1 ნატურალური რიცხვი თუ არა. ზუსტი საგნის შესწავლა: ნატურალური რიცხვები არის რა რიცხვები, მაგალითები და თვისებები

მათემატიკა წარმოიშვა ზოგადი ფილოსოფიიდან ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეექვსე საუკუნეში. ე., და იმ მომენტიდან დაიწყო მისი გამარჯვებული ლაშქრობა მთელს მსოფლიოში. განვითარების თითოეულმა საფეხურმა შემოიტანა რაღაც ახალი - განვითარდა ელემენტარული დათვლა, გარდაიქმნა დიფერენციალურ და ინტეგრალურ გამოთვლებად, საუკუნეები შეიცვალა, ფორმულები უფრო და უფრო დამაბნეველი ხდებოდა და დადგა მომენტი, როდესაც "დაიწყო ყველაზე რთული მათემატიკა - ყველა რიცხვი გაქრა მისგან". მაგრამ რა იყო საფუძველი?

დროის დასაწყისი

ნატურალური რიცხვები გაჩნდა პირველ მათემატიკურ მოქმედებებთან ერთად. ერთხელ ხერხემალი, ორი ხერხემალი, სამი ხერხემალი... ისინი გამოჩნდნენ ინდოელი მეცნიერების წყალობით, რომლებმაც დაადგინეს პირველი პოზიცია

სიტყვა „პოზიციურობა“ ნიშნავს, რომ რიცხვში თითოეული ციფრის მდებარეობა მკაცრად არის განსაზღვრული და შეესაბამება მის კატეგორიას. მაგალითად, რიცხვები 784 და 487 ერთი და იგივე რიცხვებია, მაგრამ რიცხვები არ არის ეკვივალენტური, რადგან პირველი მოიცავს 7 ასეულს, ხოლო მეორე მხოლოდ 4-ს. არაბებმა აირჩიეს ინდიელების ინოვაცია, რომლებმაც რიცხვები ფორმამდე მიიყვანეს. რომ ჩვენ ახლა ვიცით.

ძველად ციფრებს აძლევდნენ მისტიკური მნიშვნელობა, პითაგორა თვლიდა, რომ რიცხვი უდევს საფუძვლად სამყაროს შექმნას ძირითად ელემენტებთან ერთად - ცეცხლი, წყალი, მიწა, ჰაერი. თუ ყველაფერს მხოლოდ მათემატიკური მხრიდან განვიხილავთ, მაშინ რა არის ნატურალური რიცხვი? ნატურალური რიცხვების ველი აღინიშნება როგორც N და არის რიცხვების უსასრულო სერია, რომელიც არის მთელი და დადებითი: 1, 2, 3, … + ∞. ნული გამორიცხულია. იგი ძირითადად გამოიყენება ნივთების დასათვლელად და რიგის მითითებისთვის.

რა არის მათემატიკაში? პეანოს აქსიომები

ველი N არის საბაზისო ველი, რომელსაც ეყრდნობა ელემენტარული მათემატიკა. დროთა განმავლობაში, მთელი რიცხვების ველები, რაციონალური,

იტალიელი მათემატიკოსის ჯუზეპე პეანოს ნაშრომმა შესაძლებელი გახადა არითმეტიკის შემდგომი სტრუქტურირება, მიაღწია მის ფორმალობას და გზა გაუხსნა შემდგომი დასკვნებისთვის, რომელიც გასცდა N ველს.

რა არის ნატურალური რიცხვი, ადრე გაირკვა უბრალო ენა, მათემატიკური განმარტება პეანოს აქსიომებზე დაფუძნებული ქვემოთ იქნება განხილული.

  • ერთი ითვლება ნატურალურ რიცხვად.
  • რიცხვი, რომელიც მოჰყვება ნატურალურ რიცხვს, არის ნატურალური რიცხვი.
  • ერთის წინ ნატურალური რიცხვი არ არსებობს.
  • თუ რიცხვი b მოჰყვება როგორც c, ასევე d რიცხვს, მაშინ c=d.
  • ინდუქციის აქსიომა, რომელიც თავის მხრივ გვიჩვენებს რა არის ნატურალური რიცხვი: თუ რომელიმე დებულება, რომელიც პარამეტრზეა დამოკიდებული, ჭეშმარიტია რიცხვისთვის 1, მაშინ ვივარაუდებთ, რომ ის ასევე მუშაობს n რიცხვზე N ნატურალური რიცხვების ველიდან. განცხადება ასევე მართალია n =1-ისთვის N ნატურალური რიცხვების ველიდან.

ძირითადი მოქმედებები ნატურალური რიცხვების ველისთვის

მას შემდეგ, რაც ველი N გახდა პირველი მათემატიკური გამოთვლებისთვის, მას ეხება როგორც განმარტების სფეროები, ასევე ქვემოთ მოცემული რიგი ოპერაციების მნიშვნელობების დიაპაზონი. ისინი დახურულია და არა. მთავარი განსხვავება ისაა, რომ დახურული ოპერაციები გარანტირებულია დატოვებს შედეგს N სიმრავლის ფარგლებში, არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვებს ეხება. საკმარისია, რომ ისინი ბუნებრივია. დარჩენილი რიცხვითი ურთიერთქმედებების შედეგი აღარ არის ისეთი ცალსახა და პირდაპირ დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა სახის რიცხვებია ჩართული გამონათქვამში, რადგან ის შეიძლება ეწინააღმდეგებოდეს მთავარ განმარტებას. ასე რომ, დახურული ოპერაციები:

  • შეკრება - x + y = z, სადაც x, y, z შედის N ველში;
  • გამრავლება - x * y = z, სადაც x, y, z შედის N ველში;
  • ექსპონენტაცია - x y , სადაც x, y შედის N ველში.

დარჩენილი ოპერაციები, რომელთა შედეგი შეიძლება არ არსებობდეს განმარტების „რა არის ნატურალური რიცხვი“ კონტექსტში, არის შემდეგი:


N ველის კუთვნილი რიცხვების თვისებები

ყველა შემდგომი მათემატიკური მსჯელობა დაფუძნებული იქნება შემდეგ თვისებებზე, ყველაზე ტრივიალური, მაგრამ არანაკლებ მნიშვნელოვანი.

  • შეკრების კომუტაციური თვისებაა x + y = y + x, სადაც რიცხვები x, y შედის ველში N. ან კარგად ცნობილი "ჯამი არ იცვლება ტერმინების ადგილების ცვლილებით".
  • გამრავლების კომუტაციური თვისებაა x * y = y * x, სადაც რიცხვები x, y შედის N ველში.
  • შეკრების ასოციაციური თვისებაა (x + y) + z = x + (y + z), სადაც x, y, z შედის N ველში.
  • გამრავლების ასოციაციური თვისებაა (x * y) * z = x * (y * z), სადაც რიცხვები x, y, z შედის N ველში.
  • განაწილების თვისება - x (y + z) = x * y + x * z, სადაც რიცხვები x, y, z შედის N ველში.

პითაგორას მაგიდა

სკოლის მოსწავლეების მიერ დაწყებითი მათემატიკის მთელი სტრუქტურის ცოდნის ერთ-ერთი პირველი ნაბიჯი, მას შემდეგ რაც მათ თავად გაიგეს, რომელ რიცხვებს უწოდებენ ბუნებრივ, არის პითაგორას ცხრილი. იგი შეიძლება ჩაითვალოს არა მხოლოდ მეცნიერების თვალსაზრისით, არამედ ღირებულ სამეცნიერო ძეგლადაც.

ამ გამრავლების ცხრილმა დროთა განმავლობაში განიცადა მთელი რიგი ცვლილებები: მისგან ამოღებულია ნული, ხოლო რიცხვები 1-დან 10-მდე აღნიშნავენ საკუთარ თავს, ბრძანებების გათვალისწინების გარეშე (ასობით, ათასობით ...). ეს არის ცხრილი, რომელშიც სტრიქონებისა და სვეტების სათაურები არის რიცხვები და მათი კვეთის უჯრედების შიგთავსი მათი ნამრავლის ტოლია.

ბოლო ათწლეულების სწავლების პრაქტიკაში გაჩნდა საჭიროება პითაგორას ცხრილის დამახსოვრება „თანმიმდევრობით“, ანუ პირველ რიგში დამახსოვრება წავიდა. 1-ზე გამრავლება გამოირიცხა, რადგან შედეგი იყო 1 ან მეტი. იმავდროულად, მაგიდაზე შეუიარაღებელი თვალით შეგიძლიათ იხილოთ ნიმუში: რიცხვების ნამრავლი იზრდება ერთი ნაბიჯით, რაც უდრის სტრიქონის სათაურს. ამრიგად, მეორე ფაქტორი გვიჩვენებს, რამდენჯერ უნდა მივიღოთ პირველი, რომ მივიღოთ სასურველი პროდუქტი. ეს სისტემა ბევრად უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე შუა საუკუნეებში გამოიყენებოდა: იმის გაგებაც კი, თუ რა არის ნატურალური რიცხვი და რამდენად ტრივიალურია ის, ადამიანებმა მოახერხეს გაართულონ თავიანთი ყოველდღიური დათვლა სისტემის გამოყენებით, რომელიც დაფუძნებულია ორი ძალაზე.

ქვეჯგუფი, როგორც მათემატიკის აკვანი

ჩართულია ამ მომენტში N ნატურალური რიცხვების ველი განიხილება მხოლოდ კომპლექსური რიცხვების ერთ-ერთ ქვეჯგუფად, მაგრამ ეს არ ხდის მათ ნაკლებ ღირებულს მეცნიერებაში. ნატურალური რიცხვი არის პირველი, რასაც ბავშვი სწავლობს საკუთარი თავის შესწავლით და სამყარო. ერთი თითი, ორი თითი... მისი წყალობით ყალიბდება ადამიანი ლოგიკური აზროვნება, ასევე მიზეზის დადგენისა და შედეგის დასკვნის უნარი, რაც გზას უხსნის დიდ აღმოჩენებს.

რა არის ბუნებრივი და არა მთელი რიცხვები? როგორ ავუხსნათ ბავშვს, ან შეიძლება არა ბავშვს, რა განსხვავებაა მათ შორის? მოდი გავარკვიოთ. როგორც ვიცით, მე-5 კლასში სწავლობენ არაბუნებრივ და ნატურალურ რიცხვებს და ჩვენი მიზანია ავუხსნათ მოსწავლეებს, რომ მათ ნამდვილად გაიგონ და ისწავლონ რა და როგორ.

ამბავი

ბუნებრივი რიცხვები ერთ-ერთი უძველესი ცნებაა. დიდი ხნის წინ, როცა ადამიანებმა ჯერ კიდევ არ იცოდნენ დათვლა და წარმოდგენაც არ ჰქონდათ რიცხვებზე, როცა რაღაცის დათვლა სჭირდებოდათ, მაგალითად, თევზები, ცხოველები, სხვადასხვა ობიექტზე წერტილებს ან ტირეებს აჭრიდნენ, როგორც მოგვიანებით გაარკვიეს არქეოლოგებმა. . იმ დროს მათთვის ძალიან რთული იყო ცხოვრება, მაგრამ ცივილიზაცია განვითარდა ჯერ რომაული რიცხვების სისტემამდე, შემდეგ კი ათობითი რიცხვების სისტემამდე. ახლა თითქმის ყველა იყენებს არაბულ ციფრებს.

ყველაფერი ნატურალური რიცხვების შესახებ

ბუნებრივი რიცხვები არის მარტივი რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ ყოველდღიურ ცხოვრებაში ობიექტების დასათვლელად, რათა განვსაზღვროთ რაოდენობა და რიგი. ჩვენ ამჟამად ვიყენებთ ათობითი აღნიშვნას რიცხვების დასაწერად. ნებისმიერი რიცხვის ჩასაწერად ვიყენებთ ათ ციფრს - ნულიდან ცხრამდე.

ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ ობიექტების დათვლისას ან რაიმეს რიგითი ნომრის მითითებისას. მაგალითი: 5, 368, 99, 3684.

რიცხვთა სერიებს უწოდებენ ნატურალურ რიცხვებს, რომლებიც განლაგებულია ზრდის მიხედვით, ე.ი. ერთიდან უსასრულობამდე. ასეთი სერია იწყება უმცირესი რიცხვით - 1, და არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი, რადგან რიცხვების სერია უბრალოდ უსასრულოა.

ზოგადად, ნული არ ითვლება ნატურალურ რიცხვად, რადგან ეს ნიშნავს რაღაცის არარსებობას და ასევე არ არის ობიექტების დათვლა.

არაბული ციფრული სისტემა არის თანამედროვე სისტემა, რომელსაც ჩვენ ყოველდღიურად ვიყენებთ. ეს არის ინდურის (ათწილადი) ერთ-ერთი ვარიანტი.

ეს რიცხვების სისტემა თანამედროვე გახდა 0-ის გამო, რომელიც არაბებმა გამოიგონეს. მანამდე ის არ იყო ინდოეთის სისტემაში.

არაბუნებრივი რიცხვები. Ეს რა არის?

ნატურალური რიცხვები არ შეიცავს უარყოფით და არამთლიან რიცხვებს. ასე რომ, ისინი არიან - არაბუნებრივი რიცხვები

ქვემოთ მოცემულია მაგალითები.

არაბუნებრივი რიცხვებია:

  • უარყოფითი რიცხვები, მაგალითად: -1, -5, -36.. და ა.შ.
  • Რაციონალური რიცხვი, რომლებიც გამოხატულია ათობითი წილადებით: 4.5, -67, 44.6.
  • მარტივი წილადის სახით: 1/2, 40 2/7 და ა.შ.

    • ირაციონალური რიცხვები, როგორიცაა e = 2,71828, √2 = 1,41421 და მსგავსი.

ვიმედოვნებთ, რომ ძალიან დაგეხმარეთ არაბუნებრივი და ბუნებრივი რიცხვებით. ახლა გაგიადვილდებათ ამ თემის ახსნა თქვენს შვილს და ის ასევე ისწავლის მას, ისევე როგორც დიდი მათემატიკოსები!

უმარტივესი რიცხვია ბუნებრივი რიცხვი. ისინი გამოიყენება Ყოველდღიური ცხოვრებისდათვლისთვის ნივთები, ე.ი. მათი რიცხვის გამოთვლა და რიგი.

რა არის ბუნებრივი რიცხვი: ნატურალური რიცხვებიდაასახელეთ რიცხვები, რომლებისთვისაც გამოიყენება ნივთების დათვლა ან ნებისმიერი ნივთის სერიული ნომრის მითითება ყველა ერთგვაროვანიდანნივთები.

მთელი რიცხვებიარის რიცხვები, რომლებიც იწყება ერთიდან. ისინი ბუნებრივად წარმოიქმნება დათვლისას.მაგალითად, 1,2,3,4,5... -პირველი ნატურალური რიცხვები.

უმცირესი ბუნებრივი რიცხვი- ერთი. არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი. რიცხვის დათვლისას ნული არ გამოიყენება, ამიტომ ნული ნატურალური რიცხვია.

რიცხვების ბუნებრივი სერიაარის ყველა ნატურალური რიცხვის მიმდევრობა. დაწერეთ ნატურალური რიცხვები:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

ნატურალურ რიცხვებში თითოეული რიცხვი წინაზე ერთით მეტია.

რამდენი რიცხვია ნატურალურ სერიაში? ბუნებრივი რიგი უსასრულოა, არ არსებობს უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი.

ათწილადი, რადგან ნებისმიერი კატეგორიის 10 ერთეული ქმნის უმაღლესი რიგის 1 ერთეულს. პოზიციური ისე როგორ არის დამოკიდებული ციფრის მნიშვნელობა რიცხვში მის ადგილს, ე.ი. კატეგორიიდან, სადაც ჩაწერილია.

ნატურალური რიცხვების კლასები.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიწეროს 10-ის გამოყენებით არაბული ციფრები:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ნატურალური რიცხვების წასაკითხად ისინი მარჯვნიდან დაწყებული იყოფა 3-ნიშნა ჯგუფებად. 3 ჯერ რიცხვები მარჯვნივ არის ერთეულების კლასი, შემდეგი 3 არის ათასობით კლასი, შემდეგ მილიონების, მილიარდების დადა ა.შ. კლასის თითოეულ ციფრს მისი ეწოდებაგამონადენი.

ნატურალური რიცხვების შედარება.

2 ნატურალური რიცხვიდან ნაკლებია რიცხვი, რომელსაც ადრე ეძახიან დათვლაში. Მაგალითად, ნომერი 7 ნაკლები 11 (დაწერილი ასე:7 < 11 ). როცა ერთი ნომერი წამზე მეტი, ასე წერია:386 > 99 .

ციფრების ცხრილი და რიცხვების კლასები.

1 კლასის ერთეული

1 ერთეული ციფრი

მე-2 ადგილი ათი

მე-3 რანგის ასობით

მე-2 კლასი ათასი

ათასის 1 ციფრიანი ერთეული

მე-2 ციფრი ათიათასობით

მე-3 ასობით ათასი

მე-3 კლასი მილიონი

პირველი ციფრი ერთეული მილიონი

მე-2 ციფრი ათობით მილიონი

მე-3 ციფრი ასობით მილიონი

მე-4 კლასი მილიარდები

პირველი ციფრი ერთეული მილიარდი

მე-2 ციფრი ათობით მილიარდი

მე-3 ციფრი ასობით მილიარდი

მე-5 კლასიდან და ზემოთ რიცხვები დიდი რიცხვია. მე-5 კლასის ერთეულები - ტრილიონები, მე-6 კლასი - კვადრილიონები, მე-7 კლასი - კვინტილიონები, მე-8 კლასი - სექსტილიონები, მე-9 კლასი -ეპილიონები.

ნატურალური რიცხვების ძირითადი თვისებები.

  • დამატების კომუტატიულობა . a + b = b + a
  • გამრავლების კომუტატიულობა. აბ=ბა
  • დამატების ასოციაციურობა. (a + b) + c = a + (b + c)
  • გამრავლების ასოციაციურობა.
  • გამრავლების განაწილება შეკრების მიმართ:

მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებზე.

4. ნატურალური რიცხვების გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული ოპერაცია.

თუ b ∙ c \u003d a, ეს

გაყოფის ფორმულები:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(ა∙ ბ) : c = (a:c) ∙ ბ

(ა∙ ბ) : c = (ბ:გ) ∙ ა

რიცხვითი გამონათქვამები და რიცხვითი ტოლობები.

არის აღნიშვნა, სადაც რიცხვები დაკავშირებულია მოქმედების ნიშნებით რიცხვითი გამოხატულება.

მაგალითად, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ჩანაწერები, სადაც ტოლობის ნიშანი აერთიანებს 2 რიცხვით გამოსახულებას რიცხვითი ტოლობები. თანასწორობას აქვს მარცხენა და მარჯვენა მხარე.

არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობა.

რიცხვების შეკრება და გამოკლება პირველი ხარისხის მოქმედებებია, ხოლო გამრავლება და გაყოფა მეორე ხარისხის მოქმედებებია.

Როდესაც რიცხვითი გამოხატულებაშედგება მხოლოდ ერთი ხარისხის მოქმედებებისგან, შემდეგ ისინი სრულდება თანმიმდევრობითმარცხნიდან მარჯვნივ.

როდესაც გამონათქვამები შედგება მხოლოდ პირველი და მეორე ხარისხის მოქმედებებისაგან, მაშინ მოქმედებები პირველად სრულდება მეორე ხარისხის, შემდეგ კი - პირველი ხარისხის მოქმედებები.

როდესაც გამონათქვამში არის ფრჩხილები, პირველ რიგში სრულდება ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები.

მაგალითად, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

განმარტება

ნატურალურ რიცხვებს ეწოდება რიცხვები, რომლებიც განკუთვნილია ობიექტების დასათვლელად. ნატურალური რიცხვების ჩასაწერად გამოიყენება 10 არაბული რიცხვი (0–9), რომლებიც საფუძვლად უდევს მათემატიკური გამოთვლებისთვის ზოგადად მიღებული ათობითი რიცხვების სისტემას.

ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა

ნატურალური რიცხვები ქმნიან სერიას, რომელიც იწყება 1-დან და მოიცავს ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლეს. ასეთი თანმიმდევრობა შედგება რიცხვებისგან 1,2,3, ... . ეს ნიშნავს, რომ ბუნებრივ სერიაში:

  1. არის უმცირესი რიცხვი და არა უდიდესი.
  2. ყოველი შემდეგი რიცხვი წინაზე მეტია 1-ით (გამონაკლისი არის თავად ერთეული).
  3. როგორც კი რიცხვები უსასრულობამდე მიდიან, ისინი განუსაზღვრელი ვადით იზრდება.

ზოგჯერ ნატურალური რიცხვების სერიებში 0აც შედის, ეს დასაშვებია და მერე საუბრობენ გაფართოებულიბუნებრივი სერია.

ნატურალური რიცხვების კლასები

ნატურალური რიცხვის თითოეული ციფრი გამოხატავს გარკვეულ ციფრს. ბოლო ყოველთვის არის რიცხვში ერთეულების რაოდენობა, მის წინ არის ათეულების რიცხვი, ბოლოდან მესამე არის ასეულების რიცხვი, მეოთხე არის ათასობით რიცხვი და ა.შ.

  • 276 რიცხვში: 2 ასეული, 7 ათეული, 6 ერთეული
  • 1098 რიცხვში: 1 ათასი, 9 ათეული, 8 ერთეული; ასეულების ადგილი აქ არ არის, რადგან ის გამოიხატება როგორც ნული.

დიდი და ძალიან დიდი რიცხვებისთვის შეგიძლიათ იხილოთ სტაბილური ტენდენცია (თუ შეისწავლით რიცხვს მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ ბოლო ციფრიდან პირველამდე):

  • რიცხვის ბოლო სამი ციფრი არის ერთეული, ათეული და ასეული;
  • წინა სამი არის ერთეული, ათეული და ასეული ათასი;
  • მათ წინ სამი (ანუ რიცხვის მე-7, მე-8 და მე-9 ციფრი, ბოლოდან დათვლა) არის ერთეული, ათეულები და ასობით მილიონი და ა.შ.

ანუ ყოველ ჯერზე საქმე გვაქვს სამ ციფრთან, რაც ნიშნავს ერთეულებს, ათეულებს და ასეულებს უფრო დიდ სახელს. ასეთი ჯგუფები ქმნიან კლასებს. და თუ ყოველდღიურ ცხოვრებაში პირველ სამ კლასს მეტ-ნაკლებად ხშირად უწევთ საქმე, მაშინ სხვები უნდა ჩამოვთვალოთ, რადგან ყველას არ ახსოვს მათი სახელები ზეპირად.

  • მე-4 კლასს, რომელიც მიჰყვება მილიონების კლასს და წარმოადგენს 10-12 ციფრიან რიცხვებს, ეწოდება მილიარდი (ან მილიარდი);
  • მე-5 კლასი - ტრილიონი;
  • მე-6 კლასი - კვადრილონი;
  • მე-7 კლასი - კვინტილიონი;
  • მე-8 კლასი - სექსტილიონი;
  • მე-9 კლასი - სეპტილიონი.

ნატურალური რიცხვების შეკრება

ნატურალური რიცხვების შეკრება არის არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ რიცხვი, რომელიც შეიცავს იმდენ ერთეულს, რამდენიც არის ერთად დამატებულ რიცხვებში.

დამატების ნიშანი არის "+" ნიშანი. დამატებულ რიცხვებს ეწოდება ტერმინები, შედეგს ეწოდება ჯამი.

მცირე რიცხვები ემატება (ჯამდება) ზეპირად, წერილობით ასეთი მოქმედებები იწერება სტრიქონში.

მრავალნიშნა რიცხვები, რომელთა დამატება ძნელია გონებაში, ჩვეულებრივ ემატება სვეტში. ამისთვის რიცხვები იწერება ერთი მეორის ქვეშ, ბოლო ციფრთან გასწორებული, ანუ ერთეულების ციფრს წერენ ერთეულების ციფრზე, ასეულების ციფრს ასეულების ციფრზე და ა.შ. შემდეგი, თქვენ უნდა დაამატოთ ციფრები წყვილებში. თუ ციფრების დამატება ხდება ათეულში გადასვლისას, მაშინ ეს ათეული ფიქსირდება როგორც ერთეული მარცხნივ ციფრზე ზემოთ (ანუ მისდევს) და ემატება ამ ციფრის ციფრებს.

თუ სვეტი ემატება არა 2, არამედ მეტი რიცხვი, მაშინ კატეგორიის ციფრების შეჯამებისას შეიძლება ზედმეტი იყოს არა 1 ათეული, არამედ რამდენიმე. ამ შემთხვევაში ასეთი ათეულების რიცხვი გადადის შემდეგ ციფრზე.

ნატურალური რიცხვების გამოკლება

გამოკლება არის არითმეტიკული ოპერაცია, შეკრების საპირისპირო მოქმედება, რომელიც ემყარება იმ ფაქტს, რომ რაოდენობის და ერთ-ერთი ტერმინის გათვალისწინებით, თქვენ უნდა იპოვოთ სხვა - უცნობი ტერმინი. რიცხვს, რომელსაც აკლებენ, მინუენდი ეწოდება; რიცხვი, რომელიც აკლდება არის სუბტრაჰენდი. გამოკლების შედეგს სხვაობა ეწოდება. ნიშანი, რომელიც აღნიშნავს გამოკლების მოქმედებას არის "-".

მიმატებაზე გადასვლისას სუბტრაჰენდი და სხვაობა გადაიქცევა ტერმინებად, ხოლო შემცირებული ჯამად. შეკრება ჩვეულებრივ ამოწმებს შესრულებული გამოკლების სისწორეს და პირიქით.

აქ 74 არის minuend, 18 არის subtrahend, 56 არის განსხვავება.

ნატურალური რიცხვების გამოკლების წინაპირობა შემდეგია: მინუენდი აუცილებლად უნდა იყოს უფრო დიდი ვიდრე ქვეტრაჰენდი. მხოლოდ ამ შემთხვევაში მიღებული სხვაობა ასევე იქნება ნატურალური რიცხვი. თუ გამოკლების მოქმედება ხორციელდება გაფართოებულ ნატურალურ სერიებზე, მაშინ დასაშვებია, რომ მინუენდი ტოლი იყოს ქვეტრაჰენდის. და გამოკლების შედეგი ამ შემთხვევაში იქნება 0.

შენიშვნა: თუ ქვეტრაჰენდი ნულის ტოლია, მაშინ გამოკლების ოპერაცია არ ცვლის მინუენდის მნიშვნელობას.

მრავალნიშნა რიცხვების გამოკლება ჩვეულებრივ ხდება სვეტში. ჩაწერეთ რიცხვები ისე, როგორც შეკრებისას. გამოკლება ხდება შესაბამისი ციფრებისთვის. თუ აღმოჩნდება, რომ მინუენდი ნაკლებია ქვეტრაჰენდზე, მაშინ ერთი აღებულია წინა (მარცხნივ მდებარე) ციფრიდან, რომელიც გადატანის შემდეგ ბუნებრივად იქცევა 10-ად. ეს ათეული ჯამდება შემცირებული ფიგურით. მოცემულია ციფრი და შემდეგ გამოკლებული. გარდა ამისა, შემდეგი ციფრის გამოკლებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ შემცირებული გახდა 1-ით ნაკლები.

ნატურალური რიცხვების ნამრავლი

ნატურალური რიცხვების ნამრავლი (ან გამრავლება) არის არითმეტიკული ოპერაცია, რომელიც არის იდენტური ტერმინების თვითნებური რაოდენობის ჯამის პოვნა. გამრავლების ოპერაციის ჩასაწერად გამოიყენეთ ნიშანი "·" (ზოგჯერ "×" ან "*"). მაგალითად: 3 5=15.

გამრავლების მოქმედება შეუცვლელია, როცა საჭიროა დამატება დიდი რიცხვივადები. მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ 4-ის 7-ჯერ დამატება, მაშინ 4-ის 7-ზე გამრავლება უფრო ადვილია, ვიდრე ამ შეკრების გაკეთება: 4+4+4+4+4+4+4.

გამრავლებულ რიცხვებს ფაქტორებს უწოდებენ, გამრავლების შედეგია ნამრავლი. შესაბამისად, ტერმინი „მუშაობა“ კონტექსტიდან გამომდინარე შეუძლია გამოხატოს როგორც გამრავლების პროცესი, ასევე მისი შედეგი.

მრავალნიშნა რიცხვები მრავლდება სვეტში. ამ რიცხვისთვის იწერება ისევე, როგორც შეკრებისა და გამოკლებისთვის. რეკომენდირებულია დაწეროთ ჯერ (ზემოთ) 2 რიცხვიდან რომელია, რომელი უფრო გრძელია. ამ შემთხვევაში გამრავლების პროცესი უფრო მარტივი და, შესაბამისად, რაციონალური იქნება.

სვეტში გამრავლებისას მეორე რიცხვის თითოეული ციფრის რიცხვები თანმიმდევრულად მრავლდება პირველი რიცხვის ციფრებზე მისი ბოლოდან დაწყებული. როდესაც იპოვეს პირველი ასეთი ნამუშევარი, ისინი წერენ ერთეულების რაოდენობას და მხედველობაში ინახავენ ათეულების რაოდენობას. მე-2 რიცხვის ციფრის 1-ლი რიცხვის მომდევნო ციფრზე გამრავლებისას ნამრავლს ემატება მხედველობაში მიღებული რიცხვი. და ისევ წერენ მიღებული შედეგის ერთეულების რაოდენობას და ახსოვთ ათეულების რაოდენობა. 1 რიცხვის ბოლო ციფრზე გამრავლებისას ამ გზით მიღებული რიცხვი იწერება სრულად.

მეორე ნომრის მე-2 ციფრის ციფრების გამრავლების შედეგები იწერება მეორე რიგში, გადაიტანეთ იგი 1 უჯრედით მარჯვნივ. Და ასე შემდეგ. შედეგად მიიღება „კიბე“. უნდა დაემატოს რიცხვების ყველა მწკრივი (სვეტაში დამატების წესის მიხედვით). ცარიელი უჯრედები უნდა ჩაითვალოს ნულებით სავსე. შედეგად მიღებული თანხა არის საბოლოო პროდუქტი.

შენიშვნა
  1. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ნამრავლი 1-ით (ან 1 რიცხვით) უდრის თავად რიცხვს. მაგალითად: 376 1=376; 1 86=86.
  2. როდესაც ერთ-ერთი ან ორივე ფაქტორი 0-ის ტოლია, მაშინ ნამრავლი 0-ის ტოლია. მაგალითად: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

ნატურალური რიცხვების გაყოფა

გაყოფა ეწოდება არითმეტიკულ ოპერაციას, რომლის დახმარებით, ცნობილი პროდუქტისა და ერთ-ერთი ფაქტორის მიხედვით, შეიძლება მოიძებნოს სხვა - უცნობი - ფაქტორი. გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული და გამოიყენება იმის შესამოწმებლად, სწორად შესრულდა თუ არა გამრავლება (და პირიქით).

რიცხვს, რომელიც იყოფა, ეწოდება გამყოფი; რიცხვი, რომლითაც იგი იყოფა, არის გამყოფი; გაყოფის შედეგს კოეფიციენტი ეწოდება. გაყოფის ნიშანია ":" (ზოგჯერ, ნაკლებად ხშირად - "÷").

აქ 48 არის დივიდენდი, 6 არის გამყოფი და 8 არის კოეფიციენტი.

ყველა ნატურალური რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს ერთმანეთში. ამ შემთხვევაში დაყოფა ხდება ნაშთით. ის მდგომარეობს იმაში, რომ გამყოფისთვის ისეთი ფაქტორია შერჩეული, რომ გამყოფის მიერ მისი პროდუქტი იყოს დივიდენდთან რაც შეიძლება ახლოს ღირებულებით, მაგრამ მასზე ნაკლები. გამყოფი მრავლდება ამ კოეფიციენტზე და აკლდება დივიდენდს. განსხვავება იქნება დაყოფის დარჩენილი ნაწილი. ფაქტორზე გამყოფის ნამრავლს არასრული კოეფიციენტი ეწოდება. ყურადღება: დარჩენილი უნდა იყოს არჩეულ მულტიპლიკატორზე ნაკლები! თუ ნაშთი უფრო დიდია, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ მულტიპლიკატორი არასწორად არის არჩეული და ის უნდა გაიზარდოს.

ვირჩევთ მულტიპლიკატორს 7. In ამ საქმესეს რიცხვია 5. იპოვეთ არასრული კოეფიციენტი: 7 5=35. გამოთვალეთ ნაშთი: 38-35=3. 3 წლიდან<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

მრავალნიშნა რიცხვები იყოფა სვეტად. ამისათვის დივიდენდი და გამყოფი იწერება გვერდიგვერდ, გამყოფს ჰყოფს ვერტიკალური და ჰორიზონტალური ხაზით. დივიდენდში არჩეულია პირველი ციფრი ან პირველი რამდენიმე ციფრი (მარჯვნივ), რომელიც უნდა იყოს რიცხვი, რომელიც მინიმალურად საკმარისია გამყოფზე გასაყოფად (ანუ ეს რიცხვი გამყოფზე დიდი უნდა იყოს). ამ რიცხვისთვის არჩეულია არასრული კოეფიციენტი, როგორც ეს აღწერილია ნაშთით გაყოფის წესში. გამყოფის ქვეშ იწერება მამრავლის რიცხვი, რომელიც გამოიყენება ნაწილობრივი კოეფიციენტის საპოვნელად. არასრული კოეფიციენტი იწერება გაყოფილი რიცხვის ქვეშ, მარჯვნივ გასწორებული. იპოვნეთ მათი განსხვავება. დივიდენდის შემდეგი ციფრი იშლება ამ სხვაობის გვერდით ჩაწერით. მიღებული რიცხვისთვის, არასრული კოეფიციენტი კვლავ იპოვება არჩეული ფაქტორის ფიგურის ჩაწერით, წინას გვერდით გამყოფის ქვეშ. Და ასე შემდეგ. ასეთი ქმედებები ხორციელდება მანამ, სანამ დივიდენდის ნომრები ამოიწურება. ამის შემდეგ გაყოფა დასრულებულად ითვლება. თუ დივიდენდი და გამყოფი იყოფა მთლიანად (ნაშთის გარეშე), მაშინ ბოლო სხვაობა მისცემს ნულს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დარჩენილი ნომერი დაბრუნდება.

ექსპონენტაცია

ექსპონენტაცია არის მათემატიკური ოპერაცია, რომელიც მოიცავს იდენტური რიცხვების თვითნებური რაოდენობის გამრავლებას. მაგალითად: 2 2 2 2.

ასეთი გამონათქვამები იწერება შემდეგნაირად: ნაჯახი,

სად აარის თავისთავად გამრავლებული რიცხვი xარის ასეთი ფაქტორების რაოდენობა.

მარტივი და შედგენილი ნატურალური რიცხვები

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, გარდა 1-ისა, შეიძლება დაიყოს არანაკლებ 2 რიცხვით - ერთი და თავად. ამ კრიტერიუმიდან გამომდინარე, ნატურალური რიცხვები იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად.

მარტივი რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. რიცხვებს, რომლებიც იყოფა ამ 2 რიცხვზე მეტზე, შედგენილ რიცხვებს უწოდებენ. ერთეული, რომელიც მხოლოდ თავისთავად იყოფა, არც მარტივია და არც რთული.

რიცხვები მარტივია: 2,3,5,7,11,13,17,19 და ა.შ. შედგენილი რიცხვების მაგალითები: 4 (იყოფა 1,2,4-ზე), 6 (იყოფა 1,2,3,6-ზე), 20 (იყოფა 1,2,4,5,10,20-ზე).

ნებისმიერი კომპოზიტური რიცხვი შეიძლება დაიშალოს პირველ ფაქტორებად. ამ შემთხვევაში, მარტივი ფაქტორები გაგებულია, როგორც მისი გამყოფები, რომლებიც არის მარტივი რიცხვები.

პირველ ფაქტორებად ფაქტორიზაციის მაგალითი:

ნატურალური რიცხვების გამყოფები

გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც მოცემული რიცხვი შეიძლება დაიყოს ნაშთის გარეშე.

ამ განმარტების შესაბამისად, მარტივ ნატურალურ რიცხვებს აქვთ 2 გამყოფი, შედგენილ რიცხვებს აქვთ 2-ზე მეტი გამყოფი.

ბევრ რიცხვს აქვს საერთო გამყოფები. საერთო გამყოფი არის რიცხვი, რომლითაც მოცემული რიცხვები იყოფა ნაშთის გარეშე.

  • 12 და 15 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფი 3
  • 20 და 30 რიცხვებს აქვთ საერთო გამყოფები 2,5,10

განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს უდიდეს საერთო გამყოფს (GCD). ეს რიცხვი, განსაკუთრებით, სასარგებლოა წილადების შემცირებისთვის. მის საპოვნელად საჭიროა მოცემული რიცხვების დაშლა მარტივ ფაქტორებად და წარმოდგენა მათი საერთო მარტივი ფაქტორების ნამრავლად, მათი უმცირესი სიმძლავრეებით აღებული.

საჭიროა 36 და 48 ნომრების GCD-ის პოვნა.

ნატურალური რიცხვების გაყოფა

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის დადგენა „თვალით“ იყო თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე ნაშთის გარეშე. ასეთ შემთხვევებში გამოსადეგია შესაბამისი გაყოფის ტესტი, ანუ წესი, რომლითაც რამდენიმე წამში შეგიძლიათ განსაზღვროთ შესაძლებელია თუ არა რიცხვების გაყოფა ნაშთების გარეშე. ნიშანი "" გამოიყენება გაყოფის აღსანიშნავად.

უმცირესი საერთო ჯერადი

ეს მნიშვნელობა (აღნიშნულია LCM) არის უმცირესი რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მოცემულზე. LCM შეიძლება მოიძებნოს ნატურალური რიცხვების თვითნებური სიმრავლისთვის.

LCM, ისევე როგორც GCD, აქვს მნიშვნელოვანი გამოყენებითი მნიშვნელობა. ასე რომ, ეს არის LCM, რომელიც უნდა მოიძებნოს ჩვეულებრივი წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირებით.

LCM განისაზღვრება მოცემული რიცხვების მარტივ ფაქტორებად გამრავლებით. მისი ფორმირებისთვის მიიღება პროდუქტი, რომელიც შედგება თითოეული წარმოქმნილი (მინიმუმ 1 რიცხვისთვის) ძირითადი ფაქტორებისგან, რომლებიც წარმოდგენილია მაქსიმალური ხარისხით.

საჭიროა 14 და 24 ნომრების LCM-ის პოვნა.

საშუალო

ნატურალური რიცხვების თვითნებური (მაგრამ სასრული) რიცხვის არითმეტიკული საშუალო არის ყველა ამ რიცხვის ჯამი გაყოფილი ტერმინების რაოდენობაზე:

საშუალო არითმეტიკული არის რაღაც საშუალო მნიშვნელობა რიცხვითი ნაკრებისთვის.

მოცემულია ნომრები 2,84,53,176,17,28. საჭიროა მათი არითმეტიკული საშუალოს პოვნა.

 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: