Vsi računski sistemi. Pozicijski številski sistem

Takoj ko so ljudje začeli šteti, so morali zapisovati številke. Arheologi so na najdiščih primitivnih ljudi našli dokaze, da je bila sprva skoraj vsaka številka zapisana preprosto s številom enakih ikon: palice, pike, pomišljaji. Tak sistem se imenuje enojni (unarni). Vsako število v tem sistemu je zapisano s ponavljanjem enega znaka, ki simbolizira enoto.

Kljub starodavnosti tega sistema se uporablja do danes, prvošolce učijo šteti na palice in za določitev tečaja, v katerem trenutno študira kadet vojaške šole, je treba prešteti število prišitih črt. njegov rokav.

Unarni sistem ni najbolj priročen način zapisovanje števil, snemanje zavzame veliko prostora in monotonost zapisovanja vodi do napak, zato so se sčasoma začeli pojavljati priročnejši številski sistemi.

Decimalni staroegipčanski številski sistem

Stari Egipčani so imeli zelo priročen številski sistem, imel je znake, ki so označevali ključne številke: 1, 10, 100 itd. Ostala števila smo zapisali s seštevanjem. Oznake nekaterih številk so predstavljene na sliki 1.

Sistem trenutno ni v uporabi.

Sistem rimskih številk

Ta sistem je do danes ostal nespremenjen. Pojavil se je pred več kot dva tisoč leti in pol v Stari Rim. Temeljil je na znakih I (prst) za številko 1, V (pet) za številko 5, X (dve roki) za številko 10. Za označevanje 100, 500 in 1000 so bile prve črke latinskih imen rabljen (centum - sto, demimille - pol tisoč, mille - tisoč). Da bi zapisali število, Rimljani niso uporabljali samo vsot, kot Egipčani, ampak tudi razliko. Za to je bilo uporabljeno preprosto pravilo: vsak manjši znak za večjim se prišteje k njegovi vrednosti, tisti pred odličen znak odšteti od njegove vrednosti. Tako IX - pomeni 9, XI pa 11.

Rimske številke se uporabljajo še danes, z njimi poimenujejo razdelke, pododdelke knjig, stoletja, pogosto jih pišejo tudi na urah.

Abecedni številski sistemi

Ti sistemi vključujejo: grški, slovanski, finski in drugi. Tu so bile številke od 1 do 9, od 10 do 90 in od 100 do 900 označene s črkami abecede. IN Antična grčijaštevilke so bile označene s prvimi devetimi črkami grške abecede. Števila od 10 do 90 so naslednjih devet. In od 100 do 900 - zadnjih devet črk rimske abecede. Slovani številčne vrednosti poveži črke po vrstnem redu. Sprva je bila za to uporabljena glagolica, nato pa cirilica. V Rusiji se je to oštevilčenje ohranilo do konca 17. stoletja. Nato je Peter I iz tujine prinesel arabsko številčenje, ki ga uporabljamo še danes.

Notacija - to je način predstavljanja števil in ustreznih pravil za delovanje s števili. Različne številske sisteme, ki so obstajali prej in se uporabljajo danes, lahko razdelimo na nepozicijski in pozicijski. Znaki, ki se uporabljajo pri pisanju številk, se imenujejo številke.

IN nepozicijski številski sistemi vrednost števke ni odvisna od njenega položaja v številu.

Primer nepozicijskega številskega sistema je rimski sistem (rimske številke). V rimskem sistemu se latinske črke uporabljajo kot številke:

Primer 1Število CCXXXII je sestavljeno iz dvesto, treh desetic in dveh enot in je enako dvesto dvaintrideset.

Rimske številke so zapisane od leve proti desni v padajočem vrstnem redu. V tem primeru se njihove vrednosti dodajo. Če je na levi napisano manjše število, na desni pa veliko število, se njihove vrednosti odštejejo.

Primer 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

Primer 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN pozicijski številski sistemi vrednost, označena s števko v številskem vnosu, je odvisna od njenega položaja. Število uporabljenih števk se imenuje osnova pozicijskega številskega sistema.

Številski sistem, ki se uporablja v sodobni matematiki, je položajni decimalni sistem. Njegova osnova je deset, saj Poljubne številke so zapisane z desetimi številkami:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pozicijsko naravo tega sistema je enostavno razumeti na primeru katerega koli večmestnega števila. Na primer, v številu 333 prva tri pomeni tristo, druga - tri desetice, tretja - tri enote.

Zapisati števila v položajnem sistemu z osnovo n Moram imeti abeceda od nštevke. Ponavadi za to n < 10 используют n prve arabske številke in n> 10 do deset arabske številke dodajte črke. Tu so primeri abeced iz več sistemov:

Če je treba navesti osnovo sistema, ki mu pripada številka, se tej številki dodeli indeks. Na primer:

1011012, 36718, 3B8F16.

V osnovnem številskem sistemu q(q-arni številski sistem) enote števk so zaporedne potence števila q.q enote katere koli kategorije tvorijo enoto naslednje kategorije. Za pisanje številke q- zahtevan redni številski sistem q različni znaki (številke), ki predstavljajo števila 0, 1, ..., q– 1. Pisanje števila q V q-arni številski sistem ima obliko 10.

Razširjena oblika zapisa števila

Pustiti Aq- številka v osnovnem sistemu q, ai -števke danega številskega sistema, ki so prisotne v zapisu števila A, n+ 1 - število števk celega dela števila, m- število števk delnega dela števila:

Razširjena oblika števila A se imenuje zapis v obliki:

Na primer za decimalno število:

Naslednji primeri prikazujejo razširjeno obliko šestnajstiških in binarnih števil:

V katerem koli številskem sistemu je njegova osnova zapisana kot 10.

Če vse člene v razširjeni obliki nedecimalnega števila predstavimo v decimalnem sistemu in dobljeni izraz izračunamo po pravilih decimalne aritmetike, dobimo število v decimalnem sistemu, ki je enako danemu. Po tem principu se izvede pretvorba iz nedecimalnega sistema v decimalni. Na primer, pretvorba zgoraj zapisanih števil v decimalni sistem poteka takole:

Pretvarjanje decimalnih števil v druge številske sisteme

Integer Translation

celo decimalno število X je treba prenesti na sistem z bazo q:X= (a n a n-1 …a 1 a 0) q. Treba najti pomembne številkeštevilke: . Predstavimo število v razširjeni obliki in izvedemo identično transformacijo:

Od tod je jasno, da a 0 je ostanek po deljenju števila X na številko q. Izraz v oklepaju je celoštevilski količnik tega deljenja. Označimo ga kot X 1. Z izvajanjem podobnih transformacij dobimo:

torej a 1 je preostanek delitve X 1 na q. Če nadaljujemo deljenje z ostankom, dobimo zaporedje števk želenega števila. številka an v tej verigi delitev bo zadnja zasebna, manjša q.

Oblikujmo nastalo pravilo: za to če želite pretvoriti celo decimalno število v številski sistem z drugo osnovo, potrebujete:

1) izrazite osnovo novega številskega sistema v decimalnem številskem sistemu in izvedite vsa naslednja dejanja v skladu s pravili decimalne aritmetike;

2) dano število in nastale delne količnike zaporedno delimo z osnovo novega številskega sistema, dokler ne dobimo nepopolnega količnika, manjšega od delitelja;

3) nastale ostanke, ki so števke števila v nov sistem račun, ga uskladiti z abecedo novega številskega sistema;

4) sestavite število v novem številskem sistemu in ga zapišite od zadnjega zasebnega števila.

Primer 1 Pretvori število 37 10 v dvojiški sistem.

Za označevanje števil v zapisu števila uporabljamo simboliko: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Od tukaj: 37 10 = l00l0l 2

Primer 2 Pretvorite decimalno število 315 v osmiški in šestnajstiški sistem:

Od tod sledi: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Spomnimo se, da je 11 10 = B 16 .

decimalno X< 1 требуется перевести в систему с основаниемq:X= (0,a –1 a –2 …a–m+1 a–m) q. Poiščite pomembne števke števila: a –1 ,a –2 , …,a-m. Število predstavimo v razširjeni obliki in ga pomnožimo s q:

Od tod je jasno, da a–1 obstaja cel del dela X na številko q. Označimo z X 1 ulomek produkta in ga pomnožimo s q:

torej a –2 obstaja cel del dela X 1 na številko q. Z nadaljevanjem množenja bomo dobili zaporedje števk. Sedaj pa oblikujmo pravilo: če želite decimalni ulomek pretvoriti v številski sistem z drugo osnovo, potrebujete:

1) zaporedoma pomnožite dano število in dobljene delne dele produktov z osnovo novega sistema, dokler delni del produkta ne postane enak nič ali je dosežena zahtevana natančnost predstavitve števila v novem številskem sistemu;

2) dobljeni celi deli produktov, ki so števke števila v novem številskem sistemu, jih uskladijo z abecedo novega številskega sistema;

3) sestavite delni del števila v novem številskem sistemu, začenši s celim delom prvega produkta.

Primer 3 Pretvorite decimalno 0,1875 v dvojiško, osmiško in šestnajstiško.

Tukaj je celi del števil v levem stolpcu, ulomek pa v desnem stolpcu.

Zato: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Prevod mešanih števil, ki vsebuje cele in delne dele, se izvaja v dveh fazah. Celo število in delni del izvirnega števila se prevedeta ločeno v skladu z ustreznimi algoritmi. Pri končnem zapisu števila v novem številskem sistemu je celoštevilski del ločen od ulomka (pike).

Binarno računalništvo

Po principu Johna von Neumanna računalnik izvaja izračune v binarni sistem obračunavanje. V okviru osnovnega predmeta je dovolj, da se omejimo na obravnavo izračunov z binarnimi celimi števili. Za izračune z večmestnimi števili morate poznati pravila seštevanja in pravila množenja enomestnih števil. Tukaj so pravila:

Načelo permutacije seštevanja in množenja deluje v vseh številskih sistemih. Tehnike za izvajanje izračunov z večmestnimi števili v dvojiškem sistemu so podobne desetiškim. Z drugimi besedami, postopki seštevanja, odštevanja in množenja s "stolpcem" ter deljenja z "vogalom" v dvojiškem sistemu se izvajajo na enak način kot v decimalnem sistemu.

Upoštevajte pravila za odštevanje in deljenje binarnih števil. Operacija odštevanja je obratna operacija seštevanja. Iz zgornje tabele seštevanja sledijo pravila odštevanja:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Tukaj je primer večmestnega odštevanja:

Dobljeni rezultat lahko preverimo s seštevanjem razlike z odštevancem. Moralo bi biti padajoče število.

Deljenje je inverzna operacija množenja. V nobenem številskem sistemu ne morete deliti z 0. Rezultat deljenja z 1 je enak dividendi. Deljenje binarnega števila s 102 premakne decimalno vejico za eno mesto v levo, tako kot decimalno deljenje z deset. Na primer:

Deljenje s 100 premakne decimalno vejico za 2 mesti v levo in tako naprej. V osnovnem tečaju ne morete upoštevati zapletenih primerov deljenja večvrednih binarnih števil. Čeprav se sposobni učenci lahko spopadejo z njimi, če razumejo splošna načela.

Predstavitev informacij, shranjenih v računalniškem pomnilniku, v pravi binarni obliki je zaradi velikega števila števk zelo okorna. To se nanaša na zapis takšnih informacij na papir ali prikaz na zaslonu. Za te namene je običajno uporabljati mešane binarno-oktalne ali binarno-šestnajstiške sisteme.

Obstaja preprosto razmerje med binarno in šestnajstiško predstavitvijo števila. Pri prevajanju števila iz enega sistema v drugega ena šestnajstiška številka ustreza štiribitni binarni kodi. Ta korespondenca se odraža v binarno-šestnajstiški tabeli:

Dvojiška šestnajstiška tabela

Takšno razmerje temelji na dejstvu, da je 16 = 2 4 in je število različnih štirimestnih kombinacij števk 0 in 1 16: od 0000 do 1111. Torej pretvorba števil iz šestnajstiškega v binarno in obratno poteka s formalno pretvorbopo binarno-šestnajstiški tabeli.

Tukaj je primer prevajanja 32-bitne binarne kode v šestnajstiški sistem:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Če je podana šestnajstiška predstavitev notranjih informacij, jo je enostavno prevesti v binarno kodo. Prednost šestnajstiškega prikaza je, da je 4-krat krajši od binarnega. Zaželeno je, da si učenci zapomnijo binarno-šestnajstiško tabelo. Potem bo za njih šestnajstiška predstavitev dejansko postala enakovredna binarni.

V binarnem oktalnem sistemu vsaka osmiška številka ustreza triadi binarnih števk. Ta sistem vam omogoča, da zmanjšate binarno kodo za 3-krat.

Laboratorijsko delo 1. "Številski sistemi"

Številski sistem so pravila za zapisovanje števil z uporabo danega niza posebnih znakov - številk.

Ljudje so uporabljali različne načine zapisovanja števil, ki jih lahko združimo v več skupin: unarne, nepozicijske in pozicijske.

Prva dva sta precej zgodovinskega pomena, saj imata trenutno zelo omejeno uporabo.

Unarni številski sistem

Enarni zapis - To je številski sistem, v katerem se za zapis števil uporablja samo en znak - 1 ("palica").

Naslednje število dobimo iz prejšnjega tako, da dodamo novo 1; njihovo število (vsota) je enako številu samemu.

Ta sistem se uporablja za začetno poučevanje otrok za štetje (lahko se spomnite "števnih palic").

Z drugimi besedami, uporaba unarnega sistema se izkaže za pomembno pedagoško tehniko za uvajanje otrok v svet števil in dejanj z njimi.

nepozicijski zapis

Nepozicijski številski sistem - sistem, v katerem simboli, ki označujejo določeno količino, ne spreminjajo svojega pomena glede na mesto (položaj) v podobi števila.

Od nepozicijski Najpogostejši je sistem rimskih številk.

V njem so nekatere osnovne številke označene z velikimi latiničnimi črkami:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Vsa druga števila so sestavljena iz kombinacij osnovnih števil in:

    če je številka na levi manjša od številke na desni, se leva številka odšteje od desne;

    če je številka na desni manjša ali enaka številki na levi, se te številke seštejejo;

Zapisovanje števil v tak sistem je okorno in neprijetno, še bolj neprijetno pa je izvajanje celo najpreprostejših aritmetičnih operacij v njem.

Nazadnje, odsotnost ničle in predznakov za števila, večja od M, ne dovoljuje zapisovanja katerega koli števila (tudi naravnega) z rimskimi številkami. Ta sistem se uporablja za številčenje.

Pozicijski številski sistemi

Imenujejo se sistemi pozicijskih številk, v katerih je vrednost vsake števke v podobi številke določena z njenim položajem (položajem) v številnih drugih števkah.

Urejen niz znakov (številke) (A 0 , a v ..., A p ), ki se uporablja za predstavitev poljubnih števil v danem pozicijskem številskem sistemu, ga poimenujte abeceda,število znakov (števk) abecede R= n+ 1 - ona temelj, in sam številski sistem se imenuje R-ric.

Osnova položajni številski sistem - število različnih števk, ki se uporabljajo za predstavitev števil v danem številskem sistemu.

Najbolj znan nam je decimalni številski sistem. Njena abeceda je (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9) in osnova p = 10, torej v tem sistemu se za zapis poljubnih števil uporablja le deset različnih znakov (števk). Decimalni številski sistem temelji na dejstvu, da je 10 enot vsake števke združenih v eno enoto sosednje najvišje števke, zato ima vsaka števka težo, ki je enaka potenci števila 10. Zato je vrednost iste števke določena z njeno mesto na sliki števila, za katero je značilna potenca 10. Na primer, na sliki števila 222,22 se številka 2 ponovi 5-krat, medtem ko prva številka 2 na levi pomeni število stotin (njegova teža je 10 2); drugi - število desetin (njegova teža je 10 1), tretji - število enot (njegova teža je 10 0), četrti - število desetin enote (njegova teža je 10 -1) in peta številka - število stotink enote (njegova teža je 10 -2), tj. število 222,22 je mogoče razširiti na potenco 10:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2 .

Podobno je 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304,5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328,15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2 .

Na splošno za službo R-arnega številskega sistema, je treba določiti osnovo R in abecedo, sestavljeno iz R različni znaki (številke) A R jaz = 1,...,R.

Poljubna številka X str lahko predstavimo kot polinom tako, da ga razširimo na potence števila str:

zaporedje koeficientov je skrajšan zapis števila X str :

Točka, ki ločuje celo število števila od ulomka, služi za določitev specifičnih vrednosti vsakega položaja v tem zaporedju števil in je izhodišče.

Metode prevajanja številk. Predstavitev števil v različne sisteme obračunavanje

Prevajanještevila iz enega številskega sistema v drugega

Isto število lahko zapišemo v različnih številskih sistemih.

Algoritempretvarjanje celih števil iz q -arni sistem v str -ary, za q > p

Za zamenjavo prvotne številkeX q enako številoX str zahtevajo pravilaq-arno aritmetično celoštevilsko deljenjeX q na novi osnovistr. Rezultati deljenja, zapisani po vrstnem redu od zadnjega do prvega, se bodo izkazali kot številke X str .

Ker so koeficienti polinoma neznani, jih označimo z a i ; dobimo:

Običajno je opisani postopek predstavljen v obliki šolsko znane operacije deljenja:

Tako smo dobili X 5 =443.

Preverjanje pravilnosti prevoda: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 .

Druga stvar, na katero morate biti pozorni, je vse operacije so bile izvedene po pravilih aritmetike številskega sistema, iz katerega je bil prenos opravljen(v obravnavanem primeru - decimalno).

Algoritem za pretvorbo celih števil iz q -arni sistem v str -ary, za q< p

Za prevod morate navesti številkoX q str-arična aritmetika.

X 6  X 10, X \u003d 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Zgornji algoritmi so primerni za uporabo pri pretvorbi števila iz decimalnega sistema v drugega ali obratno.

Delujejo tudi pri prevajanju med vsemi drugimi številskimi sistemi, vendar bo takšno prevajanje težko, ker morajo biti vse aritmetične operacije izvedene po pravilih izvirnega (v prvem algoritmu) ali končnega (v drugem algoritmu) sistema.

Zaradi tega je prehod, na primer X 3  X 8, lažje izvesti preko vmesnega prehoda v 10. sistem X 3  X 10  X 8.

Algoritem za pretvorbo pravega ulomka za q > p

Rezultat prevajanja pravega ulomka 0,X q bo tudi pravi ulomek 0,X p , ki dobimo z množenjem prvotnega ulomka z novo osnovostrpo pravilihq-aritmetika; celoštevilski del nastalega produkta bo višja številka novega ulomka; ulomek dobljenega produkta je treba ponovno pomnožiti zstritd.

Primer: 0,X 10  0,X 2 . 0,X=0,375 10

Nato dobimo 0,X 2:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Tako je 0,375 10 \u003d 0,011 2.

Preverjanje 0,011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0,25+1,125=0,375 10

Algoritem za pretvorbo pravega ulomka za q< p

Za prevodX q X str morate navesti številkoX q v obliki polinoma in izvaja vse operacije po pravilihstr-arična aritmetika.

Primer: X 6  X 10, X 6 \u003d 0,234 6

Za to

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Preverjamo:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (računska napaka v primeru pridobitve u racionalna števila}

Primer: X 2  X 10, X \u003d 0,10101 2

Za to

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Preverjamo:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0 . Tako je

Prevod števil med številskimi sistemi 2 - 8 - 16

Primeri slik števil v teh številskih sistemih so prikazani v tabeli 1

Tabela 1. Številski sistemi

decimalno

dvojiško

decimalno

dvojiško

Za pretvorbo binarnega celega števila v številski sistem z osnovostr = 2 r dovolj je, da to binarno število, začenši z najmanj pomembno števko, razdelimo v skupine narštevke vsaka in vsaka skupina neodvisno prevede v sistemstr.

Na primer, da pretvorite število 110001 2 v številski sistem p=8, morate prvotno število razdeliti v skupine treh števk od desne proti levi (8 = 2 3 , torej r = 3) in pretvoriti v osmiško številski sistem: 110001 2 =61 8 . Preverjanje 110001 2 =32+16+1=49 10 , 6*8 1 +1*8 0 =49 10

Podobno, če razdelimo v skupine po 4 binarne števke, dobimo 110001 2 = 31 16 .

Prevesti celo število, zapisano v številskem sistemu z osnovostr = 2 r , v dvojiškem sistemu je dovolj, da vsako števko prvotnega števila neodvisno zamenjamo z ustreznimr-bitno binarno število, ki ga po potrebi dopolni z nepomembnimi ničlami ​​do skupine vrštevke.

Primer: predstavimo število D3 16 v dvojiškem sistemu:

Primer, 123 8 = 001010011 2 = 53 16 .

Naloge za samoizpolnitev

    Pretvorite število X p p-arnega številskega sistema v X q q-arnega številskega sistema

    X 5  X 10, kjer je X 5 \u003d 123

    X 3  X 10, kjer je X 3 \u003d 102

    X 10  X 4, kjer je X 10 \u003d 123

    X 10  X 6, kjer je X 10 \u003d 548

    X 5  X 3, kjer je X 3 \u003d 421

    X 2  X 6, kjer je X 2 \u003d 0111001

    X 2  X 16, kjer je X 2 \u003d 10011

    X 2  X 8, kjer je X 2 \u003d 101010

    X 16  X 2, kjer je X 16 \u003d AD3

    X 8  X 2, kjer je X 8 \u003d 5470

II. Pretvori decimalno v binarno:

    743 10, b) 334,12 10, c) 61,375, d) 160,25 10, e) 131,82 10

III. Pretvori decimalno v šestnajstiško:

    445 10, b) 334,12 10, c) 261,375, d) 160,25 10, e) 131,82 10

Enotski (unarni) številski sistem Seznam številskih sistemov

Zapis:

  • daje predstavitve množice števil (cela in/ali realna);
  • daje vsakemu številu edinstveno predstavitev (ali vsaj standardno predstavitev);
  • odraža algebraično in aritmetično strukturo števil.

Številske sisteme delimo na pozicijski, nepozicijski in mešano.

Pozicijski številski sistemi

V pozicijskih številskih sistemih ima enak številski predznak (števka) v vnosu številke različne pomene odvisno od mesta (izpusta), kjer se nahaja. Izum pozicijskega številčenja na podlagi lokalnega pomena števk pripisujejo Sumercem in Babiloncem; takšno številčenje so razvili hindujci in je imelo neprecenljive posledice v zgodovini človeške civilizacije. Ti sistemi vključujejo sodobni decimalni številski sistem, katerega nastanek je povezan s štetjem na prste. IN srednjeveška Evropa pojavila se je prek italijanskih trgovcev, ti pa so si jo izposodili od muslimanov.

Pozicijski številski sistem običajno razumemo kot -arni številski sistem, ki je definiran s klicanim celim številom osnovaštevilski sistemi. Celo število brez predznaka v -arnem številskem sistemu je predstavljeno kot končna linearna kombinacija potenc števila:

, kjer se imenujejo cela števila figure, ki izpolnjuje neenakost.

Vsaka stopnja v takem zapisu se imenuje utežni faktor kategorije. Starost števk in njihovih ustreznih števk je določena z vrednostjo indikatorja (številka števke). Običajno so v neničelnih številih leve ničle izpuščene.

Če ni odstopanj (na primer, ko so vse števke predstavljene v obliki edinstvenih pisnih znakov), je številka zapisana kot zaporedje svojih abecednih števk, navedenih v padajočem vrstnem redu števk od leve proti desni:

Na primer številka sto tri predstavljeno v decimalnem zapisu kot:

Najpogosteje uporabljeni položajni sistemi so:

V pozicijskih sistemih je večja kot osnova sistema, manj bitov (tj. števk, ki jih je treba zapisati) je potrebnih pri zapisu števila.

Mešani številski sistemi

Mešani številski sistem je posplošitev -arnega številskega sistema in se pogosto nanaša tudi na pozicijske številske sisteme. Osnova mešanega številskega sistema je naraščajoče zaporedje števil, vsako število v njem pa je predstavljeno kot linearna kombinacija:

, kjer se koeficienti imenujejo kot prej figure veljajo nekatere omejitve.

Zapis števila v mešanem številskem sistemu je naštevanje njegovih števk po padajočem indeksu, začenši s prvim, ki ni nič.

Glede na vrsto so lahko mešani številski sistemi potenčni, eksponentni itd. Pri nekaterih mešani številski sistem sovpada z eksponentnim številskim sistemom.

Najbolj znan primer mešanega številskega sistema je predstavitev časa kot število dni, ur, minut in sekund. V tem primeru vrednost "dnevi, ure, minute, sekunde" ustreza vrednosti sekund.

Faktorski številski sistem

IN faktorski številski sistem baze so zaporedje faktorielov in vsako naravno število je predstavljeno kot:

, Kje .

Faktorski številski sistem se uporablja, ko dekodiranje permutacij s seznami inverzij: ob permutacijskem številu ga lahko samega reproduciraš na naslednji način: število za ena manjše od števila (številčenje se začne od nič) zapišemo v sistemu faktorskih števil, koeficient števila i! bo označeval število inverzij za element i + 1 v množici, v kateri so narejene permutacije (število elementov, ki so manjši od i + 1, vendar desno od njega v želeni permutaciji)

Primer: razmislite o nizu permutacij 5 elementov, skupaj jih je 5! = 120 (od permutacijske številke 0 - (1,2,3,4,5) do permutacijske številke 119 - (5,4,3,2,1)), poiščite 101. permutacijo: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; dajmo ti - koeficient pri številu i!, potem je t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, potem: število elementov manjše od 5, ki pa stojijo desno je 4; število elementov, manjše od 4, vendar desno je 0; število elementov manjše od 3, vendar desno je 2; število elementov je manjše od 2, a desno je 0 (zadnji element v permutaciji se "postavi" na edino preostalo mesto) - tako bo 101. permutacija videti takole: (5,3,1,2, 4) Preverjanje te metode je mogoče izvesti z neposrednim štetjem inverzij za vsak element permutacije.

Fibonaccijev številski sistem temelji na Fibonaccijevih številih. Vsako naravno število v njem je predstavljeno kot:

, kjer so Fibonaccijeva števila, , medtem ko imajo koeficienti končno število enot in ni dveh enot zaporedoma.

Nepozicijski številski sistemi

V nepozicijskih številskih sistemih vrednost, ki jo predstavlja števka, ni odvisna od položaja v številu. V tem primeru lahko sistem naloži omejitve glede položaja številk, na primer tako, da so razvrščene v padajočem vrstnem redu.

Binomski številski sistem

Predstavitev z binomskimi koeficienti

, Kje .

Sistem preostalih razredov (SOC)

Predstavitev števila v sistemu razredov ostankov temelji na konceptu ostanka in kitajskem izreku o ostankih. RNS je definiran z nizom sopraštevil moduli s produktom, tako da je vsako celo število iz segmenta povezano z nizom ostankov , kjer je

…

Hkrati kitajski izrek o ostankih zagotavlja edinstvenost predstavitve števil iz intervala .

V RNS se aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) izvajajo komponento za komponento, če je znano, da je rezultat celo število in prav tako leži v .

Slabosti RNS so zmožnost predstavitve le omejenega števila števil, pa tudi pomanjkanje učinkovitih algoritmov za primerjavo števil, predstavljenih v RNS. Primerjava se običajno izvaja s pretvorbo argumentov iz RNS v mešani številski sistem v bazah.

Stern-Brocotov številski sistem je način zapisovanja pozitivnih racionalnih števil, ki temelji na Stern–Brockovem drevesu.

Številski sistemi različnih narodov

Številski sistem enot

Očitno je kronološko prvi številski sistem vsakega ljudstva, ki je obvladalo račun. Naravno število upodobljen s ponavljanjem istega znaka (pomišljaja ali pike). Če želite na primer prikazati številko 26, morate narisati 26 črt (ali narediti 26 zarez na kosti, kamnu itd.). Naknadno, zaradi udobja velike številke, so ti znaki združeni v tri ali pet. Nato se skupine znakov enakega obsega začnejo nadomeščati z novim znakom - tako se pojavijo prototipi prihodnjih številk.

Staroegipčanski številski sistem

Babilonski številski sistem

Abecedni številski sistemi

Stari Armenci, Gruzijci, Grki (jonski številski sistem), Arabci (Abjadia), Judje (glej gematrija) in drugi narodi Bližnjega vzhoda so uporabljali abecedne številske sisteme. V slovanskih bogoslužnih knjigah je bil grški abecedni sistem preveden v cirilico.

Hebrejski številčni sistem

Grški številski sistem

Sistem rimskih številk

Kanonični primer skoraj nepozicijskega številskega sistema je rimski, v katerem se kot številke uporabljajo latinske črke:
stojim za 1,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
M-1000

Na primer II = 1 + 1 = 2
tukaj simbol I pomeni 1 ne glede na mesto v številu.

Pravzaprav rimski sistem ni popolnoma nepozicijski, saj se od njega odšteje manjša številka, ki je pred večjo, na primer:

IV = 4 medtem ko:
VI = 6

Majevski številski sistem

Poglej tudi

Opombe

Povezave

  • Gaškov S. B.Številski sistemi in njihove uporabe. - M .: MTsNMO, 2004. - (Knjižnica "Matematično izobraževanje").
  • Fomin S.V.Številski sistemi. - M .: Nauka, 1987. - 48 str. - (Poljudna predavanja o matematiki).
  • Yaglom I.Številski sistemi // Kvantna. - 1970. - št. 6. - S. 2-10.
  • Števila in številski sistemi. Spletna enciklopedija okoli sveta.
  • Stakhov A. Vloga številskih sistemov v zgodovini računalnikov.
  • Mikushin A.V. Sistemi števil. Tečaj predavanj "Digitalne naprave in mikroprocesorji"
  • Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems Članek obravnava številske sisteme, ki uporabljajo števila, večja od ena, in omogočajo redundanco v predstavitvi števil

Fundacija Wikimedia. 2010.

 

Morda bi bilo koristno prebrati: