Kaj je hipotenuza pravokotnika. Kako najti stranice pravokotnega trikotnika? Osnove geometrije

Na samem začetku se spomnimo, da je trikotnik polieder, ki ima 3 kote. Kako najti hipotenuzo pravokotnega trikotnika, če so znane druge dimenzije trikotnika?

Navodilo

  1. Dolžine nog so znane. IN ta primer, lahko hipotenuzo izračunamo z uporabo Pitagorovega izreka. Ta izrek zveni takole: vsota kvadratov nog je enaka kvadratu hipotenuze. Iz tega sledi, da je za izračun dolžine hipotenuze potrebno kvadrirati vrednost vsake noge po vrsti. Nato seštejte dobljena števila in iz skupnega rezultata izvlecite kvadratni koren.
  2. Kako najti hipotenuzo v trikotniku KFB, če sta znana noga (VC) in kot, ki meji nanjo? Znani kot označimo z α. Ena od lastnosti pravokotnega trikotnika je naslednja: razmerje med dolžino noge pravokotnega trikotnika in dolžino hipotenuze je enako kosinusu kota med hipotenuzo in to nogo. To lahko zapišemo na naslednji način: FB=BK*cos(α).
  3. Drug krak (KF) je znan in enak kot α, zdaj bo nasproten. Hipotenuzo je mogoče najti tudi z uporabo istih lastnosti pravokotnega trikotnika. Tukaj dobimo, da je razmerje med dolžino noge pravokotnega trikotnika in dolžino njegove hipotenuze enako sinusu kota nasproti noge. Zapišemo: FB=KF*sin(α).
  4. Kako najti hipotenuzo trikotnika, če je okoli njega opisan krog, za katerega je znan njegov polmer. Iz lastnosti kroga, ki je opisan okoli pravokotnega trikotnika, je znano, da ima tak krog središče, ki sovpada s točko hipotenuze, ki ga deli na pol. Z drugimi besedami, polmer je enak polovici hipotenuze. In to pomeni, da dva polmera sestavljata hipotenuzo: FB=2*R.

Če poznamo lastnosti pravokotnega trikotnika in Pitagorejskega izreka, je zelo enostavno izračunati dolžino hipotenuze. Če si še vedno težko zapomnite vse lastnosti, se le naučite že pripravljene formule, v katere je zelo enostavno nadomestiti znane vrednosti za izračun dolžine hipotenuze.

Prevedeno iz grški, hipotenuza pomeni "raztegnjena". Za pravilno razumevanje si predstavljajte tetivo loka, ki povezuje oba konca prožne palice. Tudi tukaj v pravokotni trikotnik, najdaljša stranica, je hipotenuza, ki leži nasproti pravi kot. Deluje kot spojnik drugih dveh strani, imenovanih noge. Če želite izvedeti, kako dolga je ta "vrvica", morate imeti dolžine krakov ali vrednosti dveh ostrih kotov. Če združite te podatke, lahko izračunate želeno vrednost s pomočjo formul.

Kako najti hipotenuzo po nogah

Najlažji način za izračun, če poznate vrednost dveh nog (označimo eno A, drugo B). Na pomoč priskoči sam Pitagora in njegov svetovno znani izrek. Pove nam, da če kvadriramo dolžino katet in dodamo izračunane vrednosti, potem bomo kot rezultat ugotovili vrednost kvadrata dolžine hipotenuze. Iz zgoraj navedenega sklepamo: da bi našli vrednost hipotenuze, je treba izvleči kvadratni koren skupne vsote kvadratov nog C \u003d √ (A² + B²). Primer: krak A \u003d 10 cm, krak B \u003d 20 cm Hipotenuza je 22,36 cm Izračun je naslednji: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √500≈22,36.

Kako najti hipotenuzo skozi kot

Nekoliko težje je izračunati dolžino hipotenuze skozi dani kot. Če poznate velikost enega od dveh krakov (označimo A) in velikost kota (označimo α), ki leži nasproti nje, potem velikost hipotenuze najdemo s trigonometrijo in še posebej s sinusom. Vse kar morate storiti je, da vrednost znanega kraka delite s sinusom kota. C=A/sin(α). Primer: dolžina noge je A = 30 cm, kot nasproti nje je 45 °, hipotenuza bo 42,25 cm, izračun je naslednji: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Drug način je iskanje velikosti hipotenuze s pomočjo kosinusa. Uporablja se, če poznate velikost kraka (označimo B) in ostri kot (označimo α), ki meji nanj. Vse kar morate storiti je, da vrednost noge delite s sinusom kota. С=В/cos(α). Primer: dolžina noge je B = 30 cm, kot nasproti nje je 45 °, hipotenuza bo 42,25 cm, izračun je naslednji: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Kako najti hipotenuzo enakokrakega pravokotnega trikotnika

Vsak študent, ki se spoštuje, ve, da je trikotnik enakokrak, če sta dve od treh strani enaki. Te stranice se imenujejo stranske, tista, ki ostane, pa je osnova. Če je eden od kotov 90 °, potem imate enakokraki pravokotni trikotnik.

Iskanje hipotenuze v takem trikotniku je preprosto, saj ima več lastnosti, ki vam bodo pomagale. Kota, ki ležita na osnovnici, sta po vrednosti enaka, skupna vsota kotov je 180°. To pomeni, da pravi kot leži nasproti osnove, kar pomeni, da je osnova hipotenuza, noge pa stranice.

Razmislite o primeru: noga A \u003d 2 cm, kar pomeni, da je druga noga 2 cm, tako da prepišemo Pitagorov izrek: C² \u003d 2 * A². Če podatke nadomestimo s formulo, dobimo vrednost hipotenuze, ki je enaka 2,83 cm Zaključek: če je ena stran enakokrakega pravokotnega trikotnika 2 cm, bo njegova osnova 2,83 cm.

Trikotnik se imenuje pravokoten, če je eden od njegovih kotov 90º. Stran nasproti pravemu kotu se imenuje hipotenuza, drugi dve pa sta kateti.

Za iskanje kota v pravokotnem trikotniku uporabimo nekatere lastnosti pravokotnega trikotnika, in sicer: dejstvo, da je vsota ostrih kotov 90°, in tudi dejstvo, da nasproti kraka, katerega dolžina je polovica hipotenuze, leži kot enak 30º.

Hitra navigacija po člankih

Enakokraki trikotnik

Ena od lastnosti enakokrakega trikotnika je, da sta dva njegova kota enaka. Če želite izračunati vrednosti kotov pravokotnega enakokrakega trikotnika, morate vedeti, da:

  • Pravi kot je 90º.
  • Vrednosti ostrih kotov so določene s formulo: (180º-90º)/2=45º, tj. kota α in β sta 45º.

Če je znana vrednost enega od ostrih kotov, lahko drugega poiščemo po formuli: β=180º-90º-α ali α=180º-90º-β. Najpogosteje se to razmerje uporablja, če je eden od kotov 60º ali 30º.

Ključni pojmi

Vsota notranjih kotov trikotnika je 180º. Ker je en kot pravi, bosta druga dva ostra. Če jih želite najti, morate vedeti, da:


druge metode

Vrednosti ostrih kotov pravokotnega trikotnika lahko izračunate tako, da poznate vrednost mediane - črte, ki poteka od vrha do nasprotne strani trikotnika, in višine - ravne črte, ki je pravokotna spuščena od pravega kota do hipotenuze. Naj bo s mediana, potegnjena iz pravega kota na razpolovišče hipotenuze, h pa višina. V tem primeru se izkaže, da:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dve strani

Če so v pravokotnem trikotniku znane dolžine hipotenuze in enega od krakov ali dveh strani, se za iskanje vrednosti ostrih kotov uporabijo trigonometrične identitete:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).
Delite ta članek z drugimi s prijatelji na družabnem omrežju omrežja:

Navodilo

Če morate izračunati hipotenuzo s pomočjo Pitagorovega izreka, uporabite naslednji algoritem: - V trikotniku določite, katere stranice so katete in katere hipotenuza. Dve strani, ki tvorita kot devetdeset stopinj, sta kraka, preostala tretja stran trikotnika je hipotenuza. (glej sliko) - Dvignite vsak krak tega trikotnika na drugo potenco, to je, pomnožite njihovo vrednost s samim seboj. Primer 1. Naj bo treba izračunati hipotenuzo, če je ena noga v trikotniku 12 cm, druga pa 5 cm Prvič, kvadrati nog so: 12 * 12 = 144 cm in 5 * 5 = 25 cm. - Nato določite vsoto kvadratov nog. Določeno število je kvadrat hipotenuza, zato se morate za iskanje znebiti druge potence števila dolžina to stran trikotnika. Če želite to narediti, iz kvadratnega korena izvlecite vrednost vsote kvadratov nog. Primer 1. 144+25=169. Kvadratni koren iz 169 bo 13. Torej dolžina tega hipotenuza enako 13 cm.

Drug način za izračun dolžine hipotenuza leži v terminologiji sinusa in kosinusa kotov v trikotniku. Po definiciji: sinus kota alfa je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo. To je, če pogledamo sliko, sin a \u003d CB / AB. Zato je hipotenuza AB \u003d CB / sin a. Primer 2. Naj bo kot a 30 stopinj, noga nasproti pa 4 cm, najti morate hipotenuzo. Rešitev: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm Odgovor: dolžina hipotenuza enako 8 cm.

Podoben način iskanja hipotenuza iz definicije kosinusa kota. Kosinus kota je razmerje med krakom, ki meji nanj, in hipotenuza. To je cos a \u003d AC / AB, torej AB \u003d AC / cos a. Primer 3. V trikotniku ABC je AB hipotenuza, kot BAC je 60 stopinj, krak AC je 2 cm Poiščite AB.
Rešitev: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm Odgovor: hipotenuza je dolga 4 cm.

Nasvet 2: Kako najti dolžino hipotenuze v pravokotnem trikotniku

Hipotenuza se imenuje najdaljša stran v pravokotnem trikotniku, zato ni presenetljivo, da je ta beseda iz grščine prevedena kot "raztegnjena". Ta stranica vedno leži nasproti kota 90°, stranice, ki tvorijo ta kot, pa se imenujejo kraki. Če poznamo dolžine teh strani in velikost ostrih kotov v različnih kombinacijah teh vrednosti, lahko izračunamo tudi dolžino hipotenuze.

Navodilo

Če sta dolžini obeh krakov trikotnika (A in B) znani, potem za iskanje dolžine hipotenuze (C) uporabite morda najbolj znan matematični postulat na našem planetu, Pitagorov izrek. Pravi, da je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin katet, iz česar sledi, da morate izračunati kvadratni koren vsote kvadratov dolžin obeh znanih stranic: C \u003d √ (A² + B²). Na primer, če je dolžina enega kraka 15 centimetrov in drugega 10 centimetrov, bo dolžina hipotenuze približno 18,0277564 centimetrov, saj je √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564 .

Če je znana dolžina le enega od krakov (A) v pravokotnem trikotniku, kot tudi vrednost kota nasproti njega (α), potem lahko dolžino hipotenuze (C) določimo z uporabo enega od trigonometrične funkcije- sinusi. To storite tako, da dolžino znane stranice delite s sinusom znanega kota: C=A/sin(α). Na primer, če je dolžina ene od nog 15 centimetrov in je kot na nasprotni točki trikotnika 30 °, bo dolžina hipotenuze 30 centimetrov, saj je 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Geometrija ni lahka znanost. Lahko je koristno za oba šolski kurikulum, kot tudi v resnično življenje. Poznavanje številnih formul in izrekov bo poenostavilo geometrijske izračune. Ena najpreprostejših oblik v geometriji je trikotnik. Ena od vrst trikotnikov, enakostranična, ima svoje značilnosti.

Značilnosti enakostraničnega trikotnika

Po definiciji je trikotnik polieder, ki ima tri kote in tri stranice. To je ravna dvodimenzionalna figura, njene lastnosti se preučujejo v srednji šoli. Glede na vrsto kota ločimo ostrokotne, tupokotne in pravokotne trikotnike. Pravokotni trikotnik je geometrijski lik kjer je eden od kotov 90°. Takšen trikotnik ima dva kraka (tvorita pravi kot) in eno hipotenuzo (je nasproti pravega kota). Glede na znane količine so trije preprostih načinov Izračunajte hipotenuzo pravokotnega trikotnika.

Prvi način je najti hipotenuzo pravokotnega trikotnika. Pitagorov izrek

Pitagorov izrek je najstarejši način za izračun katere koli stranice pravokotnega trikotnika. Sliši se takole: "V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog." Tako je treba za izračun hipotenuze izpeljati kvadratni koren vsote dveh nog na kvadrat. Zaradi jasnosti so podane formule in diagram.


Drugi način. Izračun hipotenuze z uporabo dveh znanih vrednosti: kraka in sosednjega kota

Ena od lastnosti pravokotnega trikotnika pravi, da je razmerje med dolžino kraka in dolžino hipotenuze enako kosinusu kota med tem krakom in hipotenuzo. Poznani kot imenujemo α. Zdaj, zahvaljujoč dobro znani definiciji, lahko enostavno oblikujemo formulo za izračun hipotenuze: Hipotenuza = leg/cos(α)


Tretji način. Izračun hipotenuze z uporabo dveh znanih vrednosti: kraka in nasprotnega kota

Če je nasprotni kot znan, je mogoče znova uporabiti lastnosti pravokotnega trikotnika. Razmerje med dolžino noge in hipotenuzo je enako sinusu nasprotnega kota. Pokličimo še enkrat slavni kot a. Zdaj za izračune uporabimo nekoliko drugačno formulo:
Hipotenuza = kateta/sin (α)


Primeri za lažje razumevanje formul

Za globlje razumevanje vsake od formul razmislite o ilustrativnih primerih. Recimo, da je podan pravokotni trikotnik, kjer so taki podatki:

  • Noga - 8 cm.
  • Priležni kot cosα1 je 0,8.
  • Nasprotni kot sinα2 je 0,8.

Po Pitagorejskem izreku: hipotenuza \u003d kvadratni koren iz (36 + 64) \u003d 10 cm.
Glede na velikost noge in vključeni kot: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
Glede na velikost noge in nasprotni kot: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

Ko razumete formulo, lahko enostavno izračunate hipotenuzo s poljubnimi podatki.


Video: Pitagorov izrek



 

Morda bi bilo koristno prebrati: