1 chiziqli algebraik tenglamalar tizimi. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi

Biz texnologiyamizni sayqallashda davom etamiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi tarzda. Texnikalarni yanada rivojlantirishdan tashqari, juda ko'p yangi ma'lumotlar bo'ladi, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi nima?

Javob o'zini ko'rsatadi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar erkin muddat bo'lsa, bir hil bo'ladi hamma sistemaning tenglamasi nolga teng. Masalan:

Bu mutlaqo aniq bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, ya'ni uning har doim yechimi bor. Va, birinchi navbatda, sizning ko'zingizga tushadigan narsa bu so'zdir ahamiyatsiz yechim . Arzimas, sifatdoshning ma'nosini umuman tushunmaydiganlar uchun ko'z-ko'z qilmasdan, degan ma'noni anglatadi. Akademik emas, albatta, lekin tushunarli =) ...Nega butani aylanib o'tish kerak, keling, ushbu tizimda boshqa echimlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik:

1-misol

Yechim: bir jinsli sistemani yechish uchun yozish kerak tizim matritsasi elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichma-bosqich shaklga keltiring. E'tibor bering, bu erda vertikal chiziq va bo'sh shartlarning nol ustunini yozishning hojati yo'q - axir, siz nol bilan nima qilsangiz ham, ular nol bo'lib qoladi:

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(2) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.

Uchinchi qatorni 3 ga bo'lish unchalik ma'noga ega emas.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent bir hil sistema olinadi , va Gauss usulining teskari usulidan foydalanib, yechimning yagona ekanligini tekshirish oson.

Javob:

Keling, aniq mezonni shakllantiramiz: chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi mavjud shunchaki arzimas yechim, Agar tizim matritsasi darajasi(V Ushbu holatda 3) o'zgaruvchilar soniga teng (bu holda - 3 dona).

Keling, radiomizni elementar o'zgarishlar to'lqiniga qizdiramiz va sozlaymiz:

2-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Algoritmni nihoyat birlashtirish uchun yakuniy vazifani tahlil qilaylik:

7-misol

Bir jinsli sistemani yeching, javobni vektor shaklida yozing.

Yechim: tizim matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Birinchi qatorning belgisi o'zgartirildi. Yana bir bor e'tiborni ko'p marta duch kelgan texnikaga qarataman, bu keyingi harakatni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

(1) Birinchi qator 2 va 3 qatorlarga qo'shildi. Birinchi qator, 2 ga ko'paytirilib, 4-qatorga qo'shildi.

(3) Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi olib tashlandi.

Natijada, standart qadam matritsasi olinadi va eritma murvatli yo'l bo'ylab davom etadi:

- asosiy o'zgaruvchilar;
- erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchilar bilan ifodalaylik. 2-tenglamadan:

- 1- tenglamaga almashtiring:

Shunday qilib, umumiy yechim:

Ko'rib chiqilayotgan misolda uchta erkin o'zgaruvchi mavjud bo'lganligi sababli, asosiy tizim uchta vektorni o'z ichiga oladi.

Keling, uchlik qiymatlarni almashtiramiz umumiy yechimga aylantiring va koordinatalari bir jinsli sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradigan vektorni oling. Va yana takror aytamanki, har bir qabul qilingan vektorni tekshirish juda tavsiya etiladi - bu ko'p vaqt talab qilmaydi, lekin sizni xatolardan to'liq himoya qiladi.

Qadriyatlarning uch barobari uchun vektorni toping

Va nihoyat, uchtasi uchun uchinchi vektorni olamiz:

Javob: , Qayerda

Kasr qiymatlaridan qochishni istaganlar uchliklarni ko'rib chiqishlari mumkin va ekvivalent shaklda javob oling:

Kasrlar haqida gapirganda. Muammoda olingan matritsani ko'rib chiqamiz va o'zimizga savol beraylik: keyingi yechimni soddalashtirish mumkinmi? Axir, bu erda biz birinchi navbatda kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini, keyin kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini ifodaladik va shuni aytishim kerakki, bu jarayon eng oddiy va eng yoqimli emas edi.

Ikkinchi yechim:

G'oya sinashdir boshqa asosiy o'zgaruvchilarni tanlang. Keling, matritsani ko'rib chiqaylik va uchinchi ustunda ikkitasini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, nega tepada nol bo'lmasligi kerak? Yana bir elementar transformatsiyani amalga oshiramiz:

1-misol. Tizimning umumiy yechimini va ayrim maxsus yechimini toping

Yechim Biz buni kalkulyator yordamida qilamiz. Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:

Asosiy A matritsa nuqtali chiziq bilan ajratilgan.Tizim tenglamalarida atamalarning mumkin boʻlgan joylashishini yodda tutgan holda, nomaʼlum tizimlarni tepaga yozamiz. Kengaytirilgan matritsaning darajasini aniqlash orqali biz bir vaqtning o'zida asosiyning darajasini topamiz. B matritsasida birinchi va ikkinchi ustunlar proportsionaldir. Ikki proportsional ustundan faqat bittasi asosiy minorga tushishi mumkin, shuning uchun keling, masalan, qarama-qarshi belgi bilan birinchi ustunni nuqta chiziqdan tashqariga o'tkazamiz. Tizim uchun bu atamalarni x 1 dan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazishni anglatadi.

Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi. Biz birinchi qator bilan ishlaymiz: matritsaning birinchi qatorini (-3) ga ko'paytiramiz va ikkinchi va uchinchi qatorlarga navbat bilan qo'shamiz. Keyin birinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing.

Ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini, masalan, ikkinchisini kesib tashlash mumkin. Bu tizimning ikkinchi tenglamasini kesib tashlashga teng, chunki bu uchinchisining natijasidir.

Endi biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz: uni (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchisiga qo'shamiz.

Nuqta chiziq bilan aylana chizilgan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rangA = rangB = 3.
Kichik asosiy hisoblanadi. Unga x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlar kiradi, yaʼni x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar bogʻliq, x 1 , x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat bazis minorini qoldiramiz (bu yuqoridagi yechim algoritmining 4-bandiga to'g'ri keladi).

Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va shaklga ega

Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Biz x 1 va x 5 bo'sh bo'lganlar orqali x 2, x 3, x 4 bog'liq o'zgaruvchilarni ifodalovchi munosabatlarni oldik, ya'ni umumiy yechim topdik:

Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Keling, ikkita maxsus yechim topamiz:
1) x 1 = x 5 = 0, keyin x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 bo'lsin;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, keyin x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 qo'ying.
Shunday qilib, ikkita yechim topildi: (0,1,-3,3,0) – bitta yechim, (1,4,-7,7,-1) – boshqa yechim.

2-misol. Muvofiqlikni o'rganing, tizimning umumiy va alohida yechimini toping

Yechim. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni birinchi tenglamada bitta bo'lishi uchun qayta o'rnatamiz va B matritsasini yozamiz.

Birinchi qator bilan ishlash orqali to'rtinchi ustunda nollarni olamiz:

Endi biz ikkinchi qatordan foydalanib uchinchi ustundagi nollarni olamiz:

Uchinchi va to'rtinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini darajani o'zgartirmasdan kesib tashlash mumkin:
Uchinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing:

Ko'ramizki, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari 4 ga teng va daraja noma'lumlar soniga to'g'ri keladi, shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

3-misol. Tizimning mosligini tekshiring va agar mavjud bo'lsa, yechim toping.

Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.

Biz birinchi ikkita tenglamani yuqori chap burchakda 1 bo'lishi uchun o'zgartiramiz:
Birinchi qatorni (-1) ga ko'paytirish, uchinchi qatorga qo'shish:

Ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing:

Tizim mos kelmaydi, chunki asosiy matritsada biz nollardan tashkil topgan qatorni oldik, u daraja topilganda kesib tashlanadi, lekin kengaytirilgan matritsada oxirgi qator qoladi, ya'ni r B > r A .

Mashq qilish. Ushbu tenglamalar tizimini moslik uchun o'rganing va uni matritsa hisobi yordamida yeching.
Yechim

Misol. Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini isbotlang va uni ikki usulda yeching: 1) Gauss usuli bilan; 2) Kramer usuli. (javobni x1,x2,x3 shaklida kiriting)
Yechim :doc :doc :xls
Javob: 2,-1,3.

Misol. Chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan. Uning mosligini isbotlang. Tizimning umumiy yechimini va bitta alohida yechimini toping.
Yechim
Javob: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Mashq qilish. Har bir tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping.
Yechim. Biz bu tizimni Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida o'rganamiz.
Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Bu erda A matritsasi qalin rang bilan ta'kidlangan.
Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi.
1-qatorni (3) ga ko'paytiramiz. 2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2-qatorni (2) ga ko'paytiramiz. 3-qatorni (-3) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Tanlangan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u teskari diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rang( A) = rang (B) = 3 Asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lganligi sababli, u holda tizim hamkorlikda ishlaydi.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlarni oʻz ichiga oladi, yaʼni x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar bogʻliq (asosiy), x 4, x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat minor bazisni qoldiramiz.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va quyidagi shaklga ega:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Biz x 1 , x 2 , x 3 bogʻliq oʻzgaruvchilarni x 4 , x 5 boʻsh boʻlganlar orqali ifodalovchi munosabatlarga erishdik, yaʼni topdik. umumiy qaror:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
noaniq, chunki bir nechta yechimga ega.

Mashq qilish. Tenglamalar sistemasini yeching.
Javob:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Tizim shunday noaniq

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari

1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) shakl tizimidir

(4.1)

(4.1) sistemaning yechimi shunday to'plamdir n raqamlar

O'zgartirilganda tizimning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi.

Tizimni yechish deganda uning barcha yechimlarini topish yoki yechim yo‘qligini isbotlash tushuniladi.

SLAE kamida bitta yechimga ega bo'lsa, mos deb ataladi, agar yechimlari bo'lmasa, nomuvofiq deb ataladi.

Agar izchil tizim faqat bitta yechimga ega bo'lsa, u aniq, bir nechta yechimga ega bo'lsa, noaniq deb ataladi.

Masalan, tenglamalar sistemasi qo'shma va aniq, chunki u yagona yechimga ega ; tizimi

mos kelmaydigan va tizim qo'shma va noaniq, chunki u bir nechta echimga ega.

Ikki tenglamalar tizimi, agar ular bir xil yechimlar to‘plamiga ega bo‘lsa, ekvivalent yoki ekvivalent deyiladi. Xususan, ikkita mos kelmaydigan tizim ekvivalent hisoblanadi.

SLAE (4.1) ning asosiy matritsasi kattalikdagi A matritsa deb ataladi, uning elementlari ma'lum tizimning noma'lumlari koeffitsientlari, ya'ni

Noma'lum SLAE matritsasi (4.1) X ustunli matritsasi bo'lib, uning elementlari noma'lum tizimlar (4.1):

SLAE erkin shartlari matritsasi (4.1) B ustunli matritsasi bo'lib, uning elementlari berilgan SLAE ning erkin shartlari hisoblanadi:

Kiritilgan tushunchalarni hisobga olgan holda, SLAE (4.1) matritsa shaklida yozilishi mumkin yoki

.(4.2)

2. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish. Teskari matritsa usuli

Keling, (4.2) matritsa tenglamasi mos keladigan SLAE (4.1) ni o'rganishga o'tamiz. Birinchidan, noma'lumlar soni berilgan sistemaning tenglamalari soniga teng bo'lgan () va , ya'ni tizimning asosiy matritsasi degenerativ bo'lmagan maxsus holatni ko'rib chiqaylik. Bunday holda, oldingi paragrafga ko'ra, matritsa uchun noyob mavjud teskari matritsa. va matritsalari bilan mos kelishi aniq. Keling, ko'rsataylik. Buning uchun chap tarafdagi (4.2) matritsa tenglamasining ikkala tomonini matritsaga ko‘paytiramiz:

Shuning uchun, matritsani ko'paytirish xususiyatlarini hisobga olgan holda, biz olamiz

Chunki, ah, keyin

.(4.3)

Keling, topilgan qiymat asl tizimga yechim ekanligiga ishonch hosil qilaylik. (4.3) ni (4.2) tenglamaga almashtirib, hosil bo'lamiz , bizda bor joydan.

Keling, bu yechim yagona ekanligini ko'rsataylik. (4.2) matritsa tenglamasi tenglikni qanoatlantiradigan boshqa yechimga ega bo'lsin

Keling, matritsa matritsaga teng ekanligini ko'rsataylik

Buning uchun chapdagi oldingi tenglikni matritsaga ko'paytiramiz.

Natijada biz olamiz

Noma’lum tenglamalar sistemasining bunday yechimi (4.1) sistemaning teskari matritsa usulida yechimi deyiladi.

Misol. Tizimga yechim toping

Tizim matritsasini yozamiz:

Ushbu matritsa uchun avvalroq (1-dars) biz teskarisini topdik:

yoki

Bu erda biz umumiy omilni olib tashladik, chunki kelajakda bizga mahsulot kerak bo'ladi.

Biz quyidagi formula yordamida yechim izlayapmiz.

3. Kramer qoidasi va formulalari

Noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Matritsa shaklidan (4.3) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun amaliy masalalarni yechish uchun qulayroq va ayrim hollarda oddiyroq formulalarga o‘tamiz.

Berilgan tenglik yoki kengaytirilgan shaklda

Shunday qilib, matritsalarni ko'paytirgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

yoki

E'tibor bering, yig'indi determinantning kengayishidir

koeffitsientlarning birinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali aniqlovchidan olinadigan birinchi ustunning elementlari ustida.

Shunday qilib, biz xulosa qilishimiz mumkin

Xuddi shunday: , bu erda koeffitsientlarning ikkinchi ustunini bo'sh shartlar ustuni bilan almashtirish orqali olingan, .

Shunday qilib, biz tengliklardan foydalangan holda berilgan tizimga yechim topdik

, , ,

Kramer formulalari sifatida ham tanilgan.

SLAE yechimini topish uchun oxirgi tengliklarni umumiy shaklda quyidagicha yozish mumkin:

.(4.4)

Ushbu formulalarga ko'ra, bizda SLAE ni hal qilish uchun Kramer qoidasi mavjud:

- sistemaning determinanti tizim matritsasidan hisoblanadi;

- bo'lsa, u holda tizim matritsasida har bir ustun ketma-ket bo'sh shartlar ustuni bilan almashtiriladi va aniqlovchilar hisoblanadi. olingan matritsalar;

- sistemaning yechimi Kramer formulalari (4.4) yordamida topiladi.

Misol. Kramer formulalaridan foydalanib, tenglamalar tizimini yeching

Yechim. Ushbu tizimning determinanti

Chunki, Kramer formulalari mantiqiy, ya'ni tizim o'ziga xos yechimga ega. Biz aniqlovchilarni topamiz:

, , .

Shunday qilib, (4.4) formulalar yordamida biz quyidagilarni olamiz:

, , .

Biz o'zgaruvchilarning topilgan qiymatlarini tizim tenglamalariga almashtiramiz va ular uning yechimi ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

Mashq qilish. Bu haqiqatni o'zingiz tekshiring.

SLAE uchun izchillik mezoni (Kronecker-Capelli teoremasi)

(4.1) tizimning kengaytirilgan matritsasi - bu A matritsaning o'ng tomonidagi vertikal chiziq bilan ajratilgan erkin atamalar ustunini, ya'ni matritsani qo'shish orqali olingan matritsa.

E'tibor bering, matritsada yangi ustunlar paydo bo'lganda, unvon ortishi mumkin . Kengaytirilgan matritsa tenglamalar tizimining mosligi (yechilishi) masalasida juda muhim rol o'ynaydi. Bu savolga keng qamrovli javob Kroneker-Kapelli teoremasi tomonidan berilgan.

Keling, shakllantiramiz Kroneker-Kapelli teoremasi(dalil yo'q).

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (4.1) agar tizim matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi. . Agar sistemaning noma'lumlari soni bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va agar , u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanib, chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimini yechish algoritmini tuzamiz:

1. Asosiy va kengaytirilgan SLAE matritsalarining darajalari hisoblanadi. Agar , keyin tizimda hech qanday yechim yo'q (mos kelmaydigan).

2. Agar , tizim kooperativdir. Bunday holda, asosiy tartibli matritsaning har qanday nolga teng bo'lmagan minorini oling va koeffitsientlari ushbu asosiy minorga kiritilgan tenglamalarni ko'rib chiqing va qolgan tenglamalarni tashlang. Ushbu asosiy minorga kiritilgan noma'lum koeffitsientlar asosiy yoki asosiy deb e'lon qilinadi, qolganlari esa bepul (asosiy bo'lmagan). Yangi tizim qayta yoziladi, faqat tenglamalarning chap tomonida asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlar qoldiriladi va noma'lumlarni o'z ichiga olgan tenglamalarning barcha boshqa shartlari tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkaziladi.

3. Asosiy noma’lumlarning erkin ifodalarini toping. Yangi tizimning asosiy noma'lumlari bilan hosil bo'lgan yechimlari deyiladi umumiy qaror SLAU (4.1).

4. Noma'lum narsalarni bepul berish raqamli qiymatlar, deb atalmish qisman yechimlarni toping.

Keling, Kroneker-Kapelli teoremasini va yuqoridagi algoritmni qo'llashni aniq misollar yordamida ko'rsatamiz.

Misol. Tenglamalar sistemasining mosligini aniqlang

Yechim. Tizimning matritsasi yozamiz va uning darajasini aniqlaymiz.

Bizda ... bor:

Matritsada tartib borligi sababli, voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi 3. Aniq uchinchi darajali voyaga etmaganlar soni Ularning barchasi nolga teng ekanligini tekshirish qiyin emas (o'zingiz tekshiring). Ma'nosi, . Asosiy matritsaning darajasi ikkitadir, chunki bu matritsaning ikkinchi tartibli nolga teng bo'lmagan minor mavjud, masalan,

Ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasi uchtadir, chunki bu matritsaning ajoyib uchinchi tartibli minorlari mavjud, masalan,

Shunday qilib, Kronecker-Kapelli mezoniga ko'ra, tizim bir-biriga mos kelmaydi, ya'ni uning echimlari yo'q.

Misol. Tenglamalar tizimining mosligini o'rganing

Yechim. Ushbu tizimning asosiy matritsasining darajasi ikkiga teng, chunki, masalan, ikkinchi tartibli minor ga teng.

va asosiy matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham ikkitadir, masalan,

va kengaytirilgan matritsaning barcha uchinchi darajali kichiklari nolga teng (o'zingizga qarang). Shunday qilib, tizim izchil.

Masalan, asosiy minorni olaylik. Bu minor asosi uchinchi tenglamaning elementlarini o'z ichiga olmaydi, shuning uchun biz uni o'chirib tashlaymiz.

Noma'lumlarni asosiy deb e'lon qilamiz, chunki ularning koeffitsientlari asosiy minorga kiradi va noma'lumlarni erkin deb e'lon qilamiz.

Birinchi ikkita tenglamada biz o'zgaruvchini o'z ichiga olgan atamalarni o'ng tomonga o'tkazamiz. Keyin biz tizimni olamiz

Biz bu tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

Shunday qilib, dastlabki tizimning umumiy yechimi shaklning cheksiz to'plamidir ,

har qanday haqiqiy raqam qayerda.

Ushbu tenglamaning alohida yechimi, masalan, to'plam bo'ladi dan kelib chiqadi.

4. Gauss usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish

SLAE ni hal qilishning eng samarali va universal usullaridan biri Gauss usulidir. Gauss usuli bir xil turdagi sikllardan iborat bo'lib, ular noma'lum SLAElarni ketma-ket yo'q qilish imkonini beradi. Birinchi tsikl ikkinchidan boshlab barcha tenglamalarda barcha koeffitsientlarni nolga qaytarishga qaratilgan. . Keling, birinchi tsiklni tasvirlaylik. Tizimdagi koeffitsientni nazarda tutsak(agar bunday bo'lmasa, unda nol bo'lmagan koeffitsientli tenglama x 1 va koeffitsientlarni qayta belgilaymiz), biz (4.1) tizimni quyidagicha o'zgartiramiz: birinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz va boshqa barcha tenglamalardan noma'lumni chiqarib tashlaymiz. x 1 elementar transformatsiyalar yordamida. Buning uchun birinchi tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring va tizimning ikkinchi tenglamasi bilan had bo'yicha qo'shing. Keyin birinchi tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring va uni tizimning uchinchi tenglamasiga qo'shing. Ushbu jarayonni davom ettirib, tsiklning oxirgi bosqichida biz birinchi tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiramiz.va uni tizimning oxirgi tenglamasiga qo'shing. Birinchi tsikl tugallandi, natijada ekvivalent tizim paydo bo'ladi

(4.5)

Izoh.Yozib olish qulayligi uchun odatda kengaytirilgan tizim matritsasi ishlatiladi. Birinchi tsikldan keyin bu matritsa quyidagi shaklni oladi:

(4.6)

Ikkinchi davr - birinchi tsiklning takrorlanishi. Faraz qilaylik, koeffitsient . Agar bunday bo'lmasa, tenglamalarni qayta tartibga solish orqali biz quyidagilarga erishamiz: . (4.5) sistemaning birinchi va ikkinchi tenglamalarini qayta yozamiz yangi tizim(kelajakda biz faqat kengaytirilgan matritsa bilan ishlaymiz).

Ikkinchi tenglamani (4.5) yoki matritsaning ikkinchi qatorini (4.6) ga ko'paytiramiz. , tizimning uchinchi tenglamasi (4.5) yoki matritsaning uchinchi qatori (4.6) bilan qo'shing. Biz tizimning qolgan tenglamalari bilan xuddi shunday davom etamiz. Natijada biz ekvivalent tizimni olamiz:

(4.7)

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish jarayonini davom ettirish, keyin qadam, biz kengaytirilgan matritsani olamiz

(4.8)

Oxirgi qo'shma tizim uchun tenglamalar (4.1) identifikatsiyalardir. Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa nolga teng bo'lmasa, mos keladigan tenglik qarama-qarshidir, shuning uchun (4.1) tizim mos kelmaydi. Qo'shma tizimda, uni hal qilishda, oxirgi tenglamalarni hisobga olish shart emas. Keyin hosil bo'lgan ekvivalent tizim (4.9) va mos keladigan kengaytirilgan matritsa (4.10) shaklga ega bo'ladi.

(4.9)

(4.10)

Identifikatsiya bo'lgan tenglamalarni bekor qilgandan so'ng, qolgan tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng bo'lishi mumkin., yoki o'zgaruvchilar sonidan kamroq bo'lishi kerak. Birinchi holda, matritsa uchburchak shaklga ega, ikkinchisida esa qadamli. (4.1) sistemadan ekvivalent sistemaga (4.9) o'tish Gauss usulining oldinga siljishi, (4.9) sistemadan noma'lumlarni topish esa teskari harakat deyiladi.

Misol. Tizimni Gauss usuli yordamida yeching:

Yechim. Ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasi shaklga ega

Tizimning kengaytirilgan matritsasining quyidagi o'zgarishlarini amalga oshiramiz: birinchi qatorni ko'paytiramizva ikkinchi qatorga qo'shing, shuningdek, birinchi qatorni ko'paytiringva uchinchi qatorga qo'shing. Natijada birinchi tsiklning kengaytirilgan matritsasi bo'ladi (kelajakda biz barcha o'zgarishlarni diagramma shaklida tasvirlaymiz)

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echish, shubhasiz, chiziqli algebra kursining eng muhim mavzusidir. Matematikaning barcha sohalaridan juda ko'p muammolar chiziqli tenglamalar tizimini echishga to'g'ri keladi. Ushbu omillar ushbu maqolaning sababini tushuntiradi. Maqolaning materiali tanlangan va tuzilgan, shunda siz uning yordami bilan qila olasiz

chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning optimal usulini tanlash;
tanlangan usul nazariyasini o'rganish,
tipik misollar va masalalarning batafsil yechimlarini ko'rib chiqish orqali chiziqli tenglamalar tizimini hal qiling.

Maqola materialining qisqacha tavsifi.

Avval hamma narsani beramiz zarur ta'riflar, tushunchalar va belgilar bilan tanishtirish.

Keyinchalik, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan va yagona yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish usullarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, biz Kramer usuliga to'xtalamiz, ikkinchidan, bunday tenglamalar tizimini echishning matritsa usulini ko'rsatamiz, uchinchidan, Gauss usulini (noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli) tahlil qilamiz. Nazariyani mustahkamlash uchun biz bir nechta SLAE ni turli yo'llar bilan hal qilamiz.

Shundan so'ng biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishga o'tamiz umumiy ko'rinish, bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi yoki tizimning asosiy matritsasi birlikdir. Keling, Kronecker-Kapelli teoremasini shakllantiramiz, bu bizga SLAE larning mosligini aniqlash imkonini beradi. Keling, matritsaning bazis minori tushunchasidan foydalanib, tizimlarning yechimini (agar ular mos kelsa) tahlil qilaylik. Shuningdek, biz Gauss usulini ko'rib chiqamiz va misollarning echimlarini batafsil bayon qilamiz.

Biz, albatta, chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan sistemalarining umumiy yechimining tuzilishiga to'xtalib o'tamiz. Fundamental yechimlar sistemasi tushunchasini beraylik va asosiy yechimlar sistemasi vektorlari yordamida SLAE ning umumiy yechimi qanday yozilishini ko'rsatamiz. Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Xulosa qilib aytganda, chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan tenglamalar tizimlarini, shuningdek, SLAElar paydo bo'ladigan turli muammolarni ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ta'riflar, tushunchalar, belgilar.

Ko'rinishdagi n ta noma'lum o'zgaruvchiga ega (p n ga teng bo'lishi mumkin) p chiziqli algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz.

Noma'lum o'zgaruvchilar, - koeffitsientlar (ba'zi haqiqiy yoki murakkab sonlar), - erkin atamalar (shuningdek, haqiqiy yoki kompleks sonlar).

SLAE yozishning ushbu shakli deyiladi muvofiqlashtirish.

IN matritsa shakli Ushbu tenglamalar tizimini yozish quyidagi shaklga ega:
Qayerda - tizimning asosiy matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi, - erkin terminlarning ustun matritsasi.

Agar A matritsaga (n+1)-ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh shartlar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deb ataladi. Noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun matritsa tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi.

Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.

Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi qo'shma bo'lmagan.

Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - noaniq.

Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa , keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.

Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.

Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, bunday SLAElar deyiladi. boshlang'ich. Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistema holatida barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.

Biz o'rta maktabda bunday SLAElarni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda biz bitta tenglamani oldik, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodaladik va uni qolgan tenglamalarga almashtirdik, so‘ngra keyingi tenglamani oldik, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodalab, uni boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki ular qo'shish usulini qo'llaganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil toʻxtalib oʻtirmaymiz, chunki ular mohiyatan Gauss usulining modifikatsiyalaridir.

Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usulidir. Keling, ularni saralab olaylik.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

Faraz qilaylik, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishimiz kerak

bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning asosiy matritsasi determinanti noldan farq qiladi, ya'ni.

Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va - matritsalarning determinantlari, A dan almashtirish yo'li bilan olinadi 1, 2, …, n bepul a'zolar ustuniga mos ravishda ustun:

Ushbu belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usuli formulalari yordamida hisoblanadi . Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usuli yordamida shunday topiladi.

Misol.

Kramer usuli .

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega . Keling, uning determinantini hisoblaymiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, tizim Kramer usuli bilan topilishi mumkin bo'lgan yagona yechimga ega.

Kerakli determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz (A matritsadagi birinchi ustunni erkin shartlar ustuniga, determinantni ikkinchi ustunni erkin hadlar ustuniga va A matritsaning uchinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali aniqlovchini olamiz) :

Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish :

Javob:

Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizimdagi tenglamalar soni uchdan ortiq bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi matritsa ko‘rinishida berilgan bo‘lsin, bunda A matritsaning o‘lchami n ga n, determinanti esa nolga teng emas.

Chunki A matritsa teskari bo'ladi, ya'ni teskari matritsa mavjud. Agar tenglikning ikkala tomonini chapga ko'paytirsak, noma'lum o'zgaruvchilarning matritsa-ustunini topish formulasini olamiz. Shunday qilib, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimini oldik matritsa usuli.

Misol.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish matritsa usuli.

Yechim.

Tenglamalar tizimini matritsa shaklida qayta yozamiz:

Chunki

u holda SLAE ni matritsa usuli yordamida yechish mumkin. Teskari matritsadan foydalanib, bu sistemaning yechimini quyidagicha topish mumkin .

A matritsa elementlarining algebraik qo‘shilishidan matritsa yordamida teskari matritsa tuzamiz (agar kerak bo‘lsa, maqolaga qarang):

Teskari matritsani ko'paytirish orqali noma'lum o'zgaruvchilar matritsasini hisoblash qoladi bepul a'zolarning matritsa ustuniga (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Javob:

yoki boshqa belgida x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matritsa usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining yechimlarini topishda asosiy muammo teskari matritsani topishning murakkabligi, ayniqsa uchinchidan yuqori tartibli kvadrat matritsalar uchun.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish.

Faraz qilaylik, n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan n ta chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishimiz kerak.
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.

Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat: birinchidan, x 1 ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, keyin x 2 uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi va hokazo, faqat noma'lum o'zgaruvchi x n qolguncha. oxirgi tenglamada. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishi tugallangandan so'ng, oxirgi tenglamadan x n topiladi, oxirgi tenglamadan ushbu qiymatdan foydalanib, x n-1 hisoblanadi va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 topiladi. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. Gauss usuliga teskari.

Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.

Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab, tizimning barcha tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini o'chiramiz. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi va hokazo, n- tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va .

Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalaganimizda va olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarga almashtirganimizda ham xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqariladi.

Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan

Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchisini, to'rtinchi tenglamaga ikkinchisini ko'paytiramiz va hokazo, n- tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ga ko'paytiramiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va . Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.

Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishga kirishamiz, shu bilan birga biz tizimning rasmda ko'rsatilgan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz.

Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz

Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: oxirgi tenglamadan x n ni quyidagicha hisoblaymiz, x n ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 ni topamiz. .

Misol.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechish Gauss usuli.

Yechim.

Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan x 1 noma’lum o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala tomoniga birinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini mos ravishda va ga ko'paytiramiz:

Endi uchinchi tenglamadan x 2 ni uning chap va o'ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini qo'shib, quyidagiga ko'paytiramiz:

Bu Gauss usulining oldinga siljishini yakunlaydi, biz teskari zarbani boshlaymiz.

Olingan tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan biz x 3 ni topamiz:

Ikkinchi tenglamadan biz olamiz.

Birinchi tenglamadan biz qolgan noma'lum o'zgaruvchini topamiz va shu bilan Gauss usulining teskarisini yakunlaymiz.

Javob:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.

Umuman olganda, p tizimning tenglamalari soni n noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi:

Bunday SLAElar yechimga ega bo'lmasligi, bitta yechimga ega bo'lishi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Ushbu bayonot asosiy matritsalari kvadrat va birlik bo'lgan tenglamalar tizimlariga ham tegishli.

Kroneker-Kapelli teoremasi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishdan oldin uning mosligini aniqlash kerak. SLAE qachon mos keladi va qachon mos kelmaydi degan savolga javob beradi Kroneker-Kapelli teoremasi:
n ta noma’lumli p tenglamalar sistemasi (p n ga teng bo‘lishi mumkin) izchil bo‘lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni. , Rank(A)=Rank(T).

Misol tariqasida chiziqli tenglamalar tizimining mosligini aniqlash uchun Kroneker-Kapelli teoremasini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Misol.

Chiziqli tenglamalar sistemasi bor yoki yo'qligini aniqlang yechimlar.

Yechim.

. Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanamiz. Ikkinchi darajali kichik noldan farq qiladi. Keling, u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:

Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lganligi sababli, asosiy matritsaning darajasi ikkiga teng.

O'z navbatida, kengaytirilgan matritsaning darajasi uchga teng, chunki kichik uchinchi tartibli

noldan farq qiladi.

Shunday qilib, Rang(A), shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasidan foydalanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimi mos kelmaydigan degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Javob:

Tizimda hech qanday yechim yo'q.

Shunday qilib, biz Kronecker-Kapelli teoremasidan foydalanib, tizimning nomuvofiqligini aniqlashni o'rgandik.

Biroq, agar uning muvofiqligi o'rnatilgan bo'lsa, SLAE ga qanday yechim topish mumkin?

Buning uchun bizga matritsaning bazis minori tushunchasi va matritsaning darajasi haqidagi teorema kerak.

A matritsaning noldan farqli eng yuqori darajali minori deyiladi Asosiy.

Minor asosining ta'rifidan uning tartibi matritsaning darajasiga teng ekanligi kelib chiqadi. Nolga teng bo'lmagan A matritsa uchun bir nechta bazis minorlari bo'lishi mumkin; har doim bitta bazis minor bo'ladi.

Masalan, matritsani ko'rib chiqing .

Ushbu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng, chunki bu matritsaning uchinchi qatori elementlari birinchi va ikkinchi qatorlarning mos keladigan elementlari yig'indisidir.

Quyidagi ikkinchi darajali voyaga etmaganlar asosiy hisoblanadi, chunki ular nolga teng emas

Voyaga etmaganlar asosiy emas, chunki ular nolga teng.

Matritsa darajalari teoremasi.

Agar p dan n gacha bo'lgan matritsaning darajasi r ga teng bo'lsa, u holda matritsaning tanlangan minor asosini tashkil etmaydigan barcha satr (va ustun) elementlari chiziqli ravishda mos keladigan satr (va ustun) elementlarini hosil qilishda ifodalanadi. asos kichik.

Matritsa darajalari teoremasi bizga nimani aytadi?

Agar Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra, biz tizimning mosligini aniqlagan bo'lsak, biz tizimning asosiy matritsasining istalgan minor asosini tanlaymiz (uning tartibi r ga teng) va tizimdan barcha tenglamalarni chiqarib tashlaymiz. tanlangan asosni tashkil etmaydi. Shu tarzda olingan SLAE asl tenglamaga ekvivalent bo'ladi, chunki bekor qilingan tenglamalar hali ham ortiqcha (matritsa darajasi teoremasiga ko'ra, ular qolgan tenglamalarning chiziqli birikmasidir).

Natijada, tizimning keraksiz tenglamalarini bekor qilgandan so'ng, ikkita holat mumkin.

Agar natijaviy tizimdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u aniq bo'ladi va yagona yechimni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topish mumkin.

Misol.

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasining darajasi ikkiga teng, chunki kichik ikkinchi tartibli noldan farq qiladi. Kengaytirilgan matritsa darajasi ham ikkiga teng, chunki yagona uchinchi tartibli minor nolga teng

va yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi darajali minor noldan farq qiladi. Kroneker-Kapelli teoremasiga asoslanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining mosligini tasdiqlashimiz mumkin, chunki Rank(A)=Rank(T)=2.

Asos sifatida biz minorni olamiz . U birinchi va ikkinchi tenglamalarning koeffitsientlari bilan hosil bo'ladi:

Tizimning uchinchi tenglamasi bazis minorini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun biz uni matritsaning darajasi haqidagi teorema asosida tizimdan chiqaramiz:

Shunday qilib biz chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini oldik. Keling, buni Kramer usuli yordamida hal qilaylik:

Javob:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Agar hosil bo'lgan SLAEdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar sonidan n kam bo'lsa, u holda tenglamalarning chap tomonlarida bazis minorini tashkil etuvchi hadlarni qoldiramiz va qolgan hadlarni o'ng tomonlariga o'tkazamiz. qarama-qarshi belgili tizim tenglamalari.

Tenglamalarning chap tomonlarida qolgan noma'lum o'zgaruvchilar (ulardan r) deyiladi asosiy.

O'ng tomonda joylashgan noma'lum o'zgaruvchilar (n - r bo'laklar mavjud) chaqiriladi ozod.

Endi biz ishonamizki, erkin noma'lum o'zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni olishlari mumkin, r asosiy noma'lum o'zgaruvchilar esa erkin noma'lum o'zgaruvchilar orqali noyob tarzda ifodalanadi. Ularning ifodasini hosil bo'lgan SLAEni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida echish orqali topish mumkin.

Keling, buni misol bilan ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yeching .

Yechim.

Tizimning bosh matritsasining rankini topamiz voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan. Birinchi tartibning nolga teng bo'lmagan minori sifatida 1 1 = 1 ni olaylik. Keling, ushbu minor bilan chegaradosh ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni qidirishni boshlaylik:

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali nolga teng bo'lmagan minorni topdik. Uchinchi tartibdagi nol bo'lmagan chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik:

Shunday qilib, asosiy matritsaning darajasi uchta. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham uchtaga teng, ya'ni tizim izchil.

Biz topilgan uchinchi tartibning nolga teng bo‘lmagan minorini asos qilib olamiz.

Aniqlik uchun biz minorning asosini tashkil etuvchi elementlarni ko'rsatamiz:

Biz minor asosidagi atamalarni tizim tenglamalarining chap tomoniga qoldiramiz, qolganlarini esa qarama-qarshi belgilar o'ng tomonlarga:

Erkin noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 5 ixtiyoriy qiymatlarni beraylik, ya'ni qabul qilamiz , bu yerda ixtiyoriy sonlar. Bunday holda, SLAE shaklni oladi

Olingan chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz:

Demak, .

Javobingizda bepul noma'lum o'zgaruvchilarni ko'rsatishni unutmang.

Javob:

Ixtiyoriy raqamlar qayerda.

Xulosa qiling.

Umumiy chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun avvalo Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida uning mosligini aniqlaymiz. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lmasa, biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz.

Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, biz minor bazisni tanlaymiz va tanlangan minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydigan tizim tenglamalarini olib tashlaymiz.

Agar bazis minorining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u holda SLAE o'ziga xos yechimga ega bo'lib, uni bizga ma'lum bo'lgan har qanday usul bilan topish mumkin.

Agar minor asosining tartibi noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda tizim tenglamalarining chap tomonida asosiy noma'lum o'zgaruvchilar bilan shartlarni qoldiramiz, qolgan shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz va ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. erkin noma'lum o'zgaruvchilar. Olingan chiziqli tenglamalar tizimidan biz Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli yordamida asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni topamiz.

Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli.

Gauss usuli har qanday turdagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini mosligini tekshirmasdan yechish uchun ishlatilishi mumkin. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni SLAE ning mosligi va nomuvofiqligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi va agar yechim mavjud bo'lsa, uni topishga imkon beradi.

Hisoblash nuqtai nazaridan Gauss usuli afzalroqdir.

Ko'ring batafsil tavsif va umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini echishning Gauss usuli bo'yicha misollar tahlil qilindi.

Fundamental yechimlar sistemasi vektorlari yordamida bir jinsli va bir jinsli chiziqli algebraik sistemalarning umumiy yechimini yozish.

Ushbu bo'limda biz cheksiz miqdordagi yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalarning bir vaqtning o'zida bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan tizimlari haqida gapiramiz.

Keling, birinchi navbatda bir hil tizimlar bilan shug'ullanamiz.

Yechimlarning asosiy tizimi n ta noma’lum o‘zgaruvchili p chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimi bu sistemaning (n – r) chiziqli mustaqil yechimlari yig‘indisi bo‘lib, bu yerda r – sistemaning bosh matritsasining bazis minorining tartibi.

Agar bir jinsli SLAE ning chiziqli mustaqil yechimlarini X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) deb belgilasak, ustunli. n o'lchamli matritsalar 1) ga teng bo'lsa, u holda bu bir hil sistemaning umumiy yechimi ixtiyoriy doimiy C 1, C 2, ..., C (n-r) koeffitsientlari bo'lgan asosiy echimlar tizimining vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. hisoblanadi, .

Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar tizimining umumiy yechimi (oroslau) atamasi nimani anglatadi?

Ma'nosi oddiy: formula hamma narsani belgilaydi mumkin bo'lgan echimlar asl SLAE, boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy C 1, C 2, ..., C (n-r) konstantalarining har qanday qiymatlari to'plamini olib, formuladan foydalanib, biz asl bir hil SLAE uchun echimlardan birini olamiz.

Shunday qilib, agar biz fundamental yechimlar tizimini topsak, bu bir hil SLAE ning barcha yechimlarini quyidagicha belgilashimiz mumkin.

Keling, bir hil SLAE yechimlarining fundamental tizimini qurish jarayonini ko'rsatamiz.

Biz chiziqli tenglamalar tizimining dastlabki minorini tanlaymiz, boshqa barcha tenglamalarni tizimdan chiqaramiz va erkin noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan barcha atamalarni qarama-qarshi belgilar bilan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 1,0,0,...,0 qiymatlarini beramiz va natijada olingan chiziqli tenglamalarning elementar tizimini istalgan usulda, masalan, Kramer usuli yordamida yechish orqali asosiy noma'lumlarni hisoblaymiz. Bu X (1) ga olib keladi - asosiy tizimning birinchi yechimi. Agar erkin noma’lumlarga 0,1,0,0,…,0 qiymatlarini berib, asosiy noma’lumlarni hisoblasak, X (2) ni olamiz. Va hokazo. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 0,0,...,0,1 qiymatlarini belgilab, asosiy noma'lumlarni hisoblasak, X (n-r) ni olamiz. Shunday qilib, bir hil SLAE ning asosiy yechimlari tizimi tuziladi va uning umumiy yechimi shaklida yozilishi mumkin.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari uchun umumiy yechim ko'rinishda ifodalanadi, bu erda mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi va biz erkin noma'lumlarga qiymatlarni berish orqali olingan dastlabki bir hil bo'lmagan SLAE ning xususiy yechimi. 0,0,…,0 va asosiy noma’lumlarning qiymatlarini hisoblash.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasining asosiy yechimlar tizimini va umumiy yechimini toping. .

Yechim.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarining asosiy matritsasining darajasi har doim kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng. Voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanib, asosiy matritsaning darajasini topamiz. Birinchi tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor sifatida biz tizimning asosiy matritsasining a 1 1 = 9 elementini olamiz. Ikkinchi tartibning chegaradosh nolga teng bo‘lmagan minorini topamiz:

Noldan farqli ikkinchi darajali minor topildi. Keling, nolga teng bo'lmaganni qidirish uchun u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rib chiqaylik:

Barcha uchinchi darajali chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsaning darajasi ikkiga teng. Keling, olaylik. Aniqlik uchun tizimni tashkil etuvchi elementlarga e'tibor qaratamiz:

Asl SLAE ning uchinchi tenglamasi minor asosini shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin:

Biz asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni tenglamalarning o'ng tomoniga qoldiramiz va erkin noma'lumli shartlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz:

Chiziqli tenglamalarning asl bir jinsli sistemasi yechimlarining fundamental tizimini tuzamiz. Ushbu SLAE ning asosiy yechimlar tizimi ikkita yechimdan iborat, chunki dastlabki SLAE to'rtta noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning minor asosining tartibi ikkitaga teng. X (1) ni topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 1, x 4 = 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz.
.

Keling, buni Kramer usuli yordamida hal qilaylik:

Shunday qilib, .

Endi X (2) ni tuzamiz. Buning uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 0, x 4 = 1 qiymatlarini beramiz, keyin chiziqli tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz.
.

Yana Kramer usulidan foydalanamiz:

olamiz.

Shunday qilib, biz asosiy yechimlar tizimining ikkita vektorini oldik va endi chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimining umumiy yechimini yozishimiz mumkin:

, bu erda C 1 va C 2 ixtiyoriy sonlardir., nolga teng. Shuningdek, biz minorni asosiy tenglama sifatida qabul qilamiz, uchinchi tenglamani tizimdan chiqarib tashlaymiz va erkin noma'lumli shartlarni tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz:

Topish uchun erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 0 va x 4 = 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi. , biz Kramer usuli yordamida asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni topamiz:

Bizda ... bor , shuning uchun,

bu erda C 1 va C 2 ixtiyoriy sonlardir.

Shuni ta'kidlash kerakki, chiziqli algebraik tenglamalarning noaniq bir hil sistemasi yechimlari chiziqli fazo

Yechim.

To'rtburchaklar dekart koordinata tizimidagi ellipsoidning kanonik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega. . Bizning vazifamiz a, b va c parametrlarini aniqlashdir. Ellipsoid A, B va C nuqtalardan o'tganligi sababli, ularning koordinatalarini ellipsoidning kanonik tenglamasiga almashtirganda, u o'ziga xoslikka aylanishi kerak. Shunday qilib, biz uchta tenglama tizimini olamiz:

belgilaylik , keyin sistema chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga aylanadi .

Tizimning asosiy matritsasining determinantini hisoblaymiz:

U nolga teng bo'lmagani uchun biz yechimni Kramer usuli yordamida topishimiz mumkin:
). Shubhasiz, x = 0 va x = 1 bu ko'phadning ildizlari. Bo'linishdan olingan qism yoqilgan hisoblanadi . Shunday qilib, bizda kengayish mavjud va asl ifoda shaklni oladi .

Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz.

Numeratorlarning tegishli koeffitsientlarini tenglashtirib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimiga kelamiz. . Uning yechimi bizga kerakli noaniq A, B, C va D koeffitsientlarini beradi.

Tizimni Gauss usuli yordamida yechamiz:

Gauss usulining teskari usulidan foydalanib, D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 ni topamiz.

olamiz

Javob:

Tenglamalar tizimlari iqtisodiy sanoatda keng qo'llaniladi matematik modellashtirish turli jarayonlar. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.

Tenglamalar sistemasi nafaqat matematikada, balki fizika, kimyo va biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.

Chiziqli tenglamalar tizimi bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar bo'lib, ular uchun umumiy yechim topish kerak. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan raqamlarning bunday ketma-ketligi.

Chiziqli tenglama

ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - qiymati topilishi kerak bo'lgan noma'lumlar, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani chizib yechish to‘g‘ri chiziqqa o‘xshaydi, uning barcha nuqtalari ko‘phadning yechimlaridir.

Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari

Eng oddiy misollar ikkita o'zgaruvchisi X va Y bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi hisoblanadi.

F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.

Tenglamalar tizimini yechish - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topish yoki x va y ning mos qiymatlari mavjud emasligini aniqlashni anglatadi.

Nuqtaning koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.

Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki hech qanday yechim mavjud bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari sistemalardir o'ng qism bu nolga teng. Agar tenglik belgisidan keyingi o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim geterogendir.

O'zgaruvchilar soni ikkitadan ancha ko'p bo'lishi mumkin, keyin biz uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.

Tizimlar bilan duch kelganda, maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin.

Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari

Bunday tizimlarni yechishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar sonli yechimlarga asoslangan. Maktab matematikasi kursida almashtirish, algebraik qo'shish, almashtirish, shuningdek, grafik va matritsa usullari, Gauss usuli bilan yechish kabi usullar batafsil yoritilgan.

Yechish usullarini o'rgatishda asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilishni va topishni o'rgatishdir optimal algoritm Har bir misol uchun yechimlar. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usuldan foydalanish tamoyillarini tushunishdir.

7-sinf umumta’lim dasturida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish juda oddiy va juda batafsil tushuntirilgan. Har qanday matematika darsligida ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemalariga misollarni Gauss va Kramer usuli yordamida yechish oliy ta’limning dastlabki yillarida batafsil o‘rganiladi.

Tizimlarni almashtirish usuli yordamida yechish

O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi bilan ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchili shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi

7-sinf chiziqli tenglamalar tizimi misoliga almashtirish usuli yordamida yechim keltiramiz:

Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. X o'rniga tizimning 2- tenglamasiga almashtirilgan natija 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Ushbu misolni yechish oson va Y qiymatini olish imkonini beradi. Oxirgi qadam Bu qabul qilingan qiymatlarni tekshirish.

Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum bilan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish yo'li bilan yechish ham o'rinsiz.

Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:

Algebraik qo‘shish yordamida yechim

Qo'shish usulidan foydalangan holda tizimlarning echimlarini izlashda ular tenglamalarni atama bo'yicha qo'shish va ko'paytirishni amalga oshiradilar. turli raqamlar. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchidagi tenglamadir.

Ushbu usulni qo'llash amaliyot va kuzatishni talab qiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini 3 yoki undan ortiq oʻzgaruvchi boʻlganda qoʻshish usuli yordamida yechish oson emas. Tenglamalar kasr va o'nli kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish qulay.

Yechim algoritmi:

Tenglamaning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytiring. Arifmetik operatsiya natijasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
Hosil boʻlgan iborani termin boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli

Agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topishni talab qilsa, yangi o'zgaruvchi kiritilishi mumkin; noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.

Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lum uchun echiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.

Misol shuni ko'rsatadiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali tizimning 1-tenglamasini standart kvadrat uch a'zoga qisqartirish mumkin edi. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.

Diskriminantning qiymatini taniqli formuladan foydalanib topish kerak: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning omillari. IN berilgan misol a=1, b=16, c=39, shuning uchun D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, unda bitta yechim mavjud: x = -b / 2*a.

Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.

Tizimlarni echishning vizual usuli

3 ta tenglama tizimi uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha qurishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari tizimning umumiy yechimi bo'ladi.

Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar sistemalarini vizual tarzda yechishning bir qancha misollarini ko‘rib chiqamiz.

Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir chiziq uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.

Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.

Quyidagi misol chiziqli tenglamalar sistemasining grafik yechimini topishni talab qiladi: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.

Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.

2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo tuzilganida ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimning yechimi bor yoki yo'qligini aytish har doim ham mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.

Matritsa va uning turlari

Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini ixcham yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu raqamlar bilan to'ldirilgan maxsus jadval turi. n*m n - satr va m - ustunga ega.

Ustunlar va satrlar soni teng bo'lganda matritsa kvadrat hisoblanadi. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bitta ustunli matritsa. Diagonallardan biri va boshqa nol elementlari bo'ylab birlari bo'lgan matritsaga o'ziga xoslik deyiladi.

Teskari matritsa bu matritsa bo'lib, unga ko'paytirilganda asl matritsa birlik matritsaga aylanadi; bunday matritsa faqat dastlabki kvadrat uchun mavjud.

Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari

Tenglamalar tizimlariga nisbatan tenglamalarning koeffitsientlari va erkin shartlari matritsa raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.

Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng emas deyiladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.

Matritsa ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.

Matritsani ko'paytirishda matritsaning barcha elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.

Teskari matritsani topish variantlari

Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| matritsaning aniqlovchisi hisoblanadi. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.

Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, shunchaki diagonal elementlarni bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki ishda ustunlar va elementlar qatorlari soni takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.

Matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish

Yechimni topishning matritsa usuli ko'p sonli o'zgaruvchilar va tenglamalarga ega tizimlarni echishda noqulay yozuvlarni kamaytirishga imkon beradi.

Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.

Gauss usuli yordamida tizimlarni yechish

Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimlarini topish jarayoni Gauss-Kramer yechim usuli deb ataladi. Bu usullar ko'p sonli chiziqli tenglamalarga ega bo'lgan tizimlarning o'zgaruvchilarini topish uchun ishlatiladi.

Gauss usuli almashtirish va algebraik qoʻshish yoʻli bilan yechimlarga juda oʻxshaydi, lekin tizimliroqdir. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss usuli bilan yechim qo'llaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga tushirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar yordamida bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lumli ifoda, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega.

Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.

7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss usuli bo'yicha yechimning namunasi quyidagicha tasvirlangan:

Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama olingan: 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7. Har qanday tenglamani echish sizga x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.

Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, natijada hosil bo'lgan tizim ham asl tenglamaga teng bo'ladi.

Gauss usulini talabalar tushunishi qiyin o'rta maktab, lekin matematika va fizika darslarida ilg'or o'quv dasturlariga kirgan bolalarning zukkoligini rivojlantirishning eng qiziqarli usullaridan biridir.

Yozib olish qulayligi uchun hisob-kitoblar odatda quyidagicha amalga oshiriladi:

Tenglamalar va erkin atamalar koeffitsientlari matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ngdan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.

Birinchidan, ishlanadigan matritsani yozing, so'ngra qatorlardan biri bilan bajarilgan barcha harakatlar. Olingan matritsa "strelka" belgisidan keyin yoziladi va kerakli algebraik amallar natijaga erishilgunga qadar davom ettiriladi.

Natijada diagonallardan biri 1 ga, qolgan barcha koeffitsientlar esa nolga teng bo'lgan matritsa bo'lishi kerak, ya'ni matritsa birlik shakliga tushiriladi. Tenglamaning har ikki tomonida raqamlar bilan hisob-kitoblarni bajarishni unutmasligimiz kerak.

Ushbu yozib olish usuli unchalik mashaqqatli emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.

Har qanday yechim usulidan bepul foydalanish ehtiyotkorlik va biroz tajribani talab qiladi. Hamma usullar amaliy xususiyatga ega emas. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining muayyan sohasida afzalroq, boshqalari esa ta'lim maqsadlarida mavjud.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: