En iyi paradokslar. Verimlilik paradoksu ya da neden “daha ​​fazla” her zaman “daha ​​iyi” olmuyor? İlginç sayıların paradoksu

1962'de New Yorker, romancı, denemeci, oyun yazarı ve sivil haklar aktivisti James Baldwin'in bir makalesini yayınladı. Bu metin bugün hâlâ bilinci heyecanlandırıp yeniden başlatabiliyor. Dünyanın optimizasyon takıntısı var; verimlilik ipuçları bulmak için makaleleri ve kitapları yutuyoruz. James Baldwin'in düşünceleri durup düşünmenize yardımcı oluyor gerçek anlamüretkenlik.

Daha az üretken hale gelerek daha üretken olun

Aşırı bilgi yüklemesi çağında yaşıyoruz. Medyada aşırı içerik tüketiminin tehlikeleri hakkında sürekli uyarı mesajları bulunmaktadır. Buradaki ironi, aynı zamanda bilişsel yükü artıran içeriği de temsil etmeleridir.

Ancak çoğumuz için makaleler, kitaplar, podcast'ler ve videolar bir zorunluluktur; profesyonel gelişim. Sürekli rekabetin olduğu bir ortamda ayakta kalabilmek için mümkün olduğunca çabuk öğrenmeniz gerekir.

Daha az zamanda daha fazlasını yapma takıntısı üretkenlik kültünün doğmasına neden oldu. Her yerde görünen makalelerin başlıklarına bakın:

  • “Başarılı olmak için okumanız gereken 20 kitap”
  • “[Zengin Girişimci Adı]'nın En Etkili X Sabah Alışkanlığı”
  • “Neden [zengin girişimcilerin isimleri] yılda 24 kitap okuyor?”

Çoğu insanın başarının büyük girişimcilerin kurallarına ve tavsiyelerine uymaya bağlı olduğu inancı olmasaydı, medya şirketleri bu kadar çok içerik üretmezdi.

"Üretkenlik kültü, güvensizliklerimizden ve bir kişi için işe yarayan şeyin bizim için de işe yarayacağı kavramından besleniyor."

Serbest yazar Danielle Small, bu prensibin nasıl işlediğine dair harika bir örnek veriyor. Ayda 3 kitap okumaya karar verdi: kurgu, bilimsel ve profesyonel. Danielle çok sevindi ve kendini başarılı girişimcilerden oluşan bir çevreye aitmiş gibi hissetti. Artık meslektaşlarınıza ve arkadaşlarınıza övünebileceğiniz bir şeyiniz var.

Okumayı her zaman severdi ama bu sefer bir şeyler ters gitti. Danielle kitaplara başvururdu entelektüel gelişim ve okuduğunu anlamaya uygun bir hızda bu konularda ustalaştım. Ancak bir üretkenlik tüyosu, eğlenceli bir aktiviteyi... Aylık listesini tamamlamak için kitabı okumayı Çarşamba gününe kadar bitirmesi gerekiyordu. Ve tüm bunlar sadece bir yılda X sayıda kitabın nasıl okunacağıyla ilgili bir blog yazısı için.

Kitap sayısı yavaş yavaş 3'ten 2'ye, sonra 2'den 1'e düştü ve sonunda sıfıra indi.

Neden başka birinin başarıya giden yolunu kopyalamaya çalışıyoruz?

Kitaplarını okuduğumuz, alışkanlıklarını edinmeye çalıştığımız girişimciler gibi olmak isteyip istemediğimizi bazen düşünmüyoruz bile. Herkesin kendine göre bir başarı anlayışı var ama biz yine de başkalarının ideallerini takip ediyoruz. Okuma modunu uygulamada başarısız olduktan sonra Danielle önemli bir şey öğrendi: Biz insanız, hızlı büyüyen şirketler değiliz.

Verimlilik konusu, yeni kurulan şirketlere ve yazılım şirketlerine yönelik bloglara çok iyi uyuyor. Hatta bu alanlarda uzman pozisyonu bile mevcut. Startuplara daha uygun büyümeyi önemsiyoruz çünkü büyük başarılı şirket yalnızca şans üzerine inşa edilemez. Ancak şirket değil, insan olduğumuzu unutuyoruz. Ve eğer şirket uygularsa yeni teknoloji ancak beklenen büyüme gerçekleşmezse yeni yol arayışları başlar. İLE insan bilinci, hayat, mutluluk işe yaramıyor.

“Amaçsız okumanın faydasız olduğunu unutuyoruz.”

Dale Carnegie'nin "Arkadaş Kazanma ve İnsanları Etkileme Yöntemleri" kitabını okumak yeterli değildir, içeriği hakkında bir konuşma yapmaya hazırlıklı olmak da önemlidir. Ancak derin dalışın bir trend olmadığı, ihtiyaç duyulan şeyin hız olduğu ortaya çıktı. Önce deli gibi bilgi tüketiyoruz, sonra aynı şevkle yeniden başlamak için sosyal ağlardan, işten ve hayattan kopuyoruz.

Bu tür değişiklikler yorucudur, bu nedenle yüzeysel okumak yerine bilgilerin daha derinlemesine anlaşılması için yer ve zaman ayırmak önemlidir.

Yapılacak gerçekten üretken şeyler bulmak

James Baldwin'in makalesi bilgiyle ve kendimizle nasıl ilişki kurduğumuzu anlamamıza yardımcı oluyor.

İçeriği bilinçsizce tüketmek entelektüel ve ruhsal sağlığınıza zarar verir. Ancak okuduğumuz her şeyin yargılanması gerekmez. En önemli şey dengeyi bulmaktır. Tam daldırmalı okuma beyin için zordur ve yeniden başlamanıza olanak tanır.

Ancak bu yalnızca okumadan önce bir hedef belirlerseniz gerçekleşir - bir kitaptan veya makaleden ne almak istediğinizi anlamak, not almak ve kendi düşüncelerinizi kaydetmek, arkadaşlarınız ve meslektaşlarınızla tartışmalar başlatmak.

Farkındalık, basit ezberlemeden daha etkilidir. Verimlilik eğitimi, daha kısa sürede daha fazlasını yapmanızı sağlar, ancak aslında nasıl ölçekleneceğini öğrenmeye değer kullanışlı bilgi ve beceriler. Farkındalık, dağınık gerçekleri emir üzerine yeniden anlatmak yerine, etrafınızdaki dünyayı daha iyi hale getirmek için yeni verileri uygulamanıza olanak tanır.

Bu yazı, zamanımızın henüz bilim tarafından tam olarak incelenmemiş en tuhaf ve en sıradışı paradokslarını oldukça ayrıntılı bir şekilde anlatıyor. Yeterli Ilginç yazı ufkunuzu genişletecek.

1. Banach-Tarski paradoksu

Elinizde bir top tuttuğunuzu hayal edin. Şimdi bu topu parçalara ayırmaya başladığınızı ve parçaların istediğiniz şekilde olabileceğini hayal edin. Daha sonra parçaları bir yerine iki top elde edecek şekilde birleştirin. Bu toplar orijinal topla karşılaştırıldığında ne kadar büyük olacak?
Küme teorisine göre, ortaya çıkan iki top, orijinal topla aynı boyut ve şekilde olacaktır. Ayrıca topların farklı hacimlere sahip olduğunu dikkate alırsak toplardan herhangi biri diğerine göre dönüştürülebilir. Bu, bezelyenin güneş büyüklüğünde toplara bölünebileceğini gösteriyor.
Paradoksun püf noktası, topları herhangi bir şekle sahip parçalara ayırabilmenizdir. Pratikte bunu yapmak imkansızdır - malzemenin yapısı ve sonuçta atomların boyutu bazı kısıtlamalar getirir.
Topu istediğiniz şekilde kırmanın gerçekten mümkün olabilmesi için, topun sonsuz sayıda sıfır boyutlu nokta içermesi gerekir. O zaman bu tür noktaların topu sonsuz yoğunluğa sahip olacak ve onu kırdığınızda parçaların şekilleri o kadar karmaşık hale gelebilir ki belli bir hacme sahip olmayacaklar. Ve her biri sonsuz sayıda nokta içeren bu parçaları istediğiniz büyüklükte yeni bir top halinde birleştirebilirsiniz. Yeni top yine sonsuz noktalardan oluşacak ve her iki top da eşit derecede sonsuz yoğunlukta olacaktır.
Fikri uygulamaya koymaya çalışırsanız hiçbir şey işe yaramaz. Ancak sonsuza kadar bölünebilen matematiksel kürelerle çalışırken her şey harika sonuç veriyor sayısal kümelerüç boyutlu uzayda. Çözülmüş paradoksa Banach-Tarski teoremi denir ve matematiksel küme teorisinde büyük bir rol oynar.

2. Peto'nun paradoksu

Açıkçası balinalar bizden çok daha büyüktür, bu da onların vücutlarında çok daha fazla hücreye sahip oldukları anlamına gelir. Ve teorik olarak vücuttaki her hücre kötü huylu hale gelebilir. Bu nedenle balinaların kansere yakalanma olasılığı insanlardan çok daha fazladır, değil mi?
Bu taraftan değil. Adını Oxford profesörü Richard Peto'dan alan Peto Paradoksu, hayvan büyüklüğü ile kanser arasında hiçbir bağlantı olmadığını belirtiyor. İnsanlar ve balinaların kansere yakalanma şansı hemen hemen aynıdır, ancak bazı küçük fare türlerinin bu şansı çok daha yüksektir.
Bazı biyologlar, Peto paradoksundaki korelasyon eksikliğinin, daha büyük hayvanların tümörlere daha iyi direnç gösterebilmesiyle açıklanabileceğine inanıyor: hücrelerin bölünme süreci sırasında mutasyona uğramasını önlemek için çalışan bir mekanizma.

3. Günümüzün sorunu

Bir şeyin fiziksel olarak var olabilmesi için bir süre dünyamızda mevcut olması gerekir. Uzunluğu, genişliği ve yüksekliği olmayan bir nesne olamaz ve "süresi" olmayan bir nesne olamaz - "anlık" bir nesne, yani en azından bir süre boyunca var olmayan bir nesne, hiç mevcut değildir. .
Evrensel nihilizme göre geçmiş ve gelecek, şimdiki zamanda zaman işgal etmez. Üstelik "şimdiki zaman" dediğimiz süreyi ölçmek imkansızdır: "şimdiki zaman" dediğiniz herhangi bir zaman miktarı geçmiş, şimdiki zaman ve gelecek gibi parçalara bölünebilir.
Şimdiki zaman, örneğin bir saniye sürerse, o zaman bu saniye üç bölüme ayrılabilir: ilk bölüm geçmiş, ikincisi şimdiki zaman, üçüncüsü gelecek olacaktır. Şimdi şimdiki zaman dediğimiz saniyenin üçte biri de üç parçaya bölünebilir. Elbette fikri zaten anladınız; sonsuza kadar böyle devam edebilirsiniz.
Dolayısıyla şimdiki zaman gerçekte var değildir çünkü zaman içinde devam etmez. Evrensel nihilizm bu argümanı hiçbir şeyin var olmadığını kanıtlamak için kullanır.

4. Moravec'in paradoksu

İnsanlar düşünceli muhakeme gerektiren problemleri çözmekte zorluk çekerler. Ancak yürüme gibi temel motor ve duyusal işlevlerde hiçbir zorluk yaşanmaz.
Ancak bilgisayarlar hakkında konuştuğumuzda bunun tersi doğrudur: Bilgisayarların satranç stratejisi geliştirmek gibi karmaşık mantıksal sorunları çözmesi çok kolaydır, ancak bir bilgisayarı yürüyebilecek veya insan konuşmasını yeniden üretebilecek şekilde programlamak çok daha zordur. Doğal ve yapay zeka arasındaki bu fark Moravec paradoksu olarak biliniyor.
Carnegie Mellon Üniversitesi'nin robotik bölümünde doktora sonrası araştırmacı olan Hans Moravec, bu gözlemi kendi beynimize tersine mühendislik yapma fikriyle açıklıyor. Tersine mühendislik, motor işlevler gibi insanların bilinçsizce gerçekleştirdiği görevler için en zor olanıdır.
Çünkü soyut düşünme 100.000 yıldan daha kısa bir süre önce insan davranışının bir parçası haline geldiğinden, soyut sorunları çözme yeteneğimiz bilinçlidir. Dolayısıyla bu davranışı taklit eden bir teknoloji yaratmak bizim için çok daha kolay. Öte yandan yürüme, konuşma gibi eylemleri kavrayamadığımızdan yapay zekanın bunu yapmasını sağlamamız daha zor oluyor.

5. Benford Yasası

Rastgele bir sayının "1" rakamıyla başlama şansı nedir? Yoksa "3" rakamından mı? Veya "7" ile mi? Olasılık teorisi hakkında biraz bilginiz varsa, olasılığın dokuzda bir yani %11 civarında olduğunu tahmin edebilirsiniz.
Gerçek sayılara bakarsanız, "9" sayısının vakaların %11'inden çok daha az sıklıkta gerçekleştiğini fark edeceksiniz. Ayrıca, beklenenden çok daha az sayı "8" ile başlıyor, ancak sayıların %30'u gibi devasa bir oran "1" ile başlıyor. Bu paradoksal tablo her türlü şekilde kendini gösteriyor. gerçek vakalar Nüfus büyüklüğünden hisse senedi fiyatlarına ve nehir uzunluklarına kadar.
Fizikçi Frank Benford bu fenomeni ilk kez 1938'de fark etti. Rakam birden dokuza çıktıkça ilk görünen rakamın sıklığının düştüğünü buldu. Yani, "1" ilk rakam olarak yaklaşık %30,1 oranında görünür, "2" yaklaşık %17,6 oranında görünür, "3" yaklaşık %12,5 oranında görünür ve "9" görünene kadar bu şekilde devam eder vakaların yalnızca %4,6'sında ilk rakamdır.
Bunu anlamak için sırayla numaralandırdığınızı hayal edin. Piyango bileti. Biletlerinizi birden dokuza kadar numaralandırdığınızda herhangi bir sayının bir numara olma şansı %11,1'dir. 10 numaralı bilete eklediğinizde "1" ile başlayan rastgele bir sayının gelme ihtimali %18,2'ye çıkmaktadır. 11'den 19'a kadar olan biletleri eklerseniz, "1" ile başlayan bilet numarasının gelme şansı artmaya devam ederek maksimum %58'e ulaşır. Şimdi 20 numaralı bileti ekleyip biletleri numaralandırmaya devam ediyorsunuz. Bir sayının "2" ile başlama şansı artarken, "1" ile başlama şansı yavaş yavaş azalmaktadır.
Benford yasası tüm sayı dağılımı durumları için geçerli değildir. Örneğin, aralığı sınırlı olan (insan boyu veya ağırlığı) sayı kümeleri yasa kapsamına girmez. Ayrıca yalnızca bir veya iki sıralaması olan setlerle de çalışmaz.
Ancak kanun birçok veri türü için geçerlidir. Sonuç olarak, yetkililer dolandırıcılığı tespit etmek için yasayı kullanabilirler: Sağlanan bilgiler Benford Yasasına uymadığında yetkililer, birisinin verileri uydurduğu sonucuna varabilir.

6. C-paradoksu

Genler, bir organizmanın yaratılması ve hayatta kalması için gerekli tüm bilgileri içerir. Karmaşık organizmaların en karmaşık genomlara sahip olması gerektiğini söylemeye gerek yok ama bu doğru değil.
Tek hücreli amipler insanlardan 100 kat daha büyük genomlara sahiptir; aslında bilinen en büyük genomlardan bazılarına sahiptirler. Ve birbirine çok benzeyen türlerde genom radikal biçimde farklılık gösterebilir. Bu tuhaflık C paradoksu olarak bilinir.
C paradoksunun ilginç bir sonucu da genomun gereğinden büyük olabileceğidir. İnsan DNA'sındaki tüm genomlar kullanılsaydı nesil başına mutasyon sayısı inanılmaz derecede yüksek olurdu.
İnsanlar ve primatlar gibi birçok karmaşık hayvanın genomu, hiçbir şeyi kodlamayan DNA içerir. Yaratıktan yaratığa büyük ölçüde değişen bu büyük miktardaki kullanılmamış DNA, hiçbir şeye bağlı değil gibi görünüyor ve C paradoksunu yaratan da budur.

7. Bir ipin üzerindeki ölümsüz karınca

Bir metre uzunluğundaki lastik bir ip üzerinde saniyede bir santimetre hızla sürünen bir karınca hayal edin. Ayrıca ipin saniyede bir kilometre uzadığını düşünün. Karınca sonuna ulaşabilecek mi?
Normal bir karıncanın bunu yapamaması mantıklı görünüyor çünkü hareket hızı, ipin esneme hızından çok daha düşük. Ancak karınca sonunda karşı uca ulaşacaktır.
Karınca daha hareket etmeye bile başlamamışken ipin %100'ü onun önünde kalır. Bir saniye sonra ip çok daha büyüdü, ancak karınca da bir miktar mesafe yürüdü ve bunu yüzde olarak sayarsanız kat etmesi gereken mesafe azaldı - çok fazla olmasa da zaten %100'ün altında.
İp sürekli esnese de karıncanın kat ettiği küçük mesafe de artar. Ve genel olarak ip sabit bir oranda uzasa da karıncanın yolu her saniye biraz daha kısalır. Karınca da sürekli sabit bir hızla ilerlemeye devam eder. Böylece kat ettiği mesafe her geçen saniye artmakta, kat etmesi gereken mesafe ise azalmaktadır. Yüzde olarak elbette.
Sorunun çözümlenebilmesi için tek bir şart vardır: Karıncanın ölümsüz olması gerekir. Yani karınca evrenin varoluşundan biraz daha uzun olan 2,8×1043,429 saniyede sona ulaşacaktır.

8. Ekolojik denge paradoksu

Yırtıcı-av modeli, gerçek çevresel durumu tanımlayan bir denklemdir. Örneğin model ormandaki tilki ve tavşan sayısının ne kadar değişeceğini belirleyebiliyor. Ormanda tavşanların yediği otların giderek arttığını varsayalım. Bu sonucun tavşanlar için olumlu olduğu varsayılabilir, çünkü bol miktarda ot varsa iyi ürerler ve sayılarını artırırlar.
Ekolojik Denge Paradoksu bunun doğru olmadığını belirtmektedir: Başlangıçta tavşan popülasyonu gerçekten artacaktır, ancak kapalı bir ortamdaki (orman) tavşan popülasyonundaki artış tilki popülasyonunda bir artışa yol açacaktır. Daha sonra yırtıcı hayvanların sayısı o kadar artacak ki, önce tüm avlarını yok edecekler, sonra da kendileri yok olacaklar.
Pratikte bu paradoks çoğu hayvan türü için geçerli değil; özellikle kapalı ortamlarda yaşamadıkları için hayvan popülasyonları sabit. Ayrıca hayvanlar evrimleşme yeteneğine sahiptir: örneğin yeni koşullarda av, yeni savunma mekanizmaları geliştirecektir.

9. Triton Paradoksu

Bir grup arkadaşınızla bir araya gelin ve bu videoyu birlikte izleyin. Bitirdiğinizde, herkesin dört tonun tamamında sesin arttığı veya azaldığı konusunda fikrini söylemesini sağlayın. Cevapların ne kadar farklı olacağına şaşıracaksınız.
Bu paradoksu anlamak için müzik notaları hakkında bir şeyler bilmeniz gerekir. Her notanın, yüksek veya alçak bir ses duyup duymadığımızı belirleyen belirli bir perdesi vardır. Bir sonraki yüksek oktavın notası, önceki oktavın notasının iki katı kadar yüksek ses çıkarır. Ve her oktav iki eşit triton aralığına bölünebilir.
Videoda her ses çiftini bir semender ayırıyor. Her çiftte bir ses, farklı oktavlardan gelen aynı notaların bir karışımıdır; örneğin, birinin diğerinden daha yüksek ses çıkardığı iki C notasının birleşimi. Tritondaki bir ses bir notadan diğerine geçiş yaptığında (örneğin, iki C arasındaki G diyez), notanın öncekinden daha yüksek veya daha düşük olduğu oldukça makul bir şekilde yorumlanabilir.
Semenderlerin bir başka paradoksal özelliği de sesin perdesi değişmese de sesin sürekli olarak azaldığı hissidir.

10. Mpemba etkisi

Önünüzde iki bardak su var, biri hariç her şeyi aynı: Sol bardaktaki suyun sıcaklığı sağdakinden daha yüksek. Her iki bardağı da dondurucuya yerleştirin. Su hangi bardakta daha hızlı donar? Bununla birlikte, suyun başlangıçta daha soğuk olduğu sağ tarafta karar verebilirsiniz. sıcak su oda sıcaklığında sudan daha hızlı donacaktır.
Bu garip etki, adını 1986 yılında dondurma yapmak için sütü dondururken gözlemleyen Tanzanyalı bir öğrenciden alıyor. En büyük düşünürlerden bazıları - Aristoteles, Francis Bacon ve René Descartes - bu fenomeni daha önce belirtmişler, ancak açıklayamamışlardır. Örneğin Aristoteles, bir niteliğin, bu niteliğe zıt bir ortamda geliştirildiği hipotezini öne sürdü.
Mpemba etkisi çeşitli faktörlerden dolayı mümkündür. Bir bardak su ile sıcak su bir kısmı buharlaşacağından daha az olabilir ve sonuç olarak daha az suyun donması gerekir. Ayrıca sıcak su daha az gaz içerir, bu da bu tür sularda konveksiyon akımlarının daha kolay ortaya çıkacağı ve dolayısıyla donmasının daha kolay olacağı anlamına gelir.

Paradokslar eski Yunanlılardan beri var olmuştur. Mantığı kullanarak, görünüşte imkansız olanın neden mümkün olduğunu veya tüm paradoksun sadece düşünmedeki kusurlar üzerine inşa edildiğini gösteren paradokstaki ölümcül kusuru hızlı bir şekilde bulabilirsiniz.

Aşağıda listelenen paradoksların her birinin dezavantajının ne olduğunu anlayabiliyor musunuz?

12. Olbers'in paradoksu.

Astrofizik ve fiziksel kozmolojide Olbers paradoksu, gece gökyüzünün karanlığının sonsuz ve sonsuz statik bir evren varsayımıyla çeliştiği yönündeki bir argümandır. Bu, mevcut büyük patlama modeli gibi statik olmayan bir evrenin kanıtıdır. Bu argüman genellikle "Karanlık Gece Gökyüzü Paradoksu" olarak anılır ve yerden herhangi bir açıdan bakıldığında görüş hattının bir yıldıza ulaştığında sona ereceğini belirtir.
Bunu anlamak için paradoksu bir insanın ormanda beyaz ağaçların arasında bulunmasına benzetebiliriz. Dolayısıyla herhangi bir bakış açısından görüş hattı ağaçların tepelerinde bitiyorsa, kişi yalnızca görmeye devam mı eder? Beyaz renk? Bu, gece gökyüzünün karanlığını yalanlıyor ve birçok insanın neden gece gökyüzünde sadece yıldızlardan gelen ışığı görmediğimizi merak etmesine neden oluyor.

11. Her şeye gücü yetme paradoksu.
Paradoks şu ki, eğer bir yaratık herhangi bir eylemi gerçekleştirebiliyorsa, o zaman bunları gerçekleştirme yeteneğini sınırlayabilir, dolayısıyla tüm eylemleri gerçekleştiremez, ancak diğer yandan, eğer eylemlerini sınırlayamıyorsa, o zaman yaptığı da budur. yapamam.
Bu, her şeye gücü yeten bir varlığın kendisini sınırlama yeteneğinin zorunlu olarak kendisini sınırladığı anlamına geldiğini ima ediyor gibi görünüyor. Bu paradoks, bir gereklilik olmasa da, İbrahimi dinlerin terminolojisinde sıklıkla formüle edilir.
Her şeye kadir olma paradoksunun bir versiyonu, taş paradoksu olarak da bilinir: Her şeye gücü yeten bir varlık, kendisinin bile kaldıramayacağı kadar ağır bir taş yaratabilir mi? Eğer durum böyleyse, yaratık her şeye kadir olmaktan çıkıyor demektir; eğer böyle değilse, yaratık en başından beri her şeye kadir değildi.
Paradoksun cevabı şudur: Her ne kadar her şeye gücü yetme tanımı zayıflıkların yokluğunu ima etse de, ağır bir taşı kaldıramamak gibi bir zayıflığa sahip olmak, her şeye gücü yetme kategorisine girmez.

10. paradoksu sor.
Paradoks şu şekildedir: İçinden kum taneciklerinin yavaş yavaş uzaklaştırıldığı bir kum yığınını düşünün. İfadeleri kullanarak bir akıl yürütme oluşturabilirsiniz:
- 10 kum tanesi bir kum yığınıdır;
- Bir kum yığını eksi bir kum tanesi bile yine bir kum yığınıdır.
Ancak ikinci eyleme durmadan devam ederseniz, bu sonuçta tek bir kum tanesinden oluşan yığına yol açacaktır. İlk bakışta bu sonuçtan kaçınmanın birkaç yolu var. Birinci önermeye, bir milyon kum tanesinin bir yığın olmadığı söylenerek itiraz edilebilir. Ama 10 yerine başka bir şey olabilir Büyük sayı ve ikinci ifade herhangi bir sayıda sıfır içeren herhangi bir sayı için doğru olacaktır.
Dolayısıyla cevap, yığın gibi şeylerin varlığını açıkça reddetmelidir. Ek olarak, ikinci önermeye, bunun tüm "Tahıl Koleksiyonları" için doğru olmadığını ve bir tane veya kum tanesinin çıkarılmasının yığından hala yığın olarak ayrıldığını ileri sürerek itiraz edilebilir veya bir kum yığınının oluşabileceği iddia edilebilir. tek bir kum tanesinden.

9. paradoks ilginç sayılar.
İddia: İlginç olmayan doğal sayı diye bir şey yoktur.
Çelişki yoluyla kanıt: Boş olmayan ve ilginç olmayan bir doğal sayılar kümeniz olduğunu varsayalım. Doğal sayıların özelliklerinden dolayı ilgi çekici olmayan sayılar listesinde mutlaka en küçük sayı yer alacaktır.
Kümenin en küçük sayısı olduğundan, bu ilgi çekici olmayan sayılar kümesinde ilginç olan sayı olarak tanımlanabilir. Ancak başlangıçta kümedeki tüm sayılar ilgi çekici olmayan olarak tanımlandığından bir çelişkiye vardık, çünkü en küçük sayı aynı anda hem ilginç hem de ilgisiz olamaz. Bu nedenle ilgi çekici olmayan sayı kümelerinin boş olması gerekir, bu da ilgi çekici olmayan sayılar diye bir şeyin olmadığını kanıtlar.

8. Uçan ok paradoksu.
Bu paradoks, hareketin gerçekleşmesi için bir nesnenin işgal ettiği konumu değiştirmesi gerektiğini öne sürüyor. Bir okun hareketi buna bir örnektir. Uçan ok, herhangi bir anda hareketsiz kaldığı için, hareketsiz olduğu için, herhangi bir anda hareketsiz olduğu için, her zaman hareketsiz olduğu anlamına gelir.
Yani 6. yüzyılda Zeno tarafından ortaya atılan bu paradoks, hareket eden bir cismin hareketi tamamlamadan önce yarıya ulaşması gerektiği gerçeğinden hareketle hareketin yokluğundan söz eder. Fakat zamanın her anında hareketsiz olduğundan yarıya ulaşamaz. Bu paradoks aynı zamanda Fletcher paradoksu olarak da bilinir.
Önceki paradokslar uzaydan bahsediyorsa, bir sonraki paradoksun zamanı parçalara değil noktalara bölmekle ilgili olduğunu belirtmekte fayda var.

7. Aşil ve kaplumbağa paradoksu.
Bu paradoksta Aşil, kaplumbağaya daha önce 30 metrelik bir fark vererek peşinden koşar. Dolayısıyla koşucuların her birinin belirli bir sabit hızda (biri çok hızlı, diğeri çok yavaş) koşmaya başladığını varsayarsak, bir süre sonra 30 metre koşan Aşil kaplumbağanın hareket ettiği noktaya ulaşacaktır. Bu süre zarfında kaplumbağa çok daha az, örneğin 1 metre "koşacaktır".
Daha sonra Aşil'in bu mesafeyi kat etmesi biraz daha zaman alacaktır ve bu süre zarfında kaplumbağa daha da ileri gidecektir. Kaplumbağanın ziyaret ettiği üçüncü noktaya ulaşan Aşil daha da ilerleyecek ama yine de ona yetişemeyecektir. Böylece Aşil kaplumbağaya ulaştığında kaplumbağa yine önde olacaktır.
Dolayısıyla Aşil'in kaplumbağanın kat ettiği, ulaşması gereken noktalar sonsuz sayıda olduğundan kaplumbağaya hiçbir zaman yetişemeyecektir. Elbette mantık bize Aşil'in kaplumbağaya yetişebileceğini söylüyor, bu yüzden bu bir paradoks.
Bu paradoksla ilgili sorun, fiziksel gerçeklikte noktaları sonsuza kadar geçmenin imkansız olmasıdır; sonsuz sayıda noktayı geçmeden, bir sonsuzluk noktasından diğerine nasıl gidebilirsiniz? Yapamazsınız, yani imkansızdır.
Fakat matematikte durum böyle değildir. Bu paradoks bize matematiğin bir şeyi nasıl kanıtlayabildiğini ama gerçekte işe yaramadığını gösteriyor. Bu nedenle, bu paradoksla ilgili sorun, matematiksel kuralları matematiksel olmayan durumlara uygulayarak onu kullanılamaz hale getirmesidir.

6. Buridan'ın eşek paradoksu.
Bu, insanın kararsızlığının mecazi bir açıklamasıdır. Şunu ifade eder: paradoksal durum Tamamen aynı büyüklük ve kalitede iki saman yığını arasında bulunan eşek, rasyonel bir karar veremeyeceği ve yemeye başlayamayacağı için açlıktan öleceği zaman.
Paradoksa adını 14. yüzyıl Fransız filozofu Jean Buridan'dan alıyor, ancak paradoksun yazarı o değildi. Bir eserinde bir adamın aç ve susuz olduğundan söz eden Aristoteles zamanından beri bilinmektedir ancak her iki duygu da eşit derecede güçlü olduğundan ve adam yiyecek ve içecek arasında kaldığından seçim yapamamıştır.
Buridan ise bu sorun hakkında hiç konuşmadı ancak ahlaki determinizm hakkında sorular sordu; bu, seçim sorunuyla karşı karşıya kalan bir kişinin kesinlikle daha büyük iyiliğe doğru seçim yapması gerektiğini ima ediyordu; ancak Buridan, seçimin yavaşlama olasılığına izin verdi. Olası tüm faydaları değerlendirmek için. Daha sonra başka yazarlar da bu bakış açısına hicivli bir yaklaşımla yaklaşarak, birbirinin aynı iki saman yığınıyla karşı karşıya kalan bir eşeğin karar verirken açlıktan öleceğinden söz ettiler.

5. Beklenmedik yürütme paradoksu.
Hakim mahkuma önümüzdeki hafta hafta içi bir gün öğle saatlerinde asılacağını ancak infaz gününün mahkum için sürpriz olacağını söyler. Öğle vakti cellat hücresine gelene kadar kesin tarihi bilemeyecektir. Suçlu, biraz düşündükten sonra idamdan kaçınabileceği sonucuna varır.
Onun muhakemesi birkaç parçaya ayrılabilir. Cuma günü asılamayacağı gerçeğiyle başlıyor, çünkü Perşembe günü asılmazsa Cuma artık sürpriz olmayacak. Bu nedenle Cuma gününü hariç tuttu. Ancak daha sonra Cuma günü listeden silindiği için Perşembe günü asılamayacağı sonucuna vardı, çünkü Çarşamba günü asılmazsa Perşembe de sürpriz olmayacaktı.
Benzer şekilde mantık yürüterek haftanın geri kalan tüm günlerini art arda hariç tuttu. Neşeli, idamın hiç gerçekleşmeyeceğinden emin olarak yatağına gider. Ertesi hafta Çarşamba günü öğle vakti cellat hücresine geldi ve tüm mantığına rağmen son derece şaşırdı. Hakimin söylediği her şey gerçekleşti.

4. Kuaför paradoksu.
Diyelim ki bir berberi olan bir kasaba var ve kasabadaki her erkek, bazıları kendi başına, bazıları da bir berberin yardımıyla saçlarını tıraş ediyor. Sürecin şu kurala tabi olduğunu varsaymak mantıklı görünmektedir: berber tüm erkekleri tıraş eder ve yalnızca kendisini tıraş etmeyenleri tıraş eder.
Bu senaryoya göre şu soruyu sorabiliriz: Berber kendini tıraş eder mi? Ancak şunu sorarak doğru cevap vermenin imkansız olduğunu anlıyoruz:
- berber kendini tıraş etmiyorsa kurallara uymalı ve kendini tıraş etmelidir;
- eğer kendini tıraş ediyorsa, aynı kurallara göre kendini tıraş etmemelidir.

3. epimenides paradoksu.
Bu paradoks, Epimenides'in, Girit'teki genel inanışın aksine, aşağıdaki şiirinde olduğu gibi Zeus'un ölümsüz olduğunu öne sürmesinden kaynaklanmaktadır:

Senin için bir mezar yarattılar yüce aziz.
Giritliler, ebedi yalancılar, şeytani canavarlar, karın köleleri!
Ama ölmedin; yaşıyorsun ve her zaman hayatta kalacaksın, çünkü sen içimizde yaşıyorsun ve biz de varız.

Ancak kendisi dışındaki tüm Giritlilerin yalancı olduğunu "ima etmesine" rağmen, tüm Giritlilere yalancı diyerek farkında olmadan kendisine yalancı dediğinin farkında değildi. Dolayısıyla, eğer onun ifadesine inanırsak ve aslında tüm Giritliler yalancıysa, o da yalancıdır ve eğer yalancıysa, o zaman tüm Giritliler doğruyu söylüyordur. Yani eğer tüm Giritliler doğruyu söylüyorsa o da öyledir, yani onun ayetine göre tüm Giritliler yalancıdır. Böylece akıl yürütme zinciri başlangıca döner.

2. Euathla paradoksu.
Bu mantıkta çok eski bir problemdir. Antik Yunan. Ünlü sofist Protagoras'ın Euathlus'u kendisine ders vermesi için götürdüğünü ve öğrencinin öğretmene ancak mahkemedeki ilk davasını kazandıktan sonra ödeme yapabileceğini açıkça anladığını söylüyorlar.
Bazı uzmanlar Protagoras'ın Euathlus'un eğitimini bitirdikten hemen sonra öğrenim ücreti istediğini iddia ediyor, diğerleri Protagoras'ın öğrencinin müşteri bulmak için herhangi bir çaba göstermediği ortaya çıkana kadar bir süre beklediğini, bazıları da Evatl'ın çok çabaladığına eminiz. , ancak hiçbir müşteri bulunamadı. Her durumda Protagoras, borcunu ödemek için Euathlus'a dava açmaya karar verdi.
Protagoras, davayı kazanması halinde parasının kendisine ödeneceğini iddia etti. Dikkat! Ancak Euathlus davayı kazanmış olsaydı Protagoras'ın orijinal anlaşmaya uygun olarak parasını alması gerekecekti çünkü bu Euathlus'un kazandığı ilk dava olacaktı.
Ancak Euathlus, kazanırsa mahkeme kararıyla Protagoras'a ödeme yapmak zorunda kalmayacağı konusunda ısrar etti. Öte yandan Protagoras kazanırsa Euathlus ilk davasını kaybeder ve dolayısıyla herhangi bir ödeme yapmasına gerek kalmaz. Peki hangi adam haklı?

1. Mücbir sebep paradoksu.
Mücbir sebep paradoksu, "Karşı konulmaz bir güç, hareket ettirilemez bir nesneyle karşılaştığında ne olur?" şeklinde formüle edilen klasik bir paradokstur. Paradoks, olası bir gerçekliğin varsayımı olarak değil, mantıksal bir alıştırma olarak ele alınmalıdır.
Modern bilimsel anlayışa göre, hiçbir kuvvet tamamen karşı konulamaz değildir ve tamamen hareketsiz nesneler yoktur ve olamaz, çünkü küçük bir kuvvet bile herhangi bir kütledeki bir nesnenin hafif bir ivmelenmesine neden olacaktır. Durağan bir nesnenin sonsuz eylemsizliği ve dolayısıyla sonsuz kütlesi olmalıdır. Böyle bir nesne kendi yerçekimi altında küçülecektir. Mücbir sebep gerektirecek sonsuz enerji Sonlu evrende mevcut olmayan.

1. Her şeye kadir paradoks.

Her şey şu cümleyle ilgili: - Her şeye gücü yeten bir kişiden kaldıramayacağı bir taş yaratmasını isteyin. Eğer böyle bir taşın yaratılması mümkün değilse, o zaman kişi her şeye kadir sayılmaz ve başarılı olursa mutlaka gücünü kaybeder.

Birkaç teori olabilir, ancak prensipte tam bir her şeye gücü yetmenin mevcut olmadığı varsayılabilir. Diğer şeylerin yanı sıra, her şeye gücü yeten bir kişinin mantık yasalarıyla sınırlandırılamayacağı, dolayısıyla ne isterse yapar ve yapabilecek durumda olduğu söylenebilir.

2. Kaplumbağa paradoksu.

Kökeni antik Yunan filozofu Zeno'dan gelmektedir. Mesele basit. Aşil'in kaplumbağanın hızından 10 kat daha hızlı hareket ettiği ve kaplumbağadan 1000 adım uzakta olduğu bir resim hayal edin. Aşil 1000 adım koşarken kaplumbağa 100, 100 Aşil adımı ve 10 kaplumbağa adımı vb. daha atar. Aşil'in kaplumbağaya yetişemeyeceği ortaya çıktı. Tabii ki gerçek hayat her şey daha gerçek görünürdü çünkü gerçekte uzayı ve zamanı süresiz olarak bölmek imkansızdır.

3. Büyükbabayı öldürmenin paradoksu.

Bu paradoksun yaratıcısı Fransız bilim kurgu yazarı Rene Barjavel'dir. Bir adamın bir zaman makinesi yarattığını, zamanda geriye gittiğini ve biyolojik büyükbabasını orada öldürdüğünü hayal edin. erken çocukluk. Katil gezginin doğmaması gerektiği ortaya çıktı. Burada yine düşünceler birbirinden ayrılıyor. Eğer gezgin doğmamışsa ve büyükbabasını öldürmemişse, o zaman orijinal gerçeklikte yaşıyor olacaktır. Gezgin paralel olaylar dizisinin sonucunu değiştiremeyebilir. Ya da belki de gezgin zamanda geriye giderek başka bir şey yaratacaktır. alternatif gerçeklik, içinde doğmayacak. Ama şahsen ben onun hâlâ bir yerlerde hayatta olacağına ve olanları değiştirmenin kesinlikle imkansız olduğuna inanıyorum.

4. Theseus'un Gemisi.

Efsaneye göre antik yunan mitolojisi Atinalılar, Theseus'un Girit adasından döndüğü gemisini uzun süre ellerinde tuttular. Gemi çürümeye başladı ve yavaş yavaş eski tahtalar yenileriyle değiştirildi. Bir ara bunun gemi olup olmadığı sorusu ortaya çıktı. şu an, çünkü tüm eski tahtalar değiştirildi. Eski tahtalardan bir gemi yapsanız hangisi gerçek olur?

Modern ve çok yönlü anlayışta herhangi bir yaratımın veya nesnenin nicelik ve nitelik bakımından “aynı” olacağı söylenebilir. Bu, tahtaları değiştirdikten sonra Theseus'un gemisinin niceliksel olarak aynı, ancak niteliksel olarak farklı olacağı anlamına gelir.

5. Kümülüs paradoksu.

Bir taş yığını hayal edin. Her seferinde belli sayıda taş alınca öyle bir noktaya geliniyor ki tek taş kalıyor, o da yığın mı sayılacak? "Yığın" kelimesinin belirli bir tanımı olmadığı için cevap vermek zordur.

6. Abilene paradoksu.

Sıcak bir akşam, kayınpederi Abilene'e tatile gitmelerini önerene kadar bir aile evlerinin verandasında domino oynuyordu. Yolculuk uzun ve yorucu olacağa benziyordu. Ancak karısı, "Fena fikir değil!" diyerek hemen gitmeyi kabul etti. Kocası hiçbir yere gitmek istemedi ama diğerlerine uyum sağlamaya karar verdi ve bu fikrin kendisine de çok güzel geldiğini söyledi. Sonunda kayınvalidem de bu geziye razı oldu. Abilene'e giden yol çok yorucu ve sıcaktı, bu yüzden geri kalanı başarılı olmadı. Birkaç saat sonra aile eve geldi. Kayınvalidesi ise bu geziyi beğenmediğini ve sadece başkalarının hatırı için gittiğini söyledi. Kocası kendisinin de gitmemekten memnun olacağını ancak diğerlerinin moralini bozmamak için geziyi kabul ettiğini söyledi. Karısı da hiçbir yere gitmek istemediğini, sadece herkesin arasına uyum sağlamak istediğini söyledi. Sonunda kayınpeder, geziyi yalnızca çevrenin ona sıkıcı gelmesi nedeniyle önerdiğini söyledi. Bu nedenle hiçbiri Abilene'e gitmek istemedi ve sadece diğerlerinin iyiliği için anlaştılar.

Yukarıda açıklanan paradoks, kolaylıkla tipik grup düşüncesinin bir örneği olarak adlandırılabilir.

7. Grelling'in paradoksu.

Sıfatları iki gruba ayıralım, biri otolojik, diğeri heterolojik olacak. Birincisi kendilerini karakterize edenlerdir: çok heceli, Rusça vb. İkinci sıfatlar kendilerini karakterize etmeyen sıfatlardır: yeni, Almanca vb.

Paradoksun doruk noktası, yukarıda bahsedilenlerden birine "heterolojik" sıfatını tanımlama ihtiyacının duyulduğu anda ortaya çıkıyor. bu durumda gruplar. Kendini karakterize eder ve heterolojiktir.

8. Belediye başkanlarının paradoksu.

Ülkelerden birinde, belediye başkanlarının kendi şehirlerinin dışında, daha doğrusu belediye başkanlarına özel bir şehirde yaşamaları gerektiğini belirten bir yasa çıkarıldı. O halde belediye başkanlarının bulunduğu şehrin belediye başkanı nerede yaşamalı?

9. Beklenmedik infaz paradoksu.

Gardiyanlar mahkumun yanına gelir ve ona önümüzdeki Cuma öğle yemeğinde idam edileceğini söyler. Mahkum bilerek bir sonuca varır tam zamanı infaz onun için beklenmedik bir durum olmaktan çıkıyor, bu da idam edilemeyeceği anlamına geliyor. Belirlenen gün ve saatte cellat tutukluyu idam eder ve bu durum ona sürpriz olur.

10. Euathlus paradoksu.

Antik mantık sorunu, hangisi aşağıdaki öz. Bir öğretmen Protagoras, Euathlus'u öğrencisi olarak aldı ve ona ders vermeye başladı. dava. Euathl, ilk davayı kazanır kazanmaz tüm okul ücretini ödeyeceğine söz verdi. Ancak eğitimden sonra Evatl'ın çalışmak için acelesi yoktu. Daha sonra Protagoras ona dava açtı. Sonuç olarak yargıç herhangi bir karara varamadı çünkü Euathlus bu davayı kazanırsa parayı Protagoras'a vermek zorunda kalacak. Bu şekilde gerçekten kaybedecek, bu da Protagoras'a okul ücretini ödemek zorunda kalmayacağı anlamına geliyor. Ve böylece sonu gelmez.



Paradoks, kendisiyle çelişiyor gibi görünen ama yine de doğru olabilen bir ifadedir. Mantıksal paradoksların çoğunun kusurlu argümanlar olduğu bilinir, ancak buna rağmen eleştirel düşünmeyi teşvik etmek açısından önemlidirler. Aşağıda sizi kesinlikle şaşırtacak on paradoks var.

1. Değer paradoksu: İnsanlar hayatta kalmak için elmasa değil suya ihtiyaç duydukları için su neden elmastan daha ucuz?

Değer Paradoksu (Su-Elmas Paradoksu veya Smith Paradoksu olarak da bilinir), suyun insanın hayatta kalması için çok daha faydalı olduğu, ancak elmasın piyasada çok daha yüksek bir fiyata satıldığı açık bir çelişkidir. Daha düşük tüketim seviyelerinde suyun marjinal faydası elmastan çok daha yüksektir ve dolayısıyla daha değerlidir. İnsanlar elmastan daha fazla miktarda su kullanıyor, dolayısıyla suyun marjinal faydası ve fiyatı elmastan daha düşük.

Elmas paradoksunu açıklarken marjinal faydayı inceleyen bilim insanları, dikkate alınanın elmasın veya suyun toplam faydası değil, her bir su ve elmas biriminin ayrı ayrı faydası olduğunu açıklıyorlar. Hayatta kalmak için suya ihtiyaç duyduklarından suyun genel kullanımının insanlar için büyük önem taşıdığı kesinlikle doğrudur. Ancak dünyada bu kadar çok su olduğu göz önüne alındığında suyun marjinal faydası aslında düşüktür. Başka bir deyişle, temel su ihtiyacı (hayatta kalmak için) karşılandığı için, mevcut olan her ilave su birimi daha az kritik amaçlar için kullanılabilir.

Dolayısıyla dünyada çok fazla miktarda su bulunması nedeniyle herhangi bir birim su değerini kaybediyor. Öte yandan dünyada çok az sayıda elmas bulunmaktadır. Bunlardan o kadar az var ki, bir pırlantanın faydaları, dünyada çok fazla bulunan bir bardak suyun faydalarından kat kat daha fazladır. Böylece pırlantalar insanlar için çok daha fazla değere sahip oluyor. Bu nedenle pırlanta isteyenler bir bardak suya göre çok daha yüksek bir fiyat ödemeye hazırdır ve pırlanta satıcıları her bir pırlanta için bir bardak suyun maliyetinden çok daha yüksek bir fiyat belirlerler.

2. Öldürülen Büyükbaba Paradoksu: Zamanda geriye gidip büyükbabanızı büyükannenizle tanışmadan önce öldürseniz ne olurdu?


Öldürülen Büyükbaba Paradoksu, ilk kez bilim kurgu yazarı René Barjavel tarafından 1943 tarihli Le Voyageur Imprudent adlı kitabında tanımlanan, önerilen bir zaman yolculuğu paradoksudur.

Paradoks şu şekilde anlatılıyor: Bir zaman yolcusu, zamanda geriye, büyükanne ve büyükbabasının henüz evlenmediği bir zamana gitti. O sırada gezgin dedesini öldürür ve sonuç olarak doğmaz. Doğmamışsa zamanda geriye gidip dedesini öldüremez, bu da onun hala doğmuş ve daha da kısır bir döngü içinde olduğu anlamına gelir.

Zaman yolcusunun bugünü ile geleceği arasında neden-sonuç ilişkisi olduğunu varsayarsak, bu bağlantıyı bozan Öldürülen Dede Paradoksu imkansız görülebilir (böylece kişinin kaderinin keyfi olarak yeniden yazılması engellenir). Bununla birlikte, paradoksu önlemek için, geçmişin değiştirilemeyeceği, dolayısıyla büyükbabanın suikast girişiminden sağ çıkmış olması gerektiği (daha önce belirtildiği gibi) gibi bir takım hipotezler teorik olarak varsayılmıştır. Diğer bir hipotez ise zaman yolcusunun, kendisinin hiç doğmadığı alternatif bir zaman çizelgesi veya paralel evren yaratması veya bu evrene girmesidir.

Öldürülen büyükbaba paradoksunun bir varyasyonu, Hitler paradoksu veya Hitler'e suikast paradoksu olup, bilimkurguda oldukça yaygın bir kinayedir. ana karakterİkinciyi tetiklemeden önce Adolf Hitler'i öldürmek için zamanda geriye gider Dünya Savaşı. Zaman yolculuğunu zorunlu olarak engellemek yerine, eylemin kendisi, zamanda yolculuk için bir nedenin var olduğuna dair her türlü bilgiyle birlikte bunu yapmak için her türlü nedeni ortadan kaldırır, böylece ilk etapta zamanda yolculuk ihtiyacını ortadan kaldırır.

3. Theseus'un Paradoksu: "Bir geminin tüm parçaları değiştirilse, gemi hâlâ aynı gemi midir?"


Theseus'un Gemisi şu soruyu gündeme getiren bir paradokstur: Tüm bileşenleri değiştirilen bir nesne aslında aynı nesne olarak mı kalır?

Bu paradoks eski filozoflar tarafından ve daha yakın zamanda Thomas Hobbes ve John Locke tarafından tartışılmıştır. Kimisi "gemi aynı kalacak" diyor, kimisi "aynı kalmayacak" diyor.

İnsan vücudundaki hücreler yaklaşık olarak her yedi yılda bir yenilendiğinden, tarihe bakıldığında aynada gördüğümüz bedenin yedi yıl önce veya daha önce gördüğümüzden tamamen farklı bir vücut olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

4. Galileo Paradoksu: Tüm sayılar doğal sayıların kareleri olmasa da, doğal sayıların karelerinden daha fazla doğal sayı yoktur.


Galileo'nun paradoksu sonsuz kümelerin şaşırtıcı özelliklerinden birinin gösterimidir. sonuncumda bilimsel çalışma"İki Yeni Bilim" hakkında iki çelişkili açıklama yapmış gibi görünüyor doğal sayılar.

Birincisi, bazı sayıların kare olması, bazılarının kare olmamasıdır. Bu nedenle, kareler ve kare olmayanlar da dahil olmak üzere tüm sayıların karelerinden daha fazlası olmalıdır. Ancak her karenin karekökü olan bir pozitif sayı vardır ve her pozitif sayının da yalnızca bir karesi vardır, dolayısıyla biri diğerinden fazlası olamaz. Bu, sonsuz bir küme bağlamında bire bir yazışma fikrinin ilk olmasa da erken bir kullanımıdır. Galileo daha az, eşit ve daha çok fikirlerinin sonsuz değil sonlu kümelere uygulanabileceği sonucuna vardı.

Kümeler teorisinin mucidi olarak bilinen Alman matematikçi Georg Cantor, 19. yüzyılda aynı yöntemleri kullanarak bu kısıtlamanın gerekli olmadığını kanıtladı. Sonsuz kümeler arasındaki karşılaştırmaları anlamlı bir şekilde tanımlamanın mümkün olduğunu gösterdi (buna göre aldığı, topladığı ve kareleri "aynı boyutta" olan iki küme) ve bu tanıma göre, bazı kümeler kesinlikle büyüktür. diğerleri. Ancak Galileo'nun daha sonra sonsuz sayılar üzerine yaptığı çalışmalarda bu kadar ileri gitmesi şaşırtıcıdır. Bir doğru parçası üzerindeki noktaların sayısının daha büyük bir doğru parçası üzerindeki noktaların sayısına eşit olduğunu gösterdi, ancak Cantor'un bu niceliklerin tam sayılardan daha büyük olduğuna dair kanıtını keşfedemedi.

5. Tasarruf Paradoksu: Bir durgunluk sırasında herkes tasarruf etmeye çalışırsa, toplam talep düşecek ve nüfusun tasarruf ettiği toplam miktar daha az olacaktır.


Tasarrufun paradoksu şudur: Ekonomik durgunluk sırasında herkes para biriktirmeye çalışırsa, toplam talep düşecek ve bunun sonucunda tüketim talebinin azalması nedeniyle nüfusun tasarruf ettiği toplam miktar azalacaktır. ekonomik büyüme. Basitçe söylemek gerekirse, tasarruf paradoksu şudur: Bireysel tasarruflar artsa bile nüfusun tasarruf ettiği toplam miktar daha az olacaktır. Daha fazlası geniş anlamda Bireysel tasarruflardaki bu artış ekonomiye zararlı olabilir, çünkü bireysel tutumluluğun genel olarak ekonomi için olumlu olduğu ifade edilmesine rağmen, tutumluluk paradoksuna göre kolektif tutumluluk, olumsuz etki ekonomi üzerine. Teorik olarak eğer herkes tasarruf yaparsa hacimleri artacak ancak makroekonomik durumda bir düşüş eğilimi yaşanacaktır.

6. Pinokyo Paradoksu: Pinokyo “Artık burnum büyüyor” derse ne olur?

Pinokyo Paradoksu, Pinokyo'nun "Burnum artık büyüyor" demesiyle ortaya çıkar. Bu paradoks aynı zamanda yalancı paradoksunun bir versiyonudur.

Yalancı paradoksu felsefe ve mantıkta “Bu ifade bir yalandır” ifadesi olarak tanımlanır. Bu ifadeye klasik bir ikili doğruluk değeri verme girişimi bir çelişkiye veya paradoksa yol açacaktır. Çünkü “Bu ifade yanlıştır” ifadesi doğru ise yanlıştır. Bu, biçimsel olarak doğru olduğu ama aynı zamanda yanlış olduğu anlamına gelir ve bu bir kısır döngü içinde devam eder.

Her ne kadar Pinokyo Paradoksu şunu ifade etse de en iyi gelenekler yalancı paradoksu, o özel durum, çünkü örneğin "Bu ifade bir yalan" ifadesinde olduğu gibi anlamsal yüklemleri yoktur.

Pinokyo paradoksu, Pinokyo'nun bilinen bir yalancı olması değildir. Pinokyo, “Hastalanıyorum” dese doğru da olabilir, yanlış da olsa, Pinokyo’nun “Burnum büyüyor artık” sözü ne doğru ne de yanlış olabilir. Bu cümlenin tek başına Pinokyo paradoksunu yaratmasının nedeni budur.

7. Berber Paradoksu: Berberin, kendisi tıraş olmayan herkesi tıraş ettiği bir köyde, berberi kim tıraş eder?


Bir gün bir berber dükkanının önünden geçtiğinizi ve şöyle yazan bir tabela gördüğünüzü hayal edin: “Kendinizi tıraş ediyor musunuz? Değilse içeri gelin, sizi tıraş edeceğim! Kendisini tıraş etmeyen herkesi tıraş ediyorum, başka kimseyi tıraş etmiyorum.” Bu oldukça adil ve anlaşılır geliyor, ta ki bir sonraki soru aklınıza gelene kadar: "Berber kendini tıraş eder mi?" Eğer yapıyorsa yapmamalı çünkü kendini tıraş edenleri tıraş etmiyor. Ancak kendini tıraş etmiyorsa, bunu yapmak zorundadır, çünkü kendisi tıraş olmayan herkesi tıraş eder ve bu bir kısır döngü içinde devam eder. Her iki olasılık da çelişkiye yol açmaktadır.

Bu, yirminci yüzyılın başlarında Bertrand Russell adlı İngiliz matematikçi, filozof ve vicdani retçi tarafından ortaya atılan berber paradoksu. Bu paradoks, yirminci yüzyıl matematikçilerinin yönünü tamamen değiştiren büyük bir zorluk teşkil ediyordu.

Berber paradoksunda durum "kendini traş etmektir", ancak bu durum oldukça anlaşılır görünse de, kendi kendini tıraş eden tüm erkekleri saymak mümkün değildir. Bu seti sayamayız çünkü berberin kendisinin dahil olup olmadığına karar veremiyoruz. Her iki durum da çelişkiye yol açmaktadır.

Bu paradoksu aşma girişimleri, izin verilen küme türlerini sınırlamaya odaklandı. Russell'ın kendisi, cümlelerin hiyerarşik bir sıraya göre düzenlenmesini öngören "Türler Teorisi"ni önerdi. En alt düzeyde birey kümeleriyle ilgili cümleler olmalı, bir sonraki düzeyde birey kümeleriyle ilgili cümleler olmalı vb. Bu, cümlenin iki kısmı birbiriyle bağlantılı olduğundan, kendilerinin üyesi olmayan birden fazla kümeyi tartışma zorunluluğunu ortadan kaldırmaya yardımcı olur. farklı şekiller ve buna göre farklı seviyelerdedir.

Bu ve diğer nedenlerden dolayı Russell paradoksuna en popüler çözüm, küme teorisinin Zermelo-Fraenkel aksiyomatizasyonu olarak adlandırılan çözümdür. Bu aksiyomlaştırma, saf küme teorisinin varsayımını sınırlar; buna göre, bir koşul verildiğinde, tam olarak ona karşılık gelen nesneleri toplayarak bir küme oluşturulabilir. Bunun yerine bireysel şeylerle başlamanız, bunların çoğunu yaratmanız ve artan sırada çalışmanız gerekir. Bu, seti kendilerini içeren ve içermeyen setlere bölmeye çalışmanıza gerek olmadığı anlamına gelir. Bireysel şeylerden oluşturduğunuz herhangi bir kümenin elemanları için belirli sayıda adımla bu ayırmayı yapmanız yeterlidir.

Bu paradoksa bir başka olası (cinsiyetçi) çözüm de şudur: berberi kadın yapın.

8. Doğum Günü Paradoksu: Bu kadar küçük bir grupta nasıl aynı gün doğmuş iki kişi olabilir?


Doğum günü paradoksu, rastgele seçilen bir grup insandan aynı günde iki kişinin doğması olasılığıdır. Dirichlet ilkesine göre kişi sayısı 367'ye ulaştığında (366 kişi olduğu varsayılarak) bu olasılık yüzde 100'e ulaşıyor. olası seçenekler 29 Şubat dahil doğum günleri). Ancak kalabalığın sadece 57 kişiden oluşması durumunda yüzde 99, 23 kişinin toplanması durumunda ise yüzde 50 olasılık elde ediliyor. Bu bulgular, yılın her gününün (29 Şubat hariç) eşit olasılıkla doğum günü olduğu varsayımını içermektedir.

9. Tavuk ve Yumurta Problemi: Önce ne geldi, tavuk mu yumurta mı?


Nedensel tavuk mu yumurta mı ikilemi genellikle şuna benzer: "Hangisi önce geldi, tavuk mu yumurta mı?" Antik filozoflar için tavuğun mu yoksa yumurtanın mı ilk önce geldiği sorusu aynı zamanda Evrende yaşamın nasıl ortaya çıktığına ve genel olarak nasıl başladığına dair bir dizi soru anlamına da geliyordu.

Tavuk-yumurta paradoksuna kültürel göndermeler genellikle döngüsel neden-sonucun ilk örneğini oluşturmaya çalışmanın boşunalığına işaret etmek için yapılır. Sorunun temel niteliğinin temelinde bu yaklaşımın yattığı varsayılabilir. Yumurtlayan türler tavuklardan önce geldiğinden, bu sorunun gerçek yanıtı bazı insanlar için oldukça açıktır. Diğerleri, tavukların yalnızca evcilleştirilmiş Kızıl Orman Kuşları olduğu için tavuğun önce geldiğine inanıyor. Ancak bu paradoksa metaforik bakış, ikilemin metafizik temelini de belirliyor. Mecazi anlamının daha iyi anlaşılabilmesi için soru şu şekilde yeniden formüle edilebilir: “Hangisi önce gelir, Y olmadan var olamayacak X mi, yoksa X olmadan var olamayacak Y mi?” Yıllar önce Dünya ortaya çıktığında tavuk da ortaya çıktı. Sonra bir yumurta bıraktı. Önce bir yumurta gelse ve bir civciv yumurtadan çıksa, onu kim sıcak tutacak ve onu kim besleyecekti?

10. Kaybolan Hücre: Neden ortada hiçbir neden yokken bir kare beliriyor?


Kaybolan hücre paradoksu, öğrencilerin anlamalarına yardımcı olmak için matematik derslerinde kullanılan optik bir yanılsamadır. geometrik şekiller. Benzer şekillerden ve biraz farklı konfigürasyonlardan oluşan iki şekil düzenlemesinin tanımlanmasından oluşur.

Bulmacanın anahtarı, kavisli hipotenüs nedeniyle "üçgenlerin" hiçbirinin gerçek üçgen olmamasıdır. Başka bir deyişle "hipotenüs", çıplak insan gözüne öyle görünse de uyumlu bir eğik değildir. Dolayısıyla ilk şekildeki eğri hipotenüs aslında 32 hücreyi kaplarken, ikinci şekilde "kaybolan" hücre dahil 33 hücreyi kaplamaktadır. Alt resimde kırmızı ve mavi üçgenlerin birbirine değdiği ağ noktasına dikkat edin (birleşik şeklin sağ alt köşesinden 5 kare ve sol alt köşesinden iki kare yukarı) ve bunu üst resimdeki aynı noktayla karşılaştırın. Kenar, üstteki resimdeki işaretin altında kalıyor ancak altta onun üzerinden geçiyor. Her iki şeklin hipotenüslerinin üst üste bindirilmesi sonucunda alanı alt görüntüdeki “kaybolan” hücrenin alanına tam olarak eşit olan çok dar bir paralelkenar elde edilir.



 

Şunu okumak yararlı olabilir: