რა არის მართკუთხედის ჰიპოტენუზა. როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები? გეომეტრიის საფუძვლები
თავიდანვე გავიხსენებთ, რომ სამკუთხედი არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს 3 კუთხე. როგორ ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, თუ ცნობილია სამკუთხედის სხვა ზომები?
ინსტრუქცია
- ცნობილია ფეხების სიგრძე. IN ამ საქმესჰიპოტენუზა შეიძლება გამოითვალოს პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ეს თეორემა ასე ჟღერს: ფეხების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოსათვლელად აუცილებელია თითოეული ფეხის მნიშვნელობის კვადრატი მონაცვლეობით. შემდეგ დაამატეთ მიღებული რიცხვები და აიღეთ კვადრატული ფესვი მთლიანი შედეგიდან.
- როგორ მოვძებნოთ ჰიპოტენუზა KFB სამკუთხედში, თუ ცნობილია ფეხი (VC) და მის მიმდებარე კუთხე? ცნობილ კუთხეს აღვნიშნავთ α-ით. მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი თვისება ასეთია: მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძის შეფარდება ჰიპოტენუზის სიგრძესთან უდრის ჰიპოტენუზასა და ამ კუთხის კუთხის კოსინუსს. ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: FB=BK*cos(α).
- ცნობილია კიდევ ერთი ფეხი (KF) და იგივე კუთხე α, ახლა ის საპირისპირო იქნება. ჰიპოტენუზის პოვნა ასევე შესაძლებელია მართკუთხა სამკუთხედის იგივე თვისებების გამოყენებით. აქ მივიღებთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხის სიგრძის შეფარდება მისი ჰიპოტენუზის სიგრძესთან უდრის ფეხის მოპირდაპირე კუთხის სინუსს. ვწერთ: FB=KF*sin(α).
- როგორ ვიპოვოთ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, თუ მის გარშემო აღწერილია წრე, რისთვისაც ცნობილია მისი რადიუსი. წრის თვისებებიდან, რომელიც შემოხაზულია მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო, ცნობილია, რომ ასეთ წრეს აქვს ცენტრი, რომელიც ემთხვევა ჰიპოტენუზის წერტილს, რომელიც მას შუაზე ყოფს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რადიუსი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს. და ეს ნიშნავს, რომ ჰიპოტენუზას ორი რადიუსი ქმნის: FB=2*R.
მართკუთხა სამკუთხედის და პითაგორას თეორემის თვისებების ცოდნა, ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოთვლა ძალიან ადვილია. თუ ჯერ კიდევ გაგიჭირდებათ ყველა თვისების დამახსოვრება, მაშინ უბრალოდ ისწავლეთ მზა ფორმულები, რომლებშიც ძალიან ადვილია ჩანაცვლება ცნობილი ღირებულებებიჰიპოტენუზის სიგრძის გამოსათვლელად.
თარგმნილია ბერძენი, ჰიპოტენუზა ნიშნავს "გაჭიმულს". სწორი გაგებისთვის, წარმოიდგინეთ მშვილდის სიმები, რომელიც აკავშირებს მოქნილი ჯოხის ორ ბოლოს. აქაც შიგნით მართკუთხა სამკუთხედიყველაზე გრძელი მხარე არის ჰიპოტენუზა, რომელიც მოპირდაპირეა სწორი კუთხე. ის მოქმედებს როგორც დანარჩენი ორი მხარის დამაკავშირებელი, რომელსაც ფეხები ეწოდება. იმის გასარკვევად, თუ რამდენ ხანს არის ეს "სტრიქონი", თქვენ უნდა გქონდეთ ფეხების სიგრძე, ან ორი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა. ამ მონაცემების კომბინაციით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ სასურველი მნიშვნელობა ფორმულების გამოყენებით.
როგორ მოვძებნოთ ჰიპოტენუზა ფეხების მიხედვით
ყველაზე მარტივი გამოსათვლელია, იცით თუ არა ორი ფეხის მნიშვნელობა (მოდით აღვნიშნოთ ერთი A, მეორე B). თავად პითაგორა და მისი მსოფლიოში ცნობილი თეორემა სამაშველოში მოდის. ის გვეუბნება, რომ თუ ფეხების სიგრძეს კვადრატში მოვაყრით და გამოთვლილ მნიშვნელობებს დავამატებთ, შედეგად გავარკვევთ ჰიპოტენუზის კვადრატში სიგრძის მნიშვნელობას. ზემოაღნიშნულიდან დავასკვნათ: ჰიპოტენუზის მნიშვნელობის საპოვნელად აუცილებელია C \u003d √ (A² + B²) კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვის ამოღება. მაგალითი: ფეხი A \u003d 10 სმ, ფეხი B \u003d 20 სმ. ჰიპოტენუზა არის 22,36 სმ. გაანგარიშება ასეთია: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u0203d.
როგორ ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა კუთხით
ცოტა უფრო რთულია ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოთვლა მოცემული კუთხით. თუ იცით ორი ფეხიდან ერთ-ერთის ზომა (აღვნიშნოთ A) და კუთხის ზომა (აღვნიშნოთ α), რომელიც დევს მის საპირისპიროდ, მაშინ ჰიპოტენუზის ზომა ტრიგონომეტრიის და კონკრეტულად სინუსის გამოყენებით არის ნაპოვნი. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ცნობილი ფეხის მნიშვნელობის გაყოფა კუთხის სინუსზე. C=A/sin(α). მაგალითი: ფეხის სიგრძე არის A = 30 სმ, მის მოპირდაპირე კუთხე არის 45 °, ჰიპოტენუზა იქნება 42,25 სმ. გამოთვლა ასეთია: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.
კიდევ ერთი გზაა ჰიპოტენუზის ზომის პოვნა კოსინუსის გამოყენებით. იგი გამოიყენება, თუ იცით ფეხის ზომა (აღვნიშნოთ B) და მახვილი კუთხე (აღვნიშნოთ α), რომელიც მის გვერდით არის. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ფეხის მნიშვნელობის გაყოფა კუთხის სინუსზე. С=В/cos(α). მაგალითი: ფეხის სიგრძეა B = 30 სმ, მის მოპირდაპირე კუთხე 45 °, ჰიპოტენუზა იქნება 42,25 სმ. გამოთვლა ასეთია: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.
როგორ ვიპოვოთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა
ნებისმიერმა თავმოყვარე მოსწავლემ იცის, რომ სამკუთხედი ტოლფერდაა, იმ პირობით, რომ სამი გვერდიდან ორი ერთმანეთის ტოლია. ამ გვერდებს გვერდითი ეწოდება და ის, რაც რჩება, არის ფუძე. თუ რომელიმე კუთხე არის 90 °, მაშინ თქვენ გაქვთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედი.
ასეთ სამკუთხედში ჰიპოტენუზის პოვნა მარტივია, რადგან მას აქვს რამდენიმე თვისება, რაც დაგეხმარებათ. ფუძის მიმდებარე კუთხეები მნიშვნელობით იგივეა, კუთხეების ჯამი არის 180°. ეს ნიშნავს, რომ სწორი კუთხე მდებარეობს ფუძის საპირისპიროდ, რაც ნიშნავს, რომ ფუძე არის ჰიპოტენუზა, ფეხები არის გვერდები.
განვიხილოთ მაგალითი: ფეხი A \u003d 2 სმ, რაც ნიშნავს, რომ მეორე ფეხი არის 2 სმ. ამრიგად, ჩვენ ხელახლა ვწერთ პითაგორას თეორემას: C² \u003d 2 * A². მონაცემების ფორმულით ჩანაცვლებით მივიღებთ ჰიპოტენუზის მნიშვნელობას ტოლი 2,83 სმ დასკვნა: თუ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ერთი გვერდი არის 2 სმ, მაშინ მისი ფუძე იქნება 2,83 სმ.
სამკუთხედს მართკუთხა სამკუთხედს უწოდებენ, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე არის 90º. მართი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს ჰიპოტენუზა ეწოდება, დანარჩენ ორს კი ფეხი.
მართკუთხა სამკუთხედში კუთხის საპოვნელად გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედების ზოგიერთი თვისება, კერძოდ: ის ფაქტი, რომ მახვილი კუთხეების ჯამი არის 90º და ასევე ის, რომ ფეხის მოპირდაპირედ, რომლის სიგრძე ჰიპოტენუზის ნახევარია, დევს კუთხე უდრის 30º.
სტატიის სწრაფი ნავიგაცია
Ტოლფერდა სამკუთხედი
ტოლფერდა სამკუთხედის ერთ-ერთი თვისება ის არის, რომ მისი ორი კუთხე ტოლია. მართკუთხა ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხეების მნიშვნელობების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ:
- მართი კუთხე არის 90º.
- მწვავე კუთხეების მნიშვნელობები განისაზღვრება ფორმულით: (180º-90º)/2=45º, ე.ი. კუთხეები α და β არის 45º.
თუ ერთ-ერთი მწვავე კუთხის მნიშვნელობა ცნობილია, მეორე შეიძლება ვიპოვოთ ფორმულით: β=180º-90º-α, ან α=180º-90º-β. ყველაზე ხშირად, ეს თანაფარდობა გამოიყენება, თუ ერთ-ერთი კუთხე არის 60º ან 30º.
ძირითადი ცნებები
სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180º. ვინაიდან ერთი კუთხე სწორია, დანარჩენი ორი იქნება მკვეთრი. მათი მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ:
სხვა მეთოდები
მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხის მნიშვნელობები შეიძლება გამოითვალოს მედიანას მნიშვნელობის ცოდნით - წრფე, რომელიც შედგენილია სამკუთხედის წვეროდან მოპირდაპირე მხარეს, ხოლო სიმაღლე - სწორი ხაზი, რომელიც არის პერპენდიკულური ჩამოშვებული. მარჯვენა კუთხიდან ჰიპოტენუზამდე. მოდით s იყოს მედიანა, რომელიც დახატულია მარჯვენა კუთხიდან ჰიპოტენუზის შუა წერტილამდე, h იყოს სიმაღლე. ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ: 
- sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
- cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
- sinα=h/b; sinβ=h/a.
Ორი მხარე
თუ ჰიპოტენუზის და ერთი ფეხის, ან ორი მხარის სიგრძე ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში, ტრიგონომეტრიული იდენტობები გამოიყენება მწვავე კუთხეების მნიშვნელობების საპოვნელად:
- α=არცინი(ა/გ), β=არცინი(ბ/გ).
- α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
- α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
ინსტრუქცია
თუ საჭიროა ჰიპოტენუზის გამოთვლა პითაგორას თეორემის გამოყენებით, გამოიყენეთ შემდეგი ალგორითმი: - სამკუთხედში განსაზღვრეთ რომელი გვერდებია ფეხები და რომელი ჰიპოტენუზა. ორი გვერდი, რომლებიც ქმნიან ოთხმოცდაათი გრადუსიან კუთხეს, არის ფეხები, სამკუთხედის დარჩენილი მესამე მხარე არის ჰიპოტენუზა. (იხ. სურათი) - აწიეთ ამ სამკუთხედის თითოეული ფეხი მეორე ხარისხამდე, ანუ გაამრავლეთ მათი ღირებულება თავისთავად. მაგალითი 1. აუცილებელი იყოს ჰიპოტენუზის გამოთვლა, თუ სამკუთხედში ერთი ფეხი არის 12 სმ, მეორე კი 5 სმ. პირველ რიგში, ფეხების კვადრატებია: 12 * 12 = 144 სმ და 5 * 5 = 25 სმ. - შემდეგი, განსაზღვრეთ კვადრატების ფეხების ჯამი. გარკვეული რიცხვი არის კვადრატი ჰიპოტენუზა, ასე რომ თქვენ უნდა მოიცილოთ რიცხვის მეორე ხარისხი, რომ იპოვოთ სიგრძესამკუთხედის ეს მხარე. ამისათვის ამოიღეთ კვადრატული ფესვის ქვეშ ფეხების კვადრატების ჯამის მნიშვნელობა. მაგალითი 1. 144+25=169. 169-ის კვადრატული ფესვი იქნება 13. მაშასადამე, ამის სიგრძე ჰიპოტენუზაუდრის 13 სმ.
სიგრძის გამოთვლის კიდევ ერთი გზა ჰიპოტენუზამდგომარეობს სამკუთხედის კუთხეების სინუსის და კოსინუსის ტერმინოლოგიაში. განმარტებით: ალფა კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ანუ, ფიგურის დათვალიერებისას, ცოდვა \u003d CB / AB. მაშასადამე, ჰიპოტენუზა AB \u003d CB / sin a. მაგალითი 2. მოდით, კუთხე a იყოს 30 გრადუსი, ხოლო მის მოპირდაპირე ფეხი 4 სმ. თქვენ უნდა იპოვოთ ჰიპოტენუზა. ამოხსნა: AB \u003d 4 სმ / sin 30 \u003d 4 სმ / 0.5 \u003d 8 სმ პასუხი: სიგრძე ჰიპოტენუზა 8 სმ-ის ტოლი.
პოვნის მსგავსი გზა ჰიპოტენუზაკუთხის კოსინუსის განსაზღვრებიდან. კუთხის კოსინუსი არის მის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა და ჰიპოტენუზა. ანუ cos a \u003d AC / AB, შესაბამისად AB \u003d AC / cos a. მაგალითი 3. ABC სამკუთხედში AB არის ჰიპოტენუზა, BAC კუთხე 60 გრადუსია, ფეხი AC არის 2 სმ. იპოვეთ AB.
ამოხსნა: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 სმ პასუხი: ჰიპოტენუზა არის 4 სმ სიგრძის.
რჩევა 2: როგორ ვიპოვოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე მართკუთხა სამკუთხედში
ჰიპოტენუზას უწოდებენ მართკუთხა სამკუთხედში ყველაზე გრძელ გვერდებს, ამიტომ გასაკვირი არ არის, რომ ეს სიტყვა ბერძნულიდან ითარგმნება როგორც "გაჭიმული". ეს მხარე ყოველთვის დგას 90° კუთხის საპირისპიროდ და ამ კუთხის შემქმნელ გვერდებს ფეხები ეწოდება. ამ გვერდების სიგრძისა და მახვილი კუთხეების სიდიდის ცოდნა ამ მნიშვნელობების სხვადასხვა კომბინაციებში, შეიძლება ასევე გამოვთვალოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე.
ინსტრუქცია
თუ ცნობილია სამკუთხედის (A და B) ორივე ფეხის სიგრძე, მაშინ გამოიყენეთ, ალბათ, ყველაზე ცნობილი მათემატიკური პოსტულატი ჩვენს პლანეტაზე, პითაგორას თეორემა, რათა იპოვოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე (C). ნათქვამია, რომ ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატი უდრის ფეხების სიგრძის კვადრატების ჯამს, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ორი ცნობილი მხარის კვადრატული სიგრძის ჯამის კვადრატული ფესვი: C \u003d √ (A² + B²). მაგალითად, თუ ერთი ფეხის სიგრძე 15 სანტიმეტრია, მეორე კი 10 სანტიმეტრი, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება დაახლოებით 18,0277564 სანტიმეტრი, ვინაიდან √(15²+10²)=√(225+100)= √3250247618. .
თუ ცნობილია მართკუთხა სამკუთხედში მხოლოდ ერთი ფეხის (A) სიგრძე, ისევე როგორც მის მოპირდაპირე კუთხის მნიშვნელობა (α), მაშინ ჰიპოტენუზის (C) სიგრძე შეიძლება განისაზღვროს ერთ-ერთის გამოყენებით. ტრიგონომეტრიული ფუნქციები- სინუსი. ამისთვის ცნობილი გვერდის სიგრძე გავყოთ ცნობილი კუთხის სინუსზე: C=A/sin(α). მაგალითად, თუ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძეა 15 სანტიმეტრი, ხოლო კუთხე სამკუთხედის საპირისპირო წვეროზე არის 30 °, მაშინ ჰიპოტენუზის სიგრძე იქნება 30 სანტიმეტრი, რადგან 15 / ცოდვა (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30.
გეომეტრია არ არის მარტივი მეცნიერება. ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ორივესთვის სკოლის სასწავლო გეგმა, ისევე როგორც შიგნით ნამდვილი ცხოვრება. მრავალი ფორმულისა და თეორემის ცოდნა გაამარტივებს გეომეტრიულ გამოთვლებს. გეომეტრიის ერთ-ერთი უმარტივესი ფორმა არის სამკუთხედი. სამკუთხედების ერთ-ერთ სახეობას, ტოლგვერდა, აქვს საკუთარი მახასიათებლები.
ტოლგვერდა სამკუთხედის მახასიათებლები
განმარტებით, სამკუთხედი არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს სამი კუთხე და სამი გვერდი. ეს არის ბრტყელი ორგანზომილებიანი ფიგურა, მისი თვისებები შესწავლილია საშუალო სკოლაში. კუთხის ტიპის მიხედვით განასხვავებენ მახვილკუთხა, ბლაგვკუთხა და მართკუთხა სამკუთხედებს. მართკუთხა სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურასადაც ერთ-ერთი კუთხე არის 90º. ასეთ სამკუთხედს აქვს ორი ფეხი (ისინი ქმნიან მართ კუთხეს) და ერთი ჰიპოტენუზა (ის მართი კუთხის საპირისპიროა). იმის მიხედვით, თუ რა რაოდენობითაა ცნობილი, სამია მარტივი გზებიგამოთვალეთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა.
პირველი გზა არის მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის პოვნა. პითაგორას თეორემა
პითაგორას თეორემა მართკუთხა სამკუთხედის რომელიმე გვერდის გამოსათვლელად უძველესი გზაა. ეს ასე ჟღერს: „მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს“. ამრიგად, ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად, უნდა გამოვყოთ ორი ფეხის ჯამის კვადრატული ფესვი. სიცხადისთვის მოცემულია ფორმულები და დიაგრამა.
მეორე გზა. ჰიპოტენუზის გამოთვლა 2 ცნობილი მნიშვნელობის გამოყენებით: ფეხი და მიმდებარე კუთხე
მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი თვისება ამბობს, რომ ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზას სიგრძესთან უდრის ამ კუთხის კოსინუსს ამ წვერსა და ჰიპოტენუზას შორის. ჩვენთვის ცნობილ კუთხეს ვუწოდოთ α. ახლა, კარგად ცნობილი განმარტების წყალობით, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ჩამოვაყალიბოთ ფორმულა ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად: ჰიპოტენუზა = leg/cos(α)
მესამე გზა. ჰიპოტენუზის გამოთვლა 2 ცნობილი მნიშვნელობის გამოყენებით: ფეხი და საპირისპირო კუთხე
თუ საპირისპირო კუთხე ცნობილია, შესაძლებელია მართკუთხა სამკუთხედის თვისებების ხელახლა გამოყენება. ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა საპირისპირო კუთხის სინუსს უდრის. ისევ დავურეკოთ ცნობილი კუთხეა. ახლა გამოთვლებისთვის ჩვენ ვიყენებთ ოდნავ განსხვავებულ ფორმულას:
ჰიპოტენუზა = ფეხი/ცოდვა (α)
მაგალითები, რომლებიც დაგეხმარებათ გაიგოთ ფორმულები
თითოეული ფორმულის უფრო ღრმა გაგებისთვის, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ საილუსტრაციო მაგალითები. ასე რომ, დავუშვათ, მოცემულია მართკუთხა სამკუთხედი, სადაც არის ასეთი მონაცემები:
- ფეხი - 8 სმ.
- მიმდებარე კუთხე cosα1 არის 0,8.
- საპირისპირო კუთხე sinα2 არის 0,8.
პითაგორას თეორემის მიხედვით: ჰიპოტენუზა \u003d კვადრატული ფესვი (36 + 64) \u003d 10 სმ.
ფეხის ზომით და ჩართული კუთხით: 8 / 0.8 \u003d 10 სმ.
ფეხის ზომით და საპირისპირო კუთხით: 8 / 0.8 \u003d 10 სმ.
ფორმულის გაგების შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ჰიპოტენუზა ნებისმიერი მონაცემით.
ვიდეო: პითაგორას თეორემა
შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:
- ჰადისი წინასწარმეტყველ მუჰამედის მითითებით ოჯახის თემაზე;
- სურა დაზიანებისა და თვალებისგან. დუას წაკითხვა ბავშვებისთვის. ლოცვები სხვადასხვა შემთხვევებისთვის თათრებს შორის;
- ვიდეო რამადანის თვეში მარხვის შესახებ;
- გამოყენებული ლიტერატურის სია;
- რა ძლიერი მხარეები უნდა იყოს მითითებული რეზიუმეში?;
- პიროვნების მოტივაციის დიაგნოსტიკის მეთოდები;
- რა უნდა იცოდნენ ქვეშევრდომებმა?;
- თქვენი გრძნობების ვერბალიზაცია;