როგორ გაჩნდა უმცირესი მოქმედების პრინციპი? მინიმალური მოქმედების პრინციპი

სკოლაში რომ ვიყავი, ჩვენმა ფიზიკის მასწავლებელმა, ბადერმა, ერთხელ გაკვეთილის შემდეგ თავისთან დამირეკა და მითხრა: „ისე გამოიყურები, თითქოს საშინლად დაიღალე ყველაფრით; მოუსმინე რაიმე საინტერესოს." და მან მითხრა რაღაც, რაც ვფიქრობდი, რომ მართლაც მომხიბლავი იყო. ახლაც, მიუხედავად იმისა, რომ მას შემდეგ დიდი დრო გავიდა, ის კვლავ ხიბლავს. და ყოველთვის, როცა მახსენდება ნათქვამი, ვუბრუნდები სამსახურს. და ამჯერად, ლექციისთვის მომზადებისას, ისევ ერთი და იგივეს გაანალიზებაში აღმოვჩნდი. და ლექციისთვის მომზადების ნაცვლად, გადაწყვეტილება მივიღე ახალი დავალება. თემა რაზეც ვსაუბრობ არის მინიმალური მოქმედების პრინციპი.


– ასე მითხრა მაშინ ჩემმა მასწავლებელმა ბადერმა: „მოდით, მაგალითად, გრავიტაციულ ველში გქონდეთ ნაწილაკი; ეს ნაწილაკი, რომელიც სადღაც ტოვებს, თავისუფლად მოძრაობს სადღაც სხვა წერტილში. თქვენ გადააგდეთ იგი, ვთქვათ, მაღლა, ის აფრინდა და შემდეგ დაეცა.

საწყისი წერტილიდან საბოლოო პუნქტამდე გარკვეული დრო დასჭირდა. სცადეთ სხვა მოძრაობა ახლა. დავუშვათ, რომ "აქიდან აქამდე" გადასასვლელად ის გადავიდა არა როგორც ადრე, არამედ ასე:

მაგრამ მაინც სწორ ადგილას მოვხვდი იმავე მომენტში, როგორც ადრე.

”და ასე,” განაგრძო მასწავლებელმა, ”თუ თქვენ გამოთვლით კინეტიკურ ენერგიას დროის თითოეულ მომენტში ნაწილაკების გზაზე, გამოაკლებთ მას პოტენციურ ენერგიას და აერთიანებთ განსხვავებას მთელი დროის განმავლობაში, როდესაც მოძრაობა მოხდა, თქვენ ნახეთ, რომ ნომერი, რომელსაც მიიღებთ, იქნება მეტი,ვიდრე ნაწილაკების ჭეშმარიტ მოძრაობაში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნიუტონის კანონები შეიძლება ჩამოყალიბდეს არა როგორც F = ma, არამედ შემდეგნაირად: საშუალო კინეტიკური ენერგია მინუს საშუალო პოტენციური ენერგია აღწევს საკუთარ თავს. ყველაზე პატარა ღირებულებატრაექტორიაზე, რომლის გასწვრივაც ობიექტი რეალურად გადადის ერთი ადგილიდან მეორეზე.

ვეცდები ცოტა უფრო გარკვევით აგიხსნათ.
თუ ავიღებთ გრავიტაციულ ველს და დავნიშნავთ ნაწილაკების ტრაექტორიას x(ტ), სად Xარის სიმაღლე მიწის ზემოთ (ჯერჯერობით მოვახერხებთ ერთი გაზომვით; ტრაექტორია მხოლოდ ზევით-ქვევით და არა გვერდებზე), მაშინ კინეტიკური ენერგია იქნება წ 2 მ(dx/ dt) 2, აპოტენციური ენერგია დროის თვითნებურ მომენტში იქნება ტოლი mgx.


ახლა, ტრაექტორიის გასწვრივ მოძრაობის გარკვეული მომენტისთვის, ვიღებ განსხვავებას კინეტიკურ და პოტენციურ ენერგიებს შორის და ვაერთიანებ ყველა დროის განმავლობაში თავიდან ბოლომდე. ნება საწყის დროს tx მოძრაობა დაიწყო გარკვეულ სიმაღლეზე და ერთ მომენტში დასრულდა ტ 2 სხვა სიმაღლეზე.

მაშინ ინტეგრალი არის ∫ t2 t1 dt

ჭეშმარიტი მოძრაობა კეთდება რაღაც მრუდის გასწვრივ (დროის ფუნქციით ეს პარაბოლაა) და მივყავართ ინტეგრალის გარკვეულ მნიშვნელობამდე. Მაგრამ შენ შეგიძლია ადრედადებასხვა მოძრაობა: ჯერ მკვეთრი აწევა, შემდეგ კი უცნაური რყევები.

თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ განსხვავება პოტენციურ და კინეტიკურ ენერგიებს შორის ამ გზაზე ... ან სხვა. და ყველაზე გასაოცარი ის არის, რომ რეალური გზა არის ის, რომლის გასწვრივ ეს ინტეგრალი ყველაზე პატარაა.
მოდით შევამოწმოთ. დასაწყისისთვის ჩვენ გავაანალიზებთ შემდეგ შემთხვევას: თავისუფალ ნაწილაკს საერთოდ არ აქვს პოტენციური ენერგია. მაშინ წესი ამბობს, რომ მოცემულ დროს ერთი წერტილიდან მეორეზე გადასვლისას კინეტიკური ენერგიის ინტეგრალი ყველაზე პატარა უნდა იყოს. და ეს ნიშნავს, რომ ნაწილაკი ერთნაირად უნდა მოძრაობდეს. (და მართალია, მე და შენ ვიცით, რომ სიჩქარე ასეთ მოძრაობაში მუდმივია.) და რატომ თანაბრად? მოდი გავარკვიოთ. სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, მაშინ ნაწილაკების სიჩქარე ხანდახან გადააჭარბებდა საშუალოს, ზოგჯერ კი მასზე დაბალი იქნებოდა და საშუალო სიჩქარე იგივე იქნებოდა, რადგან ნაწილაკს მოუწევდა "აქიდან აქამდე" მოხვედრა. შეთანხმებული დრო. მაგალითად, თუ თქვენ გჭირდებათ გარკვეული დროის განმავლობაში სახლიდან სკოლამდე თქვენი მანქანით, მაშინ ეს შეგიძლიათ გააკეთოთ სხვადასხვა გზით: შეგიძლიათ ჯერ გიჟივით მართოთ, ბოლოს კი შეანელოთ სიჩქარე, ან იმოძრაოთ იმავე სიჩქარით, ან შეგიძლია უკან წახვიდე და მხოლოდ ამის შემდეგ მიხვიდე სკოლაში და ა.შ. ყველა შემთხვევაში საშუალო სიჩქარე, რა თქმა უნდა, იგივე უნდა იყოს - სახლიდან სკოლამდე მანძილის კოეფიციენტი გაყოფილი დროზე. მაგრამ ამ საშუალო სიჩქარითაც კი ხან ზედმეტად სწრაფად მოძრაობდი და ხან ძალიან ნელა. საშუალო კვადრატირაღაც, რაც გადახრის საშუალოდან, ცნობილია, რომ ყოველთვის მეტია საშუალოს კვადრატზე; ეს ნიშნავს, რომ მოძრაობის სიჩქარის რყევების დროს კინეტიკური ენერგიის ინტეგრალი ყოველთვის იქნება უფრო დიდი, ვიდრე მუდმივი სიჩქარით მოძრაობისას. თქვენ ხედავთ, რომ ინტეგრალი მიაღწევს მინიმუმს, როდესაც სიჩქარე მუდმივია (ძალების არარსებობის შემთხვევაში). ეს არის სწორი გზა.

გრავიტაციის ველში ამოვარდნილი ობიექტი თავიდან სწრაფად, შემდეგ კი უფრო და უფრო ნელა იზრდება. ეს იმიტომ ხდება, რომ მას ასევე აქვს პოტენციური ენერგია და ყველაზე მცირე მნიშვნელობა უნდა მიაღწიოს ერთხელnessკინეტიკურ და პოტენციურ ენერგიებს შორის.. ვინაიდან პოტენციური ენერგია მატულობს, მით უფრო მცირეა განსხვავებაგამოვა, თუ რაც შეიძლება სწრაფად მიაღწევთ იმ სიმაღლეებს, სადაც პოტენციური ენერგია მაღალია. შემდეგ, ამ მაღალი პოტენციალის გამოკლებით კინეტიკურ ენერგიას, მივაღწევთ საშუალოს შემცირებას. ასე რომ, უფრო მომგებიანია ასვლა და კარგი ნეგატიური ნაწილის მიწოდება პოტენციური ენერგიის ხარჯზე.

ეს ყველაფერი ჩემმა მასწავლებელმა მითხრა, რადგან ის ძალიან კარგი მასწავლებელი იყო და იცოდა, როდის გაჩერებულიყო. სამწუხაროდ, მე ასეთი არ ვარ. მიჭირს დროზე გაჩერება. ასე რომ, იმის მაგივრად, რომ უბრალოდ ჩემი ისტორიით თქვენი ინტერესი გაგიღვივოთ, მინდა შეგაშინოთ, მინდა, ცხოვრების სირთულის გამო დაავადდეთ - ვეცდები დავამტკიცო ჩემი ნათქვამი. მათემატიკური ამოცანა, რომელსაც ჩვენ გადავწყვეტთ, ძალიან რთული და თავისებურია. არის გარკვეული ღირებულება ს, დაურეკა მოქმედება.ის უდრის კინეტიკურ ენერგიას გამოკლებული პოტენციური ენერგია დროთა განმავლობაში ინტეგრირებული:

მაგრამ, მეორეს მხრივ, თქვენ არ შეგიძლიათ არც ძალიან სწრაფად იმოძრაოთ და არც ზედმეტად მაღლა ასვლა, რადგან ამას ძალიან დიდი კინეტიკური ენერგია დასჭირდება. თქვენ უნდა იმოძრაოთ საკმარისად სწრაფად, რომ ახვიდეთ ზევით-ქვევით იმ დროის ლიმიტით, რაც თქვენს განკარგულებაშია. ასე რომ თქვენ არ უნდა სცადოთ ფრენა ძალიან მაღლა, არამედ უბრალოდ უნდა მიაღწიოთ გარკვეულ გონივრულ დონეს. შედეგად, გამოდის, რომ გამოსავალი არის ერთგვარი ბალანსი რაც შეიძლება მეტი პოტენციური ენერგიის მიღების სურვილსა და კინეტიკური ენერგიის ოდენობის მაქსიმალურად შემცირების სურვილს შორის - ეს არის მაქსიმალური შემცირების მიღწევის სურვილი. კინეტიკური და პოტენციური ენერგიების განსხვავებაში.

არ დაგავიწყდეთ, რომ პ.ე. და c.e. ორივე დროის ფუნქციაა. ნებისმიერი ახალი წარმოსახვითი გზისთვის, ეს მოქმედება თავის განსაზღვრულ მნიშვნელობას იძენს. მათემატიკური ამოცანაა იმის დადგენა, თუ რომელ მრუდზეა ეს რიცხვი სხვაზე ნაკლები.

თქვენ ამბობთ: „ოჰ, ეს მხოლოდ ტიპიური მაღალი და დაბალი მაგალითია. მოქმედება უნდა დავთვალოთ, განვასხვავოთ და ვიპოვოთ მინიმუმი.

Მაგრამ მოიცადე. როგორც წესი, გვაქვს რაიმე ცვლადის ფუნქცია და უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა ცვლადი,რომლის დროსაც ფუნქცია ხდება ყველაზე პატარა ან უდიდესი. ვთქვათ, შუაში გაცხელებული ჯოხია. სითბო ვრცელდება მის გასწვრივ და ტემპერატურა დგინდება ღეროს თითოეულ წერტილში. თქვენ უნდა იპოვოთ წერტილი, სადაც ის ყველაზე მაღალია. მაგრამ ჩვენ სულ სხვა რამეზე ვსაუბრობთ - ყველა გზა სივრცეშიპასუხობს მის ნომერს და უნდა აღმოაჩინოს ეს გზა,რომლისთვისაც ეს რიცხვი მინიმალურია. ეს მათემატიკის სრულიად განსხვავებული სფეროა. ეს არ არის ჩვეულებრივი გაანგარიშება, მაგრამ ვარიაციული(ასე ეძახიან).

მათემატიკის ამ სფეროში ბევრი პრობლემაა. მაგალითად, წრე ჩვეულებრივ განისაზღვრება, როგორც წერტილების ადგილი, რომელთა მანძილი მოცემული წერტილიდან იგივეა, მაგრამ წრე შეიძლება განისაზღვროს სხვა გზით: ეს არის ერთ-ერთი მრუდი. მოცემული სიგრძე,რომელიც ყველაზე დიდი ფართობია. იმავე პერიმეტრის ნებისმიერი სხვა მრუდი მოიცავს წრეზე მცირე ფართობს. ასე რომ, თუ დავსვათ დავალებას: ვიპოვოთ მოცემული პერიმეტრის მრუდი, რომელიც ესაზღვრება უდიდეს ფართობს, მაშინ დავალება გვექნება ვარიაციების გამოთვლებიდან და არა იმ გამოთვლებიდან, რომელსაც თქვენ შეჩვეული ხართ.

ასე რომ, ჩვენ გვინდა ავიღოთ ინტეგრალი სხეულის მიერ გავლილი გზის გასწვრივ. მოდი ასე მოვიქცეთ. მთელი საქმე მდგომარეობს იმაში, რომ წარმოვიდგინოთ, რომ არსებობს ჭეშმარიტი გზა და რომ ნებისმიერი სხვა მრუდი, რომელსაც ჩვენ ვხატავთ, არ არის ჭეშმარიტი გზა, ასე რომ, თუ ჩვენ გამოვთვლით მის მოქმედებას, მივიღებთ იმაზე მეტ რიცხვს, ვიდრე ვიღებთ მოქმედებისთვის, რომელიც შეესაბამება ქმედებას. რეალური გზა.

ასე რომ, ამოცანაა იპოვოთ ჭეშმარიტი გზა. სად გარბის? ერთი გზა, რა თქმა უნდა, იქნება მოქმედების გამოთვლა მილიონობით და მილიონობით ბილიკისთვის და შემდეგ ვნახოთ რომელ გზას აქვს ყველაზე მცირე მოქმედება. ეს არის გზა, რომლითაც მოქმედება მინიმალურია და იქნება რეალური.

ეს გზა სავსებით შესაძლებელია. თუმცა, ეს შეიძლება გაადვილდეს. თუ არის რაოდენობა, რომელსაც აქვს მინიმუმი (ჩვეულებრივი ფუნქციებიდან, ვთქვათ, ტემპერატურა), მაშინ მინიმალურის ერთ-ერთი თვისებაა ის, რომ მისგან შორს შორდება პირველისიმცირის რიგითობა, ფუნქცია გადაიხრება მისი მინიმალური მნიშვნელობიდან მხოლოდ ოდენობით მეორეშეკვეთა. და მრუდის ნებისმიერ სხვა ადგილას, მცირე მანძილზე გადანაცვლება ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას ასევე სიმცირის პირველი რიგის მნიშვნელობით. მაგრამ მინიმუმ, უმნიშვნელო გადახრები გვერდზე პირველ მიახლოებაში არ იწვევს ფუნქციის ცვლილებას.

ეს არის თვისება, რომელსაც ვაპირებთ გამოვიყენოთ რეალური გზის გამოსათვლელად.

თუ გზა სწორია, მაშინ მისგან ოდნავ განსხვავებული მრუდი, როგორც პირველი მიახლოება, არ გამოიწვევს მოქმედების სიდიდის ცვლილებას. ყველა ცვლილება, თუ ის ნამდვილად მინიმალური იყო, მოხდება მხოლოდ მეორე მიახლოებით.

ამის დამტკიცება ადვილია. თუ მრუდიდან გარკვეული გადახრისთვის არის ცვლილებები პირველი რიგის მიხედვით, მაშინ ეს ცვლილებები მოქმედებს პროპორციულიგადახრა. ისინი სავარაუდოდ გაზრდიან მოქმედებას; წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს არ იქნება მინიმალური. მაგრამ დრო იცვლება პროპორციულიგადახრა, შემდეგ გადახრის ნიშნის შეცვლა შეამცირებს მოქმედებას. გამოდის, რომ ერთ მხარეს გადახრისას მოქმედება იზრდება, ხოლო საპირისპირო მიმართულებით გადახრისას მცირდება. ერთადერთი შესაძლებლობა იმისა, რომ ეს რეალურად იყოს მინიმუმი არის ის, რომ, როგორც პირველი მიახლოება, არანაირი ცვლილება არ ხდება და ცვლილება პროპორციულია ჭეშმარიტი გზიდან გადახრის კვადრატის.

ასე რომ, ჩვენ გავალთ შემდეგ გზაზე: აღვნიშნოთ x(ტ) (ქვემოთ ხაზით) ჭეშმარიტი გზა არის ის, რისი პოვნაც გვინდა. მოდით, საცდელად გავიაროთ x(ტ), განსხვავდება სასურველისგან მცირე რაოდენობით, რასაც ჩვენ აღვნიშნავთ η (ტ).

იდეა არის ის, რომ თუ ჩვენ ჩავთვლით მოქმედებას ს გზაზე x(ტ), მაშინ განსხვავება ამას შორის ს და მოქმედება, რომელიც ჩვენ გამოვთვალეთ ბილიკისთვის x(ტ) (სიმარტივისთვის აღინიშნა ს), ან განსხვავებას შორის ს_ და ს, უნდა იყოს პირველი მიახლოებით η ნული. ისინი შეიძლება განსხვავდებოდეს მეორე რიგით, მაგრამ პირველ რიგში განსხვავება უნდა იყოს ნული.

და ეს უნდა იყოს დაცული ნებისმიერისთვის η . თუმცა, არა ყველასთვის. მეთოდი მოითხოვს მხოლოდ იმ გზების გათვალისწინებას, რომლებიც იწყება და მთავრდება ერთი და იმავე წყვილი წერტილით, ანუ თითოეული გზა უნდა დაიწყოს ამ მომენტში გარკვეულ წერტილში. ტ 1 და დასრულდება სხვა კონკრეტულ მომენტში ტ 2 . ეს წერტილები და მომენტები ფიქსირდება. ასე რომ, ჩვენი ფუნქცია d) (გადახრა) უნდა იყოს ნული ორივე ბოლოში: η (ტ 1 )= 0 და η (t2)=0. ამ პირობით, ჩვენი მათემატიკური პრობლემა სრულიად განსაზღვრული ხდება.

თუ არ იცოდით დიფერენციალური გამოთვლები, შეგიძლიათ იგივე გააკეთოთ ჩვეულებრივი ფუნქციის მინიმუმის მოსაძებნად. ვ(x). იფიქრებ იმაზე, რა მოხდებოდა, თუ აიღებდი ვ(x) და დაამატეთ Xმცირე რაოდენობა თ, და ამტკიცებდა, რომ ცვლილება ვ(x) პირველი რიგის მიხედვით თ უნდა იყოს მინიმუმ ნული. კადრულობდი x+თ იმის მაგივრად Xდა გააფართოვეთ j(x+h) პირველ ხარისხამდე თ. . ., ერთი სიტყვით, გავიმეორებდით ყველაფერს, რის გაკეთებასაც ვაპირებთ η .

თუ ახლა ამას ყურადღებით დავაკვირდებით, დავინახავთ, რომ აქ დაწერილი პირველი ორი ტერმინი შეესაბამება ამ მოქმედებას ს, რომელსაც დავწერდი სასურველ ჭეშმარიტ გზას X.მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო ცვლილებაზე ს, ანუ განსხვავებაზე ს და თემები ს_, რომელიც მოიპოვებოდა ჭეშმარიტი გზისთვის. ჩვენ დავწერთ ამ განსხვავებას როგორც bS და დავარქვათ ვარიაცია ს. უგულებელყოფს "მეორე და უმაღლესი ბრძანებებს", ჩვენ ვიღებთ ამისთვის σS

ახლა ამოცანა ასე გამოიყურება. აქ არის განუყოფელი ჩემს წინაშე. ჯერ არ ვიცი როგორია, მაგრამ ზუსტად ვიცი რა, რა η არ ავიღებ, ეს ინტეგრალი ნულის ტოლი უნდა იყოს. "კარგი," შეიძლება ფიქრობთ, ერთადერთი შესაძლებლობარადგან ეს არის ისე, რომ მულტიპლიკატორი at η ნულის ტოლი იყო. მაგრამ რაც შეეხება პირველ ტერმინს, სადაც არის დ η / dt? თქვენ ამბობთ: „თუ η არაფრად იქცევა, მაშინ მისი წარმოებული არის იგივე არაფერი; ასე რომ, კოეფიციენტი dv\/ dt ასევე უნდა იყოს ნული. ისე, ეს მთლად ასე არ არის. ეს მთლად მართალი არ არის, რადგან გადახრას შორის η და მისი წარმოებული არსებობს კავშირი; ისინი არ არიან სრულიად დამოუკიდებლები, რადგან η (ტ) უნდა იყოს ნული და t1 და ზე ტ 2 .


ვარიაციების გაანგარიშების ყველა ამოცანის გადაჭრისას ყოველთვის გამოიყენება ერთი და იგივე ზოგადი პრინციპი. თქვენ ოდნავ ცვლით იმას, რისი შეცვლაც გსურთ (ისევე, როგორც ჩვენ გავაკეთეთ დამატებით η ), გადახედეთ პირველი რიგის პირობებს, მაშინმოაწყეთ ყველაფერი ისე, რომ მიიღოთ ინტეგრალი ამ ფორმით: „ცვლა (η ), გამრავლებული იმაზე, რაც გამოდის, „მაგრამ რომ მას არ გააჩნია წარმოებულები η (არა დ η / dt). აბსოლუტურად აუცილებელია ყველაფრის ისე გარდაქმნა, რომ „რაღაც“ დარჩეს, გამრავლებული η . ახლა თქვენ მიხვდებით, რატომ არის ეს ასე მნიშვნელოვანი. (არსებობს ფორმულები, რომლებიც გეტყვით, თუ როგორ შეიძლება ზოგიერთ შემთხვევაში ამის გაკეთება ყოველგვარი გამოთვლების გარეშე; მაგრამ ისინი არც ისე ზოგადია, რომ ღირს მათი სწავლა; უმჯობესია გამოთვლების გაკეთება ისე, როგორც ჩვენ ვაკეთებთ.)

როგორ შემიძლია დიკის გადაკეთება დ η / dt, რომ გამოჩნდეს მასში η ? ამის მიღწევა შემიძლია ნაწილების ინტეგრირებით. გამოდის, რომ ვარიაციების გამოთვლაში მთელი ხრიკი არის ვარიაციის ამოწერა ს და შემდეგ ინტეგრირება ნაწილებით ისე, რომ წარმოებულები η გაუჩინარდა. ყველა პრობლემაში, რომელშიც წარმოებულები ჩნდება, იგივე ხრიკი კეთდება.

გავიხსენოთ ზოგადი პრინციპინაწილების მიერ ინტეგრაცია. თუ თქვენ გაქვთ თვითნებური ფუნქცია f გამრავლებული დ η / dt და ინტეგრირებულია ტ, შემდეგ თქვენ წერთ წარმოებულს η /ტ

ინტეგრაციის საზღვრები უნდა შეიცვალოს პირველ ტერმინში t1 და ტ 2 . შემდეგ ინტეგრალის ქვეშ მივიღებ ტერმინს ნაწილების მიერ ინტეგრაციისგან და ბოლო ტერმინი, რომელიც უცვლელი დარჩა ტრანსფორმაციის დროს.
ახლა კი რაც ხდება არის ის, რაც ყოველთვის ხდება - ინტეგრირებული ნაწილი ქრება. (და თუ ის არ გაქრება, მაშინ პრინციპი უნდა გადაფორმდეს და დაემატოს ასეთი გაქრობის უზრუნველყოფის პირობები!) ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ η ბილიკის ბოლოებში ნულის ტოლი უნდა იყოს. ბოლოს და ბოლოს, რა არის ჩვენი პრინციპი? იმით, რომ მოქმედება მინიმალურია, იმ პირობით, რომ ცვლადი მრუდი იწყება და მთავრდება არჩეულ წერტილებში. Ეს ნიშნავს, რომ η (t 1)=0 და η (t2)=0. მაშასადამე, ინტეგრირებული წევრი გამოდის ნულის ტოლი. ვიკრიბებით დანარჩენ წევრებს და ვწერთ

Ვარიაცია ს ახლა შეიძინა ფორმა, რომლის მიცემაც გვინდოდა: რაღაც არის ფრჩხილებში (მოდით აღვნიშნოთ ფ), და ეს ყველაფერი მრავლდება η (ტ) და ინტეგრირებული ტ ტ ადრე ტ 2 .
აღმოჩნდა, რომ ზოგიერთი გამონათქვამის ინტეგრალი გამრავლებულია η-ზე (ტ), ყოველთვის ნულია:

ზოგიერთი ფუნქცია ღირს ტ; გაამრავლეთ იგი η (ტ) და გააერთიანეთ იგი თავიდან ბოლომდე. და რაც არ უნდა იყოს η, მე მივიღებ ნული. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია ფ(ტ) უდრის ნულს. ზოგადად, ეს აშკარაა, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის გაჩვენებთ ამის დასამტკიცებლად ერთ-ერთ გზას.

მოდით როგორც η (ტ) მე ავირჩევ ისეთ რამეს, რომელიც ყველგან ნულის ტოლია, ყველასთვის ტ, ერთი წინასწარ შერჩეული მნიშვნელობის გარდა ტ. იქამდე ნული რჩება. ტ, თშემდეგ ერთი წუთით ხტება და მაშინვე უკან იხევს. თუ აიღებთ ამ მ) ინტეგრალს გამრავლებული რომელიმე ფუნქციაზე ფ, ერთადერთი ადგილი, სადაც იღებთ რაღაც არა-ნულოვანს, არის სად η (ტ) გადახტა; და თქვენ მიიღებთ ღირებულებას ფ ამ ეტაპზე ინტეგრალზე ნახტომი. თავისთავად, ნახტომი ინტეგრალი არ არის ნულის ტოლი, არამედ გამრავლების შემდეგ ფ უნდა მისცეს ნული. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია იმ ადგილას, სადაც იყო ნახტომი, უნდა იყოს ნული. მაგრამ ნახტომი შეიძლებოდა სადმე განხორციელებულიყო; ნიშნავს, ფ ყველგან ნული უნდა იყოს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ ჩვენი ინტეგრალი ნულის ტოლია ნებისმიერისთვის η , შემდეგ კოეფიციენტი at η უნდა წავიდეს ნულამდე. სამოქმედო ინტეგრალი აღწევს მინიმუმს იმ გზაზე, რომელიც დააკმაყოფილებს ასეთ რთულ დიფერენციალურ განტოლებას:

სინამდვილეში არც ისე რთულია; თქვენ მას ადრე შეხვდით. უბრალოდ F=ma. პირველი ტერმინი არის მასის გამრავლებული აჩქარება; მეორე არის პოტენციური ენერგიის წარმოებული, ანუ ძალა.

ასე რომ, ჩვენ ვაჩვენეთ (ყოველ შემთხვევაში, კონსერვატიული სისტემისთვის), რომ უმცირესი მოქმედების პრინციპი იწვევს სწორ პასუხს; ის ამტკიცებს, რომ გზა, რომელსაც აქვს მინიმალური მოქმედება, არის გზა, რომელიც აკმაყოფილებს ნიუტონის კანონს.

კიდევ ერთი შენიშვნაა საჭირო. მე ეს არ დამიმტკიცებია მინიმალური.იქნებ ეს არის მაქსიმუმი. სინამდვილეში, ეს არ უნდა იყოს მინიმუმი. აქ ყველაფერი იგივეა, რაც "უმოკლეს დროის პრინციპში", რომელიც ჩვენ განვიხილეთ ოპტიკის შესწავლისას. იქაც პირველად „უმოკლეს“ დროზე ვისაუბრეთ. თუმცა, აღმოჩნდა, რომ არის სიტუაციები, რომლებშიც ეს დრო სულაც არ არის „უმოკლესი“. ფუნდამენტური პრინციპი არის ის, რომ ნებისმიერი პირველი რიგის გადახრებიოპტიკური გზიდან ცვლილებებიდროში იქნება ნულის ტოლი; იგივე ამბავი აქ. "მინიმუმში" ჩვენ ნამდვილად ვგულისხმობთ, რომ რაოდენობრივი ცვლილების სიმცირის პირველ რიგში სგზიდან გადახრებისთვის უნდა იყოს ნულის ტოლი. და ეს არ უნდა იყოს "მინიმუმი".

ახლა მინდა გადავიტანო რამდენიმე განზოგადებაზე. უპირველეს ყოვლისა, მთელი ეს ამბავი სამ განზომილებაში შეიძლება გაკეთდეს. მარტივის ნაცვლად Xმე მაშინ მექნებოდა x, yდა ზროგორც ფუნქცია ტ,და მოქმედება უფრო რთულად გამოიყურებოდა. 3D მოძრაობაში თქვენ უნდა გამოიყენოთ მთლიანი კინეტიკური ენერგია): (ტ/2),გამრავლებული მთელი სიჩქარის კვადრატზე. Სხვა სიტყვებით

ასევე, პოტენციური ენერგია ახლა ფუნქციაა x, yდა ზ.რა შეიძლება ითქვას გზაზე? ბილიკი არის გარკვეული ზოგადი მრუდი სივრცეში; დახატვა არც ისე ადვილია, მაგრამ იდეა იგივე რჩება. და რაც შეეხება η? კარგად, η ასევე აქვს სამი კომპონენტი. ბილიკი შეიძლება გადაიტანოს როგორც x-ში, ასევე in-ში y,და მიერ z,ან სამივე მიმართულებით ერთდროულად. Ისე η ახლა ვექტორი. ამისგან ძლიერი გართულებები არ მიიღება. ვინაიდან მხოლოდ ვარიაციები უნდა იყოს ნულის ტოლი პირველი შეკვეთა,მაშინ შესაძლებელია გამოთვლა თანმიმდევრულად განხორციელდეს სამი ცვლებით. ჯერ შეგიძლიათ გადაადგილება გმხოლოდ მიმართულებით Xდა თქვით, რომ კოეფიციენტი უნდა იყოს ნულამდე. თქვენ მიიღებთ ერთ განტოლებას. მერე გადავალთ გმიმართულებით ზედა მიიღეთ მეორე. შემდეგ მივდივართ მიმართულებით ზდა მიიღეთ მესამე. თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი, თუ გსურთ, სხვა თანმიმდევრობით. როგორც არ უნდა იყოს, ჩნდება განტოლების სამმაგი. მაგრამ ნიუტონის კანონი ასევე არის სამი განტოლება სამ განზომილებაში, თითო თითოეული კომპონენტისთვის. თქვენ თვითონ უნდა ნახოთ, რომ ეს ყველაფერი სამ განზომილებაში მუშაობს (აქ ბევრი სამუშაო არ არის). სხვათა შორის, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ თქვენთვის სასურველი ნებისმიერი კოორდინატთა სისტემა, პოლარული, ნებისმიერი და დაუყოვნებლივ მიიღოთ ნიუტონის კანონები ამ სისტემასთან მიმართებაში, იმის გათვალისწინებით, თუ რა ხდება, როდესაც ცვლა ხდება. η რადიუსის გასწვრივ ან კუთხის გასწვრივ და ა.შ.

მეთოდი ასევე შეიძლება განზოგადდეს ნაწილაკების თვითნებურ რაოდენობაზე. თუ, ვთქვათ, თქვენ გაქვთ ორი ნაწილაკი და მათ შორის მოქმედებენ გარკვეული ძალები და არსებობს ორმხრივი პოტენციური ენერგია, მაშინ თქვენ უბრალოდ დაამატეთ მათ კინეტიკური ენერგიები და გამოაკლებთ ურთიერთქმედების პოტენციურ ენერგიას ჯამს. რით განსხვავდებით? გზები ორივენაწილაკები. შემდეგ სამ განზომილებაში მოძრავი ორი ნაწილაკისთვის ჩნდება ექვსი განტოლება. თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნაწილაკ 1-ის პოზიცია მიმართულებით X,მიმართულებით ზედა მიმართულებით z,და იგივე გააკეთე მე-2 ნაწილაკთან, ანუ ექვსი განტოლებაა. და ასეც უნდა იყოს. სამი განტოლება განსაზღვრავს ნაწილაკ 1-ის აჩქარებას მასზე მოქმედი ძალის მიხედვით, ხოლო სამი სხვა განსაზღვრავს ნაწილაკ 2-ის აჩქარებას მასზე მოქმედი ძალის გამო. ყოველთვის დაიცავით თამაშის იგივე წესები და მიიღებთ ნიუტონის კანონს ნაწილაკების თვითნებური რაოდენობის შესახებ.

მე ვთქვი, რომ ჩვენ მივიღებთ ნიუტონის კანონს. ეს არ არის მთლად მართალი, რადგან ნიუტონის კანონი ასევე მოიცავს არაკონსერვატიულ ძალებს, როგორიცაა ხახუნი. ამას ნიუტონი ამტკიცებდა რომუდრის ნებისმიერ F. უმცირესი მოქმედების პრინციპი მოქმედებს მხოლოდ კონსერვატიულისისტემები, ისეთი, რომ ყველა ძალა შეიძლება იყოს მიღებული პოტენციური ფუნქციიდან. მაგრამ თქვენ იცით ეს მიკროსკოპულ დონეზე, ანუ ყველაზე ღრმა ფიზიკური დონე, არ არსებობს არაკონსერვატიული ძალები. არაკონსერვატიული ძალები (როგორიცაა ხახუნი) მოდის მხოლოდ იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ უგულებელყოფთ მიკროსკოპულ კომპლექსურ ეფექტებს: უბრალოდ ძალიან ბევრი ნაწილაკია გასაანალიზებლად. ფუნდამენტურიიგივე კანონები მაისიგამოხატული იყოს როგორც უმცირესი მოქმედების პრინციპი.

ნება მომეცით გადავიდეთ შემდგომ განზოგადებებზე. დავუშვათ, ჩვენ გვაინტერესებს რა მოხდება, როდესაც ნაწილაკი რელატივისტურად მოძრაობს. სანამ არ მივიღებთ მოძრაობის სწორ რელატივისტურ განტოლებას; F=ma მართალია მხოლოდ არარელატივისტურ მოძრაობებში. ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა უმცირესი მოქმედების შესაბამისი პრინციპი რელატივისტურ შემთხვევაში? Დიახ აქ არის. ფორმულა რელატივისტურ შემთხვევაში არის:

მოქმედების ინტეგრალის პირველი ნაწილი არის დანარჩენი მასის პროდუქტი t 0 on 2 წლიდანხოლო სიჩქარის ფუნქციის ინტეგრალზე √ (1-v2/c 2 ). შემდეგ, პოტენციური ენერგიის გამოკლების ნაცვლად, გვაქვს სკალარული პოტენციალის φ და ვექტორული პოტენციალის A ინტეგრალები გამრავლებული v-ზე. რა თქმა უნდა, აქ მხოლოდ ელექტრომაგნიტური ძალებია გათვალისწინებული. ყველა ელექტრული და მაგნიტური ველი გამოიხატება φ და A-ებით. ასეთი მოქმედების ფუნქცია იძლევა ელექტრომაგნიტურ ველში ერთი ნაწილაკის რელატივისტური მოძრაობის სრულ თეორიას.

რა თქმა უნდა, უნდა გესმოდეთ, რომ ყველგან, სადაც ვწერე, გამოთვლების გაკეთებამდე უნდა ჩაანაცვლო dx/ dt იმის მაგივრად v x და ა.შ. გარდა ამისა, სადაც დავწერე უბრალოდ x, y, z,თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ პუნქტები მომენტში ტ: x(ტ), წ(ტ), ზ(ტ). სინამდვილეში, მხოლოდ v-ის ასეთი ჩანაცვლებისა და ჩანაცვლების შემდეგ მიიღებთ რელატივისტური ნაწილაკების მოქმედების ფორმულას. მოდით, თქვენ შორის ყველაზე გამოცდილი ცდილობდეს დაამტკიცოს, რომ მოქმედების ეს ფორმულა მართლაც იძლევა ფარდობითობის მოძრაობის სწორ განტოლებებს. ნება მიბოძეთ, მხოლოდ გირჩიოთ, ჯერ A-ს გადააგდოთ, ანუ ამ დროისთვის გააკეთოთ მაგნიტური ველების გარეშე. შემდეგ თქვენ უნდა მიიღოთ მოძრაობის განტოლების კომპონენტები dp/dt=-qVφ,სადაც, როგორც გახსოვთ, p=mv√(1-v 2 /c 2).

გაცილებით რთულია A ვექტორული პოტენციალის გათვალისწინება. შემდეგ ვარიაციები შეუდარებლად უფრო რთული ხდება. მაგრამ საბოლოო ჯამში ძალა ტოლია შემდეგში: g(E+v × B). მაგრამ თავად გაერთეთ ამით.

მინდა ხაზგასმით აღვნიშნო, რომ ზოგად შემთხვევაში (მაგალითად, რელატივისტურ ფორმულაში) განსხვავება კინეტიკურ და პოტენციურ ენერგიებს შორის აღარ არის მოქმედების ინტეგრალის ქვეშ. ეს მართებული იყო მხოლოდ არარელატივისტურ მიახლოებაში. მაგალითად, წევრი m o c 2√(1-v2/c2)არ არის ის, რასაც კინეტიკური ენერგია ჰქვია. საკითხი, თუ როგორი უნდა იყოს ქმედება თვითნებური კონკრეტული შემთხვევისთვის, შეიძლება გადაწყდეს გარკვეული ცდისა და შეცდომის შემდეგ. ეს არის იგივე ტიპის პრობლემა, როგორიც უნდა იყოს მოძრაობის განტოლებების განსაზღვრა. თქვენ უბრალოდ უნდა ითამაშოთ თქვენთვის ცნობილი განტოლებებით და ნახოთ, შეიძლება თუ არა ისინი დაიწეროს როგორც უმცირესი მოქმედების პრინციპი.

კიდევ ერთი შენიშვნა ტერმინოლოგიის შესახებ. ფუნქცია, რომელიც დროთა განმავლობაში ინტეგრირებულია მოქმედების მისაღებად S,დაურეკა ლაგრანგიანილ. ეს არის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ ნაწილაკების სიჩქარეზე და პოზიციებზე. ასე რომ, უმცირესი მოქმედების პრინციპი ასევე შეიძლება დაიწეროს როგორც

სადაც ქვეშ X მედა v i იგულისხმება კოორდინატების და სიჩქარის ყველა კომპონენტი. თუ ოდესმე მოისმენთ ვინმეს ლაპარაკს "ლაგრანგზე", იცოდეთ, რომ ისინი საუბრობენ ფუნქციაზე, რომელიც გამოიყენება ს. ელექტრომაგნიტურ ველში რელატივისტური მოძრაობისთვის

ამასთან, უნდა აღვნიშნო, რომ ყველაზე ზედმიწევნითი და პედანტი ხალხი არ ასახელებს სმოქმედება. მას უწოდებენ "ჰამილტონის პირველ მთავარ ფუნქციას". მაგრამ ლექციების წაკითხვა „ჰამილტონის უმცირესი ფუნქციის პრინციპის“ შესახებ ჩემს ძალებს აღემატებოდა. მე ამას "მოქმედება" ვუწოდე. და გარდა ამისა, უფრო და უფრო მეტი მეტი ხალხიუწოდეს მას "მოქმედება". ხედავთ, ისტორიულად მოქმედებას სხვა რამ ერქვა, არც ისე სასარგებლო მეცნიერებისთვის, მაგრამ მე ვფიქრობ, რომ უფრო აზრიანია განმარტების შეცვლა. ახლა თქვენ დაიწყებთ ახალი ფუნქციის მოქმედების გამოძახებას და მალე ყველა დაიწყებს მას ამ მარტივი სახელის გამოძახებას.

ახლა მინდა მოგითხროთ ჩვენი თემის შესახებ ისეთი მსჯელობის მსგავსი, რაც მე წარვმართე უმოკლეს დროის პრინციპის შესახებ. არსებობს განსხვავება იმ კანონის არსში, რომელიც ამბობს, რომ ერთი წერტილიდან მეორეში გადატანილ ზოგიერთ ინტეგრალს აქვს მინიმუმი - კანონი, რომელიც გვეუბნება ერთბაშად მთელ გზაზე და კანონი, რომელიც ამბობს, რომ როცა გადადიხარ, მაშინ , ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ძალა, რომელსაც მივყავართ აჩქარებამდე. მეორე მიდგომა გეუბნებათ თქვენი ყოველი ნაბიჯის შესახებ, ის ხაზს უსვამს თქვენს გზას ინჩი-ინჩზე და პირველი იძლევა ერთბაშად ერთგვარ ზოგად განცხადებას მთელი გავლილი გზის შესახებ. სინათლეზე საუბრისას ჩვენ ვისაუბრეთ ამ ორი მიდგომის კავშირზე. ახლა მინდა აგიხსნათ, რატომ უნდა არსებობდეს დიფერენციალური კანონები, თუ არსებობს ასეთი პრინციპი - უმცირესი მოქმედების პრინციპი. მიზეზი არის ეს: განიხილეთ გზა, რომელიც რეალურად გაიარა სივრცესა და დროში. როგორც ადრე, ჩვენ მოვახერხებთ ერთი განზომილებით, რათა შესაძლებელი გახდეს დამოკიდებულების გრაფიკის დახატვა Xსაწყისი ტ. ჭეშმარიტ გზაზე ს აღწევს მინიმუმს. დავუშვათ, ჩვენ გვაქვს ეს გზა და ის გადის რაღაც წერტილში ასივრცე და დრო და სხვა მეზობელი წერტილის გავლით ბ.

ახლა, თუ მთელი ინტეგრალური საწყისი t1 ადრე ტ 2 აღწევს მინიმუმს, აუცილებელია, რომ ინტეგრალი მცირე ფართობის გასწვრივ a-დან ბ ასევე მინიმალური იყო. არ შეიძლება იყოს ნაწილი აადრე ბმინიმუმზე ოდნავ ზემოთ მაინც. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ ამ მონაკვეთზე გადაიტანოთ მრუდი წინ და უკან და ოდნავ შეამციროთ მთლიანი ინტეგრალის მნიშვნელობა.

ეს ნიშნავს, რომ ბილიკის ნებისმიერმა ნაწილმა ასევე უნდა მისცეს მინიმუმი. და ეს მართალია გზის ნებისმიერი მცირე სეგმენტისთვის. მაშასადამე, პრინციპი, რომ მთელმა გზამ უნდა მისცეს მინიმუმი, შეიძლება ჩამოყალიბდეს იმით, რომ ბილიკის უსასრულოდ მცირე სეგმენტი ასევე არის ისეთი მრუდი, რომელზეც მოქმედება მინიმალურია. და თუ ავიღებთ გზის საკმარისად მოკლე სეგმენტს - ერთმანეთთან ძალიან ახლოს წერტილებს შორის ადა ბ,- არ აქვს მნიშვნელობა როგორ იცვლება პოტენციალი წერტილიდან წერტილამდე ამ ადგილიდან მოშორებით, რადგან მთელი თქვენი მოკლე სეგმენტის გავლისას თქვენ თითქმის არასოდეს ტოვებთ ადგილს. ერთადერთი, რაც უნდა გაითვალისწინოთ, არის პოტენციალის სიმცირის პირველი რიგის ცვლილება. პასუხი შეიძლება დამოკიდებული იყოს მხოლოდ პოტენციალის წარმოებულზე და არა სხვაგან პოტენციაზე. ამრიგად, განცხადება მთელი ბილიკის თვისების შესახებ ხდება განცხადება იმის შესახებ, თუ რა ხდება ბილიკის მოკლე მონაკვეთზე, ანუ დიფერენციალური განცხადება. და ეს დიფერენციალური ფორმულირება მოიცავს პოტენციალის წარმოებულებს, ანუ ძალას მოცემულ წერტილში. ეს არის ზოგადად კანონისა და დიფერენციალური სამართლის კავშირის თვისებრივი ახსნა.

როცა სინათლეზე ვსაუბრობდით, ასევე განვიხილეთ კითხვა: ბოლოს და ბოლოს როგორ პოულობს ნაწილაკი სწორ გზას? დიფერენციალური თვალსაზრისით, ამის გაგება მარტივია. ყოველ მომენტში ნაწილაკი განიცდის აჩქარებას და იცის მხოლოდ ის, რაც უნდა გააკეთოს იმ მომენტში. მაგრამ თქვენი მიზეზ-შედეგობრივი ინსტინქტები ჩნდება, როდესაც გესმით, რომ ნაწილაკი „გადაწყვეტს“ რომელ გზას ადგას, მოქმედების მინიმუმამდე მიდრეკილებით. ის უკვე „სუნავს“ მეზობელ ბილიკებს, აინტერესებს სად მიგვიყვანს ისინი - მეტ-ნაკლებად მოქმედებამდე? როდესაც ჩვენ დავდეთ ეკრანი სინათლის გზაზე ისე, რომ ფოტონებს არ შეეძლოთ ყველა ბილიკის მოსინჯვა, აღმოვაჩინეთ, რომ მათ არ შეეძლოთ გადაეწყვიტათ რომელი გზა უნდა გაევლოთ და მივიღეთ დიფრაქციის ფენომენი.

მაგრამ ეს ასევე მართალია მექანიკისთვის? მართალია, რომ ნაწილაკი უბრალოდ არ მიდის "სწორ გზაზე", არამედ გადახედავს ყველა სხვა წარმოდგენას ტრაექტორიას? და რა მოხდება, თუ მის გზაზე დაბრკოლებების დაყენებით, არ მივცეთ საშუალება, გაიხედოს წინ, მაშინ მივიღებთ დიფრაქციის ფენომენის ანალოგს? ამ ყველაფერში მშვენიერი ის არის, რომ ეს ნამდვილად ასეა. ამას ამბობს კვანტური მექანიკის კანონები. ასე რომ, ჩვენი უმცირესი მოქმედების პრინციპი ბოლომდე არ არის ჩამოყალიბებული. ის არ მდგომარეობს იმაში, რომ ნაწილაკი ირჩევს უმცირესი მოქმედების გზას, არამედ იმაში, რომ ის „ყნოსავს“ ყველა მეზობელ გზას და ირჩევს იმას, რომლის გასწვრივ მოქმედება მინიმალურია, და ამ არჩევანის მეთოდი მსგავსია. რომლითაც სინათლე ირჩევს უმოკლეს დროს. გახსოვთ, რომ სინათლეს უმოკლეს დრო სჭირდება: თუ სინათლე მიდის გზაზე, რომელიც სხვა დროს მოითხოვს, მაშინ ის სხვა ფაზასთან იქნება. და მთლიანი ამპლიტუდა რაღაც მომენტში არის ამპლიტუდების წვლილის ჯამი ყველა იმ ბილიკისთვის, რომლითაც სინათლეს შეუძლია მიაღწიოს მას. ყველა ის გზა, რომლებშიც ფაზები მკვეთრად განსხვავდება, დამატების შემდეგ არაფერს იძლევა. მაგრამ თუ მოახერხებთ ბილიკების მთელი თანმიმდევრობის პოვნას, რომლის ფაზები თითქმის იგივეა, მაშინ მცირე წვლილი დაემატება და ჩასვლის ადგილზე სრული ამპლიტუდა მიიღებს შესამჩნევ მნიშვნელობას. ყველაზე მნიშვნელოვანი გზა ხდება ის, რომლის მახლობლად არის მრავალი ახლო გზა, რომელიც იძლევა იმავე ფაზას.

ზუსტად იგივე ხდება კვანტურ მექანიკაში. სრული კვანტური მექანიკა (არარელატივისტური და ელექტრონის სპინის უგულებელყოფა) მუშაობს ასე: ალბათობა იმისა, რომ ნაწილაკი დატოვებს წერტილს 1 მომენტში t1, აღწევს წერტილს 2 მომენტში ტ 2 , უდრის ალბათობის ამპლიტუდის კვადრატს. მთლიანი ამპლიტუდა შეიძლება დაიწეროს როგორც ამპლიტუდების ჯამი ყველასთვის შესაძლო გზები- ჩამოსვლის ნებისმიერი გზით. Ვინმესთვის x(ტ), რომელიც შეიძლება მოხდეს ნებისმიერი წარმოსახვითი ტრაექტორიისთვის, უნდა გამოვთვალოთ ამპლიტუდა. შემდეგ ისინი ყველა უნდა დაიკეცონ. რა ავიღოთ გარკვეული გზის ალბათობის ამპლიტუდად? ჩვენი მოქმედების ინტეგრალი გვეუბნება, თუ რა უნდა იყოს ინდივიდუალური გზის ამპლიტუდა. ამპლიტუდა პროპორციულია e tS/h, სად ს - მოქმედება გზაზე. ეს ნიშნავს, რომ თუ ამპლიტუდის ფაზას წარმოვადგენთ კომპლექსურ რიცხვად, მაშინ ფაზის კუთხე ტოლი იქნება ს/ თ. მოქმედება ს აქვს ენერგიის განზომილება დროთა განმავლობაში, ხოლო პლანკის მუდმივას აქვს იგივე განზომილება. ეს არის მუდმივი, რომელიც განსაზღვრავს როდის არის საჭირო კვანტური მექანიკა.

და აი, როგორ მუშაობს ეს ყველაფერი. ნება ყველა გზაზე მოქმედება ს რაოდენობასთან შედარებით ძალიან დიდი იქნება თ. დაე, რომელიმე გზას მივყავართ ამპლიტუდის გარკვეულ სიდიდემდე. შემდეგი დაგებული ბილიკის ფაზა სრულიად განსხვავებული აღმოჩნდება, რადგან უზარმაზარი ს თუნდაც უმნიშვნელო ცვლილებები ს ფაზის მკვეთრად შეცვლა თძალიან ცოტა). ეს ნიშნავს, რომ მიმდებარე ბილიკები, როგორც წესი, ქრება მათი წვლილის დამატებისას. და მხოლოდ ერთ სფეროში ეს ასე არ არის - მასში, სადაც გზაც და მისი მეზობელიც - ორივეს, პირველი მიახლოებით, ერთი და იგივე ფაზა აქვს (ან, უფრო ზუსტად, თითქმის იგივე მოქმედება, იცვლება შიგნით. თ).მხოლოდ ასეთი გზებია გათვალისწინებული. ხოლო შემზღუდველ შემთხვევაში, როდესაც პლანკის მუდმივია თმიდრეკილია ნულისკენ, სწორი კვანტური მექანიკური კანონები შეიძლება შეჯამდეს შემდეგი სიტყვებით: „დაივიწყეთ ყველა ეს ალბათობის ამპლიტუდა. ნაწილაკი ნამდვილად მოძრაობს სპეციალური ბილიკის გასწვრივ - ზუსტად იმ გზით, რომლის გასწვრივაც ს არ იცვლება პირველი მიახლოებით. ეს არის კავშირი უმცირესი მოქმედების პრინციპსა და კვანტურ მექანიკას შორის. ის, რომ კვანტური მექანიკა შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს, აღმოაჩინა 1942 წელს იმავე მასწავლებლის, ბატონი ბადერის მოსწავლემ, რომლის შესახებაც მოგიყევით. [კვანტური მექანიკა თავდაპირველად ჩამოყალიბდა ამპლიტუდის დიფერენციალური განტოლების გამოყენებით (შროდინგერი) და ასევე ზოგიერთი მატრიცის მათემატიკის გამოყენებით (ჰაიზენბერგი).]

ახლა მინდა ვისაუბრო ფიზიკაში მინიმუმის სხვა პრინციპებზე. ამ ტიპის ბევრი საინტერესო პრინციპია. ყველას არ ჩამოვთვლი, მაგრამ მხოლოდ ერთს დავასახელებ. მოგვიანებით, როდესაც მივიღებთ ერთს ფიზიკური ფენომენი, რისთვისაც არის შესანიშნავი მინიმალური პრინციპი, ამის შესახებ მოგიყვებით. ახლა კი მინდა ვაჩვენო, რომ არ არის აუცილებელი ელექტროსტატიკის აღწერა ველის დიფერენციალური განტოლების საშუალებით; ამის ნაცვლად შეიძლება მოითხოვოს, რომ ზოგიერთ ინტეგრალს ჰქონდეს მაქსიმუმი ან მინიმალური. დასაწყისისთვის, ავიღოთ შემთხვევა, როდესაც მუხტის სიმკვრივე ცნობილია ყველგან, მაგრამ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პოტენციალი φ სივრცის ნებისმიერ წერტილში. თქვენ უკვე იცით, რომ პასუხი უნდა იყოს:

იგივეს თქმის კიდევ ერთი გზა შემდეგია: უნდა გამოვთვალოთ ინტეგრალი უ*

არის მოცულობა განუყოფელი. იგი გადაღებულია მთელ სივრცეში. პოტენციალის φ სწორი განაწილებით (x, y,ზ) ეს გამოთქმა მინიმუმს აღწევს.

ჩვენ შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ ორივე ეს განცხადება ელექტროსტატიკასთან დაკავშირებით ექვივალენტურია. დავუშვათ, რომ ჩვენ ავირჩიეთ თვითნებური ფუნქცია φ. ჩვენ გვინდა ვაჩვენოთ, რომ როდესაც ვიღებთ φ სწორი მნიშვნელობაპოტენციალი _φ პლუს მცირე გადახრა f, შემდეგ სიმცირის პირველი რიგის ცვლილება უ* იქნება ნული. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ

აქ φ არის ის, რასაც ჩვენ ვეძებთ; მაგრამ ჩვენ განვასხვავებთ φ, რათა დავინახოთ რა უნდა იყოს ვარიაციისთვის უ* პატარაობის პირველი რიგის აღმოჩნდა. პირველ წევრში უ* უნდა დავწეროთ

ეს უნდა იყოს ინტეგრირებული x, yდა მიერ ზ. და აქ იგივე ხრიკი გვთავაზობს თავისთავად: მოშორება დფ/ dx, ჩვენ გავერთიანდებით Xნაწილებად. ეს გამოიწვევს φ-ის დამატებით დიფერენციაციას მიმართ X.ეს არის იგივე ძირითადი იდეა, რომლითაც ჩვენ მოვიშორეთ წარმოებულები ტ. ჩვენ ვიყენებთ თანასწორობას

ინტეგრირებული ტერმინი არის ნული, რადგან ჩვენ ვთვლით, რომ f არის ნული უსასრულობაში. (ეს შეესაბამება η-ის გაქრობას, როდესაც ტ 1 და ტ 2 . ასე რომ, ჩვენი პრინციპი უფრო ზუსტად არის ნათქვამი შემდეგნაირად: უ* უფლებისთვის φ სხვაზე ნაკლები φ(x, y,ზ), იგივე მნიშვნელობების მქონე უსასრულობაში.) შემდეგ ჩვენ იგივეს გავაკეთებთ ზედა ზ. ჩვენი ინტეგრალური ΔU* ხდება

იმისათვის, რომ ეს ცვალებადობა იყოს ნული ნებისმიერი თვითნებური f-სთვის, კოეფიციენტი f-ზე უნდა იყოს ნული. ნიშნავს,

ჩვენ ვუბრუნდებით ძველ განტოლებას. ასე რომ, ჩვენი "მინიმალური" წინადადება სწორია. მისი განზოგადება შესაძლებელია გამოთვლების ოდნავ შეცვლით. მოდით დავბრუნდეთ უკან და გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით ყველაფრის კომპონენტ-კომპონენტად აღწერის გარეშე. დავიწყოთ შემდეგი განტოლების დაწერით:

მარცხენა მხარის დიფერენცირებით შემიძლია ვაჩვენო, რომ ის ზუსტად უდრის მარჯვენა მხარეს. ეს განტოლება შესაფერისია ნაწილების მიერ ინტეგრაციისთვის. ჩვენს ინტეგრალში ΔU* ჩვენ ვცვლით Vφ*Vf nდა fV 2 φ+V*(fVφ) და შემდეგ გააერთიანეთ ეს მოცულობაზე. მოცულობითი ინტეგრაციის შემდეგ განსხვავების ტერმინი იცვლება ზედაპირული ინტეგრალით:

და რადგან ჩვენ ვაერთიანებთ მთელ სივრცეს, ზედაპირი ამ ინტეგრალში დევს უსასრულობაში. აქედან გამომდინარე, f=0 და მივიღებთ წინა შედეგს.

მხოლოდ ახლა ვიწყებთ იმის გაგებას, თუ როგორ გადავჭრათ პრობლემები, რომლებშიც ჩვენ ვართ ჩვენ არ ვიცითსადაც ყველა გადასახადი მდებარეობს. დავუშვათ, ჩვენ გვყავს კონდუქტორები, რომლებზეც მუხტები რატომღაც ნაწილდება. თუ ყველა დირიჟორზე პოტენციალი დაფიქსირდა, მაშინ ჩვენი მინიმალური პრინციპი კვლავ ნებადართულია. ინტეგრაციაში უ* ჩვენ დავხატავთ მხოლოდ ყველა დირიჟორის გარეთ მდებარე არეალს. მაგრამ რადგან ჩვენ ვერ შევცვლით (φ) გამტარებზე, მაშინ f = 0 მათ ზედაპირზე და ზედაპირის ინტეგრალი

უნდა გაკეთდეს მხოლოდ დირიჟორებს შორის ხარვეზებში. და რა თქმა უნდა, ჩვენ კვლავ ვიღებთ პუასონის განტოლებას

ამიტომ ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ ჩვენი საწყისი ინტეგრალი უ* აღწევს მინიმუმს მაშინაც კი, როდესაც ის გამოითვლება გამტარებს შორის სივრცეში, რომელთაგან თითოეული არის ფიქსირებულ პოტენციალზე [ეს ნიშნავს, რომ თითოეული ტესტის ფუნქცია φ(x, y,ზ) უნდა იყოს ტოლი გამტარის მოცემულ პოტენციალს როცა (x, y,ზ) - გამტარის ზედაპირის წერტილები]. არის საინტერესო განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც მუხტები განლაგებულია მხოლოდ გამტარებზე. მერე

და ჩვენი მინიმალური პრინციპი გვეუბნება, რომ იმ შემთხვევაში, როდესაც თითოეულ დირიჟორს აქვს საკუთარი წინასწარ განსაზღვრული პოტენციალი, მათ შორის არსებული პოტენციალი ჯდება ისე, რომ ინტეგრალი უ* აღმოჩნდება რაც შეიძლება პატარა. რა არის ეს განუყოფელი? Vφ ტერმინი არის ელექტრული ველი. ასე რომ, ინტეგრალი არის ელექტროსტატიკური ენერგია. სწორი ველი ერთადერთია, რომელსაც პოტენციური გრადიენტის სახით მიღებულ ყველა ველს აქვს ყველაზე მცირე ჯამური ენერგია.

მე მსურს გამოვიყენო ეს შედეგი კონკრეტული პრობლემის გადასაჭრელად და გაჩვენოთ, რომ ამ ყველაფერს რეალური პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს. დავუშვათ, მე ავიღე ორი გამტარი ცილინდრული კონდენსატორის სახით.

შიდა გამტარის პოტენციალი არის, ვთქვათ, ვ, ხოლო გარე არის ნული. მოდით, შიდა გამტარის რადიუსი ტოლი იყოს A,და გარე - ბ.ახლა შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პოტენციალების განაწილება მათ შორის არის ნებისმიერი.მაგრამ თუ ავიღებთ სწორიφ-ის მნიშვნელობა და გამოთვალეთ
(ε 0 /2) ∫ (Vφ) 2 დვმაშინ სისტემის ენერგია უნდა იყოს 1/2CV 2 .

ასე რომ, ჩვენი პრინციპის დახმარებით, ჩვენ ასევე შეგვიძლია გამოვთვალოთ ტევადობა თან.თუ ავიღებთ არასწორ პოტენციალის განაწილებას და ვცდილობთ ამ მეთოდით შევაფასოთ კონდენსატორის ტევადობა, მაშინ ჩვენც მივალთ დიდი მნიშვნელობასიმძლავრე ფიქსირებული ვ. ნებისმიერი სავარაუდო პოტენციალი φ, რომელიც ზუსტად არ ემთხვევა მის ნამდვილ მნიშვნელობას, ასევე გამოიწვევს C-ის არასწორ მნიშვნელობას, საჭიროზე მეტი. მაგრამ თუ არასწორად შერჩეული პოტენციური cp მაინც უხეში მიახლოებაა, მაშინ ტევადობა თანეს უკვე კარგი სიზუსტით გამოვა, რადგან შეცდომა C-ში არის მეორე რიგის მნიშვნელობა φ-ში შეცდომებთან შედარებით.

დავუშვათ, რომ მე არ ვიცი ცილინდრული კონდენსატორის ტევადობა. შემდეგ, მის გასაცნობად, შემიძლია გამოვიყენო ეს პრინციპი. მე უბრალოდ ვეცდები φ-ის სხვადასხვა ფუნქციებს, როგორც პოტენციალს, სანამ არ მივაღწევ ყველაზე დაბალ მნიშვნელობას თან.დავუშვათ, რომ მე ავირჩიე მუდმივი ველის შესაბამისი პოტენციალი. (რა თქმა უნდა, თქვენ იცით, რომ ველი აქ ნამდვილად არ არის მუდმივი; ის იცვლება როგორც 1/r) თუ ველი მუდმივია, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ პოტენციალი ხაზობრივად დამოკიდებულია მანძილზე. იმისათვის, რომ დირიჟორებზე ძაბვა იყოს საჭირო, ფ ფუნქციას უნდა ჰქონდეს ფორმა

ეს ფუნქცია ტოლია ვ ზე r=a,ნული რ-ისთვის =ბ,და მათ შორის არის მუდმივი დახრილობა ტოლი - ვ/(ბ—ა).ასე რომ განვსაზღვროთ ინტეგრალი უ*, საჭიროა მხოლოდ ამ გრადიენტის კვადრატის გამრავლება ε o /2-ზე და ინტეგრირება მთელ მოცულობაზე. მოდით განვახორციელოთ ეს გაანგარიშება ერთეული სიგრძის ცილინდრისთვის. მოცულობის ელემენტი რადიუსით რუდრის 2prdr. ინტეგრირებით, ვხვდები, რომ ჩემი პირველი ცდა იძლევა შემდეგ შესაძლებლობებს:

ასე რომ, მე ვიღებ ტევადობის ფორმულას, რომელიც, თუმცა არასწორია, არის ერთგვარი მიახლოება:

რა თქმა უნდა, ის განსხვავდება სწორი პასუხისგან. C \u003d 2pe 0 / ln (b / a),მაგრამ მთლიანობაში არც ისე ცუდია. შევეცადოთ შევადაროთ ის რამდენიმე მნიშვნელობის სწორ პასუხს. ბ/ა.ჩემს მიერ გამოთვლილი რიცხვები ნაჩვენებია შემდეგ ცხრილში.

მაშინაც კი, როცა ბ/ა=2(და ეს უკვე იწვევს საკმაოდ დიდ განსხვავებებს მუდმივ და ხაზოვან ველებს შორის), მე მაინც საკმაოდ ასატან მიახლოებას ვიღებ. პასუხი, რა თქმა უნდა, როგორც მოსალოდნელი იყო, ცოტა მეტია. მაგრამ თუ თხელი მავთული მოთავსებულია დიდი ცილინდრის შიგნით, მაშინ ყველაფერი გაცილებით უარესად გამოიყურება. შემდეგ ველი ძალიან ძლიერად იცვლება და მისი მუდმივი ველით ჩანაცვლება კარგს არაფერს იწვევს. b/a=100-ით ჩვენ თითქმის გავაორმაგებთ პასუხს. პატარასთვის ბ/აპოზიცია ბევრად უკეთ გამოიყურება. საპირისპირო ზღვარზე, როდესაც დირიჟორებს შორის უფსკრული არ არის ძალიან ფართო (ვთქვათ, b/a=1.1-ზე), მუდმივი ველი ძალიან კარგი მიახლოებაა, ის იძლევა მნიშვნელობას. თანზუსტი პროცენტის მეათედამდე.

ახლა კი გეტყვით, თუ როგორ გააუმჯობესოთ ეს გაანგარიშება. (ცილინდრის პასუხი თქვენ, რა თქმა უნდა, ცნობილი,მაგრამ იგივე მეთოდი მუშაობს ზოგიერთ სხვაზე უჩვეულო ფორმებიკონდენსატორები, რომლებზეც შეიძლება არ იცოდეთ სწორი პასუხი.) შემდეგი ნაბიჯი არის რეალური პოტენციალის φ უკეთესი მიახლოების პოვნა, რომელიც ჩვენ არ ვიცით. ვთქვათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ მუდმივი პლუს φ-ის მაჩვენებლის მაჩვენებელი და ა.შ. მაგრამ როგორ იცით, რომ გაქვთ საუკეთესო მიახლოება, თუ არ იცით ჭეშმარიტი φ? პასუხი:დათვალეთ თან;რაც უფრო დაბალია, მით უფრო ახლოს არის სიმართლესთან. მოდით შევამოწმოთ ეს იდეა. პოტენციალი იყოს არა წრფივი, არამედ, ვთქვათ, კვადრატული r-ში, ხოლო ელექტრული ველი არა მუდმივი, არამედ წრფივი. Ყველაზე გენერალიკვადრატული ფორმა, რომელიც ხდება φ=O როდესაც რ=ბდა φ=F-ში r=a,არის:

სადაც α არის მუდმივი რიცხვი. ეს ფორმულა ოდნავ უფრო რთულია, ვიდრე წინა. მასში შედის როგორც კვადრატული ტერმინი, ასევე წრფივი. მისგან ველის მოპოვება ძალიან ადვილია. მარტივის ტოლია

ახლა ეს უნდა იყოს კვადრატული და ინტეგრირებული მოცულობაზე. მაგრამ მოითმინე ერთი წუთი. რა უნდა მივიღო α-სთვის? ვ-ისთვის შემიძლია ავიღო პარაბოლა, მაგრამ რა? აი, რას გავაკეთებ: გამოვთვალო ტევადობა თვითნებური α.მე მივიღებ

ცოტა დამაბნეველად გამოიყურება, მაგრამ ველის კვადრატის ინტეგრირების შემდეგ ასე გამოდის. ახლა მე შემიძლია საკუთარი თავის არჩევა. მე ვიცი, რომ სიმართლე უფრო დაბალია, ვიდრე ყველაფერი, რისი გარკვევასაც ვაპირებ. რაც არ უნდა დავდო ა-ს ადგილას, პასუხი მაინც ძალიან დიდია. მაგრამ თუ გავაგრძელებ ჩემს თამაშს α-სთან და ვცდილობ მივიღო ყველაზე დაბალი შესაძლო მნიშვნელობა თან,მაშინ ეს ყველაზე დაბალი მნიშვნელობა უფრო ახლოს იქნება სიმართლესთან, ვიდრე ნებისმიერი სხვა მნიშვნელობა. ამიტომ, ახლა უნდა ავირჩიო α ისე, რომ მნიშვნელობა თანმიაღწია თავის მინიმუმს. ჩვეულებრივ დიფერენციალურ გამოთვლას რომ მივმართავ, მე ვხედავ, რომ მინიმალურია თანიქნება როცა α =— 2 ბ/(ბ+ა). ამ მნიშვნელობის ფორმულაში ჩანაცვლებით, ვიღებ უმცირეს ტევადობას

მე მივხვდი, რას იძლევა ეს ფორმულა თანსხვადასხვა ღირებულებებზე ბ/ა.ამ ნომრებზე დავრეკე თან(კვადრატული). აქ არის ცხრილი, რომელიც ადარებს თან(კვადრატული) თან თან(მართალია).

მაგალითად, როდესაც რადიუსის თანაფარდობა არის 2:1, მე ვიღებ 1.444. ეს არის ძალიან კარგი მიახლოება სწორი პასუხისთვის, 1.4423. თუნდაც დიდი დიახმიახლოება საკმაოდ კარგი რჩება - ბევრია პირველზე უკეთესიმიახლოებები. ის რჩება ტოლერანტული (მხოლოდ 10% გადაჭარბებული) თუნდაც b/a=10:1. დიდი შეუსაბამობა მოდის მხოლოდ 100:1 თანაფარდობით. თანუდრის 0,346-ს 0,267-ის ნაცვლად. მეორეს მხრივ, რადიუსის თანაფარდობისთვის 1.5, შეთანხმება შესანიშნავია, მაგრამ ბ/ა=1.1პასუხი არის 10.492065 10.492070-ის ნაცვლად. სადაც კარგ პასუხს უნდა ველოდოთ, ძალიან, ძალიან კარგი გამოდის.

მე მოვიყვანე ყველა ეს მაგალითი, პირველ რიგში, იმისთვის, რომ ვაჩვენო მინიმალური მოქმედების პრინციპის და ზოგადად მინიმუმის ყველა პრინციპის თეორიული ღირებულება და, მეორეც, გაჩვენოთ მათი პრაქტიკული სარგებლობა და არა იმისთვის, რომ გამოვთვალოთ სიმძლავრე. რაც უკვე კარგად ვიცით. ნებისმიერი სხვა ფორმისთვის, შეგიძლიათ სცადოთ სავარაუდო ველი რამდენიმე უცნობი პარამეტრით (როგორც α) და მოარგოთ ისინი მინიმუმამდე. თქვენ მიიღებთ შესანიშნავ ციფრულ შედეგებს პრობლემებზე, რომლებიც სხვაგვარად ვერ გადაიჭრება.

უმცირესი მოქმედების პრინციპი, რომელიც პირველად იაკობიმ პირდაპირ განაცხადა, ჰამილტონის პრინციპის მსგავსია, მაგრამ ნაკლებად ზოგადი და უფრო რთული დასამტკიცებელია. ეს პრინციპი გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც კავშირები და ძალის ფუნქცია დროზე არ არის დამოკიდებული და, შესაბამისად, არსებობს ცოცხალი ძალის ინტეგრალი.

ეს ინტეგრალი ასე გამოიყურება:

ზემოთ მოყვანილი ჰამილტონის პრინციპი აცხადებს, რომ ინტეგრალის ცვალებადობა

უდრის ნულს რეალური მოძრაობის ნებისმიერ სხვა უსასრულოდ მჭიდრო მოძრაობაზე გადასვლისას, რომელიც გადააქვს სისტემას იმავედან. საწყისი პოზიციაიმავე ბოლო პოზიციაზე იმავე დროის განმავლობაში.

იაკობის პრინციპი, პირიქით, გამოხატავს თვისებას, მოძრაობას, რომელიც არ არის დამოკიდებული დროზე. იაკობი განიხილავს ინტეგრალს

მოქმედების განმსაზღვრელი. პრინციპი, რომელიც მან დაადგინა, ამბობს, რომ ამ ინტეგრალის ცვალებადობა ნულის ტოლია, როდესაც შევადარებთ სისტემის ფაქტობრივ მოძრაობას ნებისმიერ სხვა უსასრულოდ მჭიდრო მოძრაობასთან, რომელიც სისტემას ერთი და იგივე საწყისი პოზიციიდან ერთსა და იმავე საბოლოო პოზიციამდე გადაიყვანს. ამ შემთხვევაში ყურადღებას არ ვაქცევთ დახარჯულ დროის ინტერვალს, მაგრამ ვაკვირდებით განტოლებას (1), ანუ ცოცხალი ძალის განტოლებას h-ის მუდმივის იგივე მნიშვნელობით, როგორც რეალურ მოძრაობაში.

ეს აუცილებელი პირობაექსტრემუმი იწვევს, ზოგადად რომ ვთქვათ, ინტეგრალის მინიმუმამდე (2), საიდანაც მოდის უმცირესი მოქმედების პრინციპის სახელი. მინიმალური პირობა, როგორც ჩანს, ყველაზე ბუნებრივია, რადგან T-ის მნიშვნელობა არსებითად დადებითია და ამიტომ ინტეგრალს (2) აუცილებლად უნდა ჰქონდეს მინიმუმი. მინიმალურის არსებობა მკაცრად შეიძლება დადასტურდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დროის ინტერვალი საკმარისად მცირეა. ამ დებულების მტკიცებულება გვხვდება დარბოს ცნობილ კურსში ზედაპირების თეორიის შესახებ. თუმცა აქ არ წარმოვადგენთ და შემოვიფარგლებით პირობის გამოყვანით

432. უმცირესი მოქმედების პრინციპის დადასტურება.

რეალურ გამოთვლაში ჩვენ ვაწყდებით ერთ სირთულეს, რომელიც არ არის წარმოდგენილი ჰამილტონის თეორემის მტკიცებულებაში. ცვლადი t აღარ რჩება ვარიაციისგან დამოუკიდებელი; ასე რომ, ვარიაციები q i და q. დაკავშირებულია t-ის ცვალებადობასთან რთული ურთიერთობით, რომელიც გამომდინარეობს განტოლებიდან (1). ამ სირთულის გადასაჭრელად უმარტივესი გზაა დამოუკიდებელი ცვლადის შეცვლა ისეთზე, რომლის მნიშვნელობები მუდმივი დროიდან დამოუკიდებელ ლიმიტებს შორისაა. ვთქვათ k არის ახალი დამოუკიდებელი ცვლადი, რომლის ზღვრები დამოუკიდებლად ითვლება t-სგან. სისტემის გადაადგილებისას, პარამეტრები და t იქნება ამ ცვლადის ფუნქციები

პრიმირებული ასოები q აღნიშნავენ q პარამეტრების წარმოებულებს დროის მიმართ.

ვინაიდან კავშირები ვარაუდობენ, რომ დამოუკიდებელნი არიან დროისგან, დეკარტის კოორდინატები x, y, z არის q-ის ფუნქციები, რომლებიც არ შეიცავს დროს. ამიტომ მათი წარმოებულები იქნება q-ის წრფივი ერთგვაროვანი ფუნქციები და 7 იქნება q-ის ერთგვაროვანი კვადრატული ფორმა, რომლის კოეფიციენტები არის q-ის ფუნქციები. Ჩვენ გვაქვს

იმისათვის, რომ განვასხვავოთ q-ის დროითი წარმოებულები, ფრჩხილებით აღვნიშნავთ (q) q-ის წარმოებულებს, აღებული და დაყენებული ამის მიხედვით.

მაშინ გვექნება

ხოლო ინტეგრალი (2), რომელიც გამოხატულია ახალი დამოუკიდებელი ცვლადის A მეშვეობით, მიიღებს ფორმას;

წარმოებული შეიძლება აღმოიფხვრას ცოცხალი ძალის თეორემის გამოყენებით. მართლაც, ცოცხალი ძალის ინტეგრალი იქნება

ამ გამოთქმის ფორმულით ჩანაცვლებით, ჩვენ მივყავართ ინტეგრალი (2) ფორმაში

ამრიგად, მოქმედების განმსაზღვრელმა ინტეგრალმა მიიღო საბოლოო ფორმა (3). ინტეგრადი არის რაოდენობების კვადრატული ფორმის კვადრატული ფესვი

ვაჩვენოთ, რომ ინტეგრალის (3) კიდურთა დიფერენციალური განტოლებები ზუსტად ლაგრანგის განტოლებებია. ექსტრემალური განტოლებები, რომლებიც დაფუძნებულია ვარიაციების გამოთვლის ზოგად ფორმულებზე, იქნება:

ჩვენ ვამრავლებთ განტოლებებს 2-ზე და ვასრულებთ ნაწილობრივ დიფერენციაციას, იმის გათვალისწინებით, რომ არ შეიცავს, მაშინ მივიღებთ, თუ არ დავწერთ ინდექსს,

ეს არის ექსტრემალური განტოლებები, რომლებიც გამოხატულია დამოუკიდებელი ცვლადის მიხედვით, ახლა ამოცანაა დამოუკიდებელ ცვლადზე დაბრუნება.

ვინაიდან Г არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია და არის პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ფუნქცია, გვაქვს

მეორეს მხრივ, წარმოებულების ფაქტორებზე ექსტრემალების განტოლებებში, შეიძლება გამოვიყენოთ ცოცხალი ძალის თეორემა, რომელიც, როგორც ზემოთ ვნახეთ, იწვევს ჩანაცვლებას.

ყველა ჩანაცვლების შედეგად, ექსტრემალური განტოლებები მცირდება ფორმამდე

ამრიგად, ჩვენ მივედით ლაგრანგის განტოლებამდე.

433. შემთხვევა, როდესაც არ არსებობს მამოძრავებელი ძალები.

იმ შემთხვევაში, როცა მამოძრავებელი ძალებიარა, არსებობს ადამიანური ძალის განტოლება და გვაქვს

პირობა, რომ ინტეგრალი იყოს მინიმუმი არის ამ საქმესიმით, რომ შესაბამისი მნიშვნელობა -10 უნდა იყოს ყველაზე პატარა. ამრიგად, როდესაც არ არსებობს მამოძრავებელი ძალები, მაშინ ყველა მოძრაობას შორის, რომელშიც ცოცხალი ძალა ინარჩუნებს ერთსა და იმავე მნიშვნელობას, ფაქტობრივი მოძრაობა არის ის, რაც სისტემას უმოკლეს დროში მოაქვს მისი საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციამდე.

თუ სისტემა მცირდება ერთ წერტილამდე, რომელიც მოძრაობს ფიქსირებული ზედაპირის გასწვრივ, მაშინ ფაქტობრივი მოძრაობა, ზედაპირის გასწვრივ ყველა მოძრაობას შორის, რომელიც შესრულებულია იმავე სიჩქარით, არის ისეთი მოძრაობა, რომელშიც წერტილი გადადის საწყისი პოზიციიდან საბოლოო პოზიციაზე. უმოკლესამდე

დროის ინტერვალი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილი აღწერს ზედაპირზე უმოკლეს ხაზს მის ორ პოზიციას შორის, ანუ გეოდეზიურ ხაზს.

434. შენიშვნა.

უმცირესი მოქმედების პრინციპი ვარაუდობს, რომ სისტემას აქვს თავისუფლების რამდენიმე ხარისხი, ვინაიდან თავისუფლების მხოლოდ ერთი ხარისხი რომ იყოს, მაშინ ერთი განტოლება საკმარისი იქნება მოძრაობის დასადგენად. ვინაიდან მოძრაობა ამ შემთხვევაში შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ცოცხალი ძალის განტოლებით, ფაქტობრივი მოძრაობა იქნება ერთადერთი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას და, შესაბამისად, ვერ შეედრება სხვა მოძრაობას.

უმცირესი მოქმედების პრინციპი

მექანიკის ერთ-ერთი ვარიაციული პრინციპი, კრომის მიხედვით, მექანიკური მოძრაობების მოცემული კლასისთვის ერთმანეთთან შედარებით. სისტემა მოქმედებს რომელ ფიზიკურ. ღირებულება, ე.წ მოქმედებას, აქვს ყველაზე მცირე (უფრო ზუსტად, სტაციონარული) მნიშვნელობა. ჩვეულებრივ, N. d. p. გამოიყენება ორიდან ერთ-ერთ ფორმაში.

ა) N.d.p. ჰამილტონის სახით - ოსტროგრადსკი ადგენს, რომ სისტემის ყველა კინემატიკურად შესაძლო გადაადგილებას შორის ერთი კონფიგურაციიდან მეორეში (პირველთან ახლოს) შესრულებული იმავე დროის ინტერვალში, რეალურია ის, რისთვისაც ჰამილტონის მოქმედება იქნება S. იყოს ყველაზე პატარა. მეთიუ. ამ შემთხვევაში N.d.p-ის გამოხატულებას აქვს ფორმა: dS = 0, სადაც d არის არასრული (იზოქრონიული) ვარიაციის სიმბოლო (ანუ სრული ვარიაციისგან განსხვავებით, მასში დრო არ იცვლება).

ბ) N.D.P. Maupertuis-ის სახით - ლაგრანჟი ადგენს, რომ სისტემის ყველა კინემატიკურად შესაძლო გადაადგილებას შორის ერთი კონფიგურაციიდან მეორესთან ახლოს, რომელიც შესრულებულია სისტემის მთლიანი ენერგიის იგივე მნიშვნელობის შენარჩუნებით, მართებულია, რომ k-სთვის. ყველაზე დიდი ლაგრანგის მოქმედება W იქნება ყველაზე პატარა. მეთიუ. N.d.p.-ის გამოხატულებას ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა DW=0, სადაც D არის ტოტალური ვარიაციის სიმბოლო (ჰამილტონ-ოსტროგრადსკის პრინციპისგან განსხვავებით, აქ იცვლება არა მხოლოდ კოორდინატები და სიჩქარეები, არამედ ის დროც, რომელიც სისტემას სჭირდება. ერთი კონფიგურაციიდან მეორეზე გადასვლა). N. d. p. ამ შემთხვევაში ის მოქმედებს მხოლოდ კონსერვატიულ და, მით უმეტეს, ჰოლონომიკურ სისტემებზე, ხოლო პირველ შემთხვევაში NDP უფრო ზოგადია და, კერძოდ, შეიძლება გავრცელდეს არაკონსერვატიულ სისტემებზე. N. d. p. გამოიყენება მექანიკური მოძრაობის ურ-ტების შედგენისთვის. სისტემები და ამ მოძრაობებში საერთო წმ. N. D. P.-ს ცნებების სათანადო განზოგადებით, ის პოულობს გამოყენებას უწყვეტი გარემოს მექანიკაში, ელექტროდინამიკაში და კვანტურში. მექანიკა და ა.შ.

• - იგივე რაც...

  ფიზიკური ენციკლოპედია

• - m-ოპერატორი, მინიმიზაციის ოპერატორი, - სხვა ფუნქციებიდან ახალი ფუნქციების აგების მეთოდი, რომელიც შედგება შემდეგი ...

  მათემატიკური ენციკლოპედია

• - მექანიკის ერთ-ერთი ვარიაციული პრინციპი, კრომის მიხედვით, მექანიკური მოძრაობის მოცემული კლასისთვის ერთმანეთთან შედარებით. სისტემა ხორციელდება ის, რისთვისაც მოქმედება მინიმალურია ...

  ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

• - მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კანონი, რომელიც დაადგინა რუსმა მეცნიერმა მ.ვ. ოსტროგრადსკი...

  რუსული ენციკლოპედია

• იურიდიული ტერმინების ლექსიკონი

• - რიგი სახელმწიფოების კონსტიტუციურ სამართალში არის პრინციპი, რომლის მიხედვითაც არის საერთაშორისო სამართლის საყოველთაოდ აღიარებული პრინციპები და ნორმები. შემადგენელი ნაწილია ლეგალური სისტემაშესაბამისი ქვეყანა...

  სამართლის ენციკლოპედია

• - რიგი სახელმწიფოების კონსტიტუციურ სამართალში პრინციპი, რომლის მიხედვითაც საერთაშორისო სამართლის საყოველთაოდ აღიარებული ნორმები ეროვნული სამართლებრივი სისტემის განუყოფელი ნაწილია...

  დიდი სამართლის ლექსიკონი

• არის ყველაზე მოკლე მანძილი ფეთქებადი მუხტის ცენტრიდან თავისუფალი ზედაპირი- ხაზი nai-malkoto წინააღმდეგობის შესახებ - křivka nejmenšího odporu - Line der geringsten Festigkeit - robbantás minimális ellenállási tengelyvonala - hamgiin baga...

  სამშენებლო ლექსიკონი

• - თუ შესაძლებელია დეფორმირებადი სხეულის წერტილების გადაადგილება სხვადასხვა მიმართულებით, ამ სხეულის თითოეული წერტილი მოძრაობს მინიმალური წინააღმდეგობის მიმართულებით ...

  მეტალურგიის ენციკლოპედიური ლექსიკონი

• - წესი, რომლის მიხედვითაც ჩვეულებრივია არსებული აქციების შეფასება ან ყველაზე დაბალ ფასად ან ყველაზე დაბალ გასაყიდ ფასად ...

  ბიზნეს ტერმინების ლექსიკონი

• - რიგი სახელმწიფოების კონსტიტუციურ სამართალში - პრინციპი, რომლის მიხედვითაც საერთაშორისო სამართლის საყოველთაოდ აღიარებული პრინციპები და ნორმები არის შესაბამისი სახელმწიფოს სამართლებრივი სისტემის განუყოფელი ნაწილი და მოქმედებს ...

  ეკონომიკისა და სამართლის ენციკლოპედიური ლექსიკონი

• - მექანიკის ერთ-ერთი ვარიაციული პრინციპი, რომლის მიხედვითაც მექანიკური სისტემის მოძრაობის მოცემული კლასისთვის ერთმანეთთან შედარებით რეალურია ის, რისთვისაც ფიზიკური რაოდენობა, ...
• - იგივე, რაც გაუსის პრინციპი ...

  დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

• - მექანიკის ერთ-ერთი ვარიაციული პრინციპი; იგივეა რაც უმცირესი მოქმედების პრინციპი...

  დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

• - მექანიკის ერთ-ერთი ვარიაციული პრინციპი, რომლის მიხედვითაც მექანიკური სისტემის მოძრაობის მოცემული კლასისთვის ერთმანეთთან შედარებით, ის, რისთვისაც მოქმედება მინიმალურია ...

  Დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

• - Წიგნი. აირჩიე ყველაზე მეტი ადვილი გზამოქმედებები, დაბრკოლებების თავიდან აცილება, სირთულეების თავიდან აცილება...

  რუსული ლიტერატურული ენის ფრაზეოლოგიური ლექსიკონი

„ნაკლები მოქმედების პრინციპი“ წიგნებში

2.5.1. მოწყობილობის მუშაობის პრინციპი

წიგნიდან გასართობი ელექტრონიკა [სასარგებლო სქემების არა შაბლონური ენციკლოპედია] ავტორი კაშკაროვი ანდრეი პეტროვიჩი

2.5.1. მოწყობილობის მუშაობის პრინციპი მოწყობილობის მუშაობის პრინციპი მარტივია. როდესაც HL1 LED-ის მიერ გამოსხივებული სინათლის ნაკადი აისახება ობიექტიდან და ხვდება ფოტოდეტექტორს, ელექტრონული ბლოკი, რომელიც დანერგილია 2 მიკროსქემზე - KR1401CA1 შედარებით და KR1006VI1 ტაიმერი, წარმოქმნის.

ტერაფის მუშაობის პრინციპი

წიგნიდან საიდუმლო ცოდნა. აგნი იოგას თეორია და პრაქტიკა ავტორი როერიხ ელენა ივანოვნა

ტერაფის მოქმედების პრინციპი 24.02.39 მოგეხსენებათ, რომ ობიექტის ყოველი გაცნობიერება და წარმოდგენა ამით გვაახლოებს მას. მოგეხსენებათ, ობიექტის ფსიქიკური შრეები შეიძლება გადავიდეს მის ტერაფიმში. განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია შორეული სამყაროების ასტრალური ტერაფიმები და

მინიმალური ძალისხმევის კანონის მუშაობის სამი პირობა

წიგნიდან დიპაკ ჩოპრას სიბრძნე [მიიღე რაც გინდა სამყაროს 7 კანონის დაცვით] ავტორი გუდმენ ტიმი

მინიმალური ძალისხმევის კანონის მუშაობის სამი პირობა ვნახოთ, რა პირობებია საჭირო იმისათვის, რომ თქვენს ცხოვრებაში მოიზიდოთ სამყაროს ენერგიის ეს შემოქმედებითი ნაკადი - სიყვარულის ენერგია და, შესაბამისად, იმისთვის, რომ მინიმალური ძალისხმევის კანონი იმოქმედოს თქვენს ცხოვრებაში.

თავი 19 უმცირესი მოქმედების პრინციპი

წიგნიდან 6. ელექტროდინამიკა ავტორი ფეინმანი რიჩარდ ფილიპსი

თავი 19 უახლესი მოქმედების პრინციპი პოსტ ლექციის დანართი როდესაც სკოლაში ვიყავი, ჩვენმა ფიზიკის მასწავლებელმა, სახელად ბადერმა, ერთხელ დამირეკა გაკვეთილის შემდეგ და მითხრა: „როგორც ჩანს, საშინლად დაიღალე ყველაფრისგან; მოუსმინე რაიმე საინტერესოს

5. უმცირესი მოქმედების პრინციპი

წიგნიდან რევოლუცია ფიზიკაში ავტორი დე ბროლი ლუი

5. უმცირესი მოქმედების პრინციპი ზოგადი ხედიჰამილტონის პრინციპს, ანუ სტაციონარული მოქმედების პრინციპს უწოდებენ. ამ პრინციპის მიხედვით ყველა

ოპერაციული პრინციპი

წიგნიდან ზეინკალთა გზამკვლევი ფილიპს ბილის მიერ

მოქმედების პრინციპი ცილინდრის ბრუნვის უნარი დამოკიდებულია ქინძისთავების პოზიციაზე, რომელიც თავის მხრივ განისაზღვრება გრავიტაციით, ზამბარების მოქმედებით და გასაღების ძალით (ან დაჭერით; იხილეთ თავი 9 ინფორმაცია წვერების შესახებ) . გასაღების გარეშე, გრავიტაცია და ზამბარები შემოდიან

სტაციონარული მოქმედების პრინციპი

წიგნიდან დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია(ST) ავტორი TSB

მინიმალური მოქმედების პრინციპი

TSB

მინიმალური იძულების პრინციპი

ავტორის წიგნიდან დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია (NA). TSB

2.5.1. ოპერაციული პრინციპი

წიგნიდან სარელეო დაცვა ელექტრო სადისტრიბუციო ქსელებში B90 ავტორი ბულიჩევი ალექსანდრე ვიტალიევიჩი

2.5.1. მოქმედების პრინციპი ორმხრივი მიწოდების ელექტრო ქსელებში და რგოლის ქსელებში ჩვეულებრივი გადაჭარბებული დენის დაცვა არ შეიძლება იმოქმედოს შერჩევით. მაგალითად, in ელექტრო ქსელიორი დენის წყაროთი (ნახ. 2.15), სადაც ორივე მხარეს ჩამრთველები და დაცვებია დამონტაჟებული

ოპერაციული პრინციპი

წიგნიდან Turbo-Gopher. როგორ შევწყვიტო ტვინი და დაიწყო ცხოვრება ავტორი ლეუშკინ დიმიტრი

მოქმედების პრინციპი „დაამუშავე იგი“, ფაქტობრივად, ერთგვარი „მაკროა“, რომელიც ერთი ფრაზით იწყებს ქვეცნობიერში პროცესების მთელ წყებას, რომლის მიზანია შერჩეული ფსიქიკური მასალის დამუშავება. ეს დამმუშავებელი თავისთავად მოიცავს 7 სხვადასხვა მოდულს, რომელთაგან ზოგიერთი

როგორ დავიწყოთ მინიმალური ძალისხმევის კანონის დაცვა: სამი ნაბიჯის გადადგმა

ჯოზეფ მერფის, დეილ კარნეგის, ეკჰარტი ტოლის, დიპაკ ჩოპრას, ბარბარა შერის, ნილ უოლშის წიგნიდან კაპიტალის მზარდი გზამკვლევი ავტორი შტერნ ვალენტინი

როგორ დავიწყოთ მინიმალური ძალისხმევის კანონის დაცვა: სამი აუცილებელი მოქმედებაიმისათვის, რომ მინიმალური ძალისხმევის კანონი იმუშაოს, თქვენ არა მხოლოდ უნდა დაიცვან ზემოთ ჩამოთვლილი სამი პირობა, არამედ შეასრულოთ სამი მოქმედება. პირველი მოქმედება: დაიწყოთ სამყაროს მიღება ისე, როგორც ის არის მიღებული

11. უმცირესი მოქმედების ფიზიკა და აიკიდო

ავტორი მინდელ არნოლდი

11. უმცირესი მოქმედების ფიზიკა და აიკიდო როცა უბერავს, ეს მხოლოდ ქარია. Როდესაც წვიმს, მხოლოდ წვიმაა. როდესაც ღრუბლები მოძრაობენ, მზე ანათებს მათში. თუ თქვენ გახსნით საკუთარ თავს გამჭრიახობისთვის, მაშინ თქვენ ერთიანი ხართ გამჭრიახობასთან. და თქვენ შეგიძლიათ სრულად გამოიყენოთ იგი. თუ გახსენი

ლაიბნიცის უმცირესი მოქმედების პრინციპი "Vis Viva"

წიგნიდან გეოფსიქოლოგია შამანიზმში, ფიზიკაში და ტაოიზმში ავტორი მინდელ არნოლდი

ლაიბნიცის უმცირესი მოქმედების პრინციპი "Vis Viva" უმცირესი მოქმედების პრინციპისთვის ჩვენ ყველა მადლობელი უნდა ვიყოთ ვილჰელმ გოტფრიდ ლაიბნიცის (1646–1716). ერთ-ერთი პირველი "თანამედროვე" ფიზიკოსი და მათემატიკოსი, ლაიბნიცი ცხოვრობდა ნიუტონის დროს - ეპოქაში, როდესაც მეცნიერები უფრო გახსნილები იყვნენ.

აიკიდო - უმცირესი მოქმედების პრინციპის განსახიერება

წიგნიდან გეოფსიქოლოგია შამანიზმში, ფიზიკაში და ტაოიზმში ავტორი მინდელ არნოლდი

აიკიდო არის უმცირესი მოქმედების პრინციპის განსახიერება ჩვენი ფსიქოლოგია და ტექნოლოგია დიდწილად განპირობებულია კონცეფციით, რომელიც ძალიან ახლოს არის მინიმალური მოქმედების იდეასთან. ჩვენ მუდმივად ვცდილობთ ცხოვრება გავუადვილოთ საკუთარ თავს. დღევანდელი კომპიუტერები არ არის საკმარისად სწრაფი; მათ უნდა

P. Maupertuis) 1744 წელს, მაშინვე მიუთითა მისი უნივერსალური ბუნება და მიიჩნია, რომ იგი გამოიყენება ოპტიკასა და მექანიკაში. ამ პრინციპიდან მან გამოიტანა სინათლის არეკვლისა და გარდატეხის კანონები.

ენციკლოპედიური YouTube

• 1 / 5

  ფერმას პრინციპის მათემატიკური კვლევა და განვითარება ჩაატარა კრისტიან-ჰაიგენსმა, რის შემდეგაც ამ თემაზე აქტიურად განიხილეს XVII საუკუნის უდიდესი მეცნიერები. ლაიბნიცმა 1669 წელს ფიზიკაში შემოიტანა მოქმედების ფუნდამენტური კონცეფცია: „მოძრაობის ფორმალური მოქმედებები პროპორციულია ... მატერიის რაოდენობის, მათ მიერ გავლილი მანძილების და სიჩქარის ნამრავლის პროპორციული.

  მექანიკის საფუძვლების ანალიზის პარალელურად შემუშავდა ვარიაციული ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. ისააკ ნიუტონმა თავის „ნატურალური ფილოსოფიის მათემატიკური პრინციპები“ (1687) დაადგინა და გადაჭრა პირველი ვარიაციის პრობლემა: იპოვონ რევოლუციის სხეულის ისეთი ფორმა, რომელიც მოძრაობს წინააღმდეგობის გარემოში თავისი ღერძის გასწვრივ, რისთვისაც გამოცდილი წინააღმდეგობა იქნება ყველაზე ნაკლები. . თითქმის ერთდროულად გაჩნდა სხვა ვარიაციული პრობლემები: ბრაქისტოქრონის პრობლემა (1696), კატენარის ფორმა და ა.შ.

  გადამწყვეტი მოვლენები მოხდა 1744 წელს. ლეონჰარდ-ეილერმა გამოაქვეყნა პირველი ზოგადი ნაშრომი ვარიაციების გაანგარიშებაზე ("მრუდების პოვნის მეთოდი, რომელსაც აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური თვისებები"), ხოლო პიერ-ლუი დე მაუპერტუისმა თავის ტრაქტატში "ბუნების სხვადასხვა კანონების შეჯერება. აქამდე შეუთავსებელი ჩანდა“, მისცა უმცირესი მოქმედების პრინციპის პირველი ფორმულირება: „გზა, რომელსაც სინათლე გაჰყვება, არის გზა, რომლისთვისაც მოქმედების რაოდენობა ყველაზე მცირე იქნება“. მან აჩვენა ამ კანონის შესრულება როგორც სინათლის ასახვისთვის, ასევე გარდატეხისთვის. მაუპერტუისის სტატიის საპასუხოდ, ეილერმა გამოაქვეყნა (იმავე 1744 წელს) ნაშრომი „გადაგდებული სხეულების მოძრაობის განსაზღვრის შესახებ არარეზისტენტულ გარემოში მაქსიმალური და მინიმალური მეთოდით“ და ამ ნაშრომში მან მისცა. მაუპერტუისის პრინციპი ზოგადი მექანიკური ხასიათია: ”რადგან ყველა ბუნებრივი მოვლენა მიჰყვება მაქსიმუმის ან მინიმუმის ზოგიერთ კანონს, ეჭვგარეშეა, რომ მრუდი ხაზებისთვის, რომლებიც აღწერენ დაყრილ სხეულებს, როდესაც მათზე რაიმე ძალა მოქმედებს, ხდება მაქსიმუმის ან მინიმუმის გარკვეული თვისება. . ეილერმა შემდგომ ჩამოაყალიბა ეს კანონი: სხეულის ტრაექტორია მინიმუმს ქმნის ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). შემდეგ მან გამოიყენა იგი, გამოიტანა მოძრაობის კანონები ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში და რამდენიმე სხვა შემთხვევაში.

  1746 წელს მაუპერტუისში ახალი სამუშაოდაეთანხმა ეილერის მოსაზრებას და გამოაცხადა მისი პრინციპის ყველაზე ზოგადი ვერსია: „როდესაც ბუნებაში რაღაც ცვლილება ხდება, ამ ცვლილებისთვის აუცილებელი მოქმედების მოცულობა ყველაზე მცირეა. მოქმედების რაოდენობა არის სხეულების მასის, მათი სიჩქარისა და დისტანციის ნამრავლი. ფართო დისკუსიაში, რომელიც მოჰყვა, ეილერმა მხარი დაუჭირა მაუპერტუისის პრიორიტეტს და ამტკიცებდა ახალი კანონის უნივერსალურ ბუნებას: "მთელი დინამიკა და ჰიდროდინამიკა შეიძლება გამოვლინდეს გასაოცარი სიმარტივით მხოლოდ მაქსიმებისა და მინიმუმების მეთოდით".

  ახალი ეტაპი დაიწყო 1760-1761 წლებში, როდესაც ჯოზეფ-ლუი-ლაგრანჟმა შემოიღო ფუნქციის ცვალებადობის მკაცრი კონცეფცია, ვარიაციების გამოთვლას თანამედროვე სახე მისცა და უმცირესი მოქმედების პრინციპი განავრცო თვითნებურ მექანიკურ სისტემაზე (ანუ არა მხოლოდ უფასო მატერიალური ქულები). ამით დაიწყო ანალიტიკური მექანიკა. კარლ-გუსტავ-იაკობ-იაკობმა განახორციელა პრინციპის შემდგომი განზოგადება 1837 წელს - მან პრობლემა განიხილა გეომეტრიულად, როგორც ვარიაციის პრობლემის ექსტრემალების პოვნა კონფიგურაციის სივრცეში არაევკლიდური მეტრიკით. კერძოდ, ჯაკობიმ აღნიშნა, რომ გარე ძალების არარსებობის შემთხვევაში, სისტემის ტრაექტორია არის გეოდეზიური ხაზი კონფიგურაციის სივრცეში.

  ჰამილტონის მიდგომა აღმოჩნდა უნივერსალური და უაღრესად ეფექტური ფიზიკის მათემატიკურ მოდელებში, განსაკუთრებით კვანტური მექანიკისთვის. მისი ევრისტიკული სიძლიერე დადასტურდა ფარდობითობის ზოგადი თეორიის შექმნისას, როდესაც დევიდ ჰილბერტმა გამოიყენა ჰამილტონის პრინციპი გრავიტაციული ველის საბოლოო განტოლებების გამოსაყვანად (1915).

  კლასიკურ მექანიკაში

  უმცირესი მოქმედების პრინციპი ემსახურება მექანიკის ლაგრანგისა და ჰამილტონის ფორმულირებების ფუნდამენტურ და სტანდარტულ საფუძველს.

  ჯერ ასე განვიხილოთ კონსტრუქცია ლაგრანგის მექანიკა. ერთი ხარისხის თავისუფლების მქონე ფიზიკური სისტემის მაგალითის გამოყენებით, გავიხსენებთ, რომ მოქმედება არის ფუნქციონალური (განზოგადებული) - კოორდინატებთან მიმართებაში (თავისუფლების ერთი ხარისხის შემთხვევაში - ერთი კოორდინატი), ანუ ის გამოიხატება q (t) (\displaystyle q(t))ისე, რომ ფუნქციის ყველა შესაძლო ვერსია q (t) (\displaystyle q(t))შედარებულია გარკვეული რიცხვი - მოქმედება (ამ გაგებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მოქმედება, როგორც ფუნქციონალური არის წესი, რომელიც საშუალებას იძლევა ნებისმიერი მოცემული ფუნქცია q (t) (\displaystyle q(t))გამოთვალეთ კარგად განსაზღვრული რიცხვი - ასევე ეწოდება მოქმედებას). მოქმედება ასე გამოიყურება:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( რ))(t),t)dt,)

  სად L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t))არის სისტემის ლაგრანგია, რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატზე q (\displaystyle q), მისი პირველად წარმოებული q ˙ (\displaystyle (\dot (q)))და ასევე, შესაძლოა, აშკარად დროიდან t (\displaystyle t). თუ სისტემას აქვს თავისუფლების მეტი ხარისხი n (\displaystyle n), მაშინ ლაგრანგიანი დამოკიდებულია მეტიგანზოგადებული კოორდინატები q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n)და მათი პირველად წარმოებულები. ამრიგად, მოქმედება არის სკალარული ფუნქციონალური, დამოკიდებულია სხეულის ტრაექტორიაზე.

  ის ფაქტი, რომ მოქმედება არის სკალარი, აადვილებს მის დაწერას ნებისმიერ განზოგადებულ კოორდინატებში, მთავარია, რომ სისტემის პოზიცია (კონფიგურაცია) ცალსახად ხასიათდება მათ მიერ (მაგალითად, დეკარტის კოორდინატების ნაცვლად, ეს შეიძლება იყოს პოლარული. კოორდინატები, მანძილი სისტემის წერტილებს შორის, კუთხეებს ან მათ ფუნქციებს და ა.შ. დ.).

  მოქმედება შეიძლება გამოითვალოს სრულიად თვითნებური ტრაექტორიისთვის q (t) (\displaystyle q(t)), რაც არ უნდა „ველური“ და „არაბუნებრივი“ იყოს. თუმცა, კლასიკურ მექანიკაში, შესაძლო ტრაექტორიების მთელ კომპლექტს შორის, არის მხოლოდ ერთი, რომლის გასწვრივაც სხეული რეალურად წავა. მოქმედების სტაციონარული პრინციპი უბრალოდ იძლევა პასუხს კითხვაზე, თუ როგორ მოძრაობს სხეული სინამდვილეში:

  ეს ნიშნავს, რომ თუ სისტემის ლაგრანგია მოცემულია, მაშინ ვარიაციების გამოთვლების გამოყენებით შეგვიძლია ზუსტად განვსაზღვროთ, თუ როგორ მოძრაობს სხეული, ჯერ მივიღოთ მოძრაობის განტოლებები - ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები და შემდეგ გადავჭრათ ისინი. ეს საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ სერიოზულად განზოგადოს მექანიკის ფორმულირება, არამედ აირჩიოს ყველაზე მოსახერხებელი კოორდინატები თითოეული კონკრეტული პრობლემისთვის, არ შემოიფარგლება მხოლოდ კარტეზიულით, რაც შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს უმარტივესი და ადვილად ამოხსნილი განტოლებების მისაღებად.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ დიდი ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\დიდი))=\int (\დიდი ()\ჯამი _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\მათკალ (H))(q,p,t)(\დიდი))dt,)

  სად H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\ mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots ,p_(N),t) )არის მოცემული სისტემის ჰამილტონის ფუნქცია; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\ჩვენების სტილი q\equiv q_(1),q_(2),\წერტილები ,q_(N))- (განზოგადებული) კოორდინატები, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- კონიუგირებული (განზოგადებული) იმპულსები, რომლებიც ერთად ახასიათებენ დროის თითოეულ მომენტში სისტემის დინამიურ მდგომარეობას და, თითოეული დროის ფუნქციაა, რითაც ახასიათებს სისტემის ევოლუციას (მოძრაობას). ამ შემთხვევაში, სისტემის მოძრაობის განტოლებების მისაღებად კანონიკური-ჰამილტონის განტოლებების სახით, აუცილებელია ამ გზით დაწერილი მოქმედების დამოუკიდებლად ცვალებადობა ყველაზე. q i (\displaystyle q_(i))და p i (\displaystyle p_(i)).

  უნდა აღინიშნოს, რომ თუ პრინციპში შესაძლებელია პრობლემის პირობებიდან მოძრაობის კანონის პოვნა, მაშინ ეს ავტომატურად ხდება. არანიშნავს, რომ შესაძლებელია ფუნქციის აგება, რომელიც იღებს სტაციონალურ მნიშვნელობას ჭეშმარიტი მოძრაობის დროს. ამის მაგალითია ერთობლივი მოძრაობა ელექტრო მუხტებიხოლო მონოპოლები – მაგნიტური მუხტები – ელექტრომაგნიტურ ველში. მათი მოძრაობის განტოლებები არ შეიძლება იყოს მიღებული მოქმედების სტაციონარული პრინციპიდან. ანალოგიურად, ზოგიერთ ჰამილტონის სისტემას აქვს მოძრაობის განტოლებები, რომლებიც არ გამომდინარეობს ამ პრინციპიდან.

  მაგალითები

  ტრივიალური მაგალითები ეხმარება შეაფასოს ოპერაციული პრინციპის გამოყენება ეილერ-ლაგრანგის განტოლებების მეშვეობით. თავისუფალი ნაწილაკი (მას მდა სიჩქარე ვ) ევკლიდეს სივრცეში სწორი ხაზით მოძრაობს. ეილერ-ლაგრანგის განტოლებების გამოყენებით, ეს შეიძლება ნაჩვენები იყოს პოლარული კოორდინატებში შემდეგნაირად. პოტენციალის არარსებობის შემთხვევაში, ლაგრანგის ფუნქცია უბრალოდ კინეტიკური ენერგიის ტოლია

  1 2 მ v 2 = 1 2 მ (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\ წერტილი (x)) ^ (2) + (\ წერტილი (y)) ^ (2) \ მარჯვენა)) ψ = ∫ [ D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  Აქ ∫ [D x] (\displaystyle \int)არის უსასრულო ფუნქციური ინტეგრაციის პირობითი აღნიშვნა x(t) ყველა ტრაექტორიაზე და ℏ (\displaystyle \hbar)- პლანკის მუდმივი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ პრინციპში მოქმედება ექსპონენციაში ჩნდება (ან შეიძლება გამოჩნდეს), კვანტურ მექანიკაში ევოლუციის ოპერატორის შესწავლისას, თუმცა, სისტემებისთვის, რომლებსაც აქვთ ზუსტი კლასიკური (არაკვანტური) ანალოგი, ეს ზუსტად უდრის. ჩვეულებრივი კლასიკური მოქმედება.

  ამ გამოხატვის მათემატიკური ანალიზი კლასიკურ ზღვარში - საკმარისად დიდისთვის S / ℏ (\displaystyle S/\hbar), ანუ წარმოსახვითი მაჩვენებლის ძალიან სწრაფი რხევებით - გვიჩვენებს, რომ ამ ინტეგრალში ყველა შესაძლო ტრაექტორიის აბსოლუტური უმრავლესობა არღვევს ერთმანეთს ლიმიტში (ფორმალურად, როდესაც S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty)). თითქმის ნებისმიერი ბილიკისთვის არის ბილიკი, რომელზედაც ფაზის შეჭრა ზუსტად საპირისპირო იქნება და ისინი დაამატებენ ნულს. არ მცირდება მხოლოდ ის ტრაექტორიები, რომლებისთვისაც მოქმედება ახლოსაა უკიდურეს მნიშვნელობასთან (უმრავლესობისთვის - მინიმალური). ეს არის წმინდა მათემატიკური ფაქტი

• 3.1 სამეცნიერო რევოლუციები საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ისტორიაში
• 3.2. პირველი სამეცნიერო რევოლუცია. მსოფლიოს ჰელიოცენტრული სისტემა. დოქტრინა სამყაროთა სიმრავლის შესახებ
• 3.3. მეორე სამეცნიერო რევოლუცია. კლასიკური მექანიკისა და ექსპერიმენტული ბუნებისმეტყველების შექმნა. სამყაროს მექანიკური სურათი
• 3.4. ქიმია მექანიკურ სამყაროში
• 3.5. თანამედროვეობის საბუნებისმეტყველო მეცნიერება და ფილოსოფიური მეთოდის პრობლემა
• 3.6. მესამე სამეცნიერო რევოლუცია. საბუნებისმეტყველო მეცნიერების დიალექტიზაცია
• 3.7. წმენდის ბუნების მეცნიერება
• 3.8. კვლევა ელექტრომაგნიტური ველის სფეროში და სამყაროს მექანიკური სურათის კოლაფსის დასაწყისი
• I საბუნებისმეტყველო მეცნიერება XX საუკუნის
• 4.1 მეოთხე სამეცნიერო რევოლუცია. შეღწევა მატერიის სიღრმეში. ფარდობითობის თეორია და კვანტური მექანიკა. სამყაროს მექანიკური სურათის საბოლოო ნგრევა
• 4.2. სამეცნიერო და ტექნოლოგიური რევოლუცია, მისი საბუნებისმეტყველო კომპონენტი და ისტორიული ეტაპები
• 4.3. თანამედროვე საბუნებისმეტყველო მეცნიერების პანორამა 4.3.1. მეცნიერების განვითარების თავისებურებები XX საუკუნეში
• 4.3.2. მიკროკოსმოსისა და მეგასამყაროს ფიზიკა. ატომური ფიზიკა
• 4.3.3. მიღწევები თანამედროვე ქიმიის ძირითად მიმართულებებში
• 4.3.4. XX საუკუნის ბიოლოგია: ცხოვრების მოლეკულური დონის ცოდნა. თანამედროვე ბიოლოგიის ფონი.
• 4.3.5. კიბერნეტიკა და სინერგეტიკა
• ნაწილი III
• მე სივრცე და დრო
• 1.1 იდეების განვითარება სივრცისა და დროის შესახებ ნიუტონამდელ პერიოდში
• 1. 2. სივრცე და დრო
• 1.3. შორ მანძილზე და ახლო მანძილზე. "ველის" კონცეფციის შემუშავება
• 2.1 ფარდობითობის გალილეის პრინციპი
• 2.2. უმცირესი მოქმედების პრინციპი
• 2.3. ფარდობითობის განსაკუთრებული ა. აინშტაინი
• 1. ფარდობითობის პრინციპი: ბუნების ყველა კანონი ერთნაირია ყველა ინერციულ მიმართვის სისტემაში.
• 2.4. ფარდობითობის ზოგადი თეორიის ელემენტები
• 3. ენერგიის შენარჩუნების კანონი მაკროსკოპულ პროცესებში
• 3.1. "ცოცხალი ძალა"
• 3.2. მუშაობა მექანიკაში. ენერგიის შენარჩუნებისა და ტრანსფორმაციის კანონი მექანიკაში
• 3.3. შინაგანი ენერგია
• 3.4. სხვადასხვა ტიპის ენერგიის ერთმანეთში გადაქცევა
• 4. ენტროპიის გაზრდის პრინციპი
• 4.1. კარნოს იდეალური ციკლი
• 4.2. ენტროპიის ცნება
• 4.3. ენტროპია და ალბათობა
• 4.4. წესრიგი და ქაოსი. დროის ისარი
• 4.5. "მაქსველის დემონი"
• 4.6. სამყაროს სითბური სიკვდილის პრობლემა. ბოლცმანის რყევების ჰიპოთეზა
• 4.7. სინერგეტიკა. წესრიგის დაბადება ქაოსიდან
• I კვანტური ფიზიკის ელემენტები
• 5.1. სინათლის ბუნებაზე შეხედულებების განვითარება. პლანკის ფორმულა
• 5.2. ფოტონის ენერგია, მასა და იმპულსი
• 5.3. დე ბროლის ჰიპოთეზა. მატერიის ტალღური თვისებები
• 5.4. ჰაიზენბერგის გაურკვევლობის პრინციპი
• 5.5. ბორის კომპლემენტარობის პრინციპი
• 5.6. მთლიანობის კონცეფცია კვანტურ ფიზიკაში. აინშტაინ-პოდოლსკი-როზენის პარადოქსი
• 5.7. ალბათობის ტალღები. შროდინგერის განტოლება. მიზეზობრიობის პრინციპი კვანტურ მექანიკაში
• 5.8. ფიზიკური სისტემის მდგომარეობა. დინამიური და სტატისტიკური ნიმუშები ბუნებაში
• 5.9. რელატივისტური კვანტური ფიზიკა. ანტინაწილაკების სამყარო. ველის კვანტური თეორია
• I ერთიანი ველის თეორიის აგებისკენ 6.1. ნოეთერის თეორემა და კონსერვაციის კანონები
• 6.2. სიმეტრიის ცნება
• 6.3. საზომი სიმეტრიები
• 6.4. ურთიერთქმედებები. ელემენტარული ნაწილაკების კლასიფიკაცია
• 6.5. ერთიანი ველის თეორიისკენ. ვაკუუმის სიმეტრიის სპონტანური რღვევის იდეა
• 6.6. სამყაროს ევოლუციის სინერგიული ხედვა. ფიზიკური ობიექტების ისტორიზმი. ფიზიკური ვაკუუმი, როგორც საწყისი აბსტრაქცია ფიზიკაში
• 6.7. ანთროპული პრინციპი. სამყაროს "დახვეწილი რეგულირება".
• ნაწილი IV
• 1. ქიმია „საზოგადოება-ბუნების“ სისტემაში
• I ქიმიური აღნიშვნები
• განყოფილება V
• I სიცოცხლის წარმოშობის თეორიები
• 1.1. კრეაციონიზმი
• 1.2. სპონტანური (სპონტანური) თაობა
• 1.3. სტაბილური მდგომარეობის თეორია
• 1.4. პანსპერმიის თეორია
• 1.5. ბიოქიმიური ევოლუცია
• 2.1. ლამარკის ევოლუციის თეორია
• 2.2. დარვინი, უოლესი და სახეობების წარმოშობა ბუნებრივი გადარჩევით
• 2.3. ევოლუციის თანამედროვე კონცეფცია
• 3.1. პალეონტოლოგია
• 3.2. გეოგრაფიული განაწილება
• 3.3. კლასიფიკაცია
• 3.4. მცენარეთა და ცხოველთა მოშენება
• 3.5. შედარებითი ანატომია
• 3.6. ადაპტური გამოსხივება
• 3.7. შედარებითი ემბრიოლოგია
• 3.8. შედარებითი ბიოქიმია
• 3.9. ევოლუცია და გენეტიკა
• ნაწილი VI. ადამიანური
• I ადამიანისა და ცივილიზაციის წარმოშობა
• 1.1 ადამიანის გაჩენა
• 1.2. ეთნოგენეზის პრობლემა
• 1.3. კულტურული გენეზისი
• 1.4. ცივილიზაციის გაჩენა
• მე ადამიანი და ბიოსფერო
• 7.1 ცნება V.I. ვერნადსკი ბიოსფეროსა და ადამიანის ფენომენის შესახებ
• 7.2. კოსმოსური ციკლები
• 7.3. ევოლუციის ციკლი. ადამიანი, როგორც კოსმიური არსება
• I სარჩევი
• ნაწილი I. სამეცნიერო მეთოდი 7
• სექცია II. საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ისტორია 42
• ნაწილი III. თანამედროვე ფიზიკის ელემენტები 120
• ნაწილი IV. ქიმიის ძირითადი ცნებები და წარმოდგენები246
• ნაწილი V.. სიცოცხლის წარმოშობა და ევოლუცია 266
• ნაწილი VI. კაცი 307
• 344007, დონის როსტოვი,
• 344019, დონის როსტოვი, ქ. სოვეცკაია, 57. ბეჭდვის ხარისხი შეესაბამება მოწოდებულ სლაიდებს.

2.2. უმცირესი მოქმედების პრინციპი

XVIII საუკუნეში მოხდა სამეცნიერო შედეგების შემდგომი დაგროვება და სისტემატიზაცია, რაც აღინიშნა ინდივიდუალური მეცნიერული მიღწევების გაერთიანების ტენდენციით მსოფლიოს მკაცრად მოწესრიგებულ, თანმიმდევრულ სურათში მათემატიკური ანალიზის მეთოდების სისტემატური გამოყენების გზით ფიზიკური ფენომენების შესწავლაში. ამ მიმართულებით მრავალი ბრწყინვალე გონების მუშაობამ გამოიწვია მექანიკური კვლევის პროგრამის ძირითადი თეორიის - ანალიტიკური მექანიკის შექმნა, რომლის დებულებების საფუძველზე შეიქმნა სხვადასხვა ფუნდამენტური თეორიები, რომლებიც აღწერს კონიუნქტურების კონკრეტულ კლასს.

ფენომენები: ჰიდროდინამიკა, ელასტიურობის თეორია, აეროდინამიკა და ა.შ. ანალიტიკური მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგია უმცირესი მოქმედების პრინციპი (ვარიაციური პრინციპი), რომელიც მნიშვნელოვანია მე-20 საუკუნის ბოლოს ფიზიკაში მიმდინარე პროცესების გასაგებად.

მეცნიერებაში ვარიაციული პრინციპების გაჩენის ფესვები ძველ საბერძნეთში ბრუნდება და ასოცირდება ჰერონის სახელთან ალექსანდრიიდან. ნებისმიერი ვარიაციული პრინციპის იდეაა ცვალებადოს (შეცვალოს) გარკვეული მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს მოცემულ პროცესს, და ყველა შესაძლო პროცესიდან აირჩიოს ის, რისთვისაც ეს მნიშვნელობა იღებს უკიდურეს (მაქსიმალურ ან მინიმალურ) მნიშვნელობას. ჰერონი ცდილობდა აეხსნა სინათლის არეკვლის კანონები იმ მნიშვნელობის შეცვლით, რომელიც ახასიათებს სინათლის სხივის მიერ გავლილი ბილიკის სიგრძეს წყაროდან დამკვირვებლამდე, როდესაც ის აირეკლება სარკედან. ის მივიდა დასკვნამდე, რომ ყველა შესაძლო ბილიკიდან სინათლის სხივი ირჩევს უმოკლეს (ყველა გეომეტრიულად შესაძლოს).

მე-17 საუკუნეში, ორი ათასი წლის შემდეგ, ფრანგმა მათემატიკოსმა ფერმამ ყურადღება გაამახვილა ჰერონის პრინციპზე, გაავრცელა იგი სხვადასხვა რეფრაქციული ინდექსის მქონე მედიაზე და, შესაბამისად, გადააფორმა იგი დროის თვალსაზრისით. ფერმას პრინციპში ნათქვამია, რომ რეფრაქციულ გარემოში, რომლის თვისებები დროზე არ არის დამოკიდებული, ორ წერტილში გამავალი სინათლის სხივი თავისთვის ირჩევს გზას ისე, რომ პირველი წერტილიდან მეორემდე გადაადგილებისთვის საჭირო დრო მინიმალური იყოს. ჰერონის პრინციპი გამოდის ფერმას პრინციპის განსაკუთრებული შემთხვევა მუდმივი რეფრაქციული ინდექსის მქონე მედიებისთვის.

ფერმას პრინციპმა მიიპყრო თანამედროვეების ყურადღება. ერთის მხრივ, ის საუკეთესოდ ამოწმებდა ბუნებაში არსებულ „ეკონომიკის პრინციპს“, სამყაროს სტრუქტურაში რეალიზებულ რაციონალურ ღვთაებრივ გეგმას, მეორე მხრივ კი ეწინააღმდეგებოდა ნიუტონის სინათლის კორპუსკულარულ თეორიას. ნიუტონის აზრით, აღმოჩნდა, რომ უფრო მჭიდრო მედიაში სინათლის სიჩქარე უფრო დიდი უნდა იყოს, ხოლო ფერმას პრინციპიდან გამომდინარეობდა, რომ ასეთ მედიაში სინათლის სიჩქარე მცირდება.

1740 წელს მათემატიკოსმა პიერ ლუი მორო დე მაუპერტუისმა კრიტიკულად გააანალიზა ფერმას პრინციპი და მიჰყვა თეოლოგიურს.

ლოგიკური მოტივები სამყაროს სრულყოფისა და ყველაზე ეკონომიური მოწყობის შესახებ, რომელიც გამოცხადდა ნაშრომში "ბუნების სხვადასხვა კანონებზე, რომლებიც შეუთავსებელი ჩანდა" უმცირესი მოქმედების პრინციპი. მაუპერტუისმა მიატოვა ფერმას უმოკლეს დრო და შემოიტანა ახალი კონცეფცია - მოქმედება. მოქმედება უდრის სხეულის იმპულსის ნამრავლს (იმპულსი Р = mV) და სხეულის მიერ გავლილი გზა. დროს არ აქვს უპირატესობა სივრცესთან შედარებით და პირიქით. მაშასადამე, სინათლე არ ირჩევს უმოკლეს გზას და არა უმოკლეს დროს მის გასავლელად, არამედ, მაუპერტუისის მიხედვით, „ირჩევს გზას, რომელიც იძლევა უფრო რეალურ ეკონომიკას: გზა, რომელსაც იგი მიჰყვება, არის გზა, რომელზეც სიდიდეა მოქმედება მინიმალურია“. უმცირესი მოქმედების პრინციპი შემდგომ განვითარდა ეილერისა და ლაგრანჟის ნაშრომებში; ის იყო საფუძველი, რომელზედაც ლაგრანჟმა შეიმუშავა მათემატიკური ანალიზის ახალი სფერო - ვარიაციების გაანგარიშება. ეს პრინციპი კიდევ უფრო განზოგადდა და დასრულდა ჰამილტონის ნაშრომებში. განზოგადებული ფორმით, უმცირესი მოქმედების პრინციპი იყენებს მოქმედების კონცეფციას, რომელიც გამოიხატება არა იმპულსით, არამედ ლაგრანჟის ფუნქციით. იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთი ნაწილაკი მოძრაობს პოტენციურ ველში, ლაგრანჟის ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც კინეტიკური სხვაობა. და პოტენციური ენერგია:

("ენერგიის" კონცეფცია დეტალურად არის განხილული ამ ნაწილის მე-3 თავში.)

პროდუქტს ელემენტარული მოქმედება ეწოდება. მთლიანი მოქმედება არის ყველა მნიშვნელობის ჯამი მთელი განხილული დროის ინტერვალის განმავლობაში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მთლიანი მოქმედება A:



ნაწილაკების მოძრაობის განტოლებები შეიძლება მივიღოთ უმცირესი მოქმედების პრინციპის გამოყენებით, რომლის მიხედვითაც რეალური მოძრაობა ხდება ისე, რომ მოქმედება ექსტრემალური აღმოჩნდება, ანუ მისი ცვალებადობა ხდება 0-მდე:



ლაგრანჟ-ჰამილტონის ვარიაციული პრინციპი ადვილად იძლევა გაფართოების სისტემებს, რომლებიც შედგება არა

რამდენი (ბევრი) ნაწილაკი. ასეთი სისტემების მოძრაობა ჩვეულებრივ განიხილება აბსტრაქტულ სივრცეში (მოხერხებული მათემატიკური ტექნიკა) დიდი რაოდენობის განზომილებების. ვთქვათ, N წერტილისთვის შემოტანილია N ნაწილაკების 3N კოორდინატების აბსტრაქტული სივრცე, რომელიც ქმნის სისტემას, რომელსაც ეწოდება კონფიგურაციის სივრცე. სისტემის სხვადასხვა მდგომარეობის თანმიმდევრობა წარმოდგენილია ამ კონფიგურაციის სივრცეში მრუდით - ტრაექტორიით. ამ 3N-განზომილებიანი სივრცის ორი მოცემული წერტილის დამაკავშირებელი ყველა შესაძლო ბილიკის გათვალისწინებით, შეიძლება დავრწმუნდეთ, რომ სისტემის რეალური მოძრაობა ხდება უმცირესი მოქმედების პრინციპის შესაბამისად: ყველა შესაძლო ტრაექტორიას შორის, ის, რისთვისაც მოქმედება ექსტრემალურია. რეალიზებულია მოძრაობის მთელი დროის ინტერვალი.

კლასიკურ მექანიკაში მოქმედების მინიმიზაციისას მიიღება ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები, რომელთა კავშირი ნიუტონის კანონებთან კარგად არის ცნობილი. კლასიკური ელექტრომაგნიტური ველის ლაგრანგის ეილერ-ლაგრანგის განტოლებები მაქსველის განტოლებებია. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ლაგრანგის გამოყენება და უმცირესი მოქმედების პრინციპი საშუალებას აძლევს ადამიანს დაადგინოს ნაწილაკების დინამიკა. თუმცა, ლაგრანგს აქვს კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რამაც ლაგრანჟის ფორმალიზმი უმთავრესად აქცია თანამედროვე ფიზიკის თითქმის ყველა პრობლემის გადაჭრაში. ფაქტია, რომ ფიზიკაში ნიუტონის მექანიკასთან ერთად, უკვე მე-19 საუკუნეში, ჩამოყალიბდა კონსერვაციის კანონები ზოგიერთი ფიზიკური სიდიდეებისთვის: ენერგიის შენარჩუნების კანონი, იმპულსის შენარჩუნების კანონი, კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი, კანონი. ელექტრული მუხტის შენარჩუნების შესახებ. ჩვენს საუკუნეში კვანტური ფიზიკის და ელემენტარული ნაწილაკების ფიზიკის განვითარებასთან დაკავშირებით კონსერვაციის კანონების რაოდენობა კიდევ უფრო დიდი გახდა. ჩნდება კითხვა, როგორ მოვძებნოთ საერთო საფუძველი როგორც მოძრაობის განტოლებების (ვთქვათ, ნიუტონის კანონების ან მაქსველის განტოლებების) და დროში შენარჩუნებული სიდიდეების დასაწერად. აღმოჩნდა, რომ ასეთი საფუძველია ლაგრანჟის ფორმალიზმის გამოყენება, რადგან კონკრეტული თეორიის ლაგრანგული გამოდის უცვლელი (უცვლელი) ამ თეორიაში განხილული კონკრეტული აბსტრაქტული სივრცის შესაბამისი გარდაქმნების მიმართ, რაც იწვევს კონსერვაციას. კანონები. ლაგრანგის ეს თვისებები

ლაგრანგების ენაზე ფიზიკური თეორიების ჩამოყალიბების მიზანშეწონილობას არ გამოუწვევია. ამ გარემოების გაცნობიერება ფიზიკაში აინშტაინის ფარდობითობის თეორიის გაჩენის გამო მოვიდა.

"





 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა:

• ჰადისი წინასწარმეტყველ მუჰამედის მითითებით ოჯახის თემაზე;
• სურა დაზიანებისა და თვალებისგან. დუას წაკითხვა ბავშვებისთვის. ლოცვები სხვადასხვა შემთხვევებისთვის თათრებს შორის;
• ვიდეო რამადანის თვეში მარხვის შესახებ;
• გამოყენებული ლიტერატურის სია;
• რა ძლიერი მხარეები უნდა იყოს მითითებული რეზიუმეში?;
• პიროვნების მოტივაციის დიაგნოსტიკის მეთოდები;
• რა უნდა იცოდნენ ქვეშევრდომებმა?;
• თქვენი გრძნობების ვერბალიზაცია;