობაში და არის საწყისი წერტილი.

რიცხვების თარგმნის მეთოდები. რიცხვების წარმოდგენა ში სხვადასხვა სისტემებიგაანგარიშება

თარგმანირიცხვები ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეში

ერთი და იგივე რიცხვი შეიძლება ჩაიწეროს სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში.

ალგორითმიმთელი რიცხვების კონვერტაცია ქ -არი სისტემაში გვ -ary, for q > p

ორიგინალური ნომრის შესაცვლელადX ქ თანაბარი რაოდენობაX გვ წესებით მოთხოვნილიქ-ary არითმეტიკული მთელი რიცხვის გაყოფაX ქ ახალ საფუძველზეგვ. ბოლოდან პირველამდე დაწერილი დაყოფის შედეგები იქნება X რიცხვები გვ .

ვინაიდან მრავალწევრის კოეფიციენტები უცნობია, ავღნიშნოთ ისინი i-ით; ჩვენ ვიღებთ:

ჩვეულებრივ, აღწერილი პროცედურა წარმოდგენილია სკოლისთვის ნაცნობი განყოფილების ოპერაციის სახით:

ამრიგად, მივიღეთ X 5 =443.

თარგმანის სისწორის შემოწმება: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 .

მეორე, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ არის ყველა ოპერაცია შესრულდა რიცხვითი სისტემის არითმეტიკის წესების მიხედვით, საიდანაც განხორციელდა გადაცემა(განხილულ მაგალითში - ათობითი).

ალგორითმი მთელი რიცხვების კონვერტაციისთვის ქ -არი სისტემაში გვ -არი, ქ< p

თარგმნისთვის, თქვენ უნდა მიუთითოთ ნომერიX ქ გვ-არი არითმეტიკა.

X 6  X 10, X \u003d 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

ზემოაღნიშნული ალგორითმები მოსახერხებელია რიცხვის ათობითი სისტემიდან სხვაზე გადაყვანისას ან პირიქით.

ისინი ასევე მუშაობენ სხვა რიცხვების სისტემებს შორის თარგმნისთვის, თუმცა, ასეთი თარგმანი რთული იქნება, რადგან ყველა არითმეტიკული ოპერაცია უნდა განხორციელდეს ორიგინალური (პირველ ალგორითმში) ან საბოლოო (მეორე ალგორითმში) სისტემის წესების მიხედვით.

ამ მიზეზით, გადასვლა, მაგალითად, X 3  X 8, უფრო ადვილია განხორციელდეს მე-10 სისტემაზე შუალედური გადასვლის გზით X 3  X 10  X 8.

სწორი წილადის გარდაქმნის ალგორითმი q > p

სწორი წილადის 0,X q გადათარგმნის შედეგი ასევე იქნება სწორი წილადი 0,X p , რომელიც მიღებული საწყისი წილადის ახალ ფუძეზე გამრავლებითგვწესების მიხედვითქ-არი არითმეტიკა; მიღებული ნამრავლის მთელი რიცხვი იქნება ახალი წილადის მაღალი რიგის ციფრი; მიღებული პროდუქტის წილადი ნაწილი კვლავ უნდა გავამრავლოთგვდა ა.შ.

მაგალითი: 0.X 10  0.X 2 . 0.X=0.375 10

შემდეგ რომ მიიღოთ 0,X 2:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

ამრიგად, 0.375 10 \u003d 0.011 2.

შემოწმება 0.011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0.25+1.125=0.375 10

ალგორითმი q-სთვის სათანადო წილადის გადასაყვანად< p

თარგმნისთვისX ქ  X გვ საჭიროა ნომრის მიწოდებაX ქ მრავალწევრის სახით და შეასრულოს ყველა ოპერაცია წესების მიხედვითგვ-არი არითმეტიკა.

მაგალითი: X 6  X 10, X 6 \u003d 0.234 6

Ამისთვის

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

ჩვენ ვამოწმებთ:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0.66612*6=3.99672 4 ,0 (გაანგარიშების შეცდომა u-ს მიღების შემთხვევაში რაციონალური რიცხვი}

მაგალითი: X 2  X 10, X \u003d 0.10101 2

Ამისთვის

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

ჩვენ ვამოწმებთ:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0 . Სწორია

რიცხვების თარგმნა რიცხვთა სისტემებს შორის 2 - 8 - 16

ამ რიცხვების სისტემებში რიცხვების გამოსახულების მაგალითები მოცემულია ცხრილში 1

ცხრილი 1. რიცხვითი სისტემები

ათობითი	ორობითი			ათობითი	ორობითი

ორობითი მთელი რიცხვის გადაქცევა რიცხვით სისტემად ბაზისითგვ = 2 რ საკმარისია ეს ორობითი რიცხვი, ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრიდან დაწყებული, ჯგუფებად დავყოთრთითოეული ჯგუფის ციფრები დამოუკიდებლად ითარგმნება სისტემაშიგვ.

მაგალითად, რიცხვი 110001 2 p=8 რიცხვთა სისტემაში გადასაყვანად, თქვენ უნდა დაყოთ საწყისი რიცხვი სამნიშნა ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (8 = 2 3, შესაბამისად, r = 3) და გადაიყვანოთ რვაციფრად. რიცხვების სისტემა: 110001 2 =61 8 . შემოწმება 110001 2 =32+16+1=49 10 , 6*8 1 +1*8 0 =49 10

ანალოგიურად, 4 ორობითი ციფრის ჯგუფებად დაყოფით, მივიღებთ 110001 2 = 31 16.

რიცხვთა სისტემაში ჩაწერილი მთელი რიცხვის თარგმნა ფუძითგვ = 2 რ , ორობით სისტემაში საკმარისია ორიგინალური რიცხვის თითოეული ციფრი დამოუკიდებლად შეცვალოს შესაბამისირ-ბიტი ორობითი რიცხვი, საჭიროების შემთხვევაში ჩასვით იგი უმნიშვნელო ნულებით ჯგუფამდერციფრები.

მაგალითი: წარმოვიდგინოთ რიცხვი D3 16 ბინარულ სისტემაში:

მაგალითი, 123 8 = 001010011 2 = 53 16 .

ამოცანები თვითრეალიზაციისთვის

p-ary რიცხვითი სისტემის X p რიცხვის გადაქცევა q-ary რიცხვითი სისტემის X q-ად

X 5  X 10, სადაც X 5 \u003d 123

X 3  X 10, სადაც X 3 \u003d 102

X 10  X 4, სადაც X 10 \u003d 123

X 10  X 6, სადაც X 10 \u003d 548

X 5  X 3, სადაც X 3 \u003d 421

X 2  X 6, სადაც X 2 \u003d 0111001

X 2  X 16, სადაც X 2 \u003d 10011

X 2  X 8, სადაც X 2 \u003d 101010

X 16  X 2, სადაც X 16 \u003d AD3

X 8  X 2, სადაც X 8 \u003d 5470

II. ათწილადის გადაქცევა ორობითად:

743 10, ბ) 334.12 10, გ) 61.375, დ) 160.25 10, ე) 131.82 10

III. ათწილადის გადაქცევა თექვსმეტობით:

445 10, ბ) 334.12 10, გ) 261.375, დ) 160.25 10, ე) 131.82 10

ერთეული (უნარული) რიცხვითი სისტემა რიცხვითი სისტემების სია

აღნიშვნა:

• იძლევა რიცხვთა სიმრავლის (მთლიანი ან/და რეალური) გამოსახულებებს;
• თითოეულ რიცხვს აძლევს უნიკალურ წარმოდგენას (ან მინიმუმ სტანდარტულ წარმოდგენას);
• ასახავს რიცხვების ალგებრულ და არითმეტიკულ სტრუქტურას.

რიცხვითი სისტემები იყოფა პოზიციური, არაპოზიციურიდა შერეული.

პოზიციური რიცხვების სისტემები

პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში იგივე რიცხვითი ნიშანი (ციფრი) აქვს რიცხვის ჩანაწერში სხვადასხვა მნიშვნელობაიმის მიხედვით, თუ სად მდებარეობს (გამონადენი). ციფრების ლოკალური მნიშვნელობის საფუძველზე პოზიციური ნუმერაციის გამოგონება მიეწერება შუმერებსა და ბაბილონელებს; ასეთი ნუმერაცია ინდუსებმა შეიმუშავეს და კაცობრიობის ცივილიზაციის ისტორიაში შეუფასებელი შედეგები მოჰყვა. ეს სისტემები მოიცავს თანამედროვე ათობითი რიცხვების სისტემას, რომლის გაჩენა დაკავშირებულია თითებზე დათვლასთან. IN შუა საუკუნეების ევროპაის გამოჩნდა იტალიელი ვაჭრების მეშვეობით, რომლებმაც ის თავის მხრივ ისესხეს მუსლიმებისგან.

პოზიციური რიცხვების სისტემა ჩვეულებრივ გაგებულია, როგორც -ary რიცხვითი სისტემა, რომელიც განისაზღვრება მთელი რიცხვით, რომელსაც ეწოდება საფუძველირიცხვითი სისტემები. უსახელო მთელი რიცხვი -ary რიცხვთა სისტემაში წარმოდგენილია როგორც რიცხვის ძალაუფლების სასრული წრფივი კომბინაცია:

, სადაც მთელ რიცხვებს უწოდებენ ფიგურები, უთანასწორობის დაკმაყოფილება .

ასეთ ჩანაწერში თითოეულ ხარისხს კატეგორიის შეწონვის ფაქტორი ეწოდება. ციფრების და მათი შესაბამისი ციფრების ასაკი განისაზღვრება ინდიკატორის მნიშვნელობით (ციფრის ნომერი). ჩვეულებრივ, არანულოვან რიცხვებში, მარცხენა ნულები გამოტოვებულია.

თუ არ არის შეუსაბამობები (მაგალითად, როდესაც ყველა ციფრი წარმოდგენილია უნიკალური წერილობითი სიმბოლოების სახით), რიცხვი იწერება მისი ანბანური ციფრების თანმიმდევრობით, რომელიც ჩამოთვლილია მარცხნიდან მარჯვნივ ციფრების უპირატესობის კლებადობით:

მაგალითად, ნომერი ას სამიათობითი აღნიშვნით წარმოდგენილია როგორც:

ყველაზე ხშირად გამოყენებული პოზიციური სისტემებია:

პოზიციურ სისტემებში რაც უფრო დიდია სისტემის საფუძველი, მით უფრო ნაკლები ბიტია საჭირო რიცხვის ჩაწერისას.

შერეული რიცხვების სისტემები

შერეული რიცხვების სისტემაარის -ary რიცხვითი სისტემის განზოგადება და ასევე ხშირად ეხება პოზიციურ რიცხვთა სისტემებს. შერეული რიცხვების სისტემის საფუძველია რიცხვების მზარდი თანმიმდევრობა და მასში თითოეული რიცხვი წარმოდგენილია წრფივი კომბინაციის სახით:

, სადაც კოეფიციენტები იწოდება როგორც ადრე ფიგურები, მოქმედებს გარკვეული შეზღუდვები.

რიცხვის ჩაწერა შერეულ რიცხვთა სისტემაში არის მისი ციფრების ჩამოთვლა კლების ინდექსის მიხედვით, დაწყებული პირველი არა ნულიდან.

ტიპის მიხედვით შერეული რიცხვითი სისტემების ფუნქცია შეიძლება იყოს სიმძლავრე, ექსპონენციალური და ა.შ. როცა ზოგიერთისთვის შერეული რიცხვითი სისტემა ემთხვევა ექსპონენციალურ-არი რიცხვთა სისტემას.

შერეული რიცხვების სისტემის ყველაზე ცნობილი მაგალითია დროის წარმოდგენა დღეების, საათების, წუთების და წამების რიცხვის სახით. ამ შემთხვევაში "დღეების, საათების, წუთების, წამების" მნიშვნელობა შეესაბამება წამების მნიშვნელობას.

ფაქტორული რიცხვების სისტემა

IN ფაქტორული რიცხვების სისტემაფუძეები არის ფაქტორების თანმიმდევრობა და თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია როგორც:

, სად .

ფაქტორული რიცხვების სისტემა გამოიყენება როცა პერმუტაციების დეკოდირება ინვერსიების სიებით: რომელსაც აქვს პერმუტაციის ნომერი, შეგიძლიათ მისი რეპროდუცირება შემდეგნაირად: რიცხვზე ერთი ნაკლები (ნუმერაცია იწყება ნულიდან) იწერება ფაქტორულ რიცხვთა სისტემაში, ხოლო i რიცხვის კოეფიციენტი! აღნიშნავს i + 1 ელემენტის ინვერსიების რაოდენობას კომპლექტში, რომელშიც შესრულებულია პერმუტაციები (ი + 1-ზე ნაკლები ელემენტების რაოდენობა, მაგრამ მისგან მარჯვნივ სასურველი პერმუტაციით)

მაგალითი: განიხილეთ 5 ელემენტის პერმუტაციების ნაკრები, სულ არის 5! = 120 (პერმუტაციის ნომრიდან 0 - (1,2,3,4,5) გადანაცვლების რიცხვამდე 119 - (5,4,3,2,1)), იპოვეთ 101-ე პერმუტაცია: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; დავდოთ ti - კოეფიციენტი რიცხვზე i!, შემდეგ t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, შემდეგ: ელემენტების რაოდენობა 5-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ მდგომი არის 4; ელემენტების რაოდენობა 4-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ არის 0; ელემენტების რაოდენობა 3-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ არის 2; ელემენტების რაოდენობა 2-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ არის 0 (პერმუტაციის ბოლო ელემენტი "იდება" ერთადერთ დარჩენილ ადგილზე) - ამრიგად, 101-ე პერმუტაცია ასე გამოიყურება: (5,3,1,2, 4) ამ მეთოდის შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს პერმუტაციის თითოეული ელემენტისთვის ინვერსიების პირდაპირ დათვლით.

ფიბონაჩის რიცხვების სისტემაფიბონაჩის რიცხვებზე დაყრდნობით. მასში თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია როგორც:

, სად არის ფიბონაჩის რიცხვები, , ხოლო კოეფიციენტებს აქვთ ერთეულების სასრული რაოდენობა და არ არის ორი ერთეული ზედიზედ.

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემებში, მნიშვნელობა, რომელსაც ასახავს ციფრი, არ არის დამოკიდებული რიცხვის პოზიციაზე. ამ შემთხვევაში, სისტემას შეუძლია დააწესოს შეზღუდვები რიცხვების პოზიციაზე, მაგალითად, ისე, რომ ისინი განლაგდეს კლებადობით.

ბინომალური რიცხვების სისტემა

წარმოდგენა ბინომალური კოეფიციენტების გამოყენებით

, სად .

ნარჩენი კლასის სისტემა (SOC)

დარჩენილი კლასის სისტემაში რიცხვის წარმოდგენა ემყარება ნარჩენის კონცეფციას და ჩინური ნარჩენების თეორემას. RNS განისაზღვრება coprime-ის სიმრავლით მოდულებიპროდუქტთან ისე, რომ სეგმენტიდან თითოეული მთელი რიცხვი ასოცირდება ნარჩენების ერთობლიობასთან, სადაც

…

ამავდროულად, ჩინური ნარჩენების თეორემა გარანტიას იძლევა ინტერვალიდან რიცხვების წარმოდგენის უნიკალურობას.

RNS-ში არითმეტიკული მოქმედებები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) შესრულებულია კომპონენტად, თუ შედეგი ცნობილია, რომ არის მთელი რიცხვი და ასევე დევს .

RNS-ის უარყოფითი მხარეა რიცხვების მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის წარმოდგენის შესაძლებლობა, ასევე RNS-ში წარმოდგენილი რიცხვების შედარების ეფექტური ალგორითმების ნაკლებობა. შედარება ჩვეულებრივ ხორციელდება არგუმენტების RNS-დან ბაზებში შერეულ რიცხვთა სისტემაში გადაყვანის გზით.

შტერნი-ბროკოტის ნომრების სისტემაარის დადებითი რაციონალური რიცხვების დაწერის ხერხი შტერნ-ბროკოს ხეზე დაყრდნობით.

სხვადასხვა ერების რიცხვითი სისტემა

ერთეულის ნომრის სისტემა

როგორც ჩანს, ქრონოლოგიურად, თითოეული ადამიანის პირველი რიცხვითი სისტემა, ვინც დაეუფლა ანგარიშს. ბუნებრივი რიცხვიგამოსახულია იგივე სიმბოლოს გამეორებით (ტირე ან წერტილი). მაგალითად, ნომრის 26-ის გამოსასახავად, თქვენ უნდა დახაზოთ 26 ხაზი (ან გააკეთოთ 26 ჭრილი ძვალზე, ქვაზე და ა.შ.). შემდგომში, მოხერხებულობისთვის დიდი რიცხვები, ეს სიმბოლოები დაჯგუფებულია სამად ან ხუთად. შემდეგ ნიშნების თანაბარი მოცულობის ჯგუფების შეცვლა იწყება ახალი ნიშნით - ასე ჩნდება მომავალი რიცხვების პროტოტიპები.

ძველი ეგვიპტური რიცხვების სისტემა

ბაბილონის რიცხვთა სისტემა

ანბანური რიცხვითი სისტემები

ანბანურ რიცხვთა სისტემებს იყენებდნენ ძველი სომხები, ქართველები, ბერძნები (იონური რიცხვითი სისტემა), არაბები (აბჯადია), ებრაელები (იხ. გემატრია) და ახლო აღმოსავლეთის სხვა ხალხები. სლავურ ლიტურგიულ წიგნებში ბერძნული ანბანური სისტემა ითარგმნა კირიული ასოებით.

ებრაული რიცხვითი სისტემა

ბერძნული რიცხვების სისტემა

რომაული რიცხვითი სისტემა

თითქმის არაპოზიციური რიცხვების სისტემის კანონიკური მაგალითია რომაული, რომელშიც ლათინური ასოები გამოიყენება ციფრებად:
მე ვდგავარ 1-ზე,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
მ-1000

მაგალითად II = 1 + 1 = 2
აქ სიმბოლო I არის 1 რიცხვში მისი ადგილის მიუხედავად.

ფაქტობრივად, რომაული სისტემა არ არის სრულიად არაპოზიციური, რადგან მას აკლდება პატარა ციფრი, რომელიც უფრო დიდზე დგას, მაგალითად:

IV = 4 ხოლო:
VI = 6

მაიას რიცხვითი სისტემა

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ბმულები

• გაშკოვი S.B.რიცხვითი სისტემები და მათი აპლიკაციები. - M .: MTsNMO, 2004. - (ბიბლიოთეკა "მათემატიკური განათლება").
• ფომინი ს.ვ.რიცხვითი სისტემები. - მ .: ნაუკა, 1987. - 48გვ. - (პოპულარული ლექციები მათემატიკაში).
• იაგლომ I.რიცხვითი სისტემები // კვანტური. - 1970. - No 6. - S. 2-10.
• რიცხვები და რიცხვითი სისტემები. ონლაინ ენციკლოპედია მთელ მსოფლიოში.
• სტახოვი ა.რიცხვითი სისტემების როლი კომპიუტერების ისტორიაში.
• Mikushin A.V ნომრის სისტემები. ლექციების კურსი "ციფრული მოწყობილობები და მიკროპროცესორები"
• ბატლერი ჯ.ტ., სასაო ტ. ზედმეტი მნიშვნელობით რიცხვითი სისტემები სტატია განიხილავს რიცხვთა სისტემებს, რომლებიც იყენებენ ერთზე მეტ რიცხვებს და აძლევენ ზედმეტობას რიცხვების წარმოდგენისას.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• როგორ გრძნობთ თავს ორსულობის 17 კვირაში?;
• გამართლებულია თუ არა სპაზმალგონის გამოყენება ორსულობის დროს სპაზმალგონის მეორე ტრიმესტრში;
• ორსულობის მეოთხე კვირა: ნიშნები, სიმპტომები, ფოტო, ულტრაბგერა;
• შეიძლება თუ არა ორსულებმა "Stodal" ხველა;
• ბავშვებში ფარინგიტის სიმპტომები და მკურნალობა: პედიატრის რჩევა მწვავე ფარინგიტი ჩვილებში 7 თვის;
• ეს "საშინელი" ჰემოგლობინი;
• საიდან არის მიხაილ სერგეევიჩ გორბაჩოვი?;
• როგორ გავატაროთ სამარხვო დღეები ჯანმრთელობისთვის და წონის დაკლებისთვის როგორ მოვაწყოთ სამარხვო დღეები საკუთარ თავს სწორად;