Eş asal sayılar - tanım, örnekler ve özellikler. asal sayılar

karşılıklı nedir asal sayılar?

Eş asal sayıların tanımı

Eş asal sayıların tanımı:

Eş asal sayılar birden başka ortak böleni olmayan tam sayılardır.

Eş asal sayılar örnekleri

Coprime örneği:

2 ve 3'ün birden başka ortak böleni yoktur.

Nispeten asal sayılara başka bir örnek:

3 ve 7'nin birden başka ortak böleni yoktur.

Eş asal sayıların başka bir örneği:

11 ve 13 sayılarının birden başka ortak böleni yoktur.

Şimdi eş asal sayıların ne anlama geldiği sorusuna cevap verebiliriz.

eş asal sayı ne demek?

Birden başka ortak böleni olmayan tam sayılardır.

İki asal sayı

Bu çiftlerin her biri iki görece asal sayıdır.

11 ve 15
15 ve 16
16 ve 23

Eş asal sayıların ortak bölenleri

Eş asalların ortak bölenleri, eş asalların tanımından da anlaşılacağı gibi yalnızca birdir.

Coprime Sayılarının En Büyük Ortak Bölenleri

Eş asalların en büyük ortak böleni, eş asalların tanımından da anlaşılacağı gibi birdir.

Sayılar göreli olarak asal mıdır?

3 ve 13 sayıları aralarında asal mıdır? Evet, çünkü biri dışında ortak bölenleri yoktur.

3 ve 12 sayıları aralarında asal mıdır? Hayır, çünkü ortak bölenleri 1 ve 3'tür. Ve eş asal sayıların tanımına göre, yalnızca biri ortak bölen olmalıdır.

3 ve 108 sayıları aralarında asal mıdır? Hayır, çünkü ortak bölenleri 1 ve 3'tür. Ve eş asal sayıların tanımına göre, yalnızca biri ortak bölen olmalıdır.

108 ve 5 sayıları aralarında asal mıdır? Evet, çünkü biri dışında ortak bölenleri yoktur.

Bu makaledeki bilgiler " konusunu kapsamaktadır. göreceli asal sayılar". İlk olarak, iki eş asal sayının tanımı ve ayrıca üç veya daha fazla eş asal sayının tanımı verilir. Bunu, eş asal sayı örnekleri ve verilen sayıların eş asal olduğunun nasıl kanıtlanacağı takip eder. Ayrıca, eş asal sayıların ana özellikleri listelenir ve kanıtlanır. Sonuç olarak, eş asal sayılarla yakından ilişkili oldukları için ikili asal sayılardan bahsedilmiştir.

Sayfa gezintisi.

Genellikle, verilen tam sayıların eş asal olduğunu kanıtlamanın gerekli olduğu görevler vardır. Kanıt, verilen sayıların en büyük ortak bölenini hesaplamak ve gcd'nin bire eşit olup olmadığını kontrol etmekle özetlenir. OBEB'i hesaplamadan önce asal sayılar tablosuna bakmak da yararlıdır: aniden orijinal tamsayılar asal hale gelir ve asal sayıların en büyük ortak böleninin bire eşit olduğunu biliriz. Örnek bir çözüm düşünelim.

Örnek.

84 ve 275 sayılarının aralarında asal olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

Açıkçası, bu sayılar asal değildir, bu nedenle 84 ve 275 sayılarının karşılıklı basitliğinden hemen söz edemeyiz ve GCD'yi hesaplamamız gerekecek. OBEB'i bulmak için Öklid algoritmasını kullanın: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , dolayısıyla gcd (84, 275)=1 . Bu, 84 ve 275 sayılarının aralarında asal olduğunu kanıtlar.

Eş asal sayıların tanımı üç veya daha fazla sayıya genişletilebilir.

Tanım.

a 1 , a 2 , …, a k , k>2 tamsayıları çağrılır eş asal bu sayıların en büyük ortak böleni bire eşitse.

Yukarıdaki tanımdan, belirli bir tamsayı kümesinin birden farklı pozitif bir ortak böleni varsa, bu tamsayıların eş asal olmadığı sonucu çıkar.

Örnekler verelim. Üç tamsayı -99 , 17 ve -27 eş asaldır. Herhangi bir asal sayı koleksiyonu, görece asal sayılar kümesini oluşturur; örneğin, 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 ve 677 görece asal sayılardır. Ve dört sayı 12 , −9 , 900 ve −72 göreli olarak asal değildir çünkü 1'den farklı pozitif bir ortak bölen 3'e sahiptirler. 17, 85 ve 187 sayıları da aralarında asal değildir, çünkü her biri 17'ye bölünebilir.

Bazı sayıların asal olduğu genellikle açık olmaktan uzaktır ve bu gerçeğin kanıtlanması gerekir. Bu sayıların eş asal olup olmadığını öğrenmek için bu sayıların en büyük ortak bölenini bulmanız ve eş asal sayıların tanımına göre bir sonuç çıkarmanız gerekir.

Örnek.

331 , 463 ve 733 sayıları aralarında asal mıdır?

Çözüm.

Asal sayılar tablosuna baktığımızda 331, 463 ve 733 sayılarının her birinin asal olduğunu görürüz. Bu nedenle, tek bir pozitif ortak bölenleri vardır, bir. Böylece, üç sayı 331, 463 ve 733 göreli olarak asal sayılardır.

Cevap:

Evet.

Örnek.

−14 , 105 , −2 107 ve −91 sayılarının aralarında asal olmadığını kanıtlayın.

Çözüm.

Bu sayıların eş asal olmadığını kanıtlamak için gcd'lerini bulabilir ve bire eşit olmadığından emin olabilirsiniz. Öyleyse hadi yapalım.

Negatif tam sayıların bölenleri, karşılık gelenlerin bölenleriyle aynı olduğundan, gcd(−14, 105, 2107, −91)= gcd(14, 105, 2 107, 91) . Makalenin malzemesine dönersek, üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bularak, OBEB(14, 105, 2 107, 91)=7 olduğunu buluruz. Bu nedenle, orijinal sayıların en büyük ortak böleni yedidir, bu nedenle bu sayılar eş asal değildir.

asal sayıların özellikleri

Ko-asal sayıların bir dizi özelliği vardır. Ana düşünün eş asal özellikler.

a ve b tamsayılarının en büyük ortak bölenlerine bölünmesiyle elde edilen sayılar eş asaldır, yani a:gcd(a, b) ve b:gcd(a, b) eş asaldır.

GCD'nin özelliklerini analiz ettiğimizde bu özelliği kanıtladık.

Eş asal sayıların dikkate alınan özelliği, eş asal sayı çiftlerini bulmaya izin verir. Bunu yapmak için, herhangi iki tam sayıyı alıp en büyük ortak bölene bölmek yeterlidir, ortaya çıkan sayılar eş asal olacaktır.

a ve b tamsayılarının birlikte asal olması için u 0 ve v 0 tamsayılarının a·u 0 +b·v 0 =1 olması gerekli ve yeterlidir.

Önce gerekliliği kanıtlayalım.

a ve b sayıları aralarında asal olsun. Daha sonra eş asal sayıların tanımıyla gcd(a, b)=1 . Ve gcd'nin özelliklerinden, a ve b tamsayıları için Bezout bağıntısının a u 0 +b v 0 =ogcd(a, b) doğru olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, a·u 0 +b·v 0 =1 .

Yeterliliği kanıtlamak için kalır.

a·u 0 +b·v 0 =1 eşitliğinin doğru olmasına izin verin. ebob(a,b) hem a'yı hem de b'yi böldüğü için, bölünebilirlik özelliklerinden dolayı ebob(a,b) a u 0 + b v 0 toplamını ve dolayısıyla birimi bölmek zorundadır. Ve bu sadece gcd(a, b)=1 olduğunda mümkündür. Bu nedenle, a ve b asal sayılardır.

Eş asal sayıların bir sonraki özelliği şudur: a ve b sayıları eş asalsa ve a c çarpımı b'ye bölünebiliyorsa, c, b'ye bölünebilir.

Aslında, a ve b eş asal olduğundan, önceki özellikten a u 0 +b v 0 =1 eşitliğine sahibiz. Bu eşitliğin her iki tarafını da c ile çarparak, a·c·u 0 +b·c·v 0 =c elde ederiz. a c u 0 +b c v 0 toplamının ilk terimi b'ye bölünebilir, çünkü a c koşul olarak b'ye bölünebilir, bu toplamın ikinci terimi de b'ye bölünebilir, çünkü çarpanlardan biri b'ye eşittir, dolayısıyla tüm toplam b ile bölünebilir. Ve a·c·u 0 +b·c·v 0 toplamı c'ye eşit olduğundan, c de b'ye bölünebilir.

a ve b sayıları göreli olarak asalsa, gcd(a c, b)=gcd(c, b) .

Öncelikle gcd(a c, b)'nin ebob(c, b)'yi böldüğünü ve ikinci olarak gcd(c, b)'nin gcd(a c, b)'yi böldüğünü gösterelim, bu gcd(a c, b) eşitliğini kanıtlayacaktır. =gcd(c, b) .

OBEB(a c, b) hem a c'yi hem de b'yi böler ve ebob(a c, b) b'yi böldüğü için b c'yi de böler. Yani, ebob(a c, b) hem a c'yi hem de bc'yi böler, bu nedenle en büyük ortak bölenin özelliklerinden dolayı gcd(a c, b c)'yi de böler ki bu da gcd'nin özelliklerine göre c c gcd(a)'dır. , b)=c . Böylece ebob(a c, b) hem b'yi hem de c'yi böler, dolayısıyla ebob(c, b) de böler.

Öte yandan, gcd(c, b) hem c'yi hem de b'yi böler ve c'yi böldüğü için a c'yi de böler. Böylece ebob(c, b) hem a c'yi hem de b'yi böler, dolayısıyla ebob(a c, b) de böler.

Böylece ebob(a c, b) ve ebob(c, b)'nin karşılıklı olarak birbirlerini böldüklerini, yani eşit olduklarını göstermiş olduk.

a 1 , a 2 , …, a k sayılarının her biri b 1 , b 2 , …, b m sayılarıyla eş asalsa (burada k ve m bazı doğal sayılardır), o zaman a 1 a 2 … a k çarpımı ve b 1 b 2 ... b m eş asal sayılardır, özellikle a 1 =a 2 =...=a k =a ve b 1 =b 2 =...=b m =b ise, o zaman a k ve b m asal sayılar.

Eş asal sayıların önceki özelliği, formun bir dizi eşitliğini yazmamıza izin verir. OBEB(a 1 a 2 ... a k , b m)= OBEB(a 2 ... a k , b m)=…= OBEB(a k , b m)=1, son geçişin mümkün olduğu yerde, çünkü a k ve bm varsayıma göre eş asal sayılardır. Bu yüzden, OBEB(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Şimdi, a 1 ·a 2 ·…·ak =A'yı gösterirken,
OBEB(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= OBEB(b 1 b 2 ... b m , A)=
=ogcd(b 2 ... bm , A)=... =ogcd(bm , A)=1
(son geçiş, önceki paragraftaki son eşitlik nedeniyle geçerlidir). yani eşitlik var OBEB(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, bu da a 1 ·a 2 ·…·ak ve b 1 ·b 2 ·…·b m çarpımlarının eş asal sayılar olduğunu kanıtlar.

Bu, eş asal sayıların ana özelliklerinin gözden geçirilmesini tamamlar.

İkili Asal Sayılar - Tanımlar ve Örnekler

Eş asal sayılar açısından verilir ikili asal sayıların tanımı.

Tanım.

Her biri diğerleriyle asal olan a 1 , a 2 , …, a k tamsayılarına ne ad verilir? ikili asal sayılar.

İkili asal sayılara bir örnek verelim. 14, 9, 17 ve -25 sayıları ikili asaldır, çünkü 14 ve 9, 14 ve 17, 14 ve -25, 9 ve 17, 9 ve -25, 17 ve -25 sayıları eş asal sayılardır. Burada ikili asal sayıların her zaman eş asal olduğunu not ediyoruz.

Öte yandan, görece asal sayılar her zaman ikili asal değildir, bu aşağıdaki örnekle doğrulanır. 8 , 16 , 5 ve 15 sayıları ikili asal değildir çünkü 8 ve 16 sayıları asal değildir. Ancak 8 , 16 , 5 ve 15 sayıları aralarında asaldır. Yani 8, 16, 5 ve 15 görece asal sayılardır, ancak ikili asal değildirler.

Belirli sayıda asal sayı kümesini vurgulamak gerekir. Bu sayılar her zaman hem eş asal hem de ikili asaldır. Örneğin, 71 , 443 , 857 , 991 ikili asal ve eş asal sayılardır.

Şu da açıktır ki, ne zaman Konuşuyoruz yaklaşık iki tamsayı, o zaman onlar için "ikili asal" ve "eş asal" kavramları çakışır.

Kaynakça.

Vilenkin N.Ya. vb. Matematik. 6. Sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı.
Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
Mikhelovich Sh.Kh. Sayı teorisi.
Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayı teorisindeki problemlerin toplanması: Öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagojik enstitülerin özellikleri.

Matematik ders kitaplarını okumak bazen zordur. Yazarların kuru ve net dilini anlamak her zaman kolay olmuyor. Evet ve oradaki konular her zaman birbirine bağlıdır, karşılıklı olarak akar. Bir konuda uzmanlaşmak için, önceki birkaç konuyu gündeme getirmeniz ve bazen ders kitabının tamamını gözden geçirmeniz gerekir. Zor? Evet. Ve bu zorlukların üstesinden gelme riskini alalım ve konuya standart olmayan bir yaklaşım bulmaya çalışalım. Sayılar ülkesine bir tür gezi yapalım. Ancak tanımı olduğu gibi bırakacağız çünkü matematiğin kuralları iptal edilemez. Yani, asal sayılar, ortak böleni bire eşit olan doğal sayılardır. Apaçık? Epeyce.

Daha görsel bir örnek için 6 ve 13 sayılarını ele alalım. İkisi de bire bölünebilir (birlikte asaldır). Ancak 12 ve 14 sayıları, yalnızca 1'e değil, 2'ye de bölünebildikleri için böyle olamazlar. Aşağıdaki sayılar - 21 ve 47 de "eş asal sayılar" kategorisine uymaz: yalnızca bölünemezler 1'de, ama aynı zamanda 7'de.

Asal sayılar aşağıdaki gibi gösterilir: ( A, y) = 1.

Daha da basit bir şekilde söylenebilir: buradaki ortak bölen (en büyük) bire eşittir.
Neden böyle bir bilgiye ihtiyacımız var? Yeterli sebep.

Bazı şifreleme sistemlerinde karşılıklı olarak yer alır. Hill şifreleriyle veya Sezar ikame sistemiyle çalışanlar, bu bilgi olmadan hiçbir yere varılamayacağını bilirler. Jeneratörleri duyduysanız, inkar etmeye cesaret edemezsiniz: orada da asal sayılar kullanılır.

Şimdi bu kadar basit olanları elde etmenin yollarından bahsedelim, anladığınız gibi, sadece iki bölenleri olabilir: kendilerine ve bire bölünebilirler. Diyelim ki 11, 7, 5, 3 asal sayılardır ama 9 değildir, çünkü bu sayı zaten 9, 3 ve 1'e bölünebilir.

Ve eğer A bir asal sayıdır ve de- kümeden (1, 2, ... A- 1), o zaman garanti edilir ( A, de) = 1 veya asal sayılar — A Ve de.

Bu, daha ziyade, bir açıklama bile değil, az önce söylenenlerin bir tekrarı veya özetidir.

Asal sayıları elde etmek mümkündür, ancak etkileyici sayılar için (örneğin milyarlarca), bu yöntem çok uzundur, ancak bazen hata yapan süper formüllerin aksine daha güvenilirdir.

seçerek çalışabilir de > A. Bunu yapmak için, y seçilir, böylece üzerindeki sayı A paylaşmadı Bunu yapmak için, bir asal sayı bir doğal sayı ile çarpılır ve bir değer eklenir (veya tersine çıkarılır) (örneğin, R), hangisi daha az A:

y= R bir + k

Örneğin, A = 71, R= 3, q=10, sırasıyla, de burada 713'e eşit olacaktır. Dereceli başka bir seçim de mümkündür.

Bileşik sayılar, eş asal sayıların aksine, kendilerine, 1'e ve diğer sayılara (ayrıca kalansız) bölünebilir.

Yani (biri hariç) bileşik ve basit olarak ikiye ayrılır.

Asal sayılar, önemsiz olmayan bölenleri olmayan (sayının kendisi ve birlik dışında) doğal sayılardır. Rolleri, daha önce son derece soyut bir disiplin olarak kabul edilen günümüzün modern, hızla gelişen kriptografisinde özellikle önemlidir ve bu sayede çok talep görmektedir: veri koruma algoritmaları sürekli iyileştirilmektedir.

En büyük asal sayı, diğer meraklılarla birlikte GIMPS (dağıtım hesaplaması) projesine katılan göz doktoru Martin Nowak tarafından bulundu ve bunların sayısı yaklaşık 15 bindi. uzun yıllar. Novak'ın göz kliniğinde bulunan iki buçuk düzine bilgisayar olaya karıştı. Muazzam çalışmanın ve azmin sonucu, 7816230 ondalık basamakla yazılmış 225964951-1 sayısıydı. Bu arada, kayıt Büyük bir sayı bu keşiften altı ay önce teslim edildi. Ve yarım milyon daha az işaret vardı.

Sürenin nerede olduğu bir sayıyı adlandırmak isteyen bir dahi için ondalık gösterim On milyon sınırını "atlamak", sadece dünya çapında bir ün değil, aynı zamanda 100.000 $ kazanma şansı da var. Bu arada Nayan Khairatwal, milyon sınırını aşan sayı için daha küçük bir miktar (50.000$) aldı.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tamamını yansıtmayabilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Bu çalışmanın açıklamaya eşlik etmesi amaçlanmıştır. yeni Konu. Öğretmen kendi takdirine bağlı olarak pratik ve ev ödevlerini seçer.

Teçhizat: bilgisayar, projektör, perde.

açıklamanın ilerlemesi

Slayt 1. En büyük ortak bölen.

sözlü çalışma

1. Hesaplayın:

A)
0,7
* 10
: 2
- 0,3
: 0,4
_________
?
B)
5
: 10
* 0,2
+ 2
: 0,7
_______
?

Cevaplar: a) 8; 3.

2. “2” sayısı tüm sayıların ortak bölenidir.” ifadesini çürütün.

Açıkçası, tek sayılar 2'ye bölünmez.

3. 2'nin katı olan sayılara ne denir?

4. Herhangi bir sayının böleni olan bir sayı söyleyin.

Yazılı olarak.

1. 2376 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

2. Her şeyi bulun ortak bölenler 18 ve 60 numaralar

18 ve 60'ın en büyük ortak böleni kaçtır?

İki doğal sayının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan sayıyı formüle etmeye çalışın

Kural. Kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya en büyük ortak bölen denir.

Yazıyorlar: OBEB (18; 60) = 6.

Lütfen söyle bana, GCD'yi bulmanın kabul edilen yöntemi uygun mu?

Sayılar çok büyük olabilir ve tüm bölenleri listelemeleri zor olabilir.

GCD'yi bulmanın başka bir yolunu bulmaya çalışalım.

18 ve 60 sayılarını asal çarpanlara ayıralım:

18 =

18 sayısının bölenlerine örnekler veriniz.

Sayılar: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

60 sayısının bölenlerine örnekler veriniz.

Sayılar: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; otuz; 60.

18 ve 60'ın ortak bölenlerine örnekler veriniz.

Sayılar: 1; 2; 3; 6.

18 ve 60'ın en büyük ortak bölenini nasıl bulursunuz?

Algoritma.

1. Bu sayıları asal çarpanlara ayırın.

2. Sayıların çarpanlarını karşılaştırın ve farklı olanların üstünü çizin.

3. Kalan faktörlerin çarpımını hesaplayın.

Slayt 4. Eş asal sayılar.

Egzersiz yapmak. 24 ve 35 sayılarının GCD'sini bulun.

Kural. tamsayılar en büyük ortak bölenleri 1 ise eş asal oldukları söylenir.

Bu ilginç!

18 sayısının bölenleri: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
60'ın bölenleri: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; otuz; 60.
OBEB (18;60) = 6.
6'nın bölenleri: 1; 2; 3; 6.
1 rakamlarına dikkat edin; 2; 3; 6, 18 ve 60'ın ortak bölenleridir.
Örneğin OBEB (108; 196) = 4. Yani 108 ve 196 sayılarının ortak bölenlerinin 4 sayısının yani 1'in bölenleri olduğunu hemen söyleyebiliriz; 2; 4.

ebob sayısının (a;b) her böleni, a ve b sayılarının ortak bölenidir ve bunun tersine, ortak bölenlerinin her biri ebob sayısının (a;b) bölenidir.

Şunları okumak faydalı olabilir: