რა რიცხვი იყოფა 12-ზე და 7-ზე. შედგენილ რიცხვზე გაყოფის ნიშნები

მე-6 კლასში მათემატიკა იწყება გაყოფის ცნებისა და გაყოფის ნიშნების შესწავლით. ხშირად შემოიფარგლება ასეთი რიცხვებით გაყოფის ნიშნებით:

ჩართულია 2 : ბოლო ციფრი უნდა იყოს 0, 2, 4, 6 ან 8;
ჩართულია 3 : რიცხვის ციფრების ჯამი უნდა გაიყოს 3-ზე;
ჩართულია 4 : ბოლო ორი ციფრით ჩამოყალიბებული რიცხვი უნდა გაიყოს 4-ზე;
ჩართულია 5 : ბოლო ციფრი უნდა იყოს 0 ან 5;
ჩართულია 6 : რიცხვს უნდა ჰქონდეს 2-ზე და 3-ზე გაყოფის ნიშნები;
გაყოფის ნიშანი 7 ხშირად გამოტოვებული;
იშვიათად საუბრობენ აგრეთვე გასაყოფად ტესტზე 8 , თუმცა 2-ზე და 4-ზე გაყოფის ნიშნების მსგავსია. რიცხვი რომ გაიყოს 8-ზე აუცილებელია და საკმარისია, რომ სამნიშნა დაბოლოება გაიყოს 8-ზე.
გაყოფის ნიშანი 9 ყველამ იცის: რიცხვის ციფრების ჯამი უნდა გაიყოს 9-ზე. რაც, თუმცა, არ ავითარებს იმუნიტეტს ყველა სახის ხრიკების მიმართ, რომლებსაც ნუმეროლოგები იყენებენ.
გაყოფის ნიშანი 10 , ალბათ უმარტივესი: რიცხვი უნდა დასრულდეს ნულით.
ზოგჯერ მეექვსე კლასელებსაც ეუბნებიან გაყოფის ნიშანზე 11 . თქვენ უნდა დაამატოთ რიცხვის ციფრები ლუწ ადგილებში, გამოაკლოთ კენტი ადგილების რიცხვები შედეგს. თუ შედეგი იყოფა 11-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 11-ზე.

ახლა დავუბრუნდეთ 7-ზე გაყოფის ნიშანს. თუ ამაზე საუბრობენ, ის აერთიანებს 13-ზე გაყოფის ნიშანს და მიზანშეწონილია მისი გამოყენება.

ჩვენ ვიღებთ ნომერს. ჩვენ მას ვყოფთ 3-ნიშნა ბლოკებად (ყველაზე მარცხენა ბლოკი შეიძლება შეიცავდეს ერთ ან 2 ციფრს) და მონაცვლეობით ვამატებთ/გამოკლებთ ამ ბლოკებს.

თუ შედეგი იყოფა 7-ზე, 13-ზე (ან 11-ზე), მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 7-ზე, 13-ზე (ან b 11-ზე).

ეს მეთოდი, ისევე როგორც მთელი რიგი მათემატიკური ხრიკები, ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ 7x11x13 \u003d 1001. თუმცა, რა უნდა გააკეთოს სამნიშნა რიცხვებთან, რისთვისაც გაყოფის საკითხი, ზოგჯერ, არ შეიძლება გადაწყდეს თავად გაყოფის გარეშე.

უნივერსალური გაყოფის ტესტის გამოყენებით შეიძლება შედარებით კონსტრუქცია მარტივი ალგორითმებიიმის განსაზღვრა, იყო თუ არა რიცხვი 7-ზე და სხვა „უხერხულ“ რიცხვებზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 7-ზე გასაყოფად
იმის შესამოწმებლად, იყოფა თუ არა რიცხვი 7-ზე, თქვენ უნდა გააუქმოთ რიცხვის ბოლო ციფრი და გამოაკლოთ ეს ციფრი ორჯერ მიღებულ შედეგს. თუ შედეგი იყოფა 7-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 7-ზე.

მაგალითი 1:
238 იყოფა 7-ზე?
23-8-8 \u003d 7. ასე რომ, რიცხვი 238 იყოფა 7-ზე.
მართლაც, 238 = 34x7

ეს მოქმედება შეიძლება შესრულდეს რამდენჯერმე.
მაგალითი 2:
65835 იყოფა 7-ზე?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 იყოფა 7-ზე (თუ ამას ვერ შევამჩნევდით, შეგვეძლო კიდევ 1 ნაბიჯის გადადგმა: 6-3-3 = 0 და 0 აუცილებლად იყოფა 7-ზე).

ასე რომ, რიცხვი 65835 ასევე იყოფა 7-ზე.

უნივერსალური გაყოფის კრიტერიუმიდან გამომდინარე, შესაძლებელია გაყოფის კრიტერიუმების გაუმჯობესება 4-ით და 8-ით.

გაუმჯობესებული ტესტი 4-ზე გასაყოფად
თუ ერთეულების რიცხვის ნახევარი პლუს ათეულების რიცხვი არის ლუწი რიცხვი, მაშინ რიცხვი იყოფა 4-ზე.

მაგალითი 3
რიცხვი 52 იყოფა 4-ზე?
5+2/2 = 6, რიცხვი ლუწია, ამიტომ რიცხვი იყოფა 4-ზე.

მაგალითი 4
რიცხვი 134 იყოფა 4-ზე?
3+4/2 = 5, უცნაური რიცხვი, ამიტომ 134 არ იყოფა 4-ზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 8-ზე გასაყოფად
თუ დაუმატებთ ორჯერ ასეულების რაოდენობას, ათეულების რაოდენობას და ერთეულების რაოდენობას ნახევარზე და შედეგი იყოფა 4-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 8-ზე.

მაგალითი 5
რიცხვი 512 იყოფა 8-ზე?
5*2+1+2/2 = 12, რიცხვი იყოფა 4-ზე, ამიტომ 512 იყოფა 8-ზე.

მაგალითი 6
რიცხვი 1984 იყოფა 8-ზე?
9*2+8+4/2 = 28, რიცხვი იყოფა 4-ზე, ამიტომ 1984 იყოფა 8-ზე.

12-ზე გაყოფის ნიშანიარის გაყოფის ნიშნების გაერთიანება 3-ზე და 4-ზე. იგივე მუშაობს ნებისმიერ n-ზე, რომელიც არის თანაპირველი p და q-ის ნამრავლი. რიცხვი რომ გაიყოს n-ზე (რომელიც ტოლია pq-ის ნამრავლის, რომ gcd(p,q)=1), ის ერთდროულად უნდა გაიყოს როგორც p, ასევე q-ზე.

თუმცა, ფრთხილად იყავი! იმისთვის, რომ გაყოფის კომპოზიტური ნიშნები იმუშაოს, რიცხვის ფაქტორები ზუსტად უნდა იყოს თანაპრომიტი. ვერ იტყვი, რომ რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ ის იყოფა 2-ზე და 4-ზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 13-ზე გასაყოფად
იმისათვის, რომ შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი 13-ზე, თქვენ უნდა ამოიღოთ ბოლო ციფრი რიცხვიდან და ოთხჯერ დაამატოთ ის მიღებულ შედეგს. თუ შედეგი იყოფა 13-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 13-ზე.

მაგალითი 7
65835 იყოფა 8-ზე?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

რიცხვი 43 არ იყოფა 13-ზე, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვი 65835 არც იყოფა 13-ზე.

მაგალითი 8
715 იყოფა 13-ზე?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 იყოფა 13-ზე, ამიტომ 715 ასევე იყოფა 13-ზე.

გაყოფის ნიშნები 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28-ზედა სხვა კომპოზიტური რიცხვები, რომლებიც არ არიან მარტივი რიცხვების ხარისხები, მსგავსია 12-ზე გაყოფის კრიტერიუმების.

14-ისთვის: 2-ისთვის და 7-ისთვის;
15-ისთვის: 3-ით და 5-ით;
18: 2 და 9-ისთვის;
21-ისთვის: 3-ზე და 7-ზე;
20-ისთვის: 4-ით და 5-ით (ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბოლო ციფრი უნდა იყოს ნული, ხოლო ბოლო ციფრი უნდა იყოს ლუწი);
24-ისთვის: 3 და 8;
26-ისთვის: 2 და 13;
28: 4 და 7-ისთვის.

გაუმჯობესებული ტესტი 16-ზე გასაყოფად.
იმის ნაცვლად, რომ შეამოწმოთ, იყო თუ არა 4-ნიშნა დაბოლოება 16-ზე, შეგიძლიათ დაამატოთ ერთეულების ციფრი ათჯერ ათეულის ციფრით, გააოთხმაგოთ ასეულების ციფრი და
ათას ციფრზე რვაჯერ და შეამოწმეთ, იყო თუ არა შედეგი 16-ზე.

მაგალითი 9
1984 იყოფა 16-ზე?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 არ იყოფა 16-ზე, ამიტომ არც 1984 იყოფა 16-ზე.

მაგალითი 10
რიცხვი 1526 იყოფა 16-ზე?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 არ იყოფა 16-ზე, ამიტომ 1526 ასევე იყოფა 16-ზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 17-ზე გასაყოფად.
იმისათვის, რომ შეამოწმოთ, იყოფა თუ არა რიცხვი 17-ზე, თქვენ უნდა გააუქმოთ რიცხვის ბოლო ციფრი და გამოაკლოთ ეს ციფრი ხუთჯერ მიღებულ შედეგს. თუ შედეგი იყოფა 13-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 13-ზე.

მაგალითი 11
რიცხვი 59772 იყოფა 17-ზე?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 იყოფა 17-ზე, ამიტომ 59772 ასევე იყოფა 17-ზე.

მაგალითი 12
4913 იყოფა 17-ზე?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 იყოფა 17-ზე, ამიტომ 4913 ასევე იყოფა 17-ზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 19-ზე გასაყოფად.
იმისათვის, რომ შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი 19-ზე, თქვენ უნდა დაამატოთ ბოლო ციფრი ორჯერ ბოლო ციფრის გაუქმების შემდეგ დარჩენილ რიცხვს.

მაგალითი 13
რიცხვი 9044 იყოფა 19-ზე?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 იყოფა 19-ზე, ამიტომ 9044 ასევე იყოფა 19-ზე.

გაუმჯობესებული ტესტი 23-ზე გასაყოფად.
იმისათვის, რომ შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი 23-ზე, თქვენ უნდა დაამატოთ ბოლო ციფრი, გაზრდილი 7-ჯერ, ბოლო ციფრის გაუქმების შემდეგ დარჩენილ რიცხვს.

მაგალითი 14
რიცხვი 208012 იყოფა 23-ზე?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
სინამდვილეში, თქვენ უკვე ხედავთ, რომ 253 არის 23,

ნატურალური რიცხვების გაყოფის პროცესის გასამარტივებლად შემუშავდა რიცხვებით 1-დან 10-მდე, ასევე 11-ზე და 25-ზე გაყოფის წესები. ისინი, რომლებიც მთავრდება 2, 4, 6, 8, 0-ით ითვლება ლუწი.

რა არის გაყოფის ნიშნები?

სინამდვილეში, ეს არის ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად განსაზღვროთ, იყოფა თუ არა რიცხვი წინასწარ დაყენებულზე. იმ შემთხვევაში, როდესაც გაყოფის ნიშანი შესაძლებელს ხდის გაყოფის დარჩენილი ნაწილის გარკვევას, მას ექვირეზისტენტობის ნიშანი ეწოდება.

2 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი

რიცხვი შეიძლება გაიყოს ორზე, თუ ბოლო ციფრი არის ლუწი ან ნული. სხვა შემთხვევაში გაყოფა შეუძლებელი იქნება.

Მაგალითად:

52734 იყოფა 2-ზე, რადგან მისი ბოლო ციფრი არის 4 - ანუ ლუწი. 7693 არ იყოფა 2-ზე, რადგან 3 კენტია. 1240 იყოფა, რადგან ბოლო ციფრი არის ნული.

3-ზე გაყოფის ნიშნები

ციფრი 3 არის მხოლოდ იმ რიცხვების ნამრავლი, რომელთა ჯამი იყოფა 3-ზე

მაგალითი:

17814 შეიძლება დაიყოს 3-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი არის 21 და იყოფა 3-ზე.

რიცხვით 4-ზე გაყოფის ნიშანი

რიცხვი შეიძლება გაიყოს 4-ზე, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი არის ნულის ტოლი ან შეიძლება ქმნიდეს 4-ის ნამრავლს. ყველა სხვა შემთხვევაში გაყოფა არ იმუშავებს.

მაგალითები:

31,800 შეიძლება გაიყოს 4-ზე, რადგან მას აქვს ორი ნული ბოლოს. 4 846 854 არ იყოფა 4-ზე, რადგან ბოლო ორი ციფრი ქმნის რიცხვს 54, რომელიც არ იყოფა 4-ზე. 16604 იყოფა 4-ზე, რადგან 04-ის ბოლო ორი ციფრი ქმნის რიცხვს 4, რომელიც იყოფა 4-ზე.

რიცხვით 5-ზე გაყოფის ნიშანი

5 არის რიცხვების ნამრავლი, რომელშიც ბოლო ციფრი არის ნული ან ხუთი. ყველა დანარჩენი არ იზიარებს.

მაგალითი:

245 არის 5-ის ჯერადი, რადგან ბოლო ციფრი არის 5. 774 არ არის 5-ის ნამრავლი, რადგან ბოლო ციფრი არის ოთხი.

6 რიცხვზე გაყოფის ნიშანი

რიცხვი შეიძლება გაიყოს 6-ზე, თუ შეიძლება ერთდროულად გაიყოს 2-ზე და 3-ზე, ყველა დანარჩენ შემთხვევაში ის არ იყოფა.

Მაგალითად:

216 შეიძლება გაიყოს 6-ზე, რადგან ის არის ორის და სამის ნამრავლი.

7-ზე გაყოფის ნიშანი

7-ის ჯერადი არის რიცხვი, თუ ამ რიცხვს ბოლო გაორმაგებული ციფრის გამოკლებისას, მაგრამ მის გარეშე (ბოლო ციფრის გარეშე), მიიღება მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება გაიყოს 7-ზე.

მაგალითად, 637 არის 7-ის ნამრავლი, რადგან 63-(2 7)=63-14=49. 49 შეიძლება დაიყოს.

რიცხვით 8-ზე გაყოფის ნიშანი

როგორც ჩანს, 4 რიცხვზე გაყოფის ნიშანია. რიცხვი შეიძლება გაიყოს 8-ზე, თუ სამი (და არა ორი, როგორც ოთხის შემთხვევაში) ბოლო ციფრი არის ნული ან შეიძლება შექმნას 8-ის ჯერადი. ის არ არის გაყოფილი.

მაგალითები:

456000 შეიძლება გაიყოს რვაზე, რადგან მას აქვს სამი ნული ბოლოს. 160,003 არ შეიძლება გაიყოს 8-ზე, რადგან ბოლო სამი ციფრი ქმნის 4-ს, რომელიც არ არის 8-ის ჯერადი. 111,640 არის 8-ის ნამრავლი, რადგან ბოლო სამი ციფრი ქმნის 640-ს, რომელიც შეიძლება გაიყოს 8-ზე.

თქვენი ინფორმაციისთვის: შეგიძლიათ დაასახელოთ იგივე ნიშნები 16, 32, 64 და ა.შ. რიცხვებზე გაყოფისთვის. მაგრამ პრაქტიკაში მათ არ აქვთ მნიშვნელობა.

9-ზე გაყოფის ნიშანი

9-ზე იყოფა ის რიცხვები, რომელთა რიცხვების ჯამი შეიძლება გაიყოს 9-ზე.

Მაგალითად:

რიცხვი 111499 არ იყოფა 9-ზე, რადგან ციფრების ჯამი (25) არ შეიძლება გაიყოს 9-ზე. რიცხვი 51 633 შეიძლება გაიყოს 9-ზე, რადგან მისი ციფრების ჯამი (18) არის 9-ჯერ.

გაყოფის ნიშნები 10-ზე, 100-ზე და 1000-ზე

თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ 10-ზე ის რიცხვები, რომელთა ბოლო ციფრი არის 0, 100-ზე ის, ვისი ბოლო ორი ციფრი არის ნული, 1000-ზე ის, ვისი ბოლო სამი ციფრი არის ნული.

მაგალითები:

4500 შეიძლება გაიყოს 10-ზე და 100-ზე. 778000 არის 10-ის, 100-ის და 1000-ის ჯერადი.

ახლა თქვენ იცით რიცხვების გაყოფის რა ნიშნები არსებობს. წარმატებული გამოთვლები და არ დაგავიწყდეთ მთავარი: ყველა ეს წესი მოცემულია მათემატიკური გამოთვლების გასამარტივებლად.

დან სკოლის სასწავლო გეგმაბევრს ახსოვს, რომ არსებობს გაყოფის ნიშნები. ეს ფრაზა გაგებულია, როგორც წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად დაადგინოთ არის თუ არა რიცხვი მოცემულის ჯერადი, პირდაპირი არითმეტიკული მოქმედების შესრულების გარეშე. ეს მეთოდი ემყარება პოზიციის შეყვანის ციფრების ნაწილთან შესრულებულ მოქმედებებს

ბევრს ახსოვს გაყოფის უმარტივესი ნიშნები სკოლის სასწავლო გეგმიდან. მაგალითად, ის ფაქტი, რომ ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე, რომლის ჩანაწერში ბოლო ციფრი ლუწია. ეს ფუნქცია ყველაზე ადვილი დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. თუ ვსაუბრობთ 3-ზე გაყოფის მეთოდზე, მაშინ მრავალნიშნა რიცხვებისთვის მოქმედებს შემდეგი წესი, რომელიც შეიძლება ნაჩვენები იყოს ასეთ მაგალითში. თქვენ უნდა გაარკვიოთ არის თუ არა 273 სამის ნამრავლი. ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ოპერაცია: 2+7+3=12. შედეგად მიღებული ჯამი იყოფა 3-ზე, შესაბამისად, 273 დაიყოფა 3-ზე ისე, რომ შედეგი იყოს მთელი რიცხვი.

5-ზე და 10-ზე გაყოფის ნიშნები იქნება შემდეგი. პირველ შემთხვევაში, ჩანაწერი დასრულდება 5-ით ან 0-ით, მეორე შემთხვევაში მხოლოდ 0-ით. იმისათვის, რომ გავიგოთ, არის თუ არა გასაყოფი ოთხის ნამრავლი, გააგრძელეთ შემდეგნაირად. აუცილებელია ბოლო ორი ციფრის იზოლირება. თუ ეს არის ორი ნული ან რიცხვი, რომელიც იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე, მაშინ ყველაფერი, რაც იყოფა, იქნება გამყოფის ჯერადი. აღსანიშნავია, რომ ჩამოთვლილი ნიშნები გამოიყენება მხოლოდ ათობითი სისტემაში. ისინი არ ვრცელდება დათვლის სხვა მეთოდებზე. ასეთ შემთხვევებში გამოდის საკუთარი წესები, რომლებიც დამოკიდებულია სისტემის საფუძველზე.

6-ზე გაყოფის ნიშნები შემდეგია. 6, თუ ეს არის 2-ისა და 3-ის ჯერადი. იმისათვის, რომ დაადგინოთ არის თუ არა რიცხვი 7-ზე, თქვენ უნდა გააორმაგოთ ბოლო ციფრი მის ჩანაწერში. მიღებულ შედეგს აკლდება თავდაპირველი რიცხვი, რომელშიც ბოლო ციფრი არ არის გათვალისწინებული. ეს წესიჩანს შემდეგ მაგალითში. აუცილებელია გავარკვიოთ არის თუ არა 364 ჯერადი.ამისთვის 4 მრავლდება 2-ზე, გამოდის 8. შემდეგი, შემდეგი მოქმედება: 36-8=28. მიღებული შედეგი არის 7-ის ჯერადი და, შესაბამისად, თავდაპირველი რიცხვი 364 შეიძლება დაიყოს 7-ზე.

8-ზე გაყოფის ნიშნები შემდეგია. თუ რიცხვის ბოლო სამი ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც არის რვის ნამრავლი, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა მოცემულ გამყოფზე.

შეგიძლიათ გაიგოთ მრავალნიშნა რიცხვი იყოფა 12-ზე შემდეგნაირად. ზემოთ ჩამოთვლილი გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენებით, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, არის თუ არა რიცხვი 3-ისა და 4-ის ჯერადი. თუ მათ შეუძლიათ ერთდროულად იმოქმედონ როგორც რიცხვის გამყოფები, მაშინ მოცემული გაყოფით, ასევე შეგიძლიათ გაყოთ 12-ზე. მსგავსი წესი. ეხება სხვა კომპლექსურ რიცხვებს, მაგალითად, თხუთმეტს. ამ შემთხვევაში, გამყოფები უნდა იყოს 5 და 3. იმის გასარკვევად, იყო თუ არა რიცხვი 14-ზე, უნდა ნახოთ, არის თუ არა ის 7-ის და 2-ის ნამრავლი. ასე რომ, შეგიძლიათ ეს განიხილოთ შემდეგ მაგალითში. აუცილებელია განვსაზღვროთ შესაძლებელია თუ არა 658-ის გაყოფა 14-ზე. ჩანაწერში ბოლო ციფრი ლუწია, შესაბამისად, რიცხვი ორის ნამრავლია. შემდეგ ვამრავლებთ 8-ს 2-ზე, მივიღებთ 16-ს. 65-ს უნდა გამოკლოთ 16. შედეგი 49 იყოფა 7-ზე, ისევე როგორც მთელი რიცხვი. აქედან გამომდინარე, 658 ასევე შეიძლება დაიყოს 14-ზე.

თუ ბოლო ორი ციფრია მოცემული ნომერიიყოფა 25-ზე, მაშინ ეს ყველაფერი იქნება ამ გამყოფის ჯერადი. მრავალნიშნა რიცხვებისთვის 11-ზე გაყოფის ნიშანი შემდეგნაირად ჟღერს. აუცილებელია იმის გარკვევა, არის თუ არა განსხვავება მის ჩანაწერში კენტ და ლუწ ადგილებზე მყოფ ციფრთა ჯამებს შორის მოცემული გამყოფის ჯერადი.

უნდა აღინიშნოს, რომ რიცხვების გაყოფის ნიშნები და მათი ცოდნა ძალიან ხშირად დიდად ამარტივებს ბევრ პრობლემას, რომელიც გვხვდება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ Ყოველდღიური ცხოვრების. იმის გამო, რომ შეგიძლიათ განსაზღვროთ, არის თუ არა რიცხვი მეორის ნამრავლი, შეგიძლიათ სწრაფად შეასრულოთ სხვადასხვა დავალება. გარდა ამისა, ამ მეთოდების გამოყენება მათემატიკის გაკვეთილებზე ხელს შეუწყობს სტუდენტებისა თუ სკოლის მოსწავლეების განვითარებას, ხელს შეუწყობს გარკვეული შესაძლებლობების განვითარებას.

ეტკარევა ალინა

კვლევითი სასწავლო პროექტი მე-6 კლასისთვის

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

სტუდენტთა რაიონული სამეცნიერო კონფერენცია

განყოფილება "მათემატიკა"

"ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები"

ეტკარევა ალინა,

მე-6 კლასის მოსწავლე

GBOU SOSH რკინიგზის სადგური ჩატვირთვა

სამეცნიერო მრჩეველი:

სტეპანოვა გალინა ალექსეევნა

მათემატიკის მასწავლებელი

GBOU SOSH რკინიგზის სადგური ჩატვირთვა

C. კატები

შესავალი …………………………………………………………………………………...3

1. თავი 1. ცოტა ისტორია ……………………………………………….4 -5

2. თავი 2. გაყოფის ნიშნები

5-6

2.2. ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000-ზე დამოუკიდებლად მიღებული…………………………………………………………..6- 7

2.3. სხვადასხვა წყაროში აღწერილი 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37-ზე გაყოფის ნიშნები .............................. ................................................................ 8-11

3.თავი 3. ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას .................................. ................................................... ........... ............11-14

დასკვნა. …………………………………………………………..15

გამოყენებული ლიტერატურის სია……………………………………………………………………………………………………………………

შესავალი

შესაბამისობა: თემის შესწავლისას: „ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები 2, 3, 5, 9, 10-ზე“ მაინტერესებდა რიცხვების გაყოფის საკითხი. ცნობილია, რომ ყოველთვის ერთი და იგივე არ არის ბუნებრივი რიცხვიიყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვზე ნაშთის გარეშე. ნატურალური რიცხვების გაყოფისას ვიღებთ ნაშთს, ვუშვებთ შეცდომებს და შედეგად ვკარგავთ დროს. გაყოფის კრიტერიუმები გაყოფის გარეშე გვეხმარება იმის დადგენაში, იყო თუ არა ერთი ნატურალური რიცხვი მეორეზე. გადავწყვიტე დამეწერა კვლევითი სამუშაოამ თემაზე.

ჰიპოთეზა: თუ შესაძლებელია ნატურალური რიცხვების გაყოფის დადგენა 2, 3, 5, 9, 10-ზე, მაშინ უნდა არსებობდეს ნიშნები, რომლითაც შეიძლება დადგინდეს ნატურალური რიცხვების გაყოფა სხვა რიცხვებზე.

კვლევის ობიექტი:ნატურალური რიცხვების გაყოფა.

კვლევის საგანი:ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები.

სამიზნე: შეავსეთ ჩემს მიერ შესწავლილი ნატურალური რიცხვების გაყოფის უკვე ცნობილი ნიშნები მთლიანად.

Დავალებები:

შეისწავლეთ საკითხის ისტორიოგრაფია.
გაიმეორეთ 2-ზე, 3. 5-ზე, 9-ზე, 10-ზე გაყოფის ნიშნები, რომლებიც სკოლაში ვსწავლობდი.
დამოუკიდებლად გამოიკვლიეთ ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000-ზე.
შევისწავლოთ დამატებითი ლიტერატურა, რომელიც ადასტურებს ჰიპოთეზის სისწორეს ნატურალური რიცხვების გაყოფის სხვა ნიშნების არსებობისა და ჩემს მიერ გამოვლენილი გაყოფის ნიშნების სისწორის შესახებ.
დაწერეთ დამატებითი ლიტერატურიდან ნაპოვნი ნატურალური რიცხვების 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37-ზე გაყოფის ნიშნები.
გააკეთე დასკვნა.
გააკეთეთ სლაიდ პრეზენტაცია თემაზე: „დაყოფის ნიშნები“.
შეადგინეთ ბროშურა „ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები“.

სიახლე:

პროექტის მსვლელობისას შევავსე ცოდნა ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნების შესახებ.

Კვლევის მეთოდები:მასალის შეგროვება, მონაცემთა დამუშავება, დაკვირვება, შედარება, ანალიზი, განზოგადება.

თავი 1. ცოტა ისტორია.

გაყოფის კრიტერიუმი არის წესი, რომლითაც გაყოფის გარეშე შეგიძლიათ განსაზღვროთ იყო თუ არა ერთი ნატურალური რიცხვი მეორეზე. გაყოფის ნიშნები ყოველთვის აინტერესებდა მეცნიერებს სხვა და სხვა ქვეყნებიდა ჯერ.

2, 3, 5, 9, 10-ზე გაყოფის ნიშნები უძველესი დროიდან იყო ცნობილი. 2-ზე გაყოფის ნიშანი ძველი ეგვიპტელებისთვის ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2 ათასი წლის განმავლობაში, ხოლო 2, 3, 5-ზე გაყოფის ნიშნები დეტალურად იყო აღწერილი იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის (1170-1228) მიერ.

თემის: „პირველი და შედგენილი რიცხვები“ შესწავლისას დამაინტერესა მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენის საკითხი, რადგან მარტივი რიცხვები მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ ყველა სხვა რიცხვის შესწავლაში. ირკვევა, რომ იგივე კითხვაზე ფიქრობდა ალექსანდრიელი მეცნიერი ერატოსთენე, რომელიც ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში ცხოვრობდა. მარტივი რიცხვების სიის შედგენის მის მეთოდს ეწოდა "ერატოსთენეს საცერი". დაე, საჭირო იყოს ყველა მარტივი რიცხვის პოვნა 100-მდე. მოდით, ზედიზედ დავწეროთ ყველა რიცხვი 100-მდე.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

ნომრის 2-ის დატოვების შემდეგ, გადახაზეთ ყველა სხვა ლუწი რიცხვი. პირველი შემორჩენილი რიცხვი 2-ის შემდეგ იქნება 3. ახლა, 3-ის დატოვების შემდეგ, ჩვენ გადავხაზავთ 3-ზე გაყოფილ რიცხვებს. შემდეგ გადავხაზავთ 5-ზე გაყოფილ რიცხვებს. შედეგად, ყველა შედგენილი რიცხვი იქნება გადახაზული და მხოლოდ მარტივი. დარჩება ნომრები: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, დიდი 100.

რიცხვების გაყოფის საკითხებს განიხილავდნენ პითაგორელები. რიცხვთა თეორიაში მათ დიდი სამუშაო გააკეთეს ნატურალური რიცხვების ტიპოლოგიაზე. პითაგორაელებმა ისინი კლასებად დაყვეს. განასხვავებდნენ კლასებს: სრულყოფილი რიცხვები (რიცხვი ტოლია საკუთარი გამყოფების ჯამის, მაგ.: 6=1+2+3), მეგობრული რიცხვები (რომელთაგან თითოეული უდრის მეორის გამყოფების ჯამს, მაგ. 220 და 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), ხვეული რიცხვები (სამკუთხა რიცხვი, კვადრატული რიცხვი) , მარტივი რიცხვები და ა.შ.

ბლეზ პასკალ პითაგორა. ლეონარდო პიზაელი ერატოსთენე

(ფიბონაჩი)

რიცხვთა გაყოფის ნიშნების შესწავლაში დიდი წვლილი მიუძღვის ბლეზ პასკალს (1623-1662). ახალგაზრდა ბლეზმა ძალიან ადრე გამოავლინა გამორჩეული მათემატიკური შესაძლებლობები, ისწავლა დათვლა, სანამ კითხვას შეძლებდა. ზოგადად, მისი მაგალითი საბავშვო მათემატიკური გენიოსის კლასიკური შემთხვევაა. მან დაწერა თავისი პირველი მათემატიკური ტრაქტატი, გამოცდილება კონუსური მონაკვეთების თეორიაში, 24 წლის ასაკში. დაახლოებით ამავე დროს, მან დააპროექტა მექანიკური დანამატის მანქანა, დანამატის აპარატის პროტოტიპი. თავისი მუშაობის ადრეულ პერიოდში (1640-1650 წწ.) მრავალმხრივმა მეცნიერმა იპოვა ალგორითმი ნებისმიერი მთელი რიცხვის სხვა მთელ რიცხვზე გაყოფის ნიშნების საპოვნელად, საიდანაც მოჰყვება ყველა კონკრეტული ნიშანი. მისი ნიშანი ასეთია: ნატურალური რიცხვია იყოფა სხვა ნატურალურ რიცხვზებ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვის ციფრთა ნამრავლების ჯამია ბიტის ერთეულების რიცხვზე გაყოფით მიღებულ შესაბამის ნაშთებსბ, გაყოფილი ამ რიცხვზე.

ამრიგად, გაყოფის ნიშნები ცნობილი იყო უძველესი დროიდან და მათემატიკოსებს აინტერესებდათ.

თავი 2

2.1.სკოლაში შესწავლილი ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები.

ამ თემის შესწავლისას უნდა იცოდეთ გამყოფის, მრავალჯერადი, მარტივი და შედგენილი რიცხვების ცნებები.

ნატურალური რიცხვის გამყოფია ნატურალურ რიცხვს უწოდებენბ , რომელზედაც ა გაყოფილი ნარჩენების გარეშე.

ხშირად განცხადება რიცხვის გაყოფის შესახება რიცხვზე b გამოიხატება სხვა ექვივალენტური სიტყვებით: a არის b-ის ჯერადი, b არის a-ის გამყოფი, b ყოფს a.

მარტივი რიცხვები არის ბუნებრივი რიცხვები, რომლებსაც აქვთ ორი გამყოფი: 1 და თავად რიცხვი. მაგალითად, რიცხვები 5,7,19 მარტივია, რადგან იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.

რიცხვებს, რომლებსაც აქვთ ორზე მეტი ფაქტორი, ეწოდება კომპოზიტური რიცხვები. მაგალითად, რიცხვ 14-ს აქვს 4 გამყოფი: 1, 2, 7, 14, რაც ნიშნავს, რომ ის შედგენილია.

რომ…..

2.2.დამოუკიდებლად მიღებული ნატურალური რიცხვების 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000-ზე გაყოფის ნიშნები..

გაყოფის, ნატურალური რიცხვების გამრავლების მოქმედებების შესრულებით, მოქმედებების შედეგებზე დაკვირვებით ვიპოვე ნიმუშები და მივიღე გაყოფის შემდეგი ნიშნები.

4-ზე გაყოფის ნიშანი.

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ;

ნატურალური რიცხვების 4-ზე გამრავლებით შევამჩნიე, რომ რიცხვის ბოლო ორი ციფრიდან წარმოქმნილი რიცხვები ნაშთების გარეშე იყოფა 4-ზე.

4-ზე გაყოფის ნიშანი ასე იკითხება:ბუნებრივი თ

6-ზე გაყოფის ნიშანი.

გაითვალისწინეთ, რომ 6=2 3 6-ზე გაყოფის ნიშანი: თუ ნატურალური რიცხვი ერთდროულად იყოფა 2-ზე და 3-ზე, მაშინ იგი იყოფა 6-ზე.

მაგალითები:

216 იყოფა 2-ზე (დამთავრებული 6-ით) და იყოფა 3-ზე (8+1+6=15, 15׃3), ამიტომ რიცხვი იყოფა 6-ზე.

8-ზე გაყოფის ნიშანი.

ნატურალური რიცხვის 8-ზე გამრავლებით შევამჩნიე ასეთი ნიმუში, რიცხვები მთავრდება სამი 0-ლა-ით ან ბოლო სამი ციფრი ქმნის რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე.

ასე რომ, ეს არის ნიშანი.ბუნებრივი თ

15-ზე გაყოფის ნიშანი.

გაითვალისწინეთ, რომ 15=3 5

მაგალითები:

25-ზე გაყოფის ნიშანი.

ბუნებრივის გამრავლების გაკეთება სხვადასხვა ნომრები 25-ზე ვნახე ეს ნიმუში: სამუშაოები მთავრდება 00, 25, 50, 75.

ისე ბუნებრივი რიცხვი იყოფა 25-ზე, თუ ის მთავრდება 00, 25, 50, 75-ით.

50-ზე გაყოფის ნიშანი.

რიცხვები იყოფა 50-ზე: 50, 1

ნიშნავს, ნატურალური რიცხვი იყოფა 50-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის მთავრდება ორი ნულით ან 50-ით.

თუ ნატურალური რიცხვის ბოლოს იმდენი ნულია, რამდენიც არის ბიტის ერთეულში, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა ამ ბიტის ერთეულზე.

მაგალითები:

25600 იყოფა 100-ზე იმიტომ რიცხვები მთავრდება ნულების იგივე რაოდენობით. 8975000 იყოფა 1000-ზე, რადგან ორივე რიცხვი მთავრდება 000-ით.

ამრიგად, რიცხვებით მოქმედებების შესრულებისა და შაბლონების შემჩნევისას, ჩამოვაყალიბე გაყოფის ნიშნები და დამატებითი ლიტერატურიდან ვიპოვე დადასტურება ნატურალური რიცხვების გაყოფისთვის 4, 6, 8, 15, 25, 50-ზე დაწერილი ნიშნების სისწორის შესახებ. 100, 1000.

2.3 ნატურალური რიცხვების 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37-ზე გაყოფის ნიშნები, რომლებიც აღწერილია სხვადასხვა წყაროში.

დამატებითი ლიტერატურიდან აღმოვაჩინე ნატურალური რიცხვების 7-ზე გაყოფის რამდენიმე ნიშანი.

პ 7-ზე გაყოფის ნიშნები:

მაგალითები:

479345 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 479-345=134, 134 არ იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

4592 იყოფა 7-ზე, რადგან 45 2=90, 90+92=182, 182 იყოფა 7-ზე.

57384 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 573 2=1146, 1146+84=1230,1230 არ იყოფა 7-ზე

აბა

მაგალითები:

ბაა

მაგალითები:

aab

მაგალითები:

ბაა

მაგალითები:

10:7=1 (დასვენება 3)

100 × 7 = 14 (დასვენება 2)

1000 × 7 = 142 (დანარჩენი 6)

10000 × 7 = 1428 (ოსტი 4)

100000 × 7 = 14285 (დანარჩენი 5)

6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7

რიცხვი 354722 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 არ იყოფა 7 7-ზე; 6-ნარჩენი 1000-ის 7-ზე გაყოფისგან; 2-ნარჩენი 100-ის 7-ზე გაყოფისგან; 3-ნარჩენი გაყოფისგან 10 7-ზე).

11-ზე გაყოფის ნიშნები.

მაგალითი:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

მაგალითები:

12-ზე გაყოფის ნიშანი.

მაგალითები:

13-ზე გაყოფის ნიშნები.

მაგალითები:

14-ზე გაყოფის ნიშანი.

მაგალითები:

რიცხვი 35882 იყოფა 2-ზე და 7-ზე, ამიტომ იყოფა 14-ზე.

19-ზე გაყოფის ნიშანი.

მაგალითები:

153 4

182 4 182+4 2=190, 190/19, ანუ რიცხვია 1824/19.

37-ზე გაყოფის ნიშნები.

მაგალითი:

ამრიგად, in ნატურალური რიცხვების გაყოფის ყველა ჩამოთვლილი ნიშანი შეიძლება დაიყოს 4 ჯგუფად:

1 ჯგუფი - როდესაც რიცხვების გაყოფა განისაზღვრება ბოლო ციფრით (ებ) - ეს არის გაყოფის ნიშნები 2-ზე, 5-ზე, ბიტის ერთეულზე, 4-ზე, 8-ზე, 25-ზე, 50-ზე;

ჯგუფი 2 - როდესაც რიცხვების გაყოფა განისაზღვრება რიცხვის ციფრების ჯამით - ეს არის გაყოფის ნიშნები 3-ზე, 9-ზე, 7-ზე (1 ნიშანი), 11-ზე, 37-ზე;

ჯგუფი 3 - როდესაც რიცხვების გაყოფა დგინდება რიცხვის ციფრებზე ზოგიერთი მოქმედების შესრულების შემდეგ - ეს არის 7-ზე, 11-ზე, 13-ზე, 19-ზე გაყოფის ნიშნები;

ჯგუფი 4 - როდესაც რიცხვის გაყოფის დასადგენად სხვა ნიშნები გამოიყენება - ეს არის 6-ზე, 12-ზე, 14-ზე, 15-ზე გაყოფის ნიშნები.

თავი 3. ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.

გაყოფის კრიტერიუმები გამოიყენება GCD-ისა და LCM-ის საპოვნელად, ასევე სიტყვის ამოცანების ამოხსნისას GCD-ისა და LCM-ის გამოყენებით.

ამოცანა 1:

მე-5 კლასის მოსწავლეებმა შეიძინეს 203 სახელმძღვანელო. ყველამ ერთნაირი რაოდენობის წიგნი იყიდა. რამდენი მეხუთე კლასელი იყო და რამდენი სახელმძღვანელო იყიდა თითოეულმა?

გამოსავალი: განსაზღვრული ორივე რაოდენობა უნდა იყოს მთელი რიცხვები, ე.ი. იყოს 203 რიცხვის გამყოფებს შორის. 203-ის ფაქტორებად დაშლით მივიღებთ: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

პრაქტიკული მიზეზების გამო.

პასუხი:

დავალება 2.

გამოსავალი:

პასუხი:

ამოცანა 3: მე-9 კლასში მოსწავლეთა 1/7-მა მიიღო გამოცდისთვის ხუთეული, 1/3 - ოთხეული, 1/2 - სამეული. დანარჩენი სამუშაო არადამაკმაყოფილებელი იყო. რამდენი ასეთი სამუშაო იყო?

გამოსავალი:

ამოცანის მათემატიკური მიმართებები ვარაუდობს, რომ კლასში მოსწავლეთა რაოდენობაა 84, 126 და ა.შ. ადამიანური. მაგრამ საღი აზრის გამო, აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველაზე მისაღები პასუხია ნომერი 42.

პასუხი: 1 სამუშაო.

დავალება 4.

გამოსავალი: ამ კლასებიდან პირველში შეიძლება იყოს: 17, 34, 51 ... - რიცხვები, რომლებიც მრავლდებიან 17-ზე. მეორე კლასში: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - რიცხვები, რომლებიც მრავლდებიან 9. ჩვენ უნდა ავირჩიოთ 1 რიცხვი პირველი მიმდევრობიდან, ხოლო 2 არის რიცხვი მეორიდან ისე, რომ ისინი დაემატოს 70-ს. უფრო მეტიც, ამ თანმიმდევრობებში მხოლოდ მცირე რაოდენობის ტერმინებს შეუძლიათ გამოხატონ ბავშვების შესაძლო რაოდენობა. კლასი. ეს მოსაზრება მნიშვნელოვნად ზღუდავს ვარიანტების ჩამოთვლას. ერთადერთი შესაძლო ვარიანტი იყო წყვილი (34, 36).

პასუხი:

დავალება 5.

გამოსავალი:

პასუხი:

დავალება 6. ერთი და იმავე მოედნიდან სხვადასხვა მარშრუტით ორი ავტობუსი გადის. ერთ-ერთი ავტობუსისთვის ორმხრივი ფრენა 48 წუთს გრძელდება, მეორესთვის კი 1 საათი და 12 წუთი. რამდენ ხანში შეიკრიბებიან ავტობუსები იმავე მოედანზე?

გამოსავალი:

პასუხი:

დავალება 7. მოცემული ცხრილი:

პასუხი:

დავალება 8.

პასუხი:

დავალება 9.

პასუხი:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდით ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნების გამოყენებაში ამოცანების ამოხსნისას.

დასკვნა.

მუშაობის პროცესში გავეცანი გაყოფის ნიშნების განვითარების ისტორიას. მან თავად სწორად ჩამოაყალიბა ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000., რის დადასტურებაც მან იპოვა დამატებითი ლიტერატურიდან. სხვადასხვა წყაროებთან მუშაობისას დავრწმუნდი, რომ არსებობს ნატურალური რიცხვების გაყოფის სხვა ნიშნებიც (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), რომდაადასტურა ჰიპოთეზის სისწორენატურალური რიცხვების გაყოფის სხვა კრიტერიუმების არსებობის შესახებ.

დამატებითი ლიტერატურიდან აღმოვაჩინე ამოცანები, რომელთა ამოხსნაში გამოყენებულია ნატურალური რიცხვების გაყოფის ნიშნები.

ნატურალური რიცხვების გაყოფის ზემოაღნიშნული ნიშნების ცოდნა და გამოყენება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ბევრ გამოთვლას, დაზოგავს დროს; გამორიცხავს გამოთვლით შეცდომებს, რომლებიც შეიძლება დაუშვას გაყოფის ოპერაციის შესრულებისას. უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთი მახასიათებლის ფორმულირება საკმაოდ რთულია. ალბათ ამიტომაც არ სწავლობენ სკოლაში.

შეგროვებული მასალა დავაპროექტე ბროშურის სახით, რომელიც შეიძლება გამოვიყენოთ მათემატიკის გაკვეთილებზე, მათემატიკური წრის კლასებში. მათემატიკის მასწავლებლებს შეუძლიათ მისი გამოყენება ამ თემის შესწავლისას. ასევე ვურჩევ ჩემს ნამუშევრებს გაეცნონ იმ თანატოლებს, რომლებსაც მათემატიკაზე მეტი უნდათ, ვიდრე ჩვეულებრივ მოსწავლეს.

დამატებითი კითხვები შეიძლება განიხილებოდეს:

გაყოფის ნიშნების წარმოშობა;

გაარკვიეთ არის თუ არა ჯერ კიდევ გაყოფის ნიშნები, რომელთა შესწავლისთვის ჯერ არ მაქვს საკმარისი ცოდნა?

გამოყენებული ლიტერატურის სია (წყაროები):

გალკინი V.A. ამოცანები თემაზე „გაყოფადობის ნიშნები“.// მათემატიკა, 1999.-№5.-S.9.
გუსევი V.A., Orlov A.I., Rozental A.L. კლასგარეშე მუშაობა მათემატიკაში 6-8 კლასებში.-მ.: განათლება, 1984 წ.
კაპლუნი ლ.მ. GCD და LCM ამოცანებში. // მათემატიკა, 1999.- №7. - გვ. 4-6.
პელმან ია.ი. მათემატიკა სახალისოა! - M .: TERRA - წიგნის კლუბი, 2006 წ.
ახალგაზრდა მათემატიკოსის ენციკლოპედიური ლექსიკონი / კომპ. Savin A.P. - მ .: პედაგოგიკა, 1989. - S. 352.
ინტერნეტი

გაყოფის ნიშნები

5-ზე.

თუ რიცხვი მთავრდება 0.5-ით.

2-ზე.

თუ რიცხვი მთავრდება 0, 2, 4, 6, 8-ით

10-ზე.

თუ რიცხვი 0-ით მთავრდება

3 (9).

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე (9).

გადახედვა:

პასუხი:

დავალება 8.

დაწერეთ ცხრანიშნა რიცხვი, რომელშიც არ არის განმეორებადი ციფრი (ყველა ციფრი განსხვავებულია) და რომელიც იყოფა ნარჩენების გარეშე 11-ზე. დაწერეთ ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი, ყველაზე პატარა.

პასუხი: ყველაზე დიდი არის 987652413, ყველაზე პატარა 102347586.

დავალება 9.

ვანიამ მოიფიქრა მარტივი სამნიშნა რიცხვი, რომლის ყველა ციფრი განსხვავებულია. რა ციფრით შეიძლება დასრულდეს ის, თუ მისი ბოლო ციფრი პირველი ორის ჯამის ტოლია. მოიყვანეთ ასეთი რიცხვების მაგალითები.

პასუხი: ის შეიძლება დასრულდეს მხოლოდ 7 რიცხვით. არსებობს 4 ასეთი რიცხვი: 167, 257, 347, 527.

2-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ ნატურალური რიცხვი მთავრდება 2, 4, 6, 8, 0-ით, მაშინ ის იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე.

5-ზე გაყოფის ნიშანი.

თუ რიცხვი მთავრდება 0-ით ან 5-ით, მაშინ იგი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე.

3-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე, მაშინ რიცხვი ასევე იყოფა 3-ზე.

მაგალითები

684: 3, რადგან 6+ 8 + 4=18, 18: 3, ასე რომ რიცხვი: 3-ით.

763 არა: on3, რადგან 7+6+3=16, 16 არა: 3-ით, ასე რომ 763 არა: 3-ით.

9-ზე გაყოფის ნიშანი

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, მაშინ თავად რიცხვი იყოფა 9-ზე.

მაგალითები

765: 9, რადგან 7+6+5=18, 18: 9, ასე რომ 765: 9

881 არა: on9, რადგან 8+8+1=17, 17 არ არის: 9-ით, ამიტომ 881 არ არის: 9-ით.

4-ზე გაყოფის ნიშანი.

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ; …

ბუნებრივი თ რიცხვი იყოფა 4-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი არის 0 ან იყოფა 4-ზე.

6-ზე გაყოფის ნიშანი.

გაითვალისწინეთ, რომ 6=2 3 6-ზე გაყოფის ნიშანი:

თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა 2-ზე და 3-ზე, მაშინ ის იყოფა 6-ზე.

მაგალითები:

816 იყოფა 2-ზე (ბოლოდება 6-ით) და იყოფა 3-ზე (8+1+6=15, 15׃3), ამიტომ რიცხვი იყოფა 6-ზე.

625 არ იყოფა 2-ზე ან 3-ზე, ამიტომ არ იყოფა 6-ზე.

2120 იყოფა 2-ზე (ბოლოდება 0-ზე), მაგრამ არ იყოფა 3-ზე (2+1+2+0=5, 5 არ იყოფა 3-ზე), ამიტომ რიცხვი არ იყოფა 6-ზე.

279 იყოფა 3-ზე (2+7+9=18, 18:3), მაგრამ არ იყოფა 2-ზე (ბოლოდება კენტი რიცხვით), ამიტომ რიცხვი არ იყოფა 6-ზე.

7-ზე გაყოფის ნიშანი.

მე ნატურალური რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განსხვავება ათასობით რიცხვსა და ბოლო სამი ციფრით გამოხატულ რიცხვს შორის იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

478009 იყოფა 7-ზე, რადგან 478-9=469, 469 იყოფა 7-ზე.

475341 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 475-341=134, 134 არ იყოფა 7-ზე.

II. ნატურალური რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ ათეულამდე რიცხვის ორჯერ და დარჩენილი რიცხვის ჯამი იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

4592 იყოფა 7-ზე, რადგან 45 2=90, 90+92=182, 182/7.

წთ, ხოლო დანარჩენი 1 სთ 12 წთ. რამდენ ხანში შეიკრიბებიან ავტობუსები იმავე მოედანზე?

გამოსავალი: LCM(48, 72) = 144 (წთ). 144 წთ = 2 სთ 24 წთ.

პასუხი: 2 საათისა და 24 წუთის შემდეგ ავტობუსები ისევ იმავე მოედანზე შეიკრიბებიან.

დავალება 7. მოცემული ცხრილი:

ცარიელ უჯრედებში შეიყვანეთ შემდეგი ნომრები: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

პასუხი: პირველ კლასში 34, მეორე კლასში 36 მოსწავლე სწავლობს.

დავალება 5.

რა არის ერთნაირი საჩუქრების ყველაზე მცირე რაოდენობა, რაც შეიძლება გაკეთდეს 320 თხილისგან, 240 ტკბილეულისგან, 200 ვაშლისგან? რამდენ თხილს, კანფეტს და ვაშლს შეიცავს თითოეული საჩუქარი?

გამოსავალი: GCD(320, 240, 200) = 40 (საჩუქრები), შემდეგ თითოეულ საჩუქარს ექნება: 320:40 = 8 (თხილი); 240: 40 = 6 (კანფეტი); 200:40 = 5 (ვაშლი).

პასუხი: თითოეული საჩუქარი შეიცავს 8 თხილს, 6 კანფეტს, 5 ვაშლს.

დავალება 6.

ერთი და იმავე მოედნიდან სხვადასხვა მარშრუტით ორი ავტობუსი გადის. ერთ-ერთ ავტობუსს აქვს ორმხრივი ფრენა, რომელიც გრძელდება 48

57384 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 573 2=1146, 1146+84=1230, 1230 არ იყოფა 7-ზე.

III. ფორმის სამნიშნა ნატურალური რიცხვიაბა გაიყოფა 7-ზე, თუ a+b იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

252 იყოფა 7-ზე, რადგან 2+5=7, 7/7.

636 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 6+3=9, 9 არ იყოფა 7-ზე.

IV. ფორმის სამნიშნა ნატურალური რიცხვიბაა გაიყოფა 7-ზე, თუ რიცხვის ციფრების ჯამი იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

455 იყოფა 7-ზე, რადგან 4+5+5=14, 14/7.

244 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 2+4+4=12, 12 არ იყოფა 7-ზე.

V. ფორმის სამნიშნა ნატურალური რიცხვი aab გაიყოფა 7-ზე, თუ 2a-b იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

882 იყოფა 7-ზე, რადგან 8+8-2=14, 14/7.

996 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 9+9-6=12, 12 არ იყოფა 7-ზე.

VI. ფორმის ოთხნიშნა ნატურალური რიცხვიბაა სადაც b არის ორნიშნა რიცხვი, დაიყოფა 7-ზე, თუ b+2a იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

2744 იყოფა 7-ზე, რადგან 27+4+4=35, 35/7.

1955 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 19+5+5=29, 29 არ იყოფა 7-ზე.

VII. ნატურალური რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბოლო ციფრის გარეშე ბოლო ციფრის ორჯერ გამოკლების შედეგი იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

483 იყოფა 7-ზე, რადგან 48-3 2=42, 42/7.

564 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 56-4 2=48, 48 არ იყოფა 7-ზე.

VIII. ნატურალური რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბიტის ერთეულების 7-ზე გაყოფით მიღებული რიცხვის ციფრების ნამრავლებისა და შესაბამისი ნაშთების ჯამი იყოფა 7-ზე.

მაგალითები:

10:7=1 (დასვენება 3)

100 × 7 = 14 (დასვენება 2)

1000 × 7 = 142 (დანარჩენი 6)

10000 × 7 = 1428 (ოსტი 4)

100000 × 7 = 14285 (დანარჩენი 5)

1000000׃7=142857 (დასვენება 1) და ნაშთები ისევ მეორდება.

რიცხვი 1316 იყოფა 7-ზე, რადგან 1· 6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7 (6 არის 1000-ის ნაშთი გაყოფილი 7-ზე; 2 არის 100-ის ნარჩენი გაყოფილი 7-ზე; 3 არის 10-ის დარჩენილი ნაწილი გაყოფილი 7-ზე).

რიცხვი 354722 არ იყოფა 7-ზე, რადგან 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 არ იყოფა 7-ზე (5 არის 100000-ის ნარჩენი გაყოფილი 7-ზე; 4 არის 10000-ის ნარჩენი გაყოფილი 7-ზე; 6 არის ნაშთი 1000-დან გაყოფილი 7-ზე; 2 არის 100-ის დარჩენილი ნაწილი გაყოფილი 7-ზე; 3 არის 10-ის დარჩენილი ნაწილი გაყოფილი 7-ზე).

საჩუქრების რაოდენობა უნდა იყოს თითოეული რიცხვის გამყოფი, რომელიც გამოხატავს ფორთოხლის, ტკბილეულის და თხილის რაოდენობას და ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდს. ამიტომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ რიცხვების GCD. GCD (60, 175, 225) = 15. თითოეული საჩუქარი შეიცავს: 60: 15 = 4 - ფორთოხალი,175: 15 = 11 თხილი და 225: 15 = 15 კანფეტი.

პასუხი: ერთ საჩუქარში - 4 ფორთოხალი, 11 თხილი, 15 ტკბილეული.

ამოცანა 3: მე-9 კლასში მოსწავლეთა 1/7-მა მიიღო ტესტისთვის ხუთეული, 1/3 - ოთხეული, ½ - სამეული. დანარჩენი სამუშაო არადამაკმაყოფილებელი იყო. რამდენი ასეთი სამუშაო იყო?

გამოსავალი: ამოცანის ამოხსნა უნდა იყოს რიცხვების ნამრავლი: 7, 3, 2. ჯერ ვიპოვოთ ამ რიცხვებიდან ყველაზე პატარა. LCM (7, 3, 2) = 42. თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამოხატულება ამოცანის პირობის მიხედვით: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 წარუმატებელი.

პრობლემის მიმართების მათემატიკური მიმართება ვარაუდობს, რომ კლასში მოსწავლეთა რაოდენობაა 84, 126 და ა.შ. ადამიანური. მაგრამ საღი აზრის გამო, აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველაზე მისაღები პასუხია ნომერი 42.

პასუხი: 1 სამუშაო.

დავალება 4.

ორ კლასში ერთად 70 მოსწავლე სწავლობს. ერთ კლასში 7/17 მოსწავლე არ გამოცხადდა გაკვეთილზე, მეორეში კი 2/9 მიიღო მათემატიკაში A. რამდენი მოსწავლეა თითოეულ კლასში?

მაგალითები:

25600 იყოფა 100-ზე იმიტომ რიცხვები მთავრდება ნულების იგივე რაოდენობით.

8975000 იყოფა 1000-ზე, რადგან ორივე რიცხვი მთავრდება 000-ით.

ამოცანა 1: (გამოყენება საერთო გამყოფებიდა GCD)

5 „ა“ კლასის მოსწავლეებმა შეიძინეს 203 სახელმძღვანელო. ყველამ ერთნაირი რაოდენობის წიგნი იყიდა. რამდენი მეხუთე კლასელი იყო და რამდენი სახელმძღვანელო იყიდა თითოეულმა?

გამოსავალი: განსაზღვრული ორივე რაოდენობა უნდა იყოს მთელი რიცხვები, ე.ი. იყოს 203 რიცხვის გამყოფთა შორის. 203-ის ფაქტორინგი, მივიღებთ:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

პრაქტიკული მიზეზების გამოაქედან გამომდინარეობს, რომ არ შეიძლება იყოს 29 სახელმძღვანელო, ასევე არ შეიძლება იყოს სახელმძღვანელოების რაოდენობა1, მას შემდეგ ამ შემთხვევაში 203 მოსწავლე იქნებოდა, ანუ 29 მეხუთე კლასელია და თითოეულმა 7 სახელმძღვანელო იყიდა..

პასუხი: 29 მეხუთე კლასელი; 7 სახელმძღვანელო

დავალება 2. არის 60 ფორთოხალი, 165 თხილი და 225 კანფეტი. რომელიც ყველაზე დიდი რაოდენობაშეიძლება ამ მარაგისგან იდენტური საჩუქრების გაკეთება ბავშვებისთვის? რა შედის თითოეულ კომპლექტში?

გამოსავალი:

8-ზე გაყოფის ნიშანი.

125 8=1000; 242 8=1936; 512 8=4 096 ; 600 8=4 800; 1234 8=9 872; 122875 8=983 000 ;…

ბუნებრივი თ რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი იყოფა 0-ზე ან იყოფა 8-ზე.

11-ზე გაყოფის ნიშნები.

I. რიცხვი იყოფა 11-ზე, თუ სხვაობა კენტ ადგილებსა და ლუწ ადგილებზე ციფრთა ჯამს შორის არის 11-ის ჯერადი.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვი ან 0, მაგრამ ის უნდა იყოს 11-ის ჯერადი. ნუმერაცია მიდის მარცხნიდან მარჯვნივ.

მაგალითი:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 არ არის 11-ის ჯერადი, ამიტომ ეს რიცხვი არ იყოფა 11-ზე.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 არის 11-ის ნამრავლი, ამიტომ ეს რიცხვი იყოფა 11-ზე.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 არ არის 11-ის ჯერადი, ამიტომ ეს რიცხვი არ იყოფა 11-ზე.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 არის 11-ის ნამრავლი, ამიტომ ეს რიცხვი იყოფა 11-ზე.

II. ნატურალური რიცხვი იყოფა მარჯვნიდან მარცხნივ 2-ციფრიან ჯგუფებად და ემატება ეს ჯგუფები. თუ მიღებული ჯამი არის 11-ის ჯერადი, მაშინ ტესტის რიცხვი არის 11-ის ჯერადი.

მაგალითი: დაადგინეთ, იყო თუ არა რიცხვი 12561714 11-ზე.

დავყოთ რიცხვი თითო ორნიშნა ჯგუფად: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 იყოფა 11-ზე, ამიტომ ეს რიცხვი იყოფა 11-ზე.

III. სამნიშნა ნატურალური რიცხვი იყოფა 11-ზე, თუ რიცხვის გვერდითი ციფრების ჯამი უდრის შუა რიცხვს. პასუხი შედგება იმავე გვერდითი ნომრებისგან.

მაგალითები:

594 იყოფა 11-ზე, რადგან 5+4=9, 9 არის შუაში.

473 იყოფა 11-ზე, რადგან 4+3=7, 7- შუაში.

861 არ იყოფა 11-ზე, რადგან 8+1=9 და 6 შუაში.

12-ზე გაყოფის ნიშანი.

ნატურალური რიცხვი იყოფა 12-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ იგი იყოფა 3-ზე და 4-ზე ერთდროულად.

მაგალითები:

636 იყოფა 3-ზე და 4-ზე, ამიტომ იყოფა 12-ზე.

587 არ იყოფა არც 3-ზე და არც 4-ზე, ამიტომ არ იყოფა 12-ზე.

27126 იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 4-ზე, ამიტომ არ იყოფა 12-ზე.

37-ზე გაყოფის ნიშნები.

I. ნატურალური რიცხვი იყოფა 37-ზე, თუ ამ რიცხვის სამმაგი ციფრებით წარმოქმნილი რიცხვების ჯამი ათობითი აღნიშვნაიყოფა 37-ზე შესაბამისად.

მაგალითი: დაადგინეთ, იყო თუ არა რიცხვი 100048 37-ზე.

100/048 100+48=148, 148 იყოფა 37-ზე, ამიტომ რიცხვიც იყოფა 37-ზე.

II. დაწერილი სამნიშნა ნატურალური რიცხვი იგივე ნომრებიიყოფა 37-ზე.

მაგალითი:

რიცხვები 111, 222, 333, 444, 555, ... იყოფა 37-ზე.

25-ზე გაყოფის ნიშანი

ნატურალური რიცხვი იყოფა 25-ზე, თუ ის მთავრდება 00, 25, 50, 75-ით.

50-ზე გაყოფის ნიშანი.

რიცხვები იყოფა 50-ზე: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… ისინი მთავრდება ან 50 ან 00.

ნატურალური რიცხვი იყოფა 50-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის მთავრდება ორი ნულით ან 50-ით.

გაყოფის გაერთიანებული ნიშანი 10, 100, 1000, ...

თუ ნატურალური რიცხვის ბოლოს იმდენი ნულია, რამდენიც ბიტის ერთეულში, მაშინ ეს რიცხვი იყოფა ამ ბიტზე -

ახალი ერთეული.

13-ზე გაყოფის ნიშნები.

I. ნატურალური რიცხვი იყოფა 13-ზე, თუ სხვაობა ათასობითსა და ბოლო სამი ციფრით წარმოქმნილ რიცხვს შორის იყოფა 13-ზე.

მაგალითები:

რიცხვი 465400 იყოფა 13-ზე, რადგან 465 - 400 = 65, 65 იყოფა 13-ზე.

რიცხვი 256184 არ იყოფა 13-ზე, რადგან 256 - 184 = 72, 72 არ იყოფა 13-ზე.

II. ნატურალური რიცხვი იყოფა 13-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ რიცხვს ბოლო ციფრის 9-ზე გამრავლების შედეგი ბოლო ციფრის გარეშე იყოფა 13-ზე.

მაგალითები:

988 იყოფა 13-ზე, რადგან 98 - 9 8 = 26, 26 იყოფა 13-ზე.

853 არ იყოფა 13-ზე, რადგან 85 - 3 9 = 58, 58 არ იყოფა 13-ზე.

14-ზე გაყოფის ნიშანი.

ნატურალური რიცხვი იყოფა 14-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იგი ერთდროულად იყოფა 2-ზე და 7-ზე.

მაგალითები:

რიცხვი 45826 იყოფა 2-ზე, მაგრამ არ იყოფა 7-ზე, ამიტომ არ იყოფა 14-ზე.

რიცხვი 1771 იყოფა 7-ზე, მაგრამ არ იყოფა 2-ზე, ამიტომ არ იყოფა 14-ზე.

15-ზე გაყოფის ნიშანი.

გაითვალისწინეთ, რომ 15=3 5.თუ ნატურალური რიცხვი იყოფა 5-ზე და 3-ზე, მაშინ ის იყოფა 15-ზე.

მაგალითები:

346725 იყოფა 5-ზე (ბოლოდება 5-ზე) და იყოფა 3-ზე (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), ამიტომ რიცხვი იყოფა 15-ზე.

48732 იყოფა 3-ზე (4+8+7+3+2=24, 24:3) მაგრამ არ იყოფა 5-ზე, ამიტომ რიცხვი არ იყოფა 15-ზე.

87565 იყოფა 5-ზე (მთავრდება 5-ზე), მაგრამ არ იყოფა 3-ზე (8+7+5+6+5=31, 31 არ იყოფა 3-ზე), ამიტომ რიცხვი არ იყოფა 15-ზე.

19-ზე გაყოფის ნიშანი.

ნატურალური რიცხვი იყოფა 19-ზე ნაშთის გარეშე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ათეულების რიცხვი, ერთეულების ორჯერ დამატებული, იყოფა 19-ზე.

გასათვალისწინებელია, რომ რიცხვში ათეულების რაოდენობა არ უნდა ჩაითვალოს ციფრად ათეულების ადგილზე, არამედ საერთო რაოდენობამთლიანი ათეული.

მაგალითები:

153 4 ათეულები-153, 4 2=8, 153+8=161, 161 არ იყოფა 19-ზე, ამიტომ არც 1534 იყოფა 19-ზე.

182 4 182+4 2=190, 190:19, ანუ რიცხვი 1824: 19.

GBOU SOSH რკინიგზა Ხელოვნება. ჩატვირთვა

გაყოფის ნიშნები

ბუნებრივი

ნომრები

შეადგინა ეტკარევა ალინამ.

2013 წელი

2-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 2-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ციფრი იყოფა 2-ზე, ანუ ის ლუწია.

3-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 3-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე.

გაყოფა 4 ნიშნით
რიცხვი იყოფა 4-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ორი ციფრის რიცხვი არის ნული ან იყოფა 4-ზე.

5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 5-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბოლო ციფრი იყოფა 5-ზე (ანუ ტოლია 0-ის ან 5-ის).

6-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 6-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 2-ზე და 3-ზე.

7-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ რიცხვს ბოლო ციფრის ორჯერ გამოკლების შედეგი ბოლო ციფრის გარეშე იყოფა 7-ზე (მაგალითად, 259 იყოფა 7-ზე, ვინაიდან 25 - (2 9) = 7 იყოფა. 7-ით).

8-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე.

9-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 9-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.

10-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 10-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის მთავრდება ნულით.

11-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 11-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მონაცვლეობითი ნიშნების მქონე ციფრების ჯამი იყოფა 11-ზე (ანუ 182919 იყოფა 11-ზე, რადგან 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 იყოფა 11-ზე. 11) - შედეგი იმისა, რომ 10 n ფორმის ყველა რიცხვი 11-ზე გაყოფისას იძლევა (-1) n ნარჩენს.

12-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 12-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 3-ზე და 4-ზე.

13-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 13-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ათეულების რიცხვი, რომელიც ემატება ოთხჯერ ერთეულების რაოდენობას, არის 13-ის ჯერადი (მაგალითად, 845 იყოფა 13-ზე, რადგან 84 + (4 5) = 104 არის იყოფა 13-ზე).

14-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 14-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 2-ზე და 7-ზე.

15-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 15-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 3-ზე და 5-ზე.

17-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 17-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ათეულების რიცხვი, დამატებული 12-ით გაზრდილი ერთეულების რიცხვს, არის 17-ის ჯერადი (მაგალითად, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30. +72=102→10+ 24 = 34. ვინაიდან 34 იყოფა 17-ზე, მაშინ 29053 ასევე იყოფა 17-ზე). ნიშანი ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი, მაგრამ მას გარკვეული მნიშვნელობა აქვს მათემატიკაში. არსებობს ოდნავ მარტივი გზა - რიცხვი იყოფა 17-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სხვაობა მისი ათეულებისა და ხუთჯერ ერთეულების რიცხვს შორის არის 17-ის ჯერადი (მაგალითად, 32952→3295-10=3285→328). -25=303→30-15=15. ვინაიდან 15 არ იყოფა 17-ზე, მაშინ არც 32952 იყოფა 17-ზე)

19-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 19-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ათეულების რიცხვი, რომელიც ემატება ორჯერ ერთეულების რაოდენობას, არის 19-ის ჯერადი (მაგალითად, 646 იყოფა 19-ზე, რადგან 64 + (6 2) = 76 იყოფა. 19-ით).

23-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 23-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მის ასეულებს პლუს სამმაგი მისი ათეული არის 23-ის ჯერადი (მაგალითად, 28842 იყოფა 23-ზე, რადგან 288 + (3 * 42) = 414 გრძელდება 4 + (3 * 14) = 46 აშკარად იყოფა 23-ზე).

25-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 25-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი იყოფა 25-ზე (ეს არის 00, 25, 50 ან 75) ან რიცხვი არის 5-ის ჯერადი.

99-ზე გაყოფის ნიშანი
მოდით გავყოთ რიცხვი 2-ნიშნა ჯგუფად მარჯვნიდან მარცხნივ (მარცხნივ ჯგუფში შეიძლება იყოს ერთი ციფრი) და ვიპოვოთ ამ ჯგუფების ჯამი, დათვალოთ ისინი. ორნიშნა. ეს ჯამი იყოფა 99-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი იყოფა 99-ზე.

101-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვს ვყოფთ 2 ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი) და ვპოულობთ ამ ჯგუფების ჯამს ცვლადი ნიშნებით, მივიჩნევთ ორნიშნა რიცხვებად. ეს ჯამი იყოფა 101-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი იყოფა 101-ზე. მაგალითად, 590547 იყოფა 101-ზე, ვინაიდან 59-05+47=101 იყოფა 101-ზე).

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: