Eng kam harakat tamoyili qanday paydo bo'ldi? Eng kam harakat tamoyili

Maktabda o‘qib yurgan paytlarim, fizika o‘qituvchimiz, Bader ismli, darsdan so‘ng meni o‘z joyiga chaqirib, shunday dedi: “Siz hamma narsadan juda charchaganga o‘xshaysiz; qiziqarli narsani tinglang." Va u menga haqiqatan ham hayratlanarli deb o'ylagan narsani aytdi. Hozir ham, o'shandan beri ko'p vaqt o'tgan bo'lsa-da, bu meni hayratda qoldirishda davom etmoqda. Va har safar aytilgan gaplarni eslaganimda, ishga qaytaman. Va bu safar, ma'ruzaga tayyorlanar ekanman, men yana bir xil narsalarni tahlil qilardim. Va ma'ruzaga tayyorgarlik ko'rish o'rniga, men qaror qabul qildim yangi vazifa. Men gapirayotgan mavzu eng kam harakat tamoyili.


- O'shanda ustozim Bader menga shunday degan edi: “Masalan, sizda tortishish maydonida zarracha bor; bu zarracha bir joydan chiqib keta turib, bir joydan boshqa nuqtaga erkin harakatlanadi. Siz uni, aytaylik, yuqoriga tashladingiz va u uchib ketdi, keyin yiqildi.

Boshlanish nuqtasidan yakuniy nuqtaga qadar biroz vaqt kerak bo'ldi. Endi boshqa harakatni sinab ko'ring. Aytaylik, u "bu yerdan bu erga" o'tish uchun avvalgidek emas, balki shunday harakat qildi:

Ammo baribir men avvalgidek bir vaqtning o'zida kerakli joyga keldim.

- Shunday qilib, - deb davom etdi o'qituvchi, - agar siz zarrachaning yo'li bo'ylab vaqtning har bir daqiqasida kinetik energiyani hisoblab chiqsangiz, undan potentsial energiyani ayirsangiz va harakat sodir bo'lgan butun vaqtdagi farqni integrallasangiz, siz siz olgan raqam bo'lishini ko'ring Ko'proq, zarrachaning haqiqiy harakatiga qaraganda.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, Nyuton qonunlarini F = ma sifatida emas, balki quyidagicha shakllantirish mumkin: o'rtacha kinetik energiya minus o'rtacha potentsial energiya o'zinikiga etadi. eng kichik qiymat ob'ekt haqiqatda bir joydan ikkinchi joyga o'tadigan traektoriya bo'yicha.

Men buni sizga biroz aniqroq tushuntirishga harakat qilaman.
Agar biz tortishish maydonini olsak va zarrachaning traektoriyasini belgilasak x(t), Qayerda X- bu erdan balandlik (biz hozircha bitta o'lchov bilan boshqaramiz; traektoriya faqat yuqoriga va pastga harakat qilsin, yon tomonga emas), keyin kinetik energiya bo'ladi. y 2 m(dx/ dt) 2, a vaqtning ixtiyoriy momentidagi potentsial energiya teng bo'ladi mgx.


Endi, traektoriya bo'ylab harakatlanishning bir lahzasi uchun men kinetik va potentsial energiyalar o'rtasidagi farqni olaman va boshidan oxirigacha hamma vaqt davomida birlashaman. Dastlabki vaqtda ruxsat bering tx harakat ma'lum bir balandlikda boshlandi va bir lahzada tugadi t 2 boshqa balandlikda.

U holda integral ∫ t2 t1 dt bo'ladi

Haqiqiy harakat qandaydir egri chiziq bo'ylab amalga oshiriladi (vaqt funksiyasi sifatida u parabola) va integralning qandaydir aniq qiymatiga olib keladi. Lekin qila olasiz oldinqo'yish ba'zi boshqa harakatlar: birinchi navbatda keskin ko'tarilish, keyin esa g'alati tebranishlar.

Siz ushbu yo'l bo'ylab potentsial va kinetik energiya o'rtasidagi farqni hisoblashingiz mumkin ... yoki boshqa. Va eng hayratlanarlisi shundaki, haqiqiy yo'l bu integral eng kichik bo'lgan yo'ldir.
Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Boshlash uchun biz quyidagi holatni tahlil qilamiz: erkin zarrachaning potentsial energiyasi umuman yo'q. Keyin qoida ma'lum bir vaqt ichida bir nuqtadan ikkinchisiga o'tishda kinetik energiyaning integrali eng kichik bo'lishi kerakligini aytadi. Va bu zarrachaning bir tekis harakatlanishi kerakligini anglatadi. (To'g'ri, siz va men bilamizki, bunday harakatdagi tezlik doimiydir.) Va nima uchun teng? Keling, buni aniqlaylik. Agar boshqacha bo'lganida, zarrachaning tezligi ba'zan o'rtachadan oshib, ba'zan undan pastroq bo'lar va o'rtacha tezlik bir xil bo'lar edi, chunki zarracha "bu erdan bu erga" borishi kerak edi. kelishilgan vaqt. Misol uchun, agar siz uydan maktabga ma'lum vaqt ichida mashinangizda borishingiz kerak bo'lsa, unda siz buni turli yo'llar bilan qilishingiz mumkin: siz avval aqldan ozgandek haydashingiz mumkin va oxirida sekinlashtirasiz yoki bir xil tezlikda haydashingiz mumkin. yoki siz hatto orqaga borishingiz mumkin, va faqat keyin maktabga o'girilib, va hokazo. Barcha holatlarda, o'rtacha tezlik, albatta, bir xil bo'lishi kerak - uydan maktabgacha bo'lgan masofaning vaqtga bo'lingan qismi. Ammo bu o'rtacha tezlikda ham siz ba'zan juda tez va ba'zan juda sekin harakat qildingiz. O'rta kvadrat o'rtachadan chetga chiqqan narsa har doim o'rtacha kvadratdan katta bo'lishi ma'lum; bu shuni anglatadiki, harakat tezligidagi tebranishlar paytida kinetik energiyaning integrali doimo doimiy tezlikda harakat qilgandan ko'ra katta bo'ladi. Tezlik doimiy bo'lganda (kuchlar bo'lmaganda) integral minimal darajaga yetishini ko'rasiz. Bu to'g'ri yo'l.

Gravitatsiya maydoniga tashlangan jism dastlab tez, keyin esa tobora sekin ko'tariladi. Buning sababi shundaki, u ham potentsial energiyaga ega va eng kichik qiymatga erishish kerak bir martaness kinetik va potentsial energiyalar o'rtasida.. Potensial energiya ko'tarilganda ortadi, keyin kichikroq farq Agar siz potentsial energiya yuqori bo'lgan balandliklarga imkon qadar tezroq erishsangiz, bu chiqadi. Keyin, bu yuqori potentsialni kinetik energiyadan chiqarib tashlasak, biz o'rtacha qiymatning pasayishiga erishamiz. Shunday qilib, yuqoriga ko'tarilish va potentsial energiya hisobiga yaxshi salbiy qismni etkazib berish foydaliroqdir.

Ustozimning aytganlari shu edi, chunki u juda yaxshi o‘qituvchi edi va qachon to‘xtash kerakligini bilardi. Afsuski, men bunday emasman. O'z vaqtida to'xtab qolishim qiyin. Shunday qilib, mening hikoyam bilan qiziqishingizni yoqish o'rniga, men sizni qo'rqitmoqchiman, hayotning murakkabligidan kasal bo'lishingizni xohlayman - men aytganlarimni isbotlashga harakat qilaman. Biz hal qiladigan matematik masala juda qiyin va o'ziga xosdir. Bir oz qiymat bor S, chaqirdi harakat. Bu kinetik energiya minus vaqt davomida integrallashgan potentsial energiyaga teng:

Ammo, boshqa tomondan, siz juda tez harakat qila olmaysiz va juda baland ko'tarila olmaysiz, chunki bu juda ko'p kinetik energiya talab qiladi. Sizning ixtiyoringizda bo'lgan vaqt chegarasida yuqoriga va pastga tushish uchun etarlicha tez harakat qilishingiz kerak. Shunday qilib, siz juda baland uchishga harakat qilmasligingiz kerak, faqat o'rtacha darajaga erishishingiz kerak. Natijada, yechim imkon qadar ko'proq potentsial energiya olish istagi va kinetik energiya miqdorini iloji boricha kamaytirish istagi o'rtasidagi o'ziga xos muvozanat ekanligi ma'lum bo'ldi - bu maksimal pasayishga erishish istagi. kinetik va potentsial energiyalar orasidagi farqda.

Shuni unutmangki, p.e. va v.e. ikkalasi ham vaqtning funksiyasi. Har qanday yangi yo'l uchun bu harakat o'zining aniq ma'nosini oladi. Matematik muammo qaysi egri chiziq uchun bu raqam boshqalarga qaraganda kamroq ekanligini aniqlashdir.

Siz: “Oh, bu oddiy yuqori va past misol. Biz harakatni hisoblashimiz, uni farqlashimiz va minimalni topishimiz kerak.

Lekin kuting. Odatda bizda qandaydir o'zgaruvchining funksiyasi bor va qiymatni topishimiz kerak o'zgaruvchan, bunda funksiya eng kichik yoki eng katta bo'ladi. Aytaylik, o'rtada isitiladigan novda bor. Issiqlik uning bo'ylab tarqaladi va tayoqning har bir nuqtasida harorat o'rnatiladi. Siz eng yuqori nuqtani topishingiz kerak. Ammo biz butunlay boshqacha narsa haqida gapirayapmiz - kosmosdagi har bir yo'l uning raqamiga javob beradi va u buni topishi kerak yo'l, ular uchun bu raqam minimaldir. Bu matematikaning mutlaqo boshqa sohasi. Bu oddiy hisob emas, lekin o'zgaruvchan(ular buni shunday deyishadi).

Matematikaning bu sohasida juda ko'p muammolar mavjud. Masalan, aylana odatda berilgan nuqtadan masofalari bir xil bo'lgan nuqtalarning joylashuvi sifatida belgilanadi, lekin aylana boshqa yo'l bilan belgilanishi mumkin: u egri chiziqlardan biridir. berilgan uzunlik, eng katta hudud hisoblanadi. Xuddi shu perimetrning boshqa har qanday egri chizig'i doiradan kichikroq maydonni o'rab oladi. Shunday qilib, agar biz vazifani qo'ysak: berilgan perimetrning eng katta maydonni chegaralovchi egri chizig'ini topish, u holda bizda siz o'rgangan hisobdan emas, balki variatsiyalar hisobi bo'yicha vazifa bo'ladi.

Shunday qilib, biz integralni tananing bosib o'tgan yo'li bo'ylab olishni xohlaymiz. Keling, buni shunday qilaylik. Gap shundaki, to‘g‘ri yo‘l borligini va biz chizgan har qanday boshqa egri chiziq haqiqiy yo‘l emasligini tasavvur qilishdir, shuning uchun agar biz uning uchun harakatni hisoblasak, biz harakat uchun olganimizdan kattaroq sonni olamiz. haqiqiy yo'l.

Shunday qilib, vazifa to'g'ri yo'lni topishdir. U qayerga yuguradi? Buning bir usuli, albatta, millionlab va millionlab yo'llar uchun harakatni hisoblash va keyin qaysi yo'lda eng kichik harakatga ega ekanligini ko'rishdir. Bu harakat minimal bo'lib, haqiqiy bo'ladi.

Bu yo'l juda mumkin. Biroq, buni osonroq qilish mumkin. Agar minimal (odatiy funktsiyalardan, aytaylik, harorat) bo'lgan miqdor mavjud bo'lsa, u holda minimalning xususiyatlaridan biri undan uzoqroq masofada harakat qilishdir. birinchi kichiklik tartibi, funktsiya o'zining minimal qiymatidan faqat miqdorga qarab chetlanadi ikkinchi buyurtma. Va egri chiziqning boshqa har qanday joyida, kichik masofaga siljish, funktsiyaning qiymatini birinchi darajali kichiklik qiymatiga ham o'zgartiradi. Biroq, hech bo'lmaganda, birinchi yaqinlashuvda yon tomonga ozgina og'ishlar funktsiyaning o'zgarishiga olib kelmaydi.

Bu biz haqiqiy yo'lni hisoblash uchun foydalanmoqchi bo'lgan xususiyatdir.

Agar yo'l to'g'ri bo'lsa, undan bir oz farq qiladigan egri chiziq, birinchi taxmin sifatida, harakat hajmining o'zgarishiga olib kelmaydi. Barcha o'zgarishlar, agar u haqiqatan ham minimal bo'lsa, faqat ikkinchi yaqinlashishda sodir bo'ladi.

Buni isbotlash oson. Agar egri chiziqdan biroz og'ish uchun birinchi tartibda o'zgarishlar bo'lsa, u holda bu o'zgarishlar harakatda bo'ladi mutanosib og'ish. Ular harakatni kuchaytirishi mumkin; aks holda bu minimal bo'lmaydi. Ammo vaqt o'zgaradi mutanosib og'ish, keyin og'ish belgisini o'zgartirish harakatni kamaytiradi. Ma'lum bo'lishicha, bir tomonga og'ish bilan harakat kuchayadi va teskari yo'nalishda og'ish bilan u kamayadi. Buning haqiqatda minimal bo'lishining yagona imkoniyati shundan iboratki, birinchi taxminga ko'ra, hech qanday o'zgarish sodir bo'lmaydi va o'zgarish haqiqiy yo'ldan og'ish kvadratiga proportsionaldir.

Shunday qilib, biz quyidagi yo'ldan boramiz: belgilang x(t) (pastdagi chiziq bilan) haqiqiy yo'l biz topmoqchi bo'lgan yo'ldir. Keling, bir oz sinovdan o'taylik x(t), biz belgilagan kichik miqdor bilan istalganidan farq qiladi η (t).

Fikr shundan iboratki, agar biz harakatni hisoblasak S yo'lda x(t), keyin bu o'rtasidagi farq S va biz yo'l uchun hisoblagan harakat x(t) (oddiylik uchun u belgilanadi S), yoki orasidagi farq S_ Va S, birinchi yaqinlikda bo'lishi kerak η nol. Ular ikkinchi tartibda farq qilishi mumkin, lekin birinchi tartibda farq nolga teng bo'lishi kerak.

Va bu har qanday kishi uchun kuzatilishi kerak η . Biroq, hamma uchun unchalik emas. Usul faqat bitta juft nuqtada boshlanadigan va tugaydigan yo'llarni hisobga olishni talab qiladi, ya'ni har bir yo'l ayni paytda ma'lum bir nuqtada boshlanishi kerak. t 1 va ayni paytda boshqa aniq nuqtada tugaydi t 2 . Bu nuqtalar va momentlar belgilangan. Shunday qilib, bizning d) funktsiyamiz (og'ish) ikkala uchida ham nolga teng bo'lishi kerak: η (t 1 )= 0 Va η (t2)=0. Bunday sharoitda bizning matematik muammomiz to'liq aniqlangan bo'ladi.

Agar siz differentsial hisobni bilmasangiz, oddiy funktsiyaning minimalini topish uchun xuddi shu narsani qilishingiz mumkin edi. f(x). Olsangiz nima bo'lishini o'ylab ko'rasizmi f(x) va qo'shing X kichik miqdor h, va o'zgartirishlar kiritilishini ta'kidlaydilar f(x) tomonidan birinchi tartibda h kamida nolga teng bo'lishi kerak. Ramka qilasizmi x+h o'rniga X va j(x+h) ni birinchi darajagacha kengaytiring h. . ., bir so'z bilan aytganda, biz qilmoqchi bo'lgan hamma narsani takrorlaymiz η .

Agar biz buni diqqat bilan ko'rib chiqsak, bu erda yozilgan dastlabki ikkita atama o'sha harakatga mos kelishini ko'ramiz S, Men xohlagan to'g'ri yo'l uchun yozgan bo'lardim X. Men sizning e'tiboringizni o'zgarishlarga qaratmoqchiman S, ya'ni orasidagi farq haqida S va mavzular S_, bu to'g'ri yo'l uchun olinadi. Bu farqni quyidagicha yozamiz bS va uni variatsiya deb ataymiz S. "Ikkinchi va undan yuqori buyurtmalar" dan voz kechib, biz uchun olamiz s S

Endi vazifa shunday ko'rinadi. Mana mening oldimda bir integral. Men bu qanday ekanligini hali bilmayman, lekin nima ekanligini, nima ekanligini aniq bilaman η Men buni qabul qilmayman, bu integral nolga teng bo'lishi kerak. "Xo'sh", deb o'ylashingiz mumkin, yagona imkoniyat chunki bu shunday bo'ladi ko'paytiruvchi da η nolga teng edi. Lekin birinchi muddat haqida nima, bor qaerda d η / dt? Siz aytasiz: "Agar η hech narsaga aylanadi, keyin uning hosilasi bir xil hech narsa; shuning uchun koeffitsient dv\/ dt ham nolga teng bo'lishi kerak. Xo'sh, bu mutlaqo to'g'ri emas. Bu butunlay to'g'ri emas, chunki og'ish o'rtasida η va uning hosilasi bog'lanish mavjud; ular butunlay mustaqil emas, chunki η (t) nol bo'lishi kerak va t1 va da t 2 .


Variatsiyalar hisobiga oid barcha masalalarni yechishda doimo bir xil umumiy tamoyildan foydalaniladi. Siz o'zgartirmoqchi bo'lgan narsani biroz o'zgartirasiz (xuddi biz qo'shish orqali qilganimiz kabi η ), birinchi buyurtma shartlariga qarash, keyin hamma narsani shunday tartibga soling, shunda siz ushbu shaklda integral olasiz: "shift (η ), chiqadigan narsaga ko'paytiriladi, "lekin uning hosilalari yo'q η (yo'q d η / dt). Har bir narsani shunday o'zgartirish kerakki, "bir narsa" qoladi, ko'paytiriladi η . Endi nima uchun bu juda muhimligini tushunasiz. (Ba'zi hollarda buni qanday qilib hech qanday hisob-kitoblarsiz amalga oshirishingiz mumkinligini aytadigan formulalar mavjud; lekin ular unchalik umumiy emaski, ularni o'rganishga arziydi; eng yaxshisi, hisob-kitoblarni biz qanday qilsak, shunday qilish kerak.)

Qanday qilib sikni qayta tiklashim mumkin d η / dt, unda paydo bo'lish η ? Men bunga qismlar bo'yicha integratsiya qilish orqali erisha olaman. Ma'lum bo'lishicha, o'zgarishlarni hisoblashda butun hiyla - bu variatsiyani yozishdir S va keyin qismlar bo'yicha integrallashing, shunday qilib hosilalari η G'oyib bo'lgan. Losmalar paydo bo'lgan barcha masalalarda bir xil hiyla bajariladi.

Eslab qoling umumiy tamoyil qismlar bo'yicha integratsiya. Agar ixtiyoriy f funktsiyaga ko'paytirilsa d η / dt va integratsiyalashgan t, keyin hosilasini yozasiz η /t

Integratsiya chegaralari birinchi muddatga almashtirilishi kerak t1 Va t 2 . Keyin integral ostida qismlar bo'yicha integratsiyadan atama va transformatsiya paytida o'zgarmagan oxirgi atama olaman.
Va endi sodir bo'ladigan narsa har doim sodir bo'ladi - integratsiyalashgan qism yo'qoladi. (Va agar u yo'qolmasa, unda printsipni qayta shakllantirish, bunday yo'q bo'lishni ta'minlaydigan shartlarni qo'shish kerak!) Biz allaqachon aytdik. η yo'lning uchlarida nolga teng bo'lishi kerak. Axir bizning printsipimiz nima? O'zgaruvchan egri chiziq tanlangan nuqtalarda boshlanishi va tugashi sharti bilan harakat minimal bo'ladi. Bu shuni anglatadiki η (t 1)=0 va η (t2)=0. Demak, integrallashgan atama nolga teng bo'lib chiqadi. Biz qolgan a'zolarni yig'amiz va yozamiz

Variatsiya S endi biz bermoqchi bo‘lgan shaklga ega bo‘ldi: biror narsa qavs ichida (uni belgilaymiz F), va bularning barchasi ko'paytiriladi η (t) va dan integratsiyalashgan t t oldin t 2 .
Ma'lum bo'ldiki, qandaydir ifodaning integrali ē ga ko'paytiriladi (t), har doim nolga teng:

Ba'zi funktsiya arziydi t; ga ko'paytiring η (t) va uni boshidan oxirigacha birlashtiring. Va nima bo'lishidan qat'iy nazar η, men null olaman. Bu funktsiyani anglatadi F(t) nolga teng. Umuman olganda, bu aniq, lekin har qanday holatda, men sizga buni isbotlash usullaridan birini ko'rsataman.

ē bo'lsin (t) Men hamma joyda, hamma uchun nolga teng bo'lgan narsani tanlayman t, oldindan tanlangan bitta qiymatdan tashqari t. Men u erga borgunimcha u nol bo'lib qoladi. t, h keyin bir lahzaga sakraydi va darhol orqaga tortiladi. Agar bu m) integralini qandaydir funktsiyaga ko'paytirsangiz F, nolga teng bo'lmagan narsani oladigan yagona joy - bu qaerda η (t) sakrab tushdi; va siz qiymatga ega bo'lasiz F bu nuqtada integral ustida sakrash ustida. O'z-o'zidan, sakrash integrali nolga teng emas, lekin ko'paytirilgandan keyin F nol berishi kerak. Bu sakrash sodir bo'lgan joydagi funktsiya nolga teng bo'lishi kerakligini anglatadi. Ammo sakrash har qanday joyda amalga oshirilishi mumkin edi; Ma'nosi, F hamma joyda nolga teng bo'lishi kerak.

Biz shuni ko'ramizki, agar bizning integralimiz har qanday uchun nolga teng bo'lsa η , keyin koeffitsient at η nolga tushishi kerak. Harakat integrali shunday murakkab differensial tenglamani qanoatlantiradigan yo'lda minimal darajaga etadi:

Bu aslida unchalik qiyin emas; siz u bilan oldin uchrashgansiz. Bu shunchaki F = ma. Birinchi a'zo - massalar sonining tezlanishi; ikkinchisi - potentsial energiyaning hosilasi, ya'ni kuch.

Shunday qilib, biz (hech bo'lmaganda konservativ tizim uchun) eng kam harakat tamoyili to'g'ri javobga olib kelishini ko'rsatdik; u minimal harakatga ega bo'lgan yo'l Nyuton qonunini qondiradigan yo'l deb da'vo qiladi.

Yana bir eslatmani aytish kerak. Men buni isbotlaganim yo'q eng kam. Ehtimol, bu maksimaldir. Aslida, bu minimal bo'lishi shart emas. Bu erda hamma narsa optikani o'rganayotganda muhokama qilgan "eng qisqa vaqt printsipi" bilan bir xil. U erda ham biz birinchi navbatda "eng qisqa" vaqt haqida gaplashdik. Biroq, ma'lum bo'lishicha, bu vaqt har doim ham "eng qisqa" bo'lmagan holatlar mavjud. Asosiy tamoyil - bu har qanday kishi uchun birinchi tartibli og'ishlar optik yo'ldan o'zgarishlar vaqt ichida nolga teng bo'ladi; xuddi shu hikoya bu erda. "Minimal" deganda, biz haqiqatan ham miqdor o'zgarishining kichikligining birinchi tartibida ekanligini tushunamiz S yo'ldan og'ishlar uchun nolga teng bo'lishi kerak. Va bu "minimal" bo'lishi shart emas.

Endi men ba'zi umumlashmalarga o'tmoqchiman. Birinchidan, bu butun hikoyani uch o'lchovda qilish mumkin edi. Oddiy o'rniga X O'shanda bo'lardim x, y Va z funksiya sifatida t, va harakat yanada murakkab ko'rinadi. 3D harakatda siz umumiy kinetik energiyadan foydalanishingiz kerak): (t/2), butun tezlikning kvadratiga ko'paytiriladi. Boshqa so'zlar bilan aytganda

Bundan tashqari, potentsial energiya endi funktsiyadir x, y Va z. Yo'l haqida nima deyish mumkin? Yo'l - fazodagi ma'lum bir umumiy egri chiziq; chizish unchalik oson emas, lekin g'oya bir xil bo'lib qoladi. ē-chi? Xo'sh, ē ham uchta komponentga ega. Yo'l ham x, ham ichida o'zgartirilishi mumkin y, va tomonidan z, yoki bir vaqtning o'zida barcha uch yo'nalishda. Shunday qilib η endi vektor. Bundan kuchli asoratlar olinmaydi. Chunki faqat o'zgarishlar nolga teng bo'lishi kerak birinchi buyurtma, keyin uch smenada hisobni ketma-ket bajarish mumkin. Avval siz harakat qilishingiz mumkin c faqat yo'nalishda X va koeffitsient nolga borishi kerakligini ayting. Siz bitta tenglamani olasiz. Keyin biz harakat qilamiz c yo'nalishda da va ikkinchisini oling. Keyin biz yo'nalishda harakat qilamiz z va uchinchisini oling. Agar xohlasangiz, hamma narsani boshqa tartibda qilishingiz mumkin. Qanday bo'lmasin, uchlik tenglamalar paydo bo'ladi. Ammo Nyuton qonuni har bir komponent uchun bittadan uchta o'lchovli uchta tenglamadir. Bularning barchasi uch o'lchovda ishlayotganini o'zingiz ko'rasiz (bu erda ko'p ish yo'q). Aytgancha, siz xohlagan istalgan koordinata tizimini, qutbli yoki istalgan koordinata tizimini olishingiz va siljish sodir bo'lganda nima sodir bo'lishini hisobga olgan holda ushbu tizimga nisbatan Nyuton qonunlarini darhol olishingiz mumkin. η radius yoki burchak bo'ylab va hokazo.

Usul zarrachalarning ixtiyoriy soniga ham umumlashtirilishi mumkin. Aytaylik, sizda ikkita zarra bo'lsa va ular o'rtasida ba'zi kuchlar harakat qilsa va o'zaro potentsial energiya mavjud bo'lsa, siz shunchaki ularning kinetik energiyalarini qo'shib, o'zaro ta'sirning potentsial energiyasini yig'indidan ayirasiz. Siz nima bilan farq qilasiz? Yo'llar ikkalasi ham zarralar. Keyin uch o'lchamda harakatlanadigan ikkita zarra uchun oltita tenglama paydo bo'ladi. 1-zarrachaning o'rnini yo'nalishda o'zgartirishingiz mumkin X, yo'nalishda da va yo'nalishda z, va 2-zarra bilan ham xuddi shunday qiling, shuning uchun oltita tenglama mavjud. Va shunday bo'lishi kerak. Uchta tenglama 1-zarraning tezlanishini unga ta'sir qiluvchi kuch nuqtai nazaridan, yana uchtasi esa 2-zarrachaning unga ta'sir qiluvchi kuch ta'sirida tezlanishini aniqlaydi. Har doim bir xil o'yin qoidalariga rioya qiling va siz ixtiyoriy miqdordagi zarralar uchun Nyuton qonunini olasiz.

Men Nyuton qonunini olamiz, dedim. Bu mutlaqo to'g'ri emas, chunki Nyuton qonuni ishqalanish kabi konservativ bo'lmagan kuchlarni ham o'z ichiga oladi. Nyuton buni da'vo qildi bu har qanday F ga teng. Eng kam harakat tamoyili faqat uchun amal qiladi konservativ Bunday tizimlar, barcha kuchlar potentsial funktsiyadan kelib chiqishi mumkin. Lekin siz mikroskopik darajada, ya'ni eng chuqurligini bilasiz jismoniy daraja, konservativ bo'lmagan kuchlar mavjud emas. Konservativ bo'lmagan kuchlar (masalan, ishqalanish) biz mikroskopik murakkab effektlarni e'tiborsiz qoldirganimizdan kelib chiqadi: tahlil qilish uchun juda ko'p zarrachalar mavjud. Asosiy bir xil qonunlar mumkin eng kam harakat tamoyili sifatida ifodalanadi.

Keling, keyingi umumlashmalarga o'tmoqchiman. Aytaylik, bizni zarracha nisbiy harakat qilganda nima sodir bo'lishi qiziqtiradi. To'g'ri relativistik harakat tenglamasini olguncha; F=ma faqat relyativistik bo'lmagan harakatlarda to'g'ri bo'ladi. Savol tug'iladi: relativistik holatda eng kam harakatning tegishli printsipi bormi? Ha bor. Relyativistik holatda formula:

Harakat integralining birinchi qismi qolgan massaning mahsulotidir t 0 yoqilgan 2 dan beri va tezlik funksiyasining integrali bo'yicha √ (1-v2/c 2 ). Keyin potentsial energiyani ayirish o‘rniga skalyar potentsial ph va vektor potensial A ning v ga ko‘paytirilgan integrallariga ega bo‘lamiz. Albatta, bu erda faqat elektromagnit kuchlar hisobga olinadi. Barcha elektr va magnit maydonlar ph va A bilan ifodalanadi. Bunday harakat funktsiyasi elektromagnit maydondagi bitta zarrachaning relativistik harakatining to'liq nazariyasini beradi.

Albatta, men v yozgan hamma joyda hisob-kitob qilishdan oldin uni almashtirish kerakligini tushunishingiz kerak dx/ dt o'rniga v x va hokazo. Bundan tashqari, men oddiygina yozgan joy x, y, z, siz ayni damdagi nuqtalarni tasavvur qilishingiz kerak t: x(t), y(t), z(t). Aslida, v ni shunday almashtirish va almashtirishlardan keyingina relyativistik zarrachaning ta'siri formulasini olasiz. Sizning orangizdagi eng malakalilar ushbu harakat formulasi nisbiylik uchun to'g'ri harakat tenglamalarini berishini isbotlashga harakat qilsin. Sizga faqat A dan voz kechishni maslahat beraman, ya'ni hozircha magnit maydonlarsiz bajaring. Keyin harakat tenglamasining komponentlarini olishingiz kerak bo'ladi dp/dt=—qVph, Bu erda, ehtimol, esingizda bo'lsa, p=mv√(1-v 2 /c 2).

A vektor potensialini hisobga olish ancha qiyinroq. Variatsiyalar keyinchalik beqiyos darajada murakkablashadi. Ammo oxir-oqibat kuch quyidagiga teng bo'ladi: g (E+v × B). Ammo o'zingiz bilan zavqlaning.

Shuni ta'kidlashni istardimki, umumiy holatda (masalan, relativistik formulada) kinetik va potentsial energiyalar o'rtasidagi farq endi harakatdagi integral ostida emas. Bu faqat relativistik bo'lmagan yaqinlashuvda amal qiladi. Masalan, a'zo m o c 2√(1-v2/c2) kinetik energiya deb ataladigan narsa emas. O'zboshimchalik bilan muayyan ish uchun harakat qanday bo'lishi kerakligi haqidagi savol, ba'zi sinov va xatoliklardan so'ng hal qilinishi mumkin. Bu harakat tenglamalari qanday bo'lishi kerakligini aniqlash bilan bir xil turdagi masala. Siz shunchaki o'zingiz bilgan tenglamalar bilan o'ynashingiz va ularni eng kam harakat tamoyili sifatida yozish mumkinligini ko'rishingiz kerak.

Terminologiya haqida yana bir eslatma. Harakatni olish uchun vaqt o'tishi bilan birlashtirilgan funksiya S, chaqirdi Lagrangian s. Bu faqat zarrachalarning tezligi va pozitsiyalariga bog'liq bo'lgan funktsiyadir. Demak, eng kam harakat tamoyilini ham shunday yozish mumkin

qaerda ostida X i Va v i koordinatalar va tezliklarning barcha komponentlari nazarda tutilgan. Agar kimdir "Lagrangian" haqida gapirayotganini eshitsangiz, ular olish uchun ishlatiladigan funktsiya haqida gapirayotganini biling S. Elektromagnit maydonda relyativistik harakat uchun

Bundan tashqari, shuni ta'kidlash kerakki, eng sinchkov va pedantik odamlar nom bermaydilar S harakat. Bu "Gemiltonning birinchi asosiy vazifasi" deb atalgan. Ammo "Gemiltonning eng kichik birinchi asosiy funktsiya printsipi" bo'yicha ma'ruzalar o'qish mening vakolatlarimdan tashqarida edi. Men buni "harakat" deb atadim. Va bundan tashqari, ko'proq va ko'proq ko'proq odamlar buni "harakat" deb nomlang. Ko'ryapsizmi, tarixan harakat boshqa narsa deb atalgan, fan uchun unchalik foydali emas, lekin menimcha, ta'rifni o'zgartirish mantiqiyroq. Endi siz yangi funksiyani harakat deb atay boshlaysiz va tez orada hamma uni shu oddiy nom bilan chaqira boshlaydi.

Endi men sizga eng qisqa vaqt tamoyili haqidagi mulohazalarga o'xshash mavzuimiz haqida aytib bermoqchiman. Bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga olingan ba'zi bir integral minimal darajaga ega ekanligini aytadigan qonunning mohiyatida farq bor - bu bizga bir vaqtning o'zida butun yo'l haqida nimanidir aytib beradigan qonun va harakat qilganingizda, keyin , Bu tezlashuvga olib keladigan kuch borligini anglatadi. Ikkinchi yondashuv sizga har bir qadamingiz haqida gapirib beradi, u sizning yo'lingizni dyuym-dyuymga qarab ko'rsatadi va birinchisi bir vaqtning o'zida bosib o'tgan butun yo'l haqida qandaydir umumiy bayonotni beradi. Nur haqida gapirganda, biz bu ikki yondashuv o'rtasidagi bog'liqlik haqida gapirdik. Endi men sizga nima uchun differentsial qonunlar bo'lishi kerakligini tushuntirmoqchiman, agar shunday printsip mavjud bo'lsa - eng kam harakat tamoyili. Buning sababi shundaki: kosmosda va vaqt ichida bosib o'tgan yo'lni ko'rib chiqing. Avvalgidek, biz bir o'lchov bilan boshqaramiz, shunda qaramlik grafigini chizish mumkin bo'ladi X dan t. Haqiqiy yo'lda S minimal darajaga etadi. Aytaylik, bizda bu yo'l bor va u qaysidir nuqtadan o'tadi A makon va vaqt va boshqa qo'shni nuqta orqali b.

Endi, agar butun integral dan t1 oldin t 2 minimal darajaga yetsa, a dan kichik maydon bo'ylab integral bo'lishi kerak b ham minimal edi. Bir qismi bo'lishi mumkin emas A oldin b hech bo'lmaganda minimaldan bir oz yuqoriroq. Aks holda, bu qismdagi egri chiziqni oldinga va orqaga siljitib, butun integralning qiymatini biroz kamaytirishingiz mumkin.

Bu shuni anglatadiki, yo'lning har qanday qismi ham minimumni berishi kerak. Va bu yo'lning har qanday kichik segmentlari uchun amal qiladi. Shuning uchun, butun yo'l minimal berishi kerak degan tamoyilni yo'lning cheksiz kichik segmenti ham harakat minimal bo'lgan egri chiziqdir, deb ifodalash mumkin. Va agar biz yo'lning etarlicha qisqa qismini olsak - bir-biriga juda yaqin nuqtalar orasida A Va b,- bu joydan uzoqroqda potentsial qanday o'zgarishi muhim emas, chunki butun qisqa segmentingizdan o'tib, siz deyarli hech qachon nuqtani tark etmaysiz. Siz hisobga olishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - bu potentsialdagi kichiklikning birinchi tartibidagi o'zgarish. Javob boshqa potentsialga emas, balki faqat potentsial hosilasiga bog'liq bo'lishi mumkin. Shunday qilib, butun yo'lning mulki to'g'risidagi bayonot yo'lning qisqa qismida nima sodir bo'lishi haqidagi bayonotga, ya'ni differentsial bayonotga aylanadi. Va bu differentsial formulaga potentsialning hosilalari, ya'ni berilgan nuqtadagi kuch kiradi. Bu umumiy huquq va differensial qonun o'rtasidagi bog'liqlikni sifat jihatidan tushuntirishdir.

Biz yorug'lik haqida gapirganda, biz savolni ham muhokama qildik: zarracha qanday qilib to'g'ri yo'lni topadi? Differensial nuqtai nazardan, buni tushunish oson. Har bir lahzada zarracha tezlanishni boshdan kechiradi va faqat shu daqiqada nima qilishi kerakligini biladi. Ammo sizning barcha sabab va ta'sir instinktlaringiz zarrachaning qaysi yo'ldan borishni "hal qilishini" eshitganingizda, minimal harakatga intiladi. Bu allaqachon qo'shni yo'llarni "hidlaydi", ular qaerga olib boradi - ko'proq yoki kamroq harakatga olib keladimi? Fotonlar barcha yo'llarni sinab ko'ra olmasligi uchun yorug'lik yo'liga ekran o'rnatganimizda, ular qaysi yo'lni tanlashni hal qila olmasligini aniqladik va biz diffraktsiya hodisasini oldik.

Ammo bu mexanikaga ham tegishlimi? Zarracha shunchaki "to'g'ri yo'ldan ketmaydi", balki boshqa barcha taxmin qilinadigan traektoriyalarni qayta ko'rib chiqadi, degani rostmi? Va agar uning yo'liga to'siqlar qo'yib, uning oldinga qarashiga yo'l qo'ymasak, diffraktsiya hodisasining qandaydir o'xshashini olamiz? Bularning barchasining ajoyib tomoni shundaki, bu haqiqatan ham. Buni kvant mexanikasi qonunlari aytadi. Shunday qilib, bizning eng kam harakat tamoyilimiz to'liq shakllantirilgan emas. Bu zarrachaning eng kam harakat yo'lini tanlashida emas, balki u barcha qo'shni yo'llarni "hidlashi" va harakat minimal bo'lganini tanlashida va bu tanlash usuliga o'xshashdir. bu yorug'lik eng qisqa vaqtni tanlaydi. Yodingizdami, yorug'lik eng qisqa vaqtni oladi: agar yorug'lik boshqa vaqtni talab qiladigan yo'lda ketsa, u boshqa faza bilan keladi. Va bir nuqtada umumiy amplituda yorug'lik unga etib borishi mumkin bo'lgan barcha yo'llar uchun amplitudalarning hissasi yig'indisidir. Fazalar keskin farq qiladigan barcha yo'llar qo'shilgandan keyin hech narsa bermaydi. Ammo agar siz bosqichlari deyarli bir xil bo'lgan yo'llarning butun ketma-ketligini topishga muvaffaq bo'lsangiz, unda kichik hissalar qo'shiladi va kelish nuqtasida to'liq amplituda sezilarli qiymatga ega bo'ladi. Eng muhim yo'l bir xil fazani beradigan ko'plab yaqin yo'llar bo'lgan yo'lga aylanadi.

Aynan shu narsa kvant mexanikasida sodir bo'ladi. To'liq kvant mexanikasi (relativistik bo'lmagan va elektronning spinini e'tiborsiz qoldiradigan) quyidagicha ishlaydi: zarrachaning nuqta qoldirib ketish ehtimoli 1 hozirda t1, nuqtaga yetadi 2 hozirda t 2 , ehtimollik amplitudasining kvadratiga teng. Umumiy amplitudani hamma uchun amplitudalarning yig'indisi sifatida yozish mumkin mumkin bo'lgan usullar- har qanday kelish usuli uchun. Har kim uchun x(t), Har qanday tasavvur qilinadigan traektoriya uchun sodir bo'lishi mumkin bo'lgan amplitudani hisoblash kerak. Keyin ularning barchasi katlanmalıdır. Muayyan yo'lning ehtimoli amplitudasi sifatida nimani qabul qilishimiz kerak? Bizning harakat integrali bizga individual yo'lning amplitudasi qanday bo'lishi kerakligini aytadi. ga proportsional amplituda e tS/s, Qayerda S - yo'lda harakat qilish. Bu shuni anglatadiki, agar biz amplitudaning fazasini kompleks son sifatida ifodalasak, u holda faza burchagi teng bo'ladi. S/ h. Harakat S vaqt davomida energiya o'lchamiga ega va Plank doimiysi bir xil o'lchamga ega. Bu kvant mexanikasi qachon kerakligini aniqlaydigan doimiy ko'rsatkich.

Va bu erda hammasi qanday ishlaydi. Barcha yo'llar uchun harakatga ruxsat bering S soniga nisbatan juda katta bo'ladi h. Ba'zi yo'l amplitudaning qandaydir kattaligiga olib kelsin. Keyingi yotqizilgan yo'lning bosqichi butunlay boshqacha bo'lib chiqadi, chunki juda katta S hatto kichik o'zgarishlar S fazani keskin o'zgartirish h juda kam). Bu shuni anglatadiki, qo'shni yo'llar qo'shilganda odatda o'z hissalarini o'chiradi. Va faqat bitta sohada bunday emas - yo'l ham, uning qo'shnisi ham - birinchi taxminda ikkalasi ham bir xil fazaga ega (yoki, aniqrog'i, deyarli bir xil harakat, ichida o'zgarib turadi). h). Faqat shunday yo'llar hisobga olinadi. Va cheklovchi holatda, qachon Plank doimiysi h nolga moyil bo'lsa, to'g'ri kvant mexanik qonunlarini shunday xulosa qilish mumkin: "Bu barcha ehtimollik amplitudalarini unuting. Zarracha haqiqatan ham maxsus yo'l bo'ylab harakatlanadi - aynan qaysi yo'l bo'ylab S birinchi yaqinlashuvda o'zgarmaydi. Bu eng kam harakat tamoyili va kvant mexanikasi o'rtasidagi bog'liqlikdir. Kvant mexanikasini shu tarzda shakllantirish mumkinligini 1942 yilda men sizga aytib bergan o'sha o'qituvchining shogirdi janob Bader kashf etgan. [Kvant mexanikasi dastlab amplituda uchun differentsial tenglama (Schrödinger) va ba'zi matritsalar matematikasi (Geyzenberg) yordamida tuzilgan.]

Endi men fizikadagi minimumning boshqa tamoyillari haqida gapirmoqchiman. Bunday ko'plab qiziqarli tamoyillar mavjud. Men ularning hammasini sanab o'tmayman, lekin yana bittasini nomlayman. Keyinchalik biriga yetganimizda jismoniy hodisa, buning uchun mukammal minimal printsip mavjud, men bu haqda sizga aytib beraman. Va endi men maydon uchun differentsial tenglama yordamida elektrostatikani tasvirlash shart emasligini ko'rsatmoqchiman; Buning o'rniga ba'zi bir integral maksimal yoki minimal bo'lishini talab qilish mumkin. Boshlash uchun, zaryad zichligi hamma joyda ma'lum bo'lgan holatni olaylik, lekin biz fazoning istalgan nuqtasida ph potentsialini topishimiz kerak. Javob bo'lishi kerakligini allaqachon bilasiz:

Xuddi shu narsani aytishning yana bir usuli quyidagicha: integralni hisoblash kerak U*

hajm integralidir. U butun kosmosda olinadi. Potensial ph ni to'g'ri taqsimlash bilan (x, y,z) bu ifoda minimal darajaga etadi.

Elektrostatikaga oid ushbu ikkala bayonot ham ekvivalent ekanligini ko'rsatishimiz mumkin. Faraz qilaylik, biz ixtiyoriy ph funksiyasini tanladik. Biz buni ph uchun olganimizda ko'rsatmoqchimiz to'g'ri qiymat potentsial _ph plyus kichik og'ish f, keyin kichiklikning birinchi tartibida o'zgarish U* nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz yozamiz

bu erda ph biz qidirayotgan narsa; lekin biz o'zgarish uchun nima bo'lishi kerakligini ko'rish uchun ph ni o'zgartiramiz U* kichiklikning birinchi tartibida bo'lib chiqdi. Birinchi a'zoda U* yozishimiz kerak

Buni integratsiya qilish kerak x, y va tomonidan z. Va bu erda xuddi shu hiyla o'zini taklif qiladi: qutulish df/ dx, ustidan integratsiya qilamiz X qismlarda. Bu ph ga nisbatan qo'shimcha farqlanishiga olib keladi X. Bu xuddi shu asosiy g'oya bo'lib, biz hosilalardan xalos bo'ldik t. Biz tenglikdan foydalanamiz

Integratsiyalashgan atama nolga teng, chunki biz f ni cheksizlikda nolga teng deb hisoblaymiz. (Bu ē ning qachon yo'qolishiga to'g'ri keladi t 1 Va t 2 . Shunday qilib, bizning printsipimiz quyidagicha aniqroq ifodalangan: U* o'ng uchun φ boshqalarga qaraganda kamroq ph(x, y,z), cheksizlikda bir xil qiymatlarga ega bo'lish.) Keyin biz bilan ham xuddi shunday qilamiz da va z bilan. Bizning integral DU* ga aylanadi

Har qanday ixtiyoriy f uchun bu o'zgarish nolga teng bo'lishi uchun f dagi koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak. Ma'nosi,

Biz eski tenglamamizga qaytdik. Shunday qilib, bizning "minimal" taklifimiz to'g'ri. Hisob-kitoblarni biroz o'zgartirish orqali umumlashtirish mumkin. Keling, hamma narsani komponent-komponentni tavsiflamasdan, orqaga qaytaylik va qismlarga bo'lingan holda birlashaylik. Keling, quyidagi tenglamani yozishdan boshlaylik:

Chap tomonni farqlash orqali men uning o'ng tomoniga to'liq teng ekanligini ko'rsata olaman. Ushbu tenglama qismlar bo'yicha integratsiya uchun javob beradi. Bizning integralimizda DU* almashtiramiz Vph*Vf n va fV 2 ph+V*(fVph) va keyin buni hajm bo'yicha integrallang. Hajm integralidan keyingi divergensiya atamasi sirt integrali bilan almashtiriladi:

Va biz butun fazoda integrallashayotganimiz sababli, bu integraldagi sirt cheksizlikda yotadi. Demak, f=0 va oldingi natijani olamiz.

Endigina biz o'zimiz bo'lgan muammolarni qanday hal qilishni tushuna boshlaymiz biz bilmaymiz barcha to'lovlar qaerda joylashgan. Aytaylik, bizda zaryadlar qandaydir tarzda taqsimlangan o'tkazgichlarimiz bor. Agar barcha o'tkazgichlardagi potentsiallar sobit bo'lsa, bizning minimal printsipimiz hali ham qo'llanilishi mumkin. Integratsiya U* biz faqat barcha o'tkazgichlardan tashqarida joylashgan maydonga chizamiz. Ammo biz o'tkazgichlarda (ph) ni o'zgartira olmaganimiz uchun, ularning yuzasida f = 0 va sirt integrali

faqat o'tkazgichlar orasidagi bo'shliqlarda bajarilishi kerak. Va, albatta, biz yana Puasson tenglamasini olamiz

Shuning uchun biz asl integralimiz ekanligini ko'rsatdik U* Har biri o'zgarmas potentsialda bo'lgan o'tkazgichlar orasidagi bo'shliqda hisoblanganda ham minimal darajaga etadi [bu har bir sinov funktsiyasi ph (x, y,z) qachon o'tkazgichning berilgan potentsialiga teng bo'lishi kerak (x, y,z) - o'tkazgich sirtining nuqtalari]. Zaryadlar faqat o'tkazgichlarda joylashganida qiziqarli maxsus holat mavjud. Keyin

va bizning minimal printsipimiz shuni ko'rsatadiki, har bir o'tkazgich o'zining oldindan belgilangan potentsialiga ega bo'lsa, ular orasidagi potentsiallar integral bo'lishi uchun mos keladi. U* imkon qadar kichik bo'lib chiqadi. Bu integral nima? Vph atamasi elektr maydonidir. Demak, integral elektrostatik energiyadir. To'g'ri maydon - bu potentsial gradient sifatida olingan barcha maydonlar ichida eng kichik umumiy energiyaga ega bo'lgan yagona maydon.

Men ushbu natijadan biron bir muammoni hal qilish uchun foydalanmoqchiman va bularning barchasi haqiqiy amaliy ahamiyatga ega ekanligini ko'rsatmoqchiman. Aytaylik, men silindrsimon kondansatör shaklida ikkita o'tkazgichni oldim.

Ichki o'tkazgichning potentsiali, aytaylik, V, tashqisi esa nolga teng. Ichki o'tkazgichning radiusi teng bo'lsin A, va tashqi - b. Endi biz ular orasidagi potentsiallarning taqsimlanishini taxmin qilishimiz mumkin har qanday. Ammo olsak to'g'ri ph qiymati va hisoblang
(e 0 /2) ∫ (Vph) 2 dV u holda tizimning energiyasi 1/2CV 2 bo'lishi kerak.

Shunday qilib, bizning printsipimiz yordamida biz sig'imni ham hisoblashimiz mumkin BILAN. Agar biz noto'g'ri potentsial taqsimotni olsak va ushbu usul bilan kondansatkichning sig'imini baholashga harakat qilsak, biz ham kelamiz. katta ahamiyatga ega belgilangan quvvatda V. Haqiqiy qiymatiga to'liq mos kelmaydigan har qanday taxmin qilingan ph potentsiali ham C ning noto'g'ri qiymatiga olib keladi, bu kerak bo'lganidan kattaroqdir. Ammo noto'g'ri tanlangan potentsial cp hali ham taxminan taxminiy bo'lsa, u holda sig'im BILAN u allaqachon yaxshi aniqlik bilan chiqadi, chunki C dagi xato ph dagi xato bilan solishtirganda ikkinchi darajali qiymatdir.

Aytaylik, men silindrsimon kondansatkichning sig'imini bilmayman. Keyin uni bilish uchun men ushbu printsipdan foydalanishim mumkin. Men eng past qiymatga etgunimcha ph ning turli funktsiyalarini potentsial sifatida sinab ko'raman BILAN. Masalan, men doimiy maydonga mos keladigan potentsialni tanladim, deylik. (Albatta, siz bilasizki, bu erda maydon haqiqatan ham doimiy emas; u 1/r kabi o'zgaradi) Agar maydon doimiy bo'lsa, bu potentsial masofaga chiziqli bog'liqligini anglatadi. Supero'tkazuvchilar ustidagi kuchlanish kerakli darajada bo'lishi uchun ph funktsiyasi shaklga ega bo'lishi kerak

Bu funksiya ga teng V da r=a, r uchun nol =b, va ular orasida - ga teng doimiy qiyalik mavjud. V/(b—A). Shunday qilib, integralni aniqlash uchun U*, faqat bu gradientning kvadratini e o /2 ga ko'paytirish va butun hajm bo'yicha integrallash kerak. Keling, birlik uzunlikdagi silindr uchun ushbu hisobni amalga oshiramiz. Radiusli hajm elementi r 2prdr ga teng. Integratsiyalash orqali men birinchi urinishim quyidagi imkoniyatlarni berishini topdim:

Shunday qilib, men sig'im uchun formulani olaman, bu noto'g'ri bo'lsa ham, qandaydir taxminiydir:

Albatta, bu to'g'ri javobdan farq qiladi. C \u003d 2πe 0 / ln (b / a), lekin umuman olganda bu unchalik yomon emas. Keling, uni bir nechta qiymatlar uchun to'g'ri javob bilan solishtirishga harakat qilaylik. b/a. Men hisoblagan raqamlar quyidagi jadvalda ko'rsatilgan.

Hatto qachon b/a=2(va bu allaqachon doimiy va chiziqli maydonlar o'rtasida juda katta farqlarga olib keladi), men hali ham juda toqatli taxminni olaman. Javob, albatta, kutilganidek, biroz yuqoriroq. Ammo katta tsilindrning ichiga yupqa sim qo'yilgan bo'lsa, unda hamma narsa ancha yomonroq ko'rinadi. Keyin maydon juda kuchli o'zgaradi va uni doimiy maydon bilan almashtirish yaxshi narsaga olib kelmaydi. b/a=100 bilan javobni deyarli ikki baravar oshiramiz. Kichkina uchun b/a pozitsiyasi ancha yaxshi ko'rinadi. Qarama-qarshi chegarada, o'tkazgichlar orasidagi bo'shliq juda keng bo'lmaganda (aytaylik, b / a = 1,1 da), doimiy maydon juda yaxshi yaqinlikdir, u qiymatni beradi. BILAN foizning o'ndan bir qismigacha aniq.

Va endi men sizga bu hisobni qanday yaxshilashni aytaman. (Sizga silindr uchun javob, albatta, mashhur, lekin xuddi shu usul boshqalar uchun ishlaydi g'ayrioddiy shakllar kondensatorlar, ular uchun siz to'g'ri javobni bilmasligingiz mumkin.) Keyingi qadam, biz bilmaydigan haqiqiy ph potentsialining yaxshiroq taxminiyligini topishdir. Aytaylik, siz ph ning doimiy va ko'rsatkichini sinab ko'rishingiz mumkin va hokazo.Ammo haqiqiy ph ni bilmasangiz, eng yaxshi yaqinlashuvga ega ekanligingizni qayerdan bilasiz? Javob: Hisoblang BILAN; qanchalik past bo'lsa, haqiqatga yaqinroq bo'ladi. Keling, bu fikrni sinab ko'raylik. Potensial chiziqli emas, aytaylik, r da kvadratik va elektr maydoni doimiy emas, balki chiziqli bo'lsin. Eng umumiy qachon ph=O ga aylanadigan kvadratik shakl r=b va ph=F da at r=a, bu:

bu yerda a doimiy son. Ushbu formula avvalgisidan biroz murakkabroq. U kvadratik va chiziqli hadni o'z ichiga oladi. Undan dala olish juda oson. Bu oddiyga teng

Endi bu kvadratga aylantirilishi va hajm bo'yicha birlashtirilishi kerak. Lekin bir daqiqa kuting. a uchun nimani olishim kerak? f uchun men parabolani olishim mumkin, lekin nima? Mana men nima qilaman: sig'imni hisoblang ixtiyoriy a. olaman

Bu biroz chalkash ko'rinadi, lekin maydon kvadratini birlashtirgandan keyin shunday bo'ladi. Endi men o'zim uchun tanlashim mumkin. Haqiqat men tushunmoqchi bo'lgan hamma narsadan pastroq ekanligini bilaman. A o'rniga nima qo'ysam ham, javob juda katta. Ammo men o'yinimni a bilan davom ettirsam va mumkin bo'lgan eng past qiymatni olishga harakat qilsam BILAN, u holda bu eng past qiymat boshqa qiymatlarga qaraganda haqiqatga yaqinroq bo'ladi. Shuning uchun, men endi a ni tanlashim kerak, shuning uchun qiymat BILAN minimal darajaga yetdi. Odatiy differensial hisob-kitobga o'tadigan bo'lsak, men minimal ekanligini ko'raman BILAN a =— bo‘lganda bo‘ladi 2 b/(b+a). Ushbu qiymatni formulaga almashtirib, men eng kichik quvvatni olaman

Men bu formula nimani anglatishini tushundim BILAN turli qiymatlarda b/a. Bu raqamlarga qo'ng'iroq qildim BILAN(kvadrat). Mana taqqoslanadigan jadval BILAN(kvadrat) bilan BILAN(to'g'ri).

Misol uchun, radius nisbati 2: 1 bo'lsa, men 1,444 ni olaman. Bu to'g'ri javobga juda yaxshi yaqinlik, 1.4423. Hatto katta bo'lsa ham Ya yaqinlik juda yaxshi bo'lib qolmoqda - bu juda ko'p birinchisidan yaxshiroq yaqinlashishlar. Hatto b/a=10:1 da ham chidash mumkin bo'lib qoladi (faqat 10% ortiqcha baholanadi). Katta tafovut faqat 100:1 nisbatda bo'ladi. Men tushunaman BILAN 0,267 o‘rniga 0,346 ga teng. Boshqa tomondan, 1,5 radius nisbati uchun kelishuv juda yaxshi, lekin uchun b/a=1,1 javob 10.492070 oʻrniga 10.492065. Yaxshi javob kutish kerak bo'lgan joyda, u juda yaxshi bo'lib chiqadi.

Men bu misollarning barchasini, birinchidan, minimal harakat tamoyilining nazariy ahamiyatini va umuman, minimalning barcha tamoyillarini ko'rsatish uchun, ikkinchidan, ularning amaliy foydaliligini ko'rsatish uchun keltirdim, lekin imkoniyatlarni hisoblash uchun umuman emas. Biz buni allaqachon juda yaxshi bilamiz. Boshqa har qanday shakl uchun siz bir nechta noma'lum parametrlarga ega (masalan, a) taxminiy maydonni sinab ko'rishingiz va ularni minimal darajaga moslashingiz mumkin. Boshqa yo'l bilan hal qilib bo'lmaydigan muammolar bo'yicha ajoyib raqamli natijalarga erishasiz.

Birinchi marta Jeykobi tomonidan aniq ifodalangan eng kam harakat printsipi Gamilton printsipiga o'xshaydi, ammo kamroq umumiy va isbotlash qiyinroq. Bu tamoyil faqat bog'lanishlar va kuch funktsiyasi vaqtga bog'liq bo'lmagan va shuning uchun tirik kuchning integrali mavjud bo'lgan holatlarga nisbatan qo'llaniladi.

Ushbu integral quyidagicha ko'rinadi:

Yuqorida aytilgan Gamilton printsipi integralning o'zgarishini bildiradi

Haqiqiy harakatning boshqa cheksiz yaqin harakatga o'tishida nolga teng bo'lib, u tizimni bir xil holatdan o'tkazadi. boshlang'ich pozitsiyasi bir xil vaqt ichida bir xil oxirgi pozitsiyaga.

Yakobi printsipi, aksincha, vaqtga bog'liq bo'lmagan xususiyatni, harakatni ifodalaydi. Yakobi integralni ko'rib chiqadi

harakatni belgilovchi. U o'rnatgan printsip shuni ko'rsatadiki, biz tizimning haqiqiy harakatini tizimni bir xil boshlang'ich holatdan bir xil yakuniy holatga olib keladigan boshqa cheksiz yaqin harakat bilan solishtirganda, bu integralning o'zgarishi nolga teng. Bunday holda, biz sarflangan vaqt oralig'iga e'tibor bermaymiz, lekin biz (1) tenglamani, ya'ni haqiqiy harakatdagi kabi h doimiy qiymatining bir xil qiymatiga ega bo'lgan ishchi kuchi tenglamasini kuzatamiz.

Bu zarur shart ekstremum, umuman olganda, integralning (2) minimaliga olib boradi, eng kichik harakat tamoyilining nomi shundan kelib chiqadi. Minimal shart eng tabiiy ko'rinadi, chunki T ning qiymati asosan ijobiydir va shuning uchun integral (2) albatta minimal bo'lishi kerak. Minimalning mavjudligi faqat vaqt oralig'i etarlicha kichik bo'lsa, qat'iy isbotlanishi mumkin. Bu taklifning isbotini Darbuning sirtlar nazariyasiga oid mashhur kursidan topish mumkin. Biroq, biz buni bu erda taqdim etmaymiz va shartni chiqarish bilan cheklanamiz

432. Eng kam harakat tamoyilining isboti.

Haqiqiy hisoblashda biz Gamilton teoremasini isbotlashda mavjud bo'lmagan bitta qiyinchilikka duch kelamiz. t o'zgaruvchisi endi o'zgaruvchanlikdan mustaqil bo'lib qolmaydi; shuning uchun q i va q ning o‘zgarishlari. t ning (1) tenglamadan kelib chiqadigan murakkab munosabat bilan o'zgarishi bilan bog'liq. Ushbu qiyinchilikni engishning eng oson yo'li mustaqil o'zgaruvchini qiymatlari doimiy vaqtga bog'liq bo'lmagan chegaralar orasida joylashganga o'zgartirishdir. Chegaralari t dan mustaqil deb qabul qilingan yangi mustaqil o‘zgaruvchi bo‘lsin. Tizimni ko'chirishda parametrlar va t bu o'zgaruvchining funktsiyalari bo'ladi

Astarlangan q harflar q parametrlarining vaqtga nisbatan hosilalarini bildirsin.

Bog'lanishlar vaqtdan mustaqil deb faraz qilinganligi sababli, Dekart koordinatalari x, y, z q ning vaqtni o'z ichiga olmaydigan funktsiyalari. Shuning uchun ularning hosilalari q ning chiziqli bir jinsli funktsiyalari bo'ladi va 7 koeffitsientlari q ning funksiyalari bo'lgan q ning bir jinsli kvadrat shakli bo'ladi. Bizda ... bor

q ning vaqt hosilalarini farqlash uchun q ning hosilalarini (q) qavslar bilan belgilaymiz, q ning hosilalarini q ga nisbatan olingan va shunga mos ravishda qo'yiladi.

keyin bizda bo'ladi

va yangi mustaqil o'zgaruvchi A orqali ifodalangan integral (2) shaklni oladi;

Hosilni tirik kuch teoremasi yordamida yo'q qilish mumkin. Haqiqatan ham, tirik kuchning ajralmas qismi bo'ladi

Bu ifodani formulaga almashtirib, (2) integralni shaklga keltiramiz

Harakatni belgilovchi integral shunday qilib yakuniy shaklni oldi (3). Integratsiya kattaliklarning kvadrat shaklining kvadrat ildizidir

(3) integral ekstremallarining differensial tenglamalari aynan Lagranj tenglamalari ekanligini ko'rsatamiz. O'zgarishlarni hisoblashning umumiy formulalariga asoslangan ekstremal tenglamalar quyidagilar bo'ladi:

Biz tenglamalarni 2 ga ko'paytiramiz va qisman farqlashni amalga oshiramiz, unda mavjud emasligini hisobga olsak, indeksni yozmasak, biz olamiz.

Bular mustaqil o'zgaruvchida ifodalangan ekstremal tenglamalardir.Endi vazifa mustaqil o'zgaruvchiga qaytishdir.

G ning ikkinchi darajali bir jinsli funksiyasi va birinchi darajali bir jinsli funksiyasi bo'lgani uchun bizda

Boshqa tomondan, ekstremallar tenglamalarida hosila omillariga, yuqorida ko'rganimizdek, almashtirishga olib keladigan tirik kuch teoremasini qo'llash mumkin.

Barcha almashtirishlar natijasida ekstremal tenglamalar shaklga keltiriladi

Shunday qilib, biz Lagrange tenglamalariga keldik.

433. Harakatlanuvchi kuchlar bo'lmagan holat.

Qachon bo'lsa harakatlantiruvchi kuchlar yo'q, ishchi kuchi uchun tenglama bor va bizda bor

Integralning minimal bo'lishi sharti bu holat bunda -10 ning mos keladigan qiymati eng kichik bo'lishi kerak. Shunday qilib, harakatlantiruvchi kuchlar mavjud bo'lmaganda, tirik kuch bir xil qiymatni saqlab qolgan barcha harakatlar orasida, eng qisqa vaqt ichida tizimni dastlabki holatidan oxirgi holatiga olib keladigan haqiqiy harakatdir.

Agar tizim qo'zg'almas sirt bo'ylab harakatlanadigan yagona nuqtaga qisqartirilsa, u holda sirt bo'ylab bir xil tezlikda amalga oshiriladigan barcha harakatlar orasidagi haqiqiy harakat nuqta boshlang'ich holatidan yakuniy holatga o'tadigan harakatdir. eng qisqasiga

vaqt oralig'i. Boshqacha qilib aytganda, nuqta sirtda o'zining ikkita pozitsiyasi orasidagi eng qisqa chiziqni, ya'ni geodezik chiziqni tasvirlaydi.

434. Izoh.

Eng kam harakat printsipi tizimning bir necha erkinlik darajasiga ega ekanligini nazarda tutadi, chunki agar faqat bitta erkinlik darajasi mavjud bo'lsa, harakatni aniqlash uchun bitta tenglama etarli bo'ladi. Bu holda harakatni tirik kuch tenglamasi bilan to'liq aniqlash mumkin bo'lganligi sababli, haqiqiy harakat bu tenglamani qanoatlantiradigan yagona harakat bo'ladi va shuning uchun boshqa hech qanday harakat bilan solishtirib bo'lmaydi.

ENG KAM HARAKAT PRINSIBI

Mexanikaning o'zgaruvchan tamoyillaridan biri, Kromga ko'ra, ma'lum bir mexanik harakatlar sinfi uchun bir-biri bilan taqqoslangan. tizim qaysi jismoniy uchun amal qiladi. qiymat, deyiladi harakat, eng kichik (aniqrog'i, statsionar) qiymatga ega. Odatda N. d. p. ikki shakldan birida qo'llaniladi.

a) Gamilton ko'rinishidagi N.d.p. - Ostrogradskiy bir xil vaqt oralig'ida amalga oshirilgan tizimning bir konfiguratsiyadan ikkinchisiga (birinchisiga yaqin) kinematik jihatdan mumkin bo'lgan barcha siljishlari orasida haqiqiysi Gamilton harakati S bo'lishini aniqlaydi. eng kichik bo'ling. Mat. bu holda N.d.p.ning ifodasi quyidagi koʻrinishga ega boʻladi: dS = 0, bu yerda d toʻliq boʻlmagan (izoxron) oʻzgaruvchanlik belgisi (yaʼni toʻliq oʻzgaruvchanlikdan farqli oʻlaroq, vaqt unda oʻzgarmaydi).

b) Maupertuis - Lagranj ko'rinishidagi N.D.P. tizimning umumiy energiyasining bir xil qiymatini saqlab qolgan holda amalga oshiriladigan tizimning bir konfiguratsiyadan unga yaqin bo'lgan boshqa konfiguratsiyaga kinematik jihatdan mumkin bo'lgan barcha siljishlari orasida k- uchun amal qilishini aniqlaydi. Eng katta Lagrange harakati V eng kichik bo'ladi. Mat. bu holda N.d.p.ning ifodasi DW=0 koʻrinishga ega boʻlib, bu yerda D toʻliq oʻzgaruvchanlik belgisidir (Gamilton-Ostrogradskiy prinsipidan farqli oʻlaroq, bu yerda nafaqat koordinatalar va tezliklar, balki tizimning oʻtish vaqti ham oʻzgaradi. bir konfiguratsiyadan boshqasiga o'tish). N. d. p. Bu holda, u faqat konservativ va, bundan tashqari, golonomik tizimlar uchun amal qiladi, birinchi holatda esa NDP umumiyroq va ayniqsa, konservativ bo'lmagan tizimlarga ham kengaytirilishi mumkin. N. d. p. mexanik harakatning ur-tionlarini tuzish uchun ishlatiladi. tizimlari va bu harakatlarda umumiy Sit o'rganish uchun. N. D. P. tushunchalarini tegishli umumlashtirish bilan u uzluksiz muhit mexanikasida, elektrodinamikada va kvantda qo'llanilishini topadi. mexanika va boshqalar.

• - xuddi shunday...

  Jismoniy entsiklopediya

• - m-operator, minimizatsiya operatori, - boshqa funktsiyalardan yangi funksiyalarni qurish usuli, quyidagi ...

  Matematik entsiklopediya

• - Kromga ko'ra, mexanik harakatlarning ma'lum bir sinfi uchun bir-biri bilan taqqoslanadigan mexanikaning variatsion tamoyillaridan biri. tizim harakat minimal bo'lgan tizim amalga oshiriladi ...

  Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

• - mexanikaning eng muhim qonunlaridan biri, rus olimi M.V. Ostrogradskiy...

  Rus ensiklopediyasi

• Yuridik atamalarning lug'ati

• - bir qator davlatlarning konstitutsiyaviy huquqida xalqaro huquqning umume'tirof etilgan tamoyillari va normalari bo'lgan tamoyil ajralmas qismi huquqiy tizim tegishli mamlakat ...

  Huquqiy entsiklopediya

• - bir qator davlatlarning konstitutsiyaviy huquqida xalqaro huquqning umume'tirof etilgan normalari milliy huquq tizimining ajralmas qismi bo'lgan printsip ...

  Katta qonun lug'ati

• portlovchi zaryad markazidan eng qisqa masofa erkin sirt- chiziq bo'yicha nai-malkoto qarshilik - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...

  Qurilish lug'ati

• - agar deformatsiyalanuvchi jismning nuqtalarini turli yo'nalishlarda siljitish mumkin bo'lsa, bu tananing har bir nuqtasi eng kam qarshilik yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi ...

  Metallurgiya ensiklopedik lug'ati

• - mavjud aktsiyalarni eng past narxda yoki eng past sotish narxida baholash odat tusiga kirgan qoida ...

  Biznes atamalarining lug'ati

• - bir qator davlatlarning konstitutsiyaviy huquqida - xalqaro huquqning umume'tirof etilgan tamoyillari va normalari tegishli davlat huquqiy tizimining ajralmas qismi bo'lgan printsip va ...

  Iqtisodiyot va huquqning entsiklopedik lug'ati

• - mexanikaning o'zgaruvchan tamoyillaridan biri, unga ko'ra mexanik tizimning harakatlarining ma'lum bir sinfi uchun bir-biri bilan solishtirganda, haqiqiy fizik miqdor, ...
• - Gauss printsipi bilan bir xil ...

  Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

• - mexanikaning variatsion tamoyillaridan biri; eng kam harakat tamoyili bilan bir xil ...

  Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

• - mexanikaning o'zgaruvchan tamoyillaridan biri, unga ko'ra mexanik tizimning harakatlarning ma'lum bir sinfi uchun bir-biri bilan solishtirganda, harakat minimal bo'lgan ...

  Katta ensiklopedik lug'at

• - Kitob. eng ko'p tanlang oson yo'l harakatlar, to'siqlardan qochish, qiyinchiliklardan qochish ...

  Rus adabiy tilining frazeologik lug'ati

Kitoblarda "EN AZ HARAKAT PRINSIBI"

2.5.1. Qurilmaning ishlash printsipi

Ko'ngilochar elektronika kitobidan [Foydali sxemalarning shablonsiz ensiklopediyasi] muallif Kashkarov Andrey Petrovich

2.5.1. Qurilmaning ishlash printsipi Qurilmaning ishlash printsipi oddiy. HL1 LED tomonidan chiqarilgan yorug'lik oqimi ob'ektdan aks ettirilganda va fotodetektorga tushganda, 2 mikrosxemada o'rnatilgan elektron blok - KR1401CA1 komparatori va KR1006VI1 taymerida hosil bo'ladi.

Terafning ishlash printsipi

"Yashirin bilim" kitobidan. Agni Yoga nazariyasi va amaliyoti muallif Rerich Elena Ivanovna

Terafning ishlash printsipi 24.02.39 Siz bilasizki, ob'ektni har bir anglash va tasvirlash shu orqali bizni unga yaqinlashtiradi. Ma'lumki, ob'ektning ruhiy qatlamlari uning terafimiga o'tkazilishi mumkin. Ayniqsa, uzoq olamlarning astral terafimi muhim ahamiyatga ega va

Ishlash uchun eng kam harakat qonunining uchta sharti

"Dipak Chopraning donoligi" kitobidan [Olamning 7 qonuniga rioya qilib, xohlagan narsangizga erishing] muallif Gudman Tim

Eng kam harakat qonunining ishlashi uchun uchta shart. Keling, koinot energiyasining ijodiy oqimini - sevgi energiyasini hayotingizga jalb qilish uchun qanday sharoitlar talab qilinishini ko'rib chiqaylik va shuning uchun eng kam harakat qonuni hayotingizda ishlay boshlashi uchun.

19-bob ENG KAM HARAKAT PRINSIBI

6-kitobdan. Elektrodinamika muallif Feynman Richard Phillips

19-BOB ENG SOʻNGI HARAKAT PRINSIBI Maʼruzadan keyingi qoʻshimcha Men maktabda oʻqib yurganimda, fizika fani oʻqituvchimiz Beyder darsdan keyin meni chaqirib dedi: “Siz hamma narsadan juda charchaganga oʻxshaysiz; qiziqarli narsani tinglang

5. Eng kam harakat tamoyili

"Fizikadagi inqilob" kitobidan muallif de Brogli Lui

5. Eng kam harakat tamoyili umumiy ko'rinish Gamilton printsipi yoki statsionar harakat printsipi deb ataladi. Ushbu tamoyilga ko'ra, hammadan

Ishlash printsipi

"Locksmith's Guide" kitobidan Phillips Bill tomonidan

Ishlash printsipi Tsilindrning aylanish qobiliyati pinlarning holatiga bog'liq bo'lib, ular o'z navbatida tortishish kuchi, kamonlarning ta'siri va kalitning kuchi bilan belgilanadi (yoki tanlash; tanlash haqida ma'lumot uchun 9-bobga qarang). . Kalitsiz, tortishish kuchi va buloqlar ichkariga kirishadi

Statsionar harakat tamoyili

Katta kitobdan Sovet entsiklopediyasi(ST) muallifi TSB

Eng kam harakat tamoyili

TSB

eng kam majburlash printsipi

Muallifning Buyuk Sovet Entsiklopediyasi (NA) kitobidan TSB

2.5.1. Ishlash printsipi

B90 elektr taqsimlash tarmoqlarida o'rni himoyasi kitobidan muallif Bulychev Aleksandr Vitaliyevich

2.5.1. Ishlash printsipi Ikki tomonlama ta'minotli elektr tarmoqlarida va halqali tarmoqlarda an'anaviy haddan tashqari oqim himoyasi tanlab harakat qila olmaydi. Masalan, in elektr tarmog'i ikkita quvvat manbai bilan (2.15-rasm), bu erda har ikki tomonda kalitlar va himoya o'rnatiladi

Ishlash printsipi

Turbo-Gopher kitobidan. Qanday qilib miyangizni sikishni to'xtatish va yashashni boshlash kerak muallif Leushkin Dmitriy

"Uni qayta ishlash" harakat tamoyili, aslida, bir ibora bilan ongsizda jarayonlarning butun majmuasini ishga tushiradigan o'ziga xos "makro" dir, uning maqsadi tanlangan aqliy materialni qayta ishlashdir. Ushbu ishlov beruvchining o'zi 7 xil modulni o'z ichiga oladi, ulardan ba'zilari

Eng kam harakat qonuniga amal qilishni qanday boshlash kerak: uchta qadam

Jozef Merfi, Deyl Karnegi, Ekxart Tolle, Dipak Chopra, Barbara Sher, Nil Uolshning "Kapitalni rivojlantirish bo'yicha qo'llanma" kitobidan muallif Stern Valentin

Eng kam harakat qonuniga amal qilishni qanday boshlash kerak: uchta zarur harakat Eng kam harakat qonuni ishlashi uchun siz nafaqat yuqoridagi uchta shartga rioya qilishingiz, balki uchta amalni bajarishingiz kerak.Birinchi harakat: dunyoni shunday qabul qilishni boshlang Qabul qiling

11. Fizika va eng kichik harakatning aykidosi

muallif Mindell Arnold

11. Fizika va eng kichik harakat aikido U esganda, bu faqat shamoldir. Qachon yomg'ir yog'ayapti, faqat yomg'ir bor. Bulutlar harakatlansa, ular orasidan quyosh porlaydi. Agar siz o'zingizni tushunchaga ochsangiz, demak, siz tushuncha bilan birlashasiz. Va siz undan to'liq foydalanishingiz mumkin. Agar ochsangiz

Leybnitsning eng kam harakat printsipi "Vis Viva"

Shamanizm, fizika va daosizmda geopsixologiya kitobidan muallif Mindell Arnold

Leybnitsning eng kam harakat tamoyili "Vis Viva" Eng kam harakat tamoyili uchun barchamiz Vilgelm Gotfrid Leybnitsdan (1646-1716) minnatdor bo'lishimiz kerak. Birinchi "zamonaviy" fizik va matematiklardan biri Leybnits Nyuton davrida - olimlar ochiqroq bo'lgan davrda yashagan.

Aykido eng kam harakat tamoyilining timsolidir

Shamanizm, fizika va daosizmda geopsixologiya kitobidan muallif Mindell Arnold

Aykido - bu eng kam harakat tamoyilining timsolidir. Bizning psixologiyamiz va texnologiyamiz asosan eng kam harakat g'oyasiga juda yaqin bo'lgan kontseptsiyaga asoslangan. Biz doimo o'zimiz uchun hayotni osonlashtirishga harakat qilamiz. Hozirgi kompyuterlar yetarlicha tez emas; Ular majbur

P. Maupertuis) 1744 yilda darhol uning universal tabiatini ko'rsatib, uni optika va mexanikaga tegishli deb hisobladi. Bu tamoyildan u yorug'likning aks etishi va sinishi qonunlarini chiqardi.

Entsiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Matematik tadqiqotlar va Fermat printsipini ishlab chiqish Kristian-Gyuygens tomonidan amalga oshirildi, shundan so'ng mavzu 17-asrning eng yirik olimlari tomonidan faol muhokama qilindi. Leybnits 1669 yilda fizikaga asosiy harakat tushunchasini kiritdi: "Harakatning rasmiy harakatlari ... materiya miqdori, ular bosib o'tadigan masofalar va tezlikning mahsulotiga proportsionaldir".

  Mexanika asoslarini tahlil qilish bilan bir qatorda variatsion masalalarni yechish usullari ishlab chiqildi. Isaak Nyuton o'zining "Tabiiy falsafaning matematik asoslari" asarida (1687) birinchi variatsion muammoni qo'ydi va hal qildi: qarshilik ko'rsatadigan muhitda o'z o'qi bo'ylab harakatlanadigan inqilob jismining bunday shaklini topish, buning uchun qarshilik eng kam bo'ladi. . Deyarli bir vaqtning o'zida boshqa variatsion muammolar paydo bo'ldi: braxistoxron muammosi (1696), katenarning shakli va boshqalar.

  1744 yilda hal qiluvchi voqealar sodir bo'ldi. Leonhard-Euler o'zgarishlarni hisoblash bo'yicha birinchi umumiy asarini ("Maksimum yoki minimal xususiyatlarga ega bo'lgan egri chiziqlarni topish usuli") va Per-Lui de Mopertuis o'zining "Tabiatning turli qonunlarini uyg'unlashtirish" risolasida nashr etdi. shu paytgacha bir-biriga mos kelmaydigan bo'lib tuyulardi", eng kam harakat tamoyilining birinchi formulasini berdi: "Nur tomonidan ta'qib qilinadigan yo'l - bu harakat miqdori eng kichik bo'ladigan yo'ldir". U yorug'likning ham aks etishi, ham sinishi uchun bu qonunning bajarilishini ko'rsatdi. Mopertuisning maqolasiga javoban Eyler (1744-yilning o'zida) "Otgan jismlarning qarshilik ko'rsatmaydigan muhitda harakatini maksimal va minimallar usuli bilan aniqlash to'g'risida" ishini nashr etdi va bu ishida u Maupertuis printsipi umumiy mexanik xarakterga ega: "Barcha tabiat hodisalari har qanday maksimal yoki minimal qonunga rioya qilganligi sababli, otilgan jismlarni tasvirlaydigan egri chiziqlar uchun, ularga har qanday kuchlar ta'sir qilganda, maksimal yoki minimal xususiyat sodir bo'lishiga shubha yo'q. . Eyler ushbu qonunni yanada shakllantirdi: jismning traektoriyasi minimal qiladi ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Keyin u bir xil tortishish maydonidagi harakat qonunlarini va boshqa bir qancha holatlarda uni qo'lladi.

  1746 yilda Maupertuis yangi ish Eyler fikriga qo'shildi va o'z printsipining eng umumiy variantini e'lon qildi: «Tabiatda qandaydir o'zgarishlar sodir bo'lganda, bu o'zgarish uchun zarur bo'lgan harakat miqdori mumkin bo'lgan eng kichikdir. Harakat miqdori jismlarning massasi, tezligi va bosib o'tgan masofasining mahsulotidir. Keyinchalik bo'lib o'tgan keng muhokamada Eyler Maupertuisning ustuvorligini qo'llab-quvvatladi va yangi qonunning universal xarakterini ta'kidladi: "butun dinamika va gidrodinamika faqat maksimal va minimal usuli yordamida hayratlanarli darajada osonlik bilan ochilishi mumkin".

  1760-1761 yillarda Jozef-Lui-Lagranj funktsiyaning o'zgarishining qat'iy kontseptsiyasini kiritgandan so'ng, o'zgarishlar hisobiga zamonaviy ko'rinish bergan va eng kichik ta'sir printsipini ixtiyoriy mexanik tizimga (ya'ni nafaqat bepul material nuqtalari). Bu analitik mexanikaning boshlanishi edi. Karl Gustav Yakob Yakobi 1837-yilda printsipni yana bir umumlashtirishni amalga oshirdi - u muammoni geometrik jihatdan, evklid bo'lmagan metrikaga ega bo'lgan konfiguratsiya fazosida variatsion muammoning ekstremallarini topish kabi ko'rib chiqdi. Xususan, Yakobi tashqi kuchlar bo'lmaganda tizimning traektoriyasi konfiguratsiya fazosida geodezik chiziq ekanligini ta'kidladi.

  Gamiltonning yondashuvi universal va fizikaning matematik modellarida, ayniqsa kvant mexanikasida juda samarali bo'lib chiqdi. Uning evristik kuchi umumiy nisbiylik nazariyasi yaratilishida, Devid Xilbert tortishish maydonining yakuniy tenglamalarini olish uchun Gamilton printsipini qo'llaganida tasdiqlandi (1915).

  Klassik mexanikada

  Eng kam harakat tamoyili mexanikaning Lagranj va Gamilton formulalari uchun asosiy va standart asos bo'lib xizmat qiladi.

  Keling, birinchi navbatda qurilishni shunday ko'rib chiqaylik Lagranj mexanikasi. Bir darajali erkinlikka ega jismoniy tizim misolidan foydalanib, harakat (umumlashtirilgan) koordinatalarga (bir darajadagi erkinlik holatida - bitta koordinata) nisbatan funktsional ekanligini eslaymiz, ya'ni u orqali ifodalanadi. q (t) (\displaystyle q(t)) Shunday qilib, funktsiyaning har bir taxminiy versiyasi q (t) (\displaystyle q(t)) ma'lum bir raqam solishtiriladi - harakat (shu ma'noda, biz funksional sifatida harakatni har qanday narsaga imkon beradigan qoida deb aytishimiz mumkin. berilgan funksiya q (t) (\displaystyle q(t)) aniq belgilangan raqamni hisoblash - shuningdek, harakat deb ataladi). Amal quyidagicha ko'rinadi:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\nuqta) q))(t),t)dt,)

  Qayerda L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\nuqta (q))(t),t)) umumlashgan koordinataga qarab sistemaning Lagranjianidir q (\displaystyle q), uning birinchi marta hosilasi q ˙ (\displaystyle (\nuqta (q))), va shuningdek, ehtimol, aniq vaqtdan t (\displaystyle t). Agar tizim ko'proq erkinlik darajasiga ega bo'lsa n (\displaystyle n), keyin Lagrangian bog'liq Ko'proq umumlashtirilgan koordinatalar q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n) va ularning birinchi marta hosilalari. Shunday qilib, harakat tananing traektoriyasiga qarab skalyar funktsionaldir.

  Harakatning skalyar ekanligi uni har qanday umumlashtirilgan koordinatalarda yozishni osonlashtiradi, asosiysi, tizimning holati (konfiguratsiyasi) ular bilan o'ziga xos tarzda tavsiflanadi (masalan, Dekart koordinatalari o'rniga ular qutbli bo'lishi mumkin). koordinatalar, tizim nuqtalari orasidagi masofalar, burchaklar yoki ularning funktsiyalari va boshqalar. d.).

  Harakat butunlay ixtiyoriy traektoriya uchun hisoblanishi mumkin q (t) (\displaystyle q(t)), qanchalik "yovvoyi" va "g'ayritabiiy" bo'lishidan qat'i nazar. Biroq, klassik mexanikada, mumkin bo'lgan traektoriyalarning butun to'plami orasida, tananing haqiqatda ketadigan faqat bittasi bor. Harakatning statsionarligi printsipi tananing aslida qanday harakatlanishi haqidagi savolga javob beradi:

  Bu shuni anglatadiki, agar tizimning Lagrangiani berilgan bo'lsa, u holda o'zgarishlar hisobi yordamida biz tananing qanday harakat qilishini aniq aniqlashimiz mumkin, birinchi navbatda harakat tenglamalarini - Eyler-Lagranj tenglamalarini olamiz va keyin ularni echamiz. Bu nafaqat mexanika formulasini jiddiy umumlashtirishga, balki har bir aniq masala uchun eng qulay koordinatalarni tanlashga imkon beradi, faqat Dekart bilan cheklanmaydi, bu eng oddiy va eng oson echilgan tenglamalarni olish uchun juda foydali bo'lishi mumkin.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i - H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i - H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\) katta ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\matematik (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\nuqta (q))_(i)-(\matematik (H))(q,p,t)(\big))dt,)

  Qayerda H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\ekviv (\matematik (H))(q_(1),q_(2),\nuqtalar ,q_(N),p_(1),p_(2),\nuqtalar ,p_(N),t) ) berilgan sistemaning Gamilton funksiyasi; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\nuqtalar ,q_(N))- (umumiy) koordinatalar, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\nuqtalar,p_(N))- har bir ma'lum vaqt momentida tizimning dinamik holatini birgalikda tavsiflovchi va har biri vaqtning funktsiyasi bo'lgan, shu bilan tizimning evolyutsiyasini (harakatini) tavsiflovchi konjugat (umumlashtirilgan) impulslar. Bunda sistemaning kanonik Gamilton tenglamalari ko'rinishidagi harakat tenglamalarini olish uchun shu tarzda yozilgan harakatni hammaga mustaqil ravishda o'zgartirish kerak bo'ladi. q i (\displaystyle q_(i)) Va p i (\displaystyle p_(i)).

  Shuni ta'kidlash kerakki, agar printsipial jihatdan masala shartlaridan harakat qonunini topish mumkin bo'lsa, u holda bu avtomatik ravishda Yo'q haqiqiy harakat vaqtida statsionar qiymat qabul qiluvchi funksionalni qurish mumkinligini bildiradi. Misol sifatida qo'shma harakatni keltirish mumkin elektr zaryadlari va monopollar - magnit zaryadlar - elektromagnit maydonda. Ularning harakat tenglamalarini harakatning statsionarligi printsipidan kelib chiqib bo'lmaydi. Xuddi shunday, ba'zi Gamilton tizimlarida bu printsipdan kelib chiqmaydigan harakat tenglamalari mavjud.

  Misollar

  Arzimas misollar Eyler-Lagranj tenglamalari orqali ishlash printsipidan foydalanishni baholashga yordam beradi. Erkin zarracha (massa m va tezlik v) Evklid fazosida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanadi. Eyler-Lagranj tenglamalaridan foydalanib, buni qutbli koordinatalarda quyidagicha ko'rsatish mumkin. Potensial bo'lmasa, Lagrange funktsiyasi oddiygina kinetik energiyaga teng

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\chap( (\nuqta (x))^(2)+(\nuqta (y))^(2)\o'ng)) ps = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar)))\,.)

  Bu yerga ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) barcha x(t) traektoriyalari boʻyicha cheksiz katlamli funksional integratsiyaning shartli belgisidir va ℏ (\displaystyle \hbar)- Plank doimiysi. Biz ta'kidlaymizki, printsipial jihatdan, eksponensialdagi harakat kvant mexanikasidagi evolyutsiya operatorini o'rganayotganda o'zi paydo bo'ladi (yoki paydo bo'lishi mumkin), ammo aniq klassik (kvant bo'lmagan) analogga ega bo'lgan tizimlar uchun u aynan tengdir. odatiy klassik harakat.

  Ushbu ifodani klassik chegarada matematik tahlil qilish - etarlicha katta S / ℏ (\displaystyle S/\hbar), ya'ni xayoliy ko'rsatkichning juda tez tebranishlari bilan - bu integraldagi barcha mumkin bo'lgan traektoriyalarning katta qismi chegarada bir-birini bekor qilishini ko'rsatadi (rasmiy ravishda, qachon S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \o‘ng ko‘rsatkich \infty )). Deyarli har qanday yo'l uchun fazaga kirish to'liq qarama-qarshi bo'lgan yo'l bor va ular nolga teng hissa qo'shadi. Faqat harakat ekstremal qiymatga yaqin bo'lgan traektoriyalar (ko'pgina tizimlar uchun - minimal) kamaytirilmaydi. Bu sof matematik fakt

• 3.1 Tabiatshunoslik tarixidagi ilmiy inqiloblar
• 3.2. Birinchi ilmiy inqilob. Dunyoning geliotsentrik tizimi. Olamlarning ko'pligi haqidagi ta'limot
• 3.3. Ikkinchi ilmiy inqilob. Klassik mexanika va eksperimental tabiatshunoslikning yaratilishi. Dunyoning mexanik tasviri
• 3.4. Mexanik dunyoda kimyo
• 3.5. Hozirgi zamon tabiatshunosligi va falsafiy metod muammosi
• 3.6. Uchinchi ilmiy inqilob. Tabiatshunoslikning dialektizatsiyasi
• 3.7. Tabiiy fanlarni tozalash
• 3.8. Elektromagnit maydon sohasidagi tadqiqotlar va dunyoning mexanik tasvirining qulashi boshlanishi
• I XX asr tabiatshunosligi
• 4.1.To'rtinchi ilmiy inqilob. Moddaning chuqurligiga kirib borish. Nisbiylik nazariyasi va kvant mexanikasi. Dunyoning mexanik rasmining yakuniy qulashi
• 4.2. Ilmiy-texnik inqilob, uning tabiiy fan komponenti va tarixiy bosqichlari
• 4.3. Zamonaviy tabiatshunoslik panoramasi 4.3.1. XX asr fanining rivojlanish xususiyatlari
• 4.3.2. Mikrokosmos va megadunyo fizikasi. Atom fizikasi
• 4.3.3. Zamonaviy kimyoning asosiy yo'nalishlari bo'yicha yutuqlar
• 4.3.4. XX asr biologiyasi: hayotning molekulyar darajasi haqidagi bilim. Zamonaviy biologiyaning asoslari.
• 4.3.5. Kibernetika va sinergetika
• III bo'lim
• I Fazo va vaqt
• 1.1.Nyutongacha bo’lgan davrda fazo va vaqt haqidagi tasavvurlarning rivojlanishi
• 1. 2. Fazo va vaqt
• 1.3. Uzoq masofa va yaqin masofa. "Maydon" tushunchasining rivojlanishi
• 2.1 Galiley nisbiylik printsipi
• 2.2. Eng kam harakat tamoyili
• 2.3. Maxsus nisbiylik a. Eynshteyn
• 1. Nisbiylik printsipi: tabiatning barcha qonunlari barcha inertial sanoq sistemalarida bir xil.
• 2.4. Umumiy nisbiylik nazariyasining elementlari
• 3. Makroskopik jarayonlarda energiyaning saqlanish qonuni
• 3.1. "Tirik kuch"
• 3.2. Mexanikada ishlash. Mexanikada energiyaning saqlanish va aylanish qonuni
• 3.3. Ichki energiya
• 3.4. Har xil energiya turlarini bir-biriga aylantirish
• 4. Entropiyani oshirish tamoyili
• 4.1. Ideal Carnot tsikli
• 4.2. Entropiya tushunchasi
• 4.3. Entropiya va ehtimollik
• 4.4. Tartib va ​​tartibsizlik. vaqt o'qi
• 4.5. "Maksvellning iblisi"
• 4.6. Koinotning issiqlik o'limi muammosi. Boltsmanning tebranish gipotezasi
• 4.7. Sinergetika. Xaosdan tartibning tug'ilishi
• I Kvant fizikasining elementlari
• 5.1. Yorug'lik tabiati haqidagi qarashlarni rivojlantirish. Plank formulasi
• 5.2. Fotonning energiyasi, massasi va impulsi
• 5.3. De Broyl gipotezasi. Moddaning to'lqin xossalari
• 5.4. Heisenberg noaniqlik printsipi
• 5.5. Bor to'ldiruvchilik printsipi
• 5.6. Kvant fizikasida yaxlitlik tushunchasi. Eynshteyn-Podolskiy-Rozen paradoksi
• 5.7. Ehtimollik to'lqinlari. Shredinger tenglamasi. Kvant mexanikasidagi sababiylik printsipi
• 5.8. Jismoniy tizimning holati. Tabiatdagi dinamik va statistik qonuniyatlar
• 5.9. Relyativistik kvant fizikasi. Antizarralar dunyosi. kvant maydon nazariyasi
• I Yagona maydon nazariyasini qurish sari 6.1. Noeter teoremasi va saqlanish qonunlari
• 6.2. Simmetriya haqida tushuncha
• 6.3. O'lchov simmetriyalari
• 6.4. O'zaro ta'sirlar. Elementar zarrachalarning tasnifi
• 6.5. Yagona maydon nazariyasi tomon. Vakuum simmetriyasining o'z-o'zidan buzilishi g'oyasi
• 6.6. Koinot evolyutsiyasining sinergetik ko'rinishi. Jismoniy ob'ektlar tarixiyligi. Fizikadagi vakuum fizikada dastlabki abstraksiya sifatida
• 6.7. Antropik printsip. Koinotning "nozik sozlanishi"
• IV bo'lim
• 1. “Jamiyat-tabiat” tizimida kimyo
• I Kimyoviy belgilar
• V bo'lim
• I Hayotning kelib chiqishi haqidagi nazariyalar
• 1.1. kreatsionizm
• 1.2. Spontan (spontan) avlod
• 1.3. Barqaror holat nazariyasi
• 1.4. Panspermiya nazariyasi
• 1.5. Biokimyoviy evolyutsiya
• 2.1. Lamarkning evolyutsiya nazariyasi
• 2.2. Darvin, Uolles va tabiiy tanlanish orqali turlarning kelib chiqishi
• 2.3. Evolyutsiyaning zamonaviy kontseptsiyasi
• 3.1. Paleontologiya
• 3.2. Geografik taqsimot
• 3.3. Tasniflash
• 3.4. Oʻsimlik va hayvonot yetishtirish
• 3.5. Qiyosiy anatomiya
• 3.6. Moslashuvchan nurlanish
• 3.7. Qiyosiy embriologiya
• 3.8. Qiyosiy biokimyo
• 3.9. Evolyutsiya va genetika
• VI bo'lim. Inson
• I Inson va sivilizatsiyaning kelib chiqishi
• 1.1.Insonning paydo bo'lishi
• 1.2. Etnogenez muammosi
• 1.3. madaniy genezis
• 1.4. Sivilizatsiyaning paydo bo'lishi
• Men Inson va biosfera
• 7.1.V.I.ning kontseptsiyasi. Vernadskiy biosfera va inson hodisasi haqida
• 7.2. Kosmik tsikllar
• 7.3. Evolyutsiya sikli. Inson kosmik mavjudot sifatida
• I Mundarija
• I bo'lim. Ilmiy uslub 7
• II bo'lim. Tabiiy fanlar tarixi 42
• III bo'lim. Zamonaviy fizika elementlari 120
• IV bo'lim. Kimyoning asosiy tushunchalari va tasavvurlari246
• V bo'lim.. Hayotning kelib chiqishi va evolyutsiyasi 266
• VI bo'lim. Odam 307
• 344007, Rostov-Donu,
• 344019, Rostov-na-Donu, st. Sovetskaya, 57. Chop etish sifati taqdim etilgan slaydlarga mos keladi.

2.2. Eng kam harakat tamoyili

18-asrda ilmiy natijalarni yanada to'plash va tizimlashtirish sodir bo'ldi, bu jismoniy hodisalarni o'rganishda matematik tahlil usullarini muntazam ravishda qo'llash orqali individual ilmiy yutuqlarni dunyoning qat'iy tartibli, izchil rasmiga birlashtirish tendentsiyasi bilan ajralib turdi. Ushbu yo'nalishdagi ko'plab yorqin aqllarning ishi mexanik tadqiqot dasturining asosiy nazariyasi - analitik mexanikani yaratishga olib keldi, uning qoidalari asosida kon'yukturalarning muayyan sinfini tavsiflovchi turli fundamental nazariyalar yaratilgan.

hodisalar: gidrodinamika, elastiklik nazariyasi, aerodinamika va boshqalar.. Analitik mexanikaning eng muhim natijalaridan biri 20-asr oxirida fizikada sodir bo'layotgan jarayonlarni tushunish uchun muhim bo'lgan eng kam ta'sir printsipi (variatsion printsip) hisoblanadi.

Fanda variatsion tamoyillarning paydo bo'lishining ildizlari Qadimgi Yunonistonga borib taqaladi va Iskandariyadan kelgan Heron nomi bilan bog'liq. Har qanday variatsion printsipning g'oyasi ma'lum bir jarayonni tavsiflovchi ba'zi bir qiymatni o'zgartirish (o'zgartirish) va barcha mumkin bo'lgan jarayonlardan ushbu qiymat ekstremal (maksimal yoki minimal) qiymatga ega bo'lganini tanlashdir. Heron yorug'likning aks etish qonunlarini yorug'lik dastasi oynadan aks ettirilganda manbadan kuzatuvchiga o'tgan yo'l uzunligini tavsiflovchi qiymatni o'zgartirish orqali tushuntirishga harakat qildi. U barcha mumkin bo'lgan yo'llardan yorug'lik nuri eng qisqasini (geometrik jihatdan mumkin bo'lgan) tanlaydi degan xulosaga keldi.

17-asrda, ikki ming yil o'tgach, frantsuz matematigi Ferma Heron printsipiga e'tibor qaratdi, uni turli xil sinishi ko'rsatkichlari bo'lgan muhitlarga kengaytirdi va shuning uchun uni vaqt nuqtai nazaridan qayta shakllantirdi. Ferma printsipi shuni ko'rsatadiki, xossalari vaqtga bog'liq bo'lmagan sindiruvchi muhitda ikkita nuqtadan o'tadigan yorug'lik nuri o'zi uchun birinchi nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tishi uchun zarur bo'lgan vaqt minimal bo'lishi uchun o'ziga yo'l tanlaydi. Heron printsipi doimiy sinishi indeksiga ega bo'lgan muhitlar uchun Fermat printsipining alohida holati bo'lib chiqadi.

Fermat tamoyili zamondoshlarning diqqatini tortdi. U bir tomondan tabiatdagi «iqtisod tamoyili»ga, dunyo tuzilishida amalga oshirilgan oqilona ilohiy rejaga eng yaxshi tarzda guvohlik bergan bo‘lsa, ikkinchi tomondan, Nyutonning yorug‘likning korpuskulyar nazariyasiga qarshi chiqdi. Nyutonning fikriga ko'ra, zichroq muhitda yorug'lik tezligi kattaroq bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ldi, Ferma printsipidan kelib chiqqan holda, bunday muhitda yorug'lik tezligi kichikroq bo'ladi.

1740 yilda matematik Per Lui Moro de Maupertuis Fermat tamoyilini tanqidiy tahlil qilib, ilohiyot nazariyasiga amal qildi.

"Bir-biriga mos kelmaydigan tabiatning turli qonunlari to'g'risida" asarida eng kam harakat tamoyili e'lon qilingan koinotning mukammalligi va eng tejamkor joylashuvi haqidagi mantiqiy motivlar. Maupertuis Fermatning eng qisqa vaqtini tashlab, yangi kontseptsiyani - harakatni kiritdi. Harakat tananing impulsi (impulsi R = mV) va tananing bosib o'tgan yo'lining ko'paytmasiga teng. Vaqtning kosmosdan ustunligi yo'q va aksincha. Shuning uchun yorug'lik uni bosib o'tish uchun eng qisqa yo'lni va eng qisqa vaqtni tanlamaydi, lekin Mopertuisning fikriga ko'ra, "ko'proq real iqtisodiyot beradigan yo'lni tanlaydi: u yuradigan yo'l harakatning kattaligi bo'lgan yo'ldir. minimaldir." Eng kam harakat tamoyili Eyler va Lagranj asarlarida yanada rivojlangan; u Lagrange matematik tahlilning yangi sohasini - o'zgaruvchanlik hisobini ishlab chiqishga asos bo'ldi. Bu tamoyil Gamilton asarlarida yanada umumlashtirildi va yakunlandi. Umumlashtirilgan shaklda eng kam harakat tamoyili impuls jihatidan emas, balki Lagrange funktsiyasi nuqtai nazaridan ifodalangan harakat tushunchasidan foydalanadi. Bir zarracha potentsial maydonda harakatlansa, Lagrange funktsiyasi kinetik farq sifatida ifodalanishi mumkin. va potentsial energiya:

("energiya" tushunchasi ushbu bo'limning 3-bobida batafsil muhokama qilinadi.)

Mahsulot elementar harakat deb ataladi. Jami harakat - bu ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'idagi barcha qiymatlarning yig'indisi, boshqacha aytganda, jami A harakati:



Zarraning harakat tenglamalarini eng kam harakat tamoyili yordamida olish mumkin, unga ko'ra haqiqiy harakat shunday sodir bo'ladiki, harakat ekstremal bo'lib chiqadi, ya'ni uning o'zgarishi 0 ga aylanadi:



Lagrange-Gamiltonning o'zgaruvchanlik printsipi bo'lmagan tizimlarga osonlikcha kengaytirish imkonini beradi.

qancha (ko'p) zarralar. Bunday tizimlarning harakati odatda juda ko'p o'lchamdagi mavhum fazoda (qulay matematik texnika) ko'rib chiqiladi. Aytaylik, N nuqta uchun N zarrachaning 3N koordinatasidan iborat ba'zi mavhum fazo kiritilib, konfiguratsiya maydoni deb ataladigan tizim hosil bo'ladi. Tizimning turli holatlari ketma-ketligi ushbu konfiguratsiya maydonida egri chiziq - traektoriya bilan ifodalanadi. Ushbu 3N o'lchovli makonning ikkita berilgan nuqtasini bog'laydigan barcha mumkin bo'lgan yo'llarni hisobga olsak, tizimning haqiqiy harakati eng kam harakat tamoyiliga muvofiq sodir bo'lishiga ishonch hosil qilish mumkin: barcha mumkin bo'lgan traektoriyalar orasida, harakat ekstremal bo'lganidan keyin. harakatning butun vaqt oralig'i amalga oshiriladi.

Klassik mexanikada harakatni minimallashtirishda Nyuton qonunlari bilan aloqasi yaxshi ma'lum bo'lgan Eyler-Lagranj tenglamalari olinadi. Klassik elektromagnit maydonning Lagranjian uchun Eyler-Lagranj tenglamalari Maksvell tenglamalari bo'lib chiqadi. Shunday qilib, biz Lagrangian va eng kam harakat tamoyilidan foydalanish zarrachalar dinamikasini o'rnatishga imkon berishini ko'ramiz. Biroq, Lagrangian yana bir muhim xususiyatga ega bo'lib, bu Lagranj rasmiyatchiligini zamonaviy fizikaning deyarli barcha muammolarini hal qilishda asosiy xususiyatga aylantirdi. Gap shundaki, fizikada Nyuton mexanikasi bilan bir qatorda 19-asrda ham ba'zi fizik kattaliklar uchun saqlanish qonunlari ishlab chiqilgan: energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni, burchak momentumining saqlanish qonuni, qonun. elektr zaryadining saqlanishi. Bizning asrimizda kvant fizikasi va elementar zarralar fizikasining rivojlanishi bilan bog'liq saqlanish qonunlari soni yanada ko'paydi. Harakat tenglamalarini (aytaylik, Nyuton qonunlari yoki Maksvell tenglamalarini) ham, vaqt ichida saqlangan miqdorlarni ham yozish uchun umumiy asosni qanday topish mumkin, degan savol tug'iladi. Ma'lum bo'lishicha, bunday asos Lagranj formalizmidan foydalanishdir, chunki ma'lum bir nazariyaning Lagranjian bu nazariyada ko'rib chiqilgan o'ziga xos mavhum makonga mos keladigan o'zgarishlarga nisbatan o'zgarmas (o'zgarmas) bo'lib chiqadi, bu esa konservatsiyaga olib keladi. qonunlar. Lagrangianning bu xususiyatlari

fizik nazariyalarni lagranjlar tilida shakllantirishning maqsadga muvofiqligiga olib kelmadi. Ushbu holatning amalga oshirilishi fizikaga Eynshteynning nisbiylik nazariyasining paydo bo'lishi tufayli keldi.

"

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin:

• Mixail Sergeevich Gorbachev qayerdan?;
• Sog'lik va vazn yo'qotish uchun ro'za kunlarini qanday o'tkazish kerak O'zingiz uchun ro'za kunlarini qanday qilib to'g'ri tashkil qilish kerak;
• Immunitet uchun to'g'ri ovqatlanish Inson immunitetini mustahkamlovchi ovqatlar;
• Yevkurovdan oldin Ingushetiya rahbari kim edi;
• Shaxsning bo'linishi - fantastika yoki haqiqiy kasallikmi?;
• Chaqaloq tushdi - bu nimani anglatadi?;
• Muqaddas mirra keltiruvchi ayollar kuni;
• Ehtirosli Yevgeniy Botkin shahid Yevgeniy Botkin;